CD PT HE PT PT BAC 2 ON THI VAO LOP 10 CHUAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH -BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT I . KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ HỌC: 1.Phương trình bậc nhất một ẩn -Quy đồng khử mẫu. -Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) b x a -Nghiệm duy nhất là *)Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình. b x a . -Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất -Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. -Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm 2.Phương trình tích Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó.  A  x  0    B  x  0  C x 0    Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0 3.Phương trình chứa ẩn ở mẫu *Phương pháp giải: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm của phương trình đã cho.  Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu. * Đặt ĐK để phương trình có nghĩa; * Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu; * Giải và biện luận phương trình bậc hai; * Kiểm tra điều kiện và kết luận. 4.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối A khi A 0 A   A khi A  0. Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  A nÕu A 0 A   A nÕu A < 0 - §Þnh nghÜa:. - C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh.  f ( x ) 0  f ( x ) 0  f ( x ) k( k  0)  f ( x ) k  f ( x ) g( x ) f ( x )  g( x )    f ( x )  g( x )  2. Hay. f ( x )  g( x )   f ( x )  g( x ). 2. , ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch.   f ( x ) 0   g( x ) 0      f ( x ) g( x )  f ( x ) g( x )   f ( x ) 0   g( x ) 0   f ( x )  g( x ) f ( x )  g( x ) f ( x ) g( x )     <=> hoÆc <=>    g( x ) 0  HoÆc <=> f ( x ) g( x ) hoÆc f ( x )  g( x )  g( x ) 0  2 2 f ( x )  g( x )    HoÆc <=> A. 2. A. 2. A  B  A B  A  B. - Chó ý: ; A A vµ 5.Các phương pháp giải phương trình vô tỉ. * Phương trình dạng. f ( x)  g ( x). (1).  g ( x ) 0(2) f ( x) g ( x )   2  f ( x)  g ( x)  (3).  Sơ đồ giải: Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp, nghiệm thích hợp là nghiệm của phương trình đã cho. * Phương trình dạng. f ( x )  g ( x ) h( x ).  Sơ đồ giải:- Đặt đk có nghĩa của phương trình f ( x ) 0 g ( x ) 0 h ( x ) 0. - Bình phương 2 vế , rút gọn đưa về dạng(1).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> * Phương trình dạng. f ( x )  g ( x )  h( x ).  Sơ đồ giải:.  f (x) 0  g(x) 0  - Đặt đk có nghĩa của phương trình h(x) 0 -Bình phương hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phương) sau đó cần phải đối chiếu nghiệm vừa tìm được với điều kiện! *)Lu ý: Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng. Nếu không có thể thử l¹i trùc tiÕp. II . CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. *Dạng 1 BPT bậc nhất một ẩn là BPT có dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b  0, ax + b  0), trong đó x là ẩn, a và b là các số đã cho, a  0. Ta xét BPT dạng ax + b > 0. b + Nếu a > 0, BPT có nghiệm x > - a . b + Nếu a < 0, BPT có nghiệm x < - a . A *Dạng 2: BPT phân thức B >0 , BPT tíchA.B>0. *Cách giải: Mỗi bất phương trình tương đương với 2 hệ bpt :  f ( x)  a f ( x ) a    f ( x) a *Dạng 3:  f ( x)  a f ( x)  a    f ( x)   a hoặc *Dạng 4:. f ( x)  a   a  f ( x)  a. Ví dụ1 : Giải các bất phương trình sau: x 2 3x  2  1 3 x 1 a. x  1 .. b.. x  1  x 1  2x  3. HDẫn giải. 8x  2 0 a. ĐK x  1. Quy đồng mẫu và khử mẫu ta được: ( x  1)( x  1) , 1   x 1 giải ra ta được x < -1 hoặc 4 .. b. Xét 3 trường hợp..  A  0   B  0  A  0    B  0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 5 5 1. Với x < -1. Giải BPT được x > - 2 . Vậy - 2 < x < -1. 2. Với -1  x < 1. Giải BPT được 3 > 0. Vậy -1  x < 1. 1 3. Với x  1. Giải BPT được x > - 2 . 5 KLC: x > - 2 . m( x  1) x  2m x  16   9 6 18 (1) Ví dụ2: Giải và biện luận bất phương trình:. HDẫn giải. (1)  2m(x - 1) - 3(x + 2m) < x – 16  2(m - 2)x < 8(m - 2). Nếu m > 2 thì x < 4. Nếu m < 2 thì x > 4. Nếu m = 2 thì 0x < 0, bất phương trình vô nghiệm. x 2  2x  4 1 ( x  1 )( x  3 ) Ví dụ3: Tìm nghiệm nguyên dương của bất phương trình: (1). HDẫn giải. ĐKXĐ: x  -1 và x  3. x  1  0 1  (1)  ( x  1)( x  3) > 0  (x + 1)(x - 3) < 0  (x + 1) và (x - 3) trái dấu   x  3  0  -1 < x < 3 (TM) Vì x nguyên dương nên x  {1; 2}.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> PHẦN 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. Kiến thức cần nhớ by=c {ax+ a ' x+ b ' y=c '.  Dạng tổng quát :.  Số các nghiệm của hệ: a. b. a. b. c. a. b. c. + Nếu a' ≠ b ' ⇔ Hệ có nghiệm duy nhất + Nếu a' = b ' ≠ c ' ⇔ Hệ vô nghiệm + Nếu a' = b ' = c ' ⇔ Hệ có vô số nghiệm B . Các phương pháp giải hệ phương trình: 1. Phương pháp thế: - Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia - Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y - Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau : a). y=6 {2 xx +3+ y=3. (1) (2). Từ phương trình (2) ta có: x = 3 – y (*) Thay x = 3 – y vào phương trình (1) ta được : 2(3 - y) + 3y = 6 6 – 2y + 3y = 6 ⇒ y = 0 Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3 Vậy nghiệm của hệ là: b). {42xx−5+ y=5 y=3. {x=3 y=0. (1) (2). Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*) Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được : 4x – 5 (5 – 2x) = 3 4x -25 + 10x = 3 14x = 28 ⇒ x=2 Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y=1 Vậy nghiệm của hệ là :. {x=2 y=1. 2. Phương pháp cộng : - Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau - Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử - Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau : a). {−x+x+23yy=14 =−9. ¿ (1) ¿(2) ¿. Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5 ⇒ y=1.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được : x + 2.1 = 14 ⇒ x=12 Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (12; 1) b). {−53xx++44yy=11 =3. (1) (2). Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8 ⇒ x=−1 Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được: 5.(-1) + 4y = 3 ⇔ 4y = 8 ⇒ y=2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là :. =−1 {xy=2. . Chú ý : Với hệ phương trình. by=c {ax+ a ' x+ b ' y=c '. +Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế +Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ +Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế + Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ±1 và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’) Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau : a). {43 xx+3−2y=−1 y=12. (1) (2). Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với 3 ta được : Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34 ⇒ x=2 Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được : 4.2 + 3y = -1 ⇒ 3 y=− 9 ⇒ y=− 3. Vậy nghiệm của hệ phương trình là : b). y=− 6 {53 xx −4 −2 y=− 4. x=2 { y=−3. (1) (2). Nhân phương trình (2) với 2 ta được : 6 {56 xx −− 44 y=− y=− 8. Trừ từng vế của hệ ta được : -x = 2 ⇒ x=− 2 Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được: 5.(-2) – 4y = -6 - 4y = 4 ⇒ y=− 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1) VD4.Giải các hệ phương trình sau  x  5y 7 a)  3x  2y 4. b).  x  2y  3z 2   x  3y  z 5  x  5y 1 . =−2 {89 xx+6− 6yy=36.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x  5y 7 a)   3x  2y  4 .  x 7  5y   3 7  5y  2y  4   .  x 7  5y   21  17y  4 .  x 7  5y  x 2    y 1  y 1. Giải  x  5y 7   3x  2y  4 . 3x  15y 21   3x  2y  4 . 17y 17   3x  2y  4 .  y 1  x 2.  x 1  5y  1  5y  2y  3z 2  1  5y  3y  z 5 .  x 1  5y  7y  3z 1  2y  z 4 .  x 6   y 1 z 2 . hoặc  x  2y  3z 2   x  3y  z 5   x  5y 1  b) 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ : 1 1  x  y 1    3  4 5 Giải các HPT sau: a/  x y. (1) (2) ;.  1 x  2     2  b/  x  2. 1 2 (1) y1 3 1 y 1 (2) ; c/. 3 x 2  y 2 5 (1)  2  x  3 y 2 1 (2) .. HDẫn giải. 7 7 ; a. ĐK x; y 0, hệ có nghiệm ( 9 2 ). 19 8 ; b. ĐK x 2; y  1, hệ có nghiệm ( 7 3 ). 8 1 c. Đặt X = x , Y = y (X  0, Y  0), giải HPT ẩn phụ được X = 5 ; Y = 5 , từ đó suy ra 2. 2. nghiệm HPT đã cho. 4. Một số bài tập về hệ pt chứa tham số  Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm như sau: + Coi tham số như số đã biết + Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số + Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số Ví dụ1: Cho hệ phương trình:. {mxx −2−3y=0 y=2. (1) (2). a) Giải hệ với m = -2 b) Tìm m để hệ có nghiệm dương - Giải a) Với m = -2 ta có hệ :. y=0 {− x2−2 x −3 y=2. (1) (3). Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:. 2 4 -2.2y – 3y = 2 ⇒ y=− 7 thay vào (*) ⇒ x=− 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Vậy nghiệm của hệ là :. {. 4 7 2 y=− 7. x=−. b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được: m.2y – 3y = 2. ⇔ y (2 m− 3)=2 ⇒ y=. 2 2 m−3. 4 Thay vào (*) ta được : x= 2m −3. Để hệ có nghiệm ⇒. {. 4 >0 x >0 ⇔ 2 m−3 y> 0 2 >0 2 m−3. {. ⇒. 2m – 3 > 0. 3. m> 2 3. Vậy với m > 2 thì hệ phương trình có nghiệm dương (1) mx  y 2m  Ví dụ 2: Giải và biện luận HPT: a. 4 x  my m  6 (2) ;. b.. 2 x  3 y 5   x  y 2  x  4 y m . (1) (2) (3) .. HDẫn giải. a. Từ (1) biểu thị y qua x và thay vào (2) được (m2 - 4)x = (2m + 3)(m - 2) (3)  2m  3  m  ;   + Nếu m2 - 4  0 hệ có nghiệm  m  2 m  2  .. + Nếu m = 2, (3) TM mọi x, hệ VSN (x; 2x - 4). + Nếu m = -2, (3) trở thành 0x = 4, hệ VN. 11 1 b. Giải HPT lập bởi (1) và (2) được x = 5 ; y = 5 . Thay vào (3) được m = 3.. Vậy với m = 3 HPT có …. (m  2) x  4 y m  1  Ví dụ 3: Cho HPT:  x  (m  3) y 0. (1) (2) .. a. Giải hệ khi m = -1. b. Giải và biện luận HPT đã cho theo m. HDẫn giải. a. ta có (x;y) = (2; 1). b. Từ (2) biểu thị x qua y và thay vào (1): (m - 1)(m + 2) = m - 1 (3). + Nếu m = 1 hệ VSN. + Nếu m = -2hệ VN. m3 1 ; + Nếu m 1 và m  -2 hệ có nghiệm ( m  2 m  2 ). Ví dụ 4: Xác định m nguyên để hệ sau có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y nguyên: mx  2 y m  1 (1)  2 x  my 2m  1 (2) .. HDẫn giải..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Từ (1) biểu thị y qua x và thay vào (2) ta được (m2 - 4)x = (m - 1)(m - 2). Hệ có nghiệm duy m 1 3   x  m  2 1  m  2   y  2m  1  2  3  m2 m  2 . x, y nguyên thì m + 2 phải là ước của 3, nhất khi và chỉ khi m   2,  m  {-1; -3; 1; -5}. Ví dụ 5: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau. a. A (2; -2) và B (-1; 3). b. A (-4; - 2) và B (2; 1). HDẫn giải. Thay toạ độ của A, B vào y = ax + b và giải HPT lập được, từ đó ta có a, b. ( a  1) x  y 3  Ví dụ 6 : Cho HPT: ax  y a . a. Giải hệ với a = - 2 .. b. Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0. HDẫn giải.  3 2 22 2    1 2 2 ; 1 2 2  . a.  1 a2  a  3 b. Cộng hai PT lại: (2a + 1)x = a + 3. Với a  2 hệ có nghiệm duy nhất x + y = 2a  1 , 1 2 vì a - a + 3 > 0 nên x + y > 0 khi và chỉ khi 2a + 1 > 0 hay a > - 2 .. C. MỘT SỐ BÀI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 – SỞ GD – ĐT HÀ NỘI Câu 3: 2 1  x  y 2    6  2 1 1) Giải hệ phương trình  x y ĐA: 2 1  x  y 2    6  2 1 1)Giải hệ:  x y , (ĐK: x, y 0 ). 4 2 4 6 10  4  1  5  x  y 4   x x x      6  2 1  2  1 2  2  1 2  x y  x y  x y. Hệ Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1)..  x 2   2 1  2  y 2 .  x 2   y 1. .(TMĐK). ( Có thể hs giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ ). D. Các bài tập tự luyện Bài 1 Giải các hệ phương trình sau : 2 x  y  2  a) 2 x  y 4. b). 2 x  5 y 1   10 x  5 y 20.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  x  y 3  c) 2 x  3 y  4. 2 x  3 y  4  d) 5 x  7 y  9 x y  2  3 1   x  2 y 8 f)  4 3. 3 x  4 y  2  e) 6 x  8 y  3 0. Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau : 1 1 5  x  y 8    1  1 3 a)  x y 8. 2 1  x  y  2 2    3  1  1 0 b)  x y  2  m  3 x  y 5  Bài 3 : Cho hệ phương trình  x  y 7. 1  4  x  2 y  x  2 y 1    20  3 1 c)  x  2 y x  2 y. a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó. ax  y 2  Bài 4 : Cho hệ phương trình  x  ay 3. a) Giải hệ phương trình khi a = 1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó c) Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm ax  2 y a  Bài 5 : Cho hệ phương trình  2 x  y a  1. a) Giải hệ phương trình khi a = -2 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1 d) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên. 2 x  (m  4) y 16  (4  m) x  50 y 80 (I). Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phương trình: b) Trong trường hợp hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1 Bài 7* : Giải phương trình sau : a) 8  x  5  x 5. 2 2 b) 2  x  x  8 4. PHẦN 3 : ph¬ng tr×nh bËc hai A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Xét phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> *Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn . * Nếu a ≠0 ta có thể gặp các trường hợp sau : 1.Các dạng và cách giải Dạng 1: khuyết hệ số c : c = 0 khi đó  x 0  1  ax 2  bx 0  x  ax+b  0   b x  a  Dạng 2: khuyết hệ số b : b = 0 khi đó c  1  ax 2  c 0  x 2  a c c x  0 a . -Nếu a thì c 0 -Nếu a thì phương trình vô nghiệm. Dạng 3: Tổng quát ( phương trình bậc hai đầy đủ ) : ax2 + bx + c = 0 (1) CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT  b 2  4ac   0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt b  b  x1  ; x2  2a 2a  0 : phương trình có nghiệm kép b x1 x 2  2a   0 : phương trình vô nghiệm. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN  ' b'2  ac  '  0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt  b'  '  b'  ' x1  ; x2  a a  ' 0 : phương trình có nghiệm kép  b' x1 x 2  a  '  0 : phương trình vô nghiệm. Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích . 2.Hệ thức Viet và ứng dụng. a/ Định lí Vi-et : -Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b  S x1  x 2  a  P x x  c 1 2  a.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b/ Các ứng dụng của định lí Vi-et u  v S  2 uv P  S 4P   -Nếu có hai số u và v sao cho thì u, v là hai nghiệm của phương 2 trình x – Sx + P = 0. c -Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = a . c  -Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = a . 3.Điều kiện có nghiệm, mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) (a ≠0) c P x1x 2  a < 0. a/ ĐK để (1) : - có 2 nghiệm  0 , ac < 0 hoặc - có 2 nghiệm phân biệt   0 . b/ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: . {. Δ≥ 0 c >0 a. - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương : . - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm:. - Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0;. - Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0;. S x1  x 2 . S x1  x 2 . {. Δ≥0 c >0 a b − >0 a. {. Δ≥0 c >0 a −b <0 a. b c P x1x 2  a > 0, a>0. b c P x1x 2  a < 0, a <0. P x1x 2 . c a <0. c/ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu:  0; b S x1  x 2  a =0 - Hai nghiệm đối nhau   0 và - Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0 - Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn b c S x1  x 2  P x1x 2  a > 0, a <0   0 ,.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> P x1x 2 . d/.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: b c S x1  x 2  P x1x 2  a , a . c a =0. 2 2 2  Tổng bình phương các nghiệm: x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P..  . 1 1 x x S   1 2  x1 x2 P. Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 1 1 x12  x22 S2  2P    2 2 2 x x ( x x ) P2 . 1 2 1 2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:. 2 2  Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  4 x1 x2 = S2 – 4P..  Tổng lập phương các nghiệm: x1  x2  ( x1  x2 )  3 x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS 4.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số: (Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số). * Phương pháp giải:  Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (  '  0 ;  0 hoặc a.c < 0). 3. 3. 3. b   S x1  x2  a   P  x x c 1 2 a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình  ..   Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P  Đó là hệ thức độc lập với tham số. 5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó. 1 1 a) x1  x 2 ; b) x12  x 2 2 m; c)  n x1 x 2 d) x12  x 2 2 h; e) x13  x 23 t; ... Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình.. B . MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 1. 2 2. a) x  x . Giải:. 1 1  b) x1 x2 .. 2 c) ( x1  x2 ). 3 3 d) x1  x2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Phương trình có  ' = 1 > 0  pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): b   S x1  x2  a 12   P  x x  c  35 1 2  a . 2 2 2 a) x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.. 1 1 x x S 12   1 2  x1 x2 P = 35 . b) x1 x2 ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  4 x1 x2 S2 -4P. c). = 122 – 4.35 = 4.. d) x1  x2  ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468. VD2 : .Giải các phương trình sau 1 a) 3x 2  2x 0 b)  x 2  8 0 c) x 2  3x  10 0 2 3. d). 2x 2 . 3. . 3. . 2  1 x  1  2 2 0. e) x  4 x  3 0 f )  x  1  x  2   x  3   x  4  3. Giải  x 0 a) 3x  2x 0  x  3x  2  0   2  x  3  Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ….. 1 b)  x 2  8 0  x 2 16  x 4 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ….. c) a 1; b 3; c  10 2.  b 2  4ac 32  4.1.  10  49  0  b    37  b   3 7  2; x2    5 2a 2.1 2a 2.1 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ….. d) a  2; b  2  1; c 1  2 2 x1 . Có a  b  c  2  2  1  1  2 2 0 c 1 2 2 2 4 x1 1; x 2    a 2 2 Theo hệ thức Viet, có: e) Đặt t  x 0 , ta có pt mới: t2 – 4t + 3 = 0. Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0. Vậy t1 = 1; t2 = 3. Suy ra: x1 = 1; x2 = 9. x  1  x  2   x  3  x  4  3   x 2  5x  4   x 2  5x  6  3  f) Đặt x2 + 5x + 4 = t, ta có:.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>  t 1  t 2  2t  3 0   t  1  t  3  0    t  3 t .(t + 2) = 3  x 2  5x  4 1  x 2  5x  3 0   5  13  5  13  2   x1  ; x2   2 2 2  Suy ra:  x  5x  4  3  x  5x  7 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt … 2. VD3.Cho phương trình x2 + 3x – m = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 4. b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1). c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 1. 2x1 + 3x2 = 13. 2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị. 3. x12 + x22 = 11. 1 1 ; x e) Chứng tỏ rằng 1 x 2 là nghiệm của phương trình mx2 – 3x – 1 = 0. Trong đó x , x 1. là hai nghiệm của (1). f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai nghiệm đó. Giải a) Với m = 4 ta có: x2 + 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4) Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 c  4 Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 = a 2 b) có:  b  4ac 9  4m. 9 4  b    3  9  4m  b    3  9  4m x1   ; x2   2a 2 2a 2.   0  9  4m  0  m  .  0  9  4m 0  m  x1 x 2 . 9 4. b 3  2a 2. 9 4 phương trình vô nghiệm. c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó: (-2)2 + 3(-2) – m = 0  m = -2 -Tìm nghiệm thứ hai   0  9  4m  0  m  . cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x2 + 3x + 2 = 0 c  2 có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x1 = -1; x2 = a Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.. 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> b b  x 2   x1  3    2   1 a Cách 2: Ta có x1 + x2 = a c c m  x 2  : x1   1 a a  2 Cách 3: Ta có x1x2 = .  0  b  x1  x 2   a  x x  c  1 2 a  d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13 2x1  3x 2 13 9  m  4    x1  x 2  3  x1x 2  m  2x1  3x 2 13. giải hệ tìm được x1 = -22; x2 = 19; m = 418. -Tương tự ta tìm được (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1)  1 1 x1  x 2 3  x  x  x x m  1 2 1 2   1 . 1  1  1  x1 x 2 x1.x 2 m. 2. 4 9  4m  3  1 9 0    4    2   m m2  m m mà  m . e) Ta có 1 1 3 1 ; x2  x  0  mx 2  3m  1 0 x x 1 2 m m Vậy là hai nghiệm của phương trình. f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3..  0   P  0. 9  9 m  4   m  0  4  m  0. C . MỘT SỐ BÀI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 SỞ GD – ĐT HÀ NỘI Bài 1 : ( bài 3 đề thi vào lớp 10 Năm học : 2007 – 2008 ) Bµi 3 ( 1 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 1/ Gi¶i ph¬ng tr×nh khi b = - 3 vµ c = 2. 2/ Tìm b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1. HD Giải : Bài III:    0  b 2  4c  0   x1.x2 1  c 1. 2/ Đ k: giải hpt: Bài 2 : ( bài 3 đề thi vào lớp 10 Năm học : 2009 – 2010 ) Bµi III (1,0 ®iÓm) 2. 2. Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): x - 2(m +1) x + m + 2 = 0 1) Giải phơng trình đã cho với m=1. 2) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ 2 2 thøc: x1 + x2 =10 .. HD GIẢI , BIỂU ĐIỂM. 3 3.1. 3.2. Phương trình bậc hai. 1đ. 2 Khi m 1 ta có phương trình: x  4x  3 0. c x1 1; x2  3 a Tổng hệ số a  b  c 0  Phương trình có 2 nghiệm 2  ' x  m  1   m2  2 2m  1. 0,5. 1   '  2 m  1  0  m  x 2 Phương trình có 2 nghiệm x1 x2. 0,25. * Biệt thức. b  x  x  2 m  1 1 2  a   x x  c m2  2 1 2 a * Khi đó, theo định lý viét  Ta cã. 2. x12  x22  x1  x2   2x1x2 2 4 m  1  2 m2  2. 0,25. 2. 2m  8m * Theo yªu cÇu: x12  x22 10  2m2  8m 10  m 1  2m2  8m  10 0    m  5 lo¹i . Kết luận: Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Bài 3 : ( bài 3 đề thi vào lớp 10 Năm học : 2012 – 2013 ) BÀI 3 .2 : 2 2 Cho phương trình : x  (4m  1) x  3m  2m 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai 2 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 7. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN. 2)  = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, m. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt m . b c a = 4m – 1 và x1.x2 = a = 3m2 – 2m. Ta có : x1 + x2 = Do đó, theo bài ra ta có  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 7  (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7  10m2 – 4m – 6 = 0. 0,25 0,25. 3  m = 1 hay m = 5. D. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1/LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN Bài 1: Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0 Giải: a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50)  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;  = 51 Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 .  ( 49)  51  ( 49)  51   1 x2  50 2 2 ;. + Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 .  50 50 1. .  50 50 1. Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = + Lời giải 3:  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có :  x1  x2 49 (  1)  50  x  1   1   x1.x2 49  50 ( 1).50  x2 50. Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =. b) Giải phương trình (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0 Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )  = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  = 4 Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 .  2 3 4  2 3 4 1 x2    (7  4 3 ) 2( 2  3 ) 2( 2  3 ) ;. + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 ).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ’ = ( 3 )2- (2- 3 )(– 2 – 3 ) = 4;  = 2 Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 . . 3 2  3 2 1 x2    (7  4 3 ) 2 3 2 3 ;. + Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0 Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 =. .  2 3   (7  4 3 ) 2 3. *Yêu cầu: + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán * Bài tương tự: Giải các phương trình sau: 1. 3x2 – 7x - 10 = 0 5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0 2 2. x – 3x + 2 = 0 6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0 3. x2 – 4x – 5 = 0 7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0 4. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0 Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Ta có : u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình x2 – 42x + 441 = 0 (*) Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0 Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tương tự: 1. Tìm hai số u và v biết: a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2 Bài 3: Giải các phương trình sau (phương trình quy về phương trình bậc hai) a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 2x x2  x  8  x  1 ( x  1)( x  4). b) c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 Giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1) (1)  (x2 - 2)(x + 3) = 0  (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0 x=- 2;x= 2;x=-3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 2x x2  x  8  b) Giải phương trình x  1 ( x  1)( x  4) (2). Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì (2)  2x(x- 4) = x2 – x + 8  x2 – 7x – 8 = 0 (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x 1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8 c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3)  5x4 – 3x2 – 26 = 0 Đặt x2 = t (t  0) thì (3)  5t2 – 3t – 26 = 0 Xét  = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529.   = 23  ( 3)  23 13  2 . 5 5 (thoả mãn t  0) ; Nên: t1 =  ( 3)  23  2 2 .5 t2 = (loại) 13 13 13  5 Với t = 5  x2 = 5  x = . 13 5 ; x2 =. Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4) Đặt x2+x = t . Khi đó (4)  3t2 – 2t – 1 = 0. 13 5. Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0. . 1 3.  1 5  1 5 2 1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 = ; x2 = 2 1 1   2 t2 = 3  x +x = 3  3x2 + 3x + 1 = 0 (*). 2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm  1 5  1 5 2 Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = ; x2 = 2 * Bài tương tự: Giải các phương trình sau:. 1. x3+3x2+3x+2 = 0 2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 3. x4 – 5x2 + 4 = 0 4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 x x 1  10. 3 x 6. x  1. 7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0 2. 1 1    x    4 x    3 0 x x  . 8. x2 6 3  2 x 9. x  5. Bài 4: Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 1 1  A = x2 x2 ;. 1 1  2 2 C = x2 x2 ;. B = x12 + x22 ;. D = x 1 3 + x2 3. Giải Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 =  3 ;. x1.x2 =  5. x  x2 1 1    1  x1 .x 2  A = x2 x2. 1 15 5 5 ; 2 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( 3 )  2( 5 ) 3  2 5 x12  x 22 3  2 5 1   (3  2 5 ) x12 .x 22 ( 5 ) 2 5. C=. 3. . ;. D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3 )[3  2 5  ( 5 )]  (3 3  3 15 ) * Bài tương tự: Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 1  2  2 A = x2 x2 ; B = x12 + x22 ; C = x2 x2 ; 6 x12  10 x1 x 2  6 x 22 3x12  5 x1 x 2  3x 22 3 3 2 2 E = 5 x1 x2  5 x1 x 2 ; F = 4 x1 x 2  4 x1 x 2. D = x 1 3 + x2 3. 2/LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trình bậc hai chứa tham số) CÁC BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 1. Bài tập về số nghiệm của phương trình bậc hai: Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : a) x2 -3mx + m2 – 1 = 0 b) 2x2 + 4x – m = 0 - Giải a) Ta có : Δ = (-3m)2 – 4.( m2 – 1) = 9m2 – 4m2 +4 Δ = 5m2 + 4 > 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m Δ = 16 + 8m > 0  m > -2 Vậy với m > - 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép. a) (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0 b) 15x2 – 90x + m = 0 -Giảia) ĐK để phương trình : (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0 là phương trình bậc hai thì : m+ 7 ≠ 0  m ≠ -7 Ta có: Δ’ = (m - 9)2 + (m + 7). (7m - 15) = m2 - 18m + 81 + 7m2 – 15m +49m – 105.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = 8 (m2 + 2m - 3) Δ’ = 0  (m2 + 2m - 3) = 0  m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn) Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép b) Ta có : Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m Δ’ = 0  2025 – 15m = 0  m = 135 Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm a) 3x2 – 2x + m = 0 b) x2 + mx + 3 = 0 -Giải2 a) 3x – 2x + m = 0 Để phương trình vô nghiệm  Δ< 0 1 Ta có : Δ ' =1 −3 m ; Δ '< 0 ⇔1 −3 m< 0 ⇒ m> 3 1. Vậy với m > 3 thì phương trình vô nghiệm b) x2 + mx + 3 = 0 Để phương trình vô nghiệm  Δ< 0 Ta có: Δ=m2 − 4 . 3=m2 −12 2 Δ< 0 ⇔ m < 12⇒ − √ 12< m< √12 Vậy với - √ 12< m< √12 thì phương trình vô nghiệm Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: (m-4)x2 – 2(m - 2)x + m – 1 = 0 -GiảiPhương trình có nghiệm duy nhất  m −4=0 ⇔m=4 m −2 ≠0 m− 4 ≠ 0 ¿ 2 m− 2¿ −(m −4 ).(m −1)=0 ¿ ¿ ¿. {a=0 b≠0 {Δa≠'=00 ¿. {. . (∗). Giải phương trình (*) ta được : m2 -4m + 4 – m2 + 5m -4 = 0 ⇒ m=0. Vậy với m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.. 2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Ví dụ : Xác định giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu: a) x2 – 3x + m – 1 = 0 b) x2 – 2mx + 3 = 0 -Giải2 a)x – 3x + m – 1 = 0 Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu : . { {. Δ≥ 0 13 m≤ 9 −4 m+ 4 ≥ 0 ⇔ c ⇔ 4 >0 m− 1> 0 a m>1. {. Vậy với 1 < m. 13 4. thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu.. b)Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu: m≥ √3 m ≤− √3  Δ' ≥ 0 m2 −3 ≥ 0. {. c ⇔ >0 a. {. 3>0. ⇔¿. 3.Bài tập: dạng thành lập một hệ thức đối xứng giữa các nghiệm Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm của phương trình bậc hai thường gặp : a) x12 + x22. b) x13 + x23. 1. 1. c) x + x 1 2. ..v..v. Cách giải: Bước1: Nêu tổng và tích hai nghiệm. {. −b a c x 1 . x 2= a. x 1 + x 2=. Bước 2:Biến đổi các hệ thức đối xứng này như sau : x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2) 1 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 . x2. Bước 3: Thay tổng và tích hai nghiệm vào các biểu thức đối xứng Ví dụ : Cho phương trình x2 + mx + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Hãy tính: a) x12 + x22 b) x13 + x23 -GiảiTheo vi et ta có : x1 + x2 = m ; x1.x2 = 1 a) Mà x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2.x1.x2 = m2 - 2 b) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2) = m3 – 3.m 4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức:.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 + Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm + Bước 2: Nêu hệ thức vi et :. {. −b a c x 1 . x 2= a. x 1 + x 2=. (1) (2). + Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3) + Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m. Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0 Xác định giá trị của m để nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả mãn hệ thức : 2x1 + 3x2 = 13 -Giải2. Hệ phương trình có nghiệm . m+5 ¿ − 4 .(6 − m)≥0 ¿ 2 ⇔m +10 m+ 25− 24+ 4 m≥ 0 ¿ ⇔m2 +14 m+1≥ 0 ¿ ¿ Δ≥0 ⇔ ¿. m≥− 7+ √ 48 Vậy với m≤ −7 − √ 48 thì phương trình có nghiệm ¿. Theo vi et ta có : x1 + x2 = m + 5 x1.x2 = 6 – m Theo bài ra : 2x1 + 3x2 = 13 Giải hệ phương trình. (*). (1) (2) (3). x 1+ x 2=m+5 2 x 1+ 3 x 2=13. {. (1) (3). Nhân phương trình (1) với 2 ta được 2 x 1+ 2 x 2=2 m+10 2 x 1 +3 x2 =13. {. Trừ từng vế của hệ ta được : x2 = 3 – 2m thay vào phương trình (1) ta được : x1 + 3 – 2m = m + 5  x1 = 3m + 2 Thay x1 = 3m + 2 và x2 = 3 – 2m vào phương trình (2) ta được (3m + 2). (3 – 2m) = 6 – m  9m – 6m2 + 6 – 4m = 6 – m 2.  6m – 6m = 0. m=0 m=1 ⇒¿. thoả mãn ĐK (*). Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn :. 2x1 + 3x2 = 13. 5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số: Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 Cách giải:.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> + Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm ( Δ≥ 0 ) + Bước 2: Lập S , P. (x1 + x2 =. −b ), x1.x2 = a. c a. theo tham số m. + Bước 3: Dùng quy tắc công hoặc thế để khử m + Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm. Ví dụ : Cho phương trình: x2 – 2.(m - 1)x + m2 – 1 = 0 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m -GiảiPhương trình có nghiệm :  Δ' ≥ 0 m− 1¿ 2 −(m2 − 1)=−2 m+2 ≥ 0 ⇔m ≤1 Δ' =¿ S=2(m −1) (1) Áp dụng vi et ta có : 2 (2) P=m − 1 S S +2 Từ (1) ta có : m = 2 +1 ⇔ m= 2 thay vào (2)ta được : S+2 ¿2 ¿ P = S +2 ¿2 − 4 ¿ ¿. Ta có :. {.  S2 + 4S – 4P = 0 Vậy hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m là (x1 + x2 )2 + 4(x1 + x2 ) – 4x1.x2 = 0 6.Bài tập dạng so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kì: Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( Δ≥ 0 ) Bước 2: Áp dụng vi et tính x1 + x2 ; x1.x2 (*) +Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm > α ⇒. ( x 1 − α )+( x2 − α )> 0 ( x 1 − α ) .( x 2 − α )>0. {. Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m + Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < α ⇒. (x 1 − α )+(x2 − α )< 0 (x 1 − α ).(x 2 − α )>0. {. Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m + Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó một nghiệm > nghiệm kia < α ⇒( x1 −α ).( x 2 − α )>0. Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m Hoặc có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai: * Nếu a . f (α )<0 ⇒ x 1< α < x 2 Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm lớn hơn 2 x2 - 2mx + 8 = 0 (1) -Giải-. α.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Để phương trình có nghiệm  Δ ' ≥ 0 m≥ 2 √ 2 2 Ta có : Δ ' =m − 8 ≥0 m≤ −2 √ 2 ⇔¿. Vậy với. ⇒. m≥ 2 √ 2 m≤ −2 √ 2 thì phương trình có nghiệm ¿. Theo vi et ta có: x1 + x2 = 2m x1 . x2 = 8 Để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2 ( x 1 − 2)+( x2 −2)>0 ( x 1 − 2) .(x 2 −2)>0. { {. . (x 1 + x 2)− 4>0 x 1 . x 2 − 2(x 1+ x 2 )+ 4> 0. . ⇒. Vậy với. {8 2−4m−m+4>4>0 0 ⇔ {m>2 m<3 2 √ 2 ≤ m<3. thì phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG QUÁT Bài 1: Giải. Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k). ’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k Kết luận: Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k Bài 2: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Giải 3 a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = 2 (là nghiệm). + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m  3 2 + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m  3 thì phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = 2 (là nghiệm).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) có nghiệm duy nhất   = 3m-2 = 0  m = 3 (thoả mãn m ≠ 1) 1 1   3 2 m 1 1 3 Khi đó x = 3 +Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 2 với m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 ’. c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có: 3 (m-1)2 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m = 4 2. 3 1  Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = 4 -1= 4 ≠ 0) 3 3  12  x 2 6 1 m 1  4 Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = 3 Vậy m = 4 và nghiệm còn lại là x2 = 6. * Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót) Bài 3: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22  10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải 2. a) Ta có:. 1  15  m   2 4 ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =  2. 1  15  m   0 0 2   4 Do với mọi m;   > 0 với mọi m.  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0 2(m  1)  0     (m  3)  0. Vậy m < -3. m  1  m3  m   3.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0  m 0   m 0  m  3  3  2 m  3  0 m    2       2  m 0  m  0     m 0  3  2m  3 0  m  2 . 3 Vậy m  2 hoặc m  0. e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm  x1  x 2 2(m  1)    x1 .x 2  (m  3).  x  x 2 2m  2 . 1 2 x1 .x 2  2m  6. Theo định lí Viet ta có:  x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m. f) Từ ý e) ta có: x x1 . 1. + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) . 8  x2 1  2 x2. x2 . x1 . 8  x2 1  2 x2. 1 2). Vậy ( Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 y1  x1 . 1 1 y2  x2  x2 ; x1 với x ; x là nghiệm của 1 2. c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn phương trình ở trên Giải a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau ' 0    P 1. 2  m 0   m  1 1. m  2  m 2  m  2. Vậy m = 2 b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)  x1  x2  2   3 x1  2 x2 1  Từ (1) và (3) ta có:.  2 x1  2 x2  4   3 x1  2 x2 1.  x1 5    x1  x2  2. Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 là giá trị cần tìm d) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2).  x1 5   x2  7.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> y1  y2  x1  x2 . Khi đó: y y (x  1. 2. 1. 1 x. 1 x1. )( x  2. 2. . 1 x2. 1 x.  x1  x2 . ) x x  1. 2. x1  x2 x1 x2. 1 xx. 1. 1.  2 . 2 m 1. . 2m 1 m. 1.  2 m  1 . (m≠1). 2 . m 1. 2. m. 2. m 1. (m≠1). 2. 2m m  y1; y2 là nghiệm của phương trình: y - 1  m .y + m  1 = 0 (m≠1) 2. Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0 *Yêu cầu: + HS nắm vững phương pháp + HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi + Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác * Bài tương tự: 2 1) Cho phương trình: (m – 1)x + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. 2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6 4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 *) CMR: A = 8m2 – 18m + 9 **) Tìm m sao cho A =27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia 5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m 6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: y1 y  2 3 y1 + y2 = x1 + x2 và 1  y 2 1  y1. 7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0.  x1  Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn :  x 2. 8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1). 2. 2.  x     2    x1  > 7.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tìm m sao cho x1  x 2 2 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO DẠNG SAU *)Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn đẳng thức cho trước. 2 2 Bài 1: Tìm m để phương trình : x  2( m  1 ) x  m  3m 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8. 2 Bài 2: Tìm m để phương trình : x  ( 2 m  1 ) x  4 m  3 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.. ( 2 m  1 ) x 2  2( m  4 ) x  5 m  2 0. có 2 nghiệm x ,x thoả 1 2 Bài 3: Tìm m để phương trình : 2 2 mãn x 1  x 2  2 x 1 x 2  16.. Bài 4. 2 : Tìm m để phương trình: ( m  1 ) x  2 mx  m  1 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn. x1 x 2 5    0. x2 x1 2. mx 2  ( m  4 ) x  2 m 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn 1 2 Bài 5: Tìm m để phương trình: 2( x 12  x 22 )  5 x 1 x 2 0. x 2  ( m  2 ) x  m  5 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn 1 2 Bài 6: Tìm m để phương trình : x 12  x 22  10. x 2  ( m  2 ) x  2 m 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn 1 2 Bài 7: Tìm m để phương trình : x 12  x 22  8. x 2  ( m  3 ) x  3m 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn : Tìm m để phương trình : 1 2 Bài 8 x 12  x 22  10.. Bài 9. 2 : Tìm m để phương trình : x  2( m  2 ) x  4 m  5 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn. x1 x2   1. x2 x1 2 Bài 10: Tìm m để phương trình: ( m  2 ) x  ( 2 m  1 ) x  m  3 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2. 2 Bài 11: Tìm m để phương trình : x  2( m  1 ) x  4 m  3 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 2x1 + x2 = 5.. *) lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m..

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 2 Bài 1: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  2 ) x  2( m  1 ) x  3  m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x  2( m  1 ) x  m  3 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  3 ) x  2( m  1 ) x  m  5 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2. ( 4 m  3 ) x  3( m  1 ) x  2 m  2 0. Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 2 Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x  ( 2 m  1 ) x  m  m  1 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 6: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  1 ) x  2( m  1 ) x  m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.. E . CÁC BÀI TẬP CẦN LƯU Ý TRONG ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP.

<span class='text_page_counter'>(32)</span>