DE DAP AN KS DOI TUYEN TOAN 9 LAN 2 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU. ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút (không kể giao đề). Câu 1(2điểm): 1 12  135 3 12  135   x  1 3  3 2  3 3 3   .Tính M= 9 x - 9 x - 3. . . 2. a) Cho b) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: 4x 2  4mx  2m 2  5m  6 0. Câu 2(2điểm): 2 2 a) Giải phương trình: x +12  5 3x  x + 5.  x 3  3x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y   2 1 2 x  y  x  y  2 b) Giải hệ phương trình: . Câu 3(2điểm): a). x = 2x  x - y  + 2y - x + 2. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn: b) Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng các ước số tự nhiên của p4 là một số chính phương. Câu 4(3điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a) Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng. c) Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài lớn nhất. Câu 5(1điểm) Cho ba số dương x, y, z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM Câu. Ý a. Nội dung. Điểm. 1 12  135 3 12  135   x  1 3   3 3 3 M= 9 x3 - 9 x 2 - 3   Cho .Tính. . 1 12  135 3 12  135   x  1 3   3 3 3   Từ  12  135 12  135   3 x  1  3 3  3 3 . 1,00. 2013. ..    .  12  135 12  135  3    3x  1  3 3   3 3   3   3 x  1 8  3  3 x  1. Câu 1. . 3.  9 x3  9 x 2  2 0  M   1 b Điều kiện để phương trình có nghiệm:. 2013.  1.  x ' 0.  m   5m  6 0  (m  2)(m  3) 0 . Vì (m - 2) > (m - 3) nên:  x ' 0  m  2 0 vµ m  3 0  2 m 3, mµ m  Z  m = 2 hoặc m = 3. Khi m = 2  (loại). Vậy m = 2..  x ' = 0  x = -1 (thỏa mãn); Khi m = 3   x ' = 0  x = - 1,5. Câu 2. b.  x3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y   2 1 2 x  y  x  y   2. Đặt t = -x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> t 3  y 3  3t 2  3 y 2  9(t  y ) 22  2 1 2 t  y  t  y  2 Ta có  . Đặt S = y + t; P = y.t 3 2  S  3PS  3( S  2 P)  9 S 22  S 3  3PS  3( S 2  2 P)  9 S 22     2 1 1 2 1 S  2P  S   P  (S  S  ) 2  2 2 Suy ra  2 S 3  6S 2  45S  82 0    1 2 1  P  (S  S  )  2 2. 3  P  4   S  2. . Vậy nghiệm của hệ là.  3 1  1  3  ;   ; ;   2 2  2 2 . Câu 2: b Câu 3 x = 2x  x - y  + 2y - x + 2. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn: x = 2x  x - y  + 2y - x + 2  x 2 2x  x - y  + 2y - x + 2 Vì x > 0 nên  2 y ( x  1) x 2  x  2. (1). - Với x = 1 , (1) không được thoả mãn -. Với. x 1 ,. (1)  2 y x . 2( x  1)    * * x  Z  Z    Vì x, y. 2 x 1.  x  1  1; 2  *  x   2;3  x  Z .Hai giá trị này của x thay vào (1) đều. cho y = 2  x 3  Vậy các giá trị nguyên dương x, y cần tìm là x  y 2 và  y 2. Câu 4: Lời giải:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 5:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>