Bài giảng Phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (650.93 KB, 59 trang )
PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014
Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)
Mục lục
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung 1
§1. Các phương trình lượng giác cơ bản 1
§2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 14
Chủ đề 2. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ 23
§1. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản 23
§2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 31
§3. Phép đặt ẩn phụ
tan
2
x
t 39
§4. Phép đặt ẩn phụ t = tanx 43
Chủ đề 3. Phương trình tích 45
Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)
1
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung
§1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình cơ bản đối với sin
Xét phương trình
sin
x m
. (1)
Điều kiện có nghiệm:
1;1
m .
Công thức nghiệm: Với mọi
1;1
m , ta có
(1)
arcsin 2
arcsin 2
x m k
x m k
(
k
).
y=sinx
-1
1
-
π
2
π
2
arcsinm
O
m
y
x
Hình 1
Trong đó,
arcsin
m
là nghiệm thuộc đoạn
;
2 2
của phương trình (1) ( Hình 1). Ta thấy
với mỗi
1;1
m , giá trị
arcsin
m
luôn tồn tại duy nhất.
2. Phương trình cơ bản đối với cos
Xét phương trình
cos
x m
. (2)
Điều kiện có nghiệm:
1;1
m .
Công thức nghiệm: Với mọi
1;1
m ,
ta có
(2)
arccos 2
x m k
(
k
).
π
y=cosx
-1
1
π
2
arccosm
O
m
y
x
Hình 2
Trong đó,
arccos
m
là nghiệm thuộc đoạn
0;
của phương trình (2) (Hình 2). Ta thấy với mỗi
1;1
m , giá trị
arccos
m
luôn tồn tại duy nhất.
3. Phương trình cơ bản đối với tan
2
Xét phương trình
tan
x m
. (3)
Với mọi
m
, (3) có nghiệm và
(3)
arctan
x m k
(
k
).
Trong đó,
arctan
m
là nghiệm thuộc khoảng
;
2 2
của
phương trình (3) (Hình 3). Ta thấy với mỗi
m
, giá trị
arctan
m
luôn tồn tại duy nhất.
y=tanx
arctanm
-
π
2
π
2
O
m
y
x
Hình 3
4. Phương trình cơ bản đối với cot
Xét phương trình
cot
x m
. (4)
Với mọi
m
, (4) có nghiệm và
(4)
arctan
x m k
(
k
).
Trong đó,
arccot
m
là nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương
trình (4) ( Hình 4).
Ta thấy với mỗi
m
, giá trị
arccot
m
luôn tồn tại duy nhất.
π
2
π
O
y=cotx
arccotm
m
y
x
Hình 4
5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống
phương trình cơ bản
3
sin sin
f x g x
2
2
f x g x k
f x g x k
(
k
);
os osc c
f x g x
2
f x g x k
(
k
);
tan tan
f x g x
2
f x g x k
f x k
(
k
);
cot cot
f x g x
f x g x k
f x k
(
k
).
6. Một số chú ý
Phương trình
cot
x m
với
0
m
thường được giải bằng cách quy về phương trình cơ
bản đối với
tan
, cụ thể:
cot 0
2
x x k
.
Với
0
m
:
1 1
cot tan arctan
x m x x k
m m
.
Các giá trị
arcsin
m
,
arccos
m
,
arctan
m
cos thể được tính bằng máy tính cầm tay. Tuy
nhiên, có một số trường hợp đặc biệt dưới đây
Xét phương trình
sin 0
x
. Nếu áp dụng công thức nghiệm đã cho, thì phương
trình tương đương với
arcsin0 2 2
arcsin 0 2 2
x k x k
x k
x k x k
.
Vậy
sin 0
x x k
.
Một số trường hợp tương tự:
sin 1
2
x x k
; sin 1
2
x x k
;
cos 0
2
x x k
;
cos 1 2
x x k
;
cos 1 2
x x k
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các phương trình
a)
1
sin2
2
x
.
b)
3
cos 4 1
2
x .
4
c)
tan 4 2 3
3
x
.
d)
1
cot 3 1
3
x
.
e)
sin 2 sin3 0
x x
.
f)
sin 2 sin3 0
x x
.
g)
cos4 cos5 0
x x
.
h)
cos4 cos5 0
x x
.
i)
sin 3x cos5 0
x
.
Giải.
a)
2 2
6
12
7 7
2 2
6 12
x k
x k
PT
x k x k
(
k
).
b)
5
1 5
4 1 2
6
4 24 2
5 1 5
4 1 2
6 4 24 2
k
x k
x
PT
k
x k x
(
k
).
c) Chú ý rằng
arctan 2 3
12
, do đó
4
3 12 16 4
k
PT x k x
(
k
).
d)
1
tan 3 1 3 3 1
3 3 9 3
k
PT x x k x
(
k
).
e)
2
3 2 2
sin3 sin 2
3 2 2
2
5
x k
x x k
PT x x
x x k
x k
(
k
).
f)
3 2 2
sin3 sin 2 sin3 sin 2
2
5 5
x x k
PT x x x x
x k
x
(
k
).
g)
2
5 4 2
cos5 cos4
2
5 4 2
9 9
x k
x x k
PT x x
k
x x k
x
(
k
).
h) Ta có
5
cos5 cos4 cos5 cos 4
2
5 4 2
( )
9 9
.
5 4 2
2
PT x x x x
k
x x k
x
x k
x k
k
x
i) Ta có
cos5 sin3x cos5 cos 3x
2
5 3x 2
2
4
( )
5 3x
6
.
2
2
1 4
PT x x
x k
x k
k
x k
x
k
Ví dụ 2. Giải phương trình
a) [ĐHB13]
2
sin5 2cos 1
x x
.
b)
3
cos2 3cosx 4cos
x x
.
c)
2 2
7
sin cos 1
4 2
x x
Giải.
a) Ta có
2
sin5 1 2cos sin5 cos2 sin5 sin 2
2
2
5 2 2
6 3
2
( )
3 3 2
5 2 2
2
.
14 7
PT x x x x x x
k
x
x x k
k
k
x x k x
b) Ta có
3
cos2 3cos 4cos 0 cos2 cos3 0 cos3 cos2
2
3 2 2
cos3 cos 2 ( )
5 5
3 2 2
2
.
PT x x x x x x x
k
x x k
x
x x
x x k
k
x k
c) Ta có
6
2 2
7 1 1
sin cos 1 1 cos 2 1 cos 7 2 1
4 2 2 2 2
cos 2 cos 7 2 0 sin 2 cos2 0 sin 2 cos2 .
2
PT x x x x
x x x x x x
Ta thấy
cos2 0
x
không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cuối cũng cho
cos2
x
, ta được phương trình tương đương
tan 2 1 2
4 8 2
k
x x k x
(
k
).
Ví dụ 3. Giải các phương trình
a)
2 2
sin cos 2 1
x x
.
b)
2
cos sin2 1
x x
.
Giải.
a) Ta có
2 2 2 2
cos2 cos
cos 2 1 sin cos 2 cos
cos2 cos
x x
PT x x x x
x x
.
2
2 2
2
cos2 cos
2
2 2
3
3
x k
x x k
k
x x x
k
x x k
x
.
(
2
2
3
k k
k
k
).
2
2 2
cos2 cos cos2 cos
3 3
2 2
2
k
x x k
x
x x x x
x x k
x k
.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
2
3
k
x
,
2
3 3
k
x
,
2
x k
(
k
).
b) Ta có
2
cos 1 sin2
PT x x
.
Chú ý rằng
2
2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos
x x x x x x x
. Do đó, phương trình nói
trên tương đương với
2
2
cos sin cos sin 2cos
cos sin cos
cos sin cos sin 0
tan 2 arctan 2
( )
sin 0
.
x x x x x
x x x
x x x x
x x k
x x k
k
Ví dụ 4. Giải các phương trình
7
a)
5
sin3 sin cos
2 2
x x
x .
b)
sin 4 sin 7 cos3 cos6
x x x x
.
c)
4sin sin 2 sin3 cos4 sin4 sin6x cos2 0
x x x x x x
.
Giải.
a) Ta có
1
sin3 sin3 sin2 sin3 sin 2
2
2
3 2 2
( )
2
3 2 2
.
5 5
PT x x x x x
x k
x x k
k
x x k
x
k
b) Ta có
1 1
cos11 cos3 cos9 cos3 cos11 cos9
2 2
11 9 2
20 10
cos11 cos 9 ( )
1
.
1 9 2
2
PT x x x x x x
k
x
x x k
x x
x x k
x k
k
c) Ta có
4sin sin2 sin3 2 cos3 cos sin3
2sin3 cos3 2sin3xcos
sin 6 sin 4 sin2
x x x x x x
x x x
x x x
.
Do đó
sin6 sin 4 sin 2 sin4 sin 6x cos 2 0
sin 2 cos2 0 sin 2 cos2
tan2 1 2 ( )
4 8
.
2
PT x x x x x
x x x x
k
x x k x k
Ví dụ 5. Giải các phương trình
a)
sin3 1 cos4 cos3 sin 4
x x x x
.
b)
cos3 sin 2 cos2 sin3x sin 2 cos 2 0
x x x x x
.
Giải.
8
a) Ta có
cos3 sin 4 sin3 cos4 sin3 sin7 sin3
7 3 2
2
( )
7 3 2
.
10 5
PT x x x x x x x
k
x
x x k
k
x x k
k
x
b) Ta có
sin 2 cos3 cos2 sin3 cos3 cos2 sin3 sin 2 0
sin5 cos5 0 sin5 cos5
tan5 1 5 ( )
4 20
.
5
PT x x x x x x x x
x x x x
k
x k kx x
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
2cos 2 1
0
2sin 1
x
x
.
b)
2
1
sin
8cos
x
x
.
Giải.
a) Điều kiện:
2
1
6
2sin 1 0 sin
5
2
2
6
x k
x x
x k
. (1)
Ta có
1
2cos 2 1 0 cos2
2
2 2
3 6
. (2)
2 2
3 6
PT x x
x k x k
x k x k
9
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (2) trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm điều kiện
(2) (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của
phương trình là là:
7
2
6
x k
,
2
6
x k
(
k
).
-1
5π
6
+2kπ
π
6
+2kπ
7π
6
+2kπ
y
x
-π
6
+2kπ
-1
1
1
O
b) Điều kiện:
cos 0
x
2
x k
. (1)
Ta có
2
2
sin 0 (2)
1
sin (3)
8cos
x
PT
x
x
.
2 2 2
(3) 8sin cos 1 2sin 2 1 4
2 4
o
8
c s4 0
k
x kx xx x x
(4)
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (4) trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
trong hai điều kiện (1), (2) (điểm được khoanh trắng), ta
được các họ nghiệm của phương trình là:
2
8
k
,
3
2
8
k
,
5
2
8
k
,
7
2
8
k
(
k
)
-7π
8
+2kπ
-5π
8
+2kπ
-3π
8
+2kπ
-π
8
+2kπ
7π
8
+2kπ
5π
8
+2kπ
3π
8
+2kπ
π
8
+2kπ
y
x
-1
-1
1
1
O
Chú ý. Khi biểu diễn họ
2
k
x
n
(
k
,
*
n
,
n
là hằng số) trên đường tròn lượng giác
ta được:
Một điểm trong trường hợp
1
n
.
Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp
2
n
. Hai điểm này là các điểm
biểu diễn giá trị
2
2
k
với
0
k
,
1
.
10
n
điểm tạo thành
n
đỉnh của một đa giác đều
n
cạnh trong trường hợp
3
n
.
n
điểm
này là các điểm biểu diễn giá trị
2
k
n
với
0
k
,
1
, …,
1
n
.
y
x
-1
-1
1
1
O
2
n
y
x
-1
-1
1
1
O
3
n
y
x
-1
-1
1
1
O
4
n
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
a)
tan cot 4
x x
.
b)
sin 2 cos2
2
cos sin
x x
x x
.
c) [ĐHB06]
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
.
Giải.
a) Điều kiện:
sin 0
sin 2 0
cos 0
2
x
k
x x k x
x
.
Ta có
2 2
sin cos sin cos 1 1 2
tan cot
cos sin sin cos sin cos 2sin cos sin 2
x x x x
x x
x x x x x x x x x
.
Do đó
2 1
4 sin 2
sin 2 2
PT x
x
(thỏa mãn điều kiện)
2 2
6
12
5 5
2 2
6 12
x k
x k
x k x k
(
k
).
b) Điều kiện:
sin 0
sin 2 0
cos 0
2
x
k
x x k x
x
.
Ta có
sin 2 cos2 cos2 cos sin 2 sin cos 1
cos sin cos sin cos sin sin
x x x x x x x
x x x x x x x
.
Do đó
11
1 1
2 sin
sin 2
PT x
x
(thỏa mãn điều kiện)
2
6
5
2
6
x k
x k
(
k
).
c) Điều kiện:
sin 0
cos 0 sin 2
2
cos 0
2
x
k
x x x
x
.
Ta có
2 2
cos sin co
sin sin cos cos sin sin cos
1
2 2 2 2
1 tan tan 1
2 co
s sin 2
cot si
s
cos cos cos c
n 1 ta
os cos co
n tan
s
2
cot tan .
2 sin cos sin cos s
2 2
in 2
x x x x
x x x
x
x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x
x
x
x
x x
.
.
Do đó
2 1
4 sin 2
sin 2 2
PT x
x
(thỏa mãn điều kiện)
2 2
6
12
5 5
2 2
6 12
x k
x k
x k x k
(
k
).
C. BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau
a)
sin5 1
x
. ĐS:
10
x k
.
b)
3
cos 2
2 2
x
. ĐS:
2
3
x k
,
6
x k
.
c)
sin5 sin7 0
x x
. ĐS:
x k
,
12 6
k
x
.
12
d)
sin 2 cos7 0
x x
. ĐS:
4
x k
,
24 6
k
x
e)
2
1
cos 7
4
x . ĐS:
21 7
k
x
.
f)
2 2
cos cos 7 0
x x . ĐS:
6
k
x
,
8
k
x
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
sin 3 cos 0
x x
. ĐS:
3
k
.
b)
3sin cos 0
x x
. ĐS:
6
k
.
c)
1
sin cos
4
x x
. ĐS:
12
k
,
5
6
k
.
d)
1
sin cos cos2
8
x x x
. ĐS:
24 2
k
,
5
24 2
k
.
e)
4sin cos cos2 sin3 0
x x x x
. ĐS:
2
7
k
x
,
2
k
.
f)
sin 3 cos2 sin 2 cos
x x x x
. ĐS:
k
,
8 4
k
.
g)
2
cos 4cos 3 cos 0
2
x
x x
. ĐS:
4
5
k
,
4
7
k
.
h)
3
2sin 4sin 3sin sin 2 0
x x x x
; ĐS:
k
,
8 2
k
,
4
k
.
i)
sin sin 2 cos cos2 0
x x x x
. ĐS:
2
k
,
2
6 3
k
.
j)
sin sin 2 cos cos2 0
x x x x
. ĐS:
2
k
,
2
3
6
k
.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
cos cos7
sin 2
cos6 4
x x
x
x
. ĐS:
k
,
5
k
.
b)
1 1 2
sin cos sin 2
x x x
. ĐS:
2
12
k
,
7
2
12
k
.
c)
1 1 2
sin cos sin 2
x x x
. ĐS:
2
12
k
,
7
2
12
k
.
d)
sin 2 1 tan 2 tan 1
x x x
. ĐS:
8 2
k
.
13
e)
sin 2 tan 1 sin2 tan 2
x x x x
. ĐS:
4
2
3
k
.
f)
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
. ĐS:
x k
.
g)
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x
. ĐS:
4
k
14
§2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
,
cos
x
có dạng:
sin cos
A x B x C
, (1)
trong đó,
2 2
0
A B
.
2. Cách giải
Chia hai vế của (1) cho
2 2
A B
, ta được phương trình tương đương:
2 2 2 2 2 2
sin osc
A B C
x
A B A B
x
B A
.
Vì
2 2
2 2 2 2
1
A B
A B A B
nên tồn tại
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
A
A B
B
A B
.
Do đó, (1) được đưa về dạng cơ bản như sau:
2 2 2 2
(1) sin cos cos sin sin
C C
x x x
A B A B
.
3. Một số chú ý
Điều kiện có nghiệm: Từ cách giải trên suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình (1):
(1) có nghiệm
2 2 2
0
A B C
.
Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
A B
A B
B
A
thì (1)
2 2
cos
C
x
A B
.
Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
A
B
A B
A B
thì (1)
2 2
sin
C
x
A B
.
15
Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
sin
B
A
A B
A B
thì (1)
2 2
cos
C
x
A B
.
Trong từng trường hợp, việc chọn
phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
4. Một số công thức hay sử dụng
sin cos 2 sin 2cos
4 4
x x x x
;
3
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
;
sin 3cos 2sin 2cos
3 6
x x x x
;
5
sin 3 cos 2 sin 2cos
3 6
x x x x
;
3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
;
2
3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
.
5. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
1 1 1
2 2 2
sin cos
sin cos
A x B x C
S
A x B x C
.
Cách giải: Ta tìm tập giá trị của
S
, tức là tìm
m
để phương trình sau đây có nghiệm
1 1 1
2 2 2
sin cos
sin cos
A x B x C
m
A x B x C
. (2)
Ta có
1 2 1 2 1 1
2 2 2
sin cos (3)
(2)
sin cos 0 (4)
A mA x B mB x C mC
A x B x C
.
16
Áp dụng điều kiện có nghiệm với phương trình (3), kiểm tra điều kiện (4) để loại bớt những giá
trị của
m
. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
S
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các phương trình
a)
3sin cos 1 0
x x
.
b)
sin 3 cos 1 0
x x
.
c)
3sin 4cosx 6
x
.
Giải.
a) Ta có
2
2
3 1 2
, chia hai vế của phương trình cho
2
, ta được
3 1 1
sin cos sin cos cos sin sin
2 2 2 6 6 6
2
2
6 6
sin sin (
3
76 6
2
2
6
.
6
)
PT x x x x
x k
x k
x
x k
k
x k
.
b) Ta có
1 3 1
sin cos sin cos cos sin sin sin sin
2
2
3 6
2
2 2 2 3 3 6 3 6
).(
7
5
22
63 6
PT
x k
x k
k
x kx
x x x x
k
x
c) Đặt
3
A
,
4
B
,
6
C
. Ta có
2 2 2
11 0
A B C
. Suy ra phương trình vô
nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình
a)
cos sin cos 1 0
x x x
.
b) [ĐHD07]
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
.
c)
3 3
3 sin cos 4 sin cos 1 0
x x x x
.
Giải.
a) Ta có
17
2
sin 2 1 cos2
sin cos cos 1 0 1 0
2 2
1
sin 2 cos2 1 2 sin 2 1 sin 2
4 4
2
2 2
4 4
(
3
2 2
.
4
)
4
4
x x
PT x x x
x x x x
x k
x k
k
x k
x k
b) Ta có
2
2 2
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x
. Do đó
1 3 1
sin cos sin cos cos sin sin
2 2 2 3 3 6
s
sin 3cos 1
2 2
3 6 6
(
5
in sin
2
)
2
3 6
3 6
2
.
x x x x
x
PT x x
x k x k
k
x k x k
c) Ta có
3 3
3sin 4sin 4sin 3sin 1 sin3 cos3 1 2 sin 3 1
4
2
3 2
1
6 3
4 4
sin 3 (
3
).
2
4
2
3 2
4 4 3 3
PT x x x x x x x
k
x
x k
x k
k
x k x
Ví dụ 3. Giải các phương trình
a)
2 2 sin cos sin cos 0
x x x x
.
b) [ĐHD09]
3cos5 2sin3 cos2 sin 0
x x x x
.
Giải.
a) Ta có
sin 2 sin sin 2 sin
1
sin 2 sin cos
2
2
2 2
12 3
( ).
5
5
2 2 2
4
4
4
4
4
PT x x x
k
x
x k
k
x x
x x x x
k x k
x
b) Ta có
2sin3 cos 2 sin5 sin
x x x x
. Do đó
18
3 1
cos5 sin5 sin
2 2
2 2 2
sin5 cos cos5 sin si
3cos5 sin5 2sin
2
5 2
3 6 2
( )
n sin 5 sin
3 3
.
2
5 2
3
3
18 3
x x x
x x x x
PT x x x
k
x x k x
k
x x
x
k
x k
Nhận xét. Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức dạng
sin cos
A B
.
Ví dụ 4. Giải các phương trình
a)
cos2 1
3sin
2cos
x
x
x
.
b) [ĐHA09]
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
.
Giải.
a) Điều kiện:
cos 0
x
2
x k
.
Ta có
3 1 1
sin 2 cos2 sin2 cos cos 2 sin
2 3sin cos co
sin
2 2 2 6 6 6
sin 2 sin
6
s2 1 3sin 2 cos2 1
2 2
6 6
7
2 2
6 6
6
PT x x x x x
x
x x x
k
x
x k
x
2
3
x k
x k
(thỏa mãn).
b) Điều kiện:
1
sin
2
sin 1
x
x
2
6
7
2
6
2
2
x k
x k
x k
.
19
Ta có
2
1 2sin 1 sin sin 1 2sin sin cos2
x x x x x x
.
Do đó
1 3 1 3
sin 2 cos2 cos sin
2 2 2 2
sin 2 cos cos2 sin sin cos cos sin
3 3 6 6
sin 2
cos sin 2 3 sin cos 2 sin 2 3 cos2 cos 3sin
2
2 2
3 6
18 3
5
2 2
3
sin
3 6
6
PT x x x x x x x x
k
x x k
x
x x k x
x x x x
x x x x
x x
.
2
2
k
Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là
2
18 3
k
(
k
).
Ví dụ 5. Cho phương trình
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
a
x x
, (
a
là tham số).
a) Giải phương trình khi
1
3
a
.
b) Tìm
a
để phương trình có nghiệm.
c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
S
x x
.
Giải. Vì
2
2 2
1 2 3 4 0
nên phương trình
sin 2cos 3 0
x x
vô nghiệm. Nói cách
khác
sin 2cos 3 0
x x
với mọi
x
. Do đó
2sin cos 1 sin 2cos 3 2 sin 2 1 cos 3 1
PT x x a x x a x a x a
.
a)
1
3
a
: phương trình trở thành
t
5
a
5
s nin cos
3
1
4
0
3
x x k
x x
(
k
).
b) Ta có
2 2 2
2 2
2 2 1 3 1 4 6 4 2 3 2
a a a a a a a
. Do đó phương
trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
2 3 2 0
a a
2
3 2 0
a a
1
2
2
a
.
20
c) Vì tập giá trị của
S
là
1
;2
2
nên
max 2
S
,
1
min
2
S
.
Ví dụ 6. Cho phương trình
2 2
2sin sin cos cos
x x x x m
.
a) Giải phương trình khi
1
m
.
b) Tìm
m
để phương trình có nghiệm.
Giải. Phương trình đã cho tương đương với
1 1 cos2
1 cos2 sin 2 sin 2 3cos2 1 2
2 2
x
x x m x x m
.
a)
1
m
thì phương trình trở thành
2 2
2
sin 2 3cos2 3 2sin cos 3 1 2sin 3 2sin cos 6sin 0
sin cos 3sin 0 sin cos 3sin 0
sin 0
sin 0
( ).
1 1
cos 3sin 0
tan arctan
3 3
x x x x x x x x
x x x x x x
x x k
x
x x
x x k
k
b) Ta có
2
2 2 2
1 3 1 2 4 4 9
m m m
. Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
1 10 1 1
4 4 9
2
0
0
2
m mm
.
C. BÀI TẬP
Baøi 1. Giải các phương trình sau
a)
2 2 sin cos cos 3 cos2
x x x x
. ĐS: Vô nghiệm.
b)
sin sin2 3 cos cos2
x x x x
. ĐS:
2
k
,
2 2
9 3
k
c)
4 4
4 sin cos 3sin 4 2
x x x
. ĐS:
12 2
k
,
4 2
k
.
d)
2
6 6
8 sin cos 3 sin2 cos2 5
x x x x
. ĐS:
2
k
,
8 2
k
.
e)
3
4sin 1 3sin 3cos3
x x x
. ĐS:
2
18 3
k
,
2
2 3
k
.
f) sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x . ĐS:
4 2
k
.
g)
3cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x . ĐS:
5
24
k
21
h) [ĐHB09]
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin
x x x x x x
.
ĐS:
2
6
k
,
2
42 7
k
.
i) [ĐHB12]
2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
. ĐS:
2
3
k
.
j)
2 2
3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
x
x x ,
0;
x
. ĐS:
5
18
,
17
18
,
5
6
.
Baøi 2. Giải các phương trình sau
a)
3 1 4
cos sin sin 2
x x x
. ĐS:
2
2
3
k
.
b)
Baøi 3. Chứng minh rằng
sin 2cos 1
2 1
sin cos 2
x x
x x
với mọi
x
.
Baøi 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2 cos
sin cos 2
x
y
x x
.
ĐS:
3
min
2
y
,
max 1
y
.
Baøi 5. Cho hàm số
2 cos 1
cos sin 2
m
m x m
y
x x
a) Với
1
m
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
b) Tìm
m
để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS: a)
1
max 1
y
,
1
min 0
y
. b)
1
2
m
(khi đó,
4 2
max
4
m
y
).
