Một số đóng góp vào lý thuyết xác suất phá sản

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN ĐƠNG XN

MỘT SỐ ĐĨNG GĨP VÀO
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT PHÁ SẢN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. Hồ Chí Minh - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN ĐƠNG XN

MỘT SỐ ĐĨNG GĨP VÀO
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT PHÁ SẢN
Ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số ngành: 62460106
Phản biện 1: TS. Lâm Hoàng Chương
Phản biện 2: TS. Phạm Hải Hà
Phản biện 3: TS. Nguyễn Văn Huấn
Phản biện độc lập 1: TS. Tạ Quốc Bảo
Phản biện độc lập 2: TS. Lưu Hoàng Đức

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. Nguyễn Thị Mộng Ngọc
2. TS. Lê Văn Dũng

TP. Hồ Chí Minh - 2020


Mục lục
Lời cam đoan

4

Lời cảm ơn

5

Mở đầu

6

1 Quá trình thặng dư của cơng ty bảo hiểm
1.1 Mơ hình Cramér–Lundberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mô hình đếm số khách hàng và phân phối lượng tiền bồi thường
bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Quá trình Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phân phối đuôi nhẹ (light-tailed distribution). . . . . . .
1.2.3 Phân phối đuôi nặng (heavy-tailed distribution). . . . . .
1.3 Một số kết quả gần đây của bài toán xác suất phá sản . . . . .

10
10

2 Xác suất phá sản của công ty bảo hiểm

2.1 Phân phối mũ ma trận và biểu diễn mũ ma trận . . . . . . . . .
2.2 Xấp xỉ Padé của hỗn hợp phân phối mũ (hyper-exponential distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn và vô hạn . . .
2.4 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn . . . . .
2.4.2 Xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn . . . . . .

19
19

3 Chỉnh hóa và sai số ước lượng của xác suất phá sản trong miền
thời gian vơ hạn của mơ hình thặng dư bảo hiểm
3.1 Xác định xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn của công
ty bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính khơng chỉnh của bài tốn tìm xác suất phá sản trong miền
thời gian vô hạn của công ty bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Chỉnh hóa và sai số ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Chỉnh hóa bằng phương pháp Tikhonov . . . . . . . . .
3.3.2 Chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt . . . . . . . . . .
3.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

12
13
14
16
17

21

25
27
27
29
38
38
42
47
47
50
53


Kết luận

56

Danh mục cơng trình

57

Tài liệu tham khảo

58

3


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận án này là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các

kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả
đồng ý cho tôi sử dụng trong luận án của mình và hồn tồn khơng trùng với
bất kỳ tài liệu nào khác. Các ví dụ sử dụng trong luận án có nguồn gốc rõ ràng,
đã được cơng bố theo đúng quy định của pháp luật.
TP. HCM, ngày 18 tháng 7 năm 2020
Nghiên cứu sinh,

Trần Đông Xuân


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS. TS. Nguyễn Quang Hưng,
người đã tận tình chia sẻ nhiều kinh nghiệm nghiên cứu và tạo mọi điều kiện
thuận lợi để nghiên cứu sinh tiếp tục theo đuổi con đường nghiên cứu khoa học.
Song song đó, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS. TS. Nguyễn Huy
Tuấn, người luôn đồng hành, chia sẻ và giúp đỡ để tơi hồn thành luận án này,
cũng là người đọc và mang đến nhiều ý kiến cho luận án của tơi.
Đồng thời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đối với tập thể cán bộ hướng dẫn, TS.
Nguyễn Thị Mộng Ngọc, TS. Lê Văn Dũng và PGS. TS. Lê Sĩ Đồng, đã tạo điều
kiện thuận lợi để tôi hồn thành luận án này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn đến tất cả các thầy cơ Phịng Đào tạo Sau
đại học, Bộ môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê, Ban chủ nhiệm Khoa Toán
- Tin và Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia TP. HCM đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm
nghiên cứu sinh tại Trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các anh, chị, em nghiên cứu sinh Khóa
14 và Khóa 15 đã động viên tơi trong q trình làm nghiên cứu sinh tại Trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình tơi, nơi đã động
viên và hỗ trợ tơi trong suốt q trình làm nghiên cứu sinh.
TP. HCM, ngày 18 tháng 7 năm 2020

Tác giả,

Trần Đông Xuân


MỞ ĐẦU
Bài tốn tính xác suất phá sản có lịch sử phát triển từ rất lâu trong lý thuyết
rủi ro. Sự phát triển của lý thuyết rủi ro bắt nguồn từ khám phá đầu tiên của
Fillip Lundberg, sinh năm 1876 và mất năm 1965. Ơng nghiên cứu tốn và khoa
học ở Uppsala. Năm 1903, ông viết luận án với tên gọi “Xấp xỉ hàm xác suất
trong rủi ro bảo hiểm (On the approximation of the probability function in the
insurance of collective risks)”. Đây là cơng trình đầu tiên làm tiền đề cho sự
phát triển của lý thuyết rủi ro. Trong luận án này, ơng xây dựng mơ hình biến
ngẫu nhiên đối với thặng dư của công ty bảo hiểm bằng trực giác, q trình này
sau đó được gọi là q trình đếm Poisson. Như cơng việc của Fillip Lundberg,
Bachelier xây dựng q trình Wiener trong cùng năm ấy để mơ tả sự tăng, giảm
giá cổ phiếu, đây là một trong những trường hợp đầu tiên mà quá trình ngẫu
nhiên trong thời gian liên tục được định nghĩa.
Quá trình rủi ro của cơng ty bảo hiểm gồm có một chuỗi vơ hạn các yêu cầu
bồi thường bảo hiểm của khách hàng độc lập với nhau. Trong mỗi yêu cầu bồi
thường có phân phối rủi ro định nghĩa trên tổng số tiền yêu cầu bồi thường của
tất cả các khách hàng. Từ những giả thiết này, Fillip Lundberg xây dựng luật
đối với q trình đếm Poisson của tồn bộ số tiền bồi thường cho khách hàng
trong khoảng thời gian hữu hạn; nhờ vào q trình Poisson, ơng suy ra xấp xỉ
xác suất phá sản của công ty bảo hiểm trong miền thời gian vô hạn. Việc xây
dựng công thức xấp xỉ xác suất phá sản của ông cũng tương tự như việc chứng
minh định lý giới hạn trung tâm với phương pháp đã được nhiều tác giả sau đó
sử dụng. Kể từ thời điểm này, ông nghiên cứu xác suất mà thặng dư của công
ty âm tại thời điểm t > 0 và ông suy ra một xấp xỉ nổi tiếng
Ψ(x) ≈ c exp(−Rx),

trong đó R là hệ số Lundberg, c là phí mà người tham gia bảo hiểm phải đóng và
x là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm. Xấp xỉ này của Lundberg được những
người cùng thời với ông trong các công ty bảo hiểm trên thế giới đánh giá chỉ
mang ý nghĩa về mặt lý thuyết [29]. Bởi vì, trong mơ hình của Lundberg, cơng
ty bảo hiểm khơng có lợi nhuận từ bất kỳ danh mục đầu tư nào trên vốn ban
đầu, lý do đối với giả thiết này đó là tính tốn dễ dàng [65].
Cơng việc của Lundberg đã kích thích nguồn cảm hứng sáng tạo đối với Harald
Cramér là một trong rất ít người thật sự muốn thâm nhập vào việc nghiên cứu
rủi ro của công ty bảo hiểm. Ông dành nhiều thời gian để giải thích và phát
triển lý thuyết một cách chặt chẽ và dễ hiểu.
Vào năm 1930, Harald Cramér công bố bài lý thuyết rủi ro toán học (On the
Mathematical Theory of Risk) [29], trong kỷ yếu kỉ niệm sự hoạt động của cơng
ty bảo hiểm Skandia. Bài đó đã trình bày để người ta có thể thấy được những
điểm quan trọng và những kĩ thuật cần thiết trong lý thuyết rủi ro của công ty
6


bảo hiểm. Nhiều ý tưởng của ông trong lý thuyết rủi ro của công ty bảo hiểm
đã được triển khai để cải tiến xấp xỉ Gauss trong định lý giới hạn trung tâm
(the central limit theorem).
Trở lại nửa đầu của thế kỉ 20, bài tốn tìm xác suất sao cho thặng dư của
công ty bảo hiểm âm tại thời điểm t > 0, trong đó số khách hàng yêu cầu bồi
thường là quá trình đếm Poisson dễ hơn so với mơ hình rời rạc ban đầu của
Lundberg.
Trong lý thuyết rủi ro, việc nghiên cứu bài toán xác suất phá sản trở thành
chủ đề thú vị đối với những người nghiên cứu trong viện của Cramér ở Stockholm
vào thập niên 1930, 1940 và 1950. Nhiều bài báo trên tạp chí Scand. Act. J. trong
những thập niên này được công bố bởi nhng tỏc gi nh Segerdahl [70, 71],
Tăacklind [75] v Arfwedson [5, 6]. Các tác giả này nghiên cứu xác suất phá sản
trong miền thời gian vô hạn Ψ(x) và xác suất phá sản trong miền thời gian hữu

hạn Ψ(x, t). Tất cả những nghiên cứu này đều dựa trên phương trình tích phân
để đạt được kết quả bằng cách xét các biến cố xảy ra trong khoảng thời gian
ngắn dt; khi đó, q trình bắt đầu từ thời điểm khơng với vốn ban đầu x khác
nhau của công ty bảo hiểm.
Trong bài báo [29], Cramér đưa ra chi tiết công thức biến đổi Laplace đối với
xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn. Từ kết quả này, ông suy ra xấp
xỉ Lundberg một cách chặt chẽ:
ψ(x) ≈ c exp(−Rx)

khi

x → ∞.

Công thức biến đổi Laplace của Cramér đối với xác suất phá sản trong miền
thời gian vô hạn có cùng dạng với cơng thức biến đổi Laplace của phân phối
thời gian chờ trong hệ thống xếp hàng M/G/1 [55, 67] hay cịn gọi là cơng thức
Pollaczek–Khinchin trong cùng thời điểm đó. Năm mươi năm sau, người ta thực
sự mới hiểu rõ hơn sự liên kết rất tự nhiên giữa q trình thặng dư của cơng ty
bảo hiểm và quá trình thời gian chờ trong hệ thống xếp hàng M/G/1. Để tìm
nghiệm của phương trình tích phân ψ(x, t), Cramộr v Tăacklind ỏp dng k
thut WienerHopf v cụng thc biến đổi Laplace theo dạng phân số Wiener–
Hopf. Lý thuyết này hồn tồn là “giải tích” và sử dụng lý thuyết giải tích hàm.
Họ đã đạt được cơng thức tính xác suất phá sản trong một vài trường hợp cụ
thể và cơng thức tính xấp xỉ xác suất phá sản khi vốn ban đầu và thời gian đủ
lớn. Kết quả này được đăng trong kỷ yếu kỉ niệm 100 năm thành lập công ty
bảo hiểm Skandia [29].
Vào thập niên 1950 và 1960, lý thuyết bước ngẫu nhiên (random walk) và mối
liên hệ của lý thuyết này với phân số Wiener–Hopf được phát triển rất mạnh nhờ
sử dụng các phương pháp của lý thuyết xác suất. Nhờ vào mối liên hệ này, chúng
ta thấy rõ mối liên kết giữa những kết quả trong lý thuyết xếp hàng (queueing

theory) và lý thuyết rủi ro (risk theory). Từ đó, người ta có thể xác suất hóa
những cơng thức trên bằng một vài phép biến đổi. Hơn nữa, những công thức
xấp xỉ trong những cơng trình trên có thể trực tiếp đạt được bằng phương pháp
xác suất. Nghiên cứu của Feller [43] và Von Bahr [83] đưa ra kết quả rất tốt về
7


vấn đề này. Sau đó Prabhu [66] đưa ra cách miêu tả đầy đủ hơn về các vấn đề
này. Bên cạnh đó, Prabhu cũng chỉ ra rằng kết quả ước lượng trong bài báo [61]
có thể đạt được trực tiếp bằng cách sử dụng những phương pháp của độ lệch
lớn (methods of large deviation theory).
Đầu thập niên 1960, Cramér, Grenander, Esscher và Bohman bắt đầu nghiên
cứu tính tốn số đối với lý thuyết rủi ro và những phương pháp xấp xỉ trước đó
N (t)
bằng cách tính phân phối của k=1 ξk bằng phương pháp tích chập (convolution
method). Nhờ vào sự tinh tế và những kết quả của biến đổi Fourier ngược bằng
phương pháp số, Bohman và Esscher có những kết quả [18, 19]. Sau đó, Thorin
N (t)
xét bài tốn phá sản với k=1 ξk là quá trình đổi mới (renewal process). Trong
nghiên cứu này, ông đạt được kết quả [77]. Bên cạnh đó, Thorin và Wikstad đã
thu được kết quả về tính tốn số tương ứng với [76, 85].
Đối với lý thuyết phá sản trước năm 1998, người ta thường liên tưởng đến kết
quả của Paulsen [64]. Kể từ năm 1998, có ba hướng nghiên cứu mới ảnh hưởng
đến lý thuyết phá sản này, đó là:
1. Nhấn mạnh vào những phân phối đuôi nặng của phân phối lượng khách
hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm (heavy tailed claim distributions);
2. Hàm penalty của Gerber-Shiu (Gerber-Shiu penalty function);
3. Khả năng chi phối xác suất phá sản bằng việc hạn chế rủi ro và có thể tái
bảo hiểm (reinsurance).
Cũng trong giai đoạn này, Asmussen [12] và Abate [2] là những tác giả đầu

tiên phát triển mảng tính tốn số cho bài tốn xác suất phá sản của công ty
bảo hiểm.
Đầu thế kỷ XXI, quá trình ngẫu nhiên phát triển rất mạnh, Asmussen [11]
và Rolski [69] đã xây dựng rất chi tiết các vấn đề của bài toán xác suất phá sản
trong các quá trình ngẫu nhiên khác nhau. Từ những cơng trình này, nhiều nhà
toán học trên thế giới nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán
xác suất phá sản, ví dụ như: Yuen và Guo [86], Mordecki [63], Cai [23, 24, 25],
J. Gaier và các cộng sự [44], Burnecki và Garcia [22, 45], Rolski và các cộng sự
của ông [69], Li [58], Lefèvre [57], Avram và các cộng sự [4, 13], Chen Yiqing
và các cộng sự [26], Chen Yang và các cộng sự [27], Zhu [87]... Tại Việt nam có
nhóm của GS. Trần Hùng Thao, Viện tốn học và Bùi Khởi Đàm, Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội nghiên cứu bài toán này.
Từ những sự kiện lịch sử như đã nói trên, bài tốn xác suất phá sản là bài
tốn rất quan trọng trong ngành bảo hiểm nói riêng và ngành tốn tài chính nói
chung. Đây là một bài tốn khó và cho đến ngày nay vẫn được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu.
Với những lý do như đã nêu ở phần trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên
cứu là bài tốn tính xác suất phá sản của cơng ty bảo hiểm trong mơ hình
Cramér–Lundberg.
Nội dung luận án bao gồm ba chương:
8


Chương 1: Trình bày mơ hình thặng dư của cơng ty bảo hiểm; các kết quả cơ
bản của quá trình ngẫu nhiên; định nghĩa và một số tính chất của phân
phối đuôi nhẹ (light-tailed) và phân phối đuôi nặng (heavy-tailed) đối với
phân phối lượng tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng; một số kết quả
nổi bật của bài toán xác suất phá sản trong mơ hình thặng dư bảo hiểm
Cramér–Lundberg.
Chương 2: Trình bày các cơng thức tính chính xác xác suất phá sản trong

miền thời gian hữu hạn và vô hạn của công ty bảo hiểm bằng cách sử
dụng phương pháp biến đổi Laplace của phân phối mũ ma trận (matrixexponential distribution) [78, 79, 80].
Chương 3: Chứng minh biến đổi Laplace của xác suất phá sản trong mơ hình
rủi ro bảo hiểm là bài tốn khơng chỉnh (ill-posed); Phương pháp chặt cụt
và phương pháp chỉnh hóa Tikhonov được sử dụng để tính xấp xỉ xác suất
phá sản của cơng ty bảo hiểm trong miền thời gian vô hạn; Kết quả số được
đưa ra trong Mục cuối cùng của Chương này để minh họa cho hai phương
pháp trên [81].
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận án chắc chắn vẫn cịn thiếu sót. Tác giả
rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và các bạn để luận án được hồn
thiện nhất có thể.

9


Chương 1

Q trình thặng dư của cơng ty bảo
hiểm
Trong chương này, chúng tơi trình bày mơ hình thặng dư của cơng ty bảo
hiểm hay cịn gọi là mơ hình Cramér–Lundberg và một số kiến thức liên quan
đến mơ hình này như: mơ hình đếm số khách hàng u cầu bồi thường bảo hiểm,
hệ số an tồn của cơng ty bảo hiểm... Từ mơ hình này, xác suất phá sản trong
miền thời gian hữu hạn và vô hạn của công ty bảo hiểm được đưa ra. Áp dụng
kiến thức cơ bản được trình bày trong chương này, chúng tơi đưa ra các phương
pháp tính xác suất phá sản của cơng ty bảo hiểm trong miền thời gian hữu hạn
và vô hạn trong hai chương tiếp theo.
Bố cục của chương này được trình bày như sau: Mục 1.1 dành cho việc trình
bày mơ hình Cramér–Lundberg và xác suất phá sản của cơng ty bảo hiểm; Mơ
hình đếm số khách hàng u cầu bồi thường bảo hiểm và một số tính chất liên

quan được trình bày trong Mục 1.2; Cuối cùng, Mục 1.3 tổng hợp một số kết
quả chính và phương pháp tính xác suất phá sản của công ty bảo hiểm trong
miền thời gian hữu hạn và vơ hạn.

1.1

Mơ hình Cramér–Lundberg

Mơ hình thặng dư của công ty bảo hiểm lần đầu tiên được nhà toán học người
Thụy Điển là Lundberg (1876-1965) đề ra trong luận án của ông năm 1903. Gần
30 năm sau, Cramér (1893-1985) đã phát triển ý tưởng của Lundberg trong luận
án của ơng. Do vậy, mơ hình này được gọi là mơ hình Cramér-Lundberg [29].
Trong mơ hình này, thặng dư của một công ty bảo hiểm tại thời điểm t được
cho bởi
N (t)

X(t) = x + ct −

N (t)

ξk ,

S(t) = x − X(t) =

k=1

ξk − ct,
k=1

trong đó

• x > 0 là vốn ban đầu;
10

t ≥ 0,

(1.1)


• ξk là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (i.i.d) biểu diễn cho số tiền
bồi thường cho khách hàng thứ k với hàm phân phối F (ξ) và hàm mật độ
f (ξ); E(ξ1 ) = µ hữu hn;
ã c = (1 + )à l phớ bo him, θ là hệ số an tồn của cơng ty và λµ là số tiền
trung bình cơng ty bồi thường cho khách hàng;
• x + ct là vốn của cơng ty tại thời điểm t;
• {N (t) : t ≥ 0} là quá trình Poisson với cường độ λ > 0, trong đó N (t) là số
khách hàng địi bồi thường bảo hiểm cho tới thời điểm t.
• N (t) và {ξk , k ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Trong mơ hình này, X(t) là thặng dư của công ty bảo hiểm tại thời điểm t.
N (t)
Trong mô hình (1.1) x + ct là tất định, nhưng k=1 ξk là ngẫu nhiên. Vì thế,
X(t) là ngẫu nhiên.
Mơ hình này được đề cập trong quyển sách của Asmussen và cộng sự [11] và
Gray và các cộng sự [49].
Phá sản tài chính hay chỉ là phá sản tại một vài thời điểm trong mơ hình
(1.1) sẽ xảy ra nếu X(t) < 0. Điều này sẽ xảy ra với xác suất một nếu
lim inf X(t) = −∞,

t→∞

và gần như không bao giờ xảy ra nếu

lim X(t) = +∞.

t→∞

Theo giả thiết ban đầu, dãy biến ngẫu nhiên ξk có kì vọng µ > 0 và hữu hạn.
Điều kiện đủ để limt→∞ X(t) = +∞ là
λµ
< 1,
c
đây gọi là điều kiện lợi nhuận ròng (net profit condition). Thât vậy, theo luật
mạnh số lớn và quan sát thực tế limt→∞ N (t) = ∞ suy ra
X(t)
lim
= lim
t→∞
t→∞
t

N (t)

x
N (t) k=1 ξk
+c−
t
t
N (t)

= c − λµ > 0,

xem [50, Định lý 8.2, trang 302].

Từ điều kiện của lợi nhuận ròng suy ra phá sản chỉ xảy ra với xác suất nhỏ
hơn một. Những ẩn số trong mơ hình này là phân phối thời gian đối với phá sản
và thâm hụt tài chính tại thời điểm phá sản. Độ đo phá sản chính là xác suất
xảy ra sự kiện như trên, đây là một công cụ hữu ích trong kế hoạch lâu dài của
việc sử dụng nguồn vốn của công ty bảo hiểm.
Đặt τ là thời điểm đầu tiên q trình X(t) nhỏ hơn khơng, có nghĩa là
τ = inf{t ≥ 0 : X(t) < 0} = inf{t ≥ 0 : S(t) > x},
11


là thời điểm phá sản.
Hai trường hợp trong lý thuyết phá sản là xác suất phá sản trong miền thời
gian vô hạn và hữu hạn tương ứng được cho bởi
Ψ(x) = P(τ < ∞) = P(M > x),
Ψ(x, T ) = P(τ ≤ T ) = P(MT > x), với
M = sup S(t) và MT = sup S(t)
0≤t<∞

1.2

(1.2)
(1.3)

0≤t≤T

Mơ hình đếm số khách hàng và phân phối lượng tiền bồi
thường bảo hiểm

Trong danh mục rủi ro bảo hiểm, như là danh mục chính sách bảo hiểm xe
máy, hai đại lượng cần quan tâm đó là số tiền khách hàng yêu cầu bồi thường

bảo hiểm và số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Chúng ta mơ hình
những đại lượng này bằng những biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất
thích hợp.
Nhiều hàm phân phối xác suất đã có sẵn, ví dụ như: phân phối thế hiệu
(potential distribution) đối với số tiền bồi thường và số khách hàng yêu cầu bồi
thường bảo hiểm trong tất cả các loại bảo hiểm. Tuy nhiên, mơ hình thích hợp
cho số khách hàng u cầu bồi thường bảo hiểm có phân phối đếm (counting
distributions); đó là phân phối rời rạc của biến ngẫu nhiên mà giá trị trong tập
số tự nhiên N = {0, 1, 2 . . .}. Mơ hình này đã được sử dụng rộng rãi và thích
hợp nhất đối với số tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng là phân phối của
biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương và phân phối đuôi nặng (heavy
tails).
Trong mục này, chúng ta xét mơ hình chính đã sử dụng trong thực tế và một
vài tính chất của chúng.
Mơ hình đã được sử dụng rộng rãi đối với việc đếm số khách hàng yêu cầu
bồi thường và số tiền bồi thường trong danh mục kinh doanh bảo hiểm là quá
trình Poisson. Trong trường hợp này, số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo
hiểm xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định có phân phối Poisson với kỳ
vọng thích hợp.
Kí hiệu {N (t)} là quá trình đếm số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm,
trong đó N (t) là tổng số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm cho tới thời
điểm t. Thỉnh thoảng, chúng ta viết Nt thay vì N (t).
Phân phối Poisson. Họ phân phối Poisson có một tham số, thường được kí
hiệu bằng λ, kí hiệu này biểu diễn cho trung bình của phân phối. Đó là, trung
bình số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong một khoảng thời gian
nhất định của quá trình Poisson. Ký hiệu của phân phối Poisson là P oi(λ) hoặc
P oisson(λ). Hàm phân phối xác suất được cho bởi
λn
P(N = n) = exp(−λ) ,
n!

12

n = 0, 1, 2 . . .


Hàm sinh moment được cho bởi
MN (t) = E[exp(tN )] = exp{λ(et − 1)}.
Từ hàm sinh moment, trung bình E[N ] = λ và moment bậc hai E[N 2 ] = λ + λ2
và phương sai V ar[N ] = λ. Phân phối Poisson có trung bình và phương sai bằng
nhau.
1.2.1

Q trình Poisson.

Phân phối Poisson là chìa khóa để xây dựng q trình Poisson. Xét một q
trình mà ở đó các sự kiện xảy ra tăng lên theo thời gian; ví dụ như số khách
hàng yêu cầu bồi thường tại công ty bảo hiểm. Đặt N (t) là số lần một biến cố
nào đó xảy ra trong khoảng thời gian (0, t] và xác định N (0) = 0. Tập hợp
những biến ngẫu nhiên {N (t) : t ≥ 0} là q trình ngẫu nhiên, đó là mơ hình
số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian cụ thể. Đối với t ≥ 0 và s > 0,
biến ngẫu nhiên N (t + s) − N (t) là số gia của quá trình {N (t) : t ≥ 0} trong
khoảng thời gian (t, t + s), điều này cho chúng ta biết được số sự kiện xảy ra
trong khoảng thời gian (t, t + s). Quá trình {N (t) : t ≥ 0} thỏa mãn ba tính
chất bên dưới được gọi là quá trình Poisson với cường độ (tham số) λ (> 0).
i. Số gia độc lập. Đối với k = 2, 3, . . ., số sự kiện xảy ra trên những khoảng
thời gian k rời nhau (cho bởi số gia của {N (t) : t ≥ 0} trên những khoảng
thời gian này) là độc lập với nhau có nghĩa là N (s) độc lập với N (s+t)−N (s)
với mọi s, t ≥ 0.
ii. Số gia dừng. Đối với mọi h > 0 và mọi t ≥ 0, phân phối của số gia
N (t + h) − N (t) chỉ phụ thuộc vào h và không phụ thuộc vào t, có nghĩa là

phân phối của số biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian chỉ phụ thuộc
vào độ dài của khoảng thời gian đó chứ khơng phụ thuộc vào thời điểm bắt
đầu.
iii. Phân phối Poisson. Đối với mọi t ≥ 0, biến ngẫu nhiên N (t) có phân
phối Poisson với trung bình λt.
Chúng ta có thể sử dụng ba tính chất trên để suy luận, ví dụ như đối với
s > 0 và t ≥ 0 số lần một biến cố nào đó xảy ra N (t + s) − N (t) trong khoảng
thời gian (t, t + s] và số lần một biến cố nào đó xảy ra N (t) trong khoảng thời
gian (0, t] là những biến ngẫu nhiên Poisson độc lập với trung bình λs và λt
tương ứng.
Tiếp theo chúng ta mô tả ngắn gọn một vài lớp phân phối F phổ biến nhất
đã được sử dụng trong mơ hình số tiền bồi thường bảo hiểm ξ1 , ξ2 , . . . Chúng
ta chia lớp phân phối này thành hai nhóm, phân phối đuôi nhẹ (light-tailed
distribution) và phân phối đuôi nặng (heavy-tailed distribution). Trong đó đi
nhẹ có nghĩa là F (x) = 1 − F (x) = P(X > x) thỏa mãn điều kiện là tồn tại
s > 0 sao cho F (x) = (e−sx ), tương đương với tồn tại s > 0 sao cho hàm sinh
13


moment Fˆ [s] hữu hạn. Ngược lại, F được gọi là phân phối đuôi nặng nếu với
mọi s > 0 hàm sinh moment Fˆ [s] vô hạn.
1.2.2

Phân phối đuôi nhẹ (light-tailed distribution).

Ví dụ 1.2.1. (phân phối mũ) Hàm mật độ là
f (x) = λe−λx ,

x ≥ 0.

Tham số λ được xem như tham số cường độ (intensity parameter) hay tham số
tỷ lệ (rate parameter).
Trong lý thuyết rủi ro cũng như trong trong một số lĩnh vực áp dụng xác suất
khác, phân phối mũ được xem là dễ giải quyết nhất. Cụ thể đối với mơ hình
đếm Poisson với lượng tiền bồi thường có phân phối mũ, chúng ta có thể tìm
được nghiệm chính xác của bài tốn xác suất phá sản trong miền thời gian vô
hạn Ψ(x) và xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn Ψ(x, t) như trong
kết quả của cơng trình [79].
Ví dụ 1.2.2. (phân phối Gamma) Phân phối Gamma với hai tham số λ, β có
hàm mật độ
λβ β−1 −λx
x e
f (x) =
Γ(β)
và hàm sinh moment
Fˆ [s] =

β

λ
λ−s

,

s < λ.

β
β
và phương sai V ar[X] = 2 . Cụ thể hệ số phương sai
λ

λ
bình phương (quared coefficient of variation)
Trung bình E[X] =

V ar[X]
1
=
(E[X])2
β
là nhỏ hơn một với β > 1, lớn hơn một với β < 1 và bằng một với β = 1 (trường
hợp phân phối mũ).
Dạng chính xác của đi F (x) được cho bởi hàm Gamma không đầy đủ
Γ(x, β),
F (x) =

Γ(λx, β)
Γ(β)

∞

tβ−1 e−t dt.

Γ(x, β) =

trong đó

x

Chúng ta có xấp xỉ đuôi F (x) như sau:
F (x) =

(λx)β−1 −λx
e .
Γ(β)
14


Theo lý thuyết khả phân vô hạn (theory of infinitely divisible distributions),
hàm mật độ Gamma có thể được xét như β lần hàm mật độ phân phối mũ. Cụ
thể, nếu β là số nguyên và X có phân phối Gamma với hai tham số λ, β, thì
X = ξ1 + ξ2 + · · · + ξβ trong đó ξ1 , ξ2 . . . là độc lập và cùng phân phối mũ với
cường độ λ. Trường hợp đặc biệt này được xem như phân phối Erlang cấp β.
Một nét đặc trưng hấp dẫn của phân phối này đó là liên kết đơn giản của nó
với q trình Poisson: F (x) = P(ξ1 + ξ2 + · · · + ξβ > x) là xác suất của tối đa
β − 1 biến cố Poisson trong khoảng [0, x] sao cho
β−1

−λx (λx)

e

F (x) =

k

k!

k=0

.

Trong luận án này, chúng tôi đưa ra cơng thức tính chính xác bài tốn xác
suất phá sản đối với trường hợp phân phối số tiền bồi thường bảo hiểm cho
khách hàng là phân phối Erlang [79], nghĩa là β ∈ N. Trước đó, Dufresne và các
cộng sự [37] và Grandell–Segerdahl [47] chỉ đưa ra cơng thức tính xấp xỉ.
Ví dụ 1.2.3. (Phân phối với biến đổi hữu tỷ) Một phân phối F có biến đổi
Laplace dạng hữu tỷ hoặc tương đương hàm sinh moment dạng hữu tỷ nếu
p(s)
F ∗ (s) =
với p(s) và q(s) là những đa thức có bậc hữu hạn. Một tính chất
q(s)
tương đương đó là hàm mật độ f (x) là nghiệm của phương trình vi phân thuần
nhất với những hệ số hằng
f (m) (x) + cm−1 f (m−1) (x) + · · · + c0 = 0,

ci ∈ R, c0 = 0,

trong đó một trong những điều kiện ban đầu được xác định bởi
Do đó, hàm mật độ f (x) có một trong những dạng

∞
0 f (x)dx

= 1.

m

ak xk exp(ηk x),

f (x) =

k=0
m1

(1.4)
m2

k

f (x) =

bk xk cos(dk x) exp(δk x)

ak x exp(ηk x) +
k=0
m3

k=0

bk xk sin(ek x) exp(θk x),

+

(1.5)

k=0

trong đó tham số trong phương trình (1.4) có thể nhận giá trị phức nhưng tham
số trong phương trình (1.5) là những giá trị thực. Lớp phân phối này phổ biến
trong lý thuyết rủi ro và lý thuyết xếp hàng, nhưng không phổ biến bằng phân
phối mũ ma trận. Trong luận án này, chúng tôi đưa ra một số kết quả của bài

toán xác suất phá sản đối với trường hợp phân phối lượng tiền bồi thường bảo
hiểm cho khách hàng là phân phối mũ ma trận.
15


1.2.3

Phân phối đi nặng (heavy-tailed distribution).

Ví dụ 1.2.4. (Phân phối Weibull) Phân phối này xuất phát từ lý thuyết độ tin
f (x)
cậy (reliability theory). Trong đó, tỷ lệ hư hỏng của thiết bị δ(x) =
đóng
F (x)
một vai trị quan trọng, phân phối mũ biểu diễn một ví dụ đơn giản nhất bởi vì
δ(x) là hằng số. Tuy nhiên, trong thực tế người ta quan sát thấy rằng δ(x) hoặc
tăng hoặc giảm và người ta cố gắng mơ hình độ lệch trơn (tăng hoặc giảm) từ
sự bất biến bởi δ(x) = dxr−1 (0 < r < ∞). Ký hiệu c = d/r, chúng ta thu được
phân phối Weibull
F (x) = exp(−cxr ),

f (x) = crxr−1 exp(−cxr ),

là phân phối đuôi nặng khi 0 < r < 1. Tất cả các moment của phân phối Weibull
là hữu hạn. Một biểu diễn khác, phân phối Weibull là phân phối của X 1/r , trong
đó X là phân phối mũ với tỷ lệ c.
Ví dụ 1.2.5. (Phân phối Lognormal) Phân phối Lognormal với tham số σ 2 , µ
được xác định như phân phối của eZ với Z ∼ N (µ, σ 2 ) hay tương đương như
phân phối của eσT +µ với T ∼ N (0, 1). Từ đó suy ra hàm mật độ của phân phối
Lognormal là:

log x − µ
σ

1
exp −
f (x) =
2
xσ 2π
1
√

2

.

Phân phối đuôi là:
σ
1
√ exp −
F (x) ∼
2
log x 2π

log x − µ
σ

2

.

Trong trường hợp cụ thể, phân phối Lognormal có trung bình exp(µ + σ 2 /2) và
moment thứ hai exp(2µ + 2σ 2 ).
Ví dụ 1.2.6. (Phân phối Pareto) Yếu tố cơ bản ở đây là đuôi F (x) rời rạc như
mũ của x. Dạng đơn giản nhất
F (x) = x−α ,

x ≥ 1,

(1.6)

được xem như phân phối của eX với biến ngẫu nhiên X mũ tham số λ. Trường
hợp khác được xem như phân phối US–Pareto và được xác định bởi
aα
αaα
F (x) =
, f (x) =
, x ≥ 0, a > 0.
(a + x)α
(a + x)α+1
Moment thứ p hữu hạn nếu p < α − 1.
Biến đổi Laplace–Stieltjes của phân phối Pareto định nghĩa trong (1.6) có thể
được diễn đạt thơng qua hàm Gamma khơng đầy đủ bởi
∞
∗

e−sx

F (s) =
0

α
xα+1

dx = αsα Γ(−α, s).

16


Tương tự, biến đổi Laplace–Stieltjes của phân phối US–Pareto là:
F ∗ (s) = α(as)α eas Γ(−α, as).
Abate, Choudhury và Whitt [1] xây dựng một vài lớp liên quan của biến ngẫu
nhiên gọi là hỗn hợp của Pareto và mũ, đó là tích của biến ngẫu nhiên Pareto và
biến ngẫu nhiên mũ và điều này dẫn đến dạng biến đổi Laplace–Stieltjes hồn
tồn rõ ràng.
Kết quả của bài tốn xác suất phá sản trong mơ hình thặng dư bảo hiểm đối
với trường hợp phân phối số tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng có phân
phối đi nặng cịn rất hạn chế. Sau khi hồn thành luận án này, chúng tơi tiếp
tục nghiên cứu bài toán xác suất phá sản trong trường hợp phân phối số tiền
bồi thường bảo hiểm cho khách hàng có phân phối đi nặng.

1.3

Một số kết quả gần đây của bài toán xác suất phá sản

Mục này giới thiệu một số kết quả gần đây của bài toán xác suất phá sản
trong mơ hình thặng dư bảo hiểm Cramér–Lundberg. Mơ hình này được mơ tả
một cách ngắn gọn trong Mục 1.1, chúng ta khám phá một vài hướng đặc biệt
và một số kết quả gần đây của bài tốn xác suất phá sản của cơng ty bảo hiểm.
Khi đó, chúng tơi trình bày một vài hướng tiếp cận bài tốn xác suất phá sản
của cơng ty bảo hiểm căn cứ vào những tính chất của phân phối số tiền bồi

thường bảo hiểm và quá trình đếm số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm.
Xấp xỉ hàm mật độ phân phối mũ ma trận thường xảy ra trong lý thuyết rủi
ro, lý thuyết xếp hàng (queueing theory), toán tài chính và một số nhánh áp
dụng lý thuyết xác suất, mà kết quả của nó rõ ràng hơn đối với trường hợp hàm
mật độ của dữ liệu đầu vào ξ1 , ξ2 , . . . trong đó ξi ∈ R+ , i = 1, 2, . . . là tổ hợp
của các phân phối mũ với phần mũ âm.
Điều này đưa ra xấp xỉ độ đo quan trắc của dữ liệu bởi thứ tự của tổng phân
phối mũ (square sum of exponentials) [38]
m
−1

n

δξi (dt) ≈

m

i=1

ωk exp(−µk t) dt,

(1.7)

k=1

trong đó ωk có thể phụ thuộc vào t và là những đa thức. Điều này tương đương
với xấp xỉ biến đổi Laplace bởi hàm hữu tỷ
m
−1

exp(−sξi ) ≈

m

i=1

l−1
i
i=0 ai s
,
l
i
b
s
i
i=1

trong đó a0 , a1 , . . . al−1 , b0 , b1 , . . . bl là những số thực. Hơn nữa, bài toán 1.7
tương đương với giả thiết rằng hàm mật độ xấp xỉ thỏa hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất với hệ số hằng hoặc bài tốn có thể biểu diễn được dưới dạng
phân phối mũ ma trận.
17


Bài toán xấp xỉ hàm mật độ phân phối mũ ma trận là lớp những bài tốn
khó của ứng dụng xác suất, bài toán này bắt nguồn từ kết quả của Erlang, 1909
và Cox, 1955. Đây cũng là chủ đề chính trong luận án này.
Trong lý thuyết rủi ro và lý thuyết xếp hàng, một vài kết quả xấp xỉ mũ ma
trận của bài toán hàm mật độ xác suất phá sản được biết đến đó là kết quả
Renyi, De Vylder,...đạt được bằng cách fitting một, hai hoặc ba moment của

phân phối thời gian phá sản τ [47, 48, 41].
Từ mơ hình thặng dư bảo hiểm của chương này, chúng tôi sử dụng các phương
pháp xấp xỉ và biểu diễn mũ ma trận để đưa ra công thức xấp xỉ xác suất phá
sản và công thức tường minh xác suất phá sản trong mơ hình Cramér–Lundberg
của chương tiếp theo.

18


Chương 2

Xác suất phá sản của công ty bảo
hiểm
Trong chương này, chúng tơi trình bày phân phối mũ ma trận (matrix–
exponential distribution) và biểu diễn mũ ma trận (matrix–exponential representation) của hàm phân phối và hàm mật độ xác suất. Từ biểu diễn này,
phương pháp biến đổi Laplace–Stieltjes (LST) hữu tỷ của phân phối mũ ma
trận được sử dụng để đưa ra cơng thức tính xấp xỉ xác suất phá sản trong miền
thời gian hữu hạn và cơng thức tính chính xác xác suất phá sản trong miền thời
gian vơ hạn của công ty bảo hiểm đối với một số phân phối đặc biệt của lượng
khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Song song đó, một vài ví dụ số được
trình bày để minh họa cho hai cơng thức trên đối với vốn ban đầu khác nhau
của công ty bảo hiểm.
Bố cục chương này được tổ chức như sau: định nghĩa và một vài tính chất của
phân phối mũ ma trận được trình bày trong Mục 2.1; Mục 2.2 trình bày xấp xỉ
Padé và biểu diễn mũ ma trận của xấp xỉ Padé; Cơng thức tính xác suất phá
sản trong miền thời gian hữu hạn và vô hạn của cơng ty bảo hiểm được trình
bày trong Mục 2.3; Một vài ví dụ số minh họa cho hai cơng thức tính xác suất
phá sản trong miền thời gian hữu hạn và vơ hạn của cơng ty bảo hiểm trong mơ
hình Cramér–Lundberg được trình bày trong Mục 2.4.

2.1

Phân phối mũ ma trận và biểu diễn mũ ma trận

Phân phối mũ ma trận (ME) trước tiên được xây dựng bởi Cox [28], đó là
một hàm phân phối với biến đổi Laplace là hàm hữu tỷ. Sau đó, phân phối ME
được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như lý thuyết rủi
ro, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết đổi mới,. . . Phân phối ME được xây dựng và
trình bày tốt trong kết quả của Asmussen và O’Cinneide [9].
Định nghĩa 2.1.1. Một biến ngẫu nhiên khơng âm T có phân phối mũ ma trận
(ME) nếu hàm mật độ của phân phối đó có dạng:
f (t) = α exp(At)a,
19

t ≥ 0,

(2.1)


trong đó
• n ≥ 1,
• α là véctơ trạng thái xỏc sut ban u 1 ì n,
ã A l ma trn vuụng cp n ì n,
ã a l vộct ct n × 1.
Biến đổi Laplace–Stieltjes (LST) của hàm mật độ phân phối mũ ma trận
(2.1), xác định với s ∈ C sao cho phần thực của s, R(s) > −ν trong đó ν là số
dương, được xác định bởi:
∞

f ∗ (s) =

exp(−st)f (t)dt = α(sI − A)−1 a,

(2.2)

0

trong đó I là ma trận đơn vị.
Đạo hàm phương trình (2.2) k lần tương ứng với s = 0, chúng ta có moment
bậc k của biến ngẫu nhiên ξ1 được tính theo công thức sau:
mk = (−1)k+1 k!αA−(k+1) a,

k = 1, 2 . . .

Bên cạnh đó, Lipsky và Ramaswami [59] và Blad [17] đã chứng minh rằng
lớp tất cả các phân phối mũ ma trận có LST dạng hàm hữu tỷ. Vì vậy, LST của
hàm phân phối mũ ma trận có thể biểu diễn dưới dạng hàm hữu tỷ như sau:
f ∗ (s) =

a0 + a1 s + · · · + an sn
,
b0 + b1 s + · · · + bn sn + sn+1

(2.3)

trong đó tất cả a0 , a1 . . . an , b0 , b1 . . . bn là những số thực.
Chúng ta có thể xem p(s) = a0 + a1 s + · · · + an sn và q(s) = b0 + b1 s + · · · +
bn sn + sn+1 tương ứng là tử số và mẫu số của LST.
LST của phân phối mũ ma trận có thể viết dưới dạng hàm hữu tỷ (2.3), áp
dụng mệnh đề 2.3 của Bladt [17], hàm mật độ của phân phối mũ ma trận có thể

viết dưới dạng phương trình (2.1) với
α = (a0 , a1 , · · · , an )


0
1
0 ···
0
0
1 ···
0 
 0
 ..
.
.
.. 
.
.
.
.
A =  .
.
.
.
. 
 0
0
0 ···
1 
−b0 −b1 −b2 · · · −bn−1

 
0
0
 
a =  ...  ,
0
1
xem Bladt [17] và Fackrell [41].
20

(2.4)


Nhận xét 2.1.1. Trang 64 trong luận án của Frackell [40] đã chỉ ra rằng phân
phối với LST hữu tỷ (2.3) được biểu diễn dưới dạng của phối mũ ma trận như
phương trình (2.4).
Biểu diễn mũ ma trận của LST hữu tỷ không duy nhất và cũng không nhất
thiết phải duy nhất [40, p.69-70,5.4]. Cấp của phân phối mũ ma trận được xác
định là cấp độ nhỏ nhất của biểu diễn phân phối mũ ma trận. Nếu LST của
phân phối mũ ma trận có dạng đa thức hữu tỷ như (2.3), thì bậc của mẫu số
được gọi là cấp của phân phối mũ ma trận. Chúng ta có thể tìm thấy biểu diễn
mũ ma trận của công thức (2.3) như cơng thức (2.4).
Biểu diễn mũ ma trận như phương trình (2.4) là quan trọng bởi các lý do
sau:
• Có tương ứng một-một giữa LST hữu tỷ và phân phối mũ ma trận,
• Ln ln có thể tìm được biểu diễn phân phối mũ ma trận với chỉ các
tham số thực (chứng minh có thể xem [17]),
• Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:
b0 + b1 s + · · · + bn sn + sn+1 = 0.
Tính giá trị của hàm phân phối mũ ma trận và hàm mật độ của phân phối

mũ ma trận xem kết quả của Moler và Van Loan [62].

2.2

Xấp xỉ Padé của hỗn hợp phân phối mũ (hyper-exponential
distribution)

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu xấp xỉ hàm mật độ xác suất của lượng
khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm đã cho f (t) bằng hàm mật độ của hỗn
hợp phân phối mũ (hyper-exponential):
n

n

f (t) =

αk λk exp(−λk t),
k=1

αk = 1

(2.5)

k=1

có 2n − 1 tham số tự do. LST của hỗn hợp phân phối mũ được tìm thấy như
sau:
∞

∞

∗

f (s) =

exp(−st)f (t)dt =
0

k=0

(−1)k
mk s k ,
k!

(2.6)

trong đó mk là moment bậc k và s được giả sử là số thực.
Chúng ta bắt đầu bằng phương pháp chặt cụt đối với LST ở bậc 2n − 1,
∞

k=0

(−1)k
mk sk = f ∗ (s) ∼
=
k!

2n−1

k=0

(−1)k
mk s k ∼
=
k!

21

n−1
k
k=0 ak s
,
n
k
k=0 bk s

(2.7)


với a0 = b0 , bn = 1 và ∼
= có nghĩa là gần bằng.
Phương trình (2.7) cũng được gọi là phân phối đuôi nhẹ (light tailed distribution) với LST hữu tỷ.
Ý tưởng trong mục này là chúng ta sử dụng 2n − 1 hệ số đầu tiên của LST
f ∗ (s) có nghĩa là sử dụng 2n − 1 moment đầu tiên của phân phối lượng tiền
khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm để ước lượng tử số và mẫu số của đa
thức hữu tỷ của LST.
Tìm “tham số LST” ("Laplace parameters") ai , bi trong phương trình (2.7)
hồn tồn chỉ là giải hệ 2n phương trình tuyến tính:




bn
µ0 µ1 · · ·
µn
 µ1 µ2 · · · µn+1  bn−1 
(2.8)
.. . .
..   ..  = 0
 ..
.
.
.
.
.
b0
µn−1 µn · · · µ2n−1
với
k

ak =

bk−i µi ,

k = 0, 1, . . . , n − 1

(2.9)

i=0

(−1)k mk!k ,

trong đó µk =
ak = 0 nếu k > n − 1, bk = 0 nếu k > n.
Phương trình (2.8) thỏa hệ phương trình tuyến tính Hankel đối với tử số và
mẫu số của đa thức hữu tỷ (2.7).
Nhận xét 2.2.1. Nhiều tác giả đã sử dụng các phương pháp khác nhau như hệ
số chuỗi Taylor, nội suy Legendre, nội suy Chebyshev và hệ kỳ dị (singular value
decomposition) [52, 46, 54, 53] để đạt được xấp xỉ Padé.
Bây giờ chúng ta minh họa thuật toán bằng một vài ví dụ.
Ví dụ 2.2.1. Xét hàm mật độ phân phối Gamma với tham số hình thức β = 0.5
và tham số tỷ lệ η = 1 được cho bởi:
1
f (t) = √ exp(−t),
πt
có moment bậc k, mk = (0.5)(1.5) · · · (0.5 + k − 1), k = 1, 2, . . . [52]. Chúng ta
xét những trường hợp khác nhau phụ thuộc vào n.
1. n = 2:
Chúng ta xét biến đổi Laplace hữu tỷ:
8 + 4s
.
f ∗ (s) =
8 + 8s + s2
Biến đổi Laplace ngược của hàm mật độ ước lượng được cho bởi hỗn hợp
hàm mật độ phân phối mũ như sau:
f (t) = 2 exp(−4t)(2 cosh(2.8284t) − 1.4142 sinh(2.8284t)).
Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.1a.
22


2. n = 3:
Chúng ta tìm thấy biến đổi Laplace hữu tỷ và hỗn hợp hàm mật độ phân

phối mũ ước lượng như sau:
32 + 32s + 6s2
,
32 + 48s + 18s2 + s3
f (t) = 4.9761 exp(−14.9282t) + 0.6667 exp(−2t) + 0.3573 exp(−1.0718t).

f ∗ (s) =

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.1b.
3. n = 4:
Chúng ta tìm thấy biến đổi Laplace hữu tỷ và hỗn hợp hàm mật độ phân
phối mũ ước lượng như sau:
128 + 192s + 80s2 + 8s3
,
128 + 256s + 160s2 + 32s3 + s4
f (t) = 6.5685 exp(−26.2741t) + 0.8099 exp(−3.2398t)
+ 0.3616 exp(−1.4465t) + 0.2599 exp(−1.0396t).

f ∗ (s) =

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.1c.

(a) P ade(1, 2).

(b) P ade(2, 3).

(c) P ade(3, 4).

Hình 2.1: Hàm mật độ gốc (đỏ), hàm mật độ ước lượng (xanh).

Ví dụ 2.2.2. Xét hàm mật độ phân phối Weibull với tham số hình thức β = 1.5
và tham số tỷ lệ η = 1 được cho bởi:
3
3 1
f (t) = t 2 exp(−t 2 ).
2

Khi đó, các moment của phân phối Weibull là m1 = 0.9027, m2 = 1.1906, m3 =
2, . . .
1. n = 2:
Chúng ta tìm thấy biến đổi Laplace hữu tỷ:
f ∗ (s) =

4.1060 + 0.1090s
.
4.1060 + 3.8154s + s2
23


Biến đổi Laplace ngược của hàm mật độ ước lượng là hàm mật độ của hỗn
hợp phân hợp phân phối mũ:
f (t) = exp(−1.9077t)(0.1088 cos(0.6831t) + 5.7072 sin(0.6831t).
Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.2a.
2. n = 3:
Chúng ta tìm thấy biến đổi Laplace hữu tỷ và hỗn hợp hàm mật độ phân
phối mũ ước lượng tương ứng như sau:
11.5351 + 3.9410s + 0.2233s2
,
11.5351 + 14.354s + 6.3145s2 + s3
f (t) = (−1.9102 + 1.3782i) exp((−2.1181 − 1.0315i)t)

+ (−1.9102 − 1.3782i) exp((−2.1181 + 1.0315i)t)
+ 4.0438 exp(−2.0783t).

f ∗ (s) =

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.2b.
3. n = 4:
Chúng ta tìm thấy biến đổi Laplace hữu tỷ và hỗn hợp hàm mật độ phân
phối mũ ước lượng tương ứng như sau:
75.3603 + 30.1121s + 5.5022s2 + 0.1521s3
,
f (s) =
75.3603 + 98.1433s + 49.2372s2 + 11.2942s3 + s4
f (t) = (3.4349 ± 42.6777i) exp((−2.8952 ± 0.2756i))
+ (−3.3588 ± 7.9287i) exp((−2.7519 ± 1.1562)t).
∗

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.2c.

(a) P ade(1, 2).

(b) P ade(2, 3).

(c) P ade(3, 4).

Hình 2.2: Hàm mật độ gốc (đỏ), hàm mật độ ước lượng (xanh).

Nhận xét 2.2.2. Kiểm tra tính khơng âm của hàm mật độ ước lượng là một
bài tốn khơng dễ. Trong phần này, chúng ta xét tính khơng âm của hàm mật
độ ước lượng bằng đồ thị.

24