Một số vấn đề định tính của phương trình sai phân và ứng dụng

' -^
'-
DAI HOC
QU6C GIA
HA
NCI
TRirclNG
DAI HOC KHOA HOC
Tl/NHlfeN
DINH
CONG
HI/6NG
.^
A/
MOT
SO
VAN
Dfi
DINH
TINH
CUA
PHlTONG TRINH SAI
PHAN VA
UNG
DUNG
Chuyen nganh: Toan Giai tich
Ma so: l.Ol.OI
LUAN AN TIEN SI TOAN HOC
TAP THE
HUONG
D.AN

KHOA HOC:
1.
HDC: GS. TSKH
Nguyen
Van Mau
2.
HDP:
TS.
O^ng
V u Giang
HA
NOI
- 2006
MUG
LUC
M6t
s6
kf hif
u dung trong
lu$n ^n
1
Ma
dau
2
Chirong
1
Ve m6t I6p phirong trinh
sai
phSn
phi

tuyen
\6\
mot
chdm
10
LI Tinh
cha't cua
nghiem
phucmg trlnh sai phan phi
tuy^n
vcri
m6t
cham . . 11
Ll.l H6i
tu
v6
0 11
1.1.2
Gidfi n6i
ngat 13
1.1.3
Hoi tu tai trang thai
can
bang duang vai ta't ca cac cham 16
LL4 H6i
tu
tdi
trang thai can bang ducmg vai chain nho 21
1.1.5 Dao
d6ng

cham va luan hoan kh6ng tam thuong 24
1.2
M6 hinh
quan the' dan
rcri
rac phi tuye'n vcri
mOt
cham 28
1.2.1
Sir
diet vong, trucmg t6n, phat trien ben
NVng
va tuan hoan 28
1.2.2 M6
hlnh
quan the chim cut a bang Wisconsin 29
1.2.3 M6 hlnh
quSn
the ru6i xanh Nicholson 34
1.3 M6'i lien
he
giua phucmg
trinh
vi phan va phucmg trlnh sai phan phi
tuyen c6 cham
35
1.3.1 Phucmg
trinh
vi phan phi tuyen c6 cham 36
1.3.2

M6i
lien he
ve
tinh cha't cua nghiem phucmg trinh sai phan va
phucmg Irinh
vi phan phi tuyen c6 cham 43
Chirong 2 Ve mot lap phirong trinh sai phan phi tuyen voi nhieu cham 48
2.1 Mot s6 khiii nicm
'^^
2.2
Tinh h6i
tu,
giai noi, tuan hoan
-^9
2.2.1
Tinh h6i
tu
^^
2.2.2
Tinh
giai noi
^^
2.2.3
Tinh tu5n
hoan 54
2.2.4
Vi
du 60
2.3
Tinh

dao
d6ng
62
Chirong 3
V^
mot
16p
phirong trinh sai
ph&n hum
ty 70
3.1
Phuong trinh
sai
phSn huu
ty
bac
mot 71
3.2
M6t s6 phuong
trinh sai phan huu ty bac hai 75
Ket
ludn
88
Danh muc cong
trinh da
cong
bo
cua tac gia
lien
quan den

luSn
an 90
Tai
lieu
tham khao 91
MOT SO Ki HIEU DUNG TRONG LUAN AN
N
-
tap cac
s6
tu nhien.
Z - tap
cdc
s6 nguyen.
Ne =
{n
e
Z
:
n
^
£},
a d&y e e
Z.
No =
NU{0}.
R,
R+,
R'^
-

true s6
thuc,
niia true
s6 thuc duang, kh6ng gian vec to thuc
A:-
chieu
R!r
-: R+ X
R^
X • • • X
R+.
^ ^ ^
[x,
b]^
= [x,
b]""
X
[x,
6]"^
X
• • • X
[x,
6]"*.
m
Ax„ ^ x„+i -
Xn,
(n G
No)
la loan tu sai phan tien.
i = ni,n2 nghia Ik

i
e
{n
:
n e Z
wh rii ^
TI
^
ns},
a day
ni,
n2 G
Z.
int/
-
phSn
trong cua doan 7.
C{J)
^
{/ : R
D
J
—^
J sao cho / lien tuc tren J}.
nLa
A,.
= A„ • • •
A,,
nLa An
=

1 ncu
a > b.
id - anh xa d6ng nha't.
liminfn-foo^n-
gidi
han duai cua day
s6
{x„}n.
limsup,,_,^Xn-
giai han tren cua day s6'
{xn}n.
linnnfx a
/(x)-giai han duai cua ham f
\
X
—>Y.
X
C
R",
n e
N,
1^
C
limsup^_„ /(x)-gidi
han tren cua ham / ;
A^
-^
Y.
X
C 7J\n e

N,
Y C
M6DAU
L^
thuy^t
dinh
tinh ciia
phirong
trinh
sai phan
1^
m6t hirdfng
nghien curu quan
trong trong giai
tich
toan hoc va
ung
dung. Nghi6n
cun
dinh
tinh
phirong
trinh
sai phan la
nghiSn cuii tinh ch^t
va dang
di6u cdc nghidm
ciia chung ma
khOng
nha't

thi6't
phai
xay
dung
c6ng thiic
nghiSm.
Trudc
day,
ngucri
ta thucmg nghien
cihi
phuong trinh sai phan bang
each
tim
c6ng thu:c nghiSm tucmg
minh cua no.
Tuy nhien,
kh6ng
phai
luc
nao
vice
tim c6ng thuc nghiem tucmg minh cung thuc
hien duoc hoac neu tim duoc thi c6ng
thu:c
qua
phiic
tap, can tro
vice
nghien cuu

cac
tinh
cha't cua
chiing.
Cac va'n de tieu
bi^u
ma ly thuyet dinh
tinh
phucmg
trinh sai phan quan tam la
tinh
gioi
n6i,
tinh
dao dong,
ti'nh tudn
hoan,
tinh hAu
tuan
hoan,
tinh
hut,
ti'nh
nhi phan,
tinh
On dinh nghiem, v.v
Ly thuye't dinh
tinh
phucmg trinh sai phan tim duoc nhieu ung dung trong cac
ITnh

vuc
ciia
toan hoc cung nhu cac khoa hoc khac, nhu trong giai
tich
s6', ly
thuyet dieu
khi^n,
ly thuyet tro choi, ly thuye't sO', khoa hoc may
tinh,
ly thuyet
mach, ly thuyet
lugng
tu, di truyen hoc, sinh thai hoc, kinh te hoc, tam ly hoc
va xa
h6i
hoc, v.v Vi vay, viec nghien
cihi ly
thuyet nay la mot va'n de thai
su
CLia
toan hoc duoc
nhi^u
nha khoa hoc quan tam. Trong thai gian gan day da
CO
nhieu tai lieu chuyen khao (xem [1], [2], [10],
[14],
[37]) va nhieu bai bao khoa
hoc (xcm
[4], [7],
[9], [11], [12], [13], [15], [16], [19], [25], [27], [28], [29], [33], [35],

[36],
[38],
[39],
[40], [41], [43], [44], [46], [47], [48], [51],
[52],
[55]) de cap den ly
thuye't dinh
tinh ciia
phirong trinh sai phan va ung dung.
Nhieu bai toan
dfm ve
nghien
ci'm
dinh
tinh
phucmg trinh sai phan. Dien
hinh
la bai toan nghien
cuii
su diet vong, truong ton, phat
trie'n
ben vung hay
tuAn
hoan cua cac
qiiAn
the sinh hoc
thOng
qua viec nghien cuu
tinh
chat cua nghiem

cac phirong trinh sai phan
mO
ta chung hay cac phuong trlnh sai phan
nhAn
duoc
tir
viec
Tcf\
rac hoa cac phuong trinh vi phan (thucmg. c6 cham. dao ham
ricng.
dai s6', ngau nhien. ) da duoc dung de mO hinh hoa cac
quAn thC nay
Mot
trong
nhOng bM
toan khac din
v^
viec nghien curu dinh
tinh
phuong trinh sai
phan
1^
bai todn yeu
c^u
phai
xay
dung cac thuat toan s6
h6i
tu.
M6t

thuat toan
s6
quen
bi^t la luge
d6 lap Newton
d^
tim nghiem
ciia ham
thuc. Nhung
luge 66
lap Newton chi
h6i
tu dia phuong trong khi do chi nhung thuat toan
h6i
tu toan
cue thi mdi
c6
y
nghIa
trong
umg
dung. Han che' nay cung xay ra
dO'i vdi
thuat
toan
CO tinh chat tuin
hoan vi trong trudng hgp nay may ti'nh
khOng
th^
cho ke't

qua
xap
xi t6t
nhat
khi
thdi
gian tie'n ra
v6
ciing.
Chang han nhu, di tim nghiem
(x^p
xi) ciia phuong trinh
f{x,x)
- x trong tap hcrp s6' thuc duong ta cho
tru6c
cac
gia tri
XQ.XI
> 0 va
tinh
cac gia tri khac theo
cOng
thuc
x„+i
=
/(i„,Xn-i)
vdi
n
G
N. Dieu ma chung ta

can
o day la day
{xn}n hOi
tu nhanh toi nghiem
ciia
phuong trinh f{x,x) = x. Tuy nhien trong thuc te
lai
c6
th^
xay ra trucmg
hgp day
{x„}„ tuan
hoan hoac
hOi
tu nhung
tO'c dO h6i
tu khOng cao.
Tren thuc te' nhieu quan
th^
sinh hoc duoc mo hinh hoa
boi
phucmg trinh sai
phan phi tuye'n c6 cham dang
x„+i = Ai„+
F(x„_m),
(0.1)
trong
66
m la
m6t

s6 nguyen duong c6' dinh,
n e
No;
x,, (z =
-m, 0) la cac s6'
duong cho
tru6c;
A e
(0,1) va
F G C([0,oo))
(xem
[1],
[7], [12], [41], [44], [45]).
Trong m6 hinh nay,
m
la khoang thoi gian
tir liic
sinh ra den luc trucmg thanh
cLia
ca
th^;
x„
la s6' lugng thanh vien trucmg thanh cua quan the
6
thoi diem
n;
Axn
la s6' lugng thanh vien truong thanh
sO'ng
sot (a thai diem n) va

F(x„_,„)
la
.sO'
lugng thanh vien
trudng
thanh (phat sinh bai
x„_„.) bd
sung vao
quln
the a
th6i
diem n + 1. Hai m6 hinh tieu bieu c6 dang (0.1) la mo hinh quan the chim
cut o bang Wisconsin hgp chung
quO'c
Hoa Ky (xem
[7],
[41],
[44])
A.M-A.r„
+
-^f^^,
(/a->0)
va m6 hinh quan the ru6i xanh Nicholson (xem
il],
|45j)
J-„
+
i
=
Ax„

+px„_^c-'""—,
{p.q>
0).
Mat khac, phuong trinh sai phan phi
tuye'n c6
cham (0.1)
chinh
la ket qua ciia
viec
rcfi
rac
hoa
phuong trinh vi phan phi
tuy^n
c6 cham
x{t) =
-nx{t)
-f-
f{x{t - r)) (0.2)
bang
each
thay dao ham bac
nhat
x{i) ciia x tai
t
boi ty sai phan ca'p 1
cda
no.
Trong
mOt

sO' trucmg hgp cu
thd
ciia ham /, phucmg trinh (0.2) da dugc
diing
d^
m6 hinh hoa
m6t
s6'
quan
th^
sinh hoc. Ching han, voi /(x) =
pxe~'^'^
hay /(x)
^
pe-*?^
thi (0.2) la m6 hinh
quan Xhi
ru6i xanh Nicholson (1957) do
Gurney va
mOt
s6' tac gia khac khao sat nam 1980. Hoac la voi /(x) =
-^^
hay
/(x)
=
0^^
thi
(0.2) la cac m6 hinh san xua't te bao mau do Mackey va Glass
khao sat nam 1977. Ti'nh cha't
ciia

nghiem phuong trinh dang (0.2) da dugc nhieu
tac gia nhu F. M. Atay, Y. Cao, S. Chow, W. S. C. Gurney, S. P. Blythe, R. M.
Nisbet, K. Gopalsamy, M. R. S. Kulenovic, G. Ladas, Jack K. Hale, K. P.
1
ladder,
J. Tomiuk, U. an der Heiden, Walther, M. Kot, Yang Kuang, 1. Kubiaczyk, S.
Saker, M. R. S. Kulenovic, Y.
Sficas,
M. C. Mackey, L. Glass, Jianhong
Wu,
v.v
, quan tam nghien
ci'm
(xem [3], [6], [8], [20], [21], [22], [23],
[24],
[26], [30],
[31],
[32],
[34],
[42], [49], [50], [54]).
Can
day, Y. Lenbury, Thomas I. Seidman
va Dang Vu Giang da khao sat ti'nh cha't cua nghiem phucmg trinh (0.2) va nhan
dugc mot s6' dieu kien de moi nghiem
ciia
phucmg trlnh nay la hoi tu ve 0,
gidi
noi nggt hay
hOi
tu toi trang thai

can
bang duong duy nha't. Dac biet la ket qua
ve hieu
suA't
cua do
tre
doi voi
sir
hoi tu cua nghiem den trang
thai
can bang
duang va su
tOn
tai nghiem tuan hoan kh6ng tam thucmg (xem
[17],
ilS;).
Nliom
tac gia nay cung ap dung cac ket qua cua ho
dd
xac dinh
dieu
kien
diet
vong.
truong t6n, phat
tridn
ben vung hay tuan hoan cua mot
s6'
qudn
the sinh hoc dugc

rno hinh hoa boi phirong trlnh dang (0.2).
6 day
ham phi tuyen / khong doi h6i
don
dieu
hay kha vi. Vi
vAy,
kCt
qua nay la
c6
y
nghia sinh
hoc.
bai \i
h:\u
het
ciic m6 hinh phat
triCn qudn
the sinh hoc, ham /
thuCmg
khong dan
dicii
va kha
vi.
Hon nua, nghiem
tuctn
hoan
khOng tam
thuong dong
vai

tro quan
inMiLi irong
cac qua trinh sinh hgc. Nhom tac gia nay da su dung phucmg phap lap gun
ium
uj
Ai nghien cuu
sir h6i
tu cua nghiem den trang thai can bang duang duy
nh^t
cua phirong trinh (0.2). Ngoai ra, ho con dung nguyen ly re nhanh Hopf va dinh
1^
di^m
b^Tt
d6ng
Browder
d^
chung
minh t6n tai nghiem
tu^n
hoan kh6ng
t^m
thucmg cua phuong trlnh nay.
Tinh ch^t
cua nghiem phuong trinh sai phan phi
tuye'n
c6 cham (0.1) cung
da
dugc
nhieu nha khoa hoc quan tam nghien cuu (xem [1],
[12],

[27], [28], [45]).
M6t s6
tac gia da
tim
dugc mot so dieu kien
dd
moi nghiem cua (0.1)
hOi
tu toi
trang thai
can
bang duong duy nha't cua no (hieu suat do tre khong xua't hien).
Cu
th^
la, nguoi ta da chung minh rang voi mot so dieu kien rang buoc ve
tinh
don dieu, kha vi cho ham phi tuyen
F,
ihl
moi
nghiem
hoi tu tai trang thai
can
bang duong voi ta't ca cac chain.
Nam 1984, trong [12], Fischer va Gogh da su dung phuong phap phiem ham
Liapunov
dd chiing
minh
sir
6n dinh tiem

cAn
toan
cue
cua trang thai cAn bang
duong duy nha't
ciia
phuong trinh dang (0.1). Trong
[Ij,
lac gia da ap dung ket
qua nay
dd
xac dinh dieu kien phat
Irien
ben vung trong hai mo
hinh
quan the
sau
va
' -t
71
—
Til
-TTI+I
—
AT„
H"
1
+
a'j„_,,i
Tuy nhien, trong nhieu truong hgp

thi
phuong phap nay
mat
lac dung.
Nam 1991, trong [28], nhom tac gia Karakoslas G Philos Ch. G., Sficas Y.
G. da
sir
dung phirong phap day gioi han day
de
khao sal
tinh
chat cua nghiem
phuong trinh (0.1) voi hai dang cua ham
F,
do
\l\
F
^
f
•
g va F
=
f
+
g,
trong
do / la
m6t
ham lien tuc,
ducmg

don dieu giam va g
Mx moi
ham lien tuc. khong
am,
don dieu tang. Nhom tac gia
tren
nhan dugc
moi
so dieu
kien
du de
moi
nghiem cua (0.1) hoi tu den trang thai can bang
JiMne
duy nhat va ho cung ap
dung cac ket qua
llm
dugc cho mot so
plurong irinh
nhu
•Tn+i
=
A.r„
-i-
^
•
_,
p
^n+1 — ^^n
+

T—
:
,
1
+
^n-m
Xn+l = XXn
+
OcXn-m^
•/3x,
Xn+1 = Xxn + ae ^^"—,
trong do 0 <
A
< 1,
a,p,r,s,
la cac hang so duong va
m
la mot so nguyen duong
c6'
dinh. Cac phuong trinh tren nhan dugc
til
viec
rdi
rac hoa mo hlnh san xua't
te bao mau Mackey - Glass va m6 hlnh quan the ruoi xanh Nicholson.
Nam 1994, trong [27], A. F. Ivanov da khao sal phuong trlnh sai phan dang
trong do n
€ No,/x
la tham so
duong,

/
e C{R)
va
m
la mot so nguyen duong c6
dinh. Phuong trlnh nay co the dugc vict lai
duoi
dang (0.1) voi
A = -^ e (0,1)
va F{x)
—
-^f{x),
Vx e
K.
A. F. Ivanov da nhan dugc mot so ket qua
\c tinh
cha't cua nghiem phuong trlnh nay nho
vice
nghien cuu
ifnh
chat cua anh xa /.
A. F Ivanov cung ap dung cac ket qua cua
minh
cho cac phien ban
rai
rac cua
m6
hlnh san xua't te bao mau Mackey - Glass va mo hlnh quan the ruoi xanh
Nicholson ma nhom tac gia Karakoslas G., Philos Ch.
G.,

Sficas Y. G da khao
sat nam 1991.
Nhu da de
cAp
o tren, phuong
Irlnh
sai phan phi
luycn
c6 cham (0.1
)
c6 the
dugc dung de mo hlnh hoa mot so quan
the
sinh hoc. Trong mo
hinh
nay, he so
s6'ng sot A
la
mot so
c6
dinh
ihuoc
khoang (0,
1
) va su phat
iricn
cua quan the
phu
thu6c m6t
chAm

m e
N.
Tuv
nhien,
iron rbirc le ibi he
so song sol
\-v bicn
thien theo thoi gian va su
phai triOn
cua quan
the
thuong phu
ihuoc
nhieu cham
bi chan, co trong s6'. Nhung quan the nhu
va>-
c6
the
^hhic
mo la boi
phujng
trlnh sai phAn sau
r
x„4i -
A,j-„
i
^(i.(n)r(i-,,_.,,).
f03)
t=i
R6

r^ng,
phirong trinh (0.3) la
mdt md rOng
cua phuong trinh (0.1). Hon
niia,
n6
cung
\k mb rdng
cua phuong tnnh
da dugc L. H. Erbe va B. G. Zhang
d6 cap
trong
[11].
Tir nhimg
m6 hinh thuc te' va viec
red
rac hoa phuong trlnh vi phan phi tuye'n
c6 cham (0.2),
ciing
nhu nhung ke't qua
\6 tinh ch^t ciia
nghiem phuong trinh
nay,
dSc
biet la hieu
sua^t ciia d6
tre
dG'i
voi su
hOi

tu cua nghiem de'n trang thai
can
bang duong va su t6n tai nghiem
tudn
hoan kh6ng
tdm
thucmg, cho ta tha'y
viec nghien cuu
tinh chSft ciia
nghiem hai lop phuong trlnh sai phan phi tuyen co
cham (0.1), (0.3) va ung
diing
cua n6 trong
ITnh
vuc sinh hoc la
m6t
va'n de co
tfnh
cha't thoi su.
Ngoai ra, viec nghien cuu
tinh
cha't cua nghiem phuong trlnh sai phan huu ty
a + PXn + 7Xn_i
trong do n
6
N,
xo.xj
la 2 so thuc khOng
am
cho truoc va

a,p,j,A,D,Ce[0,oo),
Q + /i + -7,S + CG
(0,oo),
cung la
vStn de
dang dugc nhieu nguoi quan
tam
(xem [4], [9],
[13],
[19], [29],
[35],
[36], [38], [39]). Trong nhung nam gan day, G. Ladas va
mOt
so' tac gia khac
nhu M. R. S. Kulenovic, W. Sizer, A. M.
Amleh,
E. A. Grove, D. A. Georgiou,
C. Gibbons, N. R. Prokup, da nhan dugc
m6t
so ket qua
ve
ti'nh chat cua nghiem
phuong trinh (0.4) voi
m6t
s6' han che' tren cac tham so
Q.
3 4,
B.C. Hon nua,
G. Ladas con dua ra nhieu du doan ve
tinh

chat hoi tu va tuan hoan cua nghiem
phuong
trinh
nay.
Luan an tap trung nghien
ciru mdt
s6' va'n de dinh ti'nh cua
phucmg
trinh sai
phan
va
ung dung.
NhiJng van
de dugc nghien curu trong luan an bao g6m:
I. Tfnh cha't
ciJa
nghiem
m6t
lop phuong trinh sai phan
phi
tuyen
v(ti m(M
cham (0.1) va
m6t \dp
phucmg trinh sai phan phi
tuyCn vai
nhieu cham
8
(0.3).
TCf

do xac dinh
dilu
kien
d^
cac
qudn
th^
sinh hoc dugc m6 hinh
hod
boi cac phuong trinh dang nay la diet vong, trucmg t6n, phat
tri^n
ben
vung hay
tuSn
hoan.
2.
Tinh
ch^t
cua
nghiSm m6t
lop phuong trlnh sai phan huu ty dang (0.4) vdi
mdt
s6 han che' tren cac tham
s6'
a,
p,
7,
A,
B,
C.

Trong ban luan an nay, chung
I6i
su dung
phucmg
phap tap
gi&i
han
UJ
d^
xdc
dinh su
h6i
tu cua moi nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen voi
mOt
cham (0.1) de'n trang thai can bang duong duy nha't ciia no. Phuong phap
cd
dien
la
phie'm ham Liapunov
khOng
hieu qua
dC'i
voi nhieu phuong trlnh dang (0.1).
Ngoai ra,
chiing tdi
dung dinh ly
didm
bat
d6ng khdng cue
bien cua Browder

va nguyen ly re nhanh Hopf
dd chi
ra su t6n tai nghiem tuan hoan kh6ng tam
thuong cua phuong trlnh (0.1) va diing dinh ly diem ba't
d6ng Krasnosel'skii dd
chung minh su t6n tai nghiem
tu^
hoan duong cua phuong trlnh
•,, + 1 = XnXn
+
y^QtF(jn-t
N6i
dung cua luan an, ngoai
phiin
mo
d^u,
phln
ket
luAn
gom co 3 chuong.
Chuong 1 nham trlnh bay
m6t
s6' dieu kien
dd
moi nghiem cua phuong trlnh
(0.1) hci
til
ve 0,
gi&i
noi

nggt,
h&'\
tu toi trang thai
can
bang duong duy nha't
vcd
ta't ca cac cham hay voi cham nho; dac biet la dieu kien de t6n tai nghiem
tuln
hoan
khOng tfim
thucmg. Xac dinh dieu kien diet vong.
irucmg
ion,
phat
men
b6n
vung va
tudn
hoan cua cac
quiin
the sinh hoc dugc mo hlnh hoa boi phuong
irlnh
nay. Ngoai ra, Chuong 1 con chi ro
sir
tuong
thich ve iinh
cha't cua nghiem
phuong trinh
sai
phan phi tuyen co cham (0 1) va phucmg trlnh v:

oha-
phi tuyen
CO
cham
(0.2),
Cac ke't qua dat dugc trong Chuong 1 la moi va mang
ii'nh
thoi
su. Day cung la chuong co nhieu ket qua moi nha't
irong luAn
an nay.
Trong Chuong 2, chiing
tdi
xac dinh dieu kien de nghiem cua phucmg
irinh
sai phan phi tuye'n voi nhieu cham bi chan dang (0.3) la
h6\
tu,
gioi
n6i.
tuAn
ho^
hay dao
d6ng.
Cac
k^t
qua
\6 tinh hOi
tu, gidi
n6i,

tu^
hokn
xac dinh
di6u
kien diet vong, trucmg t6n hay
tufe
ho^
cho cac
qu^
thi sinh hoc dugc
m6 hinh hod
bcri
phuong
trinh
(0.3). Ngoai ra,
cdc
k^t
qua
v6 tinh
dao
d6ng
cua
nghiem phuong trinh (0.3) (trong trudng hgp
An
= 1, Vn €
No)
la mo
rOng v6
mat toan hoc cho
m6t

s6'
k^t
qua ciia
L.
H. Erbe va B. G. Zhang ve
tinh
dao
d6ng
cua nghiem phuong trinh
Chuong 3 danh di nghien
ciiu
tfnh
ch^t ciia
nghiem
mOt
s6'
Idrp
phucmg trinh
sai phan huu ty dang (0.4).
Cii
th^
la, chiing
tOi
chung minh
mOt phin
du doan
cua Ladas va xac dinh
mOt
s6' dieu kien
dii

de'
moi nghiem
ciia
mot s6' lap phuong
trlnh sai phan huu ty dang (0.4)
hOi
tu toi trang thai can bang ducmg duy nha't
cCia
chiing.
N6i
dung
chinh ciia
luan an dugc
cOng
b6' trong cac
cOng
trlnh [1-4] cua tac
gia va da dugc bao cao o cac
hOi
nghi khoa hoc va xemina sau:
- Xemina "Giai
tich
- Dai
s6'"
ctia
Trucmg Dai hoc Khoa hoc Tu nhien, Dai
hgc QuO'c gia Ha
nOi.
- Xemina "Phuong phap giai phuong trinh vi phan" cua Khoa
Toan-Ca-Tin

hgc,
Truong Dai hgc Khoa hoc Tu nhien, Dai hoc Qu6'c gia Ha
nOi.
- Xemina "Phuong trinh vi phan"
ciia
Khoa
Toan-Co-Tin
hoc, Trucmg
Dai
hoc
Khoa hgc Tu nhien, Dai hgc QuO'c gia Ha
nOi.
- HOi thao lien trucmg - Vien ve phucmg trinh vi
tich
phan va ung dung (15 -
16
thang 05 nam 2004 - Ba Vi).
-
H6i
thao Toan sinh
thai
n^^i
tmcmg (27
-
2Q tha g
09
nan-i
2004 - Ha Long).
-
H6i

nghi qu6'c te' lan
thii
II
ve
giai
tich
truu tugng va ung dung (04 - 09
thang 06 nam 2005 - Quy
Nhcm).
CHTJDNG
1
VE MOT
L6P
PHUONG
TRINH SAI PHAN PHI TUYEN
V6l
MOT
CHAM
Xet phuong trinh sai phan phi tuye'n voi
mOt
cham dang
X„+i
=
AXn
+
F(x„_„),
(1.1)
trong do
m
la

m6t
sO' nguyen duong cO' dinh, n e
No;
x,,
{i
=
-Tn,0)
la cac s6'
duong cho
trudc;
A e (0,1)
va
F e
C((0,oo)).
Phuong trlnh (1.1) xua't hien trong
nhi^u ling
dung va co thi duac xem nhu la ke't qua cua su rcri rac hoa phuong
trlnh vi phan phi tuye'n co cham
i{t) = -lix{t)
+
f{x{t-T)).
(1.2)
trong d6
t>0,f e
C([0,oo)),
;x
va r la cac tham s6' duang.
Trong chuong nay,
6
muc thu nha't, chiing ta nghien cuu

mOt
s6 tinh cha't
ciia
nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen
voi m6t
cham (1.1). Cu the la, ta se xac
dinh
mOt sO
dieu kien de moi nghiem
ciia
phucmg trinh tren la
hoi
tu
ve 0,
gidi
npi nggt
hay hoi tu toi trang thai
can
bang ducmg duy nhat. Dac biet la dieu
kien
de ton
lai nghiem tuan hoan khOng
tam
thucmg
ciia
(1.1). Muc thu
hai
danh de
trlnh bay ung dung cua viec nghien cuu dinh tinh phucmg trlnh sai phan co cham
(1.1)

dO'i
voi bai loan khao sat su
diet
vong. trucmg ton. phat trie'n ben vung va
tudn
hoan ciia cac quan the sinh hgc dugc
mO
hlnh hoa
bai phuitng irinh
dang
nay. Trong muc cuo'i cung la se nghien cuu moi Hen he ve linh chat cua nghiem
phuong trlnh sai phan phi tuyen co cham (1.1) va phucmg trinh
vi phan phi tuyen
CO
cham (1.2).
10
11
1.1 Tinh chat cua nghiem phirong
trinh
sai phan phi tuyen vdi mot
cham
Dinh
nghla
l.L
MOt day s6 duong
{xn}nGN_^
dugc goi la
mdt
nghiem cua (1.1)
n^u

no thoa man (1.1) vdi ta't ca n
e
NQ.
Neu cho
trudc m
+
1
s6 duong
a^,
(i =
-m,
0) thi (1.1) co nghiem duy nha't
{xn}n^N-m Ihoa
man
di6u
kien ban
dSu
Xn = cin vdi
n
—
—m,
0.
Dinh nghla 1.2.
MOt
nghiem
{xn]n
cua (1.1) dugc goi la
gi&i
noi ngat
neu

0 <
Hminfxn ^ HmsupTn
< oc.
n
->oo
Xet phuong trlnh sai phan phi tuyen co cham (1.1). Ta co
cOng
thuc bien
thien hang s6' nhu sau
n
x„+i
=
A"+ixo
+
5];
A"-'F(x._ )
vai
n e
NQ.
(1.3)
1=0
C6ng thuc (1.3) dugc chung minh de dang bang
each sir
dung phucmg phap quy
nap theo n.
1.1.1 Hoi tu ve 0
Dinh ly sau se cho ta mot dieu kien
can
va du de moi nghiem cua (1.1) hoi
tu toi 0.

Djnh
ly
1.1.
Dieu kien can
vii dii dc
moi nghiem
{x,,},,
ciu
(/./)
hoi iii idi
0
khi
n lien ra
vo
cung la
F{u) <
(1
- A)u
vin moi
u
> 0.
Chifng
minh. Truoc het gia su rang
/-'(u)
< (1 -
A);/
vai moi u
>
0. Goi
{x,,}.,

la
mOt
nghiem cua (1.1) va
.M :-
max_„.^,^o-f-
Ta chung
minh
rang
x,. -^
.\I
vai
12
moi n. That
vSy,
dung phuong phap quy nap gia su ring
xjt ^ M vcfi
moi
k^n.
Ta CO
^
XM + {l-X)M = M.
Vi
vay Xn ^ M
vdri moi n. Dat
ii
=
limsupXn
< +00,
n—•oo
£2 = limsupF(xn-m)

< +00.
n-+oo
Lafy f
> 0 la
m6t
s6'
nho tuy
y.
Dat
TV = yV(e)
sao cho
F(x„__^)
<
^2
+
-^ vdi
moi
71
>
A^.
Vdi n > A'' ta co
<
XXn +£2+ ^•
La'y
gioi han tren hai ve ta nhan dugc
Vi
e la
s6 nho bao nhieu tuy y nen dieu nay cho ta
Mat
khac,

{.r,}„
va
{F(x,,_nO}„
la cac day
bi
chan nen ta co the chon m6t day
con
{ilk}
cua tap so tu nhien sao cho
Ta cung co the gia su rang day con
{x„,
.,„} hoi
tu
toi giai
han
/,.
Vi F la
ham lien luc nen la co
^2 =
^(^s)-
Neu
^3
> 0.
thi
/'2 =
F(6)<(1-A)^3.
13
R6 rang,
4 <
^i-

Vi
vay ^2
< (1 -
A)^i.
Tiif
(1.4) ta co
Tiic
la
£2
<
£2 (v6
1^).
vay
^3
=
0
do do
h
=
F{£3)
=
F(0) =
0 suy ra
£1 =
0.
Nhu vay,
lim
Xn
= 0.
n—¥oo

Ngugc lai, gia
sii
rang F{u) < (1 -
X)u
kh6ng thoa man vcri moi u > 0. Hai
trucmg hgp sau co
Ih^
xay ra:
(i) T6n tai a > 0 sao cho F{a)
=
(1 - X)a.
(ii) F{u) > (1 -
X)u
vdi moi
u
> 0.
Trong trucmg hgp thu nha't day
{x„}„
vcri
x^ =
a, Vn la
m6t
nghiem duong
nen khdng h6i
tu den 0. Ta xet trucmg hgp thu hai. Dat
x,
= 2,
i =
-m,0.
Ta

chung minh rang
Xn
> 1
vdi
moi n. Bang quy nap, gia su rang
x^
> 1 vdi
k
^^n.
The'
thi
Xn+l ^ '^^n I -^ \Xn-m)
>
A
+ (1-A) = l.
VI
vay
x„
> 1
vcfi
mgi n, do do
Xn
khong hoi tu toi 0. Dinh ly duoc chung
minh.
LJ
Nhan xet 1.1. De
iha'y
rang neu F(x)
=
c (hang

so") thi
lim^^^^
x„
=
yf^.
That
vay, phuong trlnh
X,H
i
=
Ax„ +
c co nghiem
tOng
quat la
x„ =
aA"
+
j^.
Do
A e
(0,1)
nen la co ngay
lim„_,3c
J'u
=
jzx-
1.1.2 Gidi noi ngiit
Dinh ly sau la
mOl
dieu kien du de mgi nghiem cua (1.1)

la gicn n6i
ngat.
14
Dinh
ly
1.2. Gia su
rang
F{x) =
H{x,x),
trong
do H :
[0,oo)
x
[0,oo) -^ [0,oo)
Id
ham
lien
tuc,
dong bien theo bien thii nhat nhUng nghich bien theo bien
thu
hai
va
H{x,y)
> 0 neu x,y > 0. Gia
thiet them rang
limsup
:^A^
<1-A, (1.5)
(x,y)-¥{co,oo) X
Uminf

:^^M)
>i_A.
(1.6)
(x,v)-+(0.0)
X
Khi
do mgi
nghiem
{xn}„ ciia (LI) Id
gi&i
noi
nggt.
Chiing minh. Trudc
het ta
chihig
minh rang
{xn}n la
bi
chan tren. Bang phuong
phap
chung
minh phan
chumg,
gia su
limsup^_,^x„ =
oo. Vdi mdi
sd
nguyen
n
^

-m, ta
dinh nghla
kn '= inax{p
:
—m ^
p
K
n,Xp
—
max
x^}.
Nhan
xet
rang
A;_^
^
fc.^+i
^ • • • ^
A:„
^
oo va do do
lim
x^-, =
oo.
n—>oo
Chgn
no
> 0 sao cho
kn^
> 0. Vdi n >

no
ta cd
^ Ax^-„ + //(xjt„_i_^,0)
va
VI vay
Dieu
nay keo
theo
Mat khac
lim
//(xfc„_i_„,,0) -
oo
n—KXJ
lim
XA
_i_,n
=
oc
^
XXk^
+
//(Xit„,Xfc^_l_m)
15
(vi
Xkn > ^kn-i-m
v^
H{x,y)
la ham d6ng
bie'n
theo

bi^n
x)
nen
ta cd
hm
sup
^
hm sup
—^-—^ ^
1
—
A.
(3:,v)->(oo.oo) X
n-^oo
Xfc^
Di6u
nay
mau thuSn
vdi (1.5). Do dd,
{xn}n
bi chan tren.
Tiep
theo, ta chung minh rang
Uminf„_,ooXn
> 0. Bang phuong phap chung
minh phan
chung,
gia su rang hm
inf^-^oo
2:n

= 0. Vdi m6i so nguyen n
^
-m,
ta
dinh nghla
Sn := max{p
:
—m ^
p
^
n,Xp
= min
xj.
R6
rang,
5_,n
^
s m^i
^ • • • ^ 5„
-)•
oo va do dd
lim
x^„
= 0.
n-*oo
Goi C la
m6t can
tren
ciia {x„}„
va

no
> 0 sao cho
.s^
> 0. Vdi n >
no
ta cd
va do dd
Dieu nay dan den
^ AX,„
+//(x,„_i_m,C)
lim
//(x,^_i_m,C) = 0
hm
Xs^-\~r7,
=
0,
n—>oo
Mat khac,
X^,^
^ AX,„_1 -f //(x,^_i_,.i,X,,-l-m)
(l-A)x,,^
> //(x,^,x,,^_i_.,)
(VI
x.,„
^
x,„^i
„,
va
//(x,j/)
la

hmn ddng bien ihco bicn s) nen
ta
nhAn duoc
.
//(x,y)
.
^//(x,,,x,^
^ -' < 1
\
hm mf
— ^ Inn mt
•
^
1 -
A
(j.y)->(0.0)
X
"->>^
x,^
dieu nay trai vdi (1.6). Dinh ly dugc chung
mnih.
•
16
Dinh nghla 1.3. Vdi
m6t
nghiem gidi
ndi
ngat
{xn}n
cua (1.1) ta goi tap

tSft
ca
cdc di^m
tu cua day cac vec to
{v^
=
(x„_^,
Xn-m+i,
* • • , Xn)}n la
tap gidi han 6
me
ga
ciia {xn}n
va ki hieu la
u{x),
Nhan
x^t
1.2. Tap gidi han
a;(x)
compact va
b^t
bie'n
ddi
vdi anh xa
xac dinh boi
Tv^
=
v^_^^,
Neu
mdt

nghiem
{xn}n
la tuin hoan thi tap hgp gidi
han
uj{x)
g6m
hiJu
han
didm.
Ngugc lai. neu tap hgp gidi han
a;(x)
g6m
him
han
didm,
thi ban than nd la
mdt
nghiem
tu^n
hoan (xem [53]). Hon niia, anh xa
T :
uj{x) —> u{x)
la toan anh. Vi vay, t6n tai hai nghiem cd ngu6n
gdc {PnlnGZ
va
{Qn}n€Z
(gia tri ban dau dugc chon trong tap gidi han
a;(x))
cua phuong
trinh

(1.1) vdi mgi n sao cho
lim sup Xn =
PQ,
liminfxn = Qo
n-^oc
"^-^^
va
Ta cd
va he qua la.
Qo^Pn^
PO.
Qo ^
Qn
<
PO^
^n G
Z,
Po = AP_i +
F(P-m-i),
Qo
- AQ_i ^ F(Q n-l)
FjP.m ) ^ ^ F((?_._.)
1-A
'
""
1-A
Tit
cOng
thuc nay ta co
—^

•
iuf
F(x)
^
liminfx,,
^ lim sup
x„
^ r
-supFlx).
1-A
i>0
n c»
„_>^
i
-
A
j>0
1.1.3 Hoi tu
t6\
trang thai can
bang duong vdi
tat ca cac cham
TCr
day ta
luon
gia su rang phuong trlnh x
^
Ax
- F(x)
co nghiem duy nhat

X
=
X
€ (0, oo).
Tit
se xac dinh dieu kien de moi nghiem
ciia
(1.1)
hoi
tu
tai
trang
th^i
can bang duy nhat x voi tat ca cac cham.
17
Dinh ly 1.3. Gia
si(
F
Id
hdm
dcm
dieu tang vd
limsup
< 1
X—•oo
X
liminf^^""^
>1-
-A
-A.

(1.7)
(1.8)
Khi do
mgi
nghiem
{xn}n
ciia
(LI)
hoi tu den x.
Chimg
minh. Vdi m6i x
e
[0,oo) dat
H{x,y) = F(x),Vy 6
[0,oo),
the'thi
dieu kien
(1.5) va (1.6) la thoa man va dinh
1^^
1.2 dugc ap dung. Dieu nay cd nghla rang
mgi nghiem cua (1.1) la gidi
nOi
ngat. Vi vay, vdi mdi nghiem
{xn}n
cua
(1.1),
t6n tai hai nghiem cd
ngudn
gdc
{Pn}ncz

va
{Qn}n€Z
cua (1.1) sao cho
.imsupXn
n—*oo
=
Po,
liminf Xn =
Qo
n—>oo
(1.9)
va
Qo ^ Pn ^ -^0
Qo
^
Qn
^
Po.
Vn
e
Z.
Hon nua,
va tuong tu
Dat
_ ^ F(P-^^i) ^ F(Po)
Xn ^ " ^
1 -A
1-A
F(Q_^-i) F(C?o)
1-A

1 -A
1.10)
(1.11)
^(x) = ^-(l-A)
TCr (1.10) va (1.11) ta thu dugc
^(Po) > 0
va
a^o^
^
0. Mat khac. tu
(1.7j
suy
ra
limsup^_^C(x)
< 0, va tCr (1.8) ta nhan dugc
hminf^_o^(j)
> 0. Do do, hai
irucmg
hgp sau co the xay ra: Hoac la trong
(0,
Qo]
va
\PQ.
oc) co hai
die'm
A'', A'"
khac nhau sao cho
i{K') = i{K") -
0, hoac
l\

=
Qo
=
^-
Theo
gia thiet thi
tru5ng
hgp thu hai xay ra. Dinh ly
dirge
chung minh.
•
Dinh ly 1.4. Gia
si(
F la ham
chm dieu
gidm.
Dat
F(x)
/(x) =
1_A
I
CAIHO.
".&
i,r.
'HI
( •• I
V
L(
/M:L
18

Gia thiet them rang he hai phucmg trinh sau
a =
f{P).
P =
f{a)
CO
nghiem duy
nha't
a = p. Khi do mgi nghiem
{xn}n ciia (LI)
hoi tu den x,
Chimg minh. Vdi mdi y
G [0,oo)
dat
H{x,y) = F(y),Vx G
[0,oo),
the thi dieu kien
(1.5)
va (1.6)
la thoa man va dinh ly 1.2 dugc ap dung. Do vay, vdi mdi nghiem
{xn}n
cua (1.1), ton tai hai nghiem cd
ngudn
gd'c
{Pn}nez va {Qn}nez
cua (1.1)
sao cho
hmsupxn "
Po,
liminfxn =

Qo
va
Vi vay,
va tuong tu
Qo
^ Pn ^
Fo,
Qo
^
Qn
<
Po.
Vn
G
Z.
P„,n^,^.,^0)^:5.
Qo
^
^^^f^
^
f{^)
=:
a,
Xet he cac phuong trlnh sai phan sau
fln+i =
fibn),
5„+i
=
/(a„)
vai n e N.

The'
Ihl
ca
Po
va
Qo cijng
thugc vao doan
[a„,6„)
vai moi n
€
N. Day
{a.Jn la
don dieu tang va day
{fe,.},.
la dcm dieu giam.
Vi vay
ton
tai
hai giai han tuong
ung la a va p. Hon
nija,
cac
gioi
han nay thoa man he
a =
/(/?),
^ =
/(a).
Theo gia thiet cua ta
thi a ^ p =

x.
VI
vay,
liin„_.>:
a,.
-
liiii„ :x.
b„ -
7 va do
do,
Fo =
Qo =
^- Dinh
ly dugc chung minh.
^
19
Ti6p
theo, ta gia
si
rang vdi
yo
> 0, ta cd
F{yo) =
raaxF(x)
x^O
va
F
la
ham don dieu tang trong
[0,yo]i

don dieu giam trong
(yo>oo).
Trong
trudng hgp
nay
F dugc goi la ham hinh chuong. Dat
Gia
thi^t
them rang
{xn}n la mdt
nghiem gidi
ndi
ngat cua (1.1). Goi
{Pn}n^z
va {Qn}n€Z la
hai nghiem cd
ngudn
gd'c cua phuong trinh (1.1) sao cho
limsupx„ -
Po,
Qo
^ P„ ^
Po,
Vn
G
Z. (1.12)
n—•oo
Vi vay,
n
^ P{P-m-\) .

F{yo)
., , /I
Tj\
Po ^ —.
_
. ^
T^
^ ^^^^^'' ^ '
Dinh
!y
1.5, Gia
sH
rang /(yo)
^ yo va (J.8)
cung dugc gia thiet la
diuig.
did sir
{xn}n
i^
^g^
nghiem gi&i noi nggt cua
(LI).
The thi
{xn)n
hoi tu den x.
Ciiirng
minh.
Tir
(1.12) va (1.13) ta cd
Pn ^ Po ^ yo>

Vn G
Z.
Nhung F la ham
tang trong
[0,yo]
nen ta thu dugc
F(P_„ 0 , F(Po)
Po^
1-A
^
1-A
^ ^ ^
va tuong tu
1-A 1-A
Q„^^'W-"-'^g%l.
(11.5
Dat
X
Tu(1.14) va
(1.1-^)
suy ra
an)
^
0,
s^(Qo)
^
0.
Mat khac, ro rang
limsup^_.^{(x)
< 0 va tu (1.8) ta co

Hminf,
.„C(J-)
>
0.
Do
66, hai irucmg hgp sau co the xay ra: Hoac la trong
[O.Qo]
va
[/'o.oc)
c6 hai
20
dlim
K\K"
khac nhau sao cho
^{K')
=
^{K")
=
0, hoac
PQ
=
Qo =
x.
Do gia
thieft
cua ta trudng hop thur hai xay ra. Dinh
If
dugc chumg minh.
D
Xet trudng hgp /(yo) >

yo.
Trudc
tifin,
ta nhic lai dinh ly sau
ciia
Ivanov da
dugc trinh
bay
trong [27]:
Dinh ly 1.6.
[27\
Gia sic
tSn
tai mdt doan
I
trong
R
la bat bien doi v&i anh xg
/ G
C(R),
ti(c Id
/(/) C /. Gia thiet them
rang,
co duy nhat mdt diem x G int/ la
diem
hiit
todn
cue
ciia
/, ti(c Id

/(x)
= xvd linin-^oo
f'ix)
= x
v&i
mgi
x
G
int/.
The thi, mgi nghiem
{x^jneN-^^^i
G int/,
i
= -m,0 ciia
phuong trinh
Xn + l =
—rXn
+
—-/(Xn_m),
M
>
0
fl+
1 /i + 1
hdi
tu t&i X.
Dat
/
la doan [0,/(yo)]. Ro rang ham
/

dua
/
vao chinh nd. Tu (1.13) ta cd
x„
G
/
vdi ta't ca n
trir
mdt sd huu han
chi
sd n. Mat khac.
vi
x la nghiem duong
duy nha't
ciia
phuong trinh x
=
Xx + F{x)
nen
nd cung la nghiem duong duy nha't
cua phuong trinh /(x)
=
x.
Di6u
nay cd nghla x G int/ la diem cd dinh duy nhat
cua /. Ta cd bo de sau:
Bo de 1.1. Gia
silt
rang
limn oo/"(x) = ^ ^'cri

tat cd x G
/.
The thi mgi nghiem
gi&i ndi nggt ciia
(LI)
hoi tu
t&i
x.
Chimg minh. Nhu da de
cap
0 tren vdi mdt nghiem
gidi noi
ngat
{x^Jn
ta phai
cd
Xn
G
/
vdi ta't ca n
trir
mot sd huu han
chi
sd n.
VI
vay khong
mat tinh
tong
quat ta gia su rang
x^

G
/
vdi
mgi n. Theo dinh ly 1.6 ta cd dieu
phai
chung
minh.
'-'
Bo
d^
1.2. Gia su hdm
f
co dgo hdm de'n cap 3 tren
L
\f'[s)\
^ 1 vd
dao ham
Schwarzian ,
cua
f
dm trong
I \
{x}. The thi
liin„^oo /"(x)
= x
v(n idi
cd x
G
/.
21

Ph6p
chumg
minh ciia bd
d6
1.2 cd thi tim
th^y
d [27], [51].
B6
di 1.1
va
1.2
cho ta dinh ly sau:
Dinh ly 1.7. Gia
sUt
hdm f co dgo hdm den cap 3 tren /,
|/'(x)|
^
1
vd
dgo hdm
Schwarzian
^'^^> - m 2 (/'(x))
ciia f dm trong I \ {x}. The thi mgi nghiem gi&i noi nggt cua
(LI)
hoi tu
t&i
x.
1.1.4 Hoi tu
tdri
trang thai can

bang dirorng
vdi cham nho
Bay gid chiing ta nghien
cihi
hieu
sua't
cua cham m dd'i vdi
sir
hdi tu cua nghiem
phuong trinh (1.1) tdi trang thai
can
bang duong x. Ta gia thiet /(yo) >
yo
Dieu
nay keo theo x >
yo.
Menh
dd 1.1.
V&i
moi nghiem
gi&i
noi nggt
{xn}n ciia (LI)
ta co
A'^"*"^x
<
Hminf Xn ^
x
^ HmsupXn ^
/(yo)-

n—>cc
n—•oo
Chiaig
minh. Ggi
{P„}n^z
va
{Q„}„gz la
cac nghiem co
nguOn
goc cua phuong
trinh (1.1)
vdri Po = limsup„_^^x„
va
QQ
=
liminf„^3c
^n-
Ta co
Qo =
AQ_i
+
F((?_i_„0 ^ AQo
+
F(C_i-m),
do do
Qo ^
/(Q-i-m).
Nhung
Qo ^
Q-i-m,

vi vay
Q_i_„,
^
/(Q-i-^)-
Mat
khac,
la co y < f{y) voi moi
y
e (0,x).
Vi
vSy.
(?_!_„,
^
x. Tu day suy ra
Po
^
J^-
Hon nira,
lir
cong thuc bien thien hang so ta co
Qo
- XQ-i I F{Q.i.,„)
=
A(AQ_2
+
F(Q-2-rn))
+
P(Q-l-rn)
=
A'^Q

,
+
AF(Q ,
„.)
+ F(Q-: n)
TTl
j=0
22
Mat khac,
Po
= AP.i
+
F{P_,_m) ^
APo +
F(P-i-^),
nen Po
^ /(P-i-m)
< /(yo).
Nhimg Po ^
P-i-m.
do dd
P.^^m
^
/(P-i-m).
Mat
khac,
ta cd y > /(y) vdi mgi y G
(x,oo).
Vi vay,
P-i-m

^
x.
Tir
day suy ra
Qo
^
X. Menh
d^
dugc chumg minh.
D
Dinh
ly
1.8. Gid
silt
ton tgi cac hang so duang
Li,L2
sao cho hdm / thoa man
dieu kien
0
^
/(x)
— X ^ Li(x —
x)
v&i
mgi x
G
[A"^'^^x,x],
0
^ X
- /(x)

^ L2(x -
x)
V(77'
W(?/
X G
[x,/(yo)].
(1-lG)
/LA/*
Jd
mgi nghiem gi&i noi ngiit {x„}n
ciia (LI)
hoi tu den x neu
A"*^^
> 1
Chimg minh. Ggi
{Pn}nGZ
va
{Qn}nez la
cac nghiem cd ngudn gdc cua phuong
trinh (1.1) vdi
Po = nmsupn_,oo^n
va
Qo - liminfn^oc
:Cn.
Tu menh de 1.1 ta cd
A"^+'X
< Qo
^
P-m-l
^X^

Q_n 1
^ Po ^
f
iVo) •
Tijr cdng
thuc bie'n thien hang sd ta cd
m
x-Qo
=
x-A'"+^Q_i_,„-^A^F(Q_,_„-,)
m
^
x(l -
A-^^)
- (1
- A)
5^
AV(Q-i^^ ;)
m
=r (l-A)^A^(x-/(Q-i-„ j))
^
(1-A)
Yl V(x-/(Q_i_^^,))
^
{\-y')(Po-x)L2.