DAP AN THI HSG TOAN 9 THCS DB

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD&ĐT THANH HÓA. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang ). ĐỀ THI DỰ BỊ. Câu Ý I 1 Rút gọn P. ĐK: x>0 , x ≠1. Nội dung. 1,50 0,25. √ x( √ x 3 − 1) −( 2 x+ 1)+2( x +1) √ √ x + √ x +1 P=√ x ( √ x −1)+1=x − √ x+1 P=. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 1 2 3 3 + ≥ 2 4 4 3 GTNN của P= khi 4 P=. 3. (. √ x−. ). x=. 2 √x Tìm x để biểu thức Q=. 1 4. nhận giá trị là số nguyên. 2 1 √ x+ −1 √x 1 Ta có √ x+ >2(do x ≠ 1) nên 0<Q<2 √x. x. Q∈ Z ⇒Q=1. 3 5 . 2. Vậy . Khi đó 1 Tìm giá trị của m ... Nếu m = 0 thi PT trở thành 1 = 0, nên PT vô nghiệm  ' m 2  m m  m  1 0 Nếu m 0 thì PT đã cho có nghiệm khi (*). Với ĐK (*), phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 . Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1  x2 2 (1) và. 0,25 1,00. 0,50. Q=. x1 x2 . 1,00. 0,50. P. II. Điểm. 1 m.. 4 2 x1  ; x2  x  2 x x  2 x 2 (hoặc 2 1 ), thay vào (1) suy ra: 3 3 Để: 1 2 4 x1  ; x2  3 3) (hoặc 1 8 1 9 x1 x2     m   1 m 9 m 8 Khi đó: , thỏa mãn ĐK (*). 9 m 8 thì phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia. Vậy với. 1,50 0,50 0,50 0,50 2,00 0,5. 0,5. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. 3 55  2 2 4 xy  4( x  y )    ( x  y)2 4   2 x  1  3 .  x y 2. Giải hệ phương trình sau. ⇔ x + y ¿2 55 ¿= 4. 1. [. Hệ PT x+ y ¿ 2+ ¿ (x − y )+ ( x+ y)+. ¿. 2. 79 4 3 u +v = 2 ¿{ ¿. 2,00. ¿ u=x − y 1 3 = x+ y 2. ]. Đặt v =x+ y +. 1 x+ y. ¿{ ¿. ¿ ¿ ¿ x − y ¿2 +3 ¿ ¿. 0,50. u +3 v 2=. ta có hệ. ⇔ 3 u= − v 2 2 8 v −6 v −35=0 ⇔ hoặc ¿ u=−1 5 v= 2 ¿{ ⇔ x − y=−1 Vậy hệ x+ y+ 1 = 5 x+ y 2 ¿{. 13  u  4  v   7 .  2. ⇔ x − y=−1 x + y =2 hoặc ¿{. 0,50. ¿ x − y=−1 1 x+ y= 2 ¿{ ¿. 0,25. 1  x   x  y  1  2    x  y 2  y 3  2 Với 1   x  y  1  x    4  1  3  x  y  2 y  .   4 . Với. 0,50.  13 u  4   1 3  1 3 v   7  ;  , ; . v  2 2 loại (vì Với  ).Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  2 2   4 4 . 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> III. 1. 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( x  1)( x  2)( x  8)( x  9)  y . Đặt t=x+ 5 , ta được: (x+ 1)(x +2)( x+ 8)( x+ 9)= y 2 ⇔ (t 2 −9)(t 2 − 16)= y 2 (1) 2 25 Đặt u=t − ( 2u ∈ Z ) 2 2 khi đó (1)  (2u  7)(2u  7) 4y  (2u  2y)(2u  2y) 49. 0, 5. 2u+2 y=49 ∨ 2 u+2 y=1 ⇒ 2 u=25 ∨ 2 u=25 2 u −2 y=1 2u −2 y=49 y =12 y =−12 2u=25 ⇒ t=± 5 ⇒ x=0 hay x=−10 Từ đó (x , y )=(0 ; ±12) , (−10 ; ± 12) 2u+2 y=− 49 ∨ 2u+ 2 y =−1 ⇒ 2 u=− 25 ∨ 2 u=−25 Trường hợp 2: 2 u −2 y=− 1 2 u− 2 y =− 49 y=− 12 y=12 2u=−25 ⇒ t=0⇒ x=−5 Từ đó ( x , y )=(−5 ; ±12) 2 u+2 y=7 ∨ 2u+ 2 y =−7 ⇒ 2 u=7 ∨ 2 u=− 7 Trường hợp 3: 2u −2 y=7 2 u −2 y=− 7 y=0 y =0 2u=7 ⇒t=± 4 ⇒ x=−1 hay x=− 9 2u=−7 ⇒ t=±3 ⇒ x=− 2 hay x=−8 Từ đó (x , y )=(−1 ; 0) , (−2 ; 0) , (−8 ; 0) , (−9 ; 0) Vậy phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) là: (−1 ;0) , (−2 ; 0) , (−8 ; 0) , (−9 ; 0) , (0 ; 12) , (0 ; −12) , (−5 ; 12) , (−5 ; −12) , (−10 ; 12) , (−10 ; −12) .. Trường hợp 1:. { {. IV. {. {. {. {. 2. {. {. {. {. {. 2,00. 0,5. 0,5. {. 0,5. Có hay không số tự nhiên n sao cho 3n +1 chia hết cho 102013? 2,00 n 2013 Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho 3 +1 chia hết cho 10 0,5 Xét hai trường hợp: a) Nếu n chẵn: Đặt n = 2k Ta có: 3n + 1= 32k +1 = 9k + 1 2(mod 8) . Do đó: 3n + 1 không chia hết cho 4. Điều này vô lí vì 3n +1 chia hết cho 102013 mà 0,5 102013 chia hết cho 8 nên 3n + 1 chia hết cho 8. b) Nếu n lẻ: Đặt n = 2k + 1 0,5 Ta có: 3n + 1= 3.32k +1 =3. 9k + 1 4(mod 8) . Do đó: 3n + 1 không chia hết cho 8. Điều này vô lí vì 3n +1 chia hết cho 102013 mà 0,25 102013 chia hết cho 8 nên 3n + 1 chia hết cho 8.. Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho 3n +1 chia hết cho 102013 1 Chứng minh PI.AB = AC.CI. 0,25 2,0 0,5. C 1 H. E. P 0  Chứng minh PCB 90  900  ACB  C 1. Q. D I. Ta có :  C  900 P 1  (1)  ACB P. A. F. M. B.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>   Chứng minh tứ giác ADIF nội tiếp  CAB PIC (2) Từ (1) và (2)  PIC CAB ( g.g ).  2. 0,5 0,5. PI IC   PI . AB  AC.IC AC AB (đpcm). 0,5. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O) Chứng minh tứ giác CDIH nội tiếp đường tròn (O). 1,5 0,5.   DCI là góc nội tiếp chắn cung DI (3) ADB có DM là đường trung tuyến    MDB cân tại M  MBD MDB (4)    Ta lại có  MBD DCI (cùng phụ với CAB ) (5)    MDB DCI (6). 3. 0,25 0,25. Từ (4) và (5) Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 0,25. Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR. 2,5. 0,25. C. H E. D. MD là tiếp tuyến của (O). I.  MD 2 MK .MC  MB 2 MK .MC ( MD MB) MB MK   MC MB  MBC MKB (c.g .c)    MBK MCB (7). K. A. F. B. M. 0,75. R. Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp CD DH   CDH  ABC  CDH CBA ( g .g )   CB AB CD CB CD CB        CDE CBM ( g .g )  MCB  ACR (8) DH AB DE MB ACR  ABR (9). 0,5. Ta lại có :. 0,5.    Từ (7), (8), (9)  MBK  ABR  BA là tia phân giác của KBR  KAR. 0,25. Chứng minh tương tự ta được AB là tia phân giác của Từ đó chứng minh được AB là đường trung trực của KR. V. 3. 3. 3. 3. 0,50 3. 3. 88 y  x 297 z  8 y 11x  27 z   . 2 2 2 2 xy  16 y 6 zy  36 z 3 xz  4 x Tìm giá trị LN của biểu thức Q =.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x a  a, b, c  0 11b3  a3 11a3  c3 11c3  b3 2 y b   .  3z c 2 ac  4a 2 bc  4c 2  a  b  c 3 Khi đó ta có: Q = ab  4b đặt  11b3  a3 2  a  3b   a  b   a  b  0, a, b  0. 2 Ta chứng minh : ab  4b (1). 11a3  c3 2  c  3a   c  a   c  a  0, c, a  0. 2 Tương tự : ac  4a 11 c3  b3 2  b  3c   b  c   b  c  0, b, c  0. 2 bc  4c. Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1),(2),(3) ta được P. (2). 0,5. 0,5. 0,5. (3). 2  a  b  c  6..   x 1  1   a b c 1   y  2  1   z  3 Dấu bằng xảy ra . Vậy Max Q = 6.. 0,5. Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>