Ôn thi vào lớp 10 _ PT&HPT

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn số ax+b=0 (*) :
a. Nếu a
¹
0 thì (*) có nghiệm duy nhất : x=
- b
a
b. Nếu
0
0
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ỵ
a
b
thì phương trình (*) vô số nghiệm.
c. Nếu
0
0
ì
=
ï
ï

í
ï
¹
ï
ỵ
a
a
thì phương trình (*) vô nghiệm.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
' ' '
ì
+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ỵ
ax by c
a x b y c
(**)
+/ Giải và biện luận hệ pt.
a. Nếu ab’ – ba’
¹
0 thì (**) có nghiệm duy nhất.
b. Nếu
' '
' '
ì

=
ï
ï
í
ï
=
ï
ỵ
ab ba
bc cb
thì (**) vô số nghiệm.
c. Nếu
' '
' '
ì
=
ï
ï
í
ï
¹
ï
ỵ
ab ba
bc cb
thì (**) vô nghiệm.
+/ Hai hệ phương trình tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia
và ngược lại (tức là tập hợp nghiệm của hai hệ bằng nhau). Để biến đổi hệ tương đương
ta nhân hoặc cộng hai vế của phương trình với cùng một số
≠

0.
+/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai phương pháp: phương pháp thế và
phương pháp cộng.
3. Phương trình có dạng bậc hai một ẩn. ax
2
+ bx + c = 0 (***)
+ / Giải và biện luận phương trình.
a/ Nếu a=0 phương trình (***) trở thành phương trình dạng (*).
b/ Nếu a
≠
0 phương trình (***) là phương trình bậc hai một ẩn.
Nếu
∆
= b
2
– 4ac > 0 thì (***) có hai nghiệm phân biệt:
1
2
2
2
b
x
a
b
x
a

− + ∆
=




− − ∆
=


Nếu
∆
= 0 thì phương trình (***) có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
−
= =
Nếu
∆
< 0 thì phương trình (***) vô nghiệm.
c/ Hệ thức Viet và ứng dụng.
Hệ thức Viet: Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) có hai nghiệm
là x
1
, x
2
thì tổng và tích hai nghiệm đó là S= x

1
+x
2
=
b
a
−
; P=x
1
.x
2
=
c
a
.
Tính nhẩm nghiệm: Nếu a+b+c=0 thì x
1
=1 và x
2
=
c
a
Nếu a-b+c=0 thì x
1
=-1 và x
2
=
c
a
−

Nếu biết tổng hai số là S và tích hai số là P thì hai số là nghiệm của pt:
X
2
- SX + P = 0 (điều kiện S
2
-4P
≥
0).
4/ giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gồm các bước sau:
Bước 1: lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thò mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích
hợp với bài toán và kết luận.
B/ CÁC BÀI TOÁN:
1/ Phương Trình Bậc Nhất.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a/ (x-2)
2
-(x+3)
2
=2(x-5)
b/
2 2 1 3 2 6x - = +
c/ 1+3x=
2 2 2x-
d/

1
2 3
1
x
x
+
= +
-
e/
2 3( 1)
5
1
x x
x x
-
+ =
+
f/
2
1 2 1 3
0
2 2 1 2 2
x
x x x x
+
- + =
- + + +

Bài 2: Giải phương trình:
a/

3 5 7x x- - =
b/
3 5x x+ = -
Bài 3: Tìm m để phươnh trình
1
0
1 2
x x
x m x m
+
- =
+ + + +
a/ vô nghiệm.
b/ có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau:
a/ mx+1=m
2
+x
b/
2
3
1 1 1
a x a x a
a a a
+ -
- =
- + -
(a
1¹ ±
)

2/ phương trình bậc hai.
Bài 1: Cho hai phươnh trình x
2
+x+a=0 , x
2
+ax+1=0
Tìm các giá trò của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 2: Cho phương trình: x
2
-97x+a=0 có các nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm
của phương trình x
2
-x+b=0. Hãy tính a.
Bài 3: Cho phương trình x
2
-(2m-3)x+m
2
-3m=0.
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b/ Đònh m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả:
1
<
1
x
<
2
x

< 6.
Bài 4: Cho phương trình: (m+1)x
2
-2(m+2)x +m -3 =0 (có ẩn số là x)
a/ đònh m để phương trình có nghiệm.
b/ đònh m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả:
( ) ( )
1 2
4 1 4 1 18x x+ + =
Bài 5: Cho phương trình: x
2
- (2m+1)x+m
2
+m - 6=0
a/ đònh m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
b/ đònh m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả
3 3
1 2
50x x- =
Bài 6: Các nghiệm x
1
, x
2
của một phương trình bậc hai thoả.

1 2 1 2
1 2 1 2
2 0
( ) 2 1
x x x x
mx x x x m
ì
+ - =
ï
ï
í
ï
- + = +
ï
ỵ
a/ Tìm phương trình bậc hai đã nói.
b/ Với giá trò nào của m thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt đều dương.
Bài 7: Cho hàm số y= f(x) =(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)
a/ giải phương trình f(x)=24
b/ tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số.
3/ hệ phương trình:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2 4
6 7
x y
x y
ì
- =-
ï
ï

í
ï
+ =
ï
ỵ
Tìm m, biết rằng phương trình 2y –x =m có cùng nghiệm với hệ phương trình trên.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
2
7
7 17
4 7
15
5 19
x y x y
x y y
ì
- +
ï
ï
+ =
ï
ï
ï
í
ï
+ -
ï
+ =
ï
ï

ï
ỵ
Bài 3: a. Giải hệ phương trình:
2 5
3 2 18
x y
x y
ì
+ =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ỵ
b.Dùng kết quả trên để giải hệ pt sau:
2 1
0
1 2
3 2
18
1 2
x y
x y
ì
ï
ï
+ =
ï

ï
+ -
ï
í
ï
ï
- =
ï
ï
+ -
ï
ỵ
Bài 4: Tìm m
Ỵ
Z để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất:
2x y
mx y m
ì
+ =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ỵ
Bài 5: Giả sử hệ phương trình sau đây có nghiệm :
ax by c
bx cy a
cx ay b

ì
+ =
ï
ï
ï
ï
+ =
í
ï
ï
+ =
ï
ï
ỵ
chứng minh rằng a
3
+b
3
+ c
3
=3abc
Bài 6: Giải hệ phương trình:
2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
ì
ï
= - +
ï

í
ï
= - +
ï
ỵ
y x x x
x y y y
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
3 3
3
9
ì
- =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ỵ
x y
x y
4. Hệ phương trình chứa căn thức.
Bài 1: Giải phương trình: - 2 4 8 9 18 15+ + + + + = +x x x x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 3x
2
+2x=
2
2 1+ + -x x x

b) X
4
-3x
3
-6x
2
+3x+1=0
Bài 3: Tìm nghiệm tự nhiên x, y, z thoả:
1 1 1
1
ì
ï
- + = - +
ï
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
ï
ỵ
x y z x y z
x y z
Bài 4: Giải phương trình:
2
2 3
3
1

+ -
= +
-
x x
x
x
Bài 5: Cho số x=
3 3
9 4 5 9 4 5+ + -
a. Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phương trình x
3
-3x-18=0
b. Tính x.
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 1. Cho một số gồm hai chữ số. Tìm một đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ
hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược
lại với số đã cho.
Bài 2. Một người đi bộ khởi hành từ vò trí A đi đến vò trí B. Sau đó 5giờ 20phút một
người đi xe đạp bắt đầu từ A đuổi theo người đi bộ với vận tốc nhanh hơn người đi bộ
12km mỗi giờ và cả hai cùng đến B một lúc. Tính vận tốc của người đi bộ biết rằng
đoạn đường AB dài 20km.
Bài 3. Chu vi hình chữ nhật là 28m, và đường chéo là 10m. Tính chiều dài và chiều
rộng của hình chữ nhật.
Bài 4. Người ta hoà vào 4kg chất lỏng A với 3kg chất lỏng B để được một hỗn hợp có
khối lượng riêng là 700 km/m
3
. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng A lớn hơn khối
lượng riêng của chất lỏng B là 200 kg/m
3
. Tính khối lượng riêng của chất lỏng B.

Bài 5. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1h 30ph đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất
chảy trong 15phút và vòi thứ hai chảy trong 20phút thì đầy 1/5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi
chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể?
Bài 6. Trong một cuộc thi đố em, mỗi đội tham gia phải trả lời 12 câu hỏi.
- Mỗi câu trả lời đúng thì được 10 điểm.
- Mỗi câu trả lời sai thì bò trừ đi 3 điểm.
- Mỗi câu hỏi không trả lời được thì được 0 điểm.
Tổng cộng lớp 9A trả lời được 61 điểm. Hỏi đội đã trả lời đúng được bao nhiêu câu?
Trả lời sai bao nhiêu câu? Và không trả không trả lời bao nhiêu câu?
C/ BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm giá trò của m để phương trình:
5(m+3x)(x+1)-4(1+2x)=80 có nghiệm x=2.
Bài 2: Tìm giá trò của m để phương trình:
1 2
5
5 3 2
m x x m x
x
+ + - -
- + = -
(1)
Có nghiệm gấp 6 lần nghiệm của phương trình:
1 1 1
( 1) ( 2) ( 3) 3
2 3 4
x x x+ + + + + =
(2)
Bài 3:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy-3x+4y+8=0
Bài 4: Cho phương trình: x

2
- 8x + m = 0. tìm giá trò của m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a/ x
1
= 3x
2
b/ x
1
2
+ x
2
2
= 50
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm:
(x+2)(x+5) + mx(x + 3) = 0 với mọi m
Bài 6: Với giá trò nào của k thì phương trình x
2
-3kx+k
2
=0 có tổng bình phương các
nghiệm bằng
7
4
.
Bài 7: Cho

4 2 3x = +
và
12 6 3y = -
a/ Chứng minh rằng 3 1x = + và
3 3y = -
b/ Tìm phương trình bậc hai có nghiệm là x,y.
c/ So sánh hai số x và 2y.
Bài 8: cho phương trình bậc hai: x
2
+(m-2)x-(m
2
+2)=0
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm với mọi m.
b/ xác đònh m để hai nghiệm của phương trình thoả hệ thức:
2 2
1 2
10x x+ =

Bài 9: Cho phương trình x
2
-2(m+1)x+m
2
-4m+5=0 (có ẩn số là x)
a/ Đònh m để phương trình có nghiệm.
b/ Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính
2 2

1 2
x x+
theo m.
Bài 10: Cho phương trình bậc hai: x
2
+4x+m+1=0 (1)
a/ Tìm m để (1) có nghiệm kép.