Luận văn tốt nghiệp các phương pháp giải tích giải bài toán phương trình vật lý toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
----

HUỲNH TRÚC PHƯƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
GIẢI BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ - TỐN
Chun ngành: Sư phạm Vật lý

TP. Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
GIẢI BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ - TỐN

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trúc Phương
Người hướng dẫn khoa học: ThS. Nguyễn Vũ Thụ Nhân

TP. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2019

i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân – người đã tận tình giúp đỡ
và hướng dẫn tơi trong q trình học tập, nghiên cứu và hồn thiện khóa luận này.
Tơi xin chân thành cảm ơn Trường, Phịng đào tạo, các thầy cơ trong khoa Vật lý,
trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực hiện
khóa luận này.
Qua đây, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã
giúp đỡ, động viên, hỗ trợ tơi hết mình trong thời gian thực hiện khóa luận.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019
SINH VIÊN

Huỳnh Trúc Phương


ii

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... i
MỤC LỤC ...................................................................................................................ii
DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................................... v
DANH MỤC HÌNH VẼ .............................................................................................. vi
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
I.

Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1

II. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2
III. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................................ 2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 2

V. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2
VI. Cấu trúc đề tài .................................................................................................... 2
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU .................................. 4
1.1. Một số hàm đặc biệt ........................................................................................... 4
1.1.1.

Hàm delta Dirac .................................................................................... 4

1.1.2.

Hàm Heaviside ...................................................................................... 4

1.1.3.

Hàm Bessel ........................................................................................... 4

1.1.4.

Đa thức Legendre .................................................................................. 5

1.2. Các phép biến đổi tích phân ............................................................................... 6
1.2.1.

Phép biến đổi Fourier ............................................................................ 6

1.2.2.

Phép biến đổi Fourier Sin và Cos ........................................................... 9

1.2.3.

Phép biến đổi Fourier phức .................................................................... 9

1.2.4.

Phép biến đổi Laplace.......................................................................... 10

Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT
LÝ – TỐN ............................................................................................................... 15
2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN ........................................................................ 15
2.1.1.

Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 15

2.1.2.

Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng ......... 15

2.1.2.1. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do .................................. 15
2.1.2.2. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức ......................... 22


iii
2.1.3.

Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt ........ 25

2.1.3.1. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn ......................... 25
2.1.3.2. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn ............................... 31
2.1.4.

Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace ............... 34

2.1.5.

Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác ........................................ 38

2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT ................................................. 44
2.2.1.

Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 44

2.2.2.
sóng

Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền
............................................................................................................ 44

2.2.2.1. Truyền sóng trên dây dài vơ hạn ...................................................... 44
2.2.2.2. Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn ................................................ 46
2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN ...................................................... 48
2.3.1.

Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 48

2.3.2.
tốn

Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý –
............................................................................................................ 48

2.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ..................................................................... 54
2.4.1.

Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 54

2.4.2.

Hàm Green .......................................................................................... 54

2.4.3.

Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian......... 56

2.4.4.
Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng khơng thuần nhất trong
không gian ba chiều ............................................................................................ 60
2.4.5.
Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell và bài tốn phụ thuộc
vào thời gian ....................................................................................................... 62
Chương 3. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC
PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TỐN ......................................................................... 68
3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN ...................................................... 68
3.1.1.

Giải các bài tốn truyền sóng ............................................................... 68

3.1.2.

Giải các bài tốn truyền nhiệt .............................................................. 75

3.1.3.

Giải các bài toán Laplace ..................................................................... 81

3.1.4.

Giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác ........................................... 88

3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT ............................... 98
3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN .................................. 101


iv
3.4. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ................................................. 115
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ................................................................. 126
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 127


v
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace ................................................................................ 13
Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng .................................................................. 14


vi
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Chu tuyến l  L trong mặt phẳng phức ........................................................ 12
Hình 2.1. Đồ thị hàm số y  u ( x, t ) ........................................................................... 100

1
MỞ ĐẦU
I.

Lí do chọn đề tài
Trong vật lý, việc giải các phương trình đạo hàm riêng như: phương trình truyền

sóng, phương trình truyền nhiệt,… mang lại ý nghĩa quan trọng. Các nhà vật lý biết được
dao động của dây, dao động của sóng nước,... nhờ việc giải phương trình truyền sóng,
biết sự biến thiên của nhiệt độ theo thời gian trong một miền cho trước nhờ việc giải
phương trình truyền nhiệt,...[7],[5]. Để giải các phương trình này, các nhà vật lý thường
sử dụng một số phương pháp toán học: phương pháp số, phương pháp giải tích. Phương
pháp số có thể giải được nhiều bài toán phức tạp, nhưng chỉ giải ra nghiệm gần đúng [4].
Cịn phương pháp giải tích giải ra nghiệm một cách chính xác nhưng trở nên khó khăn
đối với các bài tốn phức tạp [3]. Do đó, phương pháp giải tích thường được sử dụng để
giảng dạy cho sinh viên vì các bài tốn vật lý trong chương trình học của sinh viên khơng
q phức tạp.
Hiện nay, ở nhiều trường đại học, sinh viên chuyên ngành vật lý được học các
phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý tốn: phương trình truyền sóng,
phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace. Mỗi loại phương trình có nhiều dạng
khác nhau: phương trình truyền sóng trên dây dài hữu hạn và vơ hạn, truyền sóng trên
dây dao động cưỡng bức; phương trình truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn chứa nguồn
và khơng chứa nguồn, phương trình Laplace,... Các phương pháp giải tích thường được
sử dụng để giải các phương trình này là phương pháp tách biến và phương pháp đa thức
D’Alembert. Hai phương pháp này được dùng phổ biến vì khơng địi hỏi sinh viên biết
nhiều kiến thức tốn phức tạp. Ngồi ra cịn có các phương pháp tìm ra nghiệm dễ dàng
hơn nhưng khá nặng về kiến thức tốn như phương pháp biến đổi tích phân, phương
pháp hàm Green. Do có nhiều dạng phương trình, nhiều phương pháp giải tích để giải
chúng nên việc hệ thống lại các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý tốn

là rất cần thiết. Nhờ đó, sinh viên có thể xâu chuỗi lại kiến thức đã học, biết được thêm
các phương pháp mới, giúp cho việc học trở nên dễ dàng hơn.
Vì vậy, nhằm đáp ứng nhu cầu trên, tơi đã hệ thống lại các phương pháp giải tích
để giải các bài tốn phương trình vật lý - tốn trong đề tài này.


2
II.

Mục đích nghiên cứu
Đề tài hướng đến hai mục đích sau:
 Đưa ra được hệ thống các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm
riêng ứng dụng rộng rãi trong vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình
truyền nhiệt, phương trình Laplace.
 Đưa ra hệ thống bài giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng đã nói ở trên
bằng các phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức
D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green.

III.

Đối tượng nghiên cứu
 Các bài toán đạo hàm riêng ứng dụng trong vật lý.
 Các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán đạo hàm riêng trong vật lý.

IV.

Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu các bài tốn đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý thơng qua các giáo
trình, sách, các tài liệu liên quan.
 Phân tích những ưu điểm, nhược điểm của các phương pháp giải tích áp dụng giải

các bài toán vật lý – toán.

V.

Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật

lý - tốn thường gặp: phương trình truyền sóng trên dây, phương trình truyền nhiệt trên
thanh, phương trình Laplace,…
VI.

Cấu trúc đề tài

Mở đầu: Phần này tơi trình bày tổng quan về đề tài nghiên cứu, bao gồm: lí do chọn đề
tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên
cứu và cấu trúc đề tài.
Chương 1. Cơ sở lý thuyết của đề tài nghiên cứu.
Trong chương này, tơi trình bày một số hàm đặc biệt được đề cập tới trong đề tài
và các phép biến đổi tích phân để làm cơ sở cho phương pháp biến đổi tích phân trong
chương 2.


3
Chương 2. Các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý – tốn.
Trong chương này, tơi trình bày về các phương pháp giải tích giải các phương trình
vật lý toán, cụ thể gồm: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức d’Alembert,
phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green.
Chương 3. Áp dụng các phương pháp giải tích giải phương trình vật lý - tốn.
Trong chương này, tơi trình bày hệ thống giải các bài tập phương trình đạo hàm
riêng trong vật lý theo từng phương pháp giải tích đã đề cập trong chương 2.

Kết luận và hướng phát triển


4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
1.1.

Một số hàm đặc biệt

1.1.1.

Hàm delta Dirac

Trong vật lý, hàm delta Dirac δ(x) thường được dùng để mô tả các khái niệm như:
mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm,...Hàm delta Dirac được định nghĩa bởi:
0, 𝑥 ≠ 0
∞, 𝑥 = 0

(1.1.1)

𝛿 (𝑥 )𝑑𝑥 = 1

(1.1.2)

𝛿 (𝑥 ) = {
và hàm này phải thoả mãn đẳng thức:
+∞

∫
−∞

Hàm delta Dirac có tính chất như sau: Với mọi hàm 𝑓(𝑥) liên tục tại 𝑥 = 𝑥0 thì:
+∞

∫

𝛿 (𝑥 − 𝑥0 )𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥0 ).

(1.1.3)

−∞

1.1.2.

Hàm Heaviside

Hàm Heaviside H(t), còn gọi là hàm bậc thang đơn vị, được định nghĩa như sau:
𝐻 (𝑡 ) = {

0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 > 0

(1.1.4)

Định nghĩa trên cho ta biết hàm H(t) là một hàm không liên tục, nhận giá trị 0 khi
đối số t âm và nhận giá trị 1 khi đối số t dương. Hàm Heaviside thường được dùng
trong việc nghiên cứu các mạch điện, xử lý các tín hiệu,...
1.1.3.

Hàm Bessel

Trong các bài toán vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, ta thường gặp phương
trình có dạng sau:
𝑥2

𝑑2𝑦
𝑑𝑦
+𝑥
+ (𝑥 2 − 𝑚2 )𝑦 = 0
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥

(1.1.5)

Phương trình (1.1.5) gọi là phương trình Bessel bậc m. Nghiệm của phương trình
này có dạng hàm Bessel.
Hàm Bessel loại 1 theo biến x  R , bậc m, được định nghĩa bằng chuỗi luỹ thừa
sau:


5
+∞

𝐽𝑚 (𝑥 ) = ∑
𝑘=0

(−1)𝑘
𝑥 2𝑘+𝑚
( )

𝑘! (𝑚 + 𝑘 )! 2

(1.1.6)

Hàm Bessel loại 2 liên hệ với hàm Bessel loại 1 theo biểu thức:
𝑌𝑚 (𝑥 ) =

𝐽𝑚 (𝑥 ) cos(𝑚𝜋) − 𝐽−𝑚 (𝑥)
sin(𝑚𝜋)

(1.1.7)

trong đó:
+∞

𝐽−𝑚 (𝑥 ) = ∑
𝑘=0

(−1)𝑘
𝑥 2𝑘−𝑚
( )
𝑘! (−𝑚 + 𝑘 )! 2

Nếu phương trình (1.1.5) có bậc m nguyên, nghiệm tổng quát của nó có dạng:
𝑦 = 𝐴𝐽𝑚 (𝑥 ) + 𝐵𝑌𝑚 (𝑥)

(1.1.8)

Ngược lại, nếu phương trình (1.1.5) có bậc m khơng ngun, nghiệm tổng qt của
nó có dạng:

𝑦 = 𝐴𝐽𝑚 (𝑥 ) + 𝐵𝐽−𝑚(𝑥)

(1.1.9)

với A, B là các hệ số.
1.1.4.

Đa thức Legendre

Trong các bài toán Laplace trong hệ toạ độ cầu, ta thường gặp các phương trình có
dạng:
(1 − 𝑥 2 )

𝑑2𝑦
𝑑𝑦
−
2𝑥
+ 𝑛(𝑛 + 1)𝑦 = 0, 𝑥 ∈ (−1,1), 𝑛 ≥ 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥

(1.1.10)

gọi là phương trình Legengre. Nghiệm của phương trình này có dạng đa thức Legendre.
Đa thức Legendre bậc n, ký hiệu là 𝑃𝑛 (𝑥), được cho bởi biểu thức sau:
1 𝑑 𝑛 (𝑥 2 − 1)𝑛
𝑃𝑛 (𝑥 ) =
, 𝑛 = 0,1,2, …
𝑛! 2𝑛
𝑑𝑥 2

Một vài giá trị bậc nhỏ của đa thức Legendre:
𝑃0 (𝑥 ) = 1
𝑃1 (𝑥 ) = 𝑥

(1.1.11)


6
1
(3𝑥 2 − 1)
2
1
𝑃3 (𝑥 ) = (5𝑥 3 − 3𝑥)
2
𝑃2 (𝑥 ) =

Khi giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, nếu nghiệm tổng quát của nó
dưới dạng chuỗi chứa đa thức Legendre, để tìm hệ số của chuỗi, chẳng hạn ta có
+∞

𝑓 (𝑥 ) = ∑ 𝐴𝑛 𝑃𝑛 (𝑥)

(1.1.12)

𝑛=0

với f(x) là một hàm đã biết, thì hệ số 𝐴𝑛 sẽ có dạng sau:
2𝑛 + 1 1
∫ 𝑓(𝑥 )𝑃𝑛 (𝑥 )𝑑𝑥
𝐴𝑛 =

2
−1
1.2.

(1.1.13)

Các phép biến đổi tích phân

1.2.1.

Phép biến đổi Fourier

Cho 𝑓𝑇 (𝑡) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Chuỗi Fourier của hàm 𝑓𝑇 (𝑡) có dạng:
+∞

𝑎0
𝑓𝑇 (𝑡) = + ∑[𝑎𝑛 cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝑏𝑛 sin(𝜔𝑛 𝑡)]
2

(1.2.1)

𝑛=1

trong đó n là các số ngun khơng âm; 𝜔𝑛 =

2𝑛𝜋
𝑇

và các hệ số 𝑎0 , 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 được xác định

như sau:
𝑇

2 2
𝑎0 = ∫ 𝑓𝑇 (𝑡)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2

𝑎𝑛 =

{

𝑏𝑛 =

Thay 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 , 𝜔𝑛 vào 𝑓𝑇 (𝑡):

𝑇
2

2
∫ 𝑓 (𝑡) cos(𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 −𝑇 𝑇
2
𝑇
2

2
∫ 𝑓 (𝑡) sin(𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 −𝑇 𝑇
2

7
𝑇

1 2
⇒ 𝑓𝑇 (𝑡) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑡)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2

𝑇

+∞

2
2
+ ∑ [cos 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos(𝜔𝑛 𝑣) 𝑑𝑣
𝑇
𝑇
−
𝑛=1

(1.2.2)

2

𝑇
2

+ sin 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin(𝜔𝑛 𝑣)𝑑𝑣 ]

−

𝑇
2

Mặt khác ta có:
2(𝑛 + 1)𝜋 2𝑛𝜋
−
𝑇
𝑇
2𝜋
2 ∆𝜔
⇔ ∆𝜔 = 𝜔𝑛+1 − 𝜔𝑛 =
⇔ =
𝑇
𝑇
𝜋
𝜔𝑛+1 − 𝜔𝑛 =

Do đó, 𝑓𝑇 (𝑡) được viết lại dưới dạng sau:
𝑇

1 2
𝑓𝑇 (𝑡) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑡)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2

𝑇

+∞

2
1
+ {∑ [cos 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos(𝜔𝑛 𝑣) 𝑑𝑣∆𝜔
𝑇
𝜋
−
𝑛=1

(1.2.3)

2

𝑇
2

+ sin 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin(𝜔𝑛 𝑣)𝑑𝑣∆𝜔]}
𝑇
−2

Biểu thức (1.2.3) đúng với T bất kỳ nhưng T phải có giá trị hữu hạn. Bây giờ ta xét
𝑇 → +∞ và giả sử rằng kết quả thu được là một hàm khơng tuần hồn:
𝑓 (𝑡) = lim 𝑓𝑇 (𝑡)
𝑇→+∞

Hàm này khả tích trên trục t, nghĩa là tồn tại tích phân
+∞

∫
−∞

|𝑓 (𝑡)|𝑑𝑡


8
thì khi 𝑇 → +∞ ⇒

1
𝑇

→ 0, số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.2.3) bằng 0. Mặt khác,

khi 𝑇 → +∞ thì ∆𝜔 =

2𝜋
𝑇

→ 0, chuỗi vơ hạn trong (1.2.3) trở thành tích phân với cận từ

0 đến ∞.
+∞
+∞
1 +∞
⇒ 𝑓𝑇 (𝑡) = ∫ [cos 𝜔𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣 + sin 𝜔𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣 ] 𝑑𝜔
𝜋 0
−∞
−∞

Ta đặt:
1 +∞

𝐴(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣
𝜋 −∞
1 +∞
𝐵(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣
𝜋 −∞
{

(1.2.4)

+∞

⇒ 𝑓(𝑡) = ∫

[𝐴(𝜔) cos 𝜔𝑡 + 𝐵(𝜔) sin 𝜔𝑡 ]𝑑𝜔

(1.2.5)

0

Biểu thức (1.2.5) chính là biểu diễn Fourier của hàm 𝑓(𝑡). Tuy nhiên khơng phải
bất kỳ hàm nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier. Nếu 𝑓(𝑡) là hàm liên
tục trên từng đoạn, có đạo hàm trái và phải tại mọi điểm, đồng thời tồn tại tích phân
+∞

|𝑓 (𝑡)|𝑑𝑡

∫
−∞

thì hàm 𝑓(𝑡) có thể biểu diễn bằng tích phân Fourier. Tại điểm 𝑓(𝑡) bị gián đoạn, giá trị

của tích phân Fourier sẽ bằng với trung bình giới hạn trái và phải của 𝑓(𝑡) tại điểm đó.
Nếu 𝑓(𝑡) là hàm chẵn :
1 +∞
𝐵(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣 = 0
𝜋 −∞
2 +∞
𝐴(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣
𝜋 0
{
+∞

⇒ 𝑓(𝑡) = ∫
0

Nếu 𝑓(𝑡) là hàm lẻ :

𝐴(𝜔) cos 𝜔𝑡 𝑑𝜔

(1.2.6)


9
1 +∞
∫ 𝑓 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣 = 0
𝜋 −∞ 𝑇
2 +∞
𝐵(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣
𝜋 0
{
𝐴(𝜔) =

+∞

⇒ 𝑓 (𝑡) = ∫

𝐵 (𝜔) sin 𝜔𝑡 𝑑𝜔

(1.2.7)

0

1.2.2.

Phép biến đổi Fourier Sin và Cos

Cho hàm 𝑢(𝑥, 𝑡) xác định ∀ 𝑥 ∈ (0, +∞), ∀ 𝑡 ≥ 0. Biến đổi Fourier Sin của hàm
𝑢(𝑥, 𝑡) theo biến x được xác định bởi:
+∞

ℱ𝑠 (𝑢 (𝑥, 𝑡)) = 𝒰𝑠 (𝑝, 𝑡) = ∫

𝑢 (𝑥, 𝑡) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑥

(1.2.8)

0

Để tìm lại được hàm 𝑢(𝑥, 𝑡), ta sử dụng phép biến đổi gọi là phép biến đổi ngược:
2 +∞
= 𝑢 (𝑥, 𝑡) = ∫ 𝒰𝑠 (𝑝, 𝑡) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑝

𝜋 0

ℱ𝑠−1(𝒰𝑠 (𝑝, 𝑡))

(1.2.9)

Tương tự, biến đổi Fourier Cos của 𝑢(𝑥, 𝑡) theo biến x là:
+∞

ℱ𝑐 (𝑢 (𝑥, 𝑡)) = 𝒰𝑐 (𝑝, 𝑡) = ∫

𝑢(𝑥, 𝑡) cos 𝑝𝑥 𝑑𝑥

(1.2.10)

0

và phép biến đổi ngược có dạng:
ℱ𝑐−1(𝒰𝑐 (𝑝, 𝑡))
1.2.3.

2 +∞
= 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝒰𝑐 (𝑝, 𝑡) cos 𝑝𝑥 𝑑𝑝
𝜋 0

(1.2.11)

Phép biến đổi Fourier phức

Phép biến đổi Fourier phức của hàm f(t) được định nghĩa như sau:

+∞

ℱ (𝑓(𝑡)) = 𝐹 (𝜔) = ∫

𝑓(𝑡 )𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡

(1.2.12)

−∞

Để tìm lại hàm f(t), ta sử dụng phép biến đổi Fourier phức ngược được cho bởi:
ℱ

1 +∞
∫ 𝐹 (𝜔)𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔
𝐹(𝜔)) = 𝑓(𝑡) =
2𝜋 −∞

−1 (

(1.2.13)


10
Ý nghĩa vật lý của việc biến đổi này như sau: ta hình dung hàm 𝑓(𝑡) đóng vai trị
là chùm sáng trong quang học, việc biến đổi Fourier giống như việc cho chùm sáng đi
qua lăng kính, khi đó chúng sẽ bị tách ra thành các thành phần có tần số 𝜔 ứng với cường
độ 𝐹(𝜔). Trong quang học, mỗi ánh sáng đơn sắc ứng với một tần số. Do đó việc biến
đổi Fourier sẽ cho ra các thành phần với các màu sắc khác nhau, tạo thành phổ màu. Và
khi biến đổi Fourier ngược, ta sẽ đưa về chùm sáng ban đầu [2].

Một trong những định lý quan trọng để giải các bài tập sử dụng phép biến đổi
Fourier phức là định lý tích chập.
Định lý 1.2.1 (Định lý tích chập)
Cho hai hàm thực f và g, tích chập của f và g, kí hiệu là 𝑓 ∗ 𝑔, được định nghĩa là:
+∞

(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥 ) = ∫

+∞

𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢 = ∫

−∞

𝑓 (𝑥 − 𝑢)𝑔(𝑢)𝑑𝑢

(1.2.14)

−∞

Biến đổi Fourier của tích chập hai hàm f và g có dạng:
ℱ (𝑓 ∗ 𝑔) = ℱ (𝑓 )ℱ(𝑔)

(1.2.15)

Để tìm lại tích chập của f và g, ta có biến đổi Fourier ngược:
+∞

ℱ −1 (ℱ(𝑓 )ℱ (𝑔)) = 𝑓 ∗ 𝑔 = ∫

𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢

(1.2.16)

−∞

1.2.4.

Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace của hàm 𝑓(𝑥) được định nghĩa như sau:
+∞

ℒ (𝑓(𝑥)) = 𝐹 (𝑝) = ∫

𝑓 (𝑥 )𝑒 −𝑝𝑥 𝑑𝑥

(1.2.17)

0

trong đó 𝑓(𝑥) xác định ∀ 𝑥 ≥ 0 và khả vi trên mọi miền dương hữu hạn; 𝑝 là số phức,
có dạng 𝑝 = 𝛾 + 𝑖𝛽, là một tham số phức hội tụ trong miền 𝑅𝑒 (𝑝) = 𝛾 > 𝛾0 . Hàm 𝑓(𝑥)
được cho phải thỏa mãn điều kiện sao cho 𝑒 −𝑘𝑥 |𝑓(𝑥)| khả vi trong mọi miền 0 < 𝑥 <
∞. Để tìm lại hàm 𝑓(𝑥 ) từ hàm 𝐹(𝑝), ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược.
Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa:


11

ℒ

−1 (

𝐹(𝑝)) = 𝑓(𝑥 ) =

1 𝛾+𝑖∞
∫
𝐹 (𝑝)𝑒 𝑝𝑥 𝑑𝑝
2𝜋𝑖 𝛾−𝑖∞

(1.2.18)

Để tính tích phân trong (1.2.18), ta phải áp dụng định lý thặng dư Cauchy.
Định lý 1.2.2. (Định lý thặng dư Cauchy)
Nếu 𝑓(𝑧) là hàm giải tích trong một miền kín được giới hạn bởi biên 𝐶 ngoại trừ
các điểm đơn cô lập 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 (với n là số hữu hạn) nằm bên trong 𝐶 thì ta có:
𝑛

∳𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ∑ Res 𝑓(𝑧)
𝐶

𝑗=1

𝑧=𝑎𝑗

(1.2.19)

trong đó Res 𝑓(𝑧) là giá trị thặng dư của hàm 𝑓 (𝑧) tại cực điểm 𝑧 = 𝑎𝑗 .
𝑧=𝑎𝑗

Giả sử 𝑓(𝑧) =

𝑃(𝑧)

, với 𝑃(𝑧) và 𝑄(𝑧) đều là hàm giải tích của z. Nếu 𝑃(𝑧) ≠ 0,

𝑄(𝑧)

𝑄(𝑧) = 0 thì điểm 0 của 𝑄 (𝑧) = 0 gọi là cực điểm của hàm 𝑓(𝑧). Nếu 𝑧 = 𝑎 là một cực
điểm của 𝑓(𝑧) và nếu (𝑧 − 𝑎) có lũy thừa bậc 1, cực điểm này gọi là cực điểm cấp 1,
nếu (𝑧 − 𝑎) có lũy thừa bậc 2, cực điểm gọi là cực điểm cấp 2, tương tự cho các cực
điểm cấp cao hơn.
Nếu 𝑓(𝑧) có một cực điểm cấp 𝑚 > 1 tại 𝑧 = 𝑎 thì thặng dư được cho bởi:
Res 𝑓(𝑧) =
𝑧=𝑎

1
𝑑 𝑚−1
lim [ 𝑚−1 [(𝑧 − 𝑎)𝑚 𝑓(𝑧)]]
(𝑚 − 1)! 𝑧→𝑎 𝑑𝑧

(1.2.20)

Để tìm biến đổi Laplace ngược sử dụng định lý thặng dư, ta tính tích phân sau:
𝛾+𝑖𝜔

𝐼 = lim ∫

𝜔→∞ 𝛾−𝑖𝜔

𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝


12

Hình 1.1. Chu tuyến l  L trong mặt phẳng phức
Chu tuyến 𝑙 + 𝐿 biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình 1.1. Chu tuyến này bao
quanh tất cả các điểm bất thường cơ lập của hàm lấy tích phân. Tích phân dọc theo chu
tuyến 𝐿 + 𝑙 có giá trị:
∫ 𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒 𝑝𝑥 . 𝐹 (𝑝))

(1.2.21)

𝑙+𝐿

Khi 𝜔 → ∞ thì ∫𝐿 𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 → 0. Do đó:
𝛾+𝑖∞

𝐼 = lim

∫𝑒 𝑝𝑥

𝜔→∞ 𝑙

𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 = ∫

𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝

𝛾−𝑖∞

= 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒 𝑝𝑥 . 𝐹 (𝑝))
Mặt khác ta có:

(1.2.22)


13
𝛾+𝑖∞

𝑒 𝑥𝑝 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝

2𝜋𝑖𝑓 (𝑥 ) = ∫

(1.2.23)

𝛾−𝑖∞

Từ (1.2.22) và (1.2.23), suy ra:
ℒ −1 (𝐹 (𝑝)) = 𝑓(𝑥 ) = ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒 𝑝𝑥 . 𝐹 (𝑝))
Để sử dụng phép biến đổi Laplace, ta cần nhớ các định lý sau đây:
Định lý 1.2.3 (Định lý dịch chuyển thứ nhất)
Nếu ℒ (𝑓 ) = 𝐹(𝑝) thì
ℒ(𝑒 𝑎𝑥 𝑓(𝑥 )) = 𝐹(𝑝 − 𝑎)

(1.2.24)

Định lý 1.2.4 (Định lý tích chập trong biến đổi Laplace)
Cho 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai hàm bất kỳ, có biến đổi Laplace với ℒ(𝑓 (𝑥 )) =
𝐹 (𝑝), ℒ(𝑔(𝑥 )) = 𝐺(𝑝) thì:

𝑥

ℒ [∫ 𝑓 (𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢] = 𝐹 (𝑝)𝐺(𝑝)

(1.2.25)

0

và biến đổi ngược:
𝑥

ℒ

−1 [

𝑓(𝑝)𝐺 (𝑝)] = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢

(1.2.26)

0

Định lý 1.2.5 (Định lý dịch chuyển thứ hai)
Nếu 𝐹 (𝑝) = ℒ(𝑓(𝑥 )) thì với hằng số dương a bất kỳ, ta ln có:
𝑒 −𝑎𝑝 𝐹(𝑝) = ℒ [𝑓(𝑥 − 𝑎)𝐻 (𝑥 − 𝑎)]

(1.2.27)

Để thuận tiện cho việc biến đổi Laplace, ta sử dụng bảng biến đổi Laplace và bảng
biến đổi Laplace mở rộng được cho bởi bảng 1.1 và bảng 1.2:
Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace

HÀM 𝒇(𝒙)
𝑎
𝑒 𝑎𝑥

HÀM 𝑭(𝒑)
𝑎
𝑝
1
𝑝−𝑎


14
𝑥𝑛
sinh 𝛽𝑥
sin 𝜔𝑥
cos 𝜔𝑥
𝛿(𝑥 − 𝑇)
cosh 𝛽𝑥

𝑛!
𝑝 𝑛+1
𝛽
𝑝2 − 𝛽2
𝜔
𝑝2 + 𝜔2
𝑝
2
𝑝 + 𝜔2
𝑒 −𝑝𝑇
𝑝

𝑝2 − 𝛽2

Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng
HÀM 𝒇(𝒙)
𝑒 𝑎𝑥 𝑥 𝑛
𝑒 𝑎𝑥 sin 𝜔𝑥
𝑒 𝑎𝑥 cos 𝜔𝑥

HÀM 𝑭(𝒑)
𝑛!
(𝑝 − 𝑎)𝑛+1
𝜔
(𝑝 − 𝑎)2 + 𝜔 2
𝑝−𝑎
(𝑝 − 𝑎)2 + 𝜔 2


15
Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ – TỐN
Nội dung chương 2 được tham khảo từ tài liệu [3].
2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
2.1.1.

Giới thiệu phương pháp

Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp hiệu quả để giải các bài
tốn phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ý tưởng của phương pháp này là chuyển
phương trình ban đầu thành các phương trình vi phân thường. Khi đó, nghiệm tổng qt
của phương trình đã cho có thể biểu diễn thành chuỗi vơ hạn các nghiệm của phương

trình vi phân thường. Nhờ vào điều kiện biên, ta tìm được hệ số của chuỗi, từ đó suy ra
nghiệm phương trình đã cho.
Phần này sẽ trình bày phương pháp tách biến để giải các bài tốn truyền sóng,
truyền nhiệt, Laplace,…Trước hết, ta sẽ xét các phương trình truyền sóng.
2.1.2.

Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng

Phương trình truyền sóng là phương trình đạo hàm riêng dùng để mơ tả sóng cơ
(sóng nước, sóng âm,…) hoặc sóng ánh sáng trong vật lý [7].
Ta sẽ lần lượt xét các bài tốn truyền sóng một chiều: truyền sóng trên dây dài hữu
hạn dao động tự do và truyền sóng trên dây dao động cưỡng bức.
2.1.2.1.

Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do

Ta xét một dây căng đàn hồi có chiều dài l. Người ta làm biến dạng sợi dây, sau đó
thả ra với vận tốc cho trước. Ta sẽ xác định được độ lệch của dây tại một điểm 𝑥𝑖 nào
đó, dọc trên dây vào thời điểm t bằng cách tìm nghiệm phương trình sóng. Phương trình
truyền sóng một chiều của dây được cho như sau:
𝜕2𝑢 1 𝜕2𝑢
−
= 0, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙 ], ∀𝑡 ≥ 0
𝜕𝑥 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2

(2.1.1)

Với 𝑢(𝑥, 𝑡) là độ lệch của một điểm 𝑥 trên dây tại thời điểm t. Tại thời điểm ban
đầu 𝑡 = 0, độ lệch của dây được mô tả bởi hàm 𝑓 (𝑥 ) với: 𝑢 (𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) và vận tốc của

16
dây được mô tả bởi hàm 𝐹 (𝑥 ) với:

𝜕𝑢
𝜕𝑡

(𝑥, 0) = 𝐹 (𝑥 ). Trong đó, 𝑓(𝑥) khả vi liên tục tới

cấp 2 và 𝐹(𝑥) khả vi liên tục trên −∞ < 𝑥 < ∞. Sử dụng phương pháp tách biến, ta có:
𝑢 (𝑥, 𝑡) = 𝑋 (𝑥 )𝑇(𝑡 )

(2.1.2)

Thế (2.1.2) vào (2.1.1), ta được:
1 𝑑2𝑇 1 𝑑2𝑋
=
𝑐 2 𝑑𝑡 2 𝑋 𝑑𝑥 2

(2.1.3)

Trong phương trình (2.1.3), vế trái là hàm theo t, vế phải là hàm theo x. Do đó hai
vế chỉ bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số 𝜆 nào đó sao cho:
1 𝑑2𝑋
1 𝑑2𝑇
=
= −𝜆
𝑋 𝑑𝑥 2 𝑐 2 𝑑𝑡 2
⇒{

(2.1.4)

𝑋 ′′ (𝑥 ) + 𝜆𝑋(𝑥 ) = 0
𝑇 ′′ (𝑡) + 𝑐 2 𝜆𝑇(𝑡) = 0

Đặt
𝑋 ′′ (𝑥 ) + 𝜆𝑋 (𝑥 ) = 0

(2.1.5)

𝑇 ′′ (𝑡) + 𝑐 2 𝜆𝑇(𝑡) = 0

(2.1.6)

Đối với phương trình sóng một chiều, điều kiện biên có các trường hợp: hai đầu cố
định, hai đầu thả tự do, một đầu cố định và đầu kia thả tự do.
 Trường hợp hai đầu cố định
Điều kiện biên:
{

𝑢 (0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇 (𝑡) = 0
∀𝑡 ≥0
𝑢 (𝑙, 𝑡) = 𝑋(𝑙 )𝑇(𝑡 ) = 0
⇒ 𝑋 (0) = 𝑋(𝑙 ) = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0

* Giải phương trình (2.1.5):
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥 ) = 𝐴𝑒 −𝛼𝑥 + 𝐵𝑒 𝛼𝑥
𝑋(0) = 0
𝐴+𝐵 =0

−𝛼𝑙
Điều kiện biên (2.1.7): { 𝑋 (𝑙 ) = 0 ⇒ {𝐴. 𝑒
+ 𝐵. 𝑒 𝛼𝑙 = 0 ⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
∀𝑡 ≥ 0
∀𝑡 ≥ 0

(2.1.7)


17
⇒ 𝑋(𝑥 ) = 0 ⇒ 𝑢 (𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥 ) = 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑋(0) = 0
𝐵=0
Điều kiện biên (2.1.7): { 𝑋 (𝑙 ) = 0 ⇒ {𝐴𝑙 + 𝐵 = 0 ⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
∀𝑡 ≥ 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝑋(𝑥 ) = 0 ⇒ 𝑢 (𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥 ) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥
𝑋(0) = 0
𝐴=0
Điều kiện biên (2.1.7): { 𝑋 (𝑙 ) = 0 ⇒ {𝐴 cos 𝛼𝑙 + 𝐵 sin 𝛼𝑙 = 0
∀𝑡≥0
∀𝑡 ≥ 0
𝑘𝜋
⇒ 𝛼𝑙 = 𝑘𝜋 (𝑘 = 1,2,3, … ) ⇒ 𝛼 =
𝑙
𝑘𝜋𝑥

⇒ 𝑋(𝑥 ) = 𝐵 sin
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙 ]
𝑙
* Giải phương trình (2.1.6):
(2.1.6) ⇒ 𝑇𝑘 (𝑡 ) = 𝐶 cos 𝛼𝑐𝑡 + 𝐷 sin 𝛼𝑐𝑡 = 𝐶 cos
⇒ 𝑢𝑘 (𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑘 (𝑥 )𝑇𝑘 (𝑡 ) = (𝐴𝑘 cos

𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙

+ 𝐷 sin

𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙

𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑘𝜋𝑥
+ 𝐵𝑘 sin
) sin
𝑙
𝑙
𝑙

Nghiệm tổng quát của (2.1.1):
+∞

𝑢 (𝑥, 𝑡) = ∑ (𝐴𝑘 cos
𝑘=1

𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑘𝜋𝑥
+ 𝐵𝑘 sin
) sin
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙 ], ∀𝑡 ≥ 0
𝑙
𝑙
𝑙

Từ điều kiện đầu:
𝑢 (𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
{𝜕𝑢
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥)
𝜕𝑡
+∞

∑ 𝐴𝑘 sin
⇒

𝑘=1
+∞

𝑘𝜋𝑥
= 𝑓(𝑥)
𝑙

∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
𝑘𝜋𝑐

𝑘𝜋𝑥
∑
𝐵 sin
= 𝐹(𝑥)
𝑙 𝑘
𝑙
{
𝑘=1