DE THI HOC SINH GIOI MON TOAN 9 2012 2013 08 03

<span class='text_page_counter'>(1)</span>kú thi häc sinh giái cÊp tØnh m«n To¸n líp 9 n¨m häc 2012-2013 Thêi gian lµm bµi : 150 phót (không kể thời gian giao đề) Bµi 1. x  3  2 x2  9 2 Rót gän biÓu thøc M =  2 x  6  x  9 víi x   , x < - 3.. Bµi 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 3. 2x  1 . 3. x 1 1. Bµi 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đờng thẳng (dm) xác định bởi phơng trình: 2. (m-1)x + (m+1)y = 2(m  1) víi m lµ tham sè. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm gèc to¹ độ O đến đờng thẳng (dm). Bµi 4. Cho đờng tròn (O; R), dây BC cố định (BC < 2R). Điểm A di chuyển trên . cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đờng cao BD và CE cña tam gi¸c ABC, chóng c¾t nhau t¹i H. 1. Chøng minh: CH.CE + BH.BD = BC2. 2. Chứng minh rằng đờng thẳng qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định. Bµi 5. Tìm tất cả các số nguyên dơng x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện : x + y + z > 11 vµ 8x + 9y + 10z = 100 Bµi 6.. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 víi x R. ------------------------ HÕt -------------------------. híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh m«n to¸n líp 9 n¨m häc 2012-2013 Bµi. S¬ lîc lêi gi¶i. Cho ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bµi 1 3,5 ®iÓm. 2 Víi x < -3, cã: x+3 + 2 x  9 =  ( x  3) .  ( x  3) + 2.  ( x  3) . 3  x. =  ( x  3) .(  ( x  3) + 2 3  x ) 2. vµ 6-2x + x  9 = … = 3  x .(2 3  x +.  ( x  3). 1,0 ® 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ®. ). Từ đó suy ra M =  ( x  3) / 3  x hay M = ( x  3) /( x  3) Bµi 2 3,5 ®iÓm. 3. 3. §Æt 2 x  1 = a, x  1 = b, ta cã hÖ: a - b = 1; a3 - 2b3 = 1. Giải hệ trên, tìm đợc b = 0, a = 1 Từ đó tìm đợc nghiệm x =1. Vậy phơng trình có duy nhất nghiệm x =1 Chú ý: HS có thể giải bẳng cách lập phơng 2 vế, nhng khi biến đổi ph/tr sẽ có phép biến đổi không tơng đơng nên nếu thí sinh không thử lại trớc khi kết luận về nghiệm của ph/tr đã cho thì trừ 1,5 điểm.. Bài 3 * Với m = 1, (dm) có ph/trình y = 1 => là đờng thẳng // với Ox, cắt Oy tại 3 điểm điểm có tung độ y = 1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 1 * Với m = -1, (dm) có ph/trình x = -1 => là đờng thẳng // với Oy, cắt Ox tại điểm có hoành độ độ x = -1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 1. 1,0 ® 2,0 ® 0,5 ® 1,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ®. 2. * Với m  1, tìm đợc (dm) cắt Ox tại điểm A( 2(m  1) /(m-1); 0) và cắt 2. Oy t¹i ®iÓm B(0; ( 2(m  1) /(m+1)). 2 Trong OAB vuông tại O, kẻ đờng cao OH, có OA= 2(m  1) /(m-1) , 2 OB =  2(m  1) /(m-1) , 2 2 d(O; dm) = OH = OA.OB/AB = OA.OB/ OA  OB từ đó tính đợc OH = 1 với mọi m  1. VËy OH = 1 víi mäi m.. 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ®. Bµi 4.1 Gäi K lµ giao cña AH víi BC, suy ra AK  BC vµ K ë gi÷a B vµ C. 2,5 Chứng minh đợc: CH.CE = CK.CB; BH.BD = BK.BC ®iÓm Suuy ra: CH.CE + BH.BD = CK.CB + BK.BC = BC(CK + BK) = BC2.. 0,5 ® 1,5 ® 0,5 ®. Bài 4.2 Kẻ Ax là tiếp tuyến với đờng tròn (O; R) tại A. 2,5 Cã ∠ ABC = ∠ EDA; ∠ ABC = ∠ CAx ®iÓm => ∠ EDA = ∠ CAx => Ax // ED do đó đờng thẳng At qua A và vuông góc với DE phải vuông góc với Ax suy ra At đi qua tâm O của đờng tròn (O; R) là điểm cố định (đpcm !). 1,0 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ®. H×nh vÏ bµi 4:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A. E. x. D O. B. Bµi. H. K. C. S¬ lîc lêi gi¶i. Bµi 5 Cã: 8x+8y+8z < 8x+9y+10z =100 => x+y+z < 100/8 < 13 2 ®iÓm cïng víi gi¶ thiÕt, cã 11< x+y+z < 13, nhng x+y+z  Z => x+y+z = 12 Ta cã hÖ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z = 100 (2). Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), đợc: y+2z = 4 (3) Tõ (3) suy ra z = 1 (v× nÕu z ≥ 2 th× do y ≥ 1 => y+2z ≥ 4, m©u thuÉn) Với z = 1, tìm đợc y = 2 và x = 9. Thử lại, thấy đúng. Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn. Bài 6 Biến đổi đợc F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 = (x2 - x + 1)2 +1 2 ®iÓm = ((x-(1/2))2 + 3/4)2 + 1 víi x R. 2 Do (x-(1/2)) 0 víi xR =>F(x) =((x-(1/2))2 +3/4)2 25/16 víixR F(x) = 9/16 khi x = 1/2 VËy F(x) nhá nhÊt = 25/16.. Cho ®iÓm 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ®. C¸c chó ý khi chÊm: 1. Híng dÉn chÊm nµy chØ tr×nh bµy s¬ lîc mét c¸ch gi¶i. Bµi lµm cña häc sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa. 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. 3. Cã thÓ chia nhá ®iÓm thµnh phÇn nhng kh«ng díi 0,25 ® vµ ph¶i thèng nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không lµm trßn..

<span class='text_page_counter'>(4)</span>