Luận văn Đa tạp contact

Mục lục

Lời nói đầu
Chơng I. Các kiến thức liên quan
Đ1 Đa tạp khả vi
Đ2 Đa tạp symplectic
Chơng II. Đa tạp contact
Đ1 Dạng contact
Đ2 Một số ví dụ về đa tạp contact
Đ3 Động lực contact
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Trang
3
5
11
17
26
33
40
41


3

Lời nói đầu

Cách đây 2 thế kỷ, hình học symplectic đà cung cấp ngôn ngữ cho cơ học cổ
điển và nó phát triển mạnh vào những năm 1970 với các công trình nghiên cứu
của nhiều nhà toán học mà tiêu biểu là Weinstein, Gromov, Taubes, Donaldson,

. . . Đến thời gian gần đây hình học symplectic đà trở thành một phân ngành của
hình học Tôpô.
Trong chơng trình đào tạo của hệ Cao học thạc sỹ, chúng ta đà nghiên cứu về
đa tạp symplectic, nghiên cứu các tính chất nội tại của nó. Tuy nhiên đa tạp
symplectic còn có mối liên hệ với một số cấu trúc đa tạp khác nh đa tạp contact.
Trong luận văn này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về đa tạp contact và
mối liên hệ giữa đa tạp contact với đa tạp symplectic.
Luận văn đợc chia làm 2 chơng:
Chơng I. Các kiến thức liên quan
Đ1 Đa tạp khả vi
Đ2 Đa tạp symplectic
Chơng II. §a t¹p contact
§1 D¹ng contact
§2 Mét sè vÝ dơ vỊ đa tạp contact
Đ3 Động lực contact
ở Đ1 Chơng I, chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến đa tạp

khả vi nh : ánh xạ khả vi, véc tơ tiếp xúc và các không gian tiếp xúc, trờng véc
tơ khả vi, ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc, phép hợp luân và đạo hàm
Lie.
ở Đ2 Chơng I, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản của ánh xạ song

tuyến tính phản xứng, không gian véc tơ symplectic và đa tạp symplectic, ánh
xạ symplectic và phân thớ đối tiếp xúc.


4

ở Đ1 Chơng II, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nh yếu tố

contact, cấu trúc contact, ®a t¹p contact, mét sè tÝnh chÊt cđa cÊu tróc contact.
ở Đ2 Chơng II, chúng tôi xây dựng chi tiết đa tạp contact liên kết với đa tạp

X.
ở Đ3 Chơng II, chúng tôi trình bày định nghĩa đồng cấu contact, tính bất

biến của dạng contact qua đồng cấu contact, trờng véc tơ Reeb, mối quan hệ trờng Reeb với dạng contact và phép symplectic hóa đa tạp contact.
Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn nhiệt tình
của thầy giáo Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy, cảm ơn các thầy giáo trong bộ môn hình học đà giảng dạy và
chỉ bảo những vấn đề liên quan đến đề tài nghiên cứu. Chúng tôi xin chân thành
cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, các đồng nghiệp
và bạn bè đà tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Vinh, ngày . . . tháng . . . năm 2004
Tác giả


5

Chơng I. các kiến thức liên quan

Đ1 Đa tạp khả vi
1.1. Các định nghĩa.
1.1.1. Định nghĩa. Không gian Hausdorff có cơ sở đếm đợc M đợc gọi là đa
tạp tôpô n - chiều nếu nó đồng phôi địa phơng với Rn.
Giả sử M là đa tạp tôpô n- chiều. Phép đồng phôi của một tập mở U của M
lên tập con mở của Rn gọi là một bản đồ hay một hệ tọa độ trên M. Kí hiệu là
(U, ).
1.1.2. Nhận xét. Đối với đa tạp tôpô n- chiều M thì tồn tại họ U={(U,

)}I sao cho:
1. Họ {(U, )}I tạo thành phủ mở của M.
2. Mỗi (U, ) là một bản đồ của M.
1.1.3. Định nghĩa. Họ U={(U, )}I của đa tạp tôpô n- chiều M thỏa
mÃn hai điều kiện của nhận xét 1.1.2 đợc gọi là một tập bản đồ của đa tạp M.
Tập bản đồ U đợc gọi là tập bản đồ khả vi nếu với mäi (U α, ϕα), (Uβ,
ϕβ)∈ U ta ®Ịu cã ϕαϕβ-1 là ánh xạ khả vi.
Bản đồ = (V, ) trên M đợc gọi là phù hợp với U nếu U {} cũng tạo
thành tập bản đồ khả vi trên M.
Tập bản đồ khả vi U trên đa tạp M đợc gọi là một cấu trúc vi phân trên M nếu
mỗi bản đồ phù hợp với U đều thuộc U.
Nhận xét: Mỗi tập bản đồ khả vi xác định duy nhất một cấu trúc vi phân mà
các bản đồ của cấu trúc này phù hợp với tập bản đồ ấy.
1.1.4. Định nghĩa. Một đa tạp tôpô n-chiều M cùng với cấu trúc vi phân trên
đó đợc gọi là đa tạp khả vi n-chiều.
1.1.5. Ví dụ. không gian ơclit Rn với tập bản đồ {(Rn, id)} là đa tạp khả vi.


6

1.2. ánh xạ khả vi.
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử M, N là các đa tạp khả vi có số chiều tơng ứng là
m, n. ánh xạ liên tục f : M N đợc gọi là ánh xạ khả vi nếu đối với bất kỳ bản
đồ (U, ) trên M, (V, ) trên N, ánh xạ f-1 : Rm Rn là ánh xạ khả vi.
ánh xạ f đợc gọi là vi phôi nếu f là song ánh và các ánh xạ f, f-1 đều khả vi.

1.2.2. Mệnh đề. Cho đa tạp khả vi n- chiều M, điểm p M, ta kí hiệu F(p)
là tập hợp các ánh xạ khả vi xác định trên lân cận mở của điểm p. Trong F(p)
ta đa vào các phép toán:
Phép cộng f, g F(p): (f + g)(x) = f(x) + g(x) víi mäi x∈ Up ∩Vp

PhÐp nh©n f, g∈ F(p): (f.g)(x) = f(x)g(x) víi mäi x∈ Up ∩Vp
PhÐp nh©n víi mét sè λ∈ R: (λ.f)(x) = λf(x) víi mäi x∈ Up
Trong ®ã Up, Vp là các lân cận mở của p.
Khi đó F(p) là một R- đại số.
1.3. Véc tơ tiếp xúc và không gian tiếp xúc.
1.3.1. Định nghĩa. Cho đa tạp khả vi n- chiều trên M. Giả sử I là một
khoảng mở trong R. Mỗi ánh xạ : I M đợc gọi là một đờng khả vi trên M.
1.3.2. Định nghĩa. Cho đa tạp khả vi n- chiều M, là đờng khả vi trên M
xác định bởi:
:IM
t ρ (t)
cho t0∈I, kÝ hiÖu ρ(t0) = p. Ta gäi véc tơ tiếp xúc tới đờng tại điểm t là ánh xạ
:
v : F(p) R
f v(f) =

d
dt

(f (t)) t 0

v đợc gọi là véc tơ tiếp xúc với M tại điểm p.


7

1.3.3. Định lý. Cho đa tạp khả vi n- chiều M, bản đồ (U, ) trên M, điểm
pU. Gọi yi là hàm tọa độ thứ i trên Rn, đặt ui = yi , Di là đạo hàm riêng đối
với biến thứ i của các hàm số xác định trên Rn. Xét các ánh xạ:

( )p : F(p) R
u
i

∂

f  ( ∂ )p(f) = Di(f  ϕ-1)
u

ϕp )
(

i

∂

Khi đó ( )p là các véc tơ tiếp xúc với đa tạp M tại điểm p.
u
i

1.3.4. Mệnh đề. Cho đa tạp khả vi n- chiều M, điểm p M. Kí hiệu TPM là
tập các véc tơ tiếp xúc với M tại điểm p. Đa vào TPM hai phép toán cộng và
nhân với số thực xác định nh sau:
(v1 + v2)(f) = v1(f) + v2(f)
(λv)(f) = λv(f)

, λ∈R.

Khi ®ã TPM là không gian véc tơ gọi là không gian véc tơ tiếp xúc với M tại

p.
1.3.5. Định lý. Cho M đa tạp khả vi n- chiều, (U, ) là một bản đồ trên M,


pM. Khi đó không gian véc tơ TPM nhận hệ {( )P, i=1,2,..,n} làm cơ sở.
u
i

1.4. Trờng véc tơ trên đa tạp.
1.4.1. Định nghĩa. Giả sử G là tập con mở của đa tạp khả vi M. Ta gọi là trờng véc tơ trên G là một ánh xạ:
X:G

Tp M

p
G

sao cho X(p) TPM. Ta thờng viết Xp thay cho X(p).
1.4.2. Định nghĩa. Giả sử X là trờng véc tơ trên G, fF(p). Khi đó Xf là
hàm số trên G đợc xác định bởi hệ thøc (Xf)(p) = Xp(f) víi mäi p ∈ G. Trêng
vÐc tơ X trên G đợc gọi là trờng véc tơ khả vi nếu Xf là hàm khả vi trên G đối
với mọi hàm khả vi f trên G.


8

1.4.3. Mệnh đề. Cho M là đa tạp khả vi, G lµ tËp më trong M. Ký hiƯu
F(G) lµ tËp hợp các hàm khả vi xác định trên G. Đa vào F(G) các phép toán
sau:
Phép cộng: f, g F(G), lấy (f+g) F(G) xác định bởi

, xG

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

PhÐp nh©n: f, g ∈ F(G), lÊy f.g∈F(G) xác định bởi
, xG

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Phép nhân với số thực: R, g F(G), lấy .g F(G) xác định bởi
(.g)(x) = .g(x)

, xG

Khi đó tập F(G) trở thành vành giao hoán có đơn vị là hàm hằng 1.
1.4.4. Mệnh đề. Kí hiệu B(G) là tập các trờng véc tơ trên G. Đa vào B(G)
các phép toán sau:
Phép cộng hai trêng vÐc t¬: X, Y∈ B(G), X+Y∈ B(G) sao cho
(X + Y)(p) = X(p) + Y(p)
Nhân hàm số với trờng vÐc t¬: f∈F(G), X∈ B(G), fX∈ B(G) sao cho
(fX)(p) = f(p)Xp
Khi đó B(G) trở thành F(G) - môđun.
1.4.5. Mệnh đề. Giả sử M là đa tạp khả vi n- chiều, (U, ) là bản đồ xác

i
u

định trên M. Kí hiệu

(i=1,2,..,n) là các trờng véc tơ trên U đợc xác định bởi

công thức:

i
u



(p) = ( )P , pM
u
i



trong đó ( )P là véc tơ tiếp xúc với M tại p. Khi đó:
u
i

1) Các trờng véc tơ



i
u

khả vi trªn U

2) HƯ { ∂ } (i = 1,2,..,n) là cơ sở của B(U) - môđun
u
i

9

1.5. ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc.
1.5.1. Định nghĩa. Cho M, N là các đa tạp khả vi, f : M N là ánh xạ khả
vi, pM. ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ f tại điểm p là ánh xạ :
f*

p

: TpM Tf(p)N

đợc xác định nh sau: với vTPM là véc tơ tiếp xúc với đờng cong (t) tại p p =
(t0) thì f*p(v) là véc tơ tiếp xúc với đờng cong f tại f(p) = f((t0)).
1.5.2. Mệnh đề. Cho f : M → N vµ g : N → Q là các ánh xạ khả vi, pM.
Khi đó:
(g f)*p = g*f(p) f*p
1.5.3. Định nghĩa. Cho M, N là các đa tạp khả vi, f : M N là ánh xạ khả
vi. ánh xạ đối tiếp xúc của f kÝ hiÖu f* : Ωk (N) → Ωk (M) đợc xác định nh sau:
f*()(X1, . . ., Xk) = ω(f*(X1), . . ., f*(Xk) , ∀(X1, . . ., Xk)
1.5.4. Định lý. Cho f : M N và g : N Q là các ánh xạ khả vi. Khi ®ã
(g  f)* = f*  g*
1.6. PhÐp hợp luân và trờng véc tơ.
Giả sử M là đa tạp, ánh xạ : M x R M , kí hiệu t(p) = (t, p).
1.6.1. Định nghĩa. ánh xạ là phép hợp luân nếu mỗi t là vi phôi và
0 = idM.
Cho phép hợp luân , có trêng vÐc t¬ phơ thc thêi gian hay hä trêng vÐc t¬
d

1
vt, t∈R tháa m·n : vt(p) = ds ρs (q ) s=t , q = ρ − (p)
t

hay

dρ t
= v t t (*)
dt

Ngợc lại, cho trờng véc tơ phụ thuộc thời gian vt, nếu M là compact thì tồn
tại phép hợp luân thỏa mÃn phơng trình (*).
Giả sử M là đa tạp compact, khi đó có tơng øng 1-1 sau:


10

1
{ phép hợp luân của M} 1 {trêng vÐc t¬ phơ thc thêi gian}

ρt, t∈R

vt, t∈R

1−
← 1→

1.6.2. Định nghĩa. Khi vt = v không phụ thuộc thời gian t, phép hợp luân
liên kết với nó đợc gọi là ánh xạ mũ và kí hiệu exptv là họ vi phôi khả vi thỏa
mÃn exptv

t=
0

= idM và

d
(exp tv )( p ) = v(exptv(p))
dt

1.6.3. Định nghĩa. Đạo hàm Lie là toán tử
Lv : k(M) k(M) đợc xác định bởi Lv(ω) =

d
(exp tv )* ω t =0
dt

Khi vt phô thuéc thời gian thì đạo hàm Lie bởi vt là
LVt : k(M) k(M) đợc xác định bởi LVt() =
1.6.4. Mệnh ®Ị. (c«ng thøc Cartan)
a) Lv(ω) = ivdω + divω
b)

d
(ρt )* = * LVt()
t
dt

1.6.5. Định lý. Với họ d - dạng khả vi t, tR ta có:
d

(t )* t
dt

= ρ * (LVt(ω) +
t

dωt
)
dt

d
(ρt )* ω t =0
dt


11

Đ2 Đa tạp symplectic
Chúng ta đà đợc học và nghiên cứu kỹ về đa tạp symplectic, vì vậy trong mục
này chúng tôi chỉ trình bày một số kết quả làm cơ sở cho việc nghiên cứu mối
quan hệ giữa đa tạp contact và đa tạp symplectic.
2.1. ánh xạ song tuyến tính phản xứng.
2.1.1. Định nghĩa. Giả sử V là không gian véc tơ m - chiều trên R và :
V x V R là ánh xạ song tuyến tính. Khi đó ta định nghĩa là phản xứng
nếu:
(u, v) = - (v, u).

2.2.2 Định lý. (Dạng tiêu chuẩn cho ánh xạ song tuyến tính phản xứng)
Giả sử cho là ánh xạ song tuyến tính phản xứng trên V. Khi đó có cơ sở {u 1,
u2, . ., uk, e1, . ., en, f1, . ., fn}(*) cña V tháa m·n:

Ω (ui, v) = 0 ,∀v∈ V vµ ∀i = 1..k
Ω (ei, ej) = 0 ,∀i = 1..n , ∀j = 1..n
Ω (fi, fj) = 0 , ∀i = 1..n , ∀j = 1..n

Ω (ei, fj) = δij , ∀i =

1..n ,

∀j = 1..n
n

1.3.1. NhËn xÐt. ở định lý 2.1.2 có dạng : = ∑ e h ∧ fh
*

*

h =1

*
*
*
trong ®ã {u 1 , . ., u * , e 1 , . ., e * , f 1 , . . ., f * } là cơ sở đối ngẫu với
k
n
n

cơ sở {u1, u2, . ., uk, e1, . ., en, f1, . ., fn} cña V
Chøng minh:
n

*

*

Ta cã: Ω (ui, v) = ∑ e h ∧ fh (ui, v) = 0
h =1

n

*

*

,∀i = 1..k

Ω (ei, ej) = ∑ e h ∧ fh (ei, ej) = 0
h =1
n

*

*

Ω (fi, fj) = ∑ e h ∧ fh (fi, fj) = 0
h =1

,∀i = 1..n , ∀j = 1..n
,∀i = 1..n , ∀j = 1..n

12

n

Ω (ei, fj) = ∑ e h ∧ fh (ei, fj) = δij
*

*

h =1

,∀i = 1..n , ∀j = 1..n
n

VËy ở định lý 2.1.2 đợc biểu thị: = e h fh
*

*

h =1

2.2. Không gian véc tơ Symplectic.
Giả sử V là không gian véc tơ m - chiều trên R và : V x V R là ánh xạ
song tuyến tính phản xứng.
V* = { ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : V → R }
~
Ω
:

2.2.1. Định nghĩa. ánh xạ

bởi

~

(v)(u)

V V* là ánh xạ tuyến tính đợc xác định

= (v, u), uV.

2.2.2. Nhận xét.
~
- Ker = U

~
- Ker = 0

~
là

song ánh.

2.2.3. Định nghĩa. ánh xạ song tuyến tính phản xứng là symplectic
hoặc không suy biến nếu

~
là

song ánh. ánh xạ khi đó đợc gọi là cấu trúc

symplectic tuyến tính trên V và (V, ) đợc gọi là không gian véc tơ
symplectic.
2.2.4. Tính chất.
a) ánh xạ

~
là

b) dimV = 2n: do

song ánh

~
là

song ánh nên dimU = 0, theo định lý 2.1.2 thì

dimV = 2n - chẵn.
c) Theo định lý 2.1.2, không gian véc tơ symplectic (V, ) cã c¬ së {e1,
. ., en, f1, . ., fn} tháa m·n:
Ω (ei, ej) = Ω (fi, fj) = 0

Ω (ei, fj) = δij


13

2.2.5. Định nghĩa. Giả sử (V, ), (V ' , ' ) là các không gian véc tơ
symplectic. Khi đó ánh xạ : (V, ) (V ' , Ω' ) lµ symplectic khi vµ chØ khi
ϕ là đẳng cấu tuyến tính và *( ' ) = Ω , tøc lµ:

ϕ*( Ω' )(u,v ) = Ω' ( (u), (v)) = (u, v).
2.3. Đa tạp Symplectic.
2.3.1. Định nghĩa. 2- dạng vi phân khả vi trên đa tạp M là symplectic nếu
đóng và p là symplectic với mọi p M. Khi đó (M, ) đợc gọi là đa tạp
symplectic.
2.3.2. Ví dụ.
1. Cho M = R2n với täa ®é (x1, . . ., xn, y1, . . ., yn).
n

Ta lÊy ω = ∑ dx i ∧ dy i thì là symplectic.
i =1

2. M = S2 R3, Ω : p  Ω P : TPS2 x TpS2 → R
(u, v)  < op , u x v>
là dạng symplectic trên đa tạp M.

Chứng minh:
d)

p là symplectic với pM :

Dễ thấy p là ánh xạ song tuyến tính phản xứng.
Ta chỉ ra U = { u∈TPS2/ Ω P(u, v) =0, ∀v∈TPS2}= {0}:
Gi¶ sư p(p1, p2, p3)∈S2, u(u1, u2, u3) ∈TPS2 vµ v(v1, v2, v3) TPS2 , không mất tính
tổng quát giả sử p3 0 tọa độ của các véc tơ u, v ph¶i tháa m·n
u1p1 + u2p2 + u3p3 = 0 ⇒ u3 = −

u1p1 + u 2 p 2
(*)
p3

v1p1 + v2p2 + v3p3 = 0 ⇒ v3 = −

v1p1 + v 2 p 2
p3


14

p3

p1
u1

u2

−

u 1 p 1 +u 2 p 2
p3

v1

Khi ®ã Ω P(u, v) =0, ∀v∈TPS2 ⇔

p2

v2

−

v 1 p 1 +v 2 p 2
p3

=0,

∀v∈TPS2
p3

p1
v1

v2

−

v 1 p 1 +v 2 p 2
p3

u1

⇔

p2

u2

−

u 1 p 1 +u 2 p 2

p3

⇔ p1(v2

= 0 , ∀v∈TPS2

u1p1 + u 2 p 2
v1p1 + v 2 p 2
u1p1 + u 2 p 2
v1p1 + v 2 p 2
- u2
) – p2(v1
- u1
)+
− p3
− p3
− p3
− p3

+p3(v1u2-v2u1) = 0 ,∀v1, v2∈R
2
2
⇔ ( p 1 + p 2 + p 3 )(v1u2 – v2u1) = 0 ,∀v1, v2∈R
2

⇔ u1 = u2 = 0. Tõ (*) ⇒ u3 = 0. VËy U = {0} ⇒ Ω P lµ symplectic.
-

Ω lµ 2 - dạng vi phân trên không gian 2 - chiều S2 nên d = 0 hay

đóng.
-

Chứng minh tính khả vi của trong lân cận của mỗi điểm pS2:

Giả sử {U1, U2} là trờng mục tiêu khả vi tiÕp xóc trùc chn cđa S2 trong l©n
cËn U cđa ®iÓm p. Ta cã:
Ω (Ui, Ui)(p) = Ω p(Uip, Uip) = < op , Uip x Uip > = 0, víi i = 1, 2.

Ω (U1, U2)(p) = Ω p(U1p, U2p) = < op , U1p x U2p > =1
Ω (U2, U1)(p) = -1

⇒ Ω (Ui, Uj) kh¶ vi.


15

n

n

i =1

i =1

Với X, Y là các trờng khả vi trong l©n cËn U ⇒ X = ∑fi U i , Y = ∑ g i U i
víi fi, gj là các hàm khả vi, với i,j = 1..2

n

và (X, Y) = ∑ fi g j Ω( U i , U j )
i , j =1

.
Do X, Y kh¶ vi và (Ui, Uj) khả vi với i,j = 1..2 (X, Y) là hàm khả
vi trong lân cận U của điểm p. Vậy khả vi trong lân cận mỗi điểm thuộc S2.
Từ đó ta có là dạng symplectic trên S2 hay (S2, ) là đa tạp symplectic.
2.4. ánh xạ symplectic.
2.4.1. Định nghĩa. Giả sử (M1, 1), (M2, 2) là các đa tạp symplectic 2nchiều và ánh xạ g : M1 M2 là vi phôi. Khi đó g gọi là ánh xạ symplectic nếu
g*2 = 1
2.4.2. Định lý Darboux (định lý 8.1, [1] )
Giả sử (M, ) là đa tạp symplectic 2n- chiều và p là điểm bất kỳ trong M.
n

Khi đó có bản ®å (U, x1, . . ., xn, y1, . . ., yn) t©m p sao cho ω = ∑ dx i dy i .
i =1

2.5. Phân thớ đối tiếp xúc.
Cho X là đa tạp n chiều, xX, TxX = {v/ v tiếp xúc x tại x}.
Không gian đối ngẫu:
T * X = {f tuyÕn tÝnh: TxX → R}
x
KÝ hiÖu M =

*
Tx X

x
X

= T*X


Với bản đồ (U, x1, . . ., xn), trong ®ã xi : U → R thì TxX có cơ sở { }x, T *
x
x
i

X có cơ sở {dxi}x
n

Nếu T * X thì = ∑ ξ i (dx i ) x , ξi∈R
x
i =1


16

Khi đó có sự tơng ứng:

*
Tx X

x
U

= T*U R2n

(x, ξ )  (x1, . . ., xn, ξ1, . . ., n)
Từ sự đồng nhất này ta có (T*U, x1, . . ., xn, ξ1, . . ., n) trở thành bản đồ trên

T*X. Các tọa độ x1, . . ., xn, ξ1, . . ., ξn lµ các tọa độ đối tiếp xúc kết hợp với các
tọa độ x1, . . ., xn trên U.
'
Hàm chuyển khả vi: (U, x1, . . ., xn) vµ (U ' , x 1 , . . ., x 'n ) là các bản đồ trên

X và x U U ' , ξ∈T * X th×
x
 ∂x 

n

n

i
ξ = ∑ ξ i (dx i ) x = ∑ξi  ∂x ' (dx 'j ) x = ∑ξ'j (dx 'j ) x


i, j
j =1
i =1
j













∂x
'
víi ξ = ∑ξi  'i  (*), j = 1..n
j
 ∂x 
i
j
'
j
Tõ (*) ⇒ ξ lµ hàm khả vi với mọi j = 1..n hàm chuyển khả vi.

Vậy T*X là đa tạp 2n- chiều gọi là phân thớ đối tiếp xúc.
n

Ta định nghĩa 2- dạng trên T*U xác định bởi = dx i ∧ dξ i .
i =1

DƠ thÊy 2- d¹ng ω trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ và 2- dạng
là symplectic. Từ đó (T*X, ) là đa t¹p symplectic.


17

Chơng II. đa tạp contact
Có thể xem hình học contact là tơng tự của hình học Symplectic với số
chiều lẻ, chúng ta nghiên cứu các kiến thức cơ sở của đa tạp contact và mối

quan hệ của nó với đa tạp symplectic.

Đ1 Dạng contact
1.1. Định nghĩa. yếu tố contact trên đa tạp M là điểm pM cùng với siêu
phẳng tiếp xóc t¹i p, HP ⊂ TPM.
1.2. NhËn xÐt. (p, HP) lµ u tè contact ⇔ HP = kerαP víi αP : TPM R
ánh xạ tuyến tính 0.
Chứng minh:

{
x i

Giả sử (p, HP) là yếu tố contact, với tọa độ địa phơng (x1, . ., xn) ta có
p}

n
i =1

là c¬ së cđa TPM. VÐc t¬ v(v1, v2, . ., vn) ∈ TPM , v ∈ HP khi vµ chØ
n

khi tháa m·n ∑ v i x i = 0 .
i =1

Xét ánh xạ P : TPM R
n

v i

i =1

x i



n

v i x i

i =1

Dễ thấy P là ánh xạ tuyến tính, P 0 và kerP = HP
-

Giả sử HP = kerαP víi αP : TPM → R ¸nh xạ tuyến tính 0. Ta có

kerP TPM và dim(imαP) =1 ⇒ dim(kerαP) = dimTPM -1 ⇒ kerαP lµ siêu
phẳng của TPM hay HP là siêu phẳng của TPM ⇒ (p, HP) lµ yÕu tè contact.
{ Kerαp = Kerα’P P = P , R/{0}. }
1.3. Định nghĩa. Trờng H các yếu tố contact gọi là khả vi nếu với mỗi pM,
tồn tại lân cận Up và n-1 trờng véc tơ khả vi X1, . . ., Xn-1 trªn Up sao cho


18

{X1(q), . . ., Xn-1(q)} là cơ sở của Hq, với mọi q Up.
1.4. Mệnh đề. Trờng H các yếu tố contact trên đa tạp M là khả vi khi và
chỉ khi với mỗi x M, tồn tại tập mở Ux và dạng trên Ux sao cho Hy =
kery, với y Ux.

Chứng minh.
e) Giả sử trờng H các yếu tố contact là khả vi với mỗi pM, tồn tại lân
cận Up với hệ tọa độ địa phơng x1, . . ., xn và n-1 trờng véc tơ khả vi độc lập
tuyến tính X1, . . ., Xn-1 trên Up.
n



Khi đó, Xi = a ij x với aij là hàm khả vi trên Up, i = 1..n
j=
1
j

1
x

Xét Xn =


2
x

a11
a12
...
...
a(n-1)1 a(n-1)2

∂
∂1

= x

a12
...
a(n-1)2

...

∂
∂ n
x

...
...
...

a1n
...
a(n-1)n

...
...
...

a1n
∂
...
∂
x
+...+

a(n-1)n

n

a11
...
a(n-1)1

...
...
...

a1(n-1)
...
a(n-1)(n-1)

KÝ hiÖu A =(aij).
Do {X1, . . ., Xn} là hệ (n-1) trờng véc tơ khả vi độc lập tuyến tính nên sẽ
tồn tại ít nhất một định thức con cấp (n-1) của A khác 0 Xn 0 và Xn là trờng
khả vi trên Up.
Ta cã:

ai1
ai2
a11
a12
...
...
a(n-1)1 a(n-1)2

...
...
...
...

ain
a1n
. . . = 0, i = 1 . . n
a(n-1)n


19

hay
ai1

a12
...
a(n-1)2

...
...
...

a1n
...
a(n-1)n

+..+ a
in

a11
...
a(n-1)1

...
...
...

a1(n-1)
...
a(n-1)(n-1)

=0

tøc <Xi, Xn> = 0 nÕu xem Xi vµ Xn nh là các véc tơ trong Rn và <.,.> là tích vô
hớng chính tắc trên Rn {X1, . . ., Xn-1, Xn} ®éc lËp tuyÕn tÝnh hay {X1, . .,
Xn-1, Xn }y là cơ sở của TyM, với ∀y∈U.
XÐt 1- d¹ng α: α(Xi) = 0, i=1,..,(n-1)
α(Xn) = 1
Ta có khả vi và Hy = kery, với mọi yU.
f) Giả sử với mỗi x M, tồn tại tập mở Ux và dạng trên Ux sao cho Hy
n

= kery, với y Ux. Trên Ux với hệ tọa độ x1, . ., xn, ta cã α = ∑ ϕ i dx i . Với
i =1

n

mỗi qUx, uq = iu i (

=1

n
∂
) q ∈TqM, αq(uq) = 0 ⇔ ∑ ϕ i (q )u i =0
∂x i
i =1
n

Tõ ®ã, Hp = kerαp = {(u1, . ., un)/ ∑ ϕ i u i = 0}.
i =1

Do αp ≠ 0 ⇒ ∃ϕi(p) ≠ 0, giả sử 1(p) 0 tồn tại lân cận Wp sao cho 1
0.
Trên Wp lấy các trờng véc t¬:
ϕ2

V1= ( − ϕ , 1, 0, . . .,0)
1

ϕ3

V2= ( − ϕ , 0, 1, 0, . .,0)
1

.....
ϕn

Vn-1 = ( − ϕ , 0, . . .,0, 1)
1

Wp


20

⇒ {V1, . . ., Vn-1} ®éc lËp tuyÕn tÝnh khả vi trên Wp yếu tố contact H khả
vi. (đfcm)
Giả sử H là trờng khả vi các yếu tố contact (trờng khả vi các siêu phẳng
tiếp xúc) trên M:
H : P HP TPM
Một cách địa phơng, H = ker, là 1- dạng đợc gọi là 1- dạng xác định địa
phơng đối với H ( không duy nhÊt: kerα =kerfα víi f : M → R kh«ng triệt tiêu
tại mọi điểm )
1.5. Định nghĩa. Cấu trúc contact trên M là trờng khả vi các siêu phẳng
tiếp xúc H TM thỏa mÃn: với mỗi 1- dạng xác định địa phơng , ta có d
H

không suy biến.
Cặp (M, H) đợc gọi là đa tạp contact và đợc gọi là dạng contact địa phơng
1.6. Mệnh đề. Giả sử H là cấu trúc contact trên đa tạp M với dạng contact

địa phơng . Khi đó :
i) Với mỗi điểm p∈ M ta cã TPM = kerαp ⊕ kerdαp
ii) αpKerdαp không suy biến
Chứng minh:
i)


Kerp KerdP ={0}:

Đặt HP = kerP, ta cã kerdαP ={u∈TPM / dαP(u, v)=0, ∀v∈TPM }.
Víi vÐc t¬ u bÊt kú thuéc HP, u ≠ 0, do dαP

HP

kh«ng suy biÕn ⇒

{x ∈ HP / dαP(x,v)=0, ∀v∈HP }={0} vì thế sẽ tồn tại vHP TpM sao cho
dP(u,v) ≠ 0 ⇒ u ∉ kerdαP ⇒ kerαp ∩ kerdαP ={0}.
Với

v TPM sẽ phân tích đợc v = v1+v2 với v1 kerp và v2 kerdP :

Thật vậy, ánh xạ dP : TPM x TPM R là ánh xạ song tuyến tính phản xứng
nên tồn tại cơ sở {u1, . . ., uk,e1, . . ., en, f1, . . . ,fn } cña TpM sao cho :


21

- dαP(ui, v) = 0, ∀v∈TPM vµ ,∀i = 1..k
- dαP(ei, ej) = dαP(fi, fj ) = 0 ,∀i = 1..n , ∀j = 1..n
- dαP(ei, fj ) = δij ,∀i = 1..n , ∀j = 1..n
dαP

HP

: HP x Hp R là song tuyến tính phản xứng và dP

HP

không suy

biến dim(HP) =2n nên k = 1 và ker dαP=<u1>.
n

n

u
∑ v i e i +∑ v n+i fi + v 2 n+1 1
 
i =1
i =1

Víi v ∈TPM, v =

      
∈KerαP

∈KerdαP

⇒ TPM= Kerαp+ Kerdαp.
ii) Theo trên ta có kerdp = <u1> và kerp kerdαP ={0} ⇒ u1∉ kerαp ⇒
αp(u1) ≠ 0. VËy αpKerdαp không suy biến.
1.7. Mệnh đề. Giả sử H là trờng khả vi các yếu tố contact trên M, là 1dạng xác định địa phơng đối với H. Khi đó

dp

HP

không suy biÕn khi vµ chØ

 dimH P = 2n - chẵn
khi
(d p ) n Hp 0
Chứng minh:


Giả sử

dp

HP

không suy biến, khi đó:

g) Theo trên ta có dimHP=2n- ch½n.
*
*
*
h) (dαP)nHp ≠ 0: Gäi {u 1 , e 1 , . . ., e * , f 1 , . . ., f * } là cơ sở đối ngÉu víi
n
n

c¬ së {u1, e1, . . ., en, f1, . . ., fn} của TpM, dP là ánh xạ song tuyến tính phản
xứng trên TpM nên có dạng dP =
⇒ (dαP)n

HP

n

∑ e* ∧ f i*
i
i =1

*
= n! e1 ∧ f1* ∧ .. ∧ e* ∧ f n* ≠ 0.
n


22

dimH P = 2n - chẵn
Giả sử
, ta chØ ra dα
n
 (dα p ) Hp ≠ 0



p HP

ThËt vậy, giả sử

dp

HP

không suy biến:

suy biến U={uHP/ dp(u, v) = 0 , ∀v∈Hp}≠0.

Gi¶ sư U = <u1, . ., uk>, khi đó cơ sở của Hp là {u1, . ., uk,e1, . ., eh, f1, . ., fh}, h
h

< n ⇒ dαp = ∑ e * ∧ fi*
i
i =1
h

⇒ (dαp) = ( ∑ e * ∧ fi* )n = 0 , mâu thuẫn với giả thiết. Vậy
i
n

i =1

dp

HP

không suy

biến.
1.8. Mệnh đề. Giả sử H là trờng khả vi các yếu tố contact trên M thì H là
cấu trúc contat ⇔ α∧( dα )n ≠ 0 víi mäi 1- d¹ng xác định địa phơng .
Chứng minh:
( ) Với p ∈M ta cã :
TPM = Hp ⊕ Kerdαp, HP = Kerαp
dαP

H

kh«ng suy biÕn ⇒ (dαP)n

HP

≠0

⇒ ∃ u1, v1, … , un, vn ∈ HP: (dαP)n(u1, v1, … , un, vn) ≠ 0
αp

ker dαp

kh«ng suy biÕn ⇒ ∃ z ∈ kerdαp : αp(z) ≠ 0

Tõ ®ã ta cã:
(αp∧( dαP )n) ( u1, v1, … , un, vn, z ) = αp(z). (dαP)n(u1, v1, … , un, vn) ≠ 0
⇒ α∧( dα )n ≠ 0.
( ⇐ ) Gi¶ sư H = kerα một cách địa phơng và ( d )n 0, ta cần chỉ ra H
là cấu trúc contact:
Thật vậy, với mỗi điểm pM, tồn tại cơ sở {e1, f1,. ., en, fn, r} cña TpM tháa
m·n kerαp = Span< e1, f1, . ., en, fn>
Khi ®ã (α∧(dα)n)p (e1, f1, . . . , en, fn, r) = αp(r) (dα)np(e1, f1, . . . , en, fn).


23

Vì p(r) 0, từ đó (( d )n)p 0 ⇒ (dαP)nHp ≠ 0 ⇒ dαH kh«ng suy
biÕn ⇒ H là cấu trúc contact.

1.9. Định lý ( Định lý 10.4, [1] )
Giả sử ( M, H ) là đa tạp contact và p M, thì tồn tại hệ täa ®é (U,
x1, y1, . . . , xn, yn, z) tâm tại p thỏa mÃn:

n

= x i dy i + dz
i =1

là dạng contact địa ph-

ơng của H.
1.10. Định lý (Gray). Giả sử M là đa tạp compact, t với t [0, 1] là họ các
dạng contact khả vi trên M, giả sử Ht = Kert. Thì tồn tại phép hợp luân : M
x R → M tháa m·n Ht= ρt*  H0 víi mäi 0 ≤ t ≤ 1.
Bỉ ®Ị: Ht = ρt*H0 ⇔ ρ * αt= utα0 víi hä ut : M → R, 0 t 1, hàm không
t
triệt tiêu tại mọi điểm.
Chứng minh :
( ) Giả sử * t = utα0,
t
Víi mäi p ∈ M, víi v ∈ ρt*H0P ⇒ ∃v1∈H0P : ( ρt* )p(v1)=v , ta cã:
αtP(v) = αtP(( ρt* )p(v1)) = (ρ * αt)p(v1)
t
= (u0α0)p(v1) = u0(p)(α0)p(v1) =0
⇒ v ∈ HtP ⇒ ( ρt* .H0)p ⊂ Htp ⇒ ( ρt* .H0) ⊂ Ht (*).
Víi mäi p ∈ M, víi v ∈ HtP, ta cã :
(utα0)p( ρt* p )-1(v) = (ρ * αt)p(( ρt* )-1p(v))
t
= (αt ρt* ( ρt* )-1)p(v) = αtp(v) = 0

⇒ ∃ v1 = ( ρt* p )-1(v) ∈ H0P, v = ( ρt* p )( v1)
⇒ v ∈ ( ρt* .H0)p ⇒ Ht p⊂ (ρt*.H0)p ⇒ Ht ⊂ (ρt*.H0) (**)
Tõ (*) vµ (**) ta cã Ht= ρt*.H0.
( ⇒ ) Gi¶ sư Ht= ρt*H0,
∀v ∈Kerα0 ⇒ ∃v1 ∈ Ht: v1 = ρt*(v)


24

⇒ ρ * αt(v) = αt(ρt*(v)) = αt(v1) = 0 ⇒ kerρ * αt ⊂ kerα0. (1)
t
t
∀v1∈ Kerρ * αt hay ρ * αt(v1) = 0 ⇒ αt(ρt*(v1)) = 0 ⇒ ρt*(v1) ∈ Ht.
t
t
V× Ht= ρt*H0 ⇒ ρt*(v1) ∈ ρt*H0 ⇒ v1 ∈ H0 ⇒ kerα0⊂ kerρ * αt (2)
t
Tõ (1) vµ (2) ta cã kerα0 = kerρ * αt ⇒ ρ * αt = utα0, víi ut : M R hàm
t
t
không triệt tiêu tại mọi điểm.
Chứng minh định lý:

Ta cần tìm

0 = id

t thỏa mÃn d
d
(ρ *tα t ) = u t α 0

 dt
dt
d *
(ρt αt ) = ρ* ( Lv t
t
dt

ThËt vËy : với phép hợp luân ta có :
với vt=

t +

d t
)
dt

dt 1
t là trờng véc tơ tạo bởi phép hợp luân t. Ta sẽ tìm vt từ Ht =
dt

kert sau đó lấy tích phân nó để tìm t.
Ta giải phơng tr×nh:
ρ* ( Lv t αt +
t

dα t
d
) = dt u t α0
dt

Thay Lv t αt = div t αt + iv t dαt vµ α0 =
ρ* ( div t αt + iv t dt +
t

1 *
t t
ut

vào phơng trình ta cã:

1
dα t
du
t
) = t ⋅ u ρ*αt
dt
dt
t

Do iv t t là hàm đồng nhất bằng 0 với vt kerαt ⇒ div t αt = 0
⇒

ρ* ( iv t dαt +
t

dα t
du t 1 *
) = dt ⋅ u t ρt αt
dt

dα t
du t
t
⇔ (iv t dαt + dt ) = (ρ* ) −1 ( dt

⋅

1
)αt
ut

du
Thu hĐp trªn Ht = kerαt, do (ρ* ) −1 ( t
t
dt

⋅

1
)αt
ut

HP

= 0 nªn ta cã:


25

iv t dt

Do dt

HP

HP

d t

= - dt

(*)

không suy biến nên phơng trình (*) có 1 nghiệm vt duy nhất.

Theo giả thiết M là đa tạp compact nên từ phơng trình vi phân

dt
= vt ta
t
dt

sẽ tìm đợc t.
Từ * t = ut0 tìm đợc ut : M R là hàm không suy biến tại mọi điểm.
t
Vậy ta đà tìm đợc phép hợp luân và {ut}thỏa mÃn * t = ut0. áp dụng bổ
t
đề ta có phép hợp luân t : M x R M tháa m·n Ht = ρt*  H0 víi mäi 0 ≤ t
≤ 1 (®fcm)

26

Đ2 một số ví dụ về đa tạp contact
2.1. Trên R3 víi täa ®é ( x, y, z ), xÐt α = xdy + dz
Do α∧ dα = ( xdy + dz ) ∧ ( dx ∧ dy ) = dx ∧ dy ∧ dz ≠ 0 ⇒ α lµ dạng tiếp
xúc trên R3.
Trờng tơng ứng của siêu phẳng H = Ker tại ( x, y, z ) là :










H(x, y, z) = v = a ∂x + b ∂y + c ∂z α( v) = bx +c = 0=< v1, v2>|(x, y, z)


Víi v1 = (1, -1, x) vµ v2 =(1, -2, 2x).
n

2.2. Trên R2n+1 với tọa độ ( x1, y1, . . . , xn, yn, z ), xÐt α = ∑ x idyi + dz
i =1

Ta cã α∧( dα )n = n!dx1 ∧ dy1 ∧ dx2 ∧ dy2 ∧. . . ∧ dxn ∧ dyn ∧dz ≠ 0
là dạng contact trên Rn.
2.3. Đa tạp các yếu tố contact.
Cho đa tạp X n chiều, có đa tạp symplectic 2n chiều liên kết với nó, gọi là

phân thớ đối tiếp xúc với cấu trúc symplectic chuẩn tắc. Ví dụ này chỉ ra rằng
cũng có đa tạp contact chính tắc 2n-1 chiều liên kết với X.
Đa tạp các yếu tố contact của đa tạp n chiều X là :
C={(x,x)/ x X và x là siêu phẳng của TxX }
Ta chứng minh C là đa tạp contact.
Xét P*X = (T*X\{0})/∼ , (x,ξ) ∼(x, ξ’) khi ξ=λξ’ víi λ ∈R\{0}.
Chóng ta biểu thị phần tử của P*X bằng (x, [] ), []: lớp tơng đơng với .
Mệnh đề: C đẳng cấu tự nhiên với P*X nh là phân thớ trên X.
Chứng minh:


Chứng minh P*X là đa tạp:

T*X\{0} là không gian tôpô P*X = T*X\{0}/ là không gian tôpô với tôpô
thơng.

Giả sử U = {(U, x )} I là atlat cña X.