Phương trình, đừng lối chung để giải một phương trình .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN
ĐẠ I HỌ C KHOA HỌ C





PHM HNG CƯNG


PHƯƠNG TRÌ NH, ĐƯNG LI CHUNG
Đ GII MT PHƯƠNG TRNH



LUẬ N VĂN THẠ C SĨ PHƯƠNG PHÁ P TOÁ N SƠ CẤ P

Thi Nguyên - Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN
ĐẠ I HỌ C KHOA HỌ C





PHM HNG CƯNG

PHƯƠNG TRÌ NH, ĐƯNG LI CHUNG
Đ GII MT PHƯƠNG TRNH
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ S: 60.46.40


LUẬ N VĂN THẠ C SĨ CHUYÊN NGÀNH PP TOÁN SƠ CẤP


NGƯI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. Tiến sĩ: Nguyễn Minh Hà

Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội







Thi Nguyên - Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu……………………………………………………………...
2
Chƣơng 1: ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH…………………………
3
1.1. Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn…………………….
3
1.1.1. Đẳng thức..............................................................................
3
1.1.2. Phƣơng trình..........................................................................
3
1.2. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số...................................................
4
1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến.................................................
4
1.2.2. Hàm số ..................................................................................
4

1.2.3. Phƣơng trình một ẩn...............................................................
5
1.3. Nhận xét ...........................................................................................
5
Chƣơng 2: ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH.
7
2.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện………………………...
7
2.2. Bài toán giải phƣơng trình………………………………………
8
2.2.1. Đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình – Các ví dụ .
9
2.2.2. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng…………..
13
2.2.3. Phƣơng trình tham số……………………………………….
17
2.3. Đặt điều kiện trong bài toán giải phƣơng trình……………………
20
2.3.1. Tập xác định của phƣơng trình– Điều kiện của phƣơng trình
20
2.3.2. Hệ lụy của khái niệm tập xác định của phƣơng trình – điều
kiện xác định của phƣơng trình………………………………………..
20
2.3.3. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại…
29
2.3.4. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng……..
35
2.4. Đặt điều kiện trong bài toán rút gọn biểu thức, bài toán chứng
minh hằng đẳng thức………………………………………………….
39

Kết luận…………………………………………………………………
43
Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………………..
44

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
LỜ I NÓ I ĐẦ U

“Phƣơng trình” là một vần đề quan trọng trong chƣơng trình toán phổ
thông, xung quanh khái niệm “ Phƣơng trình” có rất nhiều vấn đề đáng quan tâm.
Đƣơng nhiên, vấn đề đƣợc quan tâm nhất vẫ n là các k thut gii phương trnh .
Tuy nhiên, vì quá quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên chúng ta (SGK và
những ngƣời giáo viên toán) thƣờng không chú ý tới các vấn đề khác: định nghĩa
phương trnh, đường lối chung để gii một phương trnh. Với các em học sinh,
tình trạng trên dẫn đến một hệ quả tất yếu: chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Rất
nhiều học sinh không trả lời đƣợc các câu hỏi đại loại nhƣ: “1=2 là đẳng thức
hay là phƣơng trình?”; “Mục đích của việc đặt điều kiện trong khi giải phƣơng
trình?” ….
Chính vì lẽ đó, em chọn cho mình đề tài luận văn:
“ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình”
Luận văn nhằm phân tích 2 cách định nghĩa phƣơng trình trong chƣơng
trình Toán phổ thông để từ đó đƣa ra nhận xét nên sử dụng cách định nghĩa nào
thuận lợi cho việc giải phƣơng trình ở phổ thông. Hình thành các phƣơng pháp
tổng quát giải phƣơng trình quen thuộc từ bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều
kiện. Phân tích vai trò của bƣớc đặt điều kiện khi giải phƣơng trình và đặt điều
kiện nhƣ thế nào cho đơn giản và thuận lợi.
Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễ n Minh Hà đã tậ n tì nh hƣớ ng dẫ n ,
chỉ bảo em trong quá trình viết luận văn. Đồng thời em cũng xin đƣợc cảm ơn

nhà trƣờng và các thầy giáo, cô giáo đã tạ o điề u kiệ n thuậ n lợ i để em hoàn thành
luận văn này.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Chƣơng 1
ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH

Trong chƣơng trình toán phổ thông khái niệm phƣơng trình đƣợc định
nghĩa hai lần bằng hai cách khác nhau.
1.1. Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn
1.1.1. Đẳng thức
Hai biểu thức nối với nhau bởi một dấu bằng đƣợc gọi là đẳng thức.
Mỗi một biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của đẳng
thức.
Dƣới đây là một vài ví dụ.
2 = 2 (đẳng thức đúng).
1 = 2 (đẳng thức sai).
5x + 1 = 5 (đẳng thức, có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của biến x).
3x
2
+xy
3
= 5zy +z
4
(đẳng thức có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của
biến x, y, z).
Chú ý:

Việc biết một đẳng thức đúng hay sai nói chung là không đơn giản, bởi vì
sẽ có những biểu thức rất phức tạp nên để xét sự bằng nhau của chúng hoàn toàn
không dễ dàng.
Nhƣ vậy câu hỏi “1 = 2 là phƣơng trình hay đẳng thức?” đã đƣợc trả lời.
Câu trả lời là: “1 = 2” là đẳng thức (đẳng thức sai) và cũng là phƣơng trình
(phƣơng trình vô nghiệm).
1.1.2. Phƣơng trình
Hai biểu thức có chứa các đại lƣợng chƣa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi
một dấu bằng đƣợc gọi là phƣơng trình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của phƣơng
trình.
Những giá trị của ẩn làm cho phƣơng trình trở thành đẳng thức đúng đƣợc
gọi là nghiệm của phƣơng trình.
Dƣới đây là một vài ví dụ.
2 = 2 (phƣơng trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm).
1 = 2 (phƣơng trình vô nghiệm).
5x + 1 = 5 (phƣơng trình (ẩn x) có duy nhất nghiệm x =
4
5
).
3x
2
+xy
3
= 5zy +z
4
(phƣơng trình ba ẩn x, y, z phƣơng trình này có nhiều

nghiệm, (x, y, z)=(0, 0, 0) là một nghiệm của nó).
Trừ một số loại phƣơng trình đã đƣợc giới thiệu trong chƣơng trình toán
phổ thông, nhìn chung việc tìm các nghiệm của một phƣơng trình là không đơn
giản.
1.2. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số
1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến
Một câu khẳng định đúng hoặc sai đƣợc gọi là một mệnh đề.
Câu khẳng định đúng đƣợc gọi là một mệnh đề đúng.
Câu khẳng định là sai đƣợc gọi là một mệnh đề sai.
Mệnh đề chứa một hay nhiều biến nhận giá trị trong một tập X nào đó và
tính đúng sai của chúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể của các biến đó đƣợc gọi là
mệnh đề chứa biến.
1.2.2. Hàm số
Cho tập số thực khác rỗng D. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt
tƣơng ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x). Số f(x) đƣợc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
gọi là giá trị của f tại x. Tập D đƣợc gọi là tập xác định (hay miền xác định), x
đƣợc gọi là biến số hay đối số của f.
1.2.3. Phƣơng trình một ẩn
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lƣợt là D
f
và D
g
.
Đặt D là giao của D
f
và D
g

.
Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” đƣợc gọi là phƣơng trình một ẩn, x gọi là
ẩn số, D đƣợc gọi là tập xác định của phƣơng trình. Số x
0
thuộc D đƣợc gọi là
nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nếu “f(x
0
) = g(x
0
)” là mệnh đề đúng.
1.3. Nhận xét
Với các em học sinh phổ thông, định nghĩa nào trong hai định nghĩa trên là
hợp lí? Ta hãy cùng phân tích để tìm câu trả lời.
Trong lịch sử toán học, khái niệm “Phƣơng trình” có trƣớc khái niệm
“Hàm số”. Nói cách khác, không có khái niệm hàm số, loài ngƣời đã biết định
nghĩa phƣơng trình (một cách chặt chẽ) bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Tất cả các loại phƣơng trình đƣợc đề cập đến trong chƣơng trình Toán phổ
đều có thể định nghĩa bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Định nghĩa bằng khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp các phƣơng trình.
Ví dụ, phƣơng trình f(x) = g(x), trong đó
2
2 1 1
3 2 1
x khi x
f(x)
x x khi x





  

và g(x) = x
2
–
x + 3, chỉ có thể định nghĩa bằng khái niệm hàm số chứ không thể định nghĩ
bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn. Tuy nhiên, trong SGK đại số 10, 11, 12
không có một ví nào đại loại nhƣ ví dụ trên, do đó, đa số học sinh không thể thấy
đƣợc ý nghĩa của sự mở rộng nói trên.
Định nghĩa phƣơng trình bằng khái niệm hàm số rất dễ dẫn đến khái niệm
tập xác định của phƣơng trình và trên thực tế, trong SGK đại số 10 đã có khái
niệm này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Khi đƣa ra một khái niệm toán học mới, tác giả của khái niệm trƣớc hết
phải trả lời đƣợc câu hỏi “Để làm gì?”. Hình nhƣ tác giả của khái niệm tp xác
định chƣa nghĩ tới việc trả lời câu hỏi trên.
Sự xuất hiện của khái niệm tập xác của phƣơng trình – điều kiện của
phƣơng trình sẽ kéo theo một quan niệm sai lầm: trước khi gii phương trnh cần
phi tm tp xác định của phương trnh – điều kiện của phương trnh.
Vì định nghĩa bằng khái niệm hàm số nên SGK đại số 10 rơi vào tình trạng
tiền hậu bất nhất: định nghĩa phƣơng trình một ẩn bằng khái niệm hàm số, định
nghĩa phƣơng trình nhiều ẩn bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn. Rất phản sƣ
phạm!
Tất cả các lập luận trên giúp ta đi đến khẳng định: nhiều bài toán giải
phƣơng trình ta không nhất thiết phải tìm tập xác định, điều kiện ngay khi bắt tay
vào giải, ta có thể thực hiện bƣớc tìm điều kiện nhƣ một bƣớc trong lời giải.
Khẳng định trên sẽ đƣợc minh hoạ cụ thể bởi các ví dụ trong mục 2.3.2.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
Chƣơng 2
ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH
2.1. Bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện
Bài toán tm đối tượng tho mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả
chúng ta. Về hình thức, nó đƣợc phát biểu nhƣ sau.
Tìm tất cả các đối tƣợng
A( ).a

Kí hiệu
A( )a
biểu thị đối tƣợng A có tính chất
.a

Cùng với kí hiệu
A( ),a
ta còn dùng kí hiệu

A( )a
để biểu thị đối tƣợng A
không có tính chất
.a

Các kí hiệu
A( )a
và
A( )a
có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này.
Trong bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải
hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm đƣợc”. Nói một cách chính xác, tìm tập
hợp
{ }
A A( ) .a

Bài toán tìm đối tượng tho mãn điều kiện chỉ có ba phƣơng pháp giải,
đƣợc mô hình hoá nhƣ sau.
Phƣơng pháp 1: biến đổi hệ qu và thử lại*.
Bƣớc 1: biến đổi hệ qu*.
A( ) A .a Þ Î T

Bƣớc 2: thử lại*.
A A( ).Î Þ aT

Phƣơng pháp 2: biến đổi tương đương*.
A( ) A .a Û Î T

Chú ý:
Về phƣơng diện logic, phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng cũng chính là

phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài toán
tìm kiếm đối tượng tho mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phƣơng pháp nào trong
hai phƣơng pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi ngƣời giải toán phải có kĩ
năng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Phƣơng pháp 3: đoán nhn và khẳng định*.
Bƣớc 1: đoán nhn*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng
{ }
A( ) .ÐaT

Bƣớc 2: khẳng định*.
A A( ).Ï Þ aT

A A( ).Î Þ aT

Chú ý:
Nếu sử dụng phƣơng pháp đoán nhn và khẳng định thì ta phải có công
đoạn đoán nhn tập hợp
T
trƣớc khi tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh
A A( ).Î Þ aT

Nhƣ vậy, phƣơng pháp đoán nhn và khẳng định không tự nhiên bằng
phƣơng pháp biến đổi hệ qu và thử lại.
Vì lí do trên, phương pháp đoán nhn và khẳng định ít đƣợc sử dụng hơn
phƣơng pháp biến đổi hệ qu và thử lại.
Cần phải nói thêm rằng, để giải bài toán tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện,
về phƣơng diện lôgic, song hành với các phƣơng pháp 1, 3 còn có hai phƣơng

pháp giải khác, đƣợc mô hình hoá nhƣ sau.
Phƣơng pháp 1’, bao gồm hai bƣớc.
Bƣớc 1.
TA A( ).Ï Þ a

Bƣớc 2.
TA( ) A .a Þ Ï

Phƣơng pháp 3’, bao gồm hai bƣớc.
Bƣớc 1.
A( ) A .a Þ Î T

Bƣớc 2.
TA( ) A .a Þ Ï

Tuy nhiên, trong thực tế giải toán, để giải các bài toán tìm đối tƣợng thoả
mãn điều kiện, ngƣời ta chỉ sử dụng các phƣơng pháp 1, 2, 3, các phƣơng pháp
1’, 3’ không bao giờ đƣợc sử dụng.
2.2. Bài toán giải phƣơng trình
2.2.1. Đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình – Các ví dụ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
Giải phƣơng trình tức là tìm hết các nghiệm của phƣơng trình.
Nhƣ vậy bài toán giải phƣơng trình là một trong các bài toán tìm đối tượng
tho mãn điều kiện. Do đó, về phƣơng diện logic nó chỉ có thể đƣợc giải bởi một
trong ba phƣơng pháp sau: biến đổi hệ qu và thử lại; biển đổi tương đương;
đoán nhn và khẳng định.
Các ví dụ dƣới đây là sự cụ thể hoá ba phƣơng pháp trên.

Ví dụ 2.2.1.1. Biến đổi hệ qu và thử lại.
Giải phƣơng trình sau.

1632  xx
(1).
Lời giải.

Bƣớc 1: biến đổi hệ qu.
Giả sử x
0
là nghiệm của (1). Ta thấy:

00
x 3 16 2x- = -
là đẳng thức đúng

2
00
x 3 (16 2x )Þ - = -


2
0 0 0
x 3 256 2x 4xÞ - = - +


2
00
4x 65x 256 0Þ - + =

0
0
x 7
37
x
4
é
=
ê
ê
Þ
ê
=
ê
ë

Bƣớc 2, thử lại.
Với x
0
= 7 thay vào phƣơng trình (1):
2.7 7 3 16  
nên 7 là nghiệm của
phƣơng trình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Với
0
37

x
4
=
thay vào vế trái phƣơng trình (1):
37 37
2. 3 16
44
  
nên
37
4

không là nghiệm của phƣơng trình.
Kết luận.
Phƣơng trình (1) có nghiệm là 7.
Ví dụ 2.2.1.2 Biến đổi tương đương.
Giải phƣơng trình sau.

x 1 x(x 3)- = - -
(1).
Lời giải.
Cách 1.
Ta thấy: x
0
là nghiệm của (1)
0 0 0
x 1 x (x 3)Û - = - -
là đẳng thức đúng
0 0 0
0

0 0 0
0
x 1 x (x 3)
x 1 0
lµ tuyÓn hai hÖ®¼ngthøc vµ bÊt ®¼ng thøc®óng
(x 1) x (x 3)
x 1 0
é
í
- = - -
ï
ï
ê
ì
ê
ï
-³
ï
î
ê
Û
ê
í
- - = - -
ï
ê
ï
ê
ì
ï

ê
-<
ï
î
ë


0
0
2
0
0
2
0
0
x 2x 1 0
x1
lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
x 4x 1 0
x1
é
í
ï
- - =
ï
ê
ì
ê
ï
³

ê
ï
î
ê
Û
ê
í
ï
+ + =
ï
ê
ì
ê
ï
<
ê
ï
î
ë


0
0
0
0
0
0
x 1 2
x 1 2
x1

lµ tuyÓn hai hÖ ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc ®óng
x 2 3
x 2 3
x1
é
í
é
ï
=+
ï
ê
ê
ï
ê
ï
ê
ï
ê
ì
=-
ê
ë
ï
ê
ï
ê
ï
³
ï
ï

î
ê
Û
ê
í
é
ï
ê
= - +
ï
ê
ê
ï
ï
ê
ï
ê
ì
= - -
ê
ê
ë
ï
ê
ï
ï
ê
<
ï
ï

î
ë

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11

0
0
0
x 1 2
x 2 3 lµ tuyÓn ba ®¼ng thøc®óng.
x 2 3
é
=+
ê
ê
Û = - +
ê
ê
ê
= - -
ê
ë

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là
1 2.; 2 3; 2 3.+ - + - -

Cách 2.

Trƣờng hợp 1.
0
x 1 0.

Ta thấy:
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0 0 0
x 1 x (x 3)Û - = - -
là đẳng thức đúng

0
2
0
x 2x 1 0Û - - =
là đẳng thức đúng

0
0
x 1 2
x 1 2
é
=+
ê
Û
ê
=-
ê

ë
là tuyển hai đẳng thức đúng
Kết hợp với điều kiện
0
x 1 0,
ta thấy:
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0
x 1 2Û = +
là đẳng thức đúng.
Trƣờng hợp 2.
0
x 1 0.

Ta thấy:
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0 0 0
(x 1) x (x 3)Û - - = - -
là đẳng thức đúng

0
2
0
x 4x 1 0Û + + =

là đẳng thức đúng

0
0
x 2 3
x 2 3
é
= - +
ê
Û
ê
= - -
ê
ë
là tuyển hai đẳng thức đúng
Kết hợp với điều kiện
0
x 1 0,
ta thấy:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
x
0
là nghiệm của phƣơng trình

0
0
x 2 3
x 2 3

é
= - +
ê
Û
ê
= - -
ê
ë
là tuyển hai đẳng thức đúng
Kết luận.
Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là
1 2,+

2 3, 2 3.   

Nhận xét.
Để phân biệt cách 1 và cách 2, ngƣời ta nói cách 1 là biến đổi tương
đương, cách 2 là biến đổi tương đương trong điều kiện.
Ví dụ 2.2.1.3. đoán nhn và khẳng định.
Giải phƣơng trình sau trong
0( , ).


2
10
xxx
x


(1).

Lời giải.
Bƣớc 1, đoán nhn
Dễ nhận thấy x = 1 là nghiệm của (1).
Bƣớc 2, khẳng định
Khi x > 1, ta có x
x
> 1
x
=1 và x
2
> x, do đó x – x
2
< 0, suy ra
2
0
10 10 1
xx

,
điều đó có nghĩa là
2
10


x x x
x
.
Vậy (1) không có nghiệm khi x > 1.
Khi 0 < x < 1, ta có x

x
< 1
x
=1 và x
2
< x, do đó x – x
2
> 0, suy ra
2
0
10 10 1
xx

, điều đó có nghĩa là
2
10


x x x
x
.
Vậy (1) không có nghiệm khi 0 < x < 1.
Kết luận. x = 1 là nghiệm của phƣơng trình (1)
Ví dụ 2.2.1.4. đoán nhn và khẳng định.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13

( )

5
4
x 1 1 2 x- + = -
(1).
Lời giải.
Vì các số dƣới căn bậc chẵn phải nhận giá trị không âm nên 1 < x < 2.
Vì 1 < x < 2 nên
( )
5
4
2 x 1 x 1 1 .- < < - +

Kết luận.
Phƣơng trình (1) vô nghiệm.
Chú ý.
Vì phƣơng trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bƣớc đoán
nhn mà chỉ có bƣớc khẳng định.
2.2.2. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng
Lời giải của ví dụ 2.2.1.1 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến đổi hệ
quả và thử lại, lời giải của ví dụ 2.2.1.2 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến
đổi tƣơng đƣơng. Tuy nhiên, cả hai lời giải trên đều qúa rƣờm rà. Để khắc phục
tình trạng trên, sử dụng các khái niệm của lí thuyết tập hợp, ngƣời ta đƣa ra hai
khái niệm: phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng.
Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nằm trong tập nghiệm của
phƣơng trình F(x) = G(x) thì phƣơng trình F(x) = G(x) đƣợc gọi là phƣơng trình
hệ quả của phƣơng trình f(x) = g(x).
Để biểu thị F(x) = G(x) là hệ quả của f(x) = g(x), ta viết:
f(x) = g(x)

F(x) = G(x).

Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) bằng tập nghiệm của phƣơng
trình f(x) = g(x) thì ta nói phƣơng trình f(x) = g(x) và phƣơng trình F(x) = G(x)
là hai phƣơng trình tƣơng đƣơng.
Để biểu thị f(x) = g(x) và f(x) = g(x) tƣơng đƣơng, ta viết:
f(x) = g(x)

F(x) = G(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Đƣơng nhiên f(x) = g(x)

F(x) = G(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x)

F(x)
= G(x) và F(x) = G(x)

f(x) = g(x).
Hãy chú ý tới sự hoàn hảo của kí hiệu, dấu

bao gồm hai dấu:

và

.
Nhờ các khái niệm phƣơng trình hệ quả và phƣơng trình tƣơng đƣơng, lời
giải của các ví dụ 2.2.1.1 và 2.2.1.2 đƣợc thể hiện đơn giản hơn.
Ví dụ 2.2.2.1. (giải lại bằng khái niệm phƣơng trình hệ quả).
Giải phƣơng trình sau.

1632  xx
(1)
Lời giải.
Bƣớc 1, biến đổi hệ qu


x 3 16 2x- = -


2
x 3 (16 2x)Þ - = -


2
x 3 256 2x 4xÞ - = - +


2
4x 65x 256 0Þ - + =


x 7
37
x
4
é
=
ê
ê
Þ

ê
=
ê
ë

Bƣớc 2, thử lại.
Khi x = 7, vế trái của (1) =
2.7 7 3 16  
= vế phải của (1). Do đó 7 là
nghiệm của phƣơng trình (1).
Khi
37
x
4
=
vế trái của (1) =
37 37
2. 3 16
44
  
= vế phải của (1). Do đó
37
4
không là nghiệm của phƣơng trình.
Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là 7.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Lời giải.

Ví dụ 2.2.2.2. (Giải lại bằng khái niệm phƣơng trình tƣơng đƣơng).
Giải phƣơng trình sau.

x 1 x(x 3).- = - -
(1)
Lời giải.
Cách 1.

x 1 x(x 3)- = - -

x 1 x(x 3)
x 1 0
(x 1) x(x 3)
x 1 0
é
í
- = - -
ï
ï
ê
ì
ê
ï
-³
ï
î
ê
Û
ê
í

- - = - -
ï
ê
ï
ì
ê
ï
-<
ê
ï
î
ë


2
2
x 2x 1 0
x1
x 4x 1 0
x1
é
í
ï
- - =
ï
ê
ì
ê
ï
³

ï
î
ê
Û
ê
í
ï
ê
+ + =
ï
ê
ì
ï
ê
<
ï
î
ë


x 1 2
x 1 2
x1
x 2 3
x 2 3
x1
é
í
é
ï

=+
ï
ê
ê
ï
ê
ï
ê
ì
ê
=-
ê
ë
ï
ê
ï
ï
ê
³
ï
î
ê
Û
ê
í
é
ï
ê
= - +
ï

ê
ï
ê
ï
ê
ê
ì
= - -
ê
ë
ê
ï
ï
ê
ï
<
ï
ê
î
ë


x 1 2
x 2 3
x 2 3
é
=+
ê
ê
Û = - +

ê
ê
ê
= - -
ê
ë

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là
1 2.; 2 3; 2 3.+ - + - -

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Cách 2.
Trƣờng hợp 1.
x 1 0.

Ta thấy:


x 1 x(x 3)
x 1 x(x 3)
- = - -
Û - = - -


2
x 2x 1 0Û - - =

x 1 2
x 1 2
é
=+
ê
Û
ê
=-
ê
ë

Kết hợp với điều kiện
x 1 0,
ta thấy
x 1 2=+
là nghiệm của (1).
Trƣờng hợp 2.
x 1 0.



x 1 x(x 3)
(x 1) x(x 3)
- = - -
Û - - = - -


2
x 4x 1 0Û + + =

x 2 3
x 2 3
é
= - +
ê
Û
ê
= - -
ê
ë

Kết hợp với điều kiện
x 1 0,
ta thấy
x 2 3, x 2 3= - + = - -
là các
nghiệm của (1).
Kết luận.
Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là
1 2,+

2 3, 2 3.   

Nhận xét.
Cách 1 vẫn đƣợc gọi là biến đổi tương đương, cách 2 vẫn đƣợc gọi là biến
đổi tương đương trong điều kiện.