mot so bai giai dang thuc va bat dang thuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bµi 2:. yz xz xy 1 1 1  2 2   0( x, y, z 0) 2 x y z x y z Cho . TÝnh. a) b) (1,5®) V×. 1 1 1 1 1 1   0      x y z z  x y 3. 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1   3      3   3  3. 2 .  3 . 2  3  z z x y x y y   x y x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  3  3  3  3 . .     3  3  3 3. x y z x y  x y x y z xyz xyz xyz xyz yz zx xy 1 1 1  3  3  3 3  2  2  2 3 3 3 3 x y z x y z Do đó : xyz( x + y + z )= 3 C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45. C©u 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 4 Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1 x- y- 6 = 0 x = 7 C©u 2: a. Cho. x y z + + =0 (1) vµ a b c. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A=. a b c + + =2 (2) x y z. x2 y 2 z 2   a 2 b2 c2. b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B =. ab bc ca + 2 2 2+ 2 2 2 2 2 2 a +b −c b + c −a c + a − b. C©u 2: . ( 1,25 ®iÓm) a. Tõ (1)  bcx +acy + abz =0. x2 y2 z2 ab ac bc + 2 + 2 +2 + + =0 ⇒ 2 xy xz yz a b c 2 2 2 x y z abz+acy + bcx + + =4 −2 =4 2 2 2 xyz a b c. (. Tõ (2) . (. ). ). b. . ( 1,25 2®iÓm) Tõ a + b + c = 0  a + b = - c  a2 + b2 –c2 = - 2ab T¬ng tù b + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac . B=. ab bc ca 3 + + =− − 2 ab −2 bc − 2ca 2. Bµi 4 (1®): T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:. A=. x 2 − 2 x +2007 2 2007 x. , ( x kh¸c 0).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bµi 4 (1®):. 2007 x 2 −2 x . 2007+2007 2 2007 x 2 2 2 2 = x −2 x2 . 2007+2007 + 2006 x 2 2007 x 2007 x 2 x − 2007 ¿ ¿ = ¿ ¿ 2006 A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®) 2007 A=. C©u 5 ( 1 ®iÓm) a, Chøng minh r»ng. x 3+ y3 + z 3= ( x + y )3 −3 xy . ( x + y ) + z 3 yz xz xy 1 1 1 + + =0. TÝnh A= 2 + 2 + 2 x y z x y z. b, Cho. C©u 5. a, , Chøng minh 3. 3. 3. 3. x + y + z = ( x + y ) −3 xy . ( x + y ) + z. 3. Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh. b, Ta cã a+b +c=0 th× 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. a +b + c =( a+ b ) − 3 ab ( a+b ) +c =− c −3 ab ( − c )+ c =3 abc (v× a+b +c=0 nªn a+b=− c ) 1 1 1 3 1 1 1 + 3 + 3= . Theo gi¶ thiÕt + + =0. ⇒ 3 x y z x y z xyz khi đó. A=. yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 =xyz 3 + 3 + 3 =xyz × =3 2 xyz x y z x y z x y z. (. ). C©u 2: ( 1 ®iÓm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1  x.y + x + y ( với mọi x ;y) b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A=. x−2 x − x 2 − x −2 3. C©u2: ( 2 ®iÓm ) 1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1  x. y+x+y  x2+y2+1 - x. y-x-y  0  2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0  ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y)  0  (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 0 Bất đẳng thức luôn luôn đúng. C©u4 ( 1 ®iÓm ). Ta cã A =. 1 3 x + ¿2 + 2 4 ¿ x −2 1 1 = 2 = 2 ( x + x +1)(x − 2) x + x +1 ¿.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> VËy Amax  [ ( x+ Amax lµ. 4 3. 1 2 3 ¿ + ¿ min  x+ 2 4. 1 2. =0→x=-. 1 2. khi x = -1/2. Bµi1( 2.5 ®iÓm) a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0 b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm). Cho biÓu thøc: y =. x+2004 ¿2 ¿ ; ( x>0) x ¿. Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó Bµi 1: 3 ®iÓm a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt) VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( ®pCM) b, 1,5 ®iÓm Ta cã: bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bµi 2: 2 §iÓm. §Æt t =. 1 2004 y. Bài toán đa về tìm x để t bé nhất 2 x 2  2.2004 x  20042 x+2004 ¿ ¿ 2004 x Ta cã t = = ¿ ¿ 2 2 x 2004 = = x +2004 +2 + 2+ 2004 x 2004 x. Ta thÊy:. Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng ta có:. x2 + 20042. 2. 2004 .x. DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004 Tõ (1) vµ (2) suy ra: t 4 ⇒ VËy ymax=. 1 1 = 2004 t 8016. ⇒. x 2 +2004 2 ≥2 2004 x. Khi x= 2004. x2 y2 x2 y2    x  y   1  y   x  y   1  x   x 1   1  y . 1.Rót gän P.. (2). VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004.. Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc :. P. (1).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y)  Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.. 3 Bµi 5(1 ®iÓm). Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = 2 . 3 Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2  4 . Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm) MTC : 1.. P.  x  y   x  1  1  y . x2  1  x   y2 1  y   x 2 y2  x  y .  x  y   1  x  1  y . . P  x  y  xy .Víi x  1; x  y; y 1.  x  y   1  x   1  y   x  y  xy   x  y  1  x  1  y  thì giá trị biểu thức đợc xác. định. 2. §Ó P =3.  x  y  xy 3  x  y  xy  1 2.   x  1  y  1  2 C¸c íc nguyªn cña 2 lµ : 1; 2. Suy ra:.  x  1  1  x 0  x  1 1  x 2      y  1  2  y  3  y  1 2  y 1 (lo¹i).  x  1 2  x 3  x  1  2  x  1      y  1 1  y 0  y  1  1  y  2 (lo¹i) VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3. Bµi 5 (1®iÓm) 2. 1 1  2 1 2 2  a  2  0  a  a  4 0  a  4 a  Ta cã:  1 1 b 2  b c 2  c 4 4 T¬ng tù ta còng cã: ; Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:. 3 3 3 a  b  c a b c  a2  b2  c 2  4 2 nªn: 4 . V× 1 DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = 2 . a2  b2  c2 . Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc) C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt  a < b + c  a2 < ab + ac.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b2 < ab + bc c2 < ca + cb Cộng hai vế bất đẳng thức ta đợc (đpcm) Bµi 3: (2®) a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc Tng tù. M=. 1 1 1 + + 1+ x + xy 1+ y+ yz 1+ z+ zx. b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chøng minh r»ng: 0,2® Bµi 3: a) V× xyz = 1 nªn x. 1 1 1 + + a+b − c b+c −a c+ a −b 0, y. 0, z. 1 1 1 + + a b c. 0. 1 z z = = 1+ x + xy z (1+ x+ xy ) z +xz +1 1 xz xz = = 1+ y + yz (1+ y+ yz)xz xz +1+ z z xz 1 M= + + =1 z + xz+1 xz +1+ z 1+ z + xz b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0. 1 1 4 + ≥ víi x,y > 0 x y x+ y 1 1 4 2 + ≥ = a+b − c b+c −a 2 b b 1 1 2 + ≥ b+c − a c+ a −b c 1 1 2 + ≥ c+ a −b a+b − c a. Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c C©u 4: ( 1,5 ®iÓm) Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :. 1 a 1 b 2 2 x = 1 a  a ; y = 1 b  b C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ. 1 1  a  a2 a2 1 1 1 1  1  1  1  1  1 a 1 1 1 1 y x 1 a 1 a   2 2 a a a b2 b 1 1 1 1  2  2 b vµ a b . VËy x < y. V× a> b > 0 nªn a C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ta cã : a2+b2+c2 – ab – ac - bc = 0 Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1 ®iÓm). (a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0 §iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi. a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm). C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh ax –b> bx+a. a+ b a− b a+ b * NÕu a<b th× x< a− b. C©u 4: * NÕu a> b th× x>. * NÕu a=b th× 0x> 2b + Nghiệm đúngvới mọi x nếu b<0 + V« nghiÖm nÕu b 0 C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2 C©u 4: M = 18 khi a = b = … Bµi 4. Cho a  4; ab  12. Chøng minh r»ng C = a + b  7 Bµi 4. Ta cã: C = a + b = (. 3 1 3 ab 1 3⋅12 1 a+b ¿+ a ≥2 + a≥2 + ⋅4=7 (§PCM) 4 4 4 4 4 4. √. C©u 4:. √. Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n: a = √ 1969+ √ 1971 ; b = 2 √ 1970 C©u 4: (1.5®) Ta cã: 19702 – 1 < 19702. ⇔. 1969.1971 < 19702. ⇔ 2 √1969 .1971<2 . 1970 (*). Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*) ta cã:. 2. 1970+2 √1969 . 1971< 4 . 1970 2 2 √ 1970 ¿ ⇔ √ 1969+ √1971 ¿2 <¿ ¿ ⇔ √ 1969+ √1971<2 √ 1970 VËy: √ 1969+ √ 1971<2 √ 1970. Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) 8 Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 Do a, b, c lµ c¸c sè d¬ng nªn ta cã; 2. 2. 0a  0  a 2  1 2 a  a 2  2a 1  a 2  1 4a. (a – 1) T¬ng tù (b + 1)2 4b (2). . . (1).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> (c + 1)2 4c (3) Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã: (b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 64abc (v× abc = 1) ((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 64 (b + 1)(a – 1)(c + 1) 8 Bµi 1:(2 ®iÓm) Cho A =. 1 1 1  2  2 2 2 2 2 b  c -a c  a - b a  b2 - c2 2. Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0. Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0  b + c = - a. B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2  b2 + 2bc + c2 = a2  b2 + c2 - a2 = -2bc c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab. T¬ng tù, ta cã:. 1 1 1 -(a+b+c) = =0  A = 2bc 2ca 2ab 2abc (v× a + b + c = 0) -. VËy A= 0. Câu 2: (2đ). 1 1 1 y +z Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và x + 1 1 1   x2 y2 z2 Tính giá trị của biểu thức P =. =. 3. Câu 4: (3đ) a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n  N* b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. x y z   yz zx xy P= 1 1 1 2 1  1  1   ) 2 y2 z2 x y z = x Có (. 1 1 1   ) + 2( xy xz yz. zyx ( 3 ) = p + 2 xyz vậyP+2=3 2. suy ra P = 1. a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3  B chia hết cho 3  A =3B chia hết cho 9. a+b+ c 2  a b c a  bc a b  c  x= 2 2 2 ;y= ; z=  a b c a  b c a b  c   2a 2b 2c P= = 1 b c a c a b ( 1    1    1   ) 2 a a b b c c = 1 b a c a b c 3 ( 3  (  )  (  )  (  )) 2 a b a c c b 2 3 Min P = 2 ( Khi và chỉ khi a=b=c  x=y=z b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c. . x+y+z =. Câu 1: (4điểm) b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0.. 1 1 1 3  3  3  3 a b c abc. Chứng minh : Câu 2: (3điểm). a. Tìm x,y,x biết : Câu 4: (2điểm) Cho a,b,c>0. x 2 y2 z2 x 2  y2  z2    2 3 4 5. b  c  a    a   b   c   ac   ba   bc  = 8 khi a = b = c Chứng minh bất đẳng thức :  = 1. Câu 6(2điểm) Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ. Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0.. ab  ac  bc 0 abc.  ab  ac  bc 0 .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> . 1 1 1   0 a b c. 1 1 1 x; y; z b c Đặt : a.  đpcm x 2 y2 z2 x 2  y2  z 2 x 2 x 2 y2 y2 z2 z2          2 3 4 5 2 5 3 5 4 5. chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: x3+y3+z3=3xyz : =0. 3x 2 2 y 2 z 2   0  x y z 10 15 20 . b  c  a    a   b   c   ac   ba   bc  = đặt A=  . c b 2 1   a 2    2  c   ab   b ac a  bc   a 2 c2 a b2 b c 1 abc    2   2  2  c b b a c a abc = 1   a 2 c   c2 b   b2 a    abc     2    2    2  abc    c a   b c   a b  = 1 2x tacó x+ x >0 Nên A 8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 có 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b) Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c) 1+c2=(b+c)(a+c).  (1  a 2 )(1  b 2 )(1  c 2 )   a  b  a  c  b  c  . 2. đpcm. Đề 24 Bài 2: (3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Bài 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3 Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1 Nếu abc >0 ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 A=(a+b+c+1)2+abc 0 (1).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Nếu: abc<0 ta có: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc) Vì ì a2+b2+c2=1nên -1 a ; b ; c ≤1 nên (1+a)(1+b)(1+c) 0 Và -abc 0 nên A 0 (2) Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) 0 Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có (x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1 Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1) Câu 3: (5,0 điểm). a b c x y z   0   1 x y z a b c a) Cho và . 2 2 2 x y z  2  2 1 2 b c Chứng minh rằng : a . a b c ayz+bxz+cxy   0  0 xyz Từ : x y z  ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z   1  (   ) 2 1 a b c Ta có : a b c x2 a2 x2  2 a x2  2 a x2  2 a . y2 b2 y2  2 b y2  2 b y2  2 b . z2 c2 z2  2 c z2  2 c z2  2 c . xy xz yz   ) 1 ab ac bc cxy  bxz  ayz 2 1 abc cxy  bxz  ayz 2 1 abc  2(. 1(dfcm). Câu1.. a b c   1 b. Cho b  c c  a a  b . 2 2 2 a b c   0 Chứng minh rằng: b  c c  a a  b.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> a b c   1 Nhân cả 2 vế của: b  c c  a a  b với a + b + c; rút gọn  đpcm Câu 4. a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011. 1 1 1   9 a b c. b c 1  a 1  a  a  a c 1  1   b b b a b 1  c 1  c  c a. Từ: a + b + c = 1   1 1 1  a b a c  b c    3             a b c b a  c a  c b 3  2  2  2 9 1 Dấu bằng xảy ra  a = b = c = 3 . Câu 4. a. Cho 3 số dương a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng: Từ: a + b + c ≤ 1  1 ≥ a + b + c. 1 1 1   9 a b c. 1 a+b+ c b c ≥ = 1+ + a a a a 1 a+b+ c a c ≥ =1+ + b b b b 1 a+ b+c b c ≥ = 1+ + c c a a 1 1 1 a b a c b c + + ≥ 3+ + + + + + ≥ 3+2+2+2=9 a b c b a c a c b C©u 3 : (2 ®iÓm) b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> A=. a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c. b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0. y+z x+ z x+ y ; ; b= ; c= 2 2 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z Thay vào ta đợc A= + + = ( + )+( + )+( + ) 2x 2 y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A (2+2+2) hay A 3 2 Từ đó suy ra a=. [. ]. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . C©u 5 : (1®) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng. P. 1 1 1 1  2  4  ...  1 2 2 3 4 1002. Đáp án và biểu điểm. 1 1 1 1  2  4  ...  2 2 3 4 1002 1 1 1 1     ...  2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1     ...  1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1     ...   2 2 3 99 100 1 99 1   1 100 100 P. Bài 1: (4 điểm).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 1: (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = =. a).   x  y  z  3  x 3    y3  z 3     . 2.  y  z    x  y  z    x  y  z  x  x 2    y  z   y 2   y  z   3x 2  3xy  3yz  3zx  = 3 =  y  z   x  x  y   z  x  y    x  y  y  z  z  x  . =3 b). x. 4. x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =.  x    2010x 2  2010x  2010  =. x. 2. yz  z 2 . x  x  1  x 2  x  1  2010  x 2  x  1.  x  1  x  x  2010 . =. 2. .. 1 1 1 + + =0 . x y z yz xz xy A= 2 + 2 + 2 x + 2 yz y +2 xz z +2 xy. Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và Tính giá trị của biểu thức: . Bài 2(1,5 điểm):. 1 1 1 + + =0 x y z. ⇒. xy+ yz+ xz =0 ⇒ xy+ yz+ xz=0 xyz. ⇒ yz = –xy–xz (. 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A=. yz xz xy + + ( x − y )(x − z) ( y − x)( y − z ) (z − x )( z − y). ( 0,25điểm ). Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 2 (3 điểm) Cho 2. 2.  a  b   b  c   c  a . 2. 4. a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc . ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chứng minh rằng. Bài 2 (3 điểm). a=b=c .. Biến đổi đẳng thức để được. a2 +b 2 −2 ab+ b2 +c 2 − 2 bc+ c 2+ a2+ 2ac=4 a 2+ 4 b 2+ 4 c 2 − 4 ab −4 ac − 4 bc Biến đổi để có (a2 +b 2 − 2ac )+(b2 + c2 −2 bc)+(a 2+ c2 −2 ac)=0 a − c ¿2=0 2 Biến đổi để có b −c ¿2 +¿ (*) a− b ¿ +¿ ¿ 2 2 2 Vì a −b ¿ ≥ 0 ; b − c ¿ ≥ 0 ; a − c ¿ ≥ 0 ; với mọi a, b, c ¿ ¿ ¿ 2 2 nên (*) xảy ra khi và chỉ khi a −b ¿ =0 ; b − c ¿ =0 và ¿ ¿ a − c ¿2=0 ; ¿ Từ đó suy ra a = b = c. C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a,. a b c + + =1 biÕt abc=1 ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1. b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 2. 2. 2. a b c c b a + + ≥ + + b2 c 2 a2 b a c a b c a, (1®iÓm) + + =¿ ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1 ac abc c + 2 + abc+ ac+c abc +abc+ ac ac+c +1 ac abc c abc+ ac+1 = + + = =1 . 1+ ac+c c +1+ac ac+c +1 abc+ ac+1 b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= c,. -2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2. a b c + + =¿ ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1 ac abc c + 2 + abc+ ac+c abc +abc+ ac ac+c +1. a, (1®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ac abc c abc+ ac+1 + + = =1 1+ ac+c c +1+ac ac+c +1 abc+ ac+1 b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= =. -2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi x=y. a2 b2 a b a ; + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 b c c b c 2 2 c b c b b + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 a c a a c. a2 c 2 a c c ; + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 b a b b a. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:. 2(. a2 b 2 c 2 a c b + 2 + 2 )≥2( + + ) 2 c b a b c a. ⇒. a2 b2 c 2 a c b + 2+ 2≥ + + 2 b c a c b a. C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1.. 2  xy  2  x y  3  2 2 Chøng minh r»ng: y  1 x  1 x y  3 = 0 y 3  1  y  1  y 2  y  1  x  y 2  y  1 3. v× xy  0  x, y  0  x,. Ta cã y  0  y-1 0 vµ x-1  0. . x 1  2 y  1 y  y 1 3. x 3  1  x  1  x 2  x  1  y  x 2  x  1  . y 1  2 x  1 x  x 1 3. x y 1 1  3  2  2 y  1 x  1 y  y 1 x  x 1 3. 2  x2  x  1 y 2  y 1   x  y   2 xy   x  y   2       2  x 2 y 2   x  y  2  2 xy  xy  x  y   xy   x  y   x  x  1  y 2  y  1     2  xy  2  4  2 xy x y  2 2  3  3  2 2 0 x y 3 y  1 x  1 x y 3. Bài 2: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> b. Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời: 2. 2. 2. 3. 3. 3. x + y + z = 1: x + y + z = 1 và x + y + z = 1. Tính tổng: S = x. 2009 3. +y. 2010. 3. 3. +z. 2011 3. Ta có: (x + y + z) = x + y + z + 3(x + y)(y + z)(z + x) kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0  Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0 Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k : x + y + z = 1  z = 1, kết hợp với đ/k : x 2. 2. 2. + y + z = 1  x = y = 0. Vậy trong 3 số x,y,z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1, 2009. 2010. 2011. S=x +y +z =1 Nên tổng S luôn có giá trị bằng 1 Bài 1: (3,5đ). a, Với giá trị nào của n thì.  n  5  n  6  6n. với n   .. 5. b, CMR với n   thì: n  n30 .. n  13 c, Tìm số tự nhiên n để phân số n  2 tối giản. Bài 2: (3đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:. 4a b   a 2  b 2  c 2  2 2. a,. 4a 2b 2   a 2  b 2  c 2  2. 2.  2ab    a 2  b 2  c 2 . 2.  2ab  a 2  b2  c 2   2ab  a 2  b2  c 2  2 2  c 2   a  b     a  b   c 2      a  b  c   a  b  c   c  a  b   c  a  b . b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x 2009 + y 2009 + z 2009 =32010 Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng:. 1 1 1   a  b  c Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: a b c th× ta có bất đẳng thức a  b  c 3abc Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 b) 1,0 ®iÓm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx  2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> . (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0. x  y 0   y  z 0 z  x 0  x y z   x2009 = y2009 = z2009 Theo bµi ra ta cã. x. 2009. +y. 2009. +z. 2009. =3. 2010. (2). Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010  z2009 = 32009 Vậy x = y = z = 3 Bµi 3. Chứng minh rằng:. . z=3. 1 1 1   a  b  c Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: a b c th× ta có bất đẳng thức a  b  c 3abc 1 1 1 bc  ca  ab   a  b  c a  b  c  abc Ta cã a b c  ab  bc  ca (a  b  c) abc (*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0) 2 2 2 2 2 2 Mµ a  b 2ab; c  b 2cb ; a  c 2ac nªn céng theo vÕ 3 bÊt 2 2 2 đẳng thức này ta đợc 2( a  b  c ) 2( ab  bc  ca).  a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca ) (1) 2 2 2 2 L¹i cã (a  b  c ) a  b  c  2(ab  bc  ca ) (2) 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã ( a  b  c) 3( ab  bc  ca ) (**) 2. Tõ (*) vµ(**) ta cã (a  b  c) 3abc( a  b  c)  a  b  c 3abc (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0) Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 §Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai số 3x và y ta có: (3x + y)2. (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2. 1 10. Hay 4a2 + 25b2. 1 . 10 DÊu b»ng xÈy ra <=>. 3 1 = x y. (2) Tõ (1) vµ (2) =>. b=−. <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b. 1 3 ; a= 50 20.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã: (a+b+c)(. 1 1 1 + + ¿≥9 a b c. Ta cã:. 1 1 1 a a b a b c b c a a b a c c b = 3+( + )+( + )+( + ) b a c a b c x y Mµ: + ≥ 2 (B§T C«-Si) y x Do đó A 3+2+2+2=9. Vậy A 9. b c c c a b. A= (a+ b+c )( + + )=1+ + + +1+ + + +1. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:. 1 1 2   1  x2 1  y2 1  xy Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1® Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.. b). 1 1 2   1  x2 1  y 2 1  xy. (1).  1 1   1 1         0 2 2 1  x 1  xy 1  y 1  xy     x  y  x y x  y   0  1  x 2   1  xy   1  y 2   1  xy  2. .  y  x   xy  1 0 2   2 2  1  x   1  y   1  xy . x 1; y 1. xy 1. xy  1 0. V× => => => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> a b c x y z   0   1 b) Cho a b c và x y z . Chứng minh rằng : 2 2 2 x y z  2  2 1 2 a b c ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span>