Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG TRUNG HIẾU

SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO
XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:

60460106

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG

HÀ NỘI−2014


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Mở đầu

3
5

1.1

Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hội tụ yếu trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric
2.1

2.2

2.3

19

Độ đo trên không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.1

Độ đo và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2

Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Tính chất của hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.1

Định lý kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2

Tiêu chuẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.3

Nguyên lý ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.4

Không gian tích

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.1

Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.2

Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.3

Sự hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.4

Mối quan hệ giữa các loại hội tụ . . . . . . . . . . . .

43

2.3.5

Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân . . . . .

44

Sự hội tụ theo phân phối

1


2.4

2.3.6

Qua giới hạn tích phân

. . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.7

Độ đo tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Định lý Prohorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.4.1

Tính compact tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.4.2

Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3 Sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng
3.1

3.2

3.3

3.4

Hội tụ yếu và tính chặt trong C

62

. . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.1.1

Tính chặt và tính compact trên C . . . . . . . . . . .

63

3.1.2

Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Độ đo Wiener và định lý Donsker . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.2.1

Độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.2.2

Cấu trúc của độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.2.3

Định lý Donsker và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . .

74

Hàm của các quỹ đạo chuyển động Brown

. . . . . . . . . .

79

3.3.1

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . .

80

3.3.2

Luật Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.3.3

Cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Bất đẳng thức cực đại

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.4.1

Cực đại của các tổng riêng . . . . . . . . . . . . . . .

90

3.4.2

Bất đẳng thức tổng quát hơn . . . . . . . . . . . . . .

94

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2


LỜI NĨI ĐẦU
Trong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đo

xác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó. Hội tụ yếu
(hay cịn gọi là hội tụ hẹp hoặc yếu-hội tụ, đây là tên thích hợp hơn theo
quan điểm giải tích hàm nhưng ít được sử dụng) là một trong các loại hội tụ
liên quan đến sự hội tụ của các độ đo.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương một là mở đầu. Nêu một số khái niệm và tính chất bổ trợ cho
các chương sau của luận văn. Bên cạnh đó, chương một sẽ nhắc lại về sự hội
tụ yếu trên đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7]).
Chương hai đề cập tới sự hội tụ yếu trong không gian Metric.
Trong chương hai chúng ta sẽ tìm hiểu lý thuyết chung về khái niệm hội tụ
yếu trong không gian metric và xem xét nó khi ta hạn chế trong nhiều trường
hợp khác nhau. Mở đầu bằng các khái niệm cơ bản về hội tụ yếu và các tính
chất của nó. Từ đó ứng dụng vào trong việc xét sự hội tụ theo phân phối và
xác suất của các độ đo. Cùng với đó là kết quả quan trọng liên quan tới một
họ các độ đo xác suất.
Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng.
Chương này quan tâm đến sự hội tụ yếu trong không gian C = C[0, 1] với
tôpô đều; C là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn đóng [0, 1].
Các ứng dụng sẽ được nêu ra trong chương này cho ta thấy lý do tại sao thật
thú vị và hữu ích khi phát triển lý thuyết chung về sự hội tụ của các độ đo
(độ đo Wiener, chuyển động Brown).
3


Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng
Hùng Thắng. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cơ trong khoa Tốn - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội đã
giúp tơi có thêm nhiều kiến thức để có thể hồn thành luận văn và khóa học
một cách tốt đẹp. Các thầy cơ phịng Sau Đại học đã tạo những điều kiện
thuận lợi giúp tơi hồn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập.

Các thầy và các bạn trong seminar Toán xác suất về những góp ý để tơi có
thể hồn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp q giá
ấy.
Tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cơ và các
bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Hồng Trung Hiếu

4


Chương 1

Mở đầu
Đầu tiên chúng ta nhắc lại một vài tính chất của khơng gian metric sẽ
được sử dụng trong luận văn. Sau đó, ta sẽ nhắc lại về sự hội tụ của độ đo
xác suất trên đường thẳng.

1.1

Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Ta đề cập một kết quả hữu ích được chứng minh đơn giản sau.
Định lý 1.1.1 (M −test Weierstrass). Giả sử rằng limn xnk = xk với mỗi k
và |xnk | ≤ Mk , trong đó
hội tụ và limn

k

Chứng minh. Do

k

xnk =
k

k

Mk < ∞. Khi đó

k

xk và tất cả các

k

xnk

xk .

Mk < ∞ nên chuỗi

k

xnk hội tụ tuyệt đối.

Ta có
|

xnk −
k

Với

|xnk − xk | + 2

xk | ≤ |
k

cho trước, chọn k0 sao cho

k≤k0
k>k0

k>k0

Mk < /3 và n0 sao cho n > n0 thì

|xnk −xk | < /3k0 với k ≤ k0 . Khi đó với n > n0 thì |

5

Mk .

k

xnk −

k

xk | < .


Chúng ta ký hiệu không gian metric là S và metric của nó là ρ(x, y); khơng
gian metric chính là cặp (S, ρ). Với các tập con A của S, ký hiệu A− , Ao và
∂A = A− − Ao lần lượt là bao đóng, phần trong và biên của A. Khoảng cách
từ x tới A là ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}; từ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A) suy
ra ρ(·, A) liên tục đều. Ký hiệu B(x, r) là r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r};
hình cầu sẽ có nghĩa là hình cầu mở và các hình cầu đóng ký hiệu là B(x, r)− .
-lân cận của một tập A là tập mở A = {x : ρ(x, A) < }.
So sánh các metric. Giả sử ρ và ρ là hai metric trên cùng khơng gian
S. Để nói rằng tơ pơ ρ là lớn hơn tơ pơ ρ là để nói các lớp tương ứng O và
O của các tập mở trong mối quan hệ
O⊂O.

(1.1)

Điều này đúng nếu và chỉ nếu với mọi x và r, có một r sao cho B (x, r ) ⊂
B(x, r) và trong trường hợp này tơ pơ ρ cũng được nói là tốt hơn tô pô ρ.
Coi ánh xạ đồng nhất i trên S như một ánh xạ từ (S, ρ ) vào (S, ρ). Khi đó
i là liên tục nếu và chỉ nếu G ∈ O kéo theo G = i−1 G ∈ O −nghĩa là nếu và
chỉ nếu (1.1) đúng. Hơn nữa, i là liên tục theo nghĩa này nếu và chỉ nếu
ρ (xn , x) → 0

kéo theo

ρ(xn , x) → 0.

Đây là cách khác để nói rằng tơ pơ ρ là "tốt hơn" tô pô ρ. Metric ρ là rời

rạc nếu ρ(x, y) = 1 với x = y; điều này đưa tới S tơ pơ tốt nhất có thể.
Hai metric và tô pô tương ứng là tương đương nếu mỗi trong chúng là tốt
hơn cái kia: (S, ρ) và (S, ρ ) là đồng phôi. Nếu ρ là tốt hơn ρ thì cả hai có thể
tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" khơng có nghĩa là "tốt hơn nghiêm
ngặt".
Tính khả ly. Khơng gian S là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật,
đếm được. Một cơ sở cho S là một lớp các tập mở với tính chất: mỗi tập mở
là hợp của các tập trong lớp đó. Một phủ mở của A là một lớp các tập mở
mà hợp của chúng chứa A.
6


Định lý 1.1.2. Ba điều kiện sau là tương đương:
(i) S là khả ly.
(ii) S có một cơ sở đếm được.
(iii) Mỗi phủ mở của mỗi tập con của S có một phủ con đếm được.
Chứng minh. 1.(i) → (ii). Lấy D đếm được, trù mật và lấy V là lớp các hình
cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Lấy G mở, để chứng minh V là một cơ sở,
chúng ta phải chỉ ra rằng nếu G1 là hợp của các phần tử của V mà bị chứa
trong G thì G = G1 . Thật vậy, ta đã có G1 ⊂ G và để chứng minh G ⊂ G1
ta lấy x ∈ D, d ∈ D và số hữu tỷ r sao cho x ∈ B(d, r) ⊂ G. (Nếu x ∈ G thì
B(x, ) ⊂ G với nào đó.) Do D là trù mật nên có d ∈ D sao cho ρ(x, d) < /2.
Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < /2 : x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, ).
2.(ii) → (iii). Lấy {V1 , V2 , . . .} là một cơ sở đếm được và giả sử rằng {Gα }
là một phủ mở của A (α chạy trên một tập chỉ số tùy ý). Với mỗi Vk mà tồn
tại một Gα thỏa mãn Vk ⊂ Gα , lấy Gαk là tập nào đó trong Gα chứa nó.
Khi đó, A ⊂

k

Gαk .

3.(iii) → (i). Với mỗi n, {B(x, n−1 ) : x ∈ S} là một phủ mở của S.
Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(xnk , n−1 ) : k = 1, 2, . . .}. Tập đếm
được {xnk : n = 1, 2, . . .} là trù mật trong S.
Một tập con M của S là khả ly nếu có một tập đếm được D là trù mật
trong M (M ⊂ D− ). Mặc dù D không nhất thiết là tập con của M , điều này
có thể dễ dàng được sắp xếp: Giả sử rằng {dk } trù mật trong M và lấy xkn là
điểm chung của B(dk , n−1 ) và M (nếu có). Lấy x trong M và

dương, chọn

n và dk để ρ(x, dk ) < n−1 < /2. Do B(dk , n−1 ) chứa điểm x của M , nó chứa
xkn và ρ(x, xkn ) < . Do đó, xkn tạo thành một tập con trù, mật đếm được
của M .
Định lý 1.1.3. Giả sử tập con M của S là khả ly.
7


(i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x ∈ G ∩ M
và G mở thì x ∈ A ⊂ A− ⊂ G với A nào đó trong A.
(ii) Mỗi phủ mở của M cú mt ph con m c (tớnh cht Lindelă
of ).
Chứng minh. 1.(i). Lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và lấy A
bao gồm các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Nếu x ∈ G ∩ M và G
mở, chọn

để B(x, ) ⊂ G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < /2 và

cuối cùng chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2. Suy ra rằng x ∈ B(d, r) ⊂

B(d, r)− ⊂ B(x, ) ⊂ G.
2.(ii). Lấy A = {A1 , A2 , . . .} là lớp của phần (i). Cho một phủ mở {Gα }
của M , với mỗi Ak chọn một Gαk chứa nó (nếu có). Thì M ⊂

k

Gαk .

Tính khả ly là một tính chất tơ pơ: Nếu ρ và ρ là hai metric tương đương
thì M là ρ-khả ly nếu và chỉ nếu nó là ρ -khả ly.
Tính đầy đủ. Một dãy {xn } là cơ bản hoặc có tính chất Cauchy nếu
sup ρ(xi , xj ) →n 0.
i,j≥n

Một tập M là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong M có giới hạn nằm trong nó.
Tập đầy đủ hiển nhiên là đóng. Một dãy cơ bản là hội tụ nếu nó chứa một
dãy con hội tụ. (Điều này cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra
tính đầy đủ của một dãy.)
Tính đầy đủ khơng là một tính chất tơ pơ: S = [1, ∞) là đầy đủ theo
metric thông thường (ρ (x, y) = |x − y|) nhưng không đầy đủ theo metric
tương đương ρ(x, y) = |x−1 − y −1 |. Một không gian metric (S, ρ) là không
gian đủ tô pô nếu như trong ví dụ này có một metric tương đương để ρ theo
đó là đầy đủ.
Cho một metric ρ trên S, xác định
b(x, y) = 1 ∧ ρ(x, y).

8

(1.2)

Do φ(t) = 1 ∧ t là không giảm và thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ 0
nên b là một metric (tương đương với ρ). Hơn nữa, do φ(t) ≤ t với t ≥ 0 và
φ(t) = t với 0 ≤ t ≤ 1 thì một dãy là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó là ρ-cơ bản;
điều này cũng có nghĩa S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ.
Tính compact. Một tập A theo định nghĩa compact là nếu mỗi phủ mở
của A có một phủ con hữu hạn. Một -lưới cho A là một tập của các điểm
{xk } với tính chất là với mỗi x trong A có một xk sao cho ρ(x, xk ) < ; A là
hồn tồn bị chặn nếu với mỗi

dương, nó có một -lưới (các điểm của nó có

thể khơng nằm trong A).
Định lý 1.1.4. Ba điều kiện sau là tương đương:
(i) A− là compact.
(ii) Mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ (giới hạn nằm trong A− ).
(iii) A là hoàn toàn bị chặn và A− là đầy đủ.
Chứng minh. Hiển nhiên (ii) đúng nếu và chỉ nếu mỗi dãy trong A− có một
dãy con hội tụ tới một điểm trong A− và A là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ
nếu A− cũng là hoàn toàn bị chặn. Do đó, chúng ta có thể thừa nhận chứng
minh A = A− là đóng.
Chứng minh là hiển nhiên nếu ta đặt thêm ba tính chất giữa (i) và (ii):
(i1 ) Mỗi phủ mở đếm được của A có một phủ con hữu hạn.
(i2 ) Nếu A ⊂

n

Gn , ở đó Gn mở và G1 ⊂ G2 ⊂ · · · thì A ⊂ Gn với n nào

đó.

(i3 ) Nếu A ⊃ F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , ở đó Fn là đóng và khác trống thì

n

Fn là

khác trống.
Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i1 ), (i2 ), (i3 ), (ii), (iii) là tương đương.
(i1 ) ↔ (i2 ). Hiển nhiên, (i1 ) kéo theo (i2 ).
9


Ngược lại, nếu {Gn } phủ A, chỉ cần thay thế đơn giản Gn bởi

k≤n

Gk .

(i2 ) ↔ (i3 ). Đầu tiên,(i2 ) nói rằng A ∩ Dn ↑ A kéo theo A ∩ Gn = A với
n nào đó. Và (i3 ) nói rằng A ∩ Fn ↓ ∅ kéo theo A ∩ Fn = ∅ với n nào đó (ở
đây Fn khơng nhất thiết chứa trong A). Nếu Fn = Gcn thì hai phát biểu là
như nhau.
(i3 ) ↔ (ii). Giả sử (i3 ) đúng. Nếu {xn } là một dãy trong A, lấy Bn =
{xn , xn+1 , . . .} và Fn = Bn− . Mỗi Fn là khơng trống, do đó nếu (i3 ) đúng thì
n

Fn chứa x nào đó. Do x là nằm trong bao đóng của Bn nên có in sao cho

in ≥ n và ρ(x, xin ) < n−1 ; chọn in quy nạp sao cho i1 < i2 < · · · Khi đó,
limn ρ(x, xin ) = 0: (ii) đúng.

Mặt khác, nếu Fn là các tập đóng giảm, khác trống và (ii) đúng thì lấy
xn ∈ Fn và x là giới hạn của dãy con nào đó; rõ ràng x ∈

n

(ii) → (iii). Nếu A khơng hồn tồn bị chặn thì tồn tại
vơ hạn trong A sao cho ρ(xm , xn ) ≥

Fn : (i3 ) đúng.
và dãy {xn }

với m = n. Nhưng khi đó {xn } khơng

chứa dãy con hội tụ và vì thế (ii) kéo theo A hồn tồn bị chặn. Và A− đầy
đủ bởi vì nếu {xn } là cơ bản và có một dãy con hội tụ tới x thì tồn bộ dãy
hội tụ tới x.
(iii) → (ii). Sử dụng phương pháp đường chéo. Nếu A hồn tồn bị chặn
thì với mỗi n có phủ bởi những hình cầu mở hữu hạn Bn1 , . . . , Bnkn bán
kính n−1 . Cho một dãy {xm } trong A, đầu tiên chọn một dãy tăng của
các số nguyên m11 , m12 , . . . theo cách mà tất cả xm11 , xm12 , . . . nằm trong
cùng B1k (điều đó có thể vì chỉ có hữu hạn hình cầu). Sau đó chọn một dãy
m21 , m22 , . . ., một dãy của m11 , m12 , . . . theo cách mà tất cả xm21 , xm22 , . . .
nằm trong cùng B2k . Tiếp tục như thế nếu ri = mii thì tất cả xrn , xrn+1 , . . .
nằm trong cùng Bnk . Nó kéo theo rằng xr1 , xr2 , . . . là cơ bản và do đó hội tụ
đầy đủ tới điểm nào đó của A.
Do vậy (i1 ) đến (iii) là tương đương. Do (i) kéo theo (i1 ) nên ta có thể
hồn thành chứng minh bởi (i1 ) và (iii) cùng kéo theo (i).

10

Nhưng nếu A là hồn tồn bị chặn thì nó rõ ràng là khả ly và nó suy ra bởi
tính cht Lindelă
of rng mt ph m bt k ca A có một phủ con đếm được.
Và do đó theo (i1 ), nó có một phủ con hữu hạn.
Tính compact là một tính chất tơ pơ (theo điều kiện (ii) của định lý).
Một tập A là bị chặn nếu đường kính sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A} của nó hữu hạn.
Theo nghĩa này, bao đóng của một tập hồn tồn bị chặn rõ ràng là bị chặn;
điều ngược lại là sai, như ví dụ các hình cầu đóng trong C (Ví dụ 2.1.3) là
khơng compact. Mặt khác, một tập trong k-khơng gian Euclid là hồn tồn
bị chặn nếu và chỉ nếu nó là bị chặn.
Một tập A là compact tương đối nếu A− là compact. Điều này tương
đương với điều kiện mọi dãy trong A đều chứa một dãy con hội tụ (giới hạn
của chúng có thể khơng nằm trong A).
Một kết quả hữu ích: Ảnh liên tục của một tập compact là compact. Giả
sử rằng f : S → S là liên tục và A là tập compact trong S. Nếu {f (xn )} là
một dãy trong f (A), chọn {ni } sao cho {xni } hội tụ tới một điểm x của A.
Bằng tính liên tục, {f (xni )} hội tụ điểm tới f (x) của f (A).
Tích các không gian metric. Giả sử (Si , ρi ), i = 1, 2, . . . là các không
gian metric và xét tích Descartes S = S1 × S2 × · · · . Khi đó rõ ràng
∞

2−i (1 ∧ ρi (xi , yi ))

ρ(x, y) =

(1.3)

i=1

là một metric.
Nếu mỗi Si là khả ly thì S là khả ly. Giả sử Di là tập trù mật đếm được
trong Si và xét tập đếm được D trong S chứa các điểm có dạng
x = (x1 , . . . , xk , xok+1 , xok+2 , . . .),

(1.4)

trong đó k ≥ 1, xi là một điểm biến đổi của Di với i ≤ k và xoi là điểm cố
định của Si với i > k. Với cho trước và y ∈ S, chọn k sao cho
sau đó chọn các điểm xi của Di sao cho ρi (yi , xi ) < .
11

i>k

2−i < ,


Khi đó, (1.4) thỏa mãn ρ(y, x) < 2 .
Nếu mỗi Si đầy đủ thì S là đầy đủ. Thật vậy, giả sử rằng xn = (xn1 , xn2 , . . .)
là các điểm của S tạo thành một dãy cơ bản. Khi đó, mỗi dãy x1i , x2i , . . . là
dãy cơ bản trong Si và do đó ρi (xni , xi ) →n 0 với các xi nào đó thuộc Si .
Theo M -test thì ρ(xn , x) → 0.
Nếu Ai compact trong Si thì A1 × A2 × · · · compact trong S. Do với dãy
các điểm xn = (xn1 , xn2 , . . .) thuộc A cho trước, với mỗi i ta xét dãy x1i , x2i , . . .
trong Ai . Vì Ai compact thì tồn tại dãy các số nguyên n1 , n2 , . . . sao cho
xni k →k xi với xi nào đó thuộc Ai . Nhưng theo phương pháp đường chéo,
chuỗi {nk } có thể được chọn để xni k →k xi với mỗi i tại cùng thời điểm. Và
khi đó xnk →k (x1 , x2 , . . .).
Phạm trù Baire. Một tập A trù mật trong B nếu B ⊂ A− . Và A trù
mật khắp nơi nếu S = A− , điều này đúng nếu và chỉ nếu A trù mật trong

mọi hình cầu mở B. Và A được xác định để là khơng đâu trù mật nếu khơng
tồn tại hình cầu mở B mà nó trù mật trong đó. Ví dụ, tập Cantor là một tập
không đâu trù mật trong khoảng đơn vị nhưng một tập khơng đâu trù mật
có thể hồn tồn tầm thường: Một đường thẳng là khơng đâu trù mật trong
mặt phẳng.
Nói A khơng đâu trù mật là để nói rằng với mỗi hình cầu mở B, A không
trù mật trong B, tức là B chứa x nào đó sao cho với
B(x, ) ⊂ Ac . Nhưng vì B mở nên B(x, ) ⊂ B với

nào đó, hình cầu

đủ nhỏ:

B(x, ) ⊂ B ∩ Ac .

(1.5)

Vì vậy, A là tập không đâu trù mật nếu và chỉ nếu mỗi hình cầu mở B đều
chứa một hình cầu mở B(x, ) thỏa mãn (1.5). Bằng cách lấy
thể nâng (1.5) thành B(x,

−

đủ nhỏ, ta có

) ⊂ B ∩ Ac .

Định lý 1.1.5 (Trù mật Baire). Nếu S đầy đủ thì nó khơng thể được biểu
diễn như là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật.
12

Chứng minh. Giả sử rằng A1 , A2 . . . là các tập khơng đâu trù mật. Khi đó,
tồn tại x1 ∈ S sao cho B(x1 ,
x2 sao cho B(x2 ,
có thể chọn

n

2)

−

⊂ B(x1 ,

sao cho

n

1)

−

⊂ S ∩ Ac1 với

c
1 )∩A2

với

2

1

nào đó. Và B(x1 ,

1)

chứa

nào đó. Tiếp tục quá trình đó ta

< 2−n . Do ρ(xn , xn+1 ) < 2−n nên dãy {xn } là dãy

cơ bản và do đó nó hội tụ tới x nào đó. Với mỗi k, x nằm trong B(xk ,
nên nó nằm ngồi Ak . Vậy S =

k

k)

−

Ak là không thể.

Nửa liên tục trên. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (nltt) tại x0
nếu với mỗi , tồn tại δ sao cho ρ(x0 , y) < δ thì f (y) < f (x0 ) + . Dễ thấy f
là nửa liên tục trên (nltt tại mọi điểm) nếu và chỉ nếu với mỗi số thực α thì
{x : f (x) < α} là tập mở.
Định lý 1.1.6 (Định lý Dini). Nếu fn (x) ↓ 0 với mỗi x và nếu mỗi fn là

nửa liên tục trên thì sự hội tụ này là đều trên mỗi tập compact.
Chứng minh. Với mỗi , các tập mở Gn = {x : fn (x) < } phủ S.
Nếu K compact thì K ⊂ Gn với n nào đó và do đó fn hội tụ đều đến 0.
Hàm Lipschitz. Một hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên một tập
con A của S có thể được mở rộng cho tồn bộ khơng gian.
Định lý 1.1.7. Giả sử hàm f trên S thỏa mãn: |f (x) − f (y)| ≤ Kρ(x, y)
với x, y ∈ A. Tồn tại một mở rộng g của f thỏa mãn điều kiện tương tự
|g(x) − g(y)| ≤ Kρ(x, y) với x và y thuộc S. Nếu f thỏa mãn |f | ≤ a trên A
thì có thể lấy g để thỏa mãn |g| ≤ a trên S.
Chứng minh. Cố định z thuộc A. Nếu y ∈ A thì với mọi x ∈ S
f (y) + Kρ(x, y) = f (z) + Kρ(x, y) + (f (y) − f (z))
≥ f (z) + Kρ(x, y) − Kρ(y, z) ≥ f (z) − Kρ(x, z).
Do đó, hàm g(x) = inf y∈A (f (y) + Kρ(x, y)) được định nghĩa tốt trên S.
Nếu x, y nằm trong A thì f (y) + Kρ(x, y) ≥ f (x), dấu bằng xảy ra tại
13


y = x : g(x) = f (x) với x ∈ A.
Cho x, x là các điểm của S. Với

> 0 cho trước, chọn y ∈ A sao cho

g(x) ≥ f (y) + Kρ(x, y) − . Khi đó
g(x ) − g(x) ≤ f (y) + Kρ(x , y) − [f (y) + Kρ(x, y) − ]
= K[ρ(x , y) − ρ(x, y)] + ≤ Kρ(x , x) + ,
nên g(x ) − g(x) ≤ Kρ(x , x). Đổi chỗ x và x để có điều kiện Lipschitz cho g.
Nếu |f | ≤ a thì |g| ≤ a.
Tơ pơ và tính đo được. Một σ-trường Borel S đối với (S, ρ) là σ-trường
được sinh bởi các tập mở. Lấy (S , ρ ) là không gian metric thứ hai với σtrường S . Nếu h : S → S liên tục thì nó là S/S đo được (tức là A ∈ S thì
A ∈ S).

Lấy (Ω, F) là một khơng gian đo được và hn , h là các ánh xạ từ Ω vào S.
Nếu mỗi hn là F/S đo được và nếu limn hn x = hx với mỗi x thì h cũng là
−1 2
F . Nếu F đóng thì
F/S đo được. Thực tế, h−1 F ⊂ lim inf n h−1
n F ⊂ h

h−1 F =

lim inf n h−1
n F và nằm trong F.

Dh là tập các điểm nằm trong S mà h không liên tục. Điều này đúng
cho dù là h không là S/S đo được. Để chứng minh, lấy A

δ

là tập các x

trong S mà có các điểm y và z trong S thỏa mãn ρ(x, y) < δ, ρ(x, z) < δ và
ρ (hy, hz) ≥ . Khi đó A

δ

mở và Dh ∈ S vì Dh =

δ

A δ.

Không gian con. Tập con S0 của S là không gian metric. Nếu O và O0 là
lớp các tập mở trong S và S0 thì O0 = O ∩ S0 (= {G ∩ S0 : G ∈ O}), từ đó
σ-trường trong S0 là
S0 = S ∩ S0 .

(1.6)

S0 = {A : A ⊂ S0 , A ∈ S}.

(1.7)

Nếu S0 nằm trong S thì

Khơng gian tích. Lấy S và S là các không gian metric ρ và ρ và các
σ-trường S và S . Xét khơng gian tích T = S × S . Tơ pơ tích trong T có
14


thể được xác định bởi nhiều tô pô như
t((x , x ), (y , y )) =

[ρ (x , y )]2 + [ρ (x , y )]2

(1.8)

và
t((x , x ), (y , y )) = ρ (x , y ) ∨ ρ (x , y ).

(1.9)

Đối với cả hai metric này đều tồn tại sự hội tụ (xn , xn ) → (x , x ) trong T
nếu và chỉ nếu xn → x trong S và xn → x trong S . Đối với metric (1.9)
ta có
Bt ((x , x ), r) = Bρ (x , r) × Bρ (x , r).

(1.10)

Xét phép chiếu π : T → S và π : T → S xác định bởi π (x , x ) = x
và π (x , x ) = x đều là các ánh xạ liên tục. Nếu T0 đếm được và trù mật
trong T thì π T0 và π T0 là đếm được và trù mật trong S và S . Mặt khác,
nếu S0 và S0 đếm được và trù mật trong S và S thì S0 × S0 đếm được và
trù mật trong T . Do đó: T khả ly khi và chỉ khi S và S đều khả ly.
Lấy T là σ-trường Borel trong T . Ta cũng xét tích σ-trường S × S −
được sinh bởi hình chữ nhật đo được, các tập A ×A với A ∈ S và A ∈ S .
Hình chữ nhật này là (π )−1 A ∩ (π )−1 A ; vì hai ánh xạ chiếu là liên tục
nên chúng tương ứng là T /S và T /S đo được và suy ra rằng hình chữ nhật
nằm trong T . Do đó, S × S ⊂ T . Mặt khác, nếu T khả ly thì mỗi tập mở
trong T là hợp đếm được các tập trong (1.10) và do đó nằm trong S × S .
Suy ra
S ×S =T

(1.11)

nếu T là khả ly.
n
Định lý Scheffé’s. Giả sử rằng ym
là không âm và
n
(hữu hạn) với mọi n và ym
→n ym với mọi m. Khi đó chuỗi

n
|ym
− ym | →n 0.
m

15

m

n
ym
=

m

ym


Nếu f là hàm thực liên tục và bị chặn thì
n
n
ym
f (ym
) →n

ym f (ym ).

m

m

Nếu f bị chặn bởi M thì
n
n
ym
f (ym
)−

|
m

ym f (ym )|
m
n
n
|ym
− ym | · |f (ym
)| +

≤

n
ym |f (ym
) − f (ym )|

m

m
n
|ym

− ym | +

≤M
m

n
ym |f (ym
) − f (ym )|.
m

Bất đẳng thức Etemadi. Nếu S1 , . . . , Sn là các tổng của biến ngẫu
nhiên độc lập thì
P max |Sk | ≥ 3α
k≤n

≤ 3 max P |Sk | ≥ α .
k≤n

Để chứng minh điều này, xét các tập Bk ở đó |Sk | ≥ 3α mà |Sj | < 3α với
j < k. Do Bk là rời nhau nên
P max |Sk | ≥ 3α
k≤n

≤ P |Sn | ≥ α �� t ≤ 1. Vậy biến đổi quá trình Wiener tiêu chuẩn Wto = Wt − tW1
được gọi là cầu Brown.
Ta cũng sử dụng W o để ký hiệu phân bố trên C của hàm ngẫu nhiên W o .
Nếu h : C → C biến x thành x(t) − tx(1) tại thời điểm t thì các độ đo W và
W o được liên hệ bởi W o = W h−1 .

3.3

Hàm của các quỹ đạo chuyển động Brown

Kỹ thuật được sử dụng trong phần trước để tìm phân bố của supt Wt và
√
phân bố giới hạn của Mn /σ n sẽ được ta dùng để áp dụng cho các hàm khác
của quỹ đạo chuyển động Brown và các tổng riêng. Ta cũng tính tốn một số
phân bố liên quan đến cầu Brown. Trong phần tiếp theo, sự hội tụ theo phân
phối tới W sẽ được chứng minh cho một loạt các hàm ngẫu nhiên và trong
mỗi trường hợp việc tính tốn được thực hiên bằng cách áp dụng điều này.
Trong phần này, trường hợp Linderbeg-Lévy có nghĩa là một trong những
Sn là tổng riêng của biến ngẫu nhiên có cùng phân bố ξi với kỳ vọng 0,
phương sai σ 2 và X n sẽ được ký hiệu cho hàm ngẫu nhiên xác định bởi (3.19)
Xtn (w) =

1
√ S
σ n

nt

1
(w) + (nt − nt ) √ ξ
σ n

nt +1 (w).

Trường hợp di động ngẫu nhiên sẽ tương ứng với mỗi ξi nhận giá trị ±1 với
xác suất

1
2

(σ 2 = 1).

79


3.3.1

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Lấy m = inf t Wt và M = supt Wt và
mn = min Si ,

Mn = max Si

0≤i≤n

0≤i≤n

(3.36)

là các đại lượng tương ứng với các tổng riêng. Ánh xạ biến x ∈ C thành điểm
(inf t x(t), supt x(t), x(1)) ∈ R3 là liên tục mọi nơi và theo định lý Donsker và
nguyên lý ánh xạ thì
1
√ (mn , Mn , Sn ) ⇒ (m, M, W1 )
σ n

(3.37)

trong trường hợp Linderbeg-Lévy.
Đầu tiên, ta tìm một cơng thức tường minh cho
pn (a, b, v) = P{a < mn ≤ Mn < b, Sn = v},

(3.38)

trong trường hợp di động ngẫu nhiên. Ta chỉ ra rằng nếu
pn (j) = P{Sn = j},

(3.39)

thì
∞

∞

pn (v + 2k(b − a)) −

pn (a, b, v) =
k=−∞

pn (2b − v + 2k(b − a)) (3.40)
k=−∞

với các số nguyên a, b, v thỏa mãn
a ≤ 0 ≤ b,

a < b,

a ≤ v ≤ b.

(3.41)

Vì a < b nên chuỗi trong (3.40) là tổng hữu hạn thực sự. Chú ý rằng cả hai
vế của (3.40) đều triệt tiêu nếu n và v đối nhau hoặc nếu v bằng a hoặc b.
Với các giá trị đặc biệt của n, a, b, v, ta ký hiệu phương trình (3.40) bởi
[n, a, b, v]. Khi đó [n, a, b, v] là đúng nếu (3.41) đúng và chứng minh điều này
bằng quy nạp theo n.
80


Nếu n = 1: Dễ thấy điều này đúng.
Giả sử, khẳng định của ta đúng với n − 1, tức là [n − 1, a, b, v] đúng với a, b, v
thỏa mãn (3.41). Ta chứng minh khẳng định đúng với n.
Nếu a = 0 thì (3.38) triệt tiêu (i bắt đầu từ 0 trong min ở (3.36) và S0 = 0)
và tổng bên vế phải trong (3.40) biến mất do pn (j) = pn (−j). Vậy [n, a, b, v]
đúng nếu (3.41) đúng và a = 0.
Tương tự với b = 0.
Để hoàn thành bước quy nạp, ta phải thử [n, a, b, v] theo giả thiết a < 0 < b
và a ≤ v ≤ b. Nhưng trong trường hợp a + 1 ≤ 0 và b − 1 ≥ 0 thì theo giả
thiết quy nạp [n − 1, a − 1, b − 1, v − 1] và [n − 1, a + 1, b + 1, v + 1] đúng.
Và bây giờ, ta chứng minh cho [n, a, b, v] bằng phép truy hồi xác suất (điều
kiện theo hướng của bước đầu tiên của di động ngẫu nhiên)
pn (j) =

1
1
pn−1 (j − 1) + pn−1 (j + 1)

2
2

và
pn (a, b, v) =

1
1
pn−1 (a − 1, b − 1, v − 1) + pn−1 (a + 1, b + 1, v + 1).
2
2

Điều này kéo theo (3.40) và nó được suy ra bởi tổng theo v, nếu
a ≤ 0 ≤ b,

a ≤ u < v ≤ b,

(3.42)

thì
P{a < mn ≤ Mn < b, u < Sn < v}
∞

P{u + 2k(b − a) < Sn < v + 2k(b − 1)}

=
k=−∞
∞

−

(3.43)

P{2b − v + 2k(b − a) < Sn < 2b − u + 2k(b − a)}.
k=−∞

Lấy a = −n − 1 trong cơng thức này thì dẫn tới
P{Mn < b, u < Sn < v} = P{u < Sn < v}
− P{2b − v < Sn < 2b − u},
81

(3.44)


đúng với −n − 1 ≤ u < v ≤ b, b ≥ 0. Từ (3.44) có thể suy ra (3.32).
Bây giờ, (3.43) đúng trong trường hợp di động ngẫu nhiên và vì (3.37)
nên ta có thể tìm phân bố của (m, M, W1 ) qua giới hạn. Nếu a, b, u, v là
các số thực thỏa mãn (3.42), thay thế chúng trong (3.43) bởi các số nguyên
√
√
√
√
a n , b n , u n , v n tương ứng. Theo định lý giới hạn trung tâm và
do tính liên tục của phân bố chuẩn nên qua giới hạn trong (3.43) được
P{a < m ≤ M < b, u < W1 < v}
∞

P{u + 2k(b − a) < N < v + 2k(b − a)}

=

k=−∞
∞

(3.45)

P{2b − v + 2k(b − a) < N < 2b − u + 2k(b − a)}.

−
k=−∞

Việc trao đổi của giới hạn với tổng theo k có thể được chứng minh bằng dạng
chuỗi của Định lý Scheffé.
Phân bố chung của M và W1 có thể thu được riêng lẻ bằng cách cho a
tiến tới −∞ trong (3.45) (nhưng nó sẽ đơn giản hơn so với trở về trường hợp
di động ngẫu nhiên và qua giới han trong (3.44))
P{M < b, u < W1 < v}

(3.46)

= P{u < N < v} − P{2b − v < N < 2b − u};
đúng với u < v ≤ b, b ≥ 0. Lấy v = b và cho u → −∞ dẫn tới
P{0 ≤ M < b} = 2P{0 ≤ N < b};

(3.47)

điều này hoàn toàn giống với (3.34).
Từ (3.45) với u = a, v = b ta được
P{a ∞

=

(−1)k P{a + k(b − a) < N < b + k(b − a)},
k=−∞

82

(3.48)


đúng với a ≤ 0 ≤ b. Và với a = −b được
∞

(−1)k P{(2k − 1)b < N < (2k + 1)b},

P{sup |Wt | < b} =
t

(3.49)

k=−∞

với b ≥ 0.
Mặc dù ta có thể thu được (3.45) qua (3.49) qua giới hạn trong trường hợp
ngẫu nhiên di động, ta có các phân bố giới hạn cho (mn , Mn , Sn ), (Mn , Sn ),
√
Mn , (mn , Mn ) và maxi≤n |Sn | (tất cả chuẩn hóa bởi σ n) trong trường hợp
Lindeberg-Lévy tổng quát hơn vì (3.37) là đúng (trong trường hợp này).

3.3.2

Luật Arcsin

Với x ∈ C, lấy
h1 (x) = sup t mà x(t) = 0 với t ∈ [0, 1].
[0,1]

h2 (x) là độ đo Lebesgue của t trong đoạn [0, 1] mà x(t) > 0;
h3 (x) là độ đo Lebesgue của t trong đoạn [0, h1 (x)] mà x(t) > 0. Khi đó,
T = h1 (W ) là thời điểm mà tại đó W đi qua điểm 0 lần cuối, U = h2 (W ) là
tổng số tất cả thời điểm W qua 0 và V = h3 (W ) là số lượng thời điểm W qua
0 trên đoạn [0, T ]. Qua đó để tìm được phân bố đồng thời của (T, U, V, W1 ).
Ta có thể chỉ ra rằng các hàm h1 , h2 , h3 là đo được và liên tục bên ngồi
tập có độ đo 0. Do đó
(h1 (X n ), h2 (X n ), h3 (X n ), X1n ) ⇒n (T, U, V, W1 ),

(3.50)

trong trường hợp Lindeberg-Lévy. Trong trường hợp di động ngẫu nhiên, véc
tơ ở vế trái có thể hiểu đơn giản: Tn = nh1 (X n ) là giá trị i lớn nhất, 1 ≤ i ≤ n
mà Si = 0; Un = nh2 (X n ) là số các i, 1 ≤ i ≤ n mà Si−1 và Si đều không
âm; Vn = nh3 (X n ) là số các i, 1 ≤ i ≤ Tn mà Si−1 và Si đều không âm; và
√
dĩ nhiên X1n = Sn / n.
83


Với các định nghĩa trên, ta có
1
1

1
1
Tn , Un , Vn , √ Sn
n
n
n
n

⇒n (T, U, V, W1 )

(3.51)

trong trường hợp di động ngẫu nhiên; phân bố của (T, U, V, W1 ) sẽ được tìm
bằng cách qua giới hạn. Trong trường hợp Lindeberg-Lévy, vế trái của (3.50)
là một hàm số nào đó khá phức tạp của các tổng riêng Si , nhưng vẫn có thể
để suy ra định lý giới hạn được liên kết một cách tự nhiên với các tổng riêng
của chúng.
Vì véc tơ ngẫu nhiên (T, U, V, W1 ) bị ràng buộc bởi

1 − T + V
nếu
W1 ≥ 0,
U=

V
nếu
W1 ≤ 0.

(3.52)

nên nó đủ để coi như là (T, V, W1 ) và véc tơ (Tn , Vn , Sn ). Phân bố của véc tơ
sau cùng trong trường hợp di động ngẫu nhiên sẽ được suy ra từ ba lập luận
dưới đây.
Đầu tiên, ta cần định lý giới hạn trung tâm địa phương cho di động ngẫu
nhiên: Nếu m dần tới vô cùng và j biến thiên theo m sao cho j và m có cùng
√
bậc và j/ m → y, khi đó
√
m
1 y2 /2
pm (j) →
e
.
(3.53)
2
2π
Thứ hai, cần có
P{S1 > 0, . . . , Sm−1 > 0, Sm = j} =

j
pm (j) với j dương.
m

(3.54)

Nếu S2m = 0 thì U2m = V2m nhận một trong số các giá trị 0, 2, . . . , 2m;
Thứ ba ta cần là m + 1 các giá trị này đều có cùng xác suất có điều kiện
P{V2m = 2i|S2m = 0} =

1

,
m+1

i = 0, 1, . . . , m.

(3.55)

Để tính xác suất với Tn = 2k, Vn = 2i, Sn = j, trong điều kiện biến ngẫu
nhiên S2k = 0. Tùy theo điều kiện của biến ngẫu nhiên này, (S0 , . . . , S2k ) và
84


(S2k+1 , . . . , Sn ) độc lập, Vn chỉ phụ thuộc vào chuỗi đầu tiên và Tn = 2k,
Sn = j đều đúng nếu và chỉ nếu các phẩn tử của chuỗi thứ hai khác không
và phần tử cuối bằng j. Theo (3.54) và (3.55) ta kết luận rằng
P{Tn = 2k, Vn = 2i, Sn = j} = p2k (0)

1
j
pn−2k (j)
k + 1 n − 2k

(3.56)

nếu
0 ≤ 2i ≤ 2k < n,

j > 0.

(3.57)

Cả hai vế của (3.56) triệt tiêu nếu n và j đối nhau. Với j âm, công thức tương
tự vẫn đúng với |j| thay cho j trong vế phải.
√
Ta áp dụng Định lý 2.3.6 để mạng các điểm (2k/n, 2i/n, j/ n) với j và
n có cùng bậc. Giả thiết rằng
2k
→k→∞ t,
n

2i
→i→∞ v,
n

j
√ →j→∞ x,
n

trong đó 0 < v < t < 1 và x > 0. Khi đó (3.57) đúng với n đủ lớn và theo
(3.56) và (3.53)
2 2 2
· ·√
n n
n

−1

P{Tn = 2k, Vn = 2i, Sn = j} → g(t, x),

trong đó

g(t, x) =

|x|
1
−x2 /2(1−t)
e
,
2π [t(1 − t)]3/2

0 < t < 1.

(3.58)

Kết quả tương tự cũng đúng với x âm do tính đối xứng. Vì định lý giới hạn
địa phương bao hàm cả nghĩa toàn cục (Định lý 2.3.6)
1
1
1
Tn , Vn , √ Sn
n
n
n

(3.59)

có (trong trường hợp di động ngẫu nhiên) phân bố giới hạn trong R3 xác
định bởi mật độ
f (t, v, x) =


 g(t, x)


0

nếu 0 < v < t < 1,
(3.60)
ngược lại.
85


Theo (3.51), (T, V, W1 ) có hàm mật độ như vậy. Bởi vì (3.52) nên phân bố
của (T, U, V, W1 ) có thể được viết ra một cách rõ ràng.
Từ (3.60) suy ra phân phối có điều kiện của V cho bởi T và W1 là phân
phối đều trên [0, T ]; điều này tương ứng với (3.55). Theo (3.52), nếu T = t,
W1 = x thì U được phân phối đều trên [1 − t, 1] với x > 0 và đều trên [0, t]
với x < 0. Sử dụng (3.60) để đếm các giá trị có thể của t và x, ta tìm được
hàm mật độ của U :
x>0
1−u
g(t, x)dtdx +

x<0
u
g(t, x)dtdx.

(3.61)

Tích phân của g(t, x) trên miền x > 0 là 1/[2πt3/2 (1 − t)1/2 ], nó là đạo hàm
của −π −1 ((1 − t)/t)1/2 và do đó (3.61) quy về 1/[πu1/2 (1 − u)1/2 ]. Do đó
u

P{U ≤ u} =
0

ds
s(1 − s)

=

√
2
arcsin u,
π

0 < u < 1.

(3.62)

Đây là phân phối cung sine Paul Lévy. Tương tự T cũng kéo theo luật arcsin:
P{T ≤ t} =

√
2
arcsin t,
π

0 < t < 1.

(3.63)

Kết hợp (3.50) với các sự kiện đã nêu để có được một định lý giới hạn
cho trường hợp Lindeberg-Lévy tổng quát. Ta đồng ý rằng một zero-crossing
xảy ra tại i nếu biến ngẫu nhiên
Ei = {Si = 0} ∪ {Si−1 > 0 > Si } ∪ {Si−1 < 0 < Si }

(3.64)

xảy ra (trong trường hợp di động ngẫu nhiên là Si = 0).
Cho Tn là i lớn nhất, 1 ≤ i ≤ n mà một zero-crossing xảy ra tại i;
Un là số lượng các i, 1 ≤ i ≤ n mà Si > 0;
Vn là số lượng các i, 1 ≤ i ≤ Tn mà Si > 0. Từ đó suy ra
1
1
1
1
Tn , Un , Vn , √ Sn
n
n
n
σ n

⇒n (T, U, V, W1 )

nếu ta có thể chỉ ra vế trái xấp xỉ vế trái của (3.50).

86

(3.65)


Rõ ràng, Tn /n nằm trong vòng 1/n của h1 (X n ). Nếu γn là số các i,
1 ≤ i ≤ n sao cho Ei xảy ra−số các zero-crossing−thì Un /n và Vn /n tương
ứng nằm trong vòng γn /n của h2 (X n ) và h3 (X n ). Do đó (3.65) được suy ra
từ (3.50) và Định lý 2.3.1 nếu ta chứng minh rằng γn /n ⇒n 0 và với điều này
là đủ để chỉ ra
1
E{γn /n} =
n
Nhưng
PEi ≤ P{|ξi | ≥
với mỗi

√

n

PEi → 0.

(3.66)

i=1

√

i} + P{|Si−1 | ≤

i},

dương và do đó theo định lý giới hạn trung tâm thì PEi → 0. Và

(3.66) là một hệ quả của định lý trên trung bình Cesàro.
Từ (3.65) ta có thể kết luận cho Un /n và Vn /n có phân phối arcsin theo
giới hạn.

3.3.3

Cầu Brown

Cầu Brown W o hoạt động như một quỹ đạo Wiener W có điều kiện bởi
yêu cầu W1 = 0. {W1 = 0} là một biến ngẫu nhiên của xác suất 0, điều này
có thể được dùng để suy ra phân phối liên kết với W o .
Cho P là độ đo xác suất trên (C, C) xác định bởi
P A = P{W ∈ A|0 ≤ W1 ≤ },

A ∈ C.

Bước đầu tiên ta chứng minh rằng
P ⇒ Wo

khi

→0

(3.67)

Lấy W như một hàm ngẫu nhiên xác định trên khơng gian xác suất nào đó

và lấy trên cùng không gian xác suất xác định W o bởi: Wto = Wt − tW1 . Nếu
ta chứng minh được
lim sup P{W ∈ F |0 ≤ W1 ≤ } ≤ P{W o ∈ F },
→0

87

(3.68)