CHU DE 0PHAN TICH DA THUC THANH NHAN TU

Chủ đề 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (1) !
1. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đa thức.
VD: a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2

√x

y +5

√x
=

- 10y = [(

√x ( √x

√x

√x

)2 – 2 y

- 2y) + 5(

√x

√x
= ( √x

] + (5

- 2y)

- 10y)
- 2y)(

√x

+

5)

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phương ph¸p 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
LÝ thuyÕt: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được
biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
a) Phương pháp đặt nhân tử chung c dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
Cụ thể:
AB + AC + AD = A( B + C + D)
b) Các bc tiến hành:
-Bc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
-Bc 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử
chung.
VD1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3
b) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
3
2 2
3
Giải: a) B = 17x y - 34x y + 51xy Þ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2)

b)D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Þ D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by).
BI TP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = 2x2 + x
b) B = 16x2(x - y) -10y(y - x)
2
2
2 2
c) C = 14x – 21xy + 28x y
d) D = 2(x + 3) – x(x + 3)
VD2: Giải phương trình:
x + √2 x - 3 = 0
Giải: Ta có:
x + √ 2 x -3 = 0  (1+ √ 2 ) x -3 = 0

3
 (1+ √ 2 ) x = 3  x= 1+ √ 2

{

3
1+ √ 2

}

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S =
BÀI TẬP: Giải phương trình:
a) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)
b) 5x(x - 3) + 10(x - 3) = 0
Phương pháp 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
LÝ thuyÕt: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng

đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tớch cỏc a thc.
a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phng pháp dùng hằng đẳng thức c dùng khi các
hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.
b) Các hằng đẳng thức quan trọng
3
3
2
2
1. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
6. a  b (a  b)(a  ab  b )
2
2
2
2. a - 2ab + b = (a - b)
an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1).
3. a2 - b2 = (a + b).(a - b)
a3  b3 (a  b)(a2  ab  b2 )
4. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + 7.
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1).
b)3


5. a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - 8. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2
b)3

VD1: Ph©n tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = x2 - 4
b) B = x2 + 2xy + y2 - 25
c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1
2

2
2
⇒
Giải: a) A = x - 4
A = x - 2 = (x - 2)(x + 2).
2
2
b) B = x + 2xy + y - 25 ⇒ B = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5).
c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 ⇒ C = [( x + y) - 1)] 2 = ( x + y - 1)2
BI TP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = a3+ 6a2 + 12a + 8
b) B = x2 – 4x + 4
c) C = 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2
d) D = x2 + 4x – y2 + 4
2
2
VD2: Giải phương trình: ( x+1 ) =4 ( x −2 x +1 )
Giải: Ta có:

( x+1 )2=4 (x 2 −2 x+1 )
⇔ x 2 +2 x +1=4 x 2−8 x +4
2
2
⇔ x +2 x−4 x +8 x=4−1
⇔−3 x 2 +10 x=3
⇔−3 x 2 +9 x +x−3=0
⇔−3 x ( x−3 )+1 .( x−3 )=0
x=3
x
−3=0

x
=3
⇔( x−3 )(−3 x +1)=0⇔[
⇔[
⇔[ 1
−3 x +1=0 −3 x=−1 x=
3
1
;3
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={ 3
}

BÀI TẬP: Giải phương trình:

a) (x2 + 2x + 1) - 9 = 0

b) x3 - 1 = x(x - 1)

Phương pháp 3: NHĨM CÁC HẠNG TỬ
LÝ thut: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân
tử chung hoặc dựng hng ng thc ỏng nh. Phng pháp này thng c dùng cho
những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay c
hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất
hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể:
Bc 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
Bc 2: Nhóm để áp dụng phng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
Bc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) A = xy - xz - y + z
b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1

Giải: a) A = xy - xz - y + z ⇒ A = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1)
b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1)
= (x + y)2- (z - 1)2 =[ ( x + y )−( z−1 ) ][ ( x + y ) + ( z−1 ) ]

= (x + y - z + 1)(x + y + z

- 1).
BÀI TẬP: Ph©n tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) P = 5x2 - 5xy - 10x + 10y.

b) B = (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab.


PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (tiếp theo)
Phương pháp 1: T NHN T CHUNG
VD: Phân tích B thành nhân tö :
B x y  y x

(x 0;y 0)
2

2

√ √ √ x √ y ( √ x− √ y )

Giải: B=x y− y x⇒ B=( x ) y−( y ) x=
Bi tp: Phân tích các đa thức sau thành nhân tö :

√

a)

√

√ √

A=3 √ x−x

B=5 y+10 √ y
d) E = 10(

√x

√x

√x

b) Q = 3x + 12

- y) – 8y(y -

√x

)

y

e) F = 5

c)

√x ( √x

- 2010) -

+ 2010 = 0

Phương pháp 2 : DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
2
(a,b 0)
1. a  2 a.b  b ( a  b)
2
2. a  2 a.b  b ( a  b)
3. a  b ( a  b).( a  b)

(a,b 0)
(a,b 0)

4.

a3  3a b  3b a  b3 ( a  b)3

(a,b 0)

5.

a3  3a b  3b a 

(a,b 0)

b3 ( a 

b)3

3
3
6. a a  b b  a  b ( a  b)(a 

3
7. a a  b b  a 

b3 ( a 

ab  b)

b)(a  ab  b) (a,b 0)

2
8. a  b  c  2 ab  2 ac  2 bc ( a  b  c)
2
VD: Ph©n tÝch M thành nhân tử : M = a 2

2

(a,b 0)

(a,b 0)

2

Giải: M = a2  2 =a − ( √ 2 ) =( a− √2 ) ( a+ √2 )
Bài tp: Phân tích N, P thành nhân tử :

N=9 a1

a)

( a≥0 )

b)

P=x+1+2 √ x ( x≥0 )

Phương pháp 3: NHÓM CC HNG T
VD: Phân tích D thành nhân tử :
Gii:

D=a2 √ a+1−b ( a≥0,b≥0 )

D=a−2 √ a+1−b
2
2
2
2
⇒ D=( √ a ) −2 . √ a . 1+1−( √ b ) =( √a−1 ) −( √ b ) =( √ a−1−√ b )( √ a−1+ √ b )
Bài tập: Ph©n tÝch cỏc a thc sau thành nhân tử :
a)
b)

E=a ba+2 √ab−b−b √ a ( a≥0,b≥0 )
F=−3 x √ y+x−2 √ xy+ y+3 y √ x ( x≥0, y≥0 )


c) G = x - 3

x

+

x

y 3y

Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử;
hoặc thêm, bớt cïng mét h¹ng tư

II- Phương pháp tách hạng tử:
Đa thức dạng P(x) =ax2+ bx + c

c
−b
Phương pháp: Nhẩm tìm 2 số m,n sao cho : m. n = a và m + n = a
Khi đó: P(X) = (x-m)(x-n)
VD:Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 7x – 6
Caùch 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta coù:
3
x – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6
2
= x( x −1 )-6(x+1)

= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1)
c −6
=
=−6=3 .(−2)
a=1
a
1
⇒ m=3
b=−1 ⇔
−b 1
n=−2
= =1=3+(−2 )
c=−6
a 1
)

{

{

{

= (x + 1)( x2 – x – 6) ( Do
= (x + 1)(x -3)(x +2)
Caùch 2: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 ,ta coù:
x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14
3
3
= ( x +2 )-7(x+2)
=(x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2)

= (x + 2)(x2 – 2x + 4-7)
=(x + 2)(x2 – 2x -3)
= (x + 2)(x + 1)(x – 3)

1. LÝ thuyÕt
*) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp
để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:
*) Các trờng hợp:
a, Trờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ẻ Z; a, b, c ạ 0)
Tính :  = b2 - 4ac:
- NÕu  = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc.
- NÕu  = b2 - 4ac = 0: §a thøc chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhÊt
- NÕu  = b2 - 4ac > 0
+)  = b2 - 4ac = k2 ( k Ỵ Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q.
+) = b2 - 4ac ạ k2 đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R.
b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:
- Nhẩm nghiệm của đa thức:
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ị đa thức có nghiệm bằng 1.
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc
lẻ ị đa thøc cã nghiÖm b»ng - 1.


- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử

p
tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng q thì p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của
hệ số của hạng tử cã bËc cao nhÊt".
- Khi biÕt mét nghiƯm cđa ®a thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc
ne để hạ bậc của đa thức.
2. Bài tập

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x2 + 6xy + y2.
Cách 1: Tách 6xy thµnh 5xy + xy cã:
5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y)
= (5x + y)(x + y).
Cách 2: Thêm 4x2 vào 5x2 rồi bớt 4x2 ta cã :
5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2
= (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y).
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2 - 4
C¸ch 1: x3 + 3x2 - 4
= x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - 4
= x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x + 2)2
C¸ch 2: x3 + 3x2 - 4
= x3 - x2 + 4x2 – 4 = ... = (x - 1)(x + 2)2
C¸ch 3: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 – 3 ... = (x - 1)(x + 2)2
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tö :
a) A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1
b) B = x4 + 4
c) C = x2 - 6x + 8
Giải:

1
a) Nhẩm đợc nghiệm x = 3
A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 = 3x3 - x2 + 3x2 + 3x - x - 1
= x2( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1)
= x2(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1)
= (3x - 1) ( x2 + x + 1)
b) B = x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2- (2x)2
= (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)
c) C = x2 - 6x + 8 = x2- 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3)2- 1

= (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)
Hc C = x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2)
= (x - 2)( x - 4)
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2
P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y)
Q = x3 - 3x + 2 = x3 - 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x2 + x + 1) - 3(x - 1)
= (x - 1)(x2 + x - 2)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Q = x4 + 64
= x4 + 16x2 + 64 - 16x2
= ( x2 + 8)2 - (4x)2
= (x2 + 8 - 4x)(x2 + 8 + 4x)
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x4 + 81
= 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2
= (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2
= (2x2 + 9)2- (6x)2


= (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x)
b) x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1
= (x7 - x) + (x2 + x + 1)
= x(x6 - 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1]
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1)
*) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3m+2 + 1 ®Ịu chøa thõa sè x2 + x + 1
Bài 7: Phân tích Q, K thành nhân tö :

Q = a 3 a 2

(a 0)

K = x  7 x  12

(x 0)

d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a ¹0 ) nếu
b1b2 ac

b1  b2 b
Ví dụ:
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)
b) y  3 y  2  y 

y  2 y 2  y



 

y1  2

 

y1 

y 2





y1

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)
2

2

2

b) x + 4 = x + 4x + 4 - 4x = (x + 2) - 4x

x 2



x 2 x2 x 2

2

= (x + 2) -

2 x

2

=



g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b) =(a - b) (a2 - b2) = (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)2(a + b)
3
b) 27 x3 y  a 3b3 y  y  27 x 3  a 3b3   y  (3x)3   ab    y  3x  ab   9 x 2  3xab  a 2b 2 


3
3 3
3 3
27 x √ y−a b √ y =√ y ( 27−a b )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)
8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)
3
2
  2 x   y 3    4 x 2  y 2   2 x  y    2 x   2 xy  y 2    2 x  y   2 x  y 





 2 x  y   4 x 2  2 xy  y 2  2 x  y 

b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1)
c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - ( 8 a)2 = (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 8 a)


Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia
thành nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
b) (x2 - 5x + 6):(x - 3)
Giải:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)
b)
Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
x 2 +xy-y 2

2 x 2 + xy− y 2 a)
2x 2 -3xy+y 2
2 x 2−3 xy + y 2

b)

2x 2 -3x+1

x 2 +x-2

Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) xy  y x  x  1

b)

a3

b 3 a 2b

ab 2

Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)
1. Lí thuyết:
- Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x)
(q(x) là thơng của phép chia)
*) Đặc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = 0
2. Bài tập:
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - 4.
Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4.

1; 2; 4

Ư(4) =
Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4).
Mµ g(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 cã x = 2 lµ nghiƯm .
Do vËy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2).
Víi ®a thøc : x2 – x + 2 cã  = 1- 8 = - 7 < 0 nªn đa thức này không phân tích đợc
trên R.

Do vậy: x4 - 2x3 + x2 - 4 = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2).
) 2/ PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT HẠNG TỬ :

Bài 4 : PT đa thức thành nhân tử:
a/ x4 + 4.
b/ x4y4 + 4
c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b)
Phương pháp giaûi:
a/ x4 + 4
b/ x4y4 + 4
= x4 + 4 + 4x2 – 4x2
= x4y4 + 4 +4x2y2– 4x2y2
= (x2 + 2)2 –(2x)2
= (x2y2 + 2)2 –(2xy)2
= (x2 + 2x +2). (x2 – 2x +2)
= (x2y2 + 2xy +2). (x2y2 – 2xy +2)


c/ Cách 1: Trong 3 hạng tử : (b – c ) ; (c – a) ; (a – b) ta biểu diễn 1 hạng tử
thông qua 2 hạng tử còn lại bằng cách thêm bớt hạng tử:
Chẳng hạn: b – c = b – a + a – c = – (a– b) – ( c – a )
sau đó nhóm từng cặp có nhân tử chung là ra kết quả:
c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b)
= a2[– (a– b) – ( c – a )] + b2(c – a)+ c2(a – b)
= - a2(a– b) – a2( c – a ) + b2(c – a)+ c2(a – b)
= c2(a – b) – a2(a– b) +b2(c – a)– a2( c – a )
= (a – b) ( c2 – a2) + (c – a)( b2– a2)
= (a – b) (c – a)(c + a – a – b)
=(a – b) (c – a)(c– b)
Caùch 2 : Nhân 2 hạng tử bất kì, biến đổi để xuất hiện NTC với hạng tử còn

lại
a2(b – c ) + b2(c – a
= a2b – a2c + b2c – b2 a + c2(a – b)
= (a2b – b2 a) – (a2c – b2c) + c2(a – b)
= ab(a – b) – c(a – b)(a+b)+ c2(a – b)
= (a – b)( ab – ca – cb +c2)
= (a – b)[ a(b – c) – c(b –c)]
=(a – b) (b – c) (a – c)
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử..
A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x)
Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu
rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x
A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x)
= y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x)
= y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x)
= (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2)
= (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) ]
= (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x)
= (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)]
= (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz).
Cách 2: Để yù raèng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có:
A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)]
= x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x)
= (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2)
= (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x)
= (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2)
= (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)]
= (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
Baøi 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử ( BTVN)
a/ ab(a+b) – bc( b + c ) – ac(c – a) .

b/ x – y – x3(1 – y) + y3 ( 1 – x)


( áp dụng được cả 2 cách như bài trên )
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a3 + b3 + c3 -3abc
b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Lời giải:
a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không
có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do
vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận
dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Cách 1 Biểu diễn 1 hạng tử thông qua 2 hạng tử còn lại
Ta có (y – z) = (y – x) + (x – z) neân
3
(x – y) + (y –z)3 + (z – x)3 =
= [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3
= (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3
= (y – x)3 + 3(y – x)(x – z)(y– z)– (y – x)3
= 3(y – x)(x – z)(y– z)
Caùch 2: Nhóm 2 hạng tử , biến đổi xuất hiện NTC với hạng tử còn lại :
Cách 3:Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a
ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc
Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)

3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ( ĐỔI BIẾN SỐ)
 Dạng 1 : (Dạng trùng phương) P(x) = ax4+ bx2+ c
Phương pháp: Đặt y = x2 đưa về dạng :P(y) = ay2+ by + c
rồi áp dụng phương pháp tách hạng tử.
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a/ P(x) = x4 + 7x2 +6
b/ Q(x) = 2x4 + 5 x2 – 7
Giải :
a/ Đặt y = x2 khi đó P(x) trở thành: b/ Đặt y = x2 khi đó Q(x)trở thành:
P(y) = y2 + 7y + 6
Q(y) = 2y2 + 5y – 7
= y2 + 6y + y + 6
= 2y2 + 7y – 2y – 7
= y(y+6) + (y+6)
= y( 2y + 7) – (2y+7)
=(y+6)(y+1)
= ( 2y + 7) (y 1)
2
2
Vaäy P(x) = (x +6)( x +1)
Vaäy P(x)
= (x2 +7)( x2– 1)
= (x2 +7)( x– 1)(x+1)


 Dạng 2 : Đa thức dạng P(x) = (ax2 + bx + c)(ax2 +bx + d)+ e
Phương pháp : Ñaët y = ax2 + bx + c hoaëc y = ax2 +bx + d , biến đổi đưa về
dạng : a’y2 + b’y + c’ áp dụng phương pháp tách hạng tử :
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

b/ 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2
Giải: a) Đặt x2 + x + 1 = y ta coù x2 + x + 2 =y +1
Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12
= y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= ( y – 3)(y + 4)
2
2
Do ñoù: (x + x + 1)(x + x + 2) – 12
= (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5)
b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2
= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2
Đặt: x2 + xy + xz = m, ta coù
4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2
= 4m2 + 4myz + y2z2
= ( 2m + yz)2
Thay m = x2 +xy +xz, ta được:
4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Baøi 10:
Dạng 3 : Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c
+d

Phương pháp : Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d)
hoaëc y2 = x2 + (a + b) x
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi:
P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15

Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15
= y2 +2y – 15
= y2 – 3y + 5y – 15
= y(y – 3) + 5( y – 3)
= (y – 3)(y +5)
2
2
Do doù . P(x) = (x +5x + 1)(x + 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa thuc dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
thoaû mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi
biến đổi như trên.


 Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2
Bài 11 : Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + x – 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) –24x2
Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).
 Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1
Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng a’y2 + b’xy +c’ rồi áp
dụng tách hạng tử
Bài 12: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + 2 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x2 – 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x

= 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x
Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 vaø m + n = 3x choïn m = 5x , n = - 2x
Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
= 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2
= 2y(y – x) + 5x(y – x)
= ( y – x)( 2y – 5x)
Do doù , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2).
Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử
y2+ b’xy +c’ rồi áp dụng tách hạng tử
Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x
= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2
Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2
Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x
Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2
= y(y + 2x) – 3x(y + 2x)
= (y + 2x)(y – 3x)
Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2).


* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách
trên.
 Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c
Cách giải:
Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng trùng phương
mx4 + nx2 + p.
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử.

Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16
= 2y4 + 12y2 – 14
= 2(y2 + 7)( y2 – 1)
= 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1)
Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1).
BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1/ 6x4 + 19x2 + 15
2/ (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4
3/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16
4/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 7
5/ (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330
6/ (a+2)(a+3)(a2+a+6) + 4a2 .
7/ (x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2
8/ (7 – x)4 + ( 5 – x)4 – 2
9/ x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16
10/ x4 – 3x3 6x2 + 3x + 1
Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)
1. Lí thuyết:
- Dựa vào đặc ®iĨm cđa ®a thøc ®· cho ta ®a vµo 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở
thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một ®a thøc bËc cao vỊ ®a thøc bËc
2 mµ ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 .
- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn và đặt ẩn phụ
cho thích hợp
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x)2- 12
Đặt (x2 + x)2 = X.
Ta cã: A = X2 + 4X - 12 = X2 + 4X + 4 - 16
= (X+ 2)2 - 42 = (X + 6)(X - 2)
Thay X = x2 + x. Ta cã: A = (x2 + x + 6)(x2 + x - 2)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nh©n tư .
f(x) = (2x2 + 3x + 5)2 + 5(2x2 + 3x + 5) + 6.
Đặt : 2x2 + 3x + 5 = t ta cã f(t) = t2 + 5t + 6.
Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t + 2)(t + 3), tõ ®ã ta cã :
f(x) = (2x2 + 3x + 7)(2x2 + 3x + 8)
Bµi 3: Phân tích đa thức thành nhân tử .
f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - 9 = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - 9
= (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9
Đặt : x2 + 8x + 11 = t, ta cã f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9.
Suy ra f(t) = t2 -16 - 9 = t2 - 25 = (t - 5)(t + 5)
Do vËy : f(x) = (x2 + 8x + 6) (x2 + 8x + 16).


Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tö .
a) P = (x2 + x) + 3(x2 + x) + 2
Đặt x2 + x = y ta có: P = y2 + 3 y + 2 = y2 + y + 2y + 2
P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2)
Thay x2 + x = y ta cã: P = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2)
b) Q = x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y – 10 = (x - y)2 + 3(x - y) - 10
Đặt x - y = t ta có:
Q = t2 + 3t - 10
= t2 - 2t + 5t - 10
= t(t - 2) + 5(t - 2)
=(t - 2)(t + 5)
Thay x - y = t ta cã: Q = (x - y - 2)(x - y + 5)
Bµi 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
b) B = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Híng dÉn:
a) A =(x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt x2 + 10x + 12 = y
=> §a thøc cã d¹ng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16= (y + 4)(y - 4)
=> A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
4
3
2
b) B = x + 6x + 7x – 6x + 1 = x4 - 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1
B = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1)+ (3x - 1)2
Đặt y = 3x 1 => B = (x2 )2+ 2x2y + y2 = (x2 + y)2
VËy B = (x2 + 3x - 1)2

IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 – 19x – 30
b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Giải:
a) Kết quả tìm phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac.
Ta phải tìm a, b, c thoả mãn:
x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac
Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có:
a+b =0
ab + c = 19
ac
= - 30
Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, do đó a, c là ước của - 30
hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30
a = 2, c = 15 khi đó b = - 2 thoả mãn hệ trên. Đó là một bộ số phải tìm
tức là x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)
b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có

nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nến đa thức đã cho phân
tích thành nhân tử thì phải có daïng:
(x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd .
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có
x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd
a+c
=6
ac + b + d =7


ad + bc
=6
bd
=1
Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5
Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5).

Phơng pháp 6: Phơng pháp hệ số bất định

1. Lí thuyết:
Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả, phá ngoặc rồi
đồng nhất hệ số và giải.
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö .
B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3
(1)
NÕu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B cã d¹ng
B = (ax + b )(cx2 + dx + m)
3
2

B = acx + (ad + bc)x + (am + bd)x + bm
(2)
Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta cã hÖ sau:

ac 2
ad  bc  5
am  bd 8 Þ
bm  3
LÊy m 3

a  2
b  1


c 1

d  2

VËy B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định
a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1.
b) Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3.
Gi¶i:
a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1.
(1)
NÕu ®a thøc P phân tích đợc thì:
P = (3x + ay + b)( x + cy + d)
P = 3x2 + (3c + a )xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd
(2)
Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta cã:

3c  a  22
a   1
3d  d  4
b  1


ad

bc

8
Þ


ac 7
c  7

d  1
db 1
Þ P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1)
b, Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3
(3)
NÕu ®a thøc Q phân tích đợc thì:
Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1)
Q = cax2 + ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy2 - 3 (4)
Đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta cã:
ac 12
ad  bc  10
a 4


b  6
3c  a 5


3d  b 12
c 3


bd  12
Þ d 2 Þ Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định x4 - 6x3 + 12x2 14x + 3
Thö: x =  1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên
cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc thành thừa số thì phải cã
d¹ng:
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3+ (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd


= x4
-6x3
+12x2
=> a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = 3
bd = 3 mà b,d ẻ Z => b Ỵ {1; 3}
Víi b = 3 => d = 1
=> a + c = - 6 ; ac = 8; a + 3c = -14
=> a = - 2; c = - 4
VËy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = 1
=> x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

-14x + 3

V. TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.
 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành
tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x).
P(x) = (x – a) Q(x)
Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a).
 Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể
phân biệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) vaø Q(x).
P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích soá (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x
+ab, ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x).
 Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao?
Thế nào là nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).
Q(x) lại có nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x).
Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a
Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x).
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 thành nhân tử .
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2
Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x)
Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là
Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1
Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vaäy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x2 + 2x + 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4
Giaûi: Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2
Vì P(-1) = 0 và P(2) = 0
Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)
Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , ta được thương

đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1
Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2).
Phơng pháp 7: Phơng pháp vận dụng định lí vÒ


nghiƯm cđa tam thøc bËc hai
1. LÝ thut:
- ¸p dơng ®Þnh lý: NÕu ®a thøc P = ax2 + bx + c cã nghiƯm x1, x2 th× :
P = a(x - x1)(x - x2)
2. Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .
P = 2a2 - b2 + ab - 5a + b + 2
P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2)
P lµ tam thøc bËc hai biÕn a
= (b - 5)2 + 4.2(b2 - b - 2)

a1 
Tam thøc bËc hai P cã nghiÖm

b 1
; a 2 2  b
2

b 1

a 
 (a  2  b) (2a  b  1)( a  b  2)
2



Þ P = 2(a - a1)(a - a2) = 2

Bài 2: Phân tích đa thức thành nh©n tư .
P = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y - 3
P = x2 - 2xy + 2x + y2 - 2y - 3
P = x2 - 2(y - 1)x + (y2 - 2y - 3)
'= b'2 - ac =[- (y - 1)]2 - (y2 - 2y - 3) = 4
Þ Tam thøc cã hai nghiƯm x1 = y + 1 , x2 = y - 3
Þ P = (x - y - 1)(x - y + 3)

các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử
1. Giải phơng trình bậc cao:
Bài 1: Giải phơng trình: x3 + 3x2 - 4 = 0.
- Đa thức: x3 + 3x2 - 4 tỉng c¸c hƯ sè b»ng 0 nên có một nghiệm x = 1 tức là ®a thøc x3 + 3x2 4 chia hÕt cho x - 1. Thùc hiÖn phÐp chia: x3 + 3x2 - 4 cho
x-1 ta đợc thơng là x2 + 4x + 4 hay (x + 2)2.
- Nên phơng trình: x3 + 3x2 – 4 = 0  (x - 1)(x + 2)2 = 0
<=> x = 1 hc x = - 2
- Vậy phơng trình đà cho có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = - 2
Bài 2: Giải phơng tr×nh: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 = 0
- Đặt: x2 + x = t ta có phơng trình: t2 + 4t 12 = 0.
- Phân tích đa thức t2 + 4t - 12 thành nhân tử ta đợc:
t2 + 4t 12 = (t + 6)(t - 2) , ta có phơng trình : (x2 + x + 6)( x2 + x - 2) = 0.
- Tiếp tục phân tích đa thức x2 + x 2 thành nhân tử ta đợc:
x2 + x 2 = (x - 1)(x + 2).
- Do đó phơng trình cho đợc viết nh sau:
(x - 1)(x + 2)(x2 + x + 6) = 0  x = 1 hoặc x = - 2.
(vì x2 + x + 6 > 0, với mọi x)
- Vậy phơng trình đà cho cã hai nghiƯm x1 = 1 vµ x2 = - 2
2. Giải bất phơng trình bậc cao:

Bài 1: Giải bất phơng trình: x2 + 5x + 6 > 0
- Ta phân tích đa thức x2 + 5x + 6 thành nh©n tư
x2 + 5x + 6 = (x2 + 2x) + (3x + 6)= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3).
- Ta cã bÊt phơng trình : (x + 2)(x + 3) > 0.

x  2  0
 x   2


x

3

0
x   2

x   3

 
 
 x  2  0
 x   2
x  3


x 3  0
  x   3
<=>  
- VËy nghiÖm của bất phơng trình là x < - 3 hoặc x > - 2
Bài 2: Giải bất phơng trình: x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 < 0

Ta cã : x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = x4 - 5x3 + 6x2 + x2 - 5x + 6
= x2(x2 - 5x + 6) + (x2 - 5x + 6)
= (x2 - 5x + 6)(x2 + 1).
2
Phân tích đa thức x - 5x + 6 thành nhân tử ta đợc :
(x2 - 5x + 6) = (x - 2)(x - 3)
Do đó bất phơng trình đà cho tơng đơng với bất phơng trình sau:
(x - 2)(x - 3)(x2 + 1) < 0  ( x - 2)(x - 3) < 0 (v× x2 + 1 > 0, "x)

<=>

 x 

 x 
 x 

  x 

20
30

 x  2

 2  x 3
x  3
 
 
 2  x  3

 x  2
20
vô nghiệm

30
x 3

Vậy bất phơng trình ®· cho cã nghiƯm lµ : 2 < x < 3.
3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh r»ng: (a + b + c)3- (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c).
Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích thành nhân tö :
(a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = (a + b)3 + c3 + 3(a + b)c (a + b + c)- a3- b3- c3
= a3 + b3 + c3 + 3ab(b + a) + 3(a + b)(a + b + c)c - a3- b3- c3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c2)
= 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= 3(a + b)(b + c)(a + c).
VËy: (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c)
Bµi 2: Chøng minh r»ng: NÕu a + b + c = 0 th×: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Gi¶i
Do a + b + c = 0 => c = - (a + b) nªn a3 + b3 + c3 = a3 + b3- (a + b)3
Ta phân tích đa thức a3 + b3- (a + b)3 thành nhân tử .
Ta có a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - a3 - 3a2b - 3ab2 - b3
= - 3ab(a + b)
= - 3ab(- c)
= 3abc
VËy : a3 + b3 + c3 = 3abc víi a + b + c = 0.
Bµi 3: Chứng minh rằng nếu a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :
A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 luôn âm.
Chứng minh :
Ta phân tích đa thức A thành nhân tử

Ta có: A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = (b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2
= (b2 + c2 - a2 - 2bc) (b2 + c2 - a2 + 2bc)
= [(b2 - 2bc + c2) - a2][(b2 + 2bc + c2) - a2]
= [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]2
= (b – c - a)(b – c + a)(b + c - a)(b + c + a).
VËy A = ( b – c - a)(b – c + a)(b + c - a) (b + c + a).
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
b-c-a<0
bc+a>0
b+c-a>0
ị A < 0 (ĐPCM).
b+c+a>0
Bài 4: Chứng minh r»ng:
P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 luôn không âm, " xẻ R
Giải :
Ta cã : P = (x - 1)(x - 6)(x - 4)(x - 3) + 9 .
= (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + 9
Đặt: x2 - 7x + 9 = t Ta cã P = (t - 3)(t + 3) + 9 = t2 – 9 + 9 = t2  0 , " t
VËy: P= (x2-7x + 9)2  0 víi "x (§PCM).
4. Chøng minh một biểu thức là số chính phơng
Bài 1: Chứng minh rằng " x ẻ Z thì biểu thức:
P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 là số chính phơng .
Giải.
Ta phân tích đa thức P thành nhân tử
P = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + 9.
= (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + 9.
= [(x2 - 7x + 9) - 3][ (x2 - 7x + 9) + 3] + 9.


= (x2 - 7x + 9)2 – 9 + 9

= (x2 - 7x + 9)2
Do x ẻ Z nên (x2 - 7x + 9) Ỵ Z => (x2 - 7x + 9)2 là bình phơng của một số nguyên .Vậy
P là số chính phơng "x ẻ Z.
Bài 1: Chứng minh rằng với x , y nguyên thì biểu thức:
M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phơng.
Giải:
M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4
= [(x2 + 5xy + 5y2) - y2][(x2 + 5xy + 5y2) + y2] + y4
= (x2 + 5xy + 5y2)2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2)2.
Do x, y Ỵ Z nên x2 + 5xy + 5y2ẻ Z
Suy ra M = (x2 + 5xy + 5y2)2 là số chính phơng.
5. Chøng minh tÝnh chia hÕt
Bµi 1: Chøng minh A = n3 - n chia hÕt cho 3 , " n Î Z .
Gi¶i:
Ta cã n3 - n = n(n2 - 1) = n(n -1)(n + 1) do n Ỵ Z nên A là tích của 3 số nguyên liên tiếp do
đó A chia hết cho 3 .
Bài 2: Chứng minh M = m3(m2 - 7)2 - 36m chia hÕt cho 5040 với " m là số nguyên
Giải :
Ta có M = m3(m2 - 7)2 - 36m = m [m(m2-7)]2 - 62
= m[m(m2-7) - 6] [m(m2 - 7) + 6]
= m(m3- 7m - 6)(m3 - 7m + 6).
Ta cã (m3 - 7m - 6)= m3 - 9m + 2m - 6
= m(m2 - 9) + 2(m - 3) = (m - 3)[m(m + 3) + 2]
=( m - 3)(m2 + 3m + 2) = (m - 3)[m(m + 2) + (m + 2)] = (m+1)(m + 2)(m - 3)
T¬ng tù ta cã: m3 - 7m + 6 = (m - 1)(m - 2)(m + 3)
VËy M = (m + 1)(m + 2)(m + 3)m(m - 1)(m - 2)(m - 3).
Do m ẻ Z nên M là tích của 7 số nguyên liên tiếp do đó M chia hết cho: 1.2.3.4.5.6.7 = 5040.
VËy M chia hÕt cho 5040.





2

Bµi 3: Chøng minh r»ng " x Ỵ Z ta cã: P  (4 x  3)  25 8
Gi¶i: P = ( 4x + 3)2 - 25 = ( 4x + 3)2 – 52 = ( 4x + 3 - 5)( 4x + 3 + 5)
= ( 4x - 2)(4x + 8) = 8( 2x - 1)(x + 2)
Vì x ẻ Z ị ( 2x - 1)( x + 2) ẻ Z
ị P = 8( 2x - 1)( x+2) 8





2

 P  ( 4 x  3)  25 8
6. Rót gän, TÝnh gi¸ trị biểu thức
a) Lí thuyết
Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu gọn biểu thức. Ta phải tiến hành
phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử sau đó rút gọn các nhân tử chung.
b) Bµi tËp
2

A

2

x  3x  y  3y
2

x  y

Bµi 1: Rót gän biĨu thøc
Híng dÉn:
2

A

2

x  3x  y  3y
2

2

2



2

víi x ¹y

2

( x  y )  (3x  3y )

2

x  y
x  y
( x  y )( x  y  3)
x  y 3


( x  y )( x  y )
xy

2



( x  y )( x  y )  3( x  y )
( x  y )( x  y )

Bµi 2: Tính giá trị của biểu thức

5x 5
2
P = x  8 x  7 víi x = 2005


P

5x  5
2

x  8x  7



5( x  1)
5
 5 
 5
( x  1)( x  7 )
x 7
2005 7
2012

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau, hÃy rút gọn :

A

1
1
1


2
2
2
2
2
( b  c )(a  ac  b  bc )
(c  a )( b  ba  c  ac )
(a  b)( c  bc  a  ab)

2

Hớng dẫn: Ta phân tích các mẫu thành nhân tử:
a2 + ac - b2 – bc = (a2 - b2) + (ac - bc) = (a - b)(a + b) + c(a -b) = (a - b)(a+b+c)
T¬ng tù: b2 + ab - c2 – ac = (b - c)(a + b + c)
c2 + bc - a2 - ab = (c - a)(a + b + c).
Do ®ã mÉu chung lµ : MC = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c).

( c  a )  (a  b)  ( b  c )
 a  b  b  c   c  a   a  b  c 
0

0
 a  b  b  c   c  a   a  b  c 

A

7. T×m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
N = (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) + 2003.
Giải:
Trớc hết phân tích đa thức sau thành nhân tư : (x2 + 3x + 2) vµ (x2 + 7x + 12)
Ta cã x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 1).
x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4).
Khi ®ã N = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2003
= (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003
= (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 2003.
2
Đặt x + 5x + 5 = t. Ta cã N = (t - 1)(t + 1) + 2003 = t2 - 1 + 2003 = t2+2002
VËy do t2 0 víi "t Þ N  2002.

VËy biĨu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 <=> t = 0

x

5 5
2

hc x =

5

5

2
<=> x2 + 5x + 5 = 0 <=>
8. Giải phơng trình nghiệm nguyên
Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x , y) thoả mÃn : x + y = xy
Gi¶i :
Ta cã xy = x + y  xy – x – y + 1 = 1 x(y - 1) - (y - 1) = 1
 (x - 1)(y - 1) = 1.
Do x,y nguyªn nên ta có :
x 1 = 1 hoặc x – 1 = - 1
y–1=1
y–1=-1
Suy ra (x = 2 ; y = 2) hc (x = 0 ; y = 0).
Vậy cặp số nguyên (x , y) cần tìm là (2 ; 2) và (0 ; 0).
9. Tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên
1. Lí thuyết:
Cách làm: Ta tách phần nguyên và phần phân thức của biểu thức f(x) đà cho. Phần lớn
các bài toán sau khi rút gọn thì kết quả chỉ còn phân thức tiếp theo ta tìm giá trị cuả biến để

phân thức ấy có giá trị nguyên. Muốn vậy tử thøc ph¶i chia hÕt cho mÉu thøc hay mÉu thøc
ph¶i là ớc của tử thức. Từ đó tìm ra các giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyªn, cơ
thĨ:

A( x )
a  b
C( x ) víi a, b Ỵ Z
f(x) = B( x )
f(x) Ỵ Z  C( x ) ẻƯ ( b) x ?


2. Bµi tËp:
P

5x  5
x  8 x  7 có giá trị nguyên.

Bài 1: Tìm giá trị của x ®Ó biÓu thøc
5( x  1)
5
P

( x  1)( x  7) x  7
Cã
VËy P nguyªn <=> x + 7 là ớc của 5
Hay x + 7 ẻ { -1; 1; - 5; 5}
 x  7  5
 x  12
 x  7 5
 x  2



 x  7 1
 x  6


Cã  x  7  1 Þ  x  8

2

VËy khi biÕn số nhận một trong các giá trị x ẻ { -12; - 8, -6, -2} thì P đạt giá trị
nguyên

Luyện tËp chung
Bµi 1:
Cho biĨu thøc A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32.
a) Phân tích đa thức A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng A luôn là một số chẵn ("a ẻ Z)
Hớng dẫn:
a) A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32
= a4 - a3 - 5a3 + 22a2 + 5a2 - 22a - 32a - 32
= a3(a - 1) - 5a2(a - 1) + 22a(a - 1) - 32(a - 1)
= (a - 1)(a3 - 5a2 + 22a - 32)
Mµ a3 - 5a2 + 22a – 32 = a3 - 2a2 - 3a2 + 6a + 16a - 32
= a2(a - 2) - 3a(a - 2) + 16a(a - 2)
= (a - 2)(a2 - 3a + 16)
2
XÐt a - 3a + 16 cã  = 9 - 4.6= - 15 < 0 do đó a2 - 3a + 16 không phân tích đợc trªn R. VËy
A = (a - 1)(a - 2)(a2 - 3a + 16).
b) Do a ẻ Z nên (a - 1)(a - 2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 2. Suy ra A

chia hết cho 2 ị A = 2k (k ẻ Z) Vậy A là số chẵn với "a ẻ Z
Bài 2: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
N = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 luôn dơng .
Híng dÉn :
Cã N = 4a2b2 - (a4 + 2a2b2 + b4) + 2b2c2 + 2a2c2 - c4
= 4a2b2- (a2 + b2)2+ 2c2(b2 + a2) - c4
= (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2 = (2ab- a2 - b2 + c2)(2ab + a2 + b2 - c2)
=[c2 - (a - b)2][(a + b)2 - c2]
=(c – a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c).
Ta thấy a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác theo bất đẳng thức tam giác suy ra bốn nhân tử đều
dơng . Vậy N > 0.
Bài 3: Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C phân biệt ®Ỉt AB = c; AC = b; BC = a . Chứng
minh rằng nếu phơng trình ẩn x sau:
b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = 0 cã nghiệm kép thì ba điểm A, B, C thẳng hàng
Hớng dÉn :
Do A, B, C ph©n biƯt suy ra AC ¹ 0 Þ b ¹0 => HƯ sè b2 ¹ 0 .
Cã  = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2. Phơng trình có nghiệm kép <=> 0
Phân tích thành nhân tử ta đợc:
= (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(b – c - a)
Do a + b + c ¹ 0 nên xảy ra ba trờng hợp :
Hoặc b + c – a =0 Þ a = b + c  BC=AC+AB ị A nằm giữa B, C.
hoặc a + b - c = 0 Þ c = a + b AB = BC + AC ị C nằm giữa B, A
hoặc b c a = 0 ị b = a + c  AC = BC + AB ị B nằm giữa A, C.
Vậy A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: Cho đa thức P = (x + y)(y + z)(x + z) + xyz
a) Phân tích đa thức P thành nhân tử