Hình thức luận diarac trong quang học lượng tử

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Nguyễn đức Vĩnh

Hình thức luận dirac
trong quang học lợng tử

Luận văn thạc sÜ vËt lý

Vinh - 2008


Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Nguyễn đức Vĩnh

Hình thức luận dirac
trong quang học lợng tử

Chuyên ngành: quang học
MÃ số: 62 44 11 01

Luận văn thạc sĩ vật lý

Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. Đinh phan khôi

Vinh - 2008

1

Mục lục
Trang
Lời cảm ơn

3

Mở đầu

4

I. Lý do chọn đề tài

4

II. Nhiệm vụ của đề tài

7

III. Phơng pháp nghiên cứu

7

IV. Cấu trúc luận văn

7

Chơng I: Hình thức luận Dirac

9

1.1. Véctơ trạng thái

9

1.2. Các trạng thái số

11

1.3. Toán tử tuyến tính

12

1.4. Toán tử sinh và huỷ

17

1.5. Các toán tử cầu ph ơng

18

1.6. Trạng thái kết hợp

19

1.7. Mode và trạng thái. Trạng thái đa mode

21

1.8. Các trạng thái vớng víu

22

1.9. Các trạng thái thuần khiết và trộn lẫn

24

1.10. Sự tiến triển theo thời gian

26

1.11. Dịch chuyển pha

28

Kết luận chơng 1

30


2

Chơng II: Một số ứng dụng của hình thức luận
Dirac trong Quang học l ợng tử
31
2.1. Dao động tử điều hoà

31

2.2. Bộ tách chùm

39

2.2.1. Giới thiệu bộ tách chùm

39

2.2.2. Mô tả bộ tách chùm theo hình thức luận Dirac

43

2.3. Các nguyên tử một electron

47

2.3.1. Một số khái niệm cơ sở

47

2.3.2. Khảo sát bài toán nguyên tử một electron

51

Kết luận chơng 2

58

Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

60


3

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Đinh Phan Khôi đÃ
giúp tôi định hớng đề tài và dành nhiều công sức chỉ dẫn cho tôi
trong quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học,
Ban chủ nhiệm Khoa Vật lý, Tr ờng Đại học Vinh, các thầy giáo:
PGS. TS. §inh Xu©n Khoa, PGS. TS. Hå Quang Q, PGS. TS.
Ngun Huy Công, TS. Võ Thanh C ơng, TS. Vũ Ngọc Sáu, cùng
các thầy cô giáo giảng dạy Cao học Vật lý khoá 14 đà giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An,
Huyện uỷ, Uỷ ban nhân dân huyện Anh Sơn, Phòng Giáo dục và
Đào tạo huyện Anh Sơn đà tạo điều kiện cho phép tôi đ ợc tham gia
học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ng ời thân trong gia đình,
bạn bè, đồng nghiệp và tất cả học viên Cao học Vật lý khoá 14 đÃ
động viên và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và hoàn thành
luận văn này.

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả luận văn

mở đầu

I. Lý do chọn đề tài


4

Nh chúng ta đà biết, ánh sáng đ ợc tạo bởi các hạt gọi là
photon, và do đó, bị lợng tử hoá. Quang học l ợng tử có nhiệm vụ
nghiên cứu bản chất và các tính chất của ánh sáng nh là các
photon bị lợng tử hoá. ý tởng đầu tiên cho rằng ánh sáng bị l ợng
tử hoá đợc Max Planck nêu lên vào năm 1899 khi ông giải thích
một cách đúng đắn sự bức xạ của vật đen bằng cách giả sử rằng sự
trao đổi năng lợng giữa ánh sáng và vật chất chỉ diễn ra với những
lợng gián đoạn gọi là l ợng tử. Khi đó ngời ta cha biết nguồn gốc
của sự rời rạc này là do vật chất hay ánh sáng. Năm 1905, Albert
Einstein công bố lí thuyết về hiệu ứng quang điện. Ông cho rằng
cách giải thích đúng đắn duy nhất cho hiệu ứng này đó là thừa
nhận sự tồn tại của các hạt ánh sáng, gọi là photon. Sau đó Niels
Bohr chỉ ra rằng nguyên tử cũng bị l ợng tử hoá nghĩa là chúng chỉ
phát ra những lợng năng lợng gián đoạn. Những hiểu biết về t ơng
tác giữa ánh sáng và vật chất tiếp theo những thành tựu nói trên
không chỉ tạo nên cơ sở của Quang học l ợng tử mà còn đóng vai
trò quyết định đối với sự phát triển của toàn bộ Cơ học l ợng tử.
Tuy nhiên, các phân ngành của Cơ học l ợng tử liên quan tới t ơng
tác giữa ánh sáng và vật chất lúc đó chủ yếu tập trung vào việc

nghiên cứu vật chất, chứ không phải ánh sáng. Bởi vậy, ng ời ta thờng nói tới Vật lí nguyên tử và Điện tử học l ợng tử.
Tình hình nói trên hoàn toàn thay đổi do sự phát minh ra
maser vào năm 1953 và laser vào năm 1960.
Khoa học laser ngành khoa học nghiên cứu nguyên tắc
hoạt động, thiết kế và ứng dụng của các thiết bị laser - đà trở
thành một lĩnh vực quan trọng, và những nghiên cứu lí thuyết về
nguyên tắc hoạt động của laser đang đ ợc tập trung vào các tính
chất của ánh sáng.
Do khoa học laser cần nhiều cơ sở lí thuyết tốt và do việc
nghiên cứu trong lĩnh vực này sớm đ ợc chứng minh là rất hữu ích
nên sự quan tâm vào Quang học l ợng tử ngày càng tăng lên. Tiếp


5

theo công trình của Dirac về Lí thuyết trờng lợng tử, trong những
năm 1950 và 1960, George Sudarshan , Roy J. Glauber , và Leonard
Mandel đà áp dụng lí thuyết l ợng tử cho trờng điện từ nhằm thu đ ợc những hiểu biết chi tiết hơn về sự phát hiện các photon
(photodetection) và tính thống kê của ánh sáng. Điều này dẫn tới
việc đa ra khái niệm trạng thái kết hợp ( coherent state ) nh là một
cách mô tả lợng tử của ánh sáng laser và dẫn tới kết luận cho rằng
một số trạng thái của ánh sáng không thể đ ợc mô tả bằng các sóng
cổ điển. Đây là bằng chứng thuyết phục đầu tiên nói rằng ánh sáng
đợc tạo bởi các photon.
Năm 1977, Kimble và các cộng sự thiết lập đ ợc nguồn sáng
đầu tiên đòi hỏi phải đ ợc mô tả theo quan điểm l ợng tử: một
nguyên tử đơn lẻ phát xạ chỉ một photon tại một thời điểm. Tiếp
sau đó không lâu, một trạng thái l ợng tử khác của ánh sáng - ¸nh
s¸ng nÐn (squeezed light ) - víi nhiỊu u ®iĨm nổi trội hơn so với
bất cứ trạng thái cổ điển nào, đà đ ợc đề xuất. Đồng thời, sự phát

triển của các xung laser ngắn và cực ngắn đ ợc tạo bởi các kĩ thuật
Q switching và modelocking đà mở đờng cho việc nghiên cứu các
quá trình siêu nhanh. Những øng dơng trong vËt lÝ chÊt r¾n (vÝ dơ
phỉ Raman) đà đợc tìm thấy và lực cơ học do ánh sáng tác dụng
lên vật chất đà đợc nghiên cứu. Điều này cho phép làm bay hơi
hoặc định vị các đám nguyên tử hoặc thậm chí các mẩu sinh học
bé trong bÉy quang (optical trap ) hc trong kĐp quang ( optical
tweezers ) bởi chùm laser. Thành tựu đó, cùng với sự làm lạnh
Doppler, là công nghệ tối cần thiết để thu đ ợc sự ngng tụ BoseEinstein.
Những thành tựu nổi bËt kh¸c bao gåm sù biĨu hiƯn cđa v íng
vÝu lỵng tư (quantum entanglement), chun vËn l ỵng tư (quantum
teleportation ), và gần đây là các cổng logic l ợng tử (quantum logic
gates ), trong đó cổng logic l ợng tử là đối t ợng đặc biệt thú vị
trong lí thuyết thông tin l ợng tử (quantum information theory ) –


6

một lĩnh vực xuất hiện do sự kết hợp giữa quang học l ợng tử và
khoa học tính toán lí thuyết [1].
Có nhiều phơng pháp tiếp cận khác nhau nhằm mô tả và giải
quyết các bài toán Quang học l ợng tử, trong đó hình thức luận
Dirac (do Dirac đề xuất) là một hình thức luận chính xác và thuận
tiện [2,3].
Trong khuôn khổ luận văn này, tr ớc hết, chúng tôi tìm hiểu
các khái niệm cơ bản của hình thức luận Dirac liên quan đến trạng
thái và toán tử, bao gồm: véctơ trạng thái, trạng thái số, trạng thái
kết hợp, trạng thái đa mode, trạng thái v ớng víu, trạng thái thuần
khiết và trộn lẫn, sự tiến triển của trạng thái theo thời gian; sự
dịch chuyển pha; toán tử tuyến tính, toán tử sinh và huỷ, toán tử

cầu phơng. Các khái niệm này là công cụ để mô tả và giải quyết
nhiều bài toán Quang học lợng tử [4-10]. Trên có sở đó, chúng tôi
tìm hiểu một số ứng dụng cụ thể của hình thức luận Dirac trong
Quang học lợng tử bao gồm: dao động tử điều hoà, bộ tách chùm
và nguyên tử một electron.

II. Nhiệm vụ của đề tài
1. Tìm hiểu các khái niệm cơ bản của hình thức luận Dirac
liên quan đến trạng thái và toán tử, bao gồm: véctơ trạng thái,
trạng thái số, trạng thái kết hợp, trạng thái đa mode, trạng thái v ớng víu, trạng thái thuần khiết và trộn lẫn, sự tiến triển của trạng
thái theo thời gian; sự dịch chuyển pha; toán tử tuyến tính, toán tử
sinh và huỷ, toán tử cầu phơng.
2. T×m hiĨu mét sè øng dơng cơ thĨ cđa h×nh thức luận Dirac
trong Quang học lợng tử, bao gồm các bài toán: dao động tử điều
hoà, bộ tách chùm và nguyên tử một electron.

III. Phơng pháp nghiên cứu


7

Đề tài đợc tiến hành thông qua việc nghiên cứu lý thuyết.
Kết quả sẽ đợc so sánh với các kết quả đà đ ợc công bố (thu đ ợc
bằng phơng pháp khác). Việc tính toán chủ yếu đ ợc thực hiện bằng
phơng pháp đại số, dựa vào các toán tử sinh và huỷ.

IV. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung
chính của luận văn đợc triển khai trong hai ch ơng:
Chơng I:

Hình thức luận Dirac

Chơng II: Một số ứng dụng của hình thøc ln Dirac trong
Quang häc lỵng tư.


8

Chơng I:

Hình thức luận Dirac

Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản
của hình thức luận Dirac.
1.1. Véctơ trạng thái
Trạng thái của vi hạt và toán tử là hai khái niệm cơ sở trong
Vật lý lợng tử [3]. Dirac đà đề xuất một hình thức luận chính xác
và thuận tiện cho việc thực hiện các tính toán trong Vật lý l ợng tử
và viết các biểu thức VËt lý l ỵng tư [2]. Theo kÝ hiƯu Dirac, một
vật thể tuân theo Vật lý l ợng tử (thuần khiết) có thể đ ợc mô tả
hoàn toàn bằng véctơ trạng thái của nó. Các véctơ trạng thái gồm
hai loại: bra và két. Các véctơ này chứa đựng các thông tin đồng
nhất và là các véctơ liên hợp trong không gian Hilbert H. Két
véctơ đợc viết là , trong đó chỉ số xác định trạng thái.
Véctơ liên hợp của két đợc gọi là bra và đợc viết là .
Một trạng thái có thể đ ợc khai triển theo tổ hợp tuyến tính
của các trạng thái khác:
c n n .

(1)

n

trong đó

cn

là số phức. Ta nói rằng trạng thái

của các trạng thái
viết nh sau:


,





n

.



là chồng chất

. Tích vô hớng của 2 véctơ trạng thái đ ợc
(2)

Véctơ liên hợp là liên hợp écmít của két véctơ t ơng ứng .
Liên hợp écmít đợc kí hiệu là + và là một toán tử tuyến tính.

Liên hợp của một số vô h ớng c , toán tử tuyến tính A
và két

tơng ứng là c * , A
,  , trong ®ã “ * ” kÝ hiệu phép lấy liên hợp
phức. Chú ý răng hai lần lấy liên hợp liên tục thì khử nhau.


9

Khi một tích vô hớng của các toán tử hay trạng thái đ ợc lấy
liên hợp thì cả 2 thừa số đợc lấy liên hợp và thứ tự tơng hỗ của
chúng bị đảo ngợc:




.



(3)

Trong trờng hợp đặc biệt, vì tích vô h ớng là một số phức, ta
có thể đơn giản hoá biểu thức:

*

.

(4)

Khi lấy liên hợp mét tÝch cã nhiỊu h¬n hai thõa sè, ta chØ
viƯc áp dụng liên tiếp quy tắc nói trên:




A







A




A

.

(5)

Khác với các véctơ trong không gian R n , thừa số nhân của
véctơ trạng thái không có ý nghĩa. Do đó và c , trong đó c
là số phức khác 0 , biểu diễn cùng một trạng thái. Theo quy ớc (và
để đơn giản hoá việc diễn tả xác suất của véctơ trạng thái), ta dùng
các véctơ trạng thái đà chuẩn hoá, nghĩa là


1

.

(6)

Bởi vậy, mỗi trạng thái t ơng ứng với một véctơ trạng thái duy nhất
(không kể một thừa số pha tầm th ờng).
Xác suất tìm thấy hạt (đ ợc mô tả bởi véctơ trạng thái
trạng thái

) ở

đợc tính theo công thức

n

0 n

2

1 .

(7)

Hai trạng thái đợc gọi là trực giao nếu


(8)

0

và hai trạng thái đợc gọi là đồng nhất nếu


1

.

(9)

Giả sử tất cả các trạng thái trong tập n trực giao. Với
những điều kiện nhất định, một trạng thái bất kỳ có thể ® ỵc biĨu


10

diễn theo tổ hợp của các trạng thái cơ sở này. Khi đó tập n là
một cơ sở trực giao đủ. Từ (1) và (7) ta thấy rằng xác suất tìm thấy
hạt ở trạng thái

n

là

cn

2

, nghĩa là bằng bình ph ơng môđun của

hệ số khai triển của trạng thái của hạt.
1.2. Các trạng thái số
Vào đầu thế kỉ 20 các nhà vật lí phát hiện ra rằng phổ phát
xạ nhiệt điện từ có thể đ ợc giải thích nếu ta giả sử rằng tr ờng điện
từ bị lợng tử hoá theo các đơn vị năng l ợng h , trong đó h là hằng
số Planck và là tần số. Nhận xét này sau đó đ ợc bổ sung bởi sự
quan sát hiệu ứng quang điện.
Sau đó, đơn vị lợng tử của năng lợng điện từ đợc gọi là
photon. Vì năng lợng là đại lợng quan sát đợc nên nó liên quan với
một toán tử écmít và một tập hợp đủ các trạng thái riêng. Do năng
lợng của các trạng thái nh thế đợc viết là

1

n h
2

, trong đó

n 0,1,2... là

số lợng tử năng lợng điện từ trong mode, nên các trạng
thái riêng của năng l ợng điện từ thờng đợc viết là n và đợc gọi
là các trạng thái số hoặc trạng thái Fock.
Trạng thái 0 là trạng thái điện từ cơ sở và th ờng đợc xem
là trạng thái chân không.
Do các trị riêng không suy biến nên các trạng thái số trực
giao. Ngoài ra, vì các trạng thái là chuẩn hoá nên ta có:
m n mn .

(10)

Cơ sở gồm các trạng thái số là một cơ sở đủ và thuận tiện để
khai triển các trạng thái khác nhau của tr ờng điện từ.
1.3. Toán tử tuyến tính
Động lực học của tất cả các đại l ợng vật lí của các hạt hay hệ
hạt tuân theo Vật lý l ợng tử đợc mô tả bởi tác động của các to¸n tư


11

tuyến tính. Toán tử thờng đợc kí hiệu bằng một chữ cái có dấu ^.
Nói chung, khi một toán tử tác động lên một trạng thái sẽ cho ta
một trạng thái khác:

A

'

.

(11)

Thứ tự giữa một toán tử và một trạng thái, cũng nh thứ tự
giữa các toán tử khác nhau là quan trọng vì đại số toán tử không
giao hoán. Toán tử tác động lên két từ bên phải và tác động lên bra
từ bên trái. Ta chỉ cần định nghĩa tác động của một toán tử (và liên
hợp của nó) lên két vì tác động của toán tử liên hợp lên bra đ ợc
định nghĩa bởi biểu thức



A

A

.


(12)

Tích ngoài của 2 trạng thái

I



và



là một toán tử, khác với

đợc định nghĩa là
(14)





đợc định nghĩa là
(13)

Toán tử đồng nhất

với mọi

và

.

Tích ngoài của 2 trạng thái
tích trong là một số phức.

I



thuộc H.

Ta có thể viết toán tử đồng nhất ở dạng cụ thể hơn nh sau:
Nếu tập hợp các trạng thái n biểu diễn một cơ sở trực giao đầy
đủ thì toán tử đồng nhÊt cã thĨ viÕt d íi d¹ng
Iˆ  n n
n

.

(15)

Do tác động của toán tử coi nh đợc biết nếu biết tác động của
toán tử lên mỗi trạng thái cơ sở nên mọi trạng thái có thể đ ợc diễn
tả nh là tổng các tích ngoài. Nghĩa là nếu

A
n

(16)

a
m

mn

m


12

thì
a mn m n
A
m,n

.

(17)
Toán tử tuyÕn tÝnh tho¶ m·n
ˆ c   c 
A
1
1
2
2

 c

1

ˆ c A

A
1
2
2

.

(18)

Ngoài ra

A B

B

A

.

(19)

Toán tử nghịch đảo của toán tử
định nghĩa là

,
A

đợc kí hiệu là A 1 và đợc

A
1 A
1A
I .
A

(20)

Toán tử U đợc gọi là unita nếu toán tử liên hợp của nó bằng
toán tử nghịch đảo cđa nã, nghÜa lµ
Uˆ  Uˆ  1

hay

UˆUˆ  Uˆ Uˆ 1 .

Giao ho¸n tư cđa c¸c to¸n tư

 Aˆ , B A B

(21)

A

và

B

đợc định nghĩa là

.
A
B

(22)

Nếu giao hoán tử bằng 0 thì các toán tử giao hoán. Từ định nghĩa
giao hoán tử ta suy ra rằng mọi toán tử giao hoán với chính nó và
giao hoán với toán tử đồng nhất. Từ định nghĩa giao hoán tö ta suy
ra

 Bˆ , Aˆ    Aˆ , B .
Nếu hai toán tử
B

A


A


A
B

(23)
và

.


B

không giao hoán thì nói chung
(24)

và B
không giao hoán, ta vẫn có thể tìm
Tuy nhiên ngay cả khi A
thấy các trạng thái xác định mà khi đó giao hoán tử bằng 0. Đại số
không giao hoán làm cho vật lý l ợng tử phong phú hơn về mặt hiện
tợng luận so với vật lý cổ điển, nh ng tính toán phức tạp hơn. Ngoài


13

ra, các toán tử không giao hoán đ ợc dùng để biểu diễn các đại l ợng
vật lí dẫn tới các khái niệm bổ sung và bất định trong vật lý l ợng
tử.
Trạng thái riêng

En

và trị riêng n của toán tử


A

thoả mÃn

E E
A
n
n
n

(25)

trong đó n nói chung là phức.
Mọi đại lợng vật lí quan sát đ ợc đều tơng ứng với một toán tử
écmít. Định nghĩa của toán tử écmít là
O O .

(26)

Điều này dẫn tới kết quả rằng các trị riêng của toán tử écmít là
thực. Ngoài ra, các trạng thái riêng ứng với các trị riêng khác nhau
là trực giao. Nếu tất cả các trị riêng đều không trùng nhau thì tập
hợp tất cả các trạng thái riêng đà chuẩn hoá

En

xác định một cơ

sở trực giao đủ. Ta đà biết rằng các trạng thái số, là các trạng thái
1
riêng của toán tử năng lợng (écmít) h n tạo nên một cơ sở trực

2

giao đủ bao gồm các véctơ trạng thái.
Khi đo một đại lợng vật lí tơng ứng với toán tử écmít O ta sẽ
thu đợc một trong số các trị riêng của toán tử nh là đầu ra của máy
đo. Xác suất thu đợc một giá trị cụ thể n khi đo trạng thái
Pn E n

2

.



là

(27)

Do đó, kết quả đo của một trạng thái cụ thể nói chung là không
xác định. Tuy nhiên, nếu phép đo thu đ ợc kết quả là n thì trạng
thái của hệ rơi vào trạng thái riêng

En

ngay sau đó chắc chắn thu đ ợc kết quả n .

. Phép đo trạng th¸i

14

Do kết quả phép đo trong vật lý l ợng tử nói chung là không
xác định nên vật lý lợng tử phải đợc mô tả một cách thống kê. Giá
trị kì vọng của một toán tử, khi trạng thái là  , lµ
ˆ  A
ˆ 
A
 Pn n  E n 
n

2

n

2

n  c n  n

Trong ®ã ta ®· áp dụng (26) và

Khi tính một biểu thức có dạng


tác động về bên phải lên



là hệ số khai triển

cn En

của véctơ trạng thái trong cơ sở trạng thái


A

(28)

n

En


A

.
ta có thể cho toán tử

rồi sau đó lấy tích vô h ớng của

với kết quả thu đợc. Ta cũng có thể cho cho toán tử


A

tác

động về bên trái lên rồi lấy tích vô hớng của kết quả này với
. Kết quả thu đợc, nói chung là một số phức, sẽ nh nhau trong

hai trờng hợp.
Toán tử mật độ là một toán tử quan trọng trong vật lý l ợng tử. Đối với trạng thái thuần khiết, toán tử mật độ đơn giản chỉ
là tích ngoài của véctơ trạng thái, nghĩa là . Toán tử mật
độ có dạng đối xứng, thuận tiện có việc áp dụng trong đại số toán
tử. Giá trị kỳ vọng của một toán tử là



Tr
A

.


A

(29)
Tr kí hiệu việc lấy vết và đ ợc tính bằng cách khai triển trạng

thái theo một cơ sở trực giao đủ bất kỳ và lấy tổng theo các
phần tö chÐo:





2
ˆ 
Tr   A
 E n   Aˆ E n  c n 

n

n

.

(30)

Cã thÓ chøng minh đợc rằng
Tr 1

và

(31)


15







.

B
Tr B
A

C
C
Tr A

(32)
1.4. Toán tử sinh và huỷ
Dùng cơ sở trạng thái số
huỷ a nh sau:
0 0
a

,

n
a

n n 1,

n

ta có thể định nghĩa toán tử

(33)
n 1,2,3...

(34)
Tơng tự, toán tử sinh a đợc định nghÜa:
aˆ  n  n  1 n  1 ,

n .

(35)

Ta cũng có thể định nghĩa toán tử sinh theo tích ngoài của
các trạng thái số:


a

n 1 n 1 n

.

(36)

n 0

Các toán tử sinh và huỷ là khác nhau và không phải là toán tử
écmít. Các toán tử này không t ơng ứng với bất cứ đại lợng vật lí
nào trong quang học l ợng tử. Tuy nhiên, có thể chứng minh đ ợc
rằng các toán tử đợc tạo bởi tích của chúng, a a và aa , đều là
écmít. áp dụng các định nghĩa nói trên của các toán tử sinh và
huỷ, ta dễ dàng chứng minh đ ợc rằng
năng lợng của một mode phải là

a a n n n

1

E h a a .

2


. Từ đó, toán tử

Toán tử n a a đợc

gọi là toán tử số. Ta có thể dùng toán tử sinh và huỷ để diễn tả
(hoặc sinh) một trạng thái từ chân không:
n

n

a

n!

0

.

Do n là một tập cơ sở đầy đủ nên mọi trạng thái
kì có thể đợc sinh ra từ chân không:

(37)


bất

16





  c n n  c n
n 0

n 0

 n

aˆ 

n!

0

.

(38)

Ta thÊy r»ng

 aˆ, aˆ  n


aˆaˆ  n  aˆ  aˆ n ( n  1) n  n n  n

(39)
víi mäi n , nghÜa lµ

 a, a I 1 .

(40)



Do đó, các toán tử écmít aa và a a liên hệ víi nhau theo
hƯ thøc aˆaˆ  aˆ  aˆ  1 . ý nghÜa cđa c¸c to¸n tư aˆaˆ  và a a

trong

Quang học lợng tử là: Toán tử a a tơng ứng với một phép đo số
photon (hoặc năng lợng) bởi một máy đo hấp thụ trong khi đó toán
tử aa tơng ứng với cùng phép đo bởi một máy đo phát xạ. Máy đo
phát xạ nhạy ngay cả với trạng thái chân không (bởi phát xạ tự
phát) trong khi đó máy đo hấp thụ không có đặc điểm đó.
1.5. Các toán tử cầu phơng
Bằng cách tổ hợp tuyến tính các toán tử sinh và huỷ ta có 2
toán tử cầu phơng
a1

1
a a
2

a 2

,

1
a a
2i



(41)

.

(42)

Các toán tử cầu phơng a1 và a 2 là écmít và tơng ứng với
phép đo các thành phần đồng pha và ng ợc pha của trờng điện. Để
làm rõ điều này, ta hÃy nhìn vào kÝ hiƯu (phøc) cỉ ®iĨn cđa tr êng
®iƯn. Mét trêng điện (băng hẹp) với tần số góc đợc kí hiệu là
E i t .



Tuy



nhiên,

điện

Re E it Re E cos(t ) Im E sin(t ).

tr ờng

thực

đợc

cho

bởi

Do đó, điện trờng đợc tách một

cách duy nhất theo các thành phần cầu ph ơng thay đổi chậm


17









Re E  E  E * / 2 vµ Im E  E  E * /(2i ) .

C¸c toán tử tơng ứng là

1
a

và

a 2

và các toán tử này tơng ứng với một phép đo homodyne hoàn
hảo.
Vì điện trờng là một đại lợng quan sát đợc và có giá trị liên
tục nên các trị riêng của các trạng thái riêng t ơng ứng có phổ liên
tục.
Do

1
a

a 2

và

là tổ hợp tuyến tính của các toán tử a và a

nên mọi toán tử đợc tạo bởi các tổ hợp của a và a có thể đợc
1
a

biểu diễn theo

và

a 2 .

Ta có thể chứng minh đợc rằng toán tử





năng lợng


E

có thể đợc viết dới dạng E h a1 2 a 2 2 . Các toán tử

cầu phơng

1
a

và

a 2

không giao hoán. Từ hệ thức

đợc giao hoán tử của các toán tử cầu ph ơng

a1 , a 2 i .

ˆ1
a

vµ

 aˆ, aˆ   Iˆ 1 ta tÝnh


aˆ 2 :

(43)

2

1.6. Trạng thái kết hợp
Mặc dù toán tử a không phải là écmít song nó có một tập đủ
các trạng thái riêng kết hợp. Trạng thái kết hợp đ ợc kí hiệu là ,
trong đó là một số phức. Ph ơng trình định nghĩa của trạng thái
kết hợp là

a

(44)

trong đó là số phức.
Biểu thức khai triển theo trạng thái số của trạng thái kết hợp
là
e




2

2




n 0

n
n .
n!

(45)

Các trạng thái kết hợp ứng với 1,2... phải đợc đánh số sao
cho có thể phân biệt với các trạng thái số 1 , 2 ... Tuy nhiªn, tõ


18

biĨu thøc khai triĨn cđa  , ta thÊy r»ng 0 biểu diễn trạng thái

cơ bản của trờng điện từ, tức là trạng thái chân không.
Xác suất tìm thấy n photon trong trạng thái kết hợp
Pn n

2

e





2

2

n

2

n!

e





2

là

2n

n!

.

(46)

Nh vậy số photon đếm đợc tuân theo thống kê Poisson. Từ đó ta
chứng minh đợc giá trị kì vọng và độ lệch của số photon là

n

n 2



2

,

(47)

trong đó toán tử n đợc định nghĩa là

n

n


n

.

ánh sáng từ một nguồn laser tốt thông th ờng gần nh ở trạng
thái kết hợp với những khoảng thời gian đo bé hơn thời gian kết
hợp của laser.
Từ các hệ thức giao hoán đà biết, kết hợp với kết quả: nếu

a

toán tử

a * ,

thì



1
a

và

a 2

aˆ1 Re  

vµ

aˆ1

2

nh sau:
aˆ 2 Im  

;

 aˆ 2

ta có thể suy ra giá trị kì vọng của các

2



(48)

1
;
4

(49)
đối với trạng thái kết hợp

.

1.7. Mode và trạng thái. Trạng thái đa mode
Việc phân biệt mode và trạng thái là quan trọng. Mode mô tả
các mode dao động, quay của một số hệ, trong khi đó véctơ trạng
thái mô tả sự kích thích của các mode này. Với tr ờng điện từ, các
mode đợc cho bởi nghiệm của các ph ơng trình Maxwell (và các
điều kiện liên quan), trong khi các trạng thái đ ợc cho bởi nghiệm
của phơng trình Schrodinger (và các điều kiện ban đầu). Mỗi mode
có một không gian Hilbert t ơng ứng và toán tử t ¬ng øng duy nhÊt.