6 DE LUYEN THI HOC SINH GIOI TOAN 8 NAM HOC 2012 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề). ĐỀ THI SỐ: 01 Bài 1 (4 điểm): 2. P a 2013 . 1 2013. a a) Cho a  a  1 0 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 3 2 b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x + x y – 2y = 0 và x + 2y – 4y + 3 = 0 Tính giá trị của biểu thức Q = x2 + y2. Bài 2 (5 điểm): a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: 2x = 5y – 624 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0 Bài 3 (4 điểm): a) Tìm số tự nhiên n sao cho số A = n2 + n + 6 là số chính phương. b) Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm. Qua cuộc thi, những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi: Một học sinh được thưởng thì phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi ? Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A có AM là phân giác (M  BC). Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng MN = MC. Bài 5 (4 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 20cm. Trên cạnh CD lấy điểm M. Đường thẳng vuông góc với BM tại M cắt AD tại N. a) Cho MC = 15cm. Tính diện tích tam giác BMN. b) Xác định vị trí của M trên cạnh CD để ND có độ dài lớn nhất.. Ghi chú: - Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay. - Tổng điểm toàn bài : 20 điểm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐỀ THI SỐ : 02 Câu 1: (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2;. b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).. Câu 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức :. 2x 4x2 2 x x 2  3x A (  2  ):( ) 2 x x  4 2 x 2 x 2  x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. b). a b c x2 y 2 z 2 x y z   0  2  2 1   1 2 Cho a b c và x y z . Chứng minh rằng : a b c .. Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.. Ghi chú: - Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay. - Tổng điểm toàn bài : 10 điểm.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐỀ SỐ : 03. Câu1.. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4  4  x  2   x  3   x  4   x  5   24 4 2 b. Giải phương trình: x  30x  31x  30  0 a b c a2 b2 c2   1   0 b  c c  a a  b b  c c  a a  b c. Cho . Chứng minh rằng:. 2 1   10  x 2   x A  2    : x  2  x 2   x  4 2 x x 2  . Câu2. Cho biểu thức: a. Rút gọn biểu thức A.. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = 2 . c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4.. 1 1 1   9 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a b c b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> §Ò thi SỐ 04 3. 2. a −4 a −a+ 4 3 2 P= a −7 a + 14 a−8. C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x +20 x +11 x+30 x +13 x+ 42 18 2. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : A=. a b c + + ≥3 b+c−a a+ c−b a+b−c. C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh : BC a) BD.CE= 4. 2. b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .. ĐỀ THI SỐ 05 Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A  a  1  a  3  a  5   a  7   15.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu 2( 2 đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức:.  x  a   x  10   1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên 4 3 Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia hết cho. ña 2 thức B( x)  x  3 x  4. Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy. Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng P. 1 1 1 1  2  4  ...  1 2 2 3 4 1002. ĐỀ THI SỐ 06 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166    10 17 19 21 23 . Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2  2009  x    2009  x   x  2010    x  2010 .  2009  x . 2.   2009  x   x  2010    x  2010 . 2. 19  49. .. Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A. 2010x  2680 x2 1 .. Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB       sao cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF .   a) Chứng minh rằng: BDF BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>