De thi thu vao 10 chuyen DH Quoc gia

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012 §Ò chÝnh thøc MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I.. 1) Giải phương trình √ x+ 9+ 2012 √ x +6=2012+ √( x +9 ) ( x +6 ) 2)Giải hệ phương trình ¿ 2 2 x + y +2 y=4 2 x+ y + xy=4 ¿{ ¿ Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đẳng thức: ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ) 2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện ( √ x+1 ) ( √ y +1 ) ≥ 4 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 x y P= + y x Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M. 1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng 2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN. Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ; a+b ≥ c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 ab+a+b+c (ab − 1) Q= (a+1)(b+1)(c +1). Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.. Câu I.. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ( dành cho mọi thí sinh) 1) Giải phương trình: √ x+ 9+ 2012 √ x +6=2012+ √ ( x +9 ) ( x +6 ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hướng dẫn: 1, Giải phương trình ĐKXĐ. x ≥ −6. x  9  2012 x  6 2012  ( x  9)( x  6) . . x  9  2012. . ( x  6)( x  9)  2012 x  6 .  x  9 2012 x  6  1 0     x  6 1. . x  9  2012 0.  x 4048135  x  5 . Vậy phương trình có 2 nghiệm x1=-5, x2=4048135 ¿ 2 2 x + y +2 y=4 2)Giải hệ phương trình : 2 x+ y + xy=4 ¿{ ¿ Cách 1.  x 2  y 2  2 y 4  x 2  y 2  2 y 4    2 2 2  x  2 xy  y  4( x  y ) 12 ( x  y )  4( x  y )  12 0   x 2  3 x  2 0  2 x  y  xy 4  2 x  y  xy 4 (1)    x  y  2 y  2  x y  2  x 2 x  y  xy 4            2   ( x  y  2)( x  y  6)  0 2 x  y  xy  4 2 x  y  xy  4      x  5 x  10 0 (2)     y  6  x   x  y  6   y  6  x  x 2  y 2  2 y 4  x 2  y 2  2 y 4    2 x  y  xy 4 4 x  2 y  2 xy 8. Hệ PT(1) có 2 nghiệm (x;y)= (1;1) hoặc (x;y)=(2;0) Hệ PT ( 2) Vô nghiệm 2 2  x 2  y 2  2 y 4  x  y  2 y 4    2 x  y  xy  4  y  x  1 4  2 x C¸ch 2: . NÕu x + 1 = 0 => x = -1, thay vµo PT(2) ta cã : 0y = 6(VN) 2. 4  2x  4  2x  4  2x x2   2 4  x  1 x  1   x  1 VËy x  -1, tõ PT (2) => y = (*)Thay vào PT (1) ta đợc:. . . 4 3 2 x  1  x  2  x 2  5 x  10 0  x  2 x  3 x  20 x  20  0 <=> <=> ..  x  1  x  2  0 Do x2 + 5x + 10 > 0 <=> +) Víi x – 1 = 0 => x = 1, thay vµo (*) => y = 1 +) Víi x – 2 = 0 => x = 2, thay vµo (*) => y = 0 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (x ; y) = (1 ; 1) , (2 ; 0) Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đẳng thức: ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ) Hướng dẫn 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đẳng thức: ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ) C¸ch 1 : ( x+ y+ 1 )( xy+ x + y ) =5+2 ( x + y ) <=>  x  y  1  xy  x  y  2  x  y  1  3 <=>.  x  y 1  xy  x  y  2  3 V× x, y nguyªn nªn ta cã c¸c trêng hîp sau.  x  y  1 1  x  y 0    xy  x  y  2 3  xy 5 (V« nghiÖm x,y nguyªn) TH1 :   x  y  1 3  x  y 2    x  y 1  xy  x  y  2  1 xy  1  TH2 : .

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  x  y  1  1  x  y  2    x  y  1  xy  x  y  2  3 xy  1   TH3 :.  x  y  1  3  x  y  4     xy  x  y  2  1  xy 5 TH4 :  (V« nghiÖm) VËy cã 2 cÆp sè nguyªn (x ; y) = (1 ; 1), (-1 ; -1) C¸ch 2 : §Æt x + y = u vµ xy = v, ta cã ph¬ng tr×nh.  u 1  u  v  5  2u  u 2  uv  u  v  2u  5 0 <=> u 2   v  1 u  v  5 0 Cã  =. (v  1) 2  4  v  5  v 2  6v  21 (v  3) 2  12. 2 ( v  3)  12 x;y nguyªn => u,v nguyªn => ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng =. = n2=>(n -v + 3)(n + v -3) = 12. Cách 3.  a  1  a  b  5  2a  a 2  ab  a  b 2a  5  b(a  1) (a  1)(2  a)  3  b 2  a  Ta có a+1 là ước của 3 2) Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điêu kiện ( √ x+1 ) ( √ y +1 ) ≥ 4 x2 y2 P  y x Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Cách 1áp dụng BĐT cô si cho √ x+1 ; √ y+ 1 ta có 4 ≤ ( √ x+ 1 )( √ y +1 ) ≤ Áp dụng BĐT bunhia cho. (. 2. √ x + √ y +2 ⇔ √ x+ √ y ≥ 2. ). 2 Ta cã 2(x + y) ≥ ( √ x + √ y ) ≥ 4 ⇔ x + y ≥2 2. √ x ; √ y va 1 ; 1 x y. x √y. P≥ x + y ≥ 2 √ y √x Mặt khác áp dụng BĐT Bunhia cho ; va ; .Ta có Min(p)=2 khi x=y=1 x x √ y √x y Cách 2 áp dụng BĐT Bunhia cho ; √ y vµ ; P≥ x + y=x +1+ y +1− 2≥ 2 √ x +2 √ y − 2=2 ( √ x+1+ √ y +1 ) −6 ≥ 4 √ ( √ x +1)( √ y+ 1) −6=2 Min (P)=2 khi x=y=1 xy  x  y  1 4 xy  x  y 3 Cách 3 Tõ ( √ x+1 ) ( √ y +1 ) ≥ 4 => => (1). . x y 4. Ta l¹i cã :.  =>.  =>. x y 4. . . 2.  xy (2)Tõ (1) vµ (2). 2.  x  y 3 . x y 2. . . . x  y  6 0. x y. . 2. 4. . . x  y  12 0. . [( ) ( ) ]. 2x  2 y . x y. . 2. 4  x  y 2 Mµ (3) 2 2  x y x  x y x y  y  x  y        x  y  x  y     P  x  y  x  y     1 x  y x y  y x y x  Ta cã : => => P = x y  x y x y  x  y     1 2.1 2  2    1 1 y x y x  Ta cã : y x (4). Tõ (3) vµ (4) => P = P(min) = 2 khi x = y = 1 Cách 4Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta có : 2 2 ( √ y 2 + √ x 2 ) x + y ≥ ( x+ y )2 ⇔ p ≥( x + y) (*) √y √x =>. x  y 2. 3 a 1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Mặt khác theo Bất đẳng thức Côsi ta có : ¿ x+1 ≥ 2 √ x y +1 ≥ 2 √ y ⇔ ¿ x +3 ≥ 2 ( √ x +1 ) y+ 3≥ 2 ( √ y+ 1 ). mà ( √ x+1 ) ( √ y +1 ) ≥ 4 nên từ (**). ⇒ x + y +6 ≥2 [ ( √ x +1 ) + ( √ y +1 ) ≥ 4 √ ( √ x +1 ) ( √ y+ 1 ) ] (**) ¿{ ¿ ⇒ x + y +6 ≥ 8 ⇔ x+ y ≥ 2 (***) Vậy từ (*) và (***) ⇒ p ≥2 do đó giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x=y=1(t/m) 3 3 x +y Cách 5 P= ≥ x + y từ GT ( √ x+1 ) ( √ y +1 ) ≥ 4 ⇔ √ xy+ √ x + √ y ≥ 3 xy Áp dụng BĐT Côsi. x  1 2 x ; y  1 2 y ; x  y 2 xy  2( x  y )  2 2( x  y  xy) 6  x  y 2 P(min) = 2 khi x = y = 1 Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M. 1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng 2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN. D A 1 1. 2. P Q O 2 B. 1. C. O'. N 1. M. Híng dÉn 1) Chứng minh N, P, D thẳng hàng. Gọi O’ là tâm đờng tròn đờng kính MP D là điểm đối xứng với M qua O=> OD = OM => MD là đờng kính đờng tròn (O) 0 0   Xét đờng tròn (O) : MND 90  DN  NM (1). Xét đờng tròn (O’) : MNP 90  PN  NM (2) Tõ (1) vµ (2) => DN trïng PN => N, P, D th¼ng hµng b/ Chứng minh P là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AQN       Xét đờng tròn (O) : N 2 M 1 (Cùng chắn AD ) (3). Xét đờng tròn (O’) : N1 M 1 (Cùng chắn PQ ) (4) 0      Tõ (3) vµ (4) => N1 N 2 , NP lµ ph©n gi¸c ANQ (I). XÐt tø gi¸c ADQP cã => PAD  DQP 180    => Tứ giác ADQP nội tiếp. Xét đờng tròn ngoài tiếp tứ giác ADQP, ta có A 2 D1 (Cùng chắn PQ ) (5)       Xét đờng tròn (O) : A1 D1 (Cùng chắn MN ) (6). Từ (5) và (6) => A2  A1 . AP là phân giác NAQ (II) Từ (I) và (II) => P là giao của ba đờng phân giác của tam giác AQN => P là tâm đờng tròn nội tiếp tam gi¸c AQN. Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a ≤ b ≤3 ≤ c ; c ≥ b+1 ; a+b ≥ c 2 ab+a+ b+c (ab − 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q= (a+1)(b+1)(c +1).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Hướng dẫn Cách 1 Nhận thấy a+b ≥ c ≥ b+1⇒ a ≥1 suy ra c ≥ 3 ≥ b ≥ a≥ 1 nên a −1 5 Q≥ . ta chứng minh ( ¿(b − 1) ) ≥ 0 ⇔ ab ≥ a+ b− 1≥ c −1 12 2 ab+a+ b+c (ab − 1) 5 Q= ≥ ⇔7 abc+ 7(a+ b)+ 19 ab− 5 c (a+b)−17 c −5 ≥ 0 (a+1)(b+1)(c +1) 12 H=5 abc +2 abc+7(a+b)+19 ab −5 c (a+b)− 17 c − 5 H ≥5 c (a+ b −1)+ 6(c −1)+ 7 c+ 19(c −1)−5 c ( a+b)− 17 c − 5=10 c −30 ≥ 0 ¿ a+b − 1=ab=c −1 a+ b=c c=3 ⇔ Dấu “=” xảy ra khi ¿ a=1 b=2 c=3 ¿{{ ¿ Cách 2 Nhận thấy a+b ≥ c ≥ b+1⇒ a ≥1 ab (a+ b+2) Bây giờ ta sẽ đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= với a+b ≥ 3 ≥ b ≥ a≥ 1 ( a+1)(b+1)(a+b+ 1) 5 a −1 dự đoán P≥ nên do b ≥ a ≥1 nên ( thì ¿(b − 1) ) ≥ 0 ⇔ab ≥ a+ b− 1 12 ab(a  b  2) (a  b  1)(a  b  2) 5 P    (a  b  1)(7 a  7b  12) 5( a  b  1) 2 (*) (a  1)(b  1)(a  b  1) (a  1)(b 1)(a  b  1) 12 đặt a+b=x ≥3 x+ 1¿2 ⇔( x − 3)(x + 4)≥ 0 Ta phaỉ chứng minh (*) ⇒ luôn đúng vì x ≥ 3 (x − 1)(7 x +12)≥ 5 ¿ 5 Q≥ P ≥ ⇔ 12 a=1 vậy b=2 c=3 ¿{{ Cách 3 Ta cã : a + b  c => a + b –c  0 (1). Tõ a + b  c  b + 1 => a  1 mµ b  a. ab a  b  1 ab c  1 (a  1)(b  1) 0     a  b  ab  1  a  b ab  1 (2) => Q. 2ab  a  b  c(ab  1) 2ab  a  b  c  abc 2ab  abc   ( a  1)(b  1)(c  1) (a  1)(b  1)(c  1) ( a  1)(b  1)(c  1). Sö dông (1) vµ (2) ta cã: ab(2  c) ab(2  c) ab(2  c) Q   (ab  a  b  1)(c  1) ( ab  ab  1  1)(c  1) 2( ab  1)(c  1) ab c2 1 c2 1 c  2 (c  1)(c  2) Q .  .  .  1  c 1 1  c 1 2(ab  1) c  1 2c(c  1)   21  21   ab   c  1 (c  1)(c  2) c 2  c  2 1 1 1 1 5 Q    2   2  2 2c(c  1) 2 c  c 2 3  3 12 2 c c V× c  3. . .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 5 VËy Q(min) = 12 khi.  a  b c  a 1    ab a  b  1  b 2 c 3 c 3  . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề). Câu I.. Câu II.. ¿ xy ( x+ y )=2 1)Giải hệ phương trình: 9 xy ( 3 x − y ) +6=26 x 3 − 2 y 3 ¿{ ¿ 2) Giải phương trình: ( √ x+ 4 −2 )( √4 − x +2 )=2 x 1) Tìm tất hai chữ số cuối cùng của số cả : A=41106 +57 2012. 1 5 ≤x ≤ √ 2 2 Câu III.Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB. 1)Giả sử CP cắt cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O) 2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại S. Chứng minh 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn. Câu IV. Với mỗi số nguyên n lớn hơn hoặc bằng 2 cố định xét các tập n số thực đôi một khác nhau X ={ x 1 , x 2 , .. . .. . x n } .Kí hiệu C( X ) là số giá trị khác nhau của tổng x i+ x j , ( 1 ≤i ≤ j≤ n ) .Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của C( X ) 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:. Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.. y=3 √ 2 x −1+ x √5 − 4 x 2. Với.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Toán Khoa học tự nhiên ( Vòng 2) Hướng dẫn ¿ xy ( x+ y )=2 Câu11)Giải hệ phương trình: 9 xy ( 3 x − y ) +6=26 x 3 − 2 y 3 ¿{ ¿ Hướng dẫn 1) Cách 1 : Thay 6 bằng 3 lần PT 2 được PT đẳng cấp bậc 3. x 3  y 3  6 27 x3  y 3  9 xy (3x  y )  ( x  y )3  3xy ( x  y )  6 (3x  y )(9 x 2  3xy  y 2 )  9 xy (3x  y )  ( x  y )3 (3x  y )3  x  y. Cách 2: thay x=y vào PT (1) ta tìm được nghiệm 2) 2) Giải phương trình ( √ x+ 4 −2 )( √4 − x +2 )=2 x ĐKXĐ − 4 ≤ x ≤ 4 Nhân liên hợp với ta được Câu 2 .. √ x+ 4+2 >0 ta có:. ( x+ 4 − 4) ( √ 4 − x+2 ) =2 x ( √ x+ 4+ 2 ) ⇔ √ 4 − x +2=2 ( √ x+ 4+ 2 ) ⇔ √ 4 − x=2 √ x+ 4 +2. ( √ x+ 4 −2 )( √4 − x +2 )=2 x ⇔. −96 25 1) Tìm tất hai chữ số cuối cùng của số cả. {. x∈ 0;. Giải ra. }. 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:. A=41106 +57 2012. y=3 √ 2 x −1+ x √ 5 − 4 x 2. Với. 1 5 ≤x≤ √ 2 2. Hướng dẫn 1) Ta có 574 1 (mod 100) =>( 574 )503 1503 1(mod 100) 2012 => 57 có 2 chữ số tận cùng là 01 Ta có 415 1 (mod 100) =>( 415 )21 (1)21 (mod 100) 5 21 5 21 =>( 4 ) 1 (mod 100) =>41( 41 ) = 41106 41.1 41 (mod 100) 106 => 41 có 2 chữ số tận cùng là 41 Vậy A=4106 + 572012 có 2 chữ số tận cùng là 41+1=42 2, Từ điều kiện bài toán Áp dụng Côsi cho 2x-1 và 1; x2 và 5-4x2 Ta có 3 . 2. 1 . √ 2 x −1 ≤ 3(1+2 x −1)=6 x 2 2 2 2 2 x √ 5− 4 x ≤ x +5 −4 x =−3 x +5 x − 1¿ 2 ≤ 8 Công từng vế ta có 2 y ≤ −3 x 2+ 6 x +5=8 −3 ¿ 2 x −1=1 x 2=5 −4 x2 2 x −1 ¿ =0 Min(y)=4 khi ¿ ¿ ⇔ x=1 ¿ ¿ Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O .Giả sử M,N là hai điểm thuộc cung.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> nhỏ BC sao cho MN song song với BC và tia AN nằm giữa hai tia AM,AB .Gọi P là hình chiếu của vuông góc của điểm C trên AN va Q là hình chiếu vuông góc của điểm M trên AB. 1)Giả sử CP cắt cắt QM tại điểm T.Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O) 2)Gọi giao điểm của NQ và (O) tại R khác N.Giả sử AM cắt PQ tại S. A. R. T. P. Q. O S C. B. N. M. Hướng dẫn     1, Chứng minh CAM BAN ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau); CAN BAM ( 2 góc nội tiếp chắn   2 cung bằng nhau)suy ra ACT  AMT ( cùng phụ 2 góc bbằng nhau) suy ra tứ giác ACMT nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc)       2, ta có AQP  ATC (do tứ giác ATQP nội tiếp) mà ATC  ABC suy ra AQP  ABC suy ra 0     PQ//BC//MN nên ARQ  ASQ  ARQ  AMN 180 suy ra 4 điểm A, R,Q,S cùng thuộc một đường tròn. Câu 4 Với mỗi số nguyên n lớn hơn hoặc bằng 2 cố định xét các tập n số thực đôi một khác nhau X ={ x 1 , x 2 , .. . .. . x n } .Kí hiệu C( X ) là số giá trị khác nhau của tổng x i+ x j , ( 1 ≤i ≤ j≤ n ) .Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của C( X ) Hướng dẫn giải sử x 1+ x 2 < x 1+ x 3 < x 1+ x 4 .<. . ..< x 1 + x n< x 2 + x n <.. . .. .< x n− 1+ x n n(n −1) C( X )≥ 2 n− 3 và C( X )≤ 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>