HINH HOC KHONG GIAN LTDH ThS Nguyen Van Bay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG. I. Hình tam giác: 1. Trọng tâm: là giao ñiểm của ba ñường trung tuyến. AG BG CG 2 = = = AA' BB' CC' 3. Tính chất:. 2. Trực tâm: Là giao ñiểm của ba ñường cao. 3. Tâm ñường tròn ngoại tiếp: Là giao ñiểm của ba ñường trung trực. 4. Tâm ñường tròn nội tiếp: là giao ñiểm của ba ñường phân giác. 5. Diện tích: S=. 1 ab.sinC 2. =. 1 bc.sinA 2. = 1 ac.sinB 2. abc S = 4 R = pr. S = p ( p − a )( p − b)( p − c) S=. 1 1 1 aha = bhb = chc 2 2 2. Trong đó a = BC, b = AC, c = AB; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC; p =. a+b+c laì nửa chu vi tam giaïc vaì ha laì 2. đường cao hạ từ đỉnh A. 6. Tính chất đường trung bình: Nếu M, N lần lượt là trung điểm của hai caûnh AB vaì AC cuía ∆ ABC thç MN // BC.. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 85.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. 7. Định lý Talet: Nếu M, N lần lượt là các điểm thuộc hai cạnh AB và AM. AN. AC cuía ∆ ABC sao cho AB = AC thç MN // BC 6. Các tam giác ñặc biệt: a) Tam giác vuông: + ðịnh lý Pitago: a2 = b2 + c2 + Hệ thức ñường cao: 1 1 1 = 2 + 2 2 h b c. + Hệ thức lượng trong tam giác vuông: sin B =. AB AC AC cos B = tan B = , , BC BC AB. b) Tam giác ñều: + Ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau. + Ba ñường trung tuyến ñồng thời là ba ñường cao, ba ñường phân giác, ba ñường trung trực. II. Hình thang: 1) + Hai cạnh ñáy song song với nhau 1. + Diện tích: S = 2 (a + b)h 2) Hình thang cân: + Hai cạnh bên bằng nhau. + Hai góc ở ñáy bằng nhau. III. Hình bình hành: + Hai cặp cạnh ñối song song và bằng nhau. + Giao ñiểm của hai ñường chéo là tâm ñối xứng. + Hai cặp góc ñối bằng nhau. + Diện tích: S = ah. III. Hình thoi: + Là hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau. + Tính chất: Hai ñường chéo vuông góc với nhau. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 86.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. 1. + Diện tích: S = ah hoặc S = 2 AC.BD IV. Hình chữ nhật: Là hình bình hành có một góc vuông. V. Hình vuông: Là hình thoi có một góc vuông. + Tính chất: Hai ñường chéo vuông góc với nhau. AC = BD = a 2 + Diện tích: S = a2 ( a là ñộ dài cạnh hình vuông). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 87.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. § 1 THỂ TÍCH CỦA KHỐI ðA DIỆN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I. THỂ TÍCH CÁC KHỐI ðA DIỆN: 1. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT: Khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b và có thể tích là: V = a.b.c. 2. THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ: Khối lăng trụ có diện tích ñáy là S và chiều cao bằng h có thể tích là: V = S.h 3. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP: Khối chóp có diện tích ñáy bằng S và chiều cao bằng h có thể tích là: 1 V = S.h 3 II. CÁC HÌNH HÌNH HỌC CẦN NHỚ: 1. HÌNH CHÓP: 1. Hình chóp đều: ĐN: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau Đặc điểm: + Các mặt bín là các tam giác cân. + Các cạnh bên nghiêng đều với đáy. + Các mặt bên nghiêng đều với đáy. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 88.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Đường cao: Đoạn thẳng nối một đỉnh và tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đối diện là diện cao. 2. Hình chóp tam giác đều: Đặc điểm: + Các cạnh bên bằng nhau. + Âaïy laì tam giác ñều + Các cạnh bên nghiêng đều với đáy. + Các mặt bên nghiêng đều với đáy. Đường cao: Là đoạn thẳng nối đỉnh và tám cuía âaïy. 2. Hình chóp tứ giác đều: Đặc điểm: + Các cạnh bên bằng nhau. + Âaïy laì hçnh vuäng. + Các cạnh bên nghiêng đều với âaïy. + Các mặt bên nghiêng đều với đáy. Đường cao: Là đoạn thẳng nối đỉnh vaì tám cuía âaïy. 2. HÌNH LĂNG TRỤ: a) ðịnh nghĩa: Kí hiệu: ABCD.A’B’C’D’ Đặc điểm: + Cạnh bên song song với nhau. + Các mặt bên là các hình bình hành. + Hai đáy là hai đa giác bằng nhau . và nằm trên hai mặt phẳng song song. Đường cao: Bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy. b) Lăng trụ đứng: Đặc điểm: + Caïc caûnh bãn vuäng goïc hai âaïy. + Các mặt bên là các hình chữ nhật. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 89.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. + Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. Đường cao: Mỗi cạnh bên AA’, BB’, CC’ ... là một đường cao. III. Lăng trụ đều: Lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều gọi là lăng trụ đều. IV. Hçnh häüp: Đặc điểm: + Các mặt là các hình bình hành. + Tâm là giao điểm bốn đường chéo. B. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có ñường cao hạ từ A ñi qua trọng tâm G của tam giác BCD. Biết rằng tam giác ACD ñều, tam giác BCD vuông cân tại B và CB = a, hãy tính theo a thể tích của tứ diện. Giải Gọi M là trung ñiểm của CD, tam giác BCD vuông cân tại B nên : a 2 a 2 và GM = 2 6 a 6 AM = Tam giác ACD ñều nên : . 2. CD = a 2 , BM =. Tam giác AMG vuông tại G nên: AG =. AM 2 − GM 2 =. a 13 3. Do ñó thể tích khối tứ diện ABCD là: 1 1 a 13 V = . BM .CD. AG = (ñvtt) 3 2 18 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc
ACB = 600. ðường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ theo b. Giải Ta có : BA ⊥ AC (do ∆ ABC vuông tại A) BA ⊥ AA ' ( vì AA ' ⊥ (ABC)) ⇒ BA ⊥ (AA ' C 'C) Suy ra góc BC 'A là góc giữa BC ' và mặt phẳng (AA ' C 'C), ∆ ABC ' vuông góc tại A . Ta có ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 90.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. AB = AC. tgC = b 3 ; AC ' = AB.cotgC ' = b 3 cotg300 = 3b Sñáy =. 1 AB.AC 2. b2 3 = h = CC ' 2. = AC ' − AC = 9b − b = 2b 2 Như vậy thể tích khối lăng trụ là 2. 2. 2. b2 3 V= .2b 2 = b3 2. 2. 6. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ñáy lớn AD = 2a, ñáy nhỏ BC = a và góc
ADC = 600 . Biết rằng SA ⊥ (ABCD) và SB = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 2: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B.C’ có tam giác ABC cân tại A, AB = a
= 1200 . Biết rằng diện tích hình chữ nhật AA’B’B bằng 2a2. Tính thể và BAC tích khối lăng trụ ABC.A’B.C’. Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B.C’ có AB = a; tam giác A’AB
' = 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B.C’. có A’A = 2a và góc BAA Bài 4: Cho hình chóp ñều S.ABCD có AB = a, tam giác SAC có diện tích bằng 2a2. Tính thể tích khối chóp S.ANCD.. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 91.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. § 2 CHỨNG MINH ðƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: Âịnh Lý 1: a ⊥ mp(P) ⇒ ∀ b ⊂ (P) ta coï: a ⊥ b Phát biểu: Nếu ñường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với mọi ñường thẳng nằm trong mp(P). Âịnh Lý 2: + Nếu a ⊥ (P) và (P) //(Q) thì a ⊥ (Q). + Nếu a // b và b ⊥ (P) thì a ⊥ (P). + Nếu a ⊥ b, (P) ⊥ b và a và (P) cùng ñi qua ñiểm M thì A ⊂ (P) Phæång phaïp chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng:. a caét b   a, b ⊂ ( P )  ∆ ⊥ a, b . ⇒ ∆ ⊥ mp(P). Phát biểu: Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên mặt phẳng. B. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), tam giác BCD vuông tại C. a) Chứng minh: CD ⊥ (ABC) b) Kẻ BH ⊥ AC, chứng minh BH ⊥ (ACD). Giải a) Ta có AB ⊥ (BCD) ⇒AB ⊥ CD (1) Tam giác BCD vuông tại C nên BC ⊥ CD (2) Từ (1) và (2) suy ra CD ⊥ (ABC) b) Theo chứng minh câu a): CD ⊥ (ABC) ⇒ CD ⊥ BH (3) Theo cách dụng H, ta có AC ⊥ BH (4) Từ (3) và (4) suy ra BH ⊥ (ACD).. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 92.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, (ABCD). a) Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB) và CD ⊥ (SAD). b) Dựng AH ⊥ SB, H ∈ SB và AK ⊥ SD, K ∈ SD. Chứng minh rằng AH ⊥ (SBC), AK ⊥ (SCD). Giải. SA ⊥. a) Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC (1) (2) Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC Từ (1) và (2) suy ra: BC ⊥ (AB). Tương tự: CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật) và CD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)) nên CD ⊥ (SAD). b) Theo câu a) ta có: BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AH (3) Theo giả thiết:AH ⊥ SB (4) Từ (1) và (2) ta có AH ⊥ (SBC) Tương tự AK ⊥ SD (theo giả thiết) và AK ⊥ CD (do CD ⊥ (SAD)) nên AK ⊥ (SCD). C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
ABC = 600 . Biết rằng hai tam giác SAC và SBD cân tại S và SA = 3a. a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD). b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và AC ⊥ (SBD). c) Tính diện tích hình thoi ABCD và diện tích tam giác SBD. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC). b) Dựng AH ⊥ SC (H ∈ SC). Tính ñộ dài AH. c) Gọi M là trung ñiểm SD. Chứng minh rằng AM ⊥ (SCD). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 93.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ñáy lớn AD = 2a, BC = a. Biết rằng SA ⊥ (ABCD), M là trung ñiểm AC và góc
= 600 . SCA a) Chứng minh BM ⊥ (SAC). Tính ñộ dài SM. b) Tính diện tích hình thang ABCD và diện tích tam giác MCD.. § 3 CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: ðịnh lý: Nếu ñường thẳng ∆ vuông góc với mp(P) thì mọi mặt phẳng chứa ∆ ñều vuông góc với mp(P). Cách chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau: ∆ ⊂ mp (Q) ⇒ mp ( P) ⊥ mp (Q )  ∆ ⊥ ( P )  Phát biểu: Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta cần chỉ ra trong mặt phẳng này có chứa một ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. B. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Ví dụ 1: Cho hình chóp ñều S.ABCD. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và H là hình chiếu của O lên ñường thẳng SC a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC). b) Chứng minh (HBD) ⊥ (SBC). Giải. a) Do S.ABCD là hình chóp ñều nên SO ⊥ (ABCD). Do ñó SO ⊥ BD Lại có: ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC. (1) (2). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 94.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Từ (1) và (2) suy ra BD ⊥ (SAC). Do ñó (SBD) ⊥ (SAC) (do DB ⊂ (SBD)) b) Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SO nên BD ⊥ (SAC). Suy ra BD ⊥ SC (3) Theo cách dựng OH ⊥ SC (4) Từ (3) và (4) suy ra: SC ⊥ (HBD). Do ñó (HBD) ⊥ (SBC). Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a và AB = a. Gọi M là trung ñiểm BC. a) Chứng minh rằng (ABC) ⊥ (A’AM). b) Dựng AH ⊥ A’M. Tính diện tích tam giác A’AM và ñộ dài AH. Giải. a) Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ ñều nên tam giác ABC là tam giác ñều và các cạnh bên AA’, BB’ và CC’ vuông góc mặt ñáy. (1) Do tam giác ABC ñều và M là trung ñiểm BC nên BC ⊥ AM Do AA’ ⊥ (ABCD) nên AA’ ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (A’AM) nên (ABC) ⊥ (A’AM). 2. a 3 a b) Tam giác vuông ABM ta có: AM = AB − BM = a −   = 2 2 Tam giác A’AM vuông tại A nên có diện tích là: 1 1 a 3 a2 3 S A' AM = A ' A. AM = .2a. = 2 2 2 2 3a 2 a 19 2 2 Lại có: A ' M = AM + A ' A = + 4a 2 = 4 4 Tam giác A’AM ta có: a 3 2a. A ' A. AM 2 = 2 57 a . AH . A ' M = A ' A. AM ⇒ AH = = A' M 19 a 19 2 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 2. 2. 2. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 95.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥
= 600 . (ABCD) và góc SCA a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAB) và (SCD) ⊥ (SAD). b) Chứng minh rằng (SBD) ⊥ (SAC). c) Tính diện tích tam giác SBD. d) Dựng OH ⊥ SC, H ∈ SC. Tính ñộ hài OH. Bài 2: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, AB = a. Tam giác ABC vuông tại A và
ABC = 300 . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm A’B’, A’C’ và K là trung ñiểm BC. a) Chứng minh rằng (AMN) ⊥ (A’AK). b) Tính diện tích hình thang MNCB.. § 4 DỰNG ðƯỜNG CAO CỦA HÌNH CHÓP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: TRƯỜNG HỢP 1: Hình chóp ñều thì ñoạn thẳng nối ñỉnh và tâm của ñáy là ñường cao. Hình chóp tứ giác ñều S.ABCD Hình chóp tam giác ñều. đáy ABCD là hình vuông SA = SB = SC = SD SO ⊥ (ABCD) TRƯỜNG HỢP 2: Nếu có một mặt chứa ñỉnh S và vuông góc mặt ñáy thì dùng tính chất: Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là ñường thẳng (d) và M ∈ mp(Q).. đáy ABC là tam giác ựều SA = SB = SC SO ⊥ (ABC). H. (d ). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 96.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Nếu MH ⊥ (d) thì MH ⊥mp(P). MINH HỌA: Xét hình chóp S.ABCD có (SAB) ⊥ (ABCD). Ta tìm ñường cao như sau: + Giao tuyến của (SAB) và (ABCD) là AB. + Dựng SH ⊥ AB thì SH ⊥ (ABCD) Vậy ñường cao của hình chóp là SH. TRƯỜNG HỢP 3: Có hai mặt phẳng (α) và (β) chứa ñỉnh S và cùng vuông góc với mặt ñáy: + Tìm gia tuyến (∆) của (α) và (β). + Vì (α) và (β) cùng vuông ñáy nên (∆) vuông ñáy. MINH HỌA: Xét hình chóp S.ABCD. Nếu hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với mặt (ABCD) thì giao tuyến SB của hai mp(SAB) và (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABCD). TRƯỜNG HỢP 4: Nếu ñỉnh S cách ñều ba ñỉnh A, B và C ñồng thời ñiểm O thuộc mặt ñáy cũng cách ñều ba ñiểm A, B và C thì SO ⊥ (ABC).. TRƯỜNG HỢP 5: Có một ñường thẳng chứa ñỉnh S và vuông góc ñáy: nhận thấy ñường thẳng ñó vuông góc hai ñường thẳng cắt nhau thuộc mặt ñáy. MINH HỌA: Cho hình chóp ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 97.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành tâm O. SA = SC, SB = SD. Khi ñó: ∆SAC cân tại S nên SO ⊥ AC ∆SBD cân tại S nên SO ⊥ BD từ ñó ta ñược SO ⊥ (ABCD) Vậy SO là ñường cao của hình chóp S.ABCD. Ví dụ 1: Cho hình chóp S,ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm AB và BC. Biết rằng tam giác SAB ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.AMND theo a.. Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau và có giao tuyến là AB. Lại có SM ⊥ AB (vì ∆ ABC ñều) nên SM ⊥ (ABCD). 2. a 3 a Tam giác SAB ñều nên SM = SA − AM = a −   = . 2 2   1 1 Diện tíc tam giác BMN là S BMN = BM .BN = a 2 2 4 1 Diện tíc tam giác NCD là S NCD = NC.CD = a 2 2 Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD = AB.BC = 2a2 Do ñó diện tích tứ giác AMND là 1 3 S AMND = S ABCD − S BMN − S NCD = 2a 2 − a 2 − a 2 = a 2 4 4 1 1 3 2 a 3 a3 3 = Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V = S AMND .SM = . a . 3 3 4 2 8 2. 2. 2. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 98.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

= 600 và nằm trên mặt phẳng ABC = 600 . Tam giác SBD vuông tại S, góc SBD vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.AOMB biết rằng M là trung ñiểm của BC. Giải Do mp(SBD) vuông góc với mp(ABCD) và (SBD) ∩ (ABCD) = BD nên dựng SH ⊥ BD thì SH ⊥ (ABCD). Tam giác ABC cân tại B và
ABC = 600 nên a 3 ∆ABC ñều. Do ñó AC = a và BO = . 2 1 a 3 Dựng MN ⊥ OC thì MN = BO = 2 4 1 1a 3 1 a2 3 Do ñó diện tích tam giác OMC là: SOMC = MN .OC = . a= 2 2 4 2 16 2 1 1a 3 a 3 Diện tích tam giác ABC là S ABC = BO. AC = .a = 2 2 2 4 2 a 3 a 2 3 3 3a 2 Vậy diện tích tứ giác AOMB là S AOMB = S ABC − S MOC = − = . 4 16 4 0
Tam giác SBD vuông tại S, có SBD = 60 và BD = a 3 nên:
= SB ⇒ SB = BD.cos600 = a 3 cosSBC BD 2 Tam giác SBH vuông tại H nên:
= SH ⇒ SH = BD.sin 600 = a 3 . 3 = 3 a cosSBH SB 2 2 2 Vậy thể tích khối chóp S.AOMB là: 1 1 3 3a 2 3 3 3a 3 V = S AOMB .SH = . . a= 3 3 4 2 8 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang ñáy lớn AB, AB =
= 600 . Tính thể CB = AC = 2a và AD = a. Biết rằng SA = AB = AC và BSC tích khối chóp S.ABCD. Do SA = AB = SC và tam giác ABC ñều nên S.ABC là hình chóp ñều. Do ñó gọi O là tâm hình tham giác ñều ABC thì SO ⊥ (ABC). Gọi M là trung ñiểm AB thì CM ⊥ AB nên CM = CA2 − AM 2 = 4a 2 − a 2 = a 3 .. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 99.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Diện tích hình thang ABCD là 1 1 3 3a 2 S ABCD = ( AB + CD).CM = (2a + a )a 3 = . 2 2 2 Tam giác SBC cân tại S nên gọi N là trung ñiểm BC thì SN là ñường phân giác
nên CSN
= 300 . Tam giác vuông SCN ta có: của góc BSC
= CN ⇒ SN = CN = a 3 tan CSN SN tan 300 1 a 3 Tam giác ABC ñều nên ON = AN = 3 3 3 a 6 Tam giác SON vuông tại O nên SO = SN 2 − ON 2 = 3a 2 − a 2 = . 9 3 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 1 3 3a 2 a 6 a 3 2 V = S ABCD .SO = . = 3 3 2 3 2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang AB // CD, tam
= 1200 và DC = 1 a . giác SCB ñều cạnh bằng a và tam giác ABC cân tại A, BAC 2 Gọi N là trung ñiểm BC. Biết rằng hai mặt phẳng (SBC) và (SAI) cùng vuông góc với mp(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 100.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Hai mp(SBC) và (SAI) có giao tuyến là SN và cùng vuông góc với mp(ABCD) nên SN ⊥ (ABCD). a 3 Tam giác ABC ñều nên SN = SA2 − AN 2 = . 2
= 1200 nên Dựng CM ⊥ AB, M ∈ AB. Tam giác ABC cân tại A và BAC
= 300 . Do ñó: MBC
= CM ⇒ MC = BC.sin 300 = 1 a . sin MBC BC 2 Do ñó diện tích hình thang ABCD là 1 1 1 1 3a 2 S ABCD = ( AB + CD).CM = (a + a ). a = 2 2 2 2 8 Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 3a 2 a 3 a 2 3 . . V = S ABCD .SN = = 3 3 8 2 16 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB là tam giác ñều cạnh bằng a và nằm trong mặt mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng ABCD là hình bình hành, AB ⊥ AC,
ABC = 300 và M là trung ñiểm AB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ ñiểm M ñến ñường thẳng SC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a và AC = 2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC) và
= 600 . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ ñiểm A ñến ñường thẳng SBA SC. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a.
= 600 và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt Tam giác SAC có SA = a, SAC phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.AMND. Bài 4: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cân tại A, AB = 2a
= 1200 . Gọi M là trung ñiểm B’C’ và I là giao ñiểm của B’C và BM. và BAC Tính thể tích khối chóp I.ABC.. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 101.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. § 5 DỰNG MỘT MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT BÊN CỦA MỘT HÌNH CHÓP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Thực tế hay gặp: Với hình chóp S.ABCD có ñường cao SO. Ta dựng mặt phẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (SCD) như sau: + Từ O dựng OM ⊥ CD (Dựng từ hình chiếu O của ñỉnh S lên cạnh bên thuộc mặt phẳng) + Ta có: CD ⊥ OM và CD ⊥ SO nên DC ⊥ (SOM) Vì vậy mp(SCD) ⊥ (SOM). Mặt phẳng (SOM) là mp chứa O và vuông góc mp(SCD). Bây giờ muốn dựng mặt phẳng chứa A và vuông góc (SCD) ta dựng như sau: + Dựng AN // OM, N ∈ CD. + Dựng NK // SM, K ∈ SD thì mp(ANK) // (SOM) nên (ANK) ⊥ (SCD). Mặt phăngt (ANK) là mặt phẳng chứa A và vuông góc (SCD).. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
= 600 . Biết rằng hình chiếu vuông góc của ñỉnh S lêm mp(ABC) trùng với a, ABC trung ñiểm M của ñoạn AC và SM = 2a. Gọi N là hình chiếu của M lên BC, N ∈ BC. a) Dựng mặt phẳng qua M và vuông góc với mp(SBC). b) Tính thể tích khối chóp S.ABNM. Giải a) Ta có: ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 102.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. BC ⊥ MN và BC ⊥ SM nên BC ⊥ (SMN). Do ñó (SBC) ⊥ (SMN). b) Tam giác vuông ABC ta có: AC tan B = ⇒ AC = AB.tan 600 = a 3 AB 1 a 3 ⇒ MC = AC = 2 2 Tam giác vuông MNC ta có:. sin 300 =. MN a 3 ⇒ NM = MC.sin 300 = MC 4. 3a 2 3a 2 a 15 ⇒ CN = CM − MN = + = 4 16 4 2. 2. Diện tích tứ giác ABNM là: 1 1 SABNM = SABC − SCMN = AB.AC − CN.MN 2 2. 3. 2. 5 (16 =. ). 3 − 3 5 a2. 3a 2 32 32 Thể tích khối chóp S.ABNM là: 16 3 − 3 5 a 2 16 3 − 3 5 a 3 1 V = SABNM .SM = .2a = 3 32 16 =. a. 2. −. (. ). (. ). Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình thang vuông tại A, AB // CD, AD = 2a, AB = 2a và CD = a. Biết rằng hình chiếu vuông góc của ñỉnh S lên mp(ABCD) trùng với trung ñiểm M của ñoạn AD và SM = a. a) Dựng mặt phẳng chứa M và vuông góc với mp(SBC). b) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a. a) Dựng MN ⊥ BC, N ∈ BC. Ta có: BC ⊥ MN, BC ⊥ SM nên BC ⊥ (SMN). Do ñó (SMN) ⊥ (SBC). Vậy (SMN) là mặt phẳng cần dựng. b) Ta có + Diện tích tam giác MCD là ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 103.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. 1 1 SMCD = DM.DC = a 2 2 2 1 + Diện tích tam giác AMB là SAMB = AM.AB = a 2 2 1 1 + Diện tích hình thang ABCD là SABCD = (AB + CD).AD = (a + 2a)2a = 3a 2 2 2 1 3 Suy ra diện tích tam giác MBC là SMCB = SABCD − SMCD − SMAB = 3a 2 − a 2 − a 2 = a 2 2 2 Vậy thể tích khối chóp S.MBC là: 1 1 3 1 V = SMBC .SM = . a 2 .a = a 3 3 3 2 2 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC vuông tại A, AB = a và BC = 2a. Biết rằng hình chiếu của ñỉnh S lên mặt phẳng ABC trùng với trung ñiểm M của ñoan AB. a) Dựng mặt phẳng (α) chứa SM và vuông góc mặt phẳng (SBC). b) Mặt phẳng (α) cắt BC tại N. Gọi H là hình chiếu vuông góc của ñiểm M lên SN. Tính ñộ dài MH. c) Tính thể tích khối chóp M.SBC. Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a. Biết rằng AA’B’B là hình thoi,
ABC = 600 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung ñiểm AB. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. b) Dựng mặt phẳng chứa A’M và vuông góc với mp(BB’C’C).. § 6 CÁCH DỰNG HÌNH CHIẾU CỦA ðIỂM M LÊN MẶT PHẲNG (P): A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: ðịnh lý: Cho hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là ñường thẳng (d) và M ∈ mp(Q). Nếu MH ⊥ (d) thì MH ⊥mp(P).. H. (d ). Cách dựng hình chiếu của ñiểm M lên mp(P): + B1: Dựng mp(Q) qua M và vuông góc với mp(P) + B2: Tìm giao tuyến (d) của (P) và (Q). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 104.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. + B3: Dựng MH ⊥ (d) thì MH ⊥ (P). Kết luận: H là hình chiếu của M lên mp(P). Chú ý: Khoảng cách từ ñiểm M ñến mặt phẳng (P)là d(M, (P)) = MH Trong thực tế hay gặp: Xét hình chóp S.ABCD có ñường cao SO. Dựng hình chiếu của ñiểm O lêm mp(SCD) Dựng OM ⊥CD, M ∈ CD. Ta có CD ⊥ OM và CD ⊥ SO nên CD ⊥ (SOM) ⇒ (SCD) ⊥ (SOM). Hai mp(SOM) và (SCD) có giao tuyến là SM nên dựng OH ⊥ SM thì OH ⊥ (SCD). Do ñó hình chiếu của O lên mp(SCD) là H. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a. Tam giác ABC vuông tại A, AB = a và
ABC = 600 . Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(SBC). Giải Dựng AM ⊥ BC, M ∈ BC. Ta có: BC ⊥ AM, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAM) ⇒ mp(SAM) ⊥ (SBC). Giao tuyến của (SAM) và (SBC) là SM nên dựng AH ⊥ SM thì AH ⊥ (SBC) Vậy khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(SBC) là AH. + Xét tam giác vuông ABM, ta có: AM sin
ABM = ⇒ AM = AB.sin
ABM AB a 3 = a.sin 600 = 2 + Tam giác vuông SAM, ta có: 3a a 7 SM = SA2 + AM 2 = a 2 + = 4 2 a 3 a. SA. AM 2 = a 21 Ta có: AH .SM = SA. AM ⇒ AH = = 7 SM a 7 2 ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 105.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. a 21 . 7 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Tam giác SAB là tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt ñáy (ABCD). a) Tìm hình chiếu H của S lêm mp(ABCD) và tính ñộ dài SH. b) Tính khoảng cách từ H ñến mp(SCD). Giải a) Theo ñề mp(SAB) ⊥ (ABCD) và chúng có giao tuyến là AB. Gọi H là trung ñiểm của AB thì SH ⊥ AB nên SH ⊥ (ABCD). Tam giác ABC ñều cạnh bằng a nên a2 a 3 2 2 2 SH = SA − AH = a − = 4 2 Vậy khoảng cách từ ñiểm M ñến mp(SBC) là AH =. b) Dựng HN ⊥ CD thì N là trung ñiểm CD. Ta có CD ⊥ NH, CD ⊥ SH nên CD ⊥ (SHN). do ñó (SCD) ⊥ (SHN). Giao tuyến của (SNH) và (SCD) là SN nên dựng HK ⊥ SN (K ∈ SN) thì SK ⊥ (SCD). Vậy khoảng cách từ ñiểm H ñến mp(SCD) là HK. 3a 2 1 2 2 − a2 = a Tam giác vuông SHN ta có: SN = SH + HN = 4 2 a 3 .a SH.HN 2 Tam giác SHN ta có: HK.SN = SH.HN ⇒ HK = = = 3a 1 SN a 2 Vậy d(H, (SCD)) = a 3 .. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a,
ABD = 600 . Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tam giác SAC có diện tích bằng 3a2. Gọi M là trọng tâm tam giác SAB. a) Tính thể tích khối chóp M.ACD. b) Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(SCD).. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 106.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a và góc
ABC = 1200 . Biết rằng hai tam giác SAC và SBD cân tại S và
ASC = 1200 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ ñiểm O ñến mp(SCD).. § 7 TÌM GÓC GIỮA ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Cách tìm góc giữa ñường thẳng (∆) và mp(α) B1: Tìm giao ñiểm O của (∆) và (α). B2: Lấy M ∈ (∆) và tìm hình chiếu H M lên mp(α).
thì góc giữa (∆) và mp(α) là MOH. của. Trong thực tế: Cho hình chóp S.ABCD có ñường cao SO. Tìm góc giữa cạnh bên với mp(ABCD). + Giao ñiểm của SC và (ABCD) là C. + Do SO ⊥ (ABCD) nên góc giữa SC
và ABCD là SCO. Ví dụ 2: Cho hình chóp ñều S.ABCD có AB = a, góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 300. a) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông ABCD ñến mp(SCD). b) Gọi M là trung ñiểm AB. Tính thể tích khối chóp S.MCD a) Do S.ABCD là hình chóp ñều nên SO ⊥ (ABCD). ðường thẳng SC cắt mp(ABCD) tại C và SO ⊥ (ABCD) nên góc giữa cạng bên SC
= 300 . và mp(ABCD) là SCO Gọi N là trung ñiểm của CD thì: CD ⊥ ON và CD ⊥ SO nên CD ⊥ (SON). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 107.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Do ñó (SON) ⊥ (SCD) và chúng có giao tuyến là SN. Vì vậy dựng OH ⊥ SN, H ∈ SN thì OH ⊥ (SCD) Vậy khoảng cách từ O ñến mp(SCD) là d(O, (SCD)) = OH.. a 2 . 2 SO a 2 a 6 Tam giác SOC ta có: tan 300 = ⇒ SO = OC.tan 300 = . 3= OC 2 2 6a a a 7 Tam giác vuông SON, ta có: SN = SO 2 + ON 2 = + = 4 4 2 a a 6 . SO.ON 2 2 a 42 Ta có OH.SN = SO.ON ⇒ OH = = = . SN 14 a 7 2 1 1 Diện tích tam giác MBC là SMBC = MB.BC = a 2 2 4 1 1 Diện tích tam giác MAD là SMBC = MA.AD = a 2 2 4 1 ⇒ Diện tích tam giác MCD là SMCD = SABCD – SMBC – SMAD = a 2 2 1 1 1 2 a 6 a2 6 Vậy thể tích khối chóp S.MCD là V = SMCD .SO = . a . = 3 3 2 2 12 Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a 2 và OC =. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A, AD // BC, AD = 2a, AB = a và tam giác BCD cân. Biết rằng hình chiếu vuông góc của ñỉnh S lên mp(ABCD) trùng với trung ñiểm O của ñoạn BD và góc giữa cạnh bên SC và mặt ñáy (ABCD) bằng 600. a) Tính thể tích khối chóp S. ABCD. b) Tính khoảng cách từ ñiểm O ñến mp(SAB). Giải Do SC cắt (ABCD) tại C và SO ⊥ (ABCD) nên góc giữa SC và (ABCD) là
= 600 . SCO Tam giác vuông ABD ta có:. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 108.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. BD = AD 2 + AB2 = 4a 2 + a 2 = 5a a 5 2 Tam giác ABC vuông tại C nên
= AB = 1 . Lại có CBD
= ADB
nên tan BDA AD 2
=1 tan CBD 2 Tam giác BCD cân tại C nên OC ⊥ BD . Do ñó
= OC = 1 ⇒ OC = 1 OB = a 5 tan CBD OB 2 2 4 ⇒ OB =. 5a 2 5a 2 5a và BC = OB + OC = + = 4 16 4 SO a 15 ⇒ SO = tan 600.OC = Tam giác vuông SOC ta có: tan 600 = OC 4 Vậy thể tích khối chóp S. ABCD là: 1 1 1 V = SABCD .SO = . (AD + BC).AB.SO 3 3 2 2. 2. 1 5a a 15 a 3 5 15 = (2a + a). . = 6 4 4 32 + Dựng OM ⊥ AB thì ta có: Do AB ⊥ OM và AB ⊥ SO nên AB ⊥ (SOM). Do ñó (SOM) ⊥ (SAB). Vì vậy dựng OH ⊥ SM thì OH ⊥ (SAB). Vậy khoảng cách từ ñiểm O ñến mp(SAB) bằng OH. 1 Ta có có OM là ñường trung bình của tam giác ABD nên OM = AD = a 2 15a 2 a 31 Do ñó SM = SO + OM = + a2 = 16 4 2. 2. a 5 .a SO.OM a 155 4 Tam giác SOM ta có OH.SM = SO.OM ⇒ OH = = = SM 31 a 31 4 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc ABC bằng 600, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. a) Tính tan góc giữa SC và mp(ABCD) ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 109.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. b) Gọi M là trung ñiểm SD, tính tan góc giữa MC với mặt phẳng (ABCD). Giải a) Ta có SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD). Vậy góc giữa SC và mp(ABCD) là :
ϕ = SCA Ta có AC = a (vì tam giác ABC ñều) và SA = 2a nên tanϕ = SA/AC = 2. b) Dựng MH //SA (H ∈ DA) thì vì SA ⊥ (ABCD) nên MH ⊥ (ABDC. Vậy CH là hình chiếu của CM lên mp(ABCD) Do ñó góc giữa CM với mp(ABCD) là
ϕ ' = MCH Vì M là trung ñiểm của cạnh SC nên H là trung ñiểm của cạnh AD. Do ñó MH = a. Tam giác ACD là tam giác ñều cạnh bằng a nên CH =. a 3 . Do vậy 2. MH 2 3 = CH 3 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB và SAC cùng vuông tại A, tam giác ABC vuông tại B, AB = a và có diện tích bằng a 2 3 . Biết rằng góc giữa ñường thẳng SC và mp(ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(SBC). Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC ñều cạnh a và A’A = A’B = A’C. Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy bằng 600. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. b) Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(B’BC). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang cân AD // BC, AD = 3a, CB = a và góc
ABC = 1200 . Hình chiếu vuông góc của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung ñiểm ñoạn AB và góc giữa SC và ABCD bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và diện tích tam giác SBD. tan ϕ ' =. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 110.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. § 8 XÁC ðỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG (α α) VÀ (β β): A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: B1: Tìm giao tuyến (d) của (α) và (β). B2: Dựng mp(P) vuông góc với (d), Mặt phẳng (P) cắt (α) và (β) lần lượt là (a) và (b). Hoặc: Chỉ trong hai mặt phẳng (α) và (β) hai ñường thẳng (a) và (b) cùng vuông góc với giao tuyến (d)). B3: Kết luận góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa (a) và (b).. Thực tế hay gặp: Tìm góc giữa mặt bên (SCD) và mặt ñáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD, biết SO ⊥ (ABCD). + Giao tuyến của (SDC) và (ABCD) là CD. + Dựng OM ⊥ CD thì CD ⊥ (SOM)
Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) là SMO. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = a và
= 600 . Biết rằng tam giác SBC có diện tích bằng 2 3a 2 . ABC a) Tìm cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). b) Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(SBC). Giải Hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) có giao tuyến là BC. Dựng AM ⊥ CB thì BC ⊥ AM và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAM). Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC)
. là SMA Tam giác ABC vuông nên ta có
= AB ⇒ BC = AB = 2 3a cos ABC BC 3 cos600. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 111.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. và AM = AB.sin 600 =. a 3 2. Do BC ⊥ (SAM) nên BC ⊥ SM. Diện tích tam giác SBC bằng 2 3a 2 nên 1 1 2 3a SM.BC = 2 3a 2 ⇔ SM = 2 3a 2 ⇔ SM = 6a 2 2 3 a 3
= AM = 2 = 3 Do ñó cosSMA SM 6a 12 b) Theo câu a) hai mặt phẳng (SAM) và (SBC) vuông góc với nhau và chúng có giao tuyến là SM. Do ñó dựng AH ⊥ SM (H ∈ SM) thì AH ⊥ (SBC). Vì vậy khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(SBC) là d(A, (SBC)) = AH. 3a 2 a 141 Tam giác vuông SAM ta có: SA = SM − AM = 36a − = 4 2 Tam giác SAM ta có: a 141 a 3 . SA.AM 2 2 = a 423 AH.SM = SA.AM ⇒ AH = = SM 6a 24 a 423 Vậy d(A,(SBC)) = AH = 24 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC là tam giác ñều cạnh bằng a, B’A = B’B = B’C và góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BB’C’C) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. . 2. 2. 2. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của BC, AB và O là tâm của tam giác ñều ABC. Ta có B’A = B’B = B’C và ∆ABC ñều nên B’.ABC là hình chóp ñều. Do ñó : Chiều cao của khối lăng trụ là h = B’O và góc giữa nặt bên (BB’C’C) và mặt ñáy
' MA = 600. (ABC) là ϕ = B ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 112.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. a 3 1 a 3 ⇒ OM = AM = 2 3 6 Tan giác vuông B’OM, ta có : OB ' a 3 1 tan 600 = ⇒ OB ' = OM tan 600 = 3= a OM 6 2 Vậy thể tích khối lăng trụ là : 1 1 a 3 a a3 3 .a. = V = S ABC .OB ' = AM .BC.OB ' = . 2 2 2 2 8 Ta có : AM =. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, tâm O, cạnh a. Tam giác SAB nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 2a và
= 600 . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm AB và AD, I là giao ñiểm AN góc SAB và CM. a) Tính thể tích khối chóp S.AMIN b) Tính cosin góc giữa hai mặt phằng (SAC) và (ABCD). Bài 2 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại B,
= 600 . Gọi M là trung ñiểm BC. Biết rằng hình chiếu vuông góc AB = a và BAC của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm I của ñoạn AM và góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(BB’C’C).. § 9 TÍNH KHOẢNG CÁCH I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ðIỂM ðẾN MỘT MẶT PHẲNG:. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): d(M; (P)) = MH với H là hình chiếu của M lên (P). H. (d ).
Phương pháp dựng hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P). + Dựng mp(Q) chứa M và vuông góc với (P). + Tìm giao tuyến d của (P) và (Q). + Kẻ MH ⊥ d, H ∈ a. Khi đó H là hình chiếu cuía M lãn mp(P). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 113.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Kết quả sau ñây giúp chúng ta tính khoảng cách từ một M ñến một mặt phẳng (P) trong trường hợp khó tìm hình chiếu của M lên mp(P): TRƯỜNG HỢP 1:ðường thẳng MN cắt mp(P) tại ñiểm O như hình vẽ và dễ tìm hình chiếu của ñiểm N lên mp(P). + Tính d(N, (P)) + Dùng kết quả MO = kNO thì d(M, (P)) = kd(N, (P)). TRƯỜNG HỢP 2: Có ñiểm N sao cho MN // mp(P) và dễ tìm hình chiếu của ñiểm N lên mp(P) thì + Tính d(N, (P)) + d(M, (P)) = d(N,(P)). 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ðƯỜNG THẲNG (∆ ∆) ðẾN MẶT PHẲNG (P) SONG SONG VỚI (∆ ∆): + Lấy ñiểm M ∈ (d) dễ tìm hình chiếu xuống mp(P). + Tính d(M, ∆) + d(∆; (P)) = d(M; (P)) = MH 3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU: Xét hai ñường thẳng chéo nhau (a) và (b). Thường gặp bài toán tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng trong các trường hợp sau: TRƯỜNG HỢP 1: Nếu (b) vuông góc với mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng (a) + Tìm giao điểm N của b với (P). + Keí MN ⊥ a, M ∈ a. Khi đó MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. TRƯỜNG HỢP 2: ðường thẳng (b) song song với mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng (a) thì khoảng cách giữa (b) và (a) bằng khoảng cách giữa (b) và mp(P). ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 114.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. d(b, a) = d(b, (P)) = d(M, (P)) = MH. B. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh bằng a, tam giác A’BC vuông cân tại A’ và AA’ = a/2. Gọi M là trung ñiểm BC. a) Chứng minh: (A’AM) ⊥ (ABC) b) Tính khoảng cách từ ñiểm A’ ñến mp(ABC). Giải a) + ∆A’BC cân tại A’ nên A’M ⊥ BC + ∆ABC ñều nên AM ⊥ BC Vì vậy, BC ⊥ (A’AM) Do ñó (ABC) ⊥ (A’AM) b) Vì (A’AM) ⊥ (ABC) và có giao tuyến là AM nên kẻ A’H ⊥ AM (H ∈ AM) thì A’H ⊥ (ABC) Vậy, khoảng cách từ ñiểm A’ ñến mp(ABC) là d(A’, (ABC)) = A’H + Tam giác ABC ñều nên AM =. 3 a 2. + Tam giác A’BC vuông tại A’ nên A’M = 1/2 BC = a/2. Do ñó tam giác A’AM cân tại M nên H là trung ñiểm của AM. Vì vậy 2. a 2 3a 2 a  AM  d ( A ',( ABC )) = A ' H = A ' M −  − =  = 4 16 2  2  Ví dụ 2: Cho hình chóp ñều S.ABCD ñáy ABCD có cạnh bằng a và SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ tâm O hình vuông ñến mp(SDC). b) Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(SCD). Giải a)Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của CD và AB. Vì S.ABCD là hình chóp ñều nên SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ CD Lại có OM ⊥ DC nên CD ⊥ (SOM) do ñó (SCD) ⊥ (SOM) Kẻ OH ⊥ SM thì OH ⊥ (SCD) vậy, d(O, (SCD)) = OH a 2 Ta có : AC = a 2 ⇒ OA = 2 2. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 115.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. a2 a 15 ⇒ SO = SA − OA = 4a − = 4 2 Tam giác SOM vuông tại M, có ñường cao OH nên 1 1 1 4 4 64 = + = + = OH 2 OS 2 OM 2 15a 2 a 2 15a 2 2. 2. 2. a 15 8 b) Nhận xét: Ta thấy rằng việc tìm hình chiếu của ñiểm A lên mp(SCD) là rất khó, nhưng lại thấy ñường thẳng AB chứa A và song song với mp(SCD) và N ∈ AB dễ tìm khoảng cách ñến mp(SCD) nên ta tìm khoảng cách từ N ñến mp(SCD) và từ ñó suy ra d(A, (SCD)). ⇒ OH =. + Vì mp(OMN) ⊥ mp(SCD) nên kẻ NK ⊥ SM thì NK ⊥ (SCD). Do ñó d(N, (SCD)) = NK. + Với tam giác MNK ta có OH là ñườngtrung bình nên a 15 NK = 2OH = 4 Vì A và N cùng nằm trên ñường thẳng AB song song với mp(SCD) nên: a 15 d(A, (SCD)) = d(N, (SCD)) = NK = 4. Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. a) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng A’C và B’D’ b) Gọi K là ñiểm bất kỳ trên ñường thẳng CD. Tính d(B’D’, AK). Giải a) Nhận xét: Thấy rằng A’C nằm trên mp(AA’C’C) mặt phẳng này vuông góc với B’D’ nên ta áp dụng trường hợp 1 ñể tìm ñường vuông góc chung sau ñó tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng B’D’ và A’C. + Kẻ OH ⊥ A’C Ta có B’D’ ⊥ AC, B’D’ ⊥ AA’ nên B’D’ ⊥ (AA’C’C) ⇒ B’D’ ⊥ OH. Do ñó OH là ñường vuông góc chung của hai ñường thẳng chéo nhau B’D’ và AC’. ⇒ d(AC’, BD) = OH ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 116.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Vì tam giác A’HO ñồng dạng với tam giác A’C’C nên: a .a OH A ' O A ' O.CC ' 2 a 3 = ⇒ OH = = = C 'C A 'C A 'O 6 a 3 b) Vì B’D’ nằm trên mp(A’B’C’D’) song song với AK nên d(B’D’, AK) = d(AK, (A’B’C’D’)) = d(A, (A’B’C’D’) = AA’ = a. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a và góc
ABC = 600 . Biết rằng hình chiếu vuông góc của ñiểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung ñiểm I của cạnh AB và góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SD. Giải + Tam giác ABC cân tại B có B = 600 nên là tam a 3 giác ñều. Do ñó IC = . 2
= 450 nên + Góc giữa SC và (ABCD) là SCI a 3 SI = IC = . 2 Lại có: BD = 2BO = a 3 . Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 1a 3 1 a3 . a.a 3 = V = SI .S ABCD = 3 3 2 2 4 Kẻ IH ⊥ SC, ta có: CD ⊥ (SIC) nên CD ⊥ IH. Do ñó IH ⊥ (SCD). Vậy, khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SD là: a 6 d(AB, SD) = (AB, (SCD)) = IH = . 2 Ví dụ 5: Cho hình chóp ñều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt ñáy bằng 600. a) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng BD và SC. b) Tính khoảng cách giữa AB và SC. b) Gọi M là trung ñiểm AB.Tính thể tích khối chóp M.SCD. Giải. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 117.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. a) Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD thì DC ⊥ SN và CD ⊥ ON
= 600 . nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là SNO Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Dựng OK ⊥ SC, K ∈ SC (1) Do ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC. Hình chóp S.ABCD là hình chóp ñều nên SO ⊥ (ABCD) do ñó SO ⊥ BD. (2) Vì vậy BD ⊥ (SAC). Do ñó BD ⊥ OK Từ (1) và (2) suy ra: OK là ñoạn vuông góc chung của BD và SC. Do ñó d(BD, SC) = OK. 1 1 Ta có ON = BC = a . 2 2 SO a 3 ⇒ SO = ON .tan 600 = Tam giác vuông SON ta có: tan 600 = ON 2. 3a 2 2a 2 a 5 a 2 2 2 Do AC = a 2 nên OC = do ñó SC = SO + OC = + = 4 4 2 2 Tam giác AOC ta có: a 3 a 2 . SO.OC 2 2 = a 30 SO.OC = OK .SC ⇒ OK = = SC 10 a 5 2 a 30 Vậy khoảng cách giữa BD và SC là d ( BD.SC ) = OK = . 10 b) Do AB // (SCD) và mp(SCD) chứa SC nên: khoảng cách giữa AB và SC bằng khoảng cách giữa AB và (SCD). Hai mặt phẳng (SMN) và (SCD) vuông góc với nhau và có giao tuyến là SN. Do ñó dựng MH ⊥ (SN) thì MH ⊥ (SCD). Vì vậy: d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = MH.. 3a 2 a 2 Ta có SN = SO + ON = + =a 4 4 Tam giác SMN ta có: a 3 .a SO.MN a 3 2 SO.MN = AH .SN ⇒ AH = = = . SN a 2 a 3 Vậy khoảng cách giữa AB và SC bằng . 2 Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, tam giác SAB vuông tại S, có góc SBA = 300 và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt 2. 2. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 118.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SC. GIẢI. * Thể tích khối chóp: + Tam giác ABC có góc SBA = 300 và AB = a nên SA =. 3 a 2 và SB = 2 a.. + Tam giác ABC ñều cạnh bằng a nên ñường cao 3 CM = a. 2 + Vì mp(SAB) ⊥ mp(ABC) nên CM ⊥ (SBC). + Thể tích khối chóp S.ABC là:. 1 a3 V = S SAB .CM = 3 16 (ñvtt) * Tính khoảng cách giữa AB và SC. + Dựng hình bình hành ABCD. + Kẻ SH ⊥ AB, HN ⊥ CD và HK ⊥ SN thì vì AB ⊥ (SHN) nên CD ⊥ (SHN) ⇒ CD ⊥ HK Vì vậy HK ⊥ (SCD) Do ñó d(AB, SC) = d(AB; (SCD) = d(H, (SCD)) = HK.. 3 SA.SB a 3 = + Ta có SH = AB 4 , HN = CM = 2 a . + ðộ dài HK: 1 1 1 4 16 20 a 15 = + = + = ⇒ = HK 10 KH 2 HN 2 SH 2 3a 2 3a 2 3a 2. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 119.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Vậy d(AB, SC) =. a 15 . 10. Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cân tại A, góc
= 1200 và cạnh AB = a. Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’B’. Mặt BAC phẳng (MBC) cắt ñường thẳng A’C’ tại N và diện tích tứ giác BCNM bằng 3 3a 2 . Tính thể tích khối ña diện BCMNB’C’. 4 GIẢI + Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm BC và B’C’, K là giao ñiểm của MN với A’J. + Do mp(ABC) // mp(A’B’C’) nên MN // BC + Ta có: BC ⊥ AI và BC ⊥ IJ nên : BC ⊥ (AA’JI) ⇒ IK ⊥ BC. + Tam giác ABI, ta có: AB = a, góc
= 600 nên BAI 3 BI = a ⇒ BC = a 3 và MN = a 3 2 2. 3 3a 2 Do ñó SMNCB = 4 2. 1 3 3a ( MN + BC ) IK = ⇔ 2 4 3 3a 3 3a 2 ⇔ IK = ⇔ IK = a 4 4 1 1 a 15 2 2 Ta có: AI = a ⇒ KJ = a ⇒ IJ = IK − KJ = 2 4 4 Vì hai khối ña diện IBMKJB’ và ICNKJC’ bằng nhau nên VBCMNC’B’ = 2 VIBMKJB’ = 2(VBB’MI + VI.MKJB’) + Ta có: 1 VMIBB ' = S IBB ' .d ( M , ( IBB' )) 3 1 1 = S IBB ' . d ( A' , ( IBB' )) 3 2 1 1 a 15 a 3 a a 3 5 = BB'.BI . A' J = . . . = 12 12 4 2 2 64 ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 120.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. 1 1 1 VI .MKJB ' = S MKJB' .BB' = . ( MK + B' J ) KJ .BB' 3 3 2 1 a 3 a 3 a a 15 3 5a 3 = ( + ). . = 6 4 2 4 4 128 Do ñó thể tích khối ña diện BCMNC’B’ là: 5a 3 3 5a 3 5 5a 3 + )= VBCMNC’B’ =2(VBB’MI + VI.MKJB’) = 2( 64 128 64 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a và góc

= 300 và nằm trong ABC = 600 . Biết rằng tam giác SAC cân tại S, có góc SAC mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD tính thể tích khối tứ diện OGCD. b) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng BD và SC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = a và
ABC = 600 . Biết rằng SA = SB = SC. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SC. Bài 3: Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm B’C’ và I là giao ñiểm của BM và B’C. Tính thể tích khối chóp I.ABC và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA’ và BM. Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Tam giác ABC có AB = a, AC = 2a và
= 600 . Tam giác B’BC là tam giác cân tại B’, B
BAC ' BC = 300 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ ñiểm A ñến mp(BB’C’C).BÀI. BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1: (ðề thi ñại học khối A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài 2: (ðề thi ñại học khối B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa ñường thẳng BB’
= 600. và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC Hình chiếu vuông góc của ñiểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Bài 3: (ðề thi ñại học khối D 2009) ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 121.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (IBC). Bài 4: (ðề thi ñại học khối A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và AD; H là giao ñiểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai ñường thẳng DM và SC theo a. Bài 5: (ðề thi ñại học khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Bài 6: (ðề thi ñại học khối D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của ñỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn AC . Gọi CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung AC, AH = 4 ñiểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Bài 7: (ðề thi ñại học khối A 2011) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung ñiểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SN theo a. Bài 8: (ðề thi ñại học khối B 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của ñiểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao ñiểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ñã cho và khoảng cách từ ñiểm B1 ñến mặt phẳng (A1BD) theo a. Bài 9: (ðề thi ñại học khối D 2011) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3a và
= 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt SBC phẳng (SAC) theo a.. ThS. Nguyễn Văn Bảy * đC: K64, H2/11- Lê đình lý Ờ đN * Dđ: 0906.22.25.26 - www.toantrunghoc.edu.vn Trang 122.

<span class='text_page_counter'>(39)</span>