Bài 4. Phương trình lượng giác ( Tiết 2)

BÀI GIẢNG: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – TIẾT 2
CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC
MƠN TỐN LỚP 11
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
DẠNG 3: TÌM GTLN, GTNN
+) f  x   3  giá trị nhở nhất của hàm số f(x) = 3 đạt tại x = ....
+) f  x   3  giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 10 đạt tại x = ....
*) Chú ý đối với hàm lượng giác: 1  sin,cos  1
*) Phương pháp
+) B1: Xuất phát 1  sin,cos  1
+) B2: Biến đổi sao cho xuất hiện hàm số f(x)
+) B3: Kết luận về min, max
BÀI TẬP VÍ DỤ
VD1: Tìm min, max của các hàm số sau
a) f  x  

1  cos 2x
2

c) f  x   2  3sin 2 2x



b) f  x   4  3 cos  x  
3


d) f  x   3  2 sin x

Hướng dẫn giải
1  cos 2x

a) y  f  x  
2
)  1  cos 2x  1
 0  1  cos 2x  2
1  cos 2x
0
1
2
 Min f(x) = 0 tại cos 2x  1  2x    k2  x 


 k  k  Z 
2

 Max f(x) = 0 tại cos 2x  1  2x  k2  x  k  k  Z 


b) y  f  x   4  3 cos  x  
3




)  1  cos  x    1
3



 3  3 cos  x    3
3




 7  4  3 cos  x    1
3


1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!



2

 Max f(x) = 7 tại cos  x    1  x 
 k2  k  Z 
3
3




 Min f(x) = 1 tại cos  x    1  x 
 k2
3
3


c) f  x   2  3sin 2 2x

)  1  sin 2x  1  0  sin 2 2x  1  0  3sin 2 2x  3  2  f  x   5
1  cos 4x
 k
 1  cos 4x  1  x    k  Z 
2
4 2
k
 Min f(x) = 2 tại sin 2x  0  x   k  Z 
2
 Max f(x) = 5 tại sin2 2x  1 

d) f  x   3  2 sin x

) 0  sin x  1  0  2 sinx  2  3  3  2 sin x  1  3  f  x   1
 Max f(x) = 3 tại sin x  0  x  k  k  Z 
 Min f(x) = 1 tại sin x  1  sin2 x  1 

1  cos 2x

 1  cos 2x  1  x   k  k  Z 
2
2

VD2: Tìm min, max của các hàm số sau
a) y  f  x   3  2sin x cos x

b) y  5  2sin2 x cos2 x

c) y  sin 4 x  cos4 x



d) y  cos x  cos  x  
3


Hướng dẫn giải
a) y  f  x   3  2sin x cos x  f  x   3  sin 2x

)  1  sin 2x  1  2  3  sin 2x  4  2  f  x   4



 k2  x   k  k  Z 
2
4


 Min f(x) = 2 tại sin 2x  1  2x    k2  x    k  k  Z 
2
4
 Max f(x) = 4 tại sin 2x  1  2x 

b) y  5  2sin2 x cos2 x
) sin 2x  2 sin x cos x  sin 2 2x  4 sin 2 x cos2 x 
 f x  5

sin 2 2x

 2 sin 2 x cos2 x
2

sin 2 2x
2

) 0  sin 2 2x  1  0 

sin 2 2x 1
 sin 2 2x 1
 sin 2 2x 9
3
 0

55
  5  f x 
2
2
2
2
2
2
2

c) y  sin 4 x  cos4 x

2

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

Chú ý hằng đẳng thức: a 2  b2   a  b   2ab
2

 y  sin 4 x  cos4 x   sin 2 x  cos2 x   2sin 2 x cos2 x
2

 f  x   1  2sin 2 x cos2 x  1 

sin 2 2x
2

HS tự giải tiếp







d) y  cos x  cos  x    2 cos  x   cos    3 cos  x  
3
6
6


6

HS tự giải tiếp

VD3: Tìm min, max của các hàm số sau

a) y  sin 2 x  sin x  2

b) y  cos 2x  3cos x  1

c) y  3 sin 2x  cos 2x

d) y  sin x  cosx  4

Hướng dẫn giải
a) y  sin 2 x  sin x  2
+) Đặt sin x  t  t   1;1
 y  t 2  t  2  t   1; 1

b 1
(Đỉnh của parabol)

2a
2
 1  9
) y   
; y  1  2; y 1  0
 2  4
) t 

Vậy Max y = 0; Min y 

9
4

b) y  cos 2x  3 cos x  1  y   2 cos2 x  1   3 cos x  1  y  2 cos2 x  3 cos x  2
Đặt cos x  t  t   1; 1  y  2t 2  3t  2

) t 

b 3
(Đỉnh của parabol)

2a
4

 3 
+) Tính lần lượt các giá trị y  1 ; y 1 ; y   để so sánh tìm ra min, max
 4 

c) y  3 sin 2x  cos 2x
Chú ý:  a 2  b2  a sin X  bcos X  a 2  b2



 3

2

 1  y  3 sin 2x  cos 2x 

 3

2

 1   4  y  4  2  y  2

 Max y = 2 và Min y = - 2.
d) y  sin x  cosx  4

3

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


)  12  12  sin x  cosx  12  12
  12  12  4  y  sin x  cosx  4  12  12  4
  24 y 24
 Max y  2  4,Min y   2  4
DẠNG 4: CHU KÌ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. Chu kì
+) Hàm số y = sin x  Chu kì 2
+) Hàm số y = cos x  Chu kì 2
+) Hàm số y = tan x  Chu kì 
+) Hàm số y = cot x  Chu kì 
BÀI TẬP VÍ DỤ
VD1: Tìm chu kì của các hàm số sau
a) f  x   sin 2x
d) f  x   cos x  sin

x
3



b) f  x   cos  3x  
2


c) f  x   tan

e) f  x   cos2 2x

g) f  x   sinxcos 3 x

x
2

Hướng dẫn giải
a) f  x   sin 2x  2x  ...  k2  x  ...  k  k  Z   Chu kì 


k2
2

b) f  x   cos  3x    3x   ...  k2  x  ... 
 k  Z   Chu kì là
2
2
3
3

x

x
c) f  x   tan   ...  k  x  ...  k2  k  Z  Chu kì 2
2
2
x
d) f  x   cos x  sin
3
x
x
Chú ý: Hàm cosx có chu kì là 2, hàm sin có chu kì là 6  Chu kì của f  x   cos x  sin là 6 (Lấy
3
3
chu kìa lớn hơn làm đại diện)
1  cos 4x
e) f  x   cos2 2x 
2
2 
Cos 4x có chu kì là 2  hàm số f(x) có chu kì là

4 2
1
g) f  x   sinxcos 3 x   sin 4x  sin 2x 
2

Hàm số y = sin4x có chu kì là , hàm số y = sin2x có chu kì là 
2
1
 chu kì của f  x    sin 4x  sin 2x  là 
2

4

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


B. Đồ thị hàm số
BÀI TẬP VÍ DỤ
VD1: Khảo sát hàm số và vẽ
a) y = sinx
b) y = cos 2x
Hướng dẫn giải
a) y = sinx
+) Tập xác định: D = R
+) Giới hạn: 1  sin x  1
+) Hàm số là hàm lẻ
+) Chu kì: 2
+) Sự biến thiên
Bảng biến thiên

c) y = 1 + sinx.

d) y = tanx.

Đồ thị hàm số:

b) y = cos2x
+) Tập xác định: D = R
+) Giới hạn: 1  cos 2x  1
+) Hàm số là hàm chẵn

+) Chu kì: 2
+) Sự biến thiên
Bảng biến thiên

 Đồ thị hàm số có dạng:

5

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


c) y = 1 + sinx.
Làm tương tự như ý a.
d) y = tanx.


+) Tập xác định: D  R \   k 
2


+) Giới hạn:  ;   
+) Hàm số là hàm lẻ
+) Chu kì: 
+) Sự biến thiên


k  0  x  ;k  1  x 
2
2

 Đồ thị hàm số y = tanx có dạng:

Các khoảng cịn lại vẽ tương tự

6

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
CHU KỲ HÀM SỐ:
Câu 1: Hàm số y  tan 5x tuần hồn với chu kì là
2
A. 
B.
5
x
Câu 2: Chu kì của hàm số tuầnhồn y  cos là
3
A. 6
B.3 

C.


5

C.2 



Câu 3: Hàm số y  3cos  2 x   tuần hoàn với chu kì là
6


3
A. 2
B.
C.
2
2
x
Câu 4: Chu kì của hàm số tuầnhồn y  sin  cos x là
2
A. 6
B. 2
C. 4

D. 2

D. k 2 (k  )

D. 

D.0

Câu 5: Hàm số y  cos 2 x  sin 3x tuần hoàn với chu kì là

2
3
Câu 6: Cho hàm số y  f ( x)  A.sin(ax  b) với A,b,c là các hằng số A, a  0 . Phát biểu nàosau đây đúng?
A. 2

B.


3

C. 3

A. Hàm số đã cho có chu kì 2
C. Hàm số đã cho có chu kì

2
a

D.

B. Hàm số đã cho có chu kì A 2
D. Hàm số đã cho có chu kì

A
2
a



Câu 7: Hàm số y  sin 2  2 x   tuần hoàn với chu kì là

4

A.


2

B. 2

C. 

Câu 8: Chu kì của hàm số y  cos 2 (2 x)  cos8 x là?


A. 2
B.
C.
2
4
2
Câu 9: Hàm số y  tan x tuần hồn với chu kì là
A.  2

B. 

C. 

D.  2

D. khơng có chu kì

D.


2

Câu 10: Hàm số y  sin 4 x  cos 4 x tuần hoàn với chu kì là
A.


4

B. 4 

C.


2

D. 2

GIÁ TRỊ MIN, MAX HÀM SỐ:



Câu 1: Tập giá trị của hàm số y  sin  2 x   là
3

A.
B. [  1;0]

7

C. [  2; 2]

D. [  1;1]

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 2: Tập giá trị của hàm số y  2sin 2 x  3 là
A. [0;1]
B. [2;3]

C. [  2;3]

D. [1;5]

C.1

D.-2

Câu 3: Hàm số y  cos 3x  5 có giá trị nhỏ nhất là
A. 0
B.-1
Câu 4: Tập giá trị của hàm số y  1  2 sin 3 x là

A. [-1;1]
B. [0;1]

C. [-1;0]
4
4
Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  cos x là
1
A.-2
B.-1
C.
2
Câu 6: Tập giá của hàm số y  sin x  cos x là
A.

B.[-1;1]

C.[-2;2]

D. [-1;3]

D.1

D. [ 2; 2]

Câu 7: Hàm số y  sin x  3 cos x có giá trị lớn nhất là
A. 2
B. 2
C. 3
Câu 8: Tập giá trị của hàm số y  3sin x  4cos x là
A. [-7;7]
B.[-3;3]
C.[-4;4]

D.1
D.[-5;5]

 
Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số y  3 sin x  cos x trên đoạn   ;  là
 3 6
A. 2
B. -1
C. 3
Câu 10: Tập giá trị của hàm số y  sin 2 x  2sin x  5 là
A. [4;8]
B. [0;1]
C. [3;5]
Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 4 x  4sin 2 x  5 là
A. 2
B. 1
C. 5
2
Câu 12: Tập giá trị của hàm số y  cos x  cos x  1 là
3 
B.  ;3
C. [1;4]
4 
Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số y  cos 2 x  2sin x  2 là
A. 1
B. 3
C. 4
cos x  2sin x  3
Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

là
2cos x  sin x  4
2
1
A.
B.0
C. 
11
2
Câu 15: Đồ thị hàm số y  cos(2 x) là đồ thị nào dưới đây?

A. [-3;3]

8

D. 1
D.
D. 3

D.

D. 5

D.1

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


A.Hình 1

B.Hình 2
C.Hình 3
D.Hình 4
Câu 16: Đường cong bên dưới là đồ thị của một hàm số được liệt kê trong các đáp án A, B, C,D. Hàm số đó
là hàm số nào?



A. y  2sin  x  
6



C. y  2sin  x  
6


9



B. y  2sin  x  
3



D. y  2sin  x  
3


Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN : BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
CHU KỲ HÀM SỐ :
1.C
2.A

3.D

4.C

Câu 1:
Hàm số y  tan 5x tuần hồn với chu kì
Chọn C.
Câu 2:
Hàm số y  cos

5.A

6.C

7.A

8.B

9.C

10.C


.
5

2
x
tuần hoàn với chu ki
 6 .
1
3
3

Chọn A.
Câu 3:


2

Hàm số y  3cos  2 x   tuần hồn với chu kì
 .
6
2

Chọn D.
Câu 4:
2
x
Hàm số y  sin tuần hồn với chu kì

 4
1
2
2
Hàm số y  cos x tuần hồn với chu kì 2 .
x
Vậy hàm số y  sin  cos x tuần hoàn với chu kì 4 .
2
Chọn C.
Câu 5:
2
Hàm số y  cos 2 x tuần hồn với chu kì

2
2
Hàm số y  sin 3x tuần hồn với chu kì
.
3
Vậy hàm số y  cos 2 x  sin 3x tuần hoàn với chu kì 2 .
Chọn A.
Câu 6:
2
Hàm số y  f ( x)  A.sin  ax  b  tuần hồn với chu kì
.
a
Chọn C.
Câu 7:




1  cos  4 x  

2


y  sin 2  2 x   
4
2


10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Hàm số tuần hồn với chu kì

2 
 .
4
2

Chọn A.
Câu 8:

y  cos2 2 x  cos8x 

1  cos 4 x
 cos8x

2

2 
 .
4
2
2 
Hàm số y  cos8 x tuần hồn với chu kì

8
4
Hàm số y  cos 4 x tuần hồnh với chu kì

Vậy hàm số y  cos 2 (2 x)  cos8 x tuần hoàn với chu kì


.
2

Chọn B.
Câu 9:
Ta có: y  x     tan 2  x     tan 2 x
Vậy hàm số y  tan 2 x tuần hồn với chu kì 
Chọn C.
Câu 10:
1
y  sin 4 x  cos 4 x  1  2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x
2
1 1  cos 4 x
1  cos 4 x

 1
 1
2
2
4
2 
y  cos 4 x tuần hồn với chu kì
 .
4
2
Vậy hàm số y  sin 4 x  cos 4 x tuần hoàn với chu kì


.
2

Chọn C.
GIÁ TRỊ MIN, MAX HÀM SỐ :
1.D
2.D
3.A
7.B
8.D
9.C
13.C
14.A
15.B
Câu 1:



1  y  sin  2 x    1
3

Chọn D.
Câu 2:
1  sin 2 x  1  2  2sin 2 x  2  1  2sin 2 x  3  5
Chọn D.
Câu 3:
0  y  cos 3x  5  1

4.A
10.A
16.B

5.C
11.A

6.D
12.B

Chọn A.

11

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 4:
0  sin 3x  1  2  2 sin 3x  0  1  y  1  2 sin 3x  1

Chọn A.
Câu 5:

1
y  sin 4 x  cos 4 x  1  2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x
2
1 1  cos 4 x
1  cos 4 x
 1
 1
2
2
4
1  cos 4 x 1
1   cos 4 x  1  0  1  cos 4 x  2  0 

4
2
1
1  cos 4 x
1
1  cos 4 x
   1
 0   1
1
2
4
2
4
Chọn C.

Câu 6:
1
 1

y  sin x  cos x  2 
sin x 
cos x 
2
 2







 2  sin x cos  cos x sin   2 sin  x  
4
4
4


 2 y 2
Chọn D.
Câu 7:

1

3
y  sin x  3 cos x  2  sin x 

cos x 
2
2






 2  sin x cos  cos x sin   2sin  x  
3
3
3


 2  y  2
Chọn B.
Câu 8:
4
3

y  3sin x  4 cos x  5  sin x  cos x 
5
5

2

2

3

4
3  4
Vì       1 nên ta đặt  cos  ;  sin  ta có :
5
5
5  5
y  5  sin x cos   cos x sin    5sin  x   
 5  y  5
Chọn D.
Câu 9:

12

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


 3

1
y  3 sin x  cos x  2 
sin x  cos x 
2
 2







 2  sin x cos  cos x sin   2sin  x  
6
6
6



   
  
x   ;   x    ; 
6  6 3
 3 6
   1 3



 sin  x      ;   2sin  x     1; 3   y   1; 3 
6  2 2 
6


Chọn C.
Câu 10:
y  sin 2 x  2sin x  5  sin 2 x  2sin x  1  4   sin x  1  4
2

1  sin x  1  0  sin x  1  2  0   sin x  1  4  4   sin x  1  4  8
2

2

Chọn A.
Câu 11:

y  sin 4 x  4sin 2 x  5  sin 4 x  4sin 2 x  4  1  sin 2 x  2   1
2

0  sin 2 x  1  2  sin 2 x  2  1  1  sin 2 x  2   4  2  sin 2 x  2   1  5
2

2

Chọn A.
Câu 12:
2

1 1 3 
1 3
y  cos 2 x  cos x  1  cos 2 x  2 cos x     cos x   
2 4 4 
2 4
2

2

1
1 3
1 9
3 
1 3


1  cos x  1    cos x    0   cos x       cos x     3
2
2 2
2 4
4 
2 4

Chọn B.
Câu 13:
y  cos 2 x  2sin x  2  1  sin 2 x  2sin x  2   sin 2 x  2sin x  3
   sin 2 x  2sin x  1  4    sin x  1  4
2

1  sin x  1  2  sin x  1  0  0   sin x  1  4
2

 4    sin x  1  0  0    sin x  1  4  4
2

2

Chọn C.
Câu 14:
cos x  2sin x  3
y
 cos x  2sin x  3  y  2 cos x  sin x  4 
2 cos x  sin x  4
 cos x  2sin x  3  2 y cos x  y sin x  4 y  0

  2  y  sin x  1  2 y  cos x  4 y  3
Để phương trình trên có nghiệm

13

Truy cập trang để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


  2  y   1  2 y    4 y  3
2

2

2

 5 y 2  5  16 y 2  24 y  9
2
 11y 2  24 y  4  0   y  2
11
Chọn A.
Câu 15:
Hàm số y  cos 2 x tuần hồn với chu kì

2
 .
2

Chọn B.
Câu 16 :

 
Dựa vào đồ thị hàm số ta có y    2
6

3
 
  
 3
Xét đáp án A có : y    2sin     2
2
6
6 6

 
  
Xét đáp án B có : y    2sin     2sin  2
2
6
6 3
 
  
Xét đáp án C có : y    2sin     0
6
6 6
 
  
 
Xét đáp án D có : y    2sin     2sin     3
6
6 3

 3
Chọn B.

14

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!