Nghien cuu ve truong vector tinh chinh xac van chuaduoc xac nhan nen can moi nguoi tham van

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Định lý 3.1.4.2: Cho F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j trên một miền mở liên thông đơn D,giả sử P,Q có các đạo hàm riêng cấp một liên tục và: ∂P ∂Q = ∂ y ∂x. trên toàn miền D , khi đó F bảo toàn Và tồn tại một hàm f(x,y) sao cho ∇ f =F . Hàm f(x,y) sẽ được xác định như sau: ∂Q. ∫ dx. dx . dy. ∂P. ∫ ∂ y dy . dx. *. ¿ Q . dy −¿ -Chú ý :Dấu ngoặc vuông trong * có P .nghĩa dx+∫ ¿là “hoặc”. f ( x , y )=∫ ¿. Chứng minh cho công thức * ở trên :. Theo định nghĩa ta có: Khi cho hàm F(x,y)=P(x,y)i + Q(x,y)j và F bảo toàn, ta có thể tách P,Q thành: f x =P( x , y)=α (x)+ β (x , y )+ C __ (∗) f y =Q( x , y )=δ ( y )+ ε (x , y)+C ___ (**). {. *Nghĩa là: Đối với P(x,y) ta chỉ dồn riêng biến x về một cụm và đặt là α (x) , còn lại là hàm chứa biến y hoặc cả biến y và biến x và đặt thành β (x , y ). Tương tự cho Q(x,y) ta cũng chia ra được như trên. ∂P. ∂Q. Mà theo định lý ta có: ∂ y = ∂ x (1) Khi đạo hàm P(x,y) ta chỉ tính biến y có trong P(x,y) còn lại xem như bỏ qua vì đạo hàm theo y nên biến x,const đều bị triệt tiêu và (*) trở thành: ∂P ∂ β(x, y) = ∂y ∂y. (2). Tương tự khi đạo hàm Q(x,y) ta chỉ tính biến x và xem như bỏ qua biến y ,const và (**) trở thành:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ∂Q ∂ ε ( x , y) = ∂x ∂x. (3). Từ (1),(2),(3) ta có : ∂ ε (x , y ) ∂ β ( x , y) = ∂x ∂y. (5). Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (4). ∫ ε (x , y ). dy=∫ β ( x , y ). dx Mà:. f ( x , y )=∫ P( x , y).dx +h( y) ⇔ f (x , y )=∫ [ α ( x)+ β ( x , y )+C ] . dx+ h( y ) ⇒ f (x , y )=∫ α ( x). dx+∫ β ( x , y ) .dx +Cx+ h( y). Vì (4) nên f(x,y) trở thành : ⇒ f (x , y )=∫ α ( x). dx+∫ ε ( x , y ). dy +Cx+h ( y). Đạo hàm f(x,y) theo y ta có: Q(x , y )=ε( x , y )+h ' ( y ). ⇒ h ' ( y)=Q( x , y )− ε (x , y)=δ ( y )+ε (x , y )− ε (x , y )+C=δ ( y)+C [δ ( y)+¿ C ]. dy ⇒ f (x , y )=∫ [ α ( x)+ β (x , y )+C ] . dx+∫ ¿ ⇔ f ( x , y)=∫ [ α (x)+ β ( x , y )+ C ] . dx+∫ [ δ ( y )+ ε ( x , y)+C ] dy −∫ ∂ ε ( x , y) ⇔ f ( x , y)=∫ [ α (x)+ β ( x , y )+ C ] dx+∫ [ δ ( y )+ε (x , y )+C ] dy −∫ .dxdy dx ∂Q ⇒ f ( x , y )=∫ P . dx+∫ Q . dy −∫ . dxdy dx. Vì (5) nên f(x,y) cũng có thể viết lại là : f ( x , y )=∫ P. dx +∫ Q. dy −∫. ∂Q ∂P .dxdy=∫ P . dx+∫ Q . dy −∫ . dxdy dx dy. (đpcm).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1/Theo một số định lý cơ bản trong tích phân đường ta có: Định lý 1: Cho C là đường trơn cong xác định bởi hàm vector r(t), a ≤ t ≤ b ,cho f là một hàm khả vi hoặc ba biến có vector gradient ∇ f liên tục trên C.Khi đó: ∫ ∇ f . dr=f ( r (b)) − f ( r (a)) C. Nếu theo công thức như đã chứng minh ta có: b. b. b. ∂ P(x (t), y (t)). ∫ ∇ f . dr=∫ P( x (t) , y (t)). dx (t)+∫ Q( x (t), y (t)). dy (t) −∫ dy C. a. a. .dx (t) dy (t). a. Nếu f là hàm 2 biến và C là đường cong phẳng với đỉnh đầu ( x 1 , y 1) và đỉnh cuối ( x 2 , y 2) thì định lý 1 ở trên trở thành :. ∫ ∇ f . dr=f (x 2 , y 2 )− f (x 1 , y 1 ) C. Nếu theo công thức đã chứng minh ta có : (x 2, y 2). ∫ ∇ f . dr= C. ∫. (x 1, y 1). (x 2, y 2). P . dx+. ∫. (x 1, y 1). (x 2 , y 2). Q . dy −. ∂Q . dxdy (x 1 , y 1) dx. ∫.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHỨNG MINH NGƯỢC *Lưu ý: Ta có quyền chọn một trong hai cách đều chính xác,cách 1 kí hiệu (1),cách 2 kí hiệu (2). Ta có : ¿ f ( x , y )=∫ P. dx +∫ Q. dy −∫. ∂P . dxdy +C dy. ¿. Đạo hàm f theo x ta có: ¿ dx dy ∂P f ' x =∫ P . +∫ ∂ Q . −∫ . dxdy dx dx dy . dx dy ⇔ f ' x =P+∫ ∂ Q . −∫ ∂ P dx ¿ Để f ' x =P thì : dy ∫ ∂ Q . dx −∫ ∂ P=0 dy ⇒∂ Q. =∂ P dx ∂Q ∂P ⇒ = dx dy. Theo định lý nên : dy. ∫ ∂ Q . dx −∫ ∂ P=0 Hoặc với :. (1).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> f ( x , y )=∫ P. dx +∫ Q. dy −∫. Đạo hàm f theo x ta có : f ' x =P+∫. ∂Q ∂Q . dy −∫ . dy dx dx ⇒ f ' x =P. *Đạo hàm (1) theo y ta có : f ' y =∫. ∂P ∂P .dx +Q −∫ .dx dy dy ⇒ f ' y =Q. Đạo hàm (2) theo y ta có: ¿ ∂P f ' y =∫ .dx +Q −∫ ∂ Q dy ¿. Lập luận tương tự ta được : f ' y =Q. ∂Q .dxdy dx. (2).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>