de thi HSG mon Toan lop 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp tỉnh. C©u I (2,0 ®iÓm) 1.Cho hµm a (4  15)( 5 . N¨m häc: 2011 – 2012 Thêi gian lµm bµi: 150 phót f ( x ) ( x 4  2 x  7) 2012 .. sè:. TÝnh. f. (a),. víi. 3) 4  15. . 2. Cho parabol (P) y x . Trªnparabol (P) lÊy hai ®iÓm A 0 A 900 1 2 (O là gốc tọa độ). Hình chiếu vuông góc của hoµnh lÇn lît lµ B1 , B2 . Chøng minh 2. A1 , A2 sao A1 , A2. cho lªn trôc. OB1. OB2 1.. C©u II (2,0 ®iÓm) 1.Cho ph¬ng tr×nh biÖt x1 , x2 .. x 2  3mx  m 0 (m. lµ tham sè ) cã hai nghiÖm ph©n. m2 x 21  3mx2  3m A 2  x 2  3mx1  3m m2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: C©u III (2,0 ®iÓm) 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. x 4  2 y 4  x 2 y 2  4 x 2  7 y 2  5 0 .. 2 xy  2 2  x  y  x  y 1   x  y x2  y . 3 (3x  1) 2 x 2  1 5 x 2  x  3 2 .. 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh C©u IV (3,0 ®iÓm) 1. Cho đờng tròn tâm O có đờng kính CD là đờng cao của tam giác Abc vu«ng t¹i C. §êng trßn (O) c¾t c¸c c¹nh AC, BC lÇn lît t¹i E, F. Gọi M là giao điểm của (O) với BE ( M khác E ). Hai đờng th¼ng Ac, MF c¾t nhau t¹i K; EF vµ BK c¾t nhau t¹i P. a) Chứng minh các điểm B, M, F, P cùng nằm trên một đờng tròn. b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC khi ba ®iÓm D, M, P th¼ng hµng.  BAC 600. BD . 3a 4 .. 2. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C, vµ trung tuyÕn TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo a. C©u V (1,0 ®iÓm) Trên mặt phẳng cho sáu đờng tròn có bán kính bằng nhau và có điểm chung. Chứng minh rằng ít nhất một trong sáu đờng tròn này chứa tâm của một đờng tròn khác trong chúng. ...............HÕt.................... đáp án của đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 9 cÊp tØnh N¨m häc: 2011 – 2012. C©u I (2,0 ®iÓm) 1.Ta cã a (4  15)( 5 . 3) 4  15 ( 5 . 3) (4  15) 2 (4  15) ( 5 . 3) 4  15.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  ( 5. 3) 2 (4  15)  2(4  15)(4  15)  2 2012. f (a )  ( 2) 4  2. 2  7 . Khi đó 2.Ta cã A1  ( P)  OA1 , OA2 cã d¹ng: OA1 : y  x0 x OA2 : y . Tọa độ  B2 (. 2. A1 ( x0 ; x0 ) . ( 1) 2012 1. . (1,0 ®iÓm) B ( x0 ;0)  OB  x0 ( x0 0) . Ta có các đờng thẳng. 1 x ( x0 0) x0. A2. lµ nghiÖm cña hÖ. 1 1 ;0)  OB2   x0 x0.  y x 2 1 1   A2 ( ; 2 ) 1  x0 x 0  y  x x 0 . . VËy nªn. OB1.OB2 1 .. (1, 0 ®iÓm). C©u II (2,0 ®iÓm) 2 1. Cho PT: x  3mx  m 0 (*) . Ta có để PT (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2. th× Ta l¹i cã:. x2 2 3mx2  m. x12 3mx1  m. Vi vËy:. 4 9 hoÆc m  0 . x2 2  3mx1  3m 3m( x1  x2 )  3m 9m 2  4m  0.  9m 2  4m  0  m  . do đó. 2 2 do đó 2 x1  3mx2 2 3m 3m( x1  x2 )  3m2 9m  24m  0 . x  3mx2  3m m m 9m  4m A 2  1  2  2 x 2  3mx1  3m m 9m  4m m2. m2 9m2  4m ; m2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dơng 9m2  4m , 1 9m 2  4m m 2  m  2 A 2 . DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi 1  m  2 . (1,0 ®iÓm) .VËy gi¸ tri nhá nhÊt cña A lµ 2. 2. Ta cã. vµ. ta đợc. x 4  2 y 4  x 2 y 2  4 x 2  7 y 2  5 0  ( x 2  2 y  5)( x 2  y 2  1) 0.  x 2  2 y 2  5 0 ( do x 2  y 2  1  0)  x 2 2 y 2  5. (*) .Do x, y   nªn tõ (*) suy 2 2 ra x lẻ nên x = 2k + 1, k   thay vào (*) ta đợc 2k  2k  y  2  y chẵn 2 2 2 nên y = 2m, m  . Do đó 2k  2k 4m  2  k (k  1) 2m  1 ( vô lí) vì VT ch½n, VP lÎ. Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. (1,0 điểm) C©u III (2,0 ®iÓm) x2  y 2 . 1.§iÒu kiÖn x + y > 0.Tõ PT:. 2 xy 2 xy 1  ( x  y )2  2 xy   1 0 x y x y. 1  1) 0  ( x  y  1)( x 2  y 2  x  y ) 0 x y  x  y  1 0  2  x  y  1 0 (do x 2  y 2  x  y  0) . Từ đó ta có hệ PT  x  y x  y  ( x  y ) 2  1  2 xy (.  x  y 1  2 1 x  (1  x)  x  y 1  2   x  x  2 0.  x  y 1   ( x  1)( x  2) 0.  x 1   y 0.  x  2   y 3. hoÆc Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm: (1; 0) và (-2; 3).. (1,0 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x . 2.§K:. x. hoÆc. 1 2. 3 (3x  1) 2 x 2  1 5 x 2  x  3  2(3x  1) 2 x 2  1 4( 2 x 2  1) 2  2 x 2  3x  2 2. Ta cã PT §Æt. 1 2. t  2 x 2  1, (t 0) ,. coi lµ PT bËc 2 víi Èn t cßn x lµ tham sè. Gi¶i t. 2x  1 2 .. + Víi + Víi  x. t. x2 2. t. 2x  1 2.  1 6 2. ta cã ta cã. x  2 2  60 x  2    x  2 7 x  4 x  8 0 2 7 1  x   2  2 x  1 2 x2  1   4 x 2  4 x  5 0  2. 2 x2  1 . (tm §K) hoÆc.  1 6 2 (lo¹i ).  1 6 2  60 x x 2 7 lµ: ,. (tm §k). x. Vậy PT đã cho có 3 nghiệm (1,0 ®iÓm ) C©u IV (3,0 ®iÓm) 1.. a) Ta cã. 4t 2  2(3x  1)t  2 x 2  3 x  2 0 x2 t 2 hoÆc ra ta đợc:. ta có PT đã cho trở thành:. ,. x. 2. 60 7. ..  ECF 900 . EF là đờng kính của đờng tròn tâm O suy ra L¹i cã CB  KE mµ CB c¾t KM t¹i F suy ra F lµ trùc tâm của tam giác BEK suy ra EP là đờng cao của tam giác BEK suy ra    FPB 900 , mµ FMB 900 ( do kÒ bï víi EMK 900 ). Do đó tứ giác BMFP nội tiếp hay các điểm B, M, F, P cùng nằm trên một đờng tròn. (1,0 đ)  EMK 900  KM  EB ;. 1    CEM CDM  sdCM 2 b) Ta cã     CEB  CBE CDM  MDB 900. hay.   CEB CDM. nªn suy ra. Ta l¹i cã.   CBE MDB. 1    FPM FBM  sd MF   CBE 2 Ta cã hay FPM (2).   FPM MDB. (1). Tõ (1) vµ (2) suy ra. (*) NÕu 3 ®iÓm D, M, P th¼ng hµng kÕt hîp víi (*) ta cã EF // AB tøc lµ CD và EF là hai đờng kính của (O) vuông góc với nhau suy ra CD là phân gi¸c cña gãc ACB. VËy AC = AB hay tam gi¸c ABC vu«ng c©n suy ra  BAC  ABC 450 . (1,0 ®iÓm).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2.. CB CB x 3   CB  x.sin A  AB x 2 . §Æt AB = x ( x > 0 ) ta cã CA CA x x cos A    CA x.cos A   CD  AB x 2 4 . Theo định lí Py ta Vµ sin A . 2. 2. BC  CD BD (. go. 2. x 3 2 x 2 3a )  ( ) ( ) 2 2 4 4 .Suy. ra. x  AB . 3a 13 3a 13 ; AC  13 26. SABC . .VËy. 9a 2 13 104. (®vdt). (1,0 ®iÓm) Câu V (1,0 điểm) Cho 6 đờng tròn có tâm là O , O , O , O , O , O nh hình vÏ cã cïng b¸n kÝnh R vµ cã chung ®iÓm M. Ta chØ cÇn chøng minh tån tại ít nhất khoảng cách giữa hai tâm của 6 đờng tròn trên không lớn hơn R. + NÕu hai t©m n»m trªn cïng mét tia cã ®iÓm ®Çu lµ M bµi to¸n lu«n đúng 1. 2. 3. 4. 5. 6. + Trong trờng hợp ngợc lại ta xét góc nhỏ nhất trong những góc nhận đợc có đỉnh M, không mất tính tổng quát gọi góc đó là  MO 600 O 1 2 .  MO O 1 2. Khi đó trong tam giác. suy ra mét trong hai c¹nh h¬n O1O2 . VËy O1O2 R .. O1MO2. MO1 , MO2.  MO O 1 2. nªn. cã mét gãc kh«ng nhá h¬n cña tam gi¸c. O1MO2. kh«ng nhá.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>