Bài giảng phương trình mũ và bất phương trình mũ

CHUYÊN ĐỀ 2.
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ.
+ Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ.
 Kĩ năng
+ Giải được một số phương trình mũ và bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về
cùng cơ số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số.
+ Nhận dạng được các loại phương trình mũ và bất phương trình mũ.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình mũ a x = b
+ Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  log a b .
+ Nếu b  0 thì phương trình vơ nghiệm.
Đặc biệt: Phương trình a x  a y  x  y (biến đổi về cùng cơ số).
f x
g x
Dạng 1: Phương trình có dạng a    a   .
f x
g x
+ Nếu a  1 thì a    a   nghiệm đúng với mọi x.

+ Nếu 0  a  1 thì f  x   g  x  .
Dạng 2: Phương trình có dạng a

f  x

 b (với 0  a  1, b  0 )

a f  x   b  f  x   log a b.

2. Bất phương trình mũ
f x
g x
Dạng 1: Bất phương trình có dạng a    a   . 1

+ Nếu a  1 thì 1  f  x   g  x  .
+ Nếu a  1 thì (1) nghiệm đúng x  .
+ Nếu 0  a  1 thì 1  f  x   g  x  .
Dạng 2: Bất phương trình có dạng a

f  x

 b (với b  0 ). (2)

+ Nếu a  1 thì  2   f  x   log a b.
+ Nếu 0  a  1 thì  2   f  x   log a b.
Dạng 3: Bất phương trình có dạng a f  x   b.  3
+ Nếu b  0 thì (3) nghiệm đúng x  .
+ Nếu b  0, a  1 thì  3  f  x   log a b.
TOANMATH.com

Trang 1


+ Nếu 0  a  1 thì  3  f  x   log a b.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA

b0

Phương trình có nghiệm x  log a b

b0

Phương trình vơ nghiệm

ax  b

PHƯƠNG
TRÌNH MŨ

a 1

a

f  x

a

Phương trình nghiệm đúng với mọi
x

g  x

a  1, a  0

a

f  x

b

a

0  a 1

f  x

a

g  x

 f  x  g  x

a f  x   b  f  x   log a b

b0

a f  x   b  f  x   log a b

a 1

a f  x  b

b  0

a f  x   b  f  x   log a b

0  a 1

BẤT
PHƯƠNG
TRÌNH MŨ

Tìm điều kiện để f  x  có

b0

a

f  x

nghĩa

b

0  a 1

a f  x   b  f  x   log a b

a 1

a f  x   b  f  x   log a b

b0

TOANMATH.com

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình mũ
Bài tốn 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x

2

A. 0.

C. 6.

B. 2.

 x4



1
là
16

D. 1.

Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có 2 x

2

 x4



 x 1
1
1
 x 2  x  4  log 2
 x2  x  0  
.
16
16
x  0

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.
Cách 2: Ta có: 2 x

2

 x4

x  0
 2 4  x 2  x  4  4  x 2  x  0  
.
 x 1

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.
Chọn D.
 25 
Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 0, 6  

 9 

x 2 12

x

A. -8.

B.

1
.
2

3

 27 

 là
 125 

C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn giải

 25 
Ta có: 0, 6  
 9 

x 2 12

x

 3
 
5

x

3
. 
5

24  2 x 2

3

 27 
3

  
 125 
5
9

3
 3
   

5
5

Vậy tổng các nghiệm là

x

5
. 
3

24  x  2 x 2

2 x 2  24

 3
 
5

9

 x3
9
 3
    2 x 2  x  24  9  
5.
x  
5

2

1
.
2

Chọn B.
Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5x  2 x
1
A.  .
2

B.

3
.
2

3
C.  .
2

2

1

 5.32 x

2

 x 1

là
D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
Ta có: 3.5

x  2 x 2 1

2 x 2  x 1

 5.3

TOANMATH.com



5x 2 x

2

1

2 x 2  x 1

3

5
5
  
3
3

2 x 2  x 1



5
3

Trang 3


x 0
 2 x  x  1  1  
.
x  1

2
2

1
.
2

Vậy tổng các nghiệm là

Chọn D.



Ví dụ 4. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3  2 2
A. T  0.

B. T  2.



x2  x 2



 3 2 2

C. T  1.



x3  2

. Tìm T.

D. T  1.

Hướng dẫn giải







Nhận xét: 3  2 2 3  2 2  1  3  2 2 

3  2 2 

x2  x  2



 3 2 2



x3  2



1
 3 2 2
3 2 2



 3 2 2



x2  x  2





1

 3 2 2



, nên

2  x3

x  0
 x  x2  2 x  x  x  x  0  
.
 x  1  5

2
2

3

3

2

Do đó tích tất cả các nghiệm là 0.
Chọn A.
Bài tốn 2. Phương trình theo một hàm số mũ
Phương pháp giải
Chú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ.
Ta thường gặp các dạng sau:


m.a



m.a

2 f  x

f  x

 n.a

 n.b

2 f  x

f  x

f  x

 p0

1
f x
f x
 p  0 , trong đó a.b  1 . Đặt t  a   , t  0 suy ra b    .
t

 n.  a.b 

f  x

2 f  x

2 f  x

a
và đặt  
b

f  x



m.a



Ẩn phụ khơng hồn tồn: Đặt a x  t khi đó phương trình mới chứa cả x và t. Ta coi t là ẩn; x là

 p.b

 0 . Chia hai vế cho b

 t  0.

tham số, tìm mối quan hệ x và t.
Ví dụ mẫu
2

2

Ví dụ 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4 x  5.2 x  4  0 là
A. 3.

B. 2.

C. 4.

Đưa phương trình ban

Hướng dẫn giải
Ta có: 4 x  5.2 x  4  0   22   5.2 x  4  0
2

2

TOANMATH.com

D. 1.

x2

2

đầu về dạng phương
2

trình bậc hai ẩn 2 x .

Trang 4


 

 2

x2

2

 2x  1
 x2  0
 x0
 5.2  4  0   2
 2

.
x



2
 2 x  4
 x  2

2

x2

Chọn A.
Ví dụ 2. Phương trình 31 x  31 x  10 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó giá trị biểu
thức P  x1  x2  2 x1 x2 là
A. 0.

B. -6.

C. -2.

D. 2.

Hướng dẫn giải
1 x

Ta có: 3

1 x

3

2
3

 10  3.3  x  10  3.  3 x   10.3x  3  0
3
x

Đưa phương trình ban
đầu về dạng phương
trình bậc hai ẩn 3x.

 3x  3
 x 1
 x 1
. Vậy P  2.
3 
x  1


3

Chọn C.
Ví dụ 3. Tích các nghiệm của phương trình
A. 2.

B. -1.



 



x

2 1 

C. 0.

x

2  1  2 2  0 là

D. 1.

Hướng dẫn giải
Ta có





2 1
x

 1 

 
 2 1 











2  1





2 1



2 1  1  2 1 



2 1  2 2  0  

x



1
nên phương trình thành
2 1



2

2 1   2 2

x





x

2 1 1  0

 x 1

.
x  1

 2 1

1
2 1

Đưa phương trình ban
đầu về dạng phương
trình



2 1  1 2



2 1  1

 2 1 

x

x

Nhận xét:

bậc



hai

ẩn

x

2 1 .

Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1.

Chọn B.
Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình

3.4 x 1  11.6 x  2.9 x  0. . Tìm S.
A. S  1  log 2 3.

B. S  1  log 3 2.

C. S  1  2 log 2 2.

D. S  1.

3

Hướng dẫn giải
Ta có: 3.4 x 1  11.6 x  2.9 x  0  12.4 x  11.6 x  2.9 x  0

Chia 2 vế cho 4 x đưa về
phương trình bậc hai ẩn

TOANMATH.com

Trang 5


2x

x

x

6x
9x
3
3
 12  11. x  2. x  0  2.    11.    12  0
4
4
2
2

3
là   .
2

  3 x
   4
 x   log 2 4
 x  log 3 4
2


3 .
2



 3 x 3



 x 1
 x 1
  
2
2
 

Vậy S  1  2 log 2 2.
3

Chọn C.



Ví dụ 5. Phương trình 3  5

  3  5 
x

x

 3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 . Giá

trị biểu thức A  x12  x22 bằng bao nhiêu?
A. 9.

B. 13.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải

Ta có
1

3 5 3 5
3 5  3 5 
Nhận xét 3  5 3  5  4 
.
1
 
 .
2
2
2
 2 







x

x

2x

3 5  3 5 
 

2
 2 

x

1

 3 5   3 5 
 3 5 
 3 5 
Do đó: 
  
  3  
  3. 
  1  0
 2   2 
 2 
 2 

Chia 2 vế cho 2 x đưa về

 3  5  x 3  5

 
2
 2 

 x 1


.
x
 x  1
 3  5  3  5
 

2
 2 

 3 5 
là 
 .
 2 

phương trình bậc hai ẩn
x

Vậy A  2.
Chọn D.
Ví dụ 6. Tổng tất cả các nghiệm thực 3.4 x   3 x  10  .2 x  3  x  0 là S  log 2

a
a
là phân số tối
, với
b
b

giản. Giá trị của a  b bằng
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hướng dẫn giải
3.4 x   3 x  10  .2 x  3  x  0  3.  2 x    3 x  10  .2 x  3  x  0
2

Đặt 2 x  t  t  0  , phương trình trở thành 3t 2   3x  10  t  3  x  0
Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là t  2 x và tham số x.

TOANMATH.com

Trang 6



1
1

2x 
t



Giải phương trình theo tham số x ta được
3
3 

 x
2

3

x *
t

3

x


Giải phương trình (*), ta có: 2 x  x  3  0 .
Đặt f  x   2 x  x  3, f '  x   2 x ln 2  1  0, x   nên phương trình f  x   0 có tối đa một nghiệm.
Mà f 1  0 nên phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất x  1 .
1
1
2
Tóm lại phương trình có nghiệm x1  log 2 ; x2  1 nên S  log 2  1  log 2 .
3
3
3

Do đó a  2, b  3 suy ra a  b  5.
Chọn D.

Bài toán 3. Lấy logarit hai vế
Phương pháp giải
Cho 0  a  1 và x, y  0 ta có x  y  log a x  log a y


Phương trình a



Phương trình a

f  x

f  x

0  a  1, b  0
b
.
 f  x   log a b

 b g  x   log a a f  x   log a b g  x   f  x   g  x  .log a b
hoặc log b a f  x   log b b g  x   f  x  .log b a  g  x  .

Ví dụ mẫu
2

Ví dụ 1. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 7 x .3 x  1 . Tìm S.
A. S  log 7 3.

B. S  log 3 7.

C. S  log 2 3.

D. S  log 3 2.

Hướng dẫn giải
Ta có:

Lấy logarit cơ số 3



2

2



2

7 x .3 x  1  log 3 7 x .3 x  log 3 1  log 3 7 x  log 3 3 x  0

hoặc cơ số 7 hai vế.

x  0
 x .log 3 7  x  0  x  x log 3 7  1  0  
.
 x  1  log 7 3
log 3 7


2

Vậy tổng các nghiệm là S  log 7 3.
Chọn A.

Ví dụ 2. Phương trình 3x.5

2 x 1
x

 15 có một nghiệm dạng x   log a b , với a, b

là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của P  a  2b bằng
bao nhiêu?
TOANMATH.com

Trang 7


A. P  8.

B. P  5.

C. P  13.

D. P  3.

Hướng dẫn giải
Ta có: 3x.5

2 x 1
x

 15 

 log3 3x 1  log 3 5

x 1
x

2 x 1
x

x

3 .5
3.5

 1  3x 1.5

 0  x 1 

x 1
x

x 1


 1  log 3  3x 1.5 x   0




x 1
.log 3 5  0
x

 x 1
 1

  x  1 .  1  .log 3 5   0  
.
 x

 x   log 3 5

Vậy a  3, b  5 suy ra a  2b  13.
Chọn C.
Bài toán 4. Đặt nhân tử chung
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2.11x  253x  23x  2 là
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Ta có: 2.11x  253x  23 x  2  2.11x  11x.23x  23x  2  0

 2 11x  1  23x 11x  1  0
  2  23x 11x  1  0

 11x  1  0 (vì 2  3x  0, x   )  x  0.
Chọn A.
Ví dụ 2. Phương trình 2 x

2

x

 4.2 x

2

x

 2 2 x  4  0 có số nghiệm nguyên dương

là
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 x

2

x

 4.2 x

2

x

2

 22 x  4  0  2 x  x.22 x  4.2 x



 2 x  x.  2 2 x  4    2 2 x  4   0   2 2 x  4  2 x
2

2

x

2

x

 22 x  4  0



1  0

 22 x  4
 2x  2
 x 1
 2
 2

.
x x
 1 x  x  0
x  0
 2

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.
Chọn B.
Bài toán 5. Phương pháp hàm số
TOANMATH.com

Trang 8


Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Tính chất 1. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a; b  thì có tối đa một
nghiệm của phương trình f  x   k trên  a; b  và f  u   f  v   u  v, u, v   a; b  .
Tính chất 2. Nếu hàm số y  f  x  liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y  g  x 

liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f  x   g  x 
khơng nhiều hơn một.
Tính chất 3. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình

f  u   f  v   u  v (hoặc u  v ) , u , v  D.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Phương trình 3x  5  2 x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Ta có: 3x  5  2 x  3x  2 x  5  0
Đặt f  x   3x  2 x  5, ta có f   x   3x ln 3  2  0, x   nên phương trình

f  x   0 có tối đa một nghiệm.
Mà f 1  0 nên phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất là x  1.
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 2. Phương trình 2 x  5 x  2  5 x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Ta có: 2 x  5 x  2  5 x  5 x  2 x  5 x  2  0
Đặt f  x   5x  2 x  5 x  2, ta có f   x   5x.ln 5  2 x ln 2  5
Xét f   x   0  5 x.ln 5  2 x ln 2  5  0
Ta có f   x   5 x.ln 2 5  2 x ln 2 2  0, x   nên phương trình f   x   0 có
tối đa một nghiệm.
Vì lim f   x   5 và lim f   x    nên phương trình f   x   0 có duy
x 

x 

nhất một nghiệm x  x0 .
Do đó, phương trình f  x   0 có tối đa hai nghiệm.

TOANMATH.com

Trang 9


 f 1  0
Mà 
nên phương trình có hai nghiệm x  0 hoặc x  1.
 f  0   0

Chọn D.
3

2

Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình 2 23 x .2 x  210 x  23 x3  10 x 2  x
gần bằng số nào dưới đây?
A. 0,35.

B. 0,40.

C. 0,50.

D. 0,45.

Hướng dẫn giải
3

2

Ta có 223 x .2 x  210 x  23x 3  10 x 2  x  223 x

3

x

2

 23 x3  x  210 x  10 x 2

Đặt f  t   2t  t , ta có f   t   2t.ln 2  1  0, t  .
Mà f  23 x  x   f 10 x
3

2



 x0
nên 23 x  x  10 x  
.
x  5  2

23
3

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là

2

10
.
23

Chọn B.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
3

3m  27 3 3m  27.2 x  2 x có nghiệm thực?

A. 6.

B. 4.

C. Vơ số.

D. Khơng tồn tại m.

Hướng dẫn giải
Ta có

3

3m  27 3 3m  27.2 x  2 x  27 3 3m  27.2 x  23 x  3m.

Đặt 2 x  u , điều kiện: u  0 và

3

3m  27.2 x  v  v 3  3m  27.u.

1

 2

 3

(1) trở thành u 3  27v  3m.

Từ (3) và (2) suy ra u 3  27v  v 3  27u   u  v  .  u 2  uv  v 2  27   0
 u  v.
2

1  3v 2


Do u  uv  v  4   u  v  
 27  0, u , v  , nên
2 
4

2

3

2

3m  27u  u  m 

Xét hàm số f  u  
Ta có f   u  

u 3  27u
, với u  0.
3

u 3  27u
với u  0.
3

1
 3u 3  27  ; f   u   0  u  3 do u  0.
3

TOANMATH.com

Trang 10


Suy ra min f  u   54. Do đó có vơ số giá trị ngun của m để phương trình
 0; 

có nghiệm thực.
Chọn C.
Bài tốn 6. Phương trình chứa tham số
Phương pháp giải
Ví dụ 1. Cho phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0.
Biết rằng khi m  m0 thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. m0 là số nguyên âm.
B. m0 là số nguyên tố.
C. m0 là số lẻ.
D. m0 là số chính phương.
Hướng dẫn giải

Bước 1. Đặt t  a  t  0  , chuyển phương trình Ta có:
x

ban đầu về phương trình ẩn t.

4 x  m.2 x 1  2m  0.   2 x   2m.2 x  2m  0 1
2

Đặt t  2 x , t  0, phương trình thành

t 2  2mt  2m  0  2  .
Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có Ta thấy rằng ứng với một giá trị t  0 ta tìm được
nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm
quyết.

x1 , x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
t2  t1  0 đồng thời
x1  x2  3  2 x1  x2  23  t1.t2  8.

Từ đó, ta có điều kiện
  0
 4m 2  8m  0


 S  0   2m  0  m  4.
P  8

 2m  8


Vậy m0  4 là một số chính phương.
Chọn D.
Ví

dụ

2.

Tìm

m

để

phương

trình

Bài tốn: Tìm tham số m để phương trình có
TOANMATH.com

Trang 11


nghiệm thuộc  x1 ; x2  ta giải như sau:

9 x  2.3x  3  m  0 có nghiệm thuộc  0;   .

Bước 1. Đặt t  a x , t  0

Đặt 3x  t ,  t  0  . Vì x   0;   nên t  1;   .

vì x   x1 ; x2   t   a x1 ; a x2  .
Bước 2. Chuyển về phương trình ẩn t, cơ lập m Phương trình trở thành:
chuyển về dạng f  t   m
t 2  2t  3  m  0  m  t 2  2t  3.
Bước 3. Xét hàm f  t  : tìm đạo hàm, lập bảng Xét hàm số f  t   t 2  2t  3 trên khoảng 1;   .
Có f   t   2t  2  0  t  1. Ta có bảng biến thiên

biến thiên và đưa ra kết luận.

t



1

f  t 

+


f t 
2
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m  2 thỏa mãn
yêu cầu đề bài.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

4 x  m.2 x  2m  5  0 có hai nghiệm trái dấu?
A. Vơ số.

B. 0.

C. 1.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Ta có 4 x  m.2 x  2m  5  0   2 x   m.2 x  2m  5  0
2

Đặt t  2 x , t  0, phương trình thành t 2  mt  2m  5  0  2  .
Đặt f  t   t 2  mt  2m  5
Nhận xét rằng với một giá trị t  0 ta tìm được một nghiệm x nên để phương
trình có hai nghiệm x1  0  x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
t2  t1  0 đồng thời t1  1  t2 (vì 2 x1  20  2 x2 ). Từ đó, ta có:


 2
m 2  8m  20  0


0
m

4
2
m

5

0





5

 P  0


2m  5  0
m
5


  m  4.
2



S

0
m0
2



m0
1. f  t   0
1. 1  m  2m  5   0

m4



Vậy chỉ có một giá trị nguyên của tham số m thỏa đề.

Chọn C.
TOANMATH.com

Trang 12


Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị ngun dương của tham số m để phương trình

2 x  3  m 4 x  1 * có nghiệm duy nhất?
A. 3.

B. Vô số.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Đặt t  2 x , t  0, phương trình *  t  3  m t 2  1  m 
t 3

Xét hàm số f  t  
Ta có f   t  

t

t 3
t2 1

1 .

xác định trên tập D   0;   .

t2 1

1  3t

2

 1

1
. Cho f   t   0  1  3t  0  t  .
3
t2 1

Bảng biến thiên


x

1
3

0

y

+




0

10

y

3

1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1  m  3 hoặc m  10 phương trình có
nghiệm duy nhất nên có hai giá trị ngun của tham số m.
Chọn D.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

2.4

x 1

 5.2

x 1

 m  0, * có nghiệm?

A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Đặt t  2

x 1

, điều kiện t 

1
vì
2

x  1  1.

Khi đó *  2t 2  5t   m.

1

Xét hàm số y  2t 2  5t trên  ;   .
2

5
Ta có y  4t  5. Cho y  0  4t  5  0  t  .
4

x



y

TOANMATH.com

1
2

5
4

+

0



Trang 13


25
8

y

2


Do đó phương trình có nghiệm khi m 

25
.
8

Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giá trị của tham số k để hai phương trình 3x  30  x 1 và x  k  0  2  có nghiệm chung là
A. 2.

B. 3.

Câu 2: Phương trình 3x

3

9 x  4

A. 1.
Câu 3: Phương trình

C. 4.

 81 có bao nhiêu nghiệm?

B. 2.



C. 3.

 
x

6  35

A. 1.

D. 5.

6  35

D. 4.

  12 có bao nhiêu nghiệm?
x

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 4: Phương trình 2 x  2.5 x  40000 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 1.
Câu 5: Phương trình 3

B. 2.

x 2

A. 0.

C. 3.

D. 4.

 666661 có bao nhiêu nghiệm?

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 6: Phương trình 4 x  10.2 x  16  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1.

B. 4.

Câu 7: Cho phương trình 3x
A. 28.

2

C. 3.

 4 x 5

 9. Tổng các lập phương các nghiệm thực của phương trình là

B. 27.

Câu 8: Cho phương trình 3x

2

3 x 8

D. 2.

C. 26.

D. 25.

 92 x 1 , khi đó tập nghiệm của phương trình là

A. S  2;5 .

 5  61 5  61 
B. S  
;
.
2
2



 5  61 5  61 

C. S  
;
.
2 
 2

D. S  2; 5 .

1
Câu 9: Phương trình 3  9.  
3

x 1

x

A. 1.

 4  0 có bao nhiêu nghiệm âm?

B. 3.
28

Câu 10: Cho phương trình 2 3

x4

C. 0.

D. 2.

2

 16 x 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số ngun.
B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
TOANMATH.com

Trang 14


D. Phương trình vơ nghiệm.
Câu 11: Phương trình 28 x .58 x  0, 001. 105 
2

A. 7.

1 x

2

có tổng các nghiệm là

B. -7.

C. 5.

D. -5.

C. x  1, x  log3 2.

D. x  1, x   log3 2.

Câu 12: Phương trình 9 x  5.3x  6  0 có nghiệm là
A. x  1, x  log 2 3.

B. x  1, x  log3 2.

Câu 13: Cho phương trình 4.4 x  9.2 x1  8  0. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó,
tích x1.x2 bằng
A. -1.

B. 2.

C. -2.

D. 1.

Câu 14: Cho phương trình 4 x  41 x  3. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4 2 x  3.4 x  4  0.
B. Phương trình có một nghiệm.
C. Nghiệm của phương trình là ln lớn hơn 0.
D. Phương trình vơ nghiệm.
Câu 15: Nghiệm của phương trình 2 x  2 x 1  3x  3x 1 là
A. x  log 3
2

3

.
4

B. x  1.

D. x  log 4

C. x  0.

3

2
.
3

Câu 16: Nghiệm của phương trình 6.4  13.6  6.9  0 là
x

x

x

2 3
B. x   ;  .
3 2

A. x  0;1 .

C. x  1;0 .

D. x  1;1 .

Câu 17: Nghiệm của phương trình 12.3x  3.15 x  5 x1  20 là
A. x  log 5 3  1.

B. x  log 3 5.

C. x  log 3 5  1.

D. x  log 3 5  1.

Câu 18: Phương trình 9 x  5.3x  6  0 có tổng các nghiệm là
2
B. log 3 .
3

A. log 3 6.

3
C. log 3 .
2

D.  log 3 6.

Câu 19: Phương trình 5 x  251 x  6 có tích các nghiệm là

 1  21 
A. log 5 
 2  .




 1  21 
B. log5 
 2  .





Câu 20: Phương trình 7  4 3
A. x  log 2 3 2.
 

  2  3
x

x

 6 có nghiệm là



B. x  log 2 3.

Câu 22: Phương trình
TOANMATH.com

B. x  5; 1;1;3 .



3 2

 
x

3 2



C. x  log 2 2  3 .

Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4 x
A. x  5; 1;1; 2 .

 1  21 
D. 5 log 5 
 2  .



C. 5.

2

3 x  2

 4x

2

6 x 5

 42 x

2

3 x 7

C. x  5; 1;1; 2 .

   10 
x

x

D. x  1.
 1.

D. x  5; 1;1; 2 .

có bao nhiêu nghiệm thực?
Trang 15


A. 1.

B. 2.

C. 3.

2

Câu 23: Cho phương trình 2cos x  4.2sin
A. 0.

2

x

D. 4.

 6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

B. 2.

C. 4.

D. Vơ số nghiệm.

Câu 24: Phương trình x.2 x  x 2  2  2 x 1  3x có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?
A. 0.

B. 4.

Câu 25: Phương trình
A. 4.



C. 3.

5 2

 
x

3 2

   7
x

B. 0.

x

D. 2.

có bao nhiêu nghiệm?

C. 3.

D. 2.

Câu 26: Phương trình 32 x  2 x  3x  1  4.3 x  5  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?
A. 1.

B. 2.

Câu 27: Phương trình 2 x 3  3x

C. 0.
2

5 x  6

D. 3.

có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1  x2 hãy chọn phát biểu đúng?

A. 3 x1  2 x2  log 3 54. B. 2 x1  3 x2  log 3 8.

C. 2 x1  3 x2  log3 54.

D. 3 x1  2 x2  log 3 8.

Câu 28: Phương trình 4sin x  4cos x  2 2  sin x  cos x  có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  0;15 ?
2

A. 3.

2

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 29: m là tham số thay đổi sao cho phương trình 9 x  4.3x 1  27 m

2

1

có hai nghiệm phân biệt. Tổng

hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. 1.

B. -3.

C. 2.

D. -4.



  2  3
x

Câu 30: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2  3

x

 m có hai nghiệm phân

biệt?
A. m  2.

B. m  2.

C. m  2.

Câu 31: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x

2

4

2

D. m  2.



  2 2 x  2   2 x

2 x 2 1

2

2

3

 1. Khi đó, tổng hai

nghiệm bằng?

A. -2.

B. 2.

C. 0.

Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x 1.5
A. S  2; m log 3 5 .

B. S  2; m  log 3 5 .
2

Câu 33: Biết rằng phương trình 3x 1.25 x 1 

2 x 2m
xm

D. 1.

 15, m là tham số khác 2.

C. S  2 .

D. S  2; m  log 3 5 .

3
có đúng hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị của
25

P  3x1  3x2 .

A. P 

26
.
5

B. P  26.

Câu 34: Phương trình 2 x 1  2 x
A. 1.
TOANMATH.com

2

B. 2.

x

C. P  26.

D. P 

26
.
25

  x  1 có bao nhiêu nghiệm?
2

C. 3.

D. 4.
Trang 16


Câu 35: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin x  2017 cos x  cos 2 x trên đoạn  0;  .
2

A. T  .

B. T 


.
4

Câu 36: Biết rằng phương trình 3x

2

C. T 
1


.
2

2

D. T 

3
.
4

  x 2  1 3x 1  1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương

hai nghiệm của phương trình bằng
A. 2.

B. 0.

C. 8.

D. 8.

Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 x  2.3x 1  m  0 có hai nghiệm thực x1 , x2
thỏa mãn x1  x2  1.
A. m  6.

B. m  3.

C. m  3.

D. m  1.

Câu 38: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0 có hai nghiệm thực x1 , x2
thỏa mãn x1  x2  2.
A. m  4.

B. m  3.

C. m  2.

D. m  1.

Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2017 2 x 1  2m.2017 x  m  0 có hai nghiệm
thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1.
A. m  0.

B. m  3.

C. m  2.

D. m  1.

Câu 40: Cho phương trình  m  116 x  2  2m  3 4 x  6m  5  0 với m là tham số thực. Tập các giá trị
của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng  a; b  . Tính P  ab.
A. P  4.

3
C. P   .
2

B. P  4.

5
D. P  .
6

Câu 41: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 9 x   m  1 3x  2m  0 có nghiệm duy nhất.
A. m  5  2 6.

B. m  0; m  5  2 6.

C. m  0.

D. m  0; m  5  2 6.

Câu 42: Cho phương trình 4 x

2

 2 x 1

 m.2 x

2

2 x 2

 3m  2  0 với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m

để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
A. m  1.

B. m  1; m  2.

Câu 43: Cho phương trình m.2 x

2

5 x 6

C. m  2.

D. m  2.

2

 21 x  2.265 x  m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá

trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt?
A. 1.

B. 2.

Câu 44: Cho phương trình 251

C. 3.
1 x 2

  m  2  51

1 x 2

D. 4.

 2m  1  0 với m là tham số thực. Số nguyên dương

m lớn nhất để phương trình có nghiệm là
A. m  20.

B. m  35.

C. m  30.

D. m  25.

Dạng 2: Bất phương trình mũ
TOANMATH.com

Trang 17


Bài tốn 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải bất phương trình





3 1

x1

 42 3

Hướng dẫn giải

Ta thấy a  3  1  0;1 nên ta có: x  1  log

3 1

 4  2 3   x  1  2  x  1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ;1
Chọn D.
Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 x 1  22 x  2  22 x 3  448 là
9

A.  ;  .
2


9

B.  ;   .
2



9

C.  ;   .
2


 9


D.   ;   .
2



Hướng dẫn giải
Ta có:

1 2x 1 2x 1 2x
7
.2  .2  .2  448  .22 x  448  22 x  512
2
4
8
8
9
 2 x  log 2 512  2 x  9  x  .
2

Chọn B.
Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  2 x  2  2 x  4  3x  3x  2  3x  4 là


13 
A. T   ;log 2  .
3 3 





13
B. T  log 2 ;   .
 3 3



13 
C. T   ;log 2  .
3 3 




13
D. T   log 2 ;   .
 3 3


Hướng dẫn giải
x

2 x 91
 2  13
Ta có: 2  4.2  16.2  3  9.3  81.3  21.2  91.3  x 
   .
3
21  3 
3
x

x

x

x

x

x

x

x

2
13
Vì cơ số a    0;1 nên bất phương trình thành x  log 2 .
3
3 3

Chọn A.
Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình



5 2



2x

x1





52



x

là

A.  ; 1   0;1.

B.  1; 0.

C.  ; 1   0;   .

D.  1;0  1;   .

Hướng dẫn giải
Ta thấy



52





5  2 1 5  2 

TOANMATH.com



52



1

nên bất phương trình thành
Trang 18




5 2



2x
x 1





5 2



x

. 1

Vì cơ số a  5  2   0;1 nên

1 

 1  x  0
2x
2x
x2  x
 x 
x0
0
.
x 1
x 1
x 1
 x 1

Chọn D.
Bài tốn 2. Bất phương trình theo một hàm số mũ
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Bất phương trình 5.4 x  2.25x  7.10 x  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Ta có: 5.4 x  2.25 x  7.10 x  0
2x

x

25 x
10 x
5
5
 5  2. x  7. x  0  2.    7.    5  0
4
4
2
2
x

5 5
 1      0  x  1.
2
2

Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên.
Chọn A.
2

Ví dụ 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4 2 x  5.4 x
A. 2.

B. 4.

2

x

C. 0.

 4 2 x 1  0 là

D. 1.

Hướng dẫn giải
2

Ta có: 4 2 x  5.4 x

2

x

 

 42 x 1  0  4 x



 4x

2

2

2

x



 5.4 x .4 x  4.  4 x   0
2

2

2

 5.4 x

2

x

40

 4x x  1
 x2  x  0
 2
 2
 4 x  x  4
x  x  2
2

 x0
 x 1

.
 x  1

 x2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.
Chọn A.
Ví dụ 3. Bất phương trình
A. 2.
TOANMATH.com

4 x  3.2 x 1  8
 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
2 x 1  1
B. -1.

C. 0.

D. 1.
Trang 19


Hướng dẫn giải
2 x   6.2 x  8

4 x  3.2 x 1  8
Ta có:
0
0
2 x 1  1
2.2 x  1
2

Lập bảng xét dấu của f  t  

t 2  6t  8 x
, 2  t.
2t  1
1
2



x



VT

2
+

0



4



0

+

Từ bảng xét dấu ta có:

2 

x 2

 6.2 x  8

2.2 x  1

 2x  4
 x2
 0  1


 1  x  1.
  2x  2

 2

Vậy bất phương trình khơng có nghiệm ngun âm.
Chọn C.
Ví dụ 5. Bất phương trình

1
5

x 1

1



1
có tập nghiệm dạng S   a; b    a;   với a  0 . Giá trị
5  5x

tổng a  b là
A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Ta có:

1
5 x 1  1



1
1
1
5  5 x  5.5 x  1



0

0
5  5x
5.5 x  1 5  5 x
 5.5x  1 . 5  5x 


5  5 x  5.5 x  1
6  6.5 x

0

0

 5.5x  1 . 5  5x 
 5.5x  1 .  5  5x 

Đưa vế trái về dạng một ẩn chứa 5x sau đó xét dấu
Lập bảng xét dấu f  t  
x

t 2  6.t
,5 x  t.
 5.t  1 .  5  t 

1
5



VT



1
+

0



5



+

 5x  5
 x 1
6  6.5x
Từ bảng xét dấu ta có
 0  1

.
x
x
x
  5  1  1  x  0
5.5  1 .5  5 
 5

Vậy a  1, b  0  a  b  1.
Chọn D.
Bài toán 3. Lấy logarit hai vế
TOANMATH.com

Trang 20


Phương pháp giải

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình

Cho 0  a  1 và x, y  0 ta có:

1
 
 3

+ Nếu 0  a  1 thì x  y  log a x  log a y.

3 x2

1
 
3

2 x1

là

A. S  1;   .

+ Nếu a  1 thì x  y  log a x  log a y.

1

B. S   ;    1;   .
3

 1 
C. S    ;1 .
 3 
1


D. S   ;   .
3


Hướng dẫn giải
Ta có:
1
 
 3

3 x2

1
 
 3

2 x 1

1
 log 1  
3 3

3 x2

1
 log 1  
3  3

2 x 1

 3x 2  2 x  1  0

1

x


3.

 x 1
1

Vậy S   ;    1;   .
3


Chọn B.
Ví dụ mẫu
1
Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình  
 3

3 x 2

 32 x 1 là

A. S  1;   .

1


B. S   ;    1;   .
3


 1 
C. S    ;1 .
 3 

1

D. S   ;   .
3


Hướng dẫn giải

1
Ta có  
3

3 x 2
2

2

 32 x 1  33 x  32 x1  log 3 33 x  log 3 32 x 1

 3x 2  2 x  1
1

   x  1.
3

TOANMATH.com

Trang 21


 1 
Vậy S    ;1 .
 3 

Chọn C.
1
Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình  
2

 x2 5 x

1
 
4

x 1

là

A. S   ;1   2;   .

B. S   ;1 .

C. S   \ 1; 2 .

D. S   2;   .

Hướng dẫn giải
1
Ta có  
2

 x2 5 x

1
 
4

x 1

1
 
2

 x2 5 x

1
 log 1  
2 2

1
 

 2

 x2 5 x

2 x 2

1
 log 1  
2 2

2 x2

  x2  5x  2x  2

  x 2  3x  2  0
 x2  3x  2  0
x  2

.
 x 1
Vậy S   ;1   2;   .
Chọn A.
x

Ví dụ 3. Nghiệm của bất phương trình 8 x  2  36.32 x là
 3  x  2
A. 
.
x  4

  log 2 6  x  2
B. 
.
x  4

 4  x  2
C. 
.
x  1

  log 3 18  x  2
D. 
.
x  4

Hướng dẫn giải
x 4

x

x 4

Ta có 8 x  2  36.32 x  2 x  2  34  x  log 3 2 x  2  log 3 34  x


x4
 log 3 2 
log 3 2  4  x   x  4  
 1  0
x2

 x2


x  4  0
x  4


x  4  0
x  4
 
 
  log 3 2
  log 3 2  2  x
1  0
0


x2
 x  2


TOANMATH.com

Trang 22


x  4
x  4

x


4


 
  x  4
  log3 18  x
  log 3 18  x  2
0

 x  2

x  4

.
  log 3 18  x  2
Chọn D.
2x

Ví dụ 4. Bất phương trình 2 x.5 x1  10 có tập nghiệm là  ; b    a; a  . Khi đó b  a bằng
B.  log 25 .

A. log 2 5.

D. 2  log 2 5.

C. 1.

Hướng dẫn giải
Ta có 2 x.5

2x
x 1

2x

x 1
x 1


2 x.5 x 1
 10 
 1  2 x 1.5 x 1  1  log 5  2 x 1.5 x 1   log 5 1
2.5



  x  1 .log 5 2 


x 1
1 

 0   x  1 .  log 5 2 
0
x 1
x 1


 x  1 .  x .log 5 2  log 5 2  1  0.

x 1

Bảng xét dấu:
x

 log 2 10



VT



Từ bảng xét dấu ta có

-1



+



1
0

+

 x  1 .  x .log 5 2  log 5 2  1  0   1  x  1

   x   log 10 .

2

x 1

a  1
Do đó 
 b  a  log 2 5.
b  log 2 10
Chọn A.
Bài toán 4. Đặt nhân tử chung
Phương pháp giải
Phân tích để xuất hiện nhân tử và đặt nhân tử chung. Ta có A.B  A.C  A  B  C 
Với bài phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ để giải.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tập nghiệm S của bất phương trình 8.3x  3.2 x  24  6 x có dạng S   a; b . Giá trị tổng
a  b bằng

A. 4.

B. 2  2 .

C. 1  3.

D. 0.

Hướng dẫn giải
TOANMATH.com

Trang 23


Ta có 8.3x  3.2 x  24  6 x  8.3 x  3.2 x  2 x.3x  24  0
 3x  8  2 x   3.  2 x  8   0   2 x  8 3  3x   0

 2 x  8
 x  3
 x

 3  3
x  1
x
x
  2  8  3  3  0  

 1  x  3.
x
 x  3

2

8



 3x  3
  x  1


Vậy a  1, b  3 nên a  b  4
Chọn A.
Ví dụ 2. Nghiệm của bất phương trình 52
A. 0  x  1.

x

 5  51

B. 0  x  1.

x

5

x

là

C. 0  x  1.

D. 0  x  1.

Hướng dẫn giải
Ta có 52

x

 5  51

x

5

x

 

 5

x

2

 6.5

x

5 0

   5  5.5  5  0
  5  5  5  1  0
 5

x

2

x

x

1 5

x

x

x

5

 0  x  1.

Chọn B.
Bài toán 5. Phương pháp hàm số
Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Tính chất:
+ Nếu hàm số y  f  x  ln đồng biến trên D thì bất phương trình:

f  u   f  v   u  v, u, v  D.
+ Nếu hàm số y  f  x  ln nghịch biến trên D thì bất phương trình:

f  u   f  v   u  v, u, v  D.

Ví dụ mẫu


a

Ví dụ 1. Bất phương trình 8 x  2 x  27 x 1  3x 1 có tập nghiệm là S   ; log a 3  , với
là phân số
b
b 


tối giản. Giá trị của a.b bằng
A. 2.
TOANMATH.com

B. 3.

C. 6.

D. 12.
Trang 24


Hướng dẫn giải
Ta có 8 x  2 x  27 x 1  3x 1   2 x   2 x   3x 1   3x 1
3

3

Đặt f  t   t 3  t , ta có f   t   3t 2  1  0, t   nên hàm số đồng biến trên  .
x

2
Mà f  2 x   f  3x 1   2 x  3x 1  2 x  3.3x     3
3

Vì

2
  0;1 nên x  log 2 3 từ đó a  2, b  3 nên a.b  6.
3
3

Chọn C.
Ví dụ 2. Tập nghiệm S của bất phương trình 2 4 x  x  1  0
A. S   ;3.

B. S   3;   .

C. S   ;3 .

D. S  3;   .

Hướng dẫn giải
Xét hàm số f  x   24  x  x  1 có f   x   2 4 x ln 2  1  0, x  .
Do đó hàm số f  x  nghịch biến trên .
Mà ta có f  3  0 nên: f  x   0  f  x   f  3  x  3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;3.
Chọn A.
Ví dụ 3. Cho phương trình 22 x

2

15 x 10

 2x

2

10 x 50

 x 2  25 x  150  0. Số nghiệm nguyên của bất

phương trình là
A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn giải
2
u  2 x  15 x  100
Đặt 
 u  v  x 2  25 x  150
2
v

x

10
x


50


Thay vào bất phương trình ta được: 2u  2v  u  v  0  2u  u  2v  v.
Xét hàm f  t   2t  t ta có f   t   2t ln 2  1  0, t  , suy ra hàm số f  t  đồng biến trên .
Mà f  u   f  v  nên u  v. Do đó:
2 x 2  15 x  100  x 2  10 x  50  x 2  25 x  150  0  10  x  15.

Vì x   nên x  10;11;12;13;14;15 .
Chọn D.



3

3



Ví dụ 4. Cho bất phương trình 36 2 x  3x  9.8x  4.27 x. Nghiệm của bất phương trình là
A. x   2;   .

B. x   2;   \ 1 .

C. x  1;   .

D. x   ; 2  .

TOANMATH.com

Trang 25