Bài giảng hàm số mũ và hàm số logarit

CHUYÊN ĐỀ 2
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGARIT
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lơgarit.
+ Trình bày và áp dụng được cơng thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
+ Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.
 Kĩ năng
+

Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai
biểu thức chứa mũ và lôgarit.

+

Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lơgarit.

+

Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lơgarit.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số mũ
Định nghĩa
Hàm số y  a x  a  0; a  1 được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Tập xác định
Hàm số y  a x  a  0; a  1 có tập xác định là  .
Đạo hàm
Hàm số y  a

x

 a  0; a  1

a  '  a

x

ln a

a '  a

u

ln a.u '

x

u

có đạo hàm tại mọi x.

Đặc biệt:  e x  '  e x .

lim a x  0, lim a x    a  1 ;

x 

x 

lim a x  , lim a x  0  0  a  1 .

x 

x 

Sự biến thiên


Khi a  1 hàm số luôn đồng biến.



Khi 0  a  1 hàm số luôn nghịch biến.
Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và ln đi qua các điểm

 0;1 , 1; a  và nằm phía trên trục hồnh.

TOANMATH.com

Trang 1


2. Hàm số lôgarit
Định nghĩa
Hàm số y  log a x  a  0; a  1 được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
Tập xác định
Tập xác định:  0;  .
Đạo hàm

Hàm số y  log a x  a  0; a  1 có đạo hàm tại mọi x dương và

 log a x  ' 

Đặc biệt:  ln x  ' 

1
.
x

1
.
x ln a

Giới hạn đặc biệt
lim log a x  , lim log a x    a  1 ;

x  0

x 

lim log a x  , lim log a x    0  a  1 .

x  0

x 

Sự biến thiên


Khi a  1 hàm số luôn đồng biến.



Khi 0  a  1 hàm số ln nghịch biến.

Đồ thị
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm

1;0  ,  a;1

và nằm bên phải trục tung.

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số y  a x và y  log a x  a  0, a  1
đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x .

Ứng dụng
1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà khơng tính
trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
khơng được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
hạn người gửi khơng đến rút tiền ra.
Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi
đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau
n kì hạn ( n   * ) là: S n  A  nAr  A 1  nr 
2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi khơng rút
ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
TOANMATH.com

S 
n  log 1 r   n  ;

 A
Trang 2


Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi
kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

A

n kì hạn ( n   * ) là: S n  A 1  r  .
n

3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền
vào một thời gian cố định.
Cơng thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng
số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận
được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n   * ) (nhận tiền cuối tháng, khi
ngân hàng đã tính lãi) là Sn .
Ta có S n 

r% 

n

Sn
 1;
A
Sn

1  r 

n

 S n .r

n  log 1 r  
1 ;
 A 1  r  



 S n .r

n  log1 r  
 1 ;
 A 1  r  
S n .r
A
n
1  r  1  r   1

A
n
1  r   1 1  r  .

r

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Mỗi
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.

r
n
Cơng thức tính: X   A 1  r   Sn 
.

 1  r n  1
Khi đó số tiền cịn lại sau n tháng là Sn  A1  r 

n

1  r 
X

n

1

r

5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi
suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn
nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền
là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn
tồn cơng thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

S n  A 1  r 

n

1  r 
X

n

1

r

.

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S n  0 nên

A 1  r   X
n

1  r 
r

n

1

0.
A 1  r  .r
n

Suy ra mỗi lần hoàn nợ số tiền là X 

1  r 

n

1

.

6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm
là A (đồng/tháng). Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm
TOANMATH.com

Trang 3


r (% / tháng). Hỏi sau kn tháng, người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?
Cơng thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là

S kn  An.

1  r 

k

1

r

.

7. Bài tốn tăng trưởng dân số
Cơng thức tính tăng trưởng dân số:

X m  X n 1  r 

mn

, m, n    , m  n

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;
X m dân số năm m, X n dân số năm n.

Từ đó ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số là r %  m  n

Xm
1
Xn

8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì số tiền
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm ( n   * ) là: S n  A 1  r  .
n

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất
mỗi kì hạn là

r
% thì số tiền thu được sau n năm là:
m

r

Sn  A 1  
 m

m .n

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vơ cực, tức là m   ,
gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng minh được số tiền
nhận được cả gốc lẫn lãi là:

S  Ae n.r (công thức tăng trưởng mũ).

TOANMATH.com

Trang 4


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA
HÀM SỐ MŨ

y' 0
với mọi x

Ln đồng biến

Tập xác định

D

Đạo hàm

y' 0
với mọi x
Luôn nghịch biến

y '  a x ln a
Hàm số

Hàm số

y  ax
a 1

Tiệm cận ngang Ox

y  ax
0  a 1

Đồ thị
 Luôn đi qua điểm  0;1 và  a;1
 Nằm phía trên Ox

HÀM SỐ LƠGARIT

y '  0 x  0

Tập xác định

y '  0 x  0

D   0;  
Luôn đồng biến

Hàm số

y  log a x
a 1

Đạo hàm

y' 

1
,x  0
x ln a

Tiệm cận đứng Oy

Luôn nghịch biến

Hàm số

y  log a x
0  a 1

Đồ thị
 Luôn đi qua điểm 1;0  và  a;1
 Nằm bên phải Oy

TOANMATH.com

Trang 5


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số
Bài tốn 1: Tìm đạo hàm của các hàm số mũ – hàm số lôgarit
Phương pháp giải
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit.

a '  a
x

x

ln a;  a u  '  a u ln a.u' .
1
1
;  ln x  '  .
x ln a
x

 log a x  ' 

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A.  3x  '  3x ln 3
C.  log3 x  ' 

B.  ln x  ' 

1
x ln 3

1
x

D.  e2 x  '  e 2 x

Hướng dẫn giải
Ta có:

 3  '  3 .ln 3 nên đáp án A đúng.
x

 ln x  ' 

x

1
nên đáp án B đúng.
x
1
nên đáp án C đúng.
x ln 3

 log 3 x  ' 

 e  '   2 x  '.e

2x

2x

 2.e 2 x nên đáp án D sai.

Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y  16 x
A. y '   x 2  2  .16 x
C. y '  16 x

2

2

2

2

.

1

2

2

2

4

B. y '  8 x.16 x

2

D. y '  8 x.42 x

.ln16

ln 4

.ln 2

Hướng dẫn giải
Ta có: y '   x 2  2  '.16 x

2

2

.ln16  2 x.16 x

2

2

.4ln 2  8 x.42 x

2

4

.ln 2 .

Chọn D.
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số f  x   ln  x 2  1 .
A. f '  x   ln  x 2  1
C. f '  x  

1
x 1
2

TOANMATH.com

B. f '  x   ln 2 x
D. f '  x  

2x
x 1
2

Trang 6


Hướng dẫn giải
Ta có: f '  x 

x


 1 '

2

x 1
2



2x
x 1
2

Chọn D.





Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số y  ln 1  x  1 .
A. y ' 

C. y ' 



1

2 x 1 1 x 1

B. y ' 



x 1

D. y ' 

1 x 1



1

2 x 1 1 x 1



1
1 x 1

Hướng dẫn giải
u'
, ta có
u

Áp dụng cơng thức  ln u  ' 

 



y '  ln 1  x  1 ' 





Mà 1  x  1 ' 

1 



x 1 '

1 x 1

1
1
nên y ' 
.
2 x 1
2 x 1 1 x 1





Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hàm số f  x   ln  e  x  xe x  . Giá trị f '  2  bằng
A.

1
3

B.

2
3

C.

1
3

D.

2
3

D.

1
3ln 2

Hướng dẫn giải
Ta có f '  x 

e


x

 xe x  '

e x  xe x

Suy ra f '  2   



e  x  e  x  xe  x
x
.

x
x
e  xe
1 x

2
2
 .
1 2
3

Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hàm số y  log 2  2 x  1 . Giá trị của y ' 1 bằng

A.

2
3ln 2

B.

2
3

C.

2ln 2
3

Hướng dẫn giải
Ta có f  x   log 2  2 x  1  f '  x  

2 x ln 2
2
 f ' 1  .
x
3
 2  1 ln 2

Chọn B.
TOANMATH.com

Trang 7

Bài tốn 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Phương pháp giải
Hàm số y  a x  a  0; a  1 đồng biến khi a  1
và nghịch biến khi 0  a  1 .

x

1
Ví dụ: Hàm số y    nghịch biến trên  vì
2

0

1
 1.
2

Hàm số y  log a x đồng biến khi a  1 và nghịch Ví dụ: Hàm số y  log 2 a  3 x đồng biến trên

 0; 

biến khi 0  a  1 .

khi và chỉ khi 2a  3  1  a  1 .

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm a để hàm số y   2a  5  nghịch biến trên  .
x

A.

5
a3
2

B.

5
a3
2

C. a  3

D. a 

5
2

Hướng dẫn giải
Hàm số y   2a  5  nghịch biến trên  khi và chỉ khi 0  2a  5  1 
x

5
 a  3.
2

Chọn A.
Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?
 

B. y   
2

A. y  log 2 x

x

 3
C. y  
 2 



x

D. y  log 1 x
2

Hướng dẫn giải
Ta có hàm số y  a x ln đồng biến trên  khi và chỉ khi a  1 .
Ở phương án B, a 


2

 1 thỏa mãn khẳng định trên.

Ta loại phương án A và D vì hàm số y  log a x chỉ xác định trên  0;  .
x

 3
3
Ta loại phương án C, vì 0 
 1 nên hàm số y  
 2  nghịch biến trên  0;  .
2


Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số y   x 2  3 e x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;1 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;  .
TOANMATH.com

Trang 8


D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;3 .
Hướng dẫn giải
Ta có: y '  2 x.e x   x 2  3 .e x  e x . x 2  2 x  3 .

x  1
y'  0  
.
 x  3
Bảng xét dấu:


x

-3

y’

+



1

0

-

0

+

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hàm số y  e x .sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y '  e x cos x

B. y ' y  y "

Câu 2: Cho hàm số y  e ax

2

 bx  c

C. y "  2  y ' y 

D. y "  2e x cos x

đạt cực trị tại x  1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng e . Giá trị của hàm số tại x  2 là
A. y  2   1

B. y  2   e

Câu 3: Cho hàm số y 
A. 2 y ' xy"  

1
x2

C. y  2   e 2

1
e2

ln x
, khẳng định nào sau đây đúng?
x

B. y ' xy" 

1
x2

Câu 4: Cho hàm số y  log 3  3x  x  , biết y ' 1 
A. 2

D. y  2  

B. 7

C. y ' xy"  

1
x2

D. 2 y ' xy" 

1
x2

a
1

với a, b   . Giá trị của a  b bằng
4 b ln 3

C. 4

D. 1

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y  f  x   x . x tại điểm x  1 .
A. f ' 1  

B. f ' 1   2  ln 

C. f ' 1   2   ln 

D. f ' 1  1

Câu 6: Tìm đạo hàm của hàm số y  log 2 x .
A. y ' 

1
x ln 2

B. y ' 

1
x ln10

C. y ' 

1
2 x ln10

D. y ' 

ln10
x

Câu 7: Cho hàm số f  x   ln x . Tìm đạo hàm của hàm số g  x   log 3  x 2 f '  x   .
A. g '  x  

1
x

TOANMATH.com

B. g '  x  

1
x ln 3

C. g '  x  

ln 3
x

D. g '  x  

x
ln 3

Trang 9


Câu 8: Cho hàm số y  ecos x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. y 'cos x  y.sin x  y "  0

B. y 'sin x  y.cos x  y "  0

C. y 'sin x  y ".cos x  y '  0

D. y 'cos x  y.sin x  y "  0

Câu 9: Hàm số y  x.e  x đạt cực trị tại
B. x0  e 2

A. x0  e

Câu 10: Cho hàm số y  x.e
A. xy  1  x 2  . y '



x2
2

C. x0  1

D. x0  2

. Khẳng định nào sau đây đúng?

B. xy '  1  x 2  . y

C. xy  1  x 2  . y '

D. xy '  1  x 2  . y

Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?
3
A. y   
 

 2 3
B. y  


3



x

x

 3
C. y  
 2 



x




D. y  


 2 3

x

Câu 12: Các giá trị thực của tham số a để hàm số y  log M x, M  a 2  4 nghịch biến trên tập xác định là
A. 2  a  5

B. a  5

C.  5  a  2; 2  a  5

D. a  2

Câu 13: Với giá trị nào của tham số a thì hàm số y   a 2  3a  3 đồng biến?
x

A. a  1

C. a  1; 2 

B. a  2

Câu 14: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a

3
2

A. 0  a  1, 0  b  1 B. 0  a  1, b  1

2
2

 a ;log b

D. a   ;1   2;  

3
4
 logb . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
4
5

C. a  1, 0  b  1

D. a  1, b  1





Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 2  1  x ln x  x 2  1 trên đoạn  1;1 là
A.

2

B.

Câu 16: Đối với hàm số y  ln
A. xy ' 1  e y

2 1

B. xy ' 1  e y

3e 2 x

e

2x

 1

2



2  ln 1  2



D.

2  ln





2 1

1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1

Câu 17: Đạo hàm của hàm số y 
A. y ' 

C.

B. y ' 

C. xy ' 1  e y

D. xy ' 1  e y

e x  e x
là
e x  e x

e2 x

e

2x

 1

2

C. y ' 

2e 2 x

e

2x

 1

2

D. y ' 

4e 2 x

e

2x

 1

2

Câu 18: Cho hàm số y  x sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?
TOANMATH.com

Trang 10

A. xy " 2 y ' xy  2sin x

B. xy ' yy " xy '  2sin x

C. xy ' yy ' xy '  2sin x

D. xy " y ' xy  2cos x  sin x

Câu 19: Hàm số y   3a 2  10a  2  đồng biến trên  ;   khi
x

1

A. a   ; 
3


B. a   3;  

1

C. a   ; 
3


1 
D. a   ;3 
3 

Câu 20: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?

  
A. y  

3 5 

x

2
B. y   
e

x

3


C. y  

 3 2

x

1


D. y  3 x 

 3 2

x

Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trong khoảng  0;  ?
A. y  log 2 x

B. y  x 2  log 2 x

C. y  x  log 2 x

D. y  log 2

1
x

Câu 22: Đạo hàm của hàm số y  log3  4 x  1 là
A. y ' 

1
 4 x  1 ln 3

B. y ' 

4
 4 x  1 ln 3

C. y ' 

ln 3
4x  1

D. y ' 

4ln 3
4x  1

C. y ' 

1
2 x ln 2 x.ln10

D. y ' 

1
x ln 2 x

Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số y  log  ln 2 x  .
A. y ' 

2
x ln 2 x.ln10

B. y ' 

1
x ln 2 x.ln10

Câu 24: Cho hàm số f  x   ln  4 x  x 2  . Khẳng định nào sau đâ
A. f '  3  1,5

B. f '  2   0

y đúng?

C. f '  5  1

D. f '  1  1

Câu 25: Tìm đạo hàm của hàm số y  log 5  x 2  x  1 .
A. y ' 

2x  1
2x  1
B. y '  2
x  x 1
 x  x  1 ln 5
2

C. y '   2 x  1 ln 5

D. y ' 

1
 x  x  1 ln 5
2

Câu 26: Cho hàm số f  x   ln  x 4  1 . Đạo hàm f ' 1 bằng
A.

ln 2
2

B. 1

C.



Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y  ln x  x 2  1
A. y ' 

1
2 x 1
2

B. y ' 

2x
x  x 1
2

1
2

D. 2



C. y ' 

1
x  x 1

2

D. y ' 

1
x2  1

Câu 28: Tìm đạo hàm của hàm số y  log  x 2  x  .

TOANMATH.com

Trang 11


1
 x  x  ln10

A. y 

2

2x  1
x2  x

B. y ' 

2x  1
 x  x  log e

C. y ' 

2

D. y ' 

2x  1
.log e
x2  x

D. y ' 

2cos x
 2sin x  1 ln10

Câu 29: Đạo hàm của hàm số y  log  2sin x  1 trên tập xác định là
2cos x
2sin x  1

A. y ' 

Câu 30: Nếu  0,1a 

2cos x
2sin x  1

B. y ' 
3

  0,1a 

2

và log b

2 cos x
 2sin x  1 ln10

C. y ' 

2
1
thì
 log b
3
2

A. a  10 và b  1

B. 0  a  10 và 0  b  1

C. 0  a  10 và b  1

D. a  10 và 0  b  1

Câu 31: Tìm đạo hàm của hàm số y   x 2  2 x  e  x .
A. y '   2 x  2  e x

B. y '   x 2  2  e  x

C. y '  xe  x

D. y '    x 2  2  e  x

Câu 32: Cho hàm số y  ex  e  x . Nghiệm của phương trình y '  0 là
A. x  0

B. x  1

C. x  1

D. x  ln 2

C. y '  32017

D. y '  ln 3.32017 x

Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số y  32017 x .
A. y '  2017 ln 3.32017 x B. y ' 

32017
ln 3

Câu 34: Cho hàm số y  e x  e  x . Giá trị của y "1 là
A. e 

1
e

B. e 

1
e

C. e 
3

1
e

4

Câu 35: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a 4  a 5 và logb

D. e 

1
e

1
2
 log b . Mệnh đề nào sau đây
2
3

đúng?
A. a  1, b  1

B. a  1,0  b  a

C. 0  a  1,0  b  1

D. 0  a  1, b  1

Bài tập nâng cao
 x 1
Câu 36: Cho hàm số f  x   ln 2017  ln 
 . Tính tổng S  f '  x   f '  2   ...  f '  2017  , ta được
 x 

kết quả
A. S 

4035
2018

B. S  2017

C. S 

2016
2017

D. S 

2017
2018

Câu 37: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y   20 x 2  20 x  1283 e 40 x trên tập hợp các số tự nhiên là

TOANMATH.com

Trang 12


A. 1283

B. 163.e 280

C. 157.e320

D. 8.e300

Câu 38: Các giá trị của tham số m để hàm số y  ln  x 2  1  2mx  2 đồng biến trên  là
A. Không tồn tại m

B. m 

1
2

C. m  

1
2

1
1
D.   m 
2
2

Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y  4 x  2 x  2  mx  1 đồng biến trên
khoảng  1;1 là

1


A.  ;  ln 2 
2



TOANMATH.com

B.  ;0

C.  ; 2ln 2

3


D.  ;  ln 2 
2



Trang 13


Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lơgarit

Bài tốn 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit.
Phương pháp giải
Hàm số y  a x  a  0; a  1 có tập xác định là  .

Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số

y  log x 1  x 2  6 x  9  .

Hàm số y  log a x  a  0; a  1 có tập xác định là

Hứớng dẫn giải

 0;  .

 x2  6 x  9  0

Hàm số xác định:  x  1  0
x 1  1

 x  3 2  0
x  3


 x  1
  x  1  x  1;   \ 2,3 .
x  2
x  2



Vậy D  1;   \ 2,3 .

Ví dụ mẫu

 1 x 
Ví dụ 1: Tập xác định D của hàm số y  ln 
 là
 x2
A. 1; 2 

B.  ;1   2;  

C.  \ 2

D.  \ 1, 2

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định 

1 x
 0 1 x  2
x2

Chọn A.
Ví dụ 2: Điều kiện xác định D của hàm số y 

A. x  3

B. x  1

1
2x 1
log9

x 1 2

là

C. 3  x  1

D. 0  x  3

Hướng dẫn giải
1
2x
1
 2x

2
log


9

 9 x  1 2
2x
x

1
Hàm số xác định  



3
2
x
x

1
2
x


0
0
 x  1
 x  1



x3
 0  3  x  1
x 1

Chọn C
TOANMATH.com

Trang 14


Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số y  3x  2

A. D   log 2 3;  

B. D   log3 2;  

C. D   ;log 2 3

D. D   ;log 3 2

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định  3x  2  0  3x  2  x  log 3 2 .
Chọn B.
Bài tốn 2. Tìm tham số m để hàm số xác định trên khoảng cho trước
Phương pháp giải
Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  log a f  x  xác định trên  trong đó f  x  là một
tam thức bậc hai.
Áp dụng tính chất


a  0
Tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c  0 x   khi và chỉ khi 
.
  0

Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  log a f  x  xác định trên khoảng D.


Cô lập tham số m.



Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  ln  x 2  2mx  4  xác định với
mọi x   ?
A. 5

B. 2

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định x    x 2  2mx  4  0, x   .
1  0
a  0

 2
 2  m  2 .
  0
4m  16  0

Do m   nên m  1;0;1
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y  log 2  m  2  x 2  2  m  2  x  m  3 có tập xác định D   .
A. m  2

B. m  2

C. m  2

D. m  2

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định trên    m  2  x 2  2  m  2  x  m  3  0, x   (*).
TOANMATH.com

Trang 15


Trường hợp 1: a  0 .
m  2  0
a  0
 m  2
(*)  


 m  2 .
2
  0
m  2  0
4  m  2   4  m  2  m  3  0

Trường hợp 2: a  0  m  2 , ta có
(*)  1  0, x   (đúng), nhận m  2
Vậy m  2 .
Chọn D.
Ví dụ 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng  10;10  để hàm số
y  log 2  4 x  2 x  m  có tập xác định D   ?

A. 9

B. 10

C. 11

D. 8

Hướng dẫn giải
Hàm số có tập xác định D   khi 4 x  2 x  m  0 x  

(1).

Đặt t  2 x , t  0 .
Khi đó (1) trở thành t 2  t  m  0 t   0;    m  t 2  t t   0;  
 m  max f  t  
 0;  

1
với f  t   t 2  t .
4

Do m   và m   10;10  nên m  1; 2;3;...;8;9 .
Chọn A.
Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng  10;10  để hàm số

y

1

xác định trên khoảng  0;  ?
m log x  4log 3 x  m  3
2
3

A. 13

B. 11

C. 12

D. 10

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định x   0;    m log 32 x  4log 3 x  m  3  0, x   0;  

(*).

Đặt t  log 3 x, t   .
(*)  mt 2  4t  m  3  0 vô nghiệm.
Trường hợp 1: m  0 . Phương trình có nghiệm (loại m  0 ).
Trường hợp 2: m  0 . Phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi

 '  0  4  m  m  3  0  m  4 hoặc m  1 .
Do m   và m   10;10  nên m  9; 8; 7; 6; 5;2;3;...8;9 .
Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.
Chọn A.
TOANMATH.com

Trang 16

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số y   3 x  x 2 




2

 log 2  x  1 .
4

A. D   \ 0;1;3

B. D  1;3

C. D   0;3 \ 1

D. D  1;3

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y   x  2 

log100

 log 2  x 2  2 x  3 .

A. D   3;  

B. D   2;3

C. D   ; 1   3;  

D. D   1;3

Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y  2 x  1  log  x  2  .
4

A. D   2;  

B. D   0;  

C. D   0;   \ 2

D. D   0;   \ 2

Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y  log 2

x 1
.
x

A. D  1;  

B. D   ;0   1;  

C. D   0;1

D. D   \ 0

Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số y  ln





x2  x  2  x .

A. D   ; 2 

B. D   ; 2    2;  

C. D   ; 2   2;  

D. D   2;2 

Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số y  5 x 1  25   x  4 

2

A. D   ;3

B. D   4;  

C. D   ;3

D. D  3;   \ 4

Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y  2017



2  x2

.





A. D   2; 2 

B. D   2; 2

C. D    2; 2 

D. D  ;  2 

Câu 8: Cho hàm số y 



1
. Các giá trị thực của tham số m để hàm số
 x  m  log 2  x  2  2m  1 x  4m2 
2

đã cho xác định với mọi x  1;   là
TOANMATH.com

Trang 17


A. m   ;2 

B. m   1;1

D. m   ;1

C. m   ;1

Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình log 4  x  1  log 2  x  1  25 là
2

A. x  

B. x  1

C. x  1

Câu 10: Tập xác định D của hàm số y  log 3
A. D   2;10 

D. x  1

10  x
là
x  3x  2
2

B. D  1;  

C. D   ;10 

D. D   ;1   2;10 

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  ln  x 2  2mx  4  có tập xác định
D  .

A. 2  m  2

B. m  2 hoặc m  2

C. m  2

D. 2  m  2

Câu 12: Hàm số y   x 2  16   ln  24  5 x  x 2  có tập xác định là
5

A.  8; 4    3;   B.  ; 4    3;  

C.  8;3 \ 4

D.  4;3

Câu 13: Tập xác định của hàm số y  log 2  5x  2  125  là
A. 1; 

B. 1; 

D.  2; 

C.  2; 

Câu 14: Tập xác định của hàm số y  ln  x  1  ln  x  1 là
A. 1; 



B. ; 2



D.  2; 

C. 



Câu 15: Hàm số y  log 2  4 x  2 x  m  có tập xác định D   khi
A. m 

1
4

C. m 

B. m  0

1
4

D. m 

1
4

Câu 16: Tập xác định D của hàm số y  log  x 2  6 x  5 là
A. D   ;1   5;  

B. D  1;5 

C. D   ;1  5;  

D. D  1;5

Câu 17: Tập xác định của hàm số log 2

 1

A.   ;  
 3


 1

B.   ;  
 3


3x  1
x  x  1  x2  x  1
2

C. 

là.

 1
D.  \  
 3

Dạng 3: Đồ thị hàm số
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com

Trang 18


Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  c x được cho trong
hình vẽ sau

Mệnh đề nào đúng?
A. a  b  c

B. a  c  b

C. b  c  a

D. c  a  b

Hướng dẫn giải
Ta có: y  a x nghịch biến nên 0  a  1 .
Mặt khác, y  b x , y  c x đồng biến, đồng thời cho x  1  y  b  y  c .
Vậy a  c  b
Chọn B.
Ví dụ 2: Từ các đồ thị y  log a x , y  log b x , y  log c x đã cho ở hình vẽ sau:

Khẳn định nào sau đây đúng?
A. 0  a  b  1  c

B. 0  c  1  a  b

C. 0  c  a  1  b

D. 0  c  1  b  a

Hướng dẫn giải
Ta có: y  log c x nghịch biến nên 0  c  1 .
Mặt khác, y  log a x và y  log b x đồng biến nên a, b  1 đồng thời cho y  1 thì x  a  x  b . Vậy
0  c 1 a  b.

TOANMATH.com

Trang 19


Chọn B.
Ví dụ 3: Cho các hàm số y  a x , y  log b x , y  log c x có đồ thị như hình vẽ.

Chọn mệnh đề đúng?

A. b  c  a

B. a  c  b

C. c  b  a

D. c  a  b

Hướng dẫn giải
Ta có y  log c x nghịch biến nên 0  c  1 còn y  log b x và y  a x đồng biến nên b  1 và a  1 .
Xét y  a x : Với x  1  y  a  1  a  2 .
Xét y  log b x : Với y  1  x  b  b  2 .
Do đó a  b
Vậy c  1  a  b .
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hàm số y  log 1 x . Khẳng định nào sau đây sai?
5

A. Hàm số có tập xác định là D   \ 0 .
B. y ' 

1
x ln 5

C. Hàm số nghịch biến trên  0; 
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy.

Câu 2: Tìm phát biểu sai.
A. Đồ thị hàm số y  a x  a  0, a  1 nằm hồn tồn phía trên Ox.
B. Đồ thị hàm số y  a x  a  0, a  1 luôn đi qua điểm A  0;1 .
TOANMATH.com

Trang 20


x

1
C. Đồ thị hàm số y  a , y    ,  0  a  1 đối xứng nhau qua trục Ox.
a
x

x

1
D. Đồ thị hàm số y  a x , y    ,  0  a  1 đối xứng nhau qua trục Oy.
a

Câu 3: Cho đồ thị của ba hàm số y  a x , y  b x , y  c x như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. c  b  a

B. b  a  c

C. c  a  b

D. b  c  a

Câu 4: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên?
1
A. y   
 3

x

 1 
B. y  

 2

D. y 

C. y  3x

 2

2

x

Câu 5: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số y  a x , a  1 ?

(I)

A. (I)

(II)

B. (II)

(III)

C. (III)

(IV)

D. (IV)

Câu 6: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số y  a x ,0  a  1 ?

(I)
A. (I)
TOANMATH.com

(II)
B. (II)

(IV)

(III)
C. (IV)

D. (III)
Trang 21


Câu 7: Quan sát hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a  1, b  1

B. 1  a  0, b  1

C. a  1,0  b  1

D. 0  a  1,0  b  1

Câu 8: Cho hai hàm số y  log b x, y  a x có đồ thị lần lượt là

 C1 

và  C2  như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây

đúng?
A. a  1, b  1

B. 0  a, b  1

C. 0  a  1  b

D. a  1, b  1

Câu 9: Cho các hàm số y  log a x và y  log b x có đồ thị
như hình vẽ bên. Đường thẳng x  7 cắt trục hoành, đồ thị
hàm số y  log a x và y  log b x lần lượt tại H, M, N. Biết
rằng HM  MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a  7b

B. a  2b

C. a  b7

D. a  b2

Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số
nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,
D dưới đây?
A. y  log 2 x

B. y  log 0,5 x

1
1
C. y   x 
3
3

D. y  3 x  1

Câu 11: Với giá thị nào của a để hàm số y  log a x  0  a  1
có đồ thị là hình bên ?
A. a 

1
2

C. a  2

TOANMATH.com

B. a  2
D. a 

1
2

Trang 22


Câu 12: Biết hàm số y  2 x có đồ thị là hình bên. Khi đó,
hàm số y  2 x có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt
kê ở bốn A, B, C, D dưới đây?

A. Hình 4

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 1

Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x 2 e x trên đoạn  1;1 là
A. e

B.

1
e

C. 2e

D. 0

Câu 14: Cho hàm số y  log 2  2 x  . Khi đó, hàm số y  log 2  2 x  có đồ thị là hình nào trong bốn hình
được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

TOANMATH.com

Trang 23


Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

A. Hình 3

B. Hình 2

C. Hình 1

D. Hình 4

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 trên  2;2 ?
x

A. max y  4;min y  
C. max y  1;min y 

1
4

B. max y  4;min y 

1
4

1
4

D. max y  4;min y  1

Câu 16: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y  log a x ,
y  log b x , y  log c x  0  a, b, c  1 được vẽ trên cùng một

hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a  c  b

B. a  b  c

C. b  c  a

D. b  a  c
x

1


Câu 17: Cho hàm số y  f  x   
 . Tìm khẳng định sai.
 2 3
A. Hàm số luôn nghịch biến trên  .
B. Đồ thị hàm số ln cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 1.
C. Hàm số khơng có cực trị.
D. f  x  luôn nhỏ hơn 1 với mọi x dương.
TOANMATH.com

Trang 24


Câu 18: Cho f  x  
A. 1

9x
. Nếu a  b  1 thì f  a   f  b  là
9x  3
B. 2

Câu 19: Cho hàm số f  x  
A.

1
4

B.

C. 3

D. 4

9x
, x   . Nếu a  b  3 thì f  a   f  b  2  có giá trị bằng
3  9x
3
4

C. 1

D. 2

Câu 20: Hàm số y  log 2  x3  4 x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Câu 21: Cho ba số thực dương a,b,c khác 1. Đồ thị các hàm
số y  log a x , y  log b x , y  log c x được cho trong hình vẽ
sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. b  c  a

B. a  b  c

C. c  a  b

D. a  c  b

Câu 22: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây?
A. y 

 
3

x

5
C. y  2 
2
x

1

B. y   
2

x

1
D. y   
3

x

Câu 23: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào
trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây?
x

A. y  2 x

1
B. y   
2

C. y  2

1
D. y    
2

x

TOANMATH.com

x

Trang 25