5 cach xet ham cho mot bai toan kho

<span class='text_page_counter'>(1)</span>5 cách xét hàm cho một bài toán khó . .  2 x  1  y 1  2 2 x  1  8   2   y  y 2 y  1  4 x  2 x  y  13 (Nguyễn Xuân Nam). 1   x2  3  Điều kiện:  y  . Đặt: a  2 x  1;  a  0 . 2  2 y  1  4 x   8 y  a  2 y  1    2a  1 2 y  1  15 1   2 htp   2  2 y  3  25  y 2  y 2  25  2   y  y  2 y  3  2a  3  5  2 y2 . . .  2y  3 . . 25  y  y. Cách 1: 2 y  3 . . 2. . . 2.  8 y   2   2y 1 . . . 2.  2a2. 2. 2.  8 y  25  y  y  2   0  2y 1  2. Xét hàm số: f y   2 y  2 . . 2. 4  y  8 50  4 y 2 8  y  8  8 y  .Ta có: f '  0   2  25  y  y  2   3 2  y  2y 1  25  y 2  2 y  1 1  2 y  2. . 2. 2. 2.  50  4 y 2 0  2  25  y  2  3 5   8  y  8  0  f ' y   0 vô nghiệm, suy ra f y   0 có 1 nghiệm duy nhất. Với: y   ; 3   2 2    2 y  1   4  y  8  0  1  2 y 2  Nhận thấy f3  0  y  3 là nghiệm duy nhất Hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;3.. Page 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> . .  2 x  1  y 1  2 2 x  1  8   2   y  y 2 y  1  4 x  2 x  y  13 (Nguyễn Xuân Nam). 1   x2  3  Điều kiện:  y  . Đặt: a  2 x  1;  a  0 . 2  2 y  1  4 x   8 y  a  2 y  1    2a  1 2 y  1  15 1   2 htp   2  2 y  3  25  y 2  y 2  25  2   y  y  2 y  3  2a  3  5  2 y2 . . .  2y  3 . . . 25  y  y 2. . 2. . 2.  2a2. 2.  8 y   2   f y   g y   2y 1 . Cách 2: + TH1: y  3  x  1 thỏa mãn hệ phương trình.. Xét hàm số: f y   2 y  3 . . . 2. 25  y 2  y ; f ' y  . . 2 25  2 y 2  25  y 2. . 25  y 2.  99  201 y   3 5  8 0   ; .  2 2  99  201  y  8. 60  y  8  8 y  3 5   2  0  y  8  ;  ; g ' y   3 . 2 2   2y 1   2 y  1 2. Xét hàm số: g y .  max f y   f3  2   3; 52  5   + TH2: 3  x  hệ phương trình vô nghiệm. . Ta có:  g y   g 3   2 2 min 5   3;   2   min f y   f3  2 3  ;3  3   2  + TH3:  y  3. Ta có:  hệ phương trình vô nghiệm. 2 max g  g  2   3   y  3   2 ;3   Hệ phương trình đã cho có nghiệm:  x; y   1;3 .. Page 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . .  2 x  1  y 1  2 2 x  1  8   2   y  y 2 y  1  4 x  2 x  y  13 (Nguyễn Xuân Nam). 1   x2  3  Điều kiện:  y  . Đặt: a  2 x  1;  a  0 . 2  2 y  1  4 x   8 y  a  2 y  1    2a  1 2 y  1  15 1   2 htp   2  2 y  3  25  y 2  y 2  25  2   y  y  2 y  3  2a  3  5  2 y2 . . .  2y  3 . . . 25  y  y 2. . 2.  8 y   2   2y 1 . . 2.  2a2. 2. Cách 3: + TH1: y  3  x  1 thỏa mãn hệ phương trình. + TH2: y  3 , ta có:. Xét hàm số: f y  .  f3  f y   f. 2y  3 . 5     2. . 25  y  y 2.  y. 2. 1 a .  ;f' 2.  99  201 y    5  8  0  25  2 y 2  25  y 2  0     3;   2  99  201  y  8. 5 2 3  3 2. 60  y  8  5   8 y   2  0  y   3;  ; g ' y   3   g 2  2y 1   2 y  1   2. Xét hàm số: g y . . 5   2.  g y   g3. 34  75 2 34  75 2  g y   1   a  1 4  98 98. Từ (3) và (4) ta suy ra hệ vô nghiệm. + TH3:. 3  y  3 , ta có: 2. Page 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Xét hàm số: f y  . 2y  3 .  f 3   f y   f3    2. . 25  y  y 2.  ;f' 2.  y. 2.  99  201 y   3  8  0  25  2 y 2  25  y 2  0     ;3   2   y  99  201   8. 50  3 91  f y   1  0  a  1 5 4. 60  y  8 3   8 y  13  2  0  y   ;3   g 3   a  g3   a  1 6   ; g ' y   3 4    2y 1  2   2 y  1 2 2. Xét hàm số: g y . Từ (5) và (6) suy ra hệ vô nghiệm.. Hệ phương trình đã cho có nghiệm:  x; y   1;3 .. . .  2 x  1  y 1  2 2 x  1  8   2   y  y 2 y  1  4 x  2 x  y  13 (Nguyễn Xuân Nam). 1   x2  3  Điều kiện:  y  . Đặt: a  2 x  1;  a  0 . 2  2 y  1  4 x   8 a   y  2a  1    2a  1 2 y  1  15 1   2 htp   2  2 y  3  25  y 2  y 2 y  y  2 y  3  2a  25  2     3  5  2 y2 . . . . . 2.  2a 2 1. Cách 4:. y. 8 a 16  5 2 13  a 2a  1 10 2  2 4 2. 2  8  a   8 a   1   3  25    2a2  0    2a  1   2a  1  2a  1   . 2 8  a . .  8a4  8a3  10a2  22a  13  a  8  99a2  84a  39 Xét hàm số: f a  8a4  8a3  10a2  22a  13;. .  f 2.  a.  g a. . f ' a  2 16a3  12a 2  10a  11. Page 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> f '' a  6  4a  1  14  0  f ' a  0 có duy nhất 1 nghiệm. 2.  51 53 .  16  5 2 13 . Nhận thấy f ' 51  . f ' 53   0 , suy ra nghiệm của f ' a   0 nằm trong khoảng  ; ;   không thuộc       100 100  10 2  2 4   100   100 .  16  5 2 13   16  5 2 13  ;   f '1  0 vậy f a  đơn điệu giảm trên  ;  10 2  2 4  10 2  2 4 . Chọn a  1  . . Xét hàm số: g a   a  8  99a2  84a  39. g ' a . 2. 0.  34  75 2 a    198a  84 98 2  2 1   a  8  99a  84 a  39  0   2  16  5 2  2 99a  84a  39   a 10 2  2 . Với a . 1. . . . 16  5 2 10 2  2.  a  8  99a2  84a  39  0  *.  16  5 2 13   0a   ;  **  2 99a2  84a  39 10 2  2 4  198a  84.  16  5 2 13   16  5 2 13  ;  vậy g a  đơn điệu tăng trên  ;  10 2  2 4  10 2  2 4 . Từ (*) và (**) ta có: g ' a   0  a  . Nhận thấy f1  g1  a  1 là nghiệm duy nhất. Với a  1  x  1  y  3 , thỏa mãn hệ phương trình. Hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;3.. . .  2 x  1  y 1  2 2 x  1  8   2   y  y 2 y  1  4 x  2 x  y  13 (Nguyễn Xuân Nam). 1   x2  3  Điều kiện:  y  . Đặt: a  2 x  1;  a  0 . 2  2 y  1  4 x  . Page 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 8 a   y  2a  1  2 y  3  25  y 2  y   2a  1 2 y  1  15(1)  htp    5 3 2 2 2 y  y  y 2 y  3  2a  a  y  14 (2)  2  2 16  5 2 13  a 4 10 2  2. . . 2.  2a 2. Cách 5: 2. 8 a  8 a   8 a   8 a   2  3  2a2  a2   14  0 Ta có:  2       2a  1  2a  1   2a  1   2a  1 . . . 2 53  a  8 13  2a 2a  a  2  a    0 2 4 4  2a  1 2 a  1 2 a  1     2. 15 8a  9 . Xét hàm số: f a . f ' a . . 2 53  a  8 13  2a 2a  a  2  a    2 4 4  2a  1  2a  1  2a  1. 15  8a  9 . 2.   a  23 4a3  2a2  4a  13.  2a  1  2a  1 2. . . . . 2  a  8 3a2  a  1.  2a  1  2a  1.. 4a3  2a2  4a  13.  2a . 15  4a  7 .  2a  1. 3.  16  5 2 13  ;  4 10 2  2 . Với điều kiện của a như trên thì cho ra f ' a   0 , như vậy f a  đơn điệu trên đoạn  Nhận thấy f1  0  a  1 là nghiệm duy nhất của phương trình f a   0 Với a  1  x  1  y  3 , thỏa mãn hệ phương trình. Hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;3.. Như vậy ta thấy cả 5 cách đều liên quan tới việc chọn hàm và xét nó. Xét hàm số nó khá mạnh trong giải phương trình, hệ phương trình, nhưng nếu không cẩn thận thì chúng ta sẽ bị hàm “giết”. Qua 5 cách trên đòi hỏi chúng ta phải có được sự tinh tế trong việc nhận xét hàm, nó rất quan trọng. Lưu ý: Với bài toán này chúng ta cũng có thể sẽ có nhiều cách hay hơn nữa (trong đó có cách sử dụng BĐT). Các bạn hãy làm những cách giải hay khác và share cho mình biết với nhé, thank!. Page 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>