Nguyen Ham Tich Phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>GV. Nguyễn Vũ Minh. TÍCH PHÂN. Chủ đề 1 : NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ) 1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) ⇔ ……………….. ∫. f(x).dx = F(x) + C , với C là hằng số 2) Họ nguyên hàm : 3) Bảng nguyên hàm : Hàm cơ bản : Hàm chứa (ax + b). ∫ dx = x + C x α +1 ∫ x .dx = α + 1 + C α. dx ∫ x = ln x + C dx 1 = − ∫ x2 x + C dx ∫ x = 2 x +C. ax ∫ a dx = lna + C x. ∫ e dx = e x. x. +C. ∫ sinx.dx = −cosx + C. ∫ cosx.dx = sinx + C. 1 (ax + b)α +1 ∫ ( ax + b ) dx = a α + 1 + C dx 1 = ∫ ax + b a ln ax + b + C α. dx. ∫ (ax + b) ∫. 2. 1 1 =− . +C a ax + b. dx 2 ax + b + C = ax + b a. 1 a ax + b ∫ a dx = a lna + C 1 ax + b ax + b = +C e dx e ∫ a ax + b. 1 + = − sin(ax b).dx cos(ax + b) + C ∫ a 1 cos(ax b).dx sin(ax + b) + C + = ∫ a. dx 1 = ∫ cos2 (ax + b) a tan(ax + b) + C. dx ∫ cos2 x = tanx + C dx ∫ sin 2 x = −cotx + C dx 1 x −a ln = ∫ x 2 − a 2 2a x + a + C. dx 1 = − ∫ sin 2 (ax + b) a cot(ax + b) + C. dx −1 = ∫ x n (n − 1)x n −1 + C. dx 1 1 = − ∫ (ax + b)n a (n − 1)(ax + b)n −1 + C. Đt : 0914.449.230. 1. Email :

<span class='text_page_counter'>(2)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. TÍCH PHÂN. 4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa thức…... Căn thức thành lũy thừa :. n. 5) Công thức thường dùng : 1 + cos2u cos 2 u = 2 1 − cos2u sin 2 u = 2. m n. m 1 −n x x = x ; n = x ; n = x m−n x x m. 1 2 = + 1 tan u cos 2 u 1 2 = + 1 cot u sin 2 u. 3cosu + cos3u 4 3sinu − sin3u sin 3u = 4 cos3 u =. sin2u = 2sinu.cosu cos2u = cos 2 u − sin 2 u cos2u = 2cos 2 u − 1 cos2u = 1 − 2sin 2 u VD1 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU: 2 3 a/ f(x) = (2x + 1). 2x 3 − 5x + 2 c/ f(x) = x2. ; ;. 2 b/ f(x) = (tan x + cot x). e 2x − 3e x + 2 d/ f(x) = ex − 1. GIẢI 6 4 2 6 4 2 a/ f(x) = 8x + 12x + 6x + 1 , suy ra: f(x) = 8∫ x dx + 12 ∫ x dx + 6 ∫ x dx + ∫ 1dx 8 12 = x 7 + x 5 + 2x 3 + x + C 7 5 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 2 = + f(x) tan x cot x 2 1 1 2 = + + = − + − + ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ b/ 2 cos 2 x sin 2 x ⎝ cos x ⎠ ⎝ sin x ⎠. 1 1 f(x)dx = dx + Suy ra: ∫ ∫ cos2 x ∫ sin 2 x dx = tan x − cot x + C 5 2 f(x) = 2x − + . suy ra: c/ x x2 Đt : 0914.449.230. 2. Email :

<span class='text_page_counter'>(3)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. TÍCH PHÂN. 1 2 −2 2 = − + = − − +C f(x)dx 2 xdx 5 dx 2 x dx x 5ln x ∫ ∫ ∫x ∫ x x x e 2x − e x − 2(e x − 1) e x (e x − 1) − 2(e x − 1) (e − 1)(e − 2) = = ex − 2 = d/ f(x) = x x x e −1 e −1 e −1 x x Suy ra: ∫ f(x)dx = ∫ e dx − ∫ 2dx = e − 2x + C BT1 : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 5 2 1/ f(x) = x + 3x − 5 −. 1 x. 2/ f(x) =. 3 7 9 20 + 4− 3+ 2 5 x x x x. x 5 + 4x 7 − 2x + 8 − 7x 9 3/ f(x) = x2. 3 4 4/ f(x) = x + x + 4 x. 5/ f(x) = ( x + 1)(x − x + 1). e− x ) 6/ f(x) = e (7 − 3e + cos 2 x. ⎛ e− x ⎞ 7/ (soạn) f(x) = e ⎜ 2 + sin 2 x ⎟ ⎝ ⎠. x x 2x −1 8/ f(x) = ( 2 + 3 ) .2. x. x. 9/ f(x) = 2sinx − 3cosx + 11/ f(x) = (2tanx + cotx). 7 x. −x. 2 2 10/ f(x) = tan x − 3cot x. 12/ f(x) =. 2. 1 sin 2 x.cos 2 x. Bài soạn : tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 5 1/ f(x) = ( x − 3x ) ( x − 1) 2. 2/ f(x) = 3sinx − 7cosx. 3x15 + 7x 4 − 2x + 8 − 10x 6 3/ f(x) = x3 5/ f(x) =. x 3 4/ f(x) = 2 x − 3e + 4sin x − 8 / x. 6 sin 2 x.cos 2 x. 3 2 7/ f(x) = x − 3x + 4x + 3 ;. Đt : 0914.449.230. x −x 6/ f(x) = e (5 + 3e ). 2 2 8/ f(x) = 2x(x + 3x) ;. 3. 9/ f(x) = 4sin. x x cos 2 2. Email :

<span class='text_page_counter'>(4)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. TÍCH PHÂN. 1 2 f(x) = (2 − ) 12/ x. 2 x 10/ f(x) = 2 sin x + 3cos x + 5e ; 11/ f(x) = tan x − 3. ( x − 2)3 13/ f(x) = x. 2x +1 3x + 2 ; 14/ f(x) = 2 .3. x 2 15/ f(x) = (3 − 2). VD2 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU: 3 a/ f(x) = (2x + 1). c/ f(x) =. 2 7x + 1. b/ f(x) = cos ( 3x − 2 ). ;. 10 e/ f(x) = (7 − 3x). −x d/ f(x) = e. ;. 1 (ax + b)α +1 Giải : a/ sử dụng công thức ∫ ( ax + b ) dx = a α + 1 + C α. 1 (2x + 1) 4 ∫ f(x)dx = ∫ (2x + 1) dx = 2 . 4 + C 3. 1 cos(ax b).dx sin(ax + b) + C + = b/ sử dụng công thức ∫ a. 1 f(x)dx = cos 3x − 2 dx = .sin ( 3x − 2 ) + C ( ) ∫ ∫ 3. dx 1 = c/ sử dụng công thức ∫ ax + b a ln ax + b + C 2. dx. 2. ∫ f(x)dx = ∫ 7x + 1dx = 2∫ 7x + 1 = 7 .ln 3x − 2 + C 1 ax + b ax + b = +C e dx e d/ sử dụng công thức ∫ a −x ∫ f(x)dx = ∫ e dx =. 1 −x e + C = −e − x + C −1. ( chú ý hệ số a trong bài này là -1 ). 1 (7 − 3x)11 . +C e/ giống bài a/ ∫ f(x)dx = ∫ (7 − 3x) dx = −3 11 10. Đt : 0914.449.230. 4. Email :

<span class='text_page_counter'>(5)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. TÍCH PHÂN. BT2 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau ( sử dụng ……………… ) 2 1/ f(x) = sin x. 2 ; 2 / f(x) = sin 7x. 4 5/ f(x) = sin 2 x. 2 ; 3/ f(x) = cos 4 x. 2 2 ; 6/ f(x) = 7 sin x .cos x. 8/ f(x) = sin 4 x .sin 6x ; 9 / f(x) = cos 6 x .cos 2 x. 14/. f(x) =. ; 7 / f(x) = sin 2 x .cos x ; 10 / f(x) = cosx . ( 3 + cosx ). x 3 + 3x 2 − 6x + 5 12 / f(x) = ; x +1. 11 / f(x) = cosx . ( sin 3x + sinx ) ; 1 13/ f(x) = x +9 − x. 4 ; 4/ f(x) = cos x. 3x 2 − 6x + 5 14/ f(x) = 2x + 1. ;. 3. 15 / f(x) =. π⎞; ⎛ cos 2 ⎜ 2x + ⎟ 4⎠ ⎝. −6x + 5 2x − 5. 4 4 6 6 16/(HV Quan Hệ Quốc Tế - 1997) f(x) = ( sin x + cos x ) . ( sin x + cos x ). x4 + x2 +1 17/(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A) f(x) = 2 x + x +1 x 4 + 2x 2 + 2 + x 18/(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D) f(x) = x2 + x +1 19/(ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D) f(x) = 4 4 20/ f(x) = cos x − sin x. cos2x sinx + cosx. ⎛ x −1 ⎞ f(x) = ⎜ ⎟ ; 21/ ⎝x+2⎠. 2. 22/ f(x) = cos 5 x .cos 2 x .sinx VD3 : a/ Tìm A, B sao cho. b/ Tính I = ∫ Đt : 0914.449.230. 3x + 7 A B = + x 2 + 4x + 3 x + 1 x + 3. ( x ≠ −1; 3 ). 3x + 7 dx x + 4x + 3 2. 5. Email :

<span class='text_page_counter'>(6)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. TÍCH PHÂN. 3x + 7 A B = + ⇔ 3x + 7 = A ( x + 3) + B ( x + 1) Giải :a/ 2 x + 4x + 3 x + 1 x + 3 ⎧A + B = 3 ⎧A = 2 ⇔ 3x + 7 = ( A + B ) .x + 3A + B ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩3A + B = 7 ⎩B = 1. 3x + 7 1 ⎞ ⎛ 2 I = dx = + b/ ∫ x 2 + 4x + 3 ∫ ⎜⎝ x + 1 x + 3 ⎟⎠dx = 2 ln x + 1 + ln x + 3 + C BT4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ……………… ). A=∫. 3x + 4 dx x 2 + 4x − 5. dx D=∫ x ( x + 1) F=∫. −x dx x2 + x − 6. x+7 dx x 2 + 8x − 9. ;. B=∫. ;. x2 −1 E=∫ dx ( x + 2 )( x − 2 )( x − 3 ) ;. ;. G=∫. 3 dx x 2 + 7x + 12. C=∫. ;. ; F=∫. 1 dx x2 − x − 2. −8 dx x 2 + 10x + 9. VD4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp đổi biến số ) sinx a/ A = ∫ e .cosxd x. ln 5 x dx c/ C = ∫ x. 2x + 4 B = b/ ∫ x 2 + 4x − 5 dx. ;. ex dx d/ D = ∫ x e +1. ;. ∫. sinx Giải : a/ A = e .cosxd x ; đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx t t sinx Vậy A = ∫ e .dt = e + C = e + C. 2x + 4 B = b/ ∫ x 2 + 4x − 5 dx Đặt t = x 2 + 4x − 5 ⇒ dt = ( 2x + 4 ) dx Vậy B =. dt 2 ∫ t = ln t + C = ln x + 4x − 5 + C. ln 5 x dx ; đặt t = ln x ⇒ dt = dx c/ C = ∫ x x Đt : 0914.449.230. 6. Email :

<span class='text_page_counter'>(7)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. TÍCH PHÂN. t6 ln 6 x +C Vậy C = ∫ t .dt = + C = 6 6 5. ex dx d/ D = ∫ x e +1 Vậy : D = ∫. ; đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx. dt = ln t + C = ln e x + 1 + C t CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ. Dạng Tích Phân. Cách Giải. + Nếu bậc tử. f(x) ∫ g(x) .dx. ≥ bậc mẫu ta chia đa thức. + Nếu bậc tử < bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hàm của mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số + Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng khác sẽ trình bày ở phần khác. ∫. n. ........dx dx. ∫ f(lnx). x. ∫ f(cosx).sinxdx ∫ f(sinx).cosxdx dx cos 2 x dx ∫ f(cotx) sin 2 x. ∫ f(tanx). x x f(e ).e dx ∫. n n Đặt t = ....... ⇒ t = ....... sau đó lấy đạo hàm 2 vế dx Đặt t = lnx + C ⇒ dt = x. Đặt t = cos x + C ⇒ dt = − sin xdx Đặt t = sin x + C ⇒ dt = cos xdx dx tan t = x + C ⇒ dt = Đặt cos 2 x dx Đặt t = cot x + C ⇒ dt = − 2 sin x x x Đặt t = e + C ⇒ dt = e dx. Đưa về. dx dx , ∫ sin n x ∫ cosn x với n chẵn. Đt : 0914.449.230. ∫ sin. 1 n−2. 1 1 1 1 1 dx ... 2 dx, ∫ . ... n−4 n−2 n−4 x sin sin x cos x cos x cos 2 x .. dx t = tan x + C ⇒ dt = Và Đặt cos 2 x 7. Email :

<span class='text_page_counter'>(8)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh n sin ∫ xdx hay. n cos ∫ xdx. TÍCH PHÂN. Dùng công thức hạ bậc. cos 2 u =. với n chẵn n sin ∫ xdx hay. n cos ∫ xdx. với n lẽ. Tách. 1 + cos2u 1 − cos2u ; sin 2 u = 2 2. n n −1 sin xdx = sin x.sinxdx , đặt t = cosx ∫ ∫. n n −1 cos xdx = cos x.cosxdx , ∫ ∫. đặt t = sinx. + Nếu mẫu có 2 nghiệm x1 , x 2 , ta đưa về. Ax + B ∫ a(x − x1 )(x − x 2 )dx. Ax + B ∫ ax 2 + bx + cdx. Sau đó dùng pp hệ số bất định + Nếu mẫu có nghiệm kép x 0 ,. Ax + B ta đưa về ∫ a(x − x ) 2 dx 0 + Nếu mẫu vô nghiệm ,đưa về Ax + B ⎛ π π⎞ dx t ∈ và đặt X = D.tant ⎜− ; ⎟ 2 2 ∫X +D ⎝ 2 2⎠ 2 1/ R(x, a − x ). thì đặt x = sint. 2 2/ R(x, a + x ) thì đặt x = atant BT5: Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ………………… ). ∫. xdx x2 +1. A = ∫ x(2 − x 2 )12 dx. B=. C = ∫ 1 + 4sin x.cos x.dx. D = ∫ x. x 2 + 1.dx. E = ∫ x . 1 − x.dx. F=∫. 3 4. Đt : 0914.449.230. 8. dx 2x. 2 + ln x. Email :

<span class='text_page_counter'>(9)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. G=. ∫. I=∫. TÍCH PHÂN. e x .dx. H=∫. 1 + ex. x +1 dx 3x + 1. 1 ⎛ 1+ x ⎞ ln ⎜ ⎟ .dx 1− x2 ⎝ 1− x ⎠. x 2 dx J=∫ 3 2x + e. 2 + 3ln x dx x. K = ∫ x 5 2 − x 3 .dx. L=∫. cos x P = ∫ 2 dx sin x. e cot x .dx Q=∫ sin 2 x. R = ∫ 2x 7 .(x 4 − 1)5 .dx. O=. M=∫. xdx (2x + 1)3. xdx 2x + 1. ∫. N = ∫ cos5 xdx. e tanx dx W=∫ 2 cos x. S=∫. T = ∫ sin 3 xdx. V=∫. 1 dx x. ( 4lnx + 7 ) 3. dx x −5. BT6: Tính các nguyên hàm sau : A = ∫ cot x.dx. B = ∫ tanx.dx. C = ∫ ( 2 − sin x ) .sin2x.dx 2. E=∫. 2. sinx − cosx .dx sinx + cosx. D=∫. sin2x. ( 3 + cos x ) 2. .dx ;. F = ∫ ( cos 4 x + sin 4 x ) .cos 2x.dx. 1 .dx tan 5 x. G = ∫ 4 ( cos 6 x + sin 6 x ) .cos 2x.dx. H=∫. 1 K=∫ x .dx e +1. sin 5 x L=∫ .dx cos 7 x. Đt : 0914.449.230. 4. 9. Email :

<span class='text_page_counter'>(10)</span> GV. Nguyễn Vũ Minh. sin 3 x .dx M=∫ 2 cos x. Đt : 0914.449.230. TÍCH PHÂN. M=∫. 10. sin 2 x 3. cos x + 5sin x 2. 2. .dx. Email :

<span class='text_page_counter'>(11)</span>