Nghiệm của một số hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng phi bảo toàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————–

ĐÀO HUY CƯỜNG

NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ HYPERBOLIC
CÁC ĐỊNH LUẬT CÂN BẰNG
DẠNG PHI BẢO TỒN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

TP. Hồ Chí Minh - Năm 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————–

ĐÀO HUY CƯỜNG

NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ HYPERBOLIC
CÁC ĐỊNH LUẬT CÂN BẰNG
DẠNG PHI BẢO TỒN
Ngành
: Tốn Giải tích
Mã số ngành : 62460102

Phản
Phản
Phản

Phản
Phản

biện
biện
biện
biện
biện

1:
2:
3:
độc lập 1:
độc lập 2:

PGS.TS. Lê Thị Phương Ngọc
TS. Đào Nguyên Anh
TS. Nguyễn Thành Nhân
PGS.TS. Lê Xuân Trường
TS. Nguyễn Anh Triết

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MAI ĐỨC THÀNH

TP. Hồ Chí Minh - Năm 2018


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi, được thực hiện tại
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.
Mai Đức Thành, Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia TP.HCM. Các kết

quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai khác công bố
trong bất kỳ cơng trình nào.

Tác giả
Đào Huy Cường

1


Lời cảm ơn
Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành của mình tới Thầy hướng
dẫn của tơi, PGS.TS Mai Đức Thành, người đã đặt ra cho tôi một đề tài hấp
dẫn để nghiên cứu, ln khuyến khích, quan tâm giúp đỡ, tận tình trao đổi thảo
luận và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận án này.
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các Thầy Cơ đồng nghiệp trong
tổ Tốn Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu TP.HCM, nơi tôi đã từng công tác;
Ban chủ nhiệm, các Thầy Cơ trong Khoa Tốn-Tin trường ĐHSP TP.HCM, nơi
tôi đang công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tơi trong q trình
học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án.
Cuối cùng, luận án này tơi xin dành tặng gia đình tơi, nơi tơi nhận được sự
ấm áp và chia sẻ trong suốt quá trình học tập vừa qua.

Đào Huy Cường

Dành tặng vợ và hai con gái

2


Mục lục

Danh sách hình vẽ

7

Danh sách bảng

9

Giới thiệu

10

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số kiến thức bổ sung về lý thuyết hàm và không gian hàm .
1.1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Hàm một biến có biến phân bị chặn . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Tích phi bảo tồn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hệ hyperbolic các định luật cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Sóng gián đoạn và hệ thức Rankine-Hugoniot . . . . . . .
1.2.3 Sóng Lax sốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Sóng gián đoạn tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Sóng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Sự tồn tại nghiệm Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương pháp số cho hệ hyperbolic các định luật bảo toàn . . . .
1.3.1 Lược đồ số Lax-Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Lược đồ số Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Lược đồ số thuận gió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Lược đồ số Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Lược đồ số van Leer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

15
15
15
16
16
18
20
21
21

23
23
23
25
26
26
27
27
27
27

2 Mơ hình dịng lưu chất chảy trong ống có tiết diện biến thiên 29
2.1 Mơ hình dịng lưu chất đẳng entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Sóng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3


2.2

2.1.2 Bài toán Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Xây dựng các lược đồ số kiểu Godunov và kiểu
2.1.4 Các thí dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mơ hình dịng lưu chất tổng qt . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Sóng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov . . . . . . .
2.2.4 Các thí dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Hệ phương trình nước nơng với đáy biến thiên
3.1 Sóng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Tính hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Sóng gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Sóng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính đơn điệu của các đường cong kết hợp sóng
3.2.1 Trường hợp 1: UL ∈ G1 ∪ C + . . . . . . . .
3.2.2 Trường hợp 2: UL ∈ G2 . . . . . . . . . . .
3.3 Miền tồn tại nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . .
3.3.1 Trường hợp 1: UL ∈ G1 ∪ C + . . . . . . . .
3.3.2 Trường hợp 2: UL ∈ G2 . . . . . . . . . . .
3.4 Lược đồ số kiểu van Leer . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Xây dựng lược đồ số kiểu van Leer . . . .
3.4.2 Các thí dụ số . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Mơ hình dịng chảy hai pha
4.1 Bài toán Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Sóng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Riemann
4.2 Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov . . . . . . . .
4.2.1 Lược đồ số kiểu Godunov . . . . . . . . .
4.2.2 Các thí dụ số . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. . . . . .
van Leer
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

. . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

39
48
54
61

61
71
80
80

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

92
93
93
94
99
100
101
110
115
115
117
118
118
119

.
.
.
.
.
.

128
. 130
. 130
. 139
. 147

. 147
. 152

Kết luận

162

Tài liệu tham khảo

165

4


Danh sách hình vẽ
1.1
1.2

Hình minh họa sóng i−Lax sốc Si (UL , UR ) . . . . . . . . . . . . . . 23
Hình minh họa sóng i−giãn Ri (UL , UR ) . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1

Hình chiếu của các miền hyperbolic thực sự của hệ (2.1) lên mặt
phẳng (ρ, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình chiếu của ba đường cong kết hợp sóng W3 ◦ W1 (UL , aR ),
W3 ◦ S1 ◦ W3 (UL , aR ) và S1 ◦ W3 (UL , aR ) của hệ (2.1) lên mặt phẳng
(ρ, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình chiếu của ba đường cong kết hợp sóng R1 ◦ W3 ◦ W1 (UL , aR ),
R1 ◦ W3 ◦ S1 ◦ W3 (UL , aR ) và W1 ◦ W3 (UL , aR ) của hệ (2.1) lên mặt

phẳng (ρ, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.42) và kiểu van Leer (2.52) với cỡ lưới ∆x = 1/640
trong Thí dụ 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.42) và lược đồ kiểu van Leer (2.52) với cỡ lưới ∆x =
1/640 trong Thí dụ 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.42) và lược đồ kiểu van Leer (2.52) với cỡ lưới ∆x =
1/640 trong Thí dụ 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.42) và lược đồ kiểu van Leer (2.52) với cỡ lưới ∆x =
1/1000 trong Thí dụ 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.42) và lược đồ kiểu van Leer (2.52) với cỡ lưới ∆x =
1/1000 trong Thí dụ 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình chiếu của các miền hyperbolic thực sự của hệ (2.2) lên mặt
phẳng (p, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

5

. 32

. 39

. 45

. 55

. 56

. 57

. 59

. 60
. 62


2.10 Hình chiếu của các đường cong kết hợp sóng W0 .W1 (UL , aR ), W0 .S1 .W0 (UL , aR ),
S1 .W0 (UL , aR ) của hệ (2.2) lên mặt phẳng (p, u) . . . . . . . . . . . 72
2.11 Hình chiếu của các đường cong kết hợp sóng R1 .W0 .W1 (UL , aR ),
R1 .W0 .S1 .W0 (UL , aR ), W1 .W0 (UL , aR ) của hệ (2.2) lên mặt phẳng
(p, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.12 Nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của nó cho bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.78) với cỡ lưới ∆x = 1/1000 trong Thí dụ 2.6 . . . . . 82
2.13 Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.78) tương ứng với các cỡ lưới ∆x = 1/500 và ∆x =
1/1500 trong Thí dụ 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.14 Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
(2.78) tương ứng với các cỡ lưới ∆x = 1/500 và ∆x = 1/1500 trong
Thí dụ 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.15 Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.78) tương ứng với các cỡ lưới ∆x = 1/500 và ∆x =
1/2000 trong Thí dụ 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.16 Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (2.78) tương ứng với các cỡ lưới ∆x = 1/250 và ∆x =
1/1000 trong Thí dụ 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.17 Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ bởi lược đồ kiểu Godunov
(2.78) tương ứng với các cỡ lưới ∆x = 1/500 và ∆x = 1/2000 trong
Thí dụ 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1

3.2

3.3
3.4

Sự tương giao giữa hình chiếu của đường cong kết hợp sóng
Γ(UL , aR ) và hình chiếu của đường cong 2−sóng W2B (UR ) trên mặt
phẳng (h, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sự tương giao giữa hình chiếu của đường cong kết hợp sóng
Λ(UL , aR ) và hình chiếu của đường cong 2−sóng W2B (UR ) trên
mặt phẳng (h, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu van
Leer (3.46) với cỡ lưới ∆x = 1/500 trong Thí dụ 3.1 . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó với cỡ lưới ∆x =
1/128 bởi lược đồ kiểu Godunov trong [23] và lược đồ kiểu van
Leer (3.46) trong Thí dụ 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. 101

. 110
. 120

. 121


3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4.1
4.2
4.3
4.4

4.5
4.6
4.7

4.8

4.9

Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó với cỡ lưới ∆x =
1/128 bởi lược đồ kiểu Godunov trong [23] và lược đồ kiểu van
Leer (3.46) trong Thí dụ 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó với cỡ lưới ∆x =
1/128 bởi lược đồ kiểu Godunov trong [23] và lược đồ kiểu van
Leer (3.46) trong Thí dụ 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó với cỡ lưới ∆x =
1/128 bởi lược đồ kiểu Godunov trong [23] và lược đồ kiểu van
Leer (3.46) trong Thí dụ 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó với cỡ lưới ∆x =
1/128 bởi lược đồ kiểu Godunov trong [23] và lược đồ kiểu van
Leer (3.46) trong Thí dụ 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ với cỡ lưới ∆x = 1/128 bởi
lược đồ kiểu Godunov trong [23] và lược đồ kiểu van Leer (3.46)
trong Thí dụ 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình chiếu của các miền hyperbolic ứng với v = v∗ lên mặt phẳng
(ρ, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm Riemann của pha II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm Riemann của pha I trong trường hợp 1: λ5 < λ1 < λ2 . .
Nghiệm Riemann của pha I trong trường hợp 2: λ1 < λ5 < λ2 . .
Nghiệm Riemann của pha I trong trường hợp 3: λ1 < λ2 < λ5 . .
Nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu

Godunov (4.62) với cỡ lưới ∆x = 1/2000 trong Thí dụ 4.1 . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (4.62) với các cỡ lưới ∆x = 1/500 và ∆x = 1/4000 trong
Thí dụ 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (4.62) với các cỡ lưới ∆x = 1/500 và ∆x = 1/2000 trong
Thí dụ 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nghiệm chính xác và các nghiệm xấp xỉ của nó bởi lược đồ kiểu
Godunov (4.62) với các cỡ lưới ∆x = 1/500 và ∆x = 1/2000 trong
Thí dụ 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. 122

. 123

. 124

. 126

. 127

.
.
.
.
.

130

140
141
144
146

. 154

. 156

. 158

. 161


Danh sách bảng
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15

2.16

Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các

sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.2 . . .
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.3 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.4 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.5 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.7 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.8 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann

sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.9 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.10 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 2.11 . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .

. . .
. . .
2.4
. . .
2.5
. . .
2.7

. . .
2.8
. . .
2.9
. . .
2.10
. . .
2.11
. . .

56
58
58
59
60
60
83
84
85
85
86
87
88
89
90
90

3.1
3.2
3.3

3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12

Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các
Các

trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 3.2 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 3.3 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 3.4 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann

sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 3.5 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 3.6 . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số và bậc hội tụ trong Thí dụ 3.7 . . .

trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .

3.2
. . .
3.3
. . .
3.4
. . .
3.5
. . .
3.6
. . .
3.7

. . .

121
121
122
122
123
124
124
125
125
126
127
127

8


4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

Các
Các
Các
Các
Các

Các

trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số trong Thí dụ 4.2 . . . . . . . . . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số trong Thí dụ 4.3 . . . . . . . . . . .
trạng thái trung gian của nghiệm Riemann
sai số trong Thí dụ 4.4 . . . . . . . . . . .

9

trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .
trong Thí dụ
. . . . . . . .

4.2
. . .
4.3
. . .
4.4
. . .

155
155
157
158
160

160


Giới thiệu
Hệ hyperbolic các định luật cân bằng được xem là tổng quát hóa của hệ
hyperbolic các định luật bảo tồn. Sự tổng qt này có nhiều ứng dụng quan
trọng trong khảo sát các mơ hình vật lý, chẳng hạn như mơ hình các dịng chảy
đa pha. Những mơ hình như vậy vừa mang tính phi tuyến, vừa có thể chứa các
số hạng phi bảo toàn.
Nhiều vấn đề được đặt ra đối với hệ hyperbolic các định luật cân bằng tổng
quát. Vấn đề đầu tiên là làm sao khảo sát các sóng cơ bản, đó là các sóng sốc,
sóng giãn, sóng gián đoạn tiếp xúc. Vấn đề thứ hai là khảo sát các tính chất của
các đường cong sóng cơ bản và các đường cong sóng kết hợp. Vấn đề thứ ba tìm
nghiệm chính xác cho bài tốn Riemann. Vấn đề thứ tư là xây dựng các phương
pháp số để xấp xỉ nghiệm yếu của bài toán Cauchy. . . .
Đối tượng mà luận án đề cập đến là một số hệ hyperbolic các định luật cân
bằng dạng phi bảo tồn, đó là các mơ hình: hệ phương trình nước nơng với đáy
biến thiên, hệ phương trình dịng lưu chất chảy trong ống có tiết diện biến thiên,
hệ phương trình dòng chảy hai pha.
Mục tiêu mà luận án hướng đến là giải bài toán Riemann và xây dựng các
phương pháp số để tính nghiệm xấp xỉ cho các mơ hình nêu trên.
Phương pháp chung mà luận án sử dụng để nghiên cứu là xác định các trạng
thái trung gian trong nghiệm chính xác Riemann bằng cách khảo sát sự tương
giao của các đường cong sóng kết hợp và đường cong sóng cơ bản, hoặc bằng
cách khảo sát sự tồn tại nghiệm của một hệ phương trình đại số phi tuyến. Các
trạng thái trung gian này nhất thiết phải thỏa mãn hai tính chất quan trọng.
Thứ nhất, mỗi trạng thái trung gian phải tương ứng với một thuật tốn để tìm
ra nó; thứ hai, các trạng thái trung gian được tích hợp vào các phương pháp số
để đảm bảo việc xấp xỉ nghiệm yếu của bài toán Cauchy là thực hiện được.
Có nhiều tác giả trên thế giới quan tâm đến hệ các định luật cân bằng dạng

phi bảo tồn:
• Cơng trình tổng quát về hệ các định luật cân bằng dạng phi bảo toàn được
10


giới thiệu trong bài báo tiên phong [7] của nhóm Dal Maso-LeFloch-Murat
vào năm 1995. Trong phần đầu của bài báo, các tác giả đưa ra một định
du
du
, ký hiệu là g(u)
, như là một độ đo phụ thuộc vào
dx
dx φ
họ đường cong φ : [0, 1]× Rp × Rp → Rp thỏa mãn các giả thiết cho trước. Một

nghĩa cho tích g(u)

trong các giả thiết của đường cong φ là ứng với mỗi bộ (uL , uR ) ∈ Rp × Rp
thì φ(s; uL , uR ) phải là một đường cong Lipschitz nối uL và uR . Việc sử dụng
họ đường cong φ như vậy để định nghĩa tích phi bảo toàn g(u)

du
dx

được
φ

bắt nguồn từ vật lý, với mục đích "làm trơn" các hàm gián đoạn. Định
nghĩa tích phi bảo tồn g(u)

du
dx

trong cơng trình này đã được các tác
φ

giả chứng minh là "ổn định yếu". Từ đó, trong phần sau của bài báo, khái
niệm nghiệm yếu cho hệ hyperbolic các định luật cân bằng tổng quát được
đưa ra, cùng với nó là hệ thức Rankine-Hugoniot tổng quát, đó là điều kiện
cần và đủ để hệ luật cân bằng dạng phi bảo toàn chấp nhận một hàm gián
đoạn là nghiệm yếu.
• Một hệ các định luật cân bằng có thể có nhiều sóng gián đoạn. Do đó, để

lựa chọn các sóng gián đoạn có ý nghĩa vật lý, cơng trình tiên phong của
Lax [19] đã đưa ra một điều kiện tiêu chuẩn để chấp nhận sóng sốc trong
hệ hyperbolic các định luật bảo tồn. Các sóng sốc thỏa mãn các điều kiện
tiêu chuẩn này được gọi là các sóng Lax sốc.
• Các sóng sốc và các sóng lưu động có liên quan trong các định luật bảo

tồn vơ hướng với vế phải khác không được nghiên cứu bởi Isaacson-Temple
[13, 14] và Thanh [31].
• Sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán Riemann cho hệ các định luật

cân bằng tổng quát với hiện tượng cộng hưởng được thiết lập bởi GoatinLeFloch [11].
• Bài tốn Riemann cho dịng lưu chất chảy trong ống có tiết diện gián đoạn

được nghiên cứu bởi MarchesinPaes-Leme [24], Andrianov-Warnecke [1],
LeFloch-Thanh [21], Kroener-LeFloch-Thanh [18], và Thanh [27].
• Mới đây, nghiệm chính xác của bài tốn Riemann cho mơ hình dịng chảy

hai pha được nghiên cứu bởi Andrianov-Warnecke [3], Schwendeman-WahleKapila [41], và Thanh [30, 29].
• Các lược đồ số cho hệ phương trình nước nơng được nghiên cứu bởi Chinnayya11


LeRoux-Seguin [6], Thanh-Fazlul-Ismail [28, 23], Jin-Wen [15, 16], RosattiBegnudelli [25], và Gallardo-Parés-Castro [12].
• Các lược đồ số cho các mơ hình dịng đa pha đã được cơng bố trong các bài

báo [35, 38, 40, 39, 32, 37, 36, 34, 41, 33, 42, 43].
Tiếp nối những cơng trình này, việc xây dựng nghiệm chính xác của bài tốn
Riemann và xây dựng các phương pháp số cho một số hệ hyperbolic các định
luật cân bằng dạng phi bảo tồn vẫn cịn đang được nghiên cứu, bởi vẫn còn
nhiều vấn đề mở cần được khảo sát, chẳng hạn sự tồn tại nghiệm Riemann, tính
đơn điệu của các đường cong sóng kết hợp, áp dụng nghiệm Riemann để xây
dựng lược đồ số kiểu Godunov, kiểu van Leer, . . ..
Luận án tập trung nghiên cứu đề tài "Nghiệm của một số hệ hyperbolic
các định luật cân bằng dạng phi bảo toàn". Trong luận án trình bày những
kết quả nghiên cứu của chúng tơi liên quan đến một số hệ hyperbolic các định
luật cân bằng dạng phi bảo toàn. Dưới đây là phần giới thiệu tổng quan về
những nội dung trong luận án.
Nội dung thứ nhất, được trình bày trong Chương 2, liên quan đến hai mơ
hình dịng lưu chất chảy trong một ống dẫn có tiết diện biến thiên. Mơ hình thứ
nhất (ứng với dòng lưu chất đẳng entropy) là
∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0,
∂t (aρu) + ∂x (a(ρu2 + p)) = p∂x a,

x ∈ R,

t > 0,

(0.1)

và mơ hình thứ hai (ứng với dòng lưu chất tổng quát) là
∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0,
∂t (aρu) + ∂x a(ρu2 + p) = p∂x a,
∂t (aρe) + ∂x au(ρe + p) = 0,

x ∈ R,

(0.2)
t > 0,

trong đó ρ = ρ(x, t), ε = ε(x, t), và p = p(x, t) lần lượt ký hiệu cho các đại lượng
nhiệt động lực học: mật độ, nội năng, và áp suất của lưu chất; u = u(x, t) là
vận tốc phân tử, và e = e(x, t) = ε + u2 /2 là năng lượng toàn phần. Hàm số
a = a(x) > 0, x ∈ R, là tiết diện của ống dẫn.
Trong chương này, khi nhìn lại bài tốn Riemann cho hai mơ hình (0.1) và
(0.2), chúng tơi xây dựng các thuật tốn xác định các trạng thái trung gian
trong mỗi loại nghiệm Riemann khi các giá trị ban đầu thuộc vào miền siêu âm
hoặc dưới âm tốc. Từ đó, chúng tơi sử dụng các nghiệm Riemann và các thuật

12


toán này để xây dựng các lược đồ số kiểu Godunov và kiểu van Leer để xấp xỉ
nghiệm yếu cho bài tốn Cauchy của mơ hình (0.1) và (0.2).
Những kết quả chính trong chương này đã được cơng bố trong 3 bài báo khoa
học (P1), (P4), (P6).
Nội dung thứ hai, được trình bày trong Chương 3, nghiên cứu về hệ phương
trình nước nơng với đáy biến thiên
∂t h + ∂x (hu) = 0,

∂t (hu) + ∂x

h u2 +

gh
2

= −gh∂x a,

x ∈ R,

t > 0,

(0.3)

trong đó h(x, t) là chiều cao của dịng nước tính từ đáy đến mặt nước, và u(x, t)
là vận tốc của dòng nước; g là hằng số trọng trường.
Trong chương này, ở phần thứ nhất chúng tơi thiết lập tính chất đơn điệu
của các đường cong sóng kết hợp, từ đó chúng tơi đưa ra các Định lý về miền
tồn tại nghiệm duy nhất của nghiệm Riemann. Ở phần thứ hai, chúng tôi xây
dựng lược đồ số kiểu van Leer để xấp xỉ nghiệm yếu của bài tốn Cauchy cho
mơ hình (0.3). Chúng tơi cũng kiểm định nhiều thí dụ số và so sánh với lược
đồ kiểu Godunov đã được giới thiệu trong cơng trình [23] năm 2011. Các thí dụ
kiểm định đều cho thấy lược đồ kiểu van Leer có độ chính xác cao hơn lược đồ
kiểu Godunov.
Những kết quả chính trong chương này đã được công bố trong 2 bài báo khoa
học (P3), (P7).
Nội dung thứ ba, được trình bày trong Chương 4, nghiên cứu về mơ hình
dịng chảy hai pha đẳng entropy
∂t (αρ) + ∂x (αρu) = 0,

∂t (αρu) + ∂x (α(ρu2 + p)) = p∂x α,
∂t (βθ) + ∂x (βθv) = 0,
∂t (βθv) + ∂x (β(θv 2 + q)) = −p∂x α,
∂t θ + ∂x (θv) = 0, x ∈ R, t > 0,

(0.4)

trong đó, α(x, t), ρ(x, t), u(x, t), p(x, t) tương ứng là tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc,
và áp suất của pha I; β(x, t), θ(x, t), v(x, t), q(x, t) tương ứng là tỉ số thể tích, mật
độ, vận tốc, và áp suất của pha II.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán
Riemann và xây dựng lược đồ kiểu Godunov cho hệ (0.4). Trước hết, chúng tôi
tiếp cận hệ (0.4) bằng phương pháp tách pha. Với sự tiếp cận này, chúng tơi
thiết lập được một hệ phương trình phi tuyến ứng với mỗi cấu hình nghiệm
Riemann. Từ đó, chúng tôi sử dụng Định lý hàm ẩn để thu được các kết quả về
13


sự tồn tại nghiệm Riemann. Tiếp theo, bằng các thuật toán xác định các trạng
thái trung gian trong một cấu hình nghiệm Riemann từ các hệ phương trình
phi tuyến được nêu trong các kết quả trên, chúng tôi xây dựng lược đồ số kiểu
Godunov để xấp xỉ nghiệm yếu cho bài tốn Cauchy của hệ (0.4). Các thí dụ
số cho thấy lược đồ số kiểu Godunov mà chúng tôi xây dựng cho nghiệm xấp xỉ
với độ chính xác khá tốt.
Những kết quả chính trong chương này đã được cơng bố trong 2 bài báo khoa
học (P2), (P5).
Ngoài phần giới thiệu và ba chương chứa nội dung chính như đã nói trên,
luận án cịn bao gồm các phần sau:
• Kiến thức chuẩn bị: phần này trình bày một số kiến thức cơ sở và các ký

hiệu có liên quan đến nội dung chính của luận án.
• Kết luận: phần này tóm tắt các nội dung chính của luận án, đồng thời cũng

nêu ra một số vấn đề tồn tại và đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo.
Toàn bộ các kết quả được trình bày trong luận án này đều đã được công bố
trong 7 bài báo khoa học (P1)-(P7).

14


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số kiến thức bổ sung về lý thuyết hàm và không gian
hàm
Các không gian hàm

Hàm nhận giá trị vectơ

Không gian C k (Ω; Rp ) là tập hợp chứa các hàm u : Ω → Rp , u = (u1 , . . . , up ),
sao cho u1 , . . ., up đều thuộc C k (Ω). Tương tự với các không gian Cck (Ω; Rp ),
Lp (Ω; Rp ), . . ..
Gradient của hàm u : Ω → R (với biến x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ) là
∇u =

∂u
∂u

,...,
.
∂x1
∂xn

Jacobi của hàm u : Ω → Rp , u = (u1 , . . . , up ) là ma trận p × n


∂u1
 ∂x1

∂(u1 , . . . , up )  .
= .
∂(x1 , . . . , xn )  .
∂up
∂x1

...

...
...

∂u1
∂xn 

.. 
. ,
∂u 
p

∂xn

xem Appendix A trong sách [10].
Hàm nhận giá trị trong không gian Banach

Không gian L∞ ((0, ∞); X) là tập hợp các hàm u : (0, ∞) → X, trong đó X là
một khơng gian Banach với chuẩn · X , sao cho
inf{M > 0 : u(t)

X

≤ M, với h.k.n t ∈ (0, ∞)} < ∞,

xem Appendix E trong sách [10].
15


1.1.2

Định lý hàm ẩn

Để thuận tiện trong trình bày, ta ký hiệu một điểm trong không gian Rn+p
là một cặp
(x, y) = (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yp ),

trong đó
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,

y = (y1 , . . . , yp ) ∈ Rp .

Định lý 1.1 (Implicit Function Theorem, Appendix C, [10]). Cho Ω ⊂ Rn+p là
một tập mở và F : Ω → Rp thuộc lớp C 1 , F = (F1 , . . . , Fp ). Giả sử (x0 , y0 ) ∈ Ω,
F (x0 , y0 ) = z0 và ma trận vuông cấp p


∂F1
 ∂y1 (x0 , y0 ) . . .


∂(F1 , . . . , Fp )
(x0 , y0 ) = 

∂(y1 , . . . , yp )


..
.

...

∂Fp
(x0 , y0 ) . . .
∂y1

∂F1
(x0 , y0 )
∂yp


..

.





∂Fp
(x0 , y0 )
∂yp

có định thức khác khơng. Khi đó tồn tại một tập mở V ⊂ Ω chứa điểm (x0 , y0 ),
một tập mở W ⊂ Rn chứa điểm x0 , và một ánh xạ g : W → Rp thuộc lớp C 1 thỏa
mãn các tính chất sau:
• g(x0 ) = y0 .
• F (x, g(x)) = z0 ,

x ∈ W.

• Nếu (x, y) ∈ V và F (x, y) = z0 , thì y = g(x).
• Nếu F thuộc lớp C k , thì g cũng thuộc lớp C k (k = 2, . . .).
1.1.3

Hàm một biến có biến phân bị chặn

Định nghĩa 1.1 (Definition 1.4, Definition 1.40, [9]). Cho X là một không gian
metric và ký hiệu B(X) là σ−đại số Borel của X . Ta gọi ánh xạ µ : B(X) → Rm
là một độ đo Radon hữu hạn trờn X , nu à tha món cỏc tiờn :
ã µ(∅) = 0;
∞

• µ

∞

En
n=0

=
n=0

µ(En ), với mọi dãy (En )∞
n=0 các phần tử khơng giao nhau

của B(X).
Ta kí hiệu M(X; Rm ) là không gian các độ đo Radon hữu hạn trên X và lấy
giá trị trong Rm .
16


Định nghĩa 1.2 (Definition 3.1, [9]). Cho u : (a, b) → Rm thuộc lớp L1 . Ta nói
rằng u là một hàm có biến phân bị chặn (function of bounded variation) trên
khoảng (a, b) nếu tồn tại µ ∈ M((a, b), Rm ) sao cho
u(x)φ (x)dx = −
(a,b)

φ ∈ Cc∞ ((a, b), R).

φ(x)dµ(x),

(1.1)

(a,b)

Khơng gian BV ((a, b); Rm ) là một không gian Banach với chuẩn được cho bởi
u

với

BV ((a,b);Rm )

= u

L1 ((a,b);Rm )

+

du
((a, b)),
dx

(1.2)

du
du
((a, b)) là biến phân tồn phần (total variation) của độ đo µ =
trong
dx
dx

(a, b), được xác định bởi

n

|µ|((a, b)) = sup

|µ(Ei )|,
i=1

trong đó sup được lấy trên tập hợp tất cả các dãy hữu hạn (Ei )ni=1 các phần
n

tử không giao nhau của B((a, b)) sao cho (a, b) =

Ei . Trong không gian
i=1

BV ((a, b); Rm ), ta có một chuẩn khác tương đương với chuẩn (1.2) như sau
u

BV ((a,b);Rm )

= u

L∞ ((a,b);Rm )

+

du
((a, b)).
dx

(1.3)

Thí dụ 1.1.
Xét hàm Heaviside
H(x) =

0, nếu x < 0,
1, nếu x > 0.

Khi đó,
dH
= δ0 ,
dx

với δ0 độ đo Dirac với tâm ở 0.
Thí dụ 1.2.
Xét hàm bậc thang
u(x) =

uL , nếu x < x0 ,
uR , nếu x > x0 ,

với uL , uR thuộc Rp . Khi đó,
du
= (uR − uL )δx0 ,
dx

với δx0 độ đo Dirac với tâm ở x0 .
17

(1.4)


1.1.4

Tích phi bảo tồn

Cho trước họ đường cong φ : [0, 1] × Rp × Rp → Rp thỏa mãn các giả thiết sau:
(a) Với mọi uL , uR ∈ Rp , ta có
φ(0; uL , uR ) = uL ,

(1.5)

φ(1; uL , uR ) = uR .

(b) Với mọi u ∈ Rp và với mọi s ∈ [0, 1], ta có
(1.6)

φ(s; u, u) = u.

(c) Với mọi tập bị chặn V ⊂ Rp , tồn tại k ≥ 1 sao cho: với mọi uL , uR , vL , vR ∈ V
và với L1 −h.k.n s ∈ [0, 1], ta có
∂φ
∂φ
(s; uL , uR ) −
(s; vL , vR ) ≤ k|(uL − vL ) − (uR − vR )|.
∂s
∂s

(1.7)

Định lý 1.2 (Theorem 1.1, [7]). Cho u, v ∈ BV ((a, b); Rp ), và g : Rp → Rp thuộc
lớp C 0 . Khi đó, tồn tại duy nhất một độ đo Radon hữu hạn µ ∈ M((a, b); R) được
đặc trưng bởi hai tính chất sau đây:
(a) Nếu u liên tục tại mọi điểm thuộc tập Borel B của (a, b) thì
g(u(x)) · d

µ(B) =
B

dv
(x),
dx

(1.8)

trong đó, dấu · kí hiệu tích vơ hướng thơng thường trong khơng gian Rp .
(b) Nếu x0 ∈ (a, b) thì
1

µ({x0 }) =

g(φ(s; u(x0 −), u(x0 +))) ·

∂φ
(s; v(x0 −), v(x0 +))ds.
∂s

(1.9)

0

trong đó, dấu · kí hiệu tích vơ hướng thơng thường trong không gian Rp .
Định nghĩa 1.3 (Definition 1.1, [7]). Độ đo µ ∈ M((a, b); R) được xây dựng như
trong Định lý 1.2 được gọi là tích phi bảo tồn của g(u) với
là
µ = g(u)

18

dv
dx

.
φ

dv
, và được ký hiệu
dx

(1.10)


Trong trường hợp "bảo toàn", tức là g = ∇f , thì tích g(u)

du
dx

trùng với
φ

d
f (u).
dx

Mệnh đề 1.1 (Proposition 1.5, [7]). Cho u ∈ BV ((a, b); Rp ) và f : Rp → R thuộc
lớp C 1 . Khi đó
∇f (u)

du
dx

=
φ

d
f (u).
dx

(1.11)

Thí dụ 1.3.
Xét hàm bậc thang như trong Thí dụ 1.2
u(x) =

uL , nếu x < x0 ,

(1.12)

uR , nếu x > x0 ,

với uL , uR thuộc Rp .
Trước hết, cho g ∈ C 0 (Rp ; Rp ) và họ đường cong φ thỏa mãn các giả thiết
(1.5), (1.6), (1.7). Khi đó, theo Định nghĩa 1.3, độ đo Radon hữu hạn g(u)

du
dx

φ

được xác định bởi
g(u)

du
dx

(B) =
φ

du
(x) =
dx

g(u(x))·d
B

g(u(x))·(uR −uL )dδx0 (x) = 0, với x0 ∈
/ B,
B

và
du
g(u)
dx

1
φ

({x0 }) =

g(φ(s; u(x0 −), u(x0 +))) ·
0
1

g(φ(s; uL , uR )) ·

=
0

∂φ
(s; u(x0 −), u(x0 +))ds
∂s

∂φ
(s; uL , uR )ds.
∂s

Do đó ta được tích phi bảo tồn theo lý thuyết Dal Maso, LeFloch, Murat
du
g(u)

dx

1

g(φ(s; uL , uR )) ·

=
φ

0

Tiếp theo, xét dãy hàm (uε ) định bởi:

u ,


 L
x − x0 + ε
uε (x) = φ
; uL , uR ,
2ε



uR ,

∂φ
(s; uL , uR )ds · δx0 .
∂s

(1.13)

nếu x < x0 − ε,
nếu x0 − ε ≤ x ≤ x0 + ε,

(1.14)

nếu x > x0 + ε.

Ta thấy rằng uε hội tụ theo từng điểm hầu khắp nơi đến hàm bậc thang

19


(1.12). Khi đó, với mọi hàm θ : R → R thuộc lớp C 0 , ta có
θ(x)d g(uε )
R

duε
dx

(x)
φ

1

θ x0 + (2s − 1)ε g(φ(s; uL , uR )) ·

=
0

1

−→ θ(x0 )

g(φ(s; uL , uR )) ·
0

∂φ
(s; uL , uR )ds
∂s

(1.15)

∂φ
(s; uL , uR )ds, khi ε → 0.
∂s

Như vậy, kết hợp với tích phi bảo tồn (1.13), ta đạt được
θ(x)d g(uε )
R

duε
dx

(x) →
φ

θ(x)d g(u)
R

du
dx

(x).

(1.16)

φ

Điều này dẫn đến tính "ổn định yếu" của tích phi bảo tồn theo lý thuyết Dal
Maso, LeFloch, Murat, xem mục 2 và 3 trong [7].

1.2

Hệ hyperbolic các định luật cân bằng

Cho Ω là một tập mở trong Rp . Ta xét hệ phi tuyến các định luật cân bằng
một chiều có dạng
∂t U + A(U )∂x U = 0,

x ∈ R,

t > 0,

(1.17)

trong đó, U : R × [0, ∞) → Ω là ẩn hàm, U = (U1 , . . . , Up ). Tập Ω được gọi là tập
các trạng thái.
Nếu tồn tại một hàm F : Ω → Rp thuộc lớp C 1 , F = (F1 , . . . , Fp ) sao cho



∂F

∂F

1
1
 ∂U1 . . . ∂Up 
 .
∂(F1 , . . . , Fp )
.. 
...
.
A(U ) =
:= 
. 
.


∂(U1 , . . . , Up )
 ∂Fp
∂Fp 

∂U1

...

(1.18)

∂Up

thì hệ (1.17) được viết thành
∂t U + ∂x F (U ) = 0,

x ∈ R,

t > 0,

(1.19)

và được gọi là hệ các định luật bảo toàn.
Ngược lại, nếu không tồn tại hàm F : Ω → Rp thỏa mãn (1.18) thì ta nói hệ
(1.17) có dạng phi bảo toàn.
Hệ (1.17) được gọi là hyperbolic nếu ma trận A(U ) có p giá trị riêng thực
λ1 (U ), . . . , λp (U ), và p vectơ riêng bên phải độc lập tuyến tính r1 (U ), . . ., rp (U ).
20


Khi đó, cặp (λk (U ), rk (U )) được gọi là trường đặc trưng thứ k . Hơn nữa, hệ (1.17)
được gọi là hyperbolic thực sự nếu ma trận A(U ) có p giá trị riêng thực phân
biệt và p vectơ riêng bên phải độc lập tuyến tính.
Trường đặc trưng thứ k được gọi là phi tuyến thực sự nếu
∇λk (U ) · rk (U ) = 0,

với mọi U ∈ Ω.

Trường đặc trưng thứ k được gọi là suy biến tuyến tính nếu
∇λk (U ) · rk (U ) = 0,

với mọi u ∈ Ω.

Bài toán Cauchy của hệ (1.17) là bài tốn tìm hàm U : R × [0, ∞) → Ω thỏa
mãn hệ (1.17) và thỏa mãn điều kiện ban đầu
U (x, 0) = U0 (x),

x ∈ R,

(1.20)

trong đó, U0 : R → Ω là một hàm cho trước.
Trong trường hợp hàm dữ kiện ban đầu có dạng
U0 (x) =

UL ,

x < 0,

UR ,

x > 0,

(1.21)

trong đó UL và UR là các trạng thái hằng thuộc Ω cho trước, thì bài tốn Cauchy
của hệ (1.17) với dữ kiện đầu U0 có dạng (1.21) được gọi là bài toán Riemann.
1.2.1

Nghiệm yếu

Định nghĩa 1.4 (Definition 6.2, [7]). Hàm U thuộc L∞ (R×(0, ∞), Rp )∩BVloc (R×
(0, ∞), Rp ) được gọi là một nghiệm yếu của hệ (1.17) ứng với họ đường cong φ
cho trước thỏa mãn các giả thiết (1.5), (1.6), (1.7), nếu
−

θt (x, t)U (x, t)dxdt +
(0,∞)

R

θ(x, t)d[A(U (·, t))∂x U (·, t)]φ (x) dt = 0,
(0,∞)

R

(1.22)
với mọi θ : R × (0, ∞) → R thuộc lớp Cc∞ .
1.2.2

Sóng gián đoạn và hệ thức Rankine-Hugoniot

Cho trước hai trạng thái phân biệt UL , UR ∈ Ω và số thực σ . Xét hàm gián
đoạn có dạng
UL , nếu x < σt,
(1.23)
U (x, t) =
UR , nếu x > σt.
21

Cho trước θ : R × (0, ∞) → R thuộc lớp Cc∞ . Với hàm gián đoạn U (x, t) (1.23),
bằng cách dùng tích phân Fubini, ta tính được
−

θt (x, t)U (x, t)dxdt = −σ
(0,∞)

θ(σt, t)dt · (UR − UL ).

(1.24)

(0,∞)

R

Bằng cách tính tích phi bảo tồn giống như trong (1.13), ta tính được
1

A(φ(s; UL , UR )) ·

[A(U (·, t))∂x U (·, t)]φ =
0

∂φ
(s; UL , UR )ds · δσt .
∂s

(1.25)

Từ đó suy ra

θ(x, t)d[A(U (·, t))∂x U (·, t)]φ (x) dt
(0,∞)

R
∞

1

θ(σt, t)dt ·

=
0

0

∂φ
A(φ(s; UL , UR )) · (s; UL , UR )ds .
∂s

(1.26)

Từ (1.24) và (1.26) ta suy ra hàm gián đoạn (1.23) thỏa mãn định nghĩa nghiệm
yếu (1.22) khi và chỉ khi
∞

1

θ(σt, t) · − σ(UR − UL ) +

A(φ(s; UL , UR )) ·

0

0

∂φ
(s; UL , UR )ds dt = 0, (1.27)
∂s

với mọi θ : R × (0, ∞) → R thuộc lớp Cc∞ . Từ đó, ta có Định lý sau đây, cịn gọi
là hệ thức Rankine-Hugoniot tổng quát.
Định lý 1.3. Hàm gián đoạn (1.23) là nghiệm yếu theo nghĩa (1.22) của hệ
(1.17) khi và chỉ khi σ , UL , UR thỏa mãn hệ thức Rankine-Hugoniot tổng quát
sau đây
1

−σ(UR − UL ) +

A(φ(s; UL , UR )) ·
0

∂φ
(s; UL , UR )ds = 0.
∂s

(1.28)

Nếu hệ (1.17) trở thành dạng bảo tồn, thì hệ thức Rankine-Hugoniot tổng
qt (1.28) khơng cịn phụ thuộc vào họ đường cong φ và trở thành
−σ(UR − UL ) + F (UR ) − F (UL ) = 0.

(1.29)

Định nghĩa 1.5. Cho trước hai trạng thái phân biệt UL và UR thuộc Ω. Ta gọi
hàm gián đoạn (1.23) thỏa mãn hệ thức Rankine-Hugoniot tổng quát (1.28) là
một sóng gián đoạn của hệ (1.17) nối trạng thái bên trái UL đến trạng thái bên
phải UR .

22


Hình 1.1: Hình minh họa sóng i−Lax sốc Si (UL , UR )

1.2.3

Sóng Lax sốc

Định nghĩa 1.6. Giả sử trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sự. Cho
trước trạng thái bên trái UL và trạng thái bên phải UR thuộc Ω và thỏa mãn
λk (UR ) < λk (UL ). Khi đó sóng gián đoạn (1.23) của hệ (1.17) với σ = σk (UL , UR )
thỏa mãn bất đẳng thức Lax
λk (UR ) < σk (UL , UR ) < λk (UL ),

(1.30)

được gọi là sóng k−Lax sốc, và được ký hiệu là
(1.31)

Sk (UL , UR ).

1.2.4

Sóng gián đoạn tiếp xúc

Định nghĩa 1.7. Giả sử trường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tính. Cho
trước trạng thái bên trái UL và trạng thái bên phải UR thuộc Ω và thỏa mãn
λk (UL ) = λk (UR ). Khi đó sóng gián đoạn (1.23) của hệ (1.17) với σ = λk (UL ) =
λk (UR ) được gọi là sóng k−tiếp xúc.
1.2.5

Sóng giãn

Ta đi tìm nghiệm yếu trơn của hệ (1.17). Trước hết ta nhận xét rằng, nếu
U (x, t) là nghiệm trơn của hệ (1.17) thì U (θx, θt) cũng là nghiệm của nó. Do đó,
một cách tự nhiên, ta đi tìm nghiệm trơn có dạng tự đồng dạng
U (x, t) = V (ξ),

23

ξ=

x
.
t

(1.32)