De thi HSG Dap an chi tiet khoi 10 nam hoc 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2012 - 2013 ( Thời gian : 180 phút không kể thời gian giao đề ). ĐỀ CHÍNH THỨC. Bài 1: (2 điểm) Tìm cặp số (x , y) nghiệm đúng phương trình : y.x2 – 4x + y – 3 = 0 sao cho. a) y đạt giá trị lớn nhất có thể b) y đạt giá trị nhỏ nhất có thể Bài 2: (4 điểm) Cho Parabol (Pm) : y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 trong đó m là tham số . a) Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) khi m biến thiên. b) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với (Pm) không phụ thuộc vào m. c) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của m Parabol ( Pm) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Bài 3: (6 điểm) ¿. 1 2 x + x − =2 y 2 y − y x −2 y 2=−2 ¿{ ¿ 2 √ x +91> √ x − 2+ x 2 2. 1. Giải hệ phương trình :. 2. Giải bất phương trình : Bài 4: (6 điểm). I 1;  1 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm  là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình x – 2y + 12 = 0.Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông.. 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P) : y = x2 – 2x và elip. (E):. 2. x + y 2=1 Chứng minh rằng ( P) giao (E) tại bốn điểm phân biệt nằm trên một 9. đường tròn. Viết phương trình đường tròn đó. Bài 5: (2 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P 2  2  2 2 2 a  2 b  3 b  2c  3 c  2 a 2  3 ================= Hết ==================. Họ và tên thí sinh.................................................. Số báo danh............................ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2012 - 2013. Bài. 1 2đ. a) b). Nội dung Coi phương trình : y.x2 – 4x + y – 3 = 0 (*) là phương trình bậc hai, ẩn là x, y là tham số . Δ' =¿ 4 – y(y – 3) = 4 – y2 + 3y = - y2 + 3y + 4 = - y2 + 4y – y + 4 = ( 4 – y)( y + 1). Điểm. Tồn tại cặp số ( x , y) ⇔ phương trình (*) có nghiệm ⇔ ⇔ ( 4 – y)( y + 1) ≥ 0 ⇔ -1 y ≤ 4. 0,25đ. GTLN : của y = 4 khi đó. Δ ' =¿ 0 nên x =. GTNN : của y = - 1 khi đó. Δ ' =¿ 0 nên x. Δ' ≥0. 2 2 1 = = y 4 2 2 =−2 −1. 1 2 Min y = - 2 khi x = - 2 Tìm quỹ tích đỉnh S của Parabol P(m) : y = x2 + (2m + 1)x + m2 – 1 ¿ −(2 m+ 1) xS = (1) 2  Tọa độ đỉnh S : y S =x2S +( 2m+1) x S + m2 −1(2) ¿{ ¿ 3  Khử m giữa (1) và (2) ta được : yS = xS 4  Không có giới hạn 3  Vậy quỹ tích của đỉnh S là đường thẳng : y = x 4 Kết luận : Max y = 4 khi x =. a) 1đ. 0,5đ. 0,5đ 0,5đ 0, 25đ. 0,25đ 0,5đ 0,25đ. b). 2 4đ. CMR: khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với (Pm) không phụ thuộc vào m. 1,5đ */ Giao điểm A , B của P(m) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình: x2 + ( 2m +1)x + m2 – 1 = x ⇔ x2 + 2mx + m2 – 1 = 0 (3) Δ ' */ PT (3) có = 1 nên (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt xA , xB */ Ta có : AB2 = ( xB – xA)2 + ( yB – yA)2 ⇔ AB2 = 2.( xB – xA)2 = 2. ( 2 √ Δ' )2 = 8 */ Nên AB = 2 √ 2 không phụ thuộc m. 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ. c). CMR : Với mọi giá trị của m Parabol ( Pm) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. 1,5đ */ (Pm) : y = x2 + ( 2m + 1)x + m2 – 1 ⇔ y = ( x + m)2 + x – 1 */ Coi đường thẳng (D) : y = x – 1 Ta có PT hoành độ điểm chung của (Pm) và (D) : ( x + m)2 + x – 1 = x -1 ⇔ ( x + m)2 = 0 luôn có nghiệm kép x = -m */ Nên (Pm) luôn tiếp xúc với (D) : y = x -1.. 0,5đ. 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1) 3đ. ĐK : y 0 1  2  2 x  x  y  2 0    2  1  x  2 0  y 2 y hệ đưa hệ về dạng. 0,5đ 1đ. 2u 2  u  v  2 0  2 2v  v  u  2 0.        u v  u v 1    u 1  v   u v  1   2 3 7  2v  v  u  2 0  u  2 ,   1 7   v  2 . 1,5đ  3 7 u   2  v   1  7  2. Từ đó ta có nghiệm của hệ. 3 6đ. 3 2. ( x ; y) = { (-1 ;-1),(1 ;1), (. 2) 3đ. 7. Giải bất phương trình :. 2 3 7 2 ; 7  1 ), ( 2 7 1 ) }. ;. x 2  91  x  2  x 2. Điều kiện x 2 Phương trình đã cho tương đương với:. .  . x 2  91  10  x2  9. . x  2  1   x2  9  0. x 3  (x  3)(x  3)  0 x  2 1 x  91  10   x 3 1   (x  3)   0    x  3  x 2  91  10 x  2 1  (*) x 3 1  (x  3)  0 2 x  2 1 x  91  10 Ta có : với mọi x 2 . Do đó (*)  x < 3. 2≤ x <3 Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : . 1) 3đ. 0,5đ. 2. . 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông............. Lập phương trình các cạnh… Gọi hình vuông đã cho là ABCD . Giả sử pt cạnh AB là x  2 y  12 0 .. 1đ. H  2;5  Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB . Suy ra . A, B thuộc đường tròn tâm H , bán kính IH  45 có pt: 4 6đ.  x  2. 2. 2.   y  5 45.  x  2 y  12 0  2 2 x  2    y  5  45   A , B  Toạ độ hai điểm là nghiệm của hệ: .. 1đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> A 4;8 , B  8; 2  C  2;  10  Giải hệ tìm được    . Suy ra  AD : 2 x  y  16 0 ; BC : 2 x  y  14 0 ; CD : x  2 y  18 0. 0,5đ 0,5đ. 2) 3đ. Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P). Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình x2  (x 2  2 x) 2 1  9 x 4  36x 3  37x 2  9 0 9 (*) 4 3 2 Xét f (x) 9x  36x  37x  9 , f(x) Có Tập xác định R Có : f(-1)f(0) < 0 ; f(0)f(1) < 0; f(1)f(2) < 0; f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt,. 0,5đ. 1đ. Do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) y x 2  2 x  2 x 2    y 1 9  t/m hệ. 2đ. 8x 2  16x 8y  9x 2  9y 2  16x  8y  9 0  2 2 x  9y 9 (**)  8 4 161 I  ;   9 9  , bán kính R = 9 (**) là phương trình của đường tròn có tâm. 1đ. Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**). 0,5đ. Tìm giá trị lớn nhất .... Ta có : a2+b2  2ab ,  5 2đ. b2 + 1  2b. 1 1 1 1  2  2 2 2 a  2b  3 a  b  b  1  2 2 ab  b  1 2. 0,5đ. Dấu bằng khi a = b = 1 1 1 1 1 1 1  , 2  2 2 Tương tự b  2c  3 2 bc  c  1 c  2a  3 2 ca  a  1 2. 1 1 1 1   1  1  ab  b   1 P       2  ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1  2  ab  b  1 b  1  ab 1  ab  b  2. P. 1đ. 1 2 khi a = b = c = 1.. Vậy. 1 MaxP = 2 khi a = b = c = 1.. ( Nếu thí sinh làm theo cách khác ,lí luận chặt chẻ đúng kết quả - cho điểm tối đa). 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN : KHỐI 10 Câu 1 2. Nội dung Vận dụng sự có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm Max , min Các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai a)Vận dụng các kiến thức đã học giải hệ phương trình. Điểm 2 điểm 4 điểm 3 điểm. 3 b)Vận dụng các kiến thức đã học giải bất phương trình a) Bài toán viết phương trình đường thẳng. 3 điểm 3 điểm. 4 5. b) Bài toán liên quan đến đường tròn và ba đường Cônic 3 điểm Sử dụng bát đẳng thức để xác định giá trị Max ,min của biểu thức 2 điểm Tổng : 20 điểm.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>