de thi hsg

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề). Câu 1: (4 điểm ) a a+1 và b+1 a) Cho a, b  Z và b > 0. So sánh hai số hữu tỉ b 1 3 5 995 997 b) Cho A =     4 6 8 998 1000 2 4 6 996 998 B =     5 7 9 999 1001. So sánh A và B. Câu 2: (4 điểm ) a) Rút gọn biểu thức: b) Tìm x biết: Câu 3: ( 3 điểm ). A=. 45 .9 4 - 2.69 210 .38 + 68 .20. x + 3 + x + 1 = 3x. A x = x + x 2 + x 3 +.......+ x 99 + x 100. Cho đa thức   a) Chứng minh rằng x = - 1 là nghiệm của A(x) x=. 1 2. b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại Câu 4: (2 điểm ) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 < 2  ab + bc + ca . Câu 5: ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC. D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. 1 Chứng minh rằng: DE // BC và DE = 2 BC. Câu 6: ( 5 điểm ) 0  Cho tam giác ABC vuông tại A và ABC = 60 . Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao  cho AB + BM = AC + CM. Tính độ lớn góc CAM ? --------------------------------------------------------Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên……………………………………… số báo danh……………...

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề). Câu 1. Hướng dẫn giải. Để so sánh hai số hữu tỉ. a a+1 và b b + 1 ta đi so sánh hai số. Điểm 4đ 0,5đ. a  b + 1 và b  a + 1 a b + 1 - b  a + 1 = ab + a -  ab + b  = a - b Xét hiệu . a. b. a a+1 = b b+1 TH1: Nếu a - b = 0  a = b thì: a a+1 a  b + 1 - b  a + 1 < 0  < b b+1 TH2: Nếu a - b < 0  a < b thì: a a+1 a  b + 1 - b  a + 1 > 0   b b+1 TH3: Nếu a - b > 0  a > b thì: a a+1 < Theo a) áp dụng TH2: b b + 1 với 0 < a < b 1 2 3 4 997 998 < ; < ; ; < 1000 1001 Ta có: 4 5 6 7 a  b + 1 - b  a + 1 = 0 . 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2đ. Do đó khi lấy tích của chúng thì A < B. 2 2 5. a. A =. 2 4.  2  . 3 . - 2.  3.2  8. 9. 210 .38 +  2.3 .  22 .5 . b + Xét. =. 4đ 2đ. 210 .38  1 - 3  1  210 .38  1 + 5  3. x -3 ta có: - x -3 -x -1= 3x  x = -. 2đ. 4 5 ( loại )  0x =. 2 > -1 3 ( loại ). + Xét - 3 < x < - 1, ta có: x + 3 - x - 1 = 3x + Xét x - 1, ta có: x + 3 + x + 1 = 3x  x = 4 ( thỏa mãn ) Vậy x = 4. 3 2. a b. 3. 99. A  -1 =  -1 +  -1 +  -1 +...... +  -1 +  -1. 100. =  -1 + 1+  -1 + 1+  -1 +......  -1 + 1= 0 Vì có 50 số (- 1) và 50 số 1  x = -1 là nghiệm của đa thức A(x) 1 1 1 1 1 1 A = + 2 + 3 +  + 99 + 100 2 2 2 2 2 Với x = 2 thì giá trị của đa thức: 1 1 1  2.A=1+ + 2 +.....+ 99 2 2 2. 3đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 1 1 1 1  2A= ( + 2 +......+ 98 + 99 + 100 ) + 1- 100 2 2 2 2 2 2 1  A=1- 100 2. 4. Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c, a > 0. 2đ.  a.a < a.(b + c) = ab + ac 2 2 Tương tự: b < bc + ab; c < cb + ca. Do đó. a 2 + b 2 + c 2 < 2  ab + bc + ca . 2đ. A. E. D. M. 5 B C. Trên tia đối của tia ED lấy M sao cho EM = ED. Chứng minh. ΔEAD = ΔECM  c.g.c .    AD = CM; DAE = MCE ( DAE và MCE so le trong)     BDC = MCD. AD // CM   Chứng minh  BDC =  MCD ( c.g.c)  DCB = CDM ; BC = DM   DCB = CDM, DCB và CDM so le trong => DE // BC 1 1 DE = 2 DM; BC = DM => DE = 2 BC. 5đ. B. 6. H. M. 30o A. C. Kẻ AH  BC ( H  BC ); theo tính chất của tam giác vuông có một góc 300 ta có: BC = 2AB; AB = 2HB; AC = 2AH (1) Theo gt AB + BM = AC + CM => AB + 2BM = AC + (CM + BM)  AB + 2BM = AC + BC (2) Từ (1) và (2) suy ra AB + 2BM = 2AH + 2AB  2BM = 2AH + 2BH  2 ( BM - BH ) = 2AH  HM = HA 0  Vậy tam giác HAM vuông cân tại H nên HAM 45 0 0 0 0  Từ đó CAM = 90 - 30 - 45 = 15. 1đ 1đ 1đ 2đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> * Chú ý: Thí sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Người ra đề. Lê Trung Hiếu.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>