XD mô hình toán truyền nhiệt lạnh đông XĐ tỉ lệ nước đóng băng, nhiệt độ lạnh tối ưu

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 83
XÂY DỤNG MÔ HÌNH TOÁN TRUYỀN NHIỆT LẠNH ĐÔNG XÁC ĐỊNH TỈ LỆ
NƯỚC ĐÓNG BĂNG VÀ NHIỆT ĐỘ LẠNH ĐÔNG TỐI ƯU CỦA VẬT LIỆU ẨM
DẠNG HÌNH TRỤ HỮU HẠN Ở GIAI ĐOẠN 1 TRONG SẤY THĂNG HOA
Nguyễn Tấn Dũng
(1)
, Trịnh Văn Dũng
(2)
, Trần Đức Ba
(2)

(1)Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM
(2)Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM
(Bài nhận ngày 08 tháng 11 năm 2009, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 22 tháng 10 năm 2010
)
TÓM TẮT: Khi lạnh ñông thực phẩm ñể bảo quản cũng như thực hiện giai ñoạn 1 trong ñiều
kiện sấy thăng hoa thì việc xác nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu là vấn ñề phức tạp. Ở bài viết này, sẽ công bố
xây dựng một mô hình toán truyền nhiệt lạnh ñông, xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng theo nhiệt ñộ lạnh
ñông của vật liệu ẩm (VLA) dạng hình trụ hữu hạn, kết quả nhận làm cơ sở xác ñịnh nhiệt ñộ lạnh ñông
tối ưu, xác ñịnh chế ñộ công nghệ giai ñoạn 1 trong ñiều kiện sấy thăng hoa và ứng dụng trong tính
toán thiết kế hệ thống lạnh cũng như hệ thống sấy thăng hoa.
Từ khóa: mô hình toán truyền nhiệt lạnh ñông, xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng, vật liệu ẩm (VLA),
dạng hình trụ hữu hạn, hệ thống sấy thăng hoa.
1. GIỚI THIỆU
Khi nghiên cứu xây dựng mô hình toán
truyền nhiệt lạnh ñông, truyền nhiệt tách ẩm ñể
xác ñịnh chế ñộ công nghệ sấy thăng hoa
(STH) thì cần giải quyết các bài toán cho từng
giai ñoạn 1, 2 và 3 trong ñiều kiện STH. Ở giai

ñoạn 1 là giai ñoạn lạnh ñông VLA ñể chuyển
ẩm từ trạng thái lỏng sang trạng thái rắn. Bài
toán ñặt ra ở ñây, làm thế nào ñể xác ñịnh ñược
nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu. Nếu không xác ñịnh
ñược thì khi lạnh ñông ở nhiệt ñộ lớn hơn nhiệt
ñộ lạnh ñông tối ưu thì ẩm trong VLA không
ñóng băng hết, khi ñó giai ñoạn sấy thăng hoa
chỉ thăng hoa phần ẩm ñã ñóng băng, phần ẩm
chưa ñóng băng bốc hơi trong giai ñoạn sấy
chân không và sẽ tốn kém nhiều năng lượng,
nhiệt ñộ sấy cao làm giảm chất lượng sản
phẩm, còn nếu khi lạnh ñông ở nhiệt ñộ nhỏ
hơn nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu thì hệ thống lạnh
tiêu tốn nhiều năng lượng do thời gian lạnh
ñông kéo dài, như vậy không hiệu quả kinh tế.
Theo nghiên cứu của Plank R (1913) ñã
ñưa ra mô hình xác ñịnh thời gian lạnh ñông
ñối với VLA, thịt gia súc dạng tấm phẳng,
Lame, Clapeiron, Shijov G.B (1931) ñã ñưa ra
mô hình xác ñịnh tốc ñộ nước ñóng băng trong
VLA, cá và thịt fillet dạng tấm phẳng, Plank,
Veinik (1937), Raoult (1958), Sbijov G.B
(1967), Golovkin N.A (1972), Luikov, A.V
(1974), [2, 3], Dennis R. Hledman (1999) ñưa
ra mô hình xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng ñối
với VLA dạng tấm phẳng [2, 3, 8, 9, 10]. Tuy
nhiên chưa có một mô hình nào thích hợp ñể có
thể áp dụng xác ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 84 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
trong VLA dạng trụ hữu hạn. Chẳng hạn như
VLA thủy hải sản nhóm giáp xác: tôm sú, tôm
bạc và tôm thẻ.
Vì vậy, việc nghiên cứu xây dụng mô hình
toán truyền nhiệt lạnh ñông xác ñịnh tỉ lệ nước
ñóng băng và nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu của
VLA là cần thiết.
Một số thuật ngữ
•
M
(T)ω
∈ [0,1]: tỉ lệ ẩm ñóng băng trung bình
theo nhiệt ñộng lạnh ñông của vật liệu ẩm (VLA).
• ω = G
i
/G
w
∈ [0,1]: tỉ lệ ẩm ñóng băng bên trong
vật liệu ẩm.
• G
i
[kg]: khối lượng ẩm ñóng băng.
• G
w
[kg]: khối lượng ẩm có trong vật liệu.
• G [kg]: khối lượng vật liệu ẩm.
• W = G
w
/G ∈ (0,1): ñộ ẩm của vật liệu ẩm.

• W
0
: là ñộ ẩm ban ñầu của VLA.
• D = 2R [m]: ñường kính VLA
• H = 2h [m]: chiều cao của VLA.
• r, z [m]: phương bán kính và chiều cao.
• T
0
[
0
C]: nhiệt ñộ tâm của VLA
• T
s
[
0
C]: nhiệt ñộ bề mặt của VLA
• T
kt
[
0
C]: nhiệt ñộ kết tinh của ẩm
• T
ef
[
0
C]: nhiệt ñộ môi trường lạnh ñông.
• T
f
[
0

C]: nhiệt ñộ ban ñầu của VLA.
• T
e
[
0
C]: nhiệt ñộ cuối của VLA.
• T
ar
[
0
C]: nhiệt ñộ trung bình của VLA.
• t
1
(r, z, τ); t
2
(r, z, τ): nhiệt ñộ vùng (I) và (II).
• ρ [kgm
-3
]: khối lượng riêng trung bình của VLA.
• L [kJkg
-1
]: ẩn nhiệt ñóng băng của nước trong
VLA.
• c [kJkg
-1
K
-1
]: nhiệt dung riêng của chất khô của
VLA.
• c

1
, c
2
[kJkg
-1
K
-1
]: nhiệt dung riêng trung bình
của VLA ở vùng (I) ẩm ñã ñóng băng và ở vùng (II) ẩm
chưa ñóng băng..
• ρ
1
, ρ
2
[kgm
-3
]: khối lương riêng trung bình của
VLA ở vùng (I) ẩm ñã ñóng băng và ở vùng (II) ẩm
chưa ñóng băng.
• λ
1
, λ
2
[Wm
-1
K
-1
]: hệ số dẫn nhiệt trung bình
của VLA ở vùng (I) ñã ñóng băng và ở vùng (II) ẩm
chưa ñóng băng.

• a
1
, a
2
[m
2
s
-1
]: hệ số dẫn nhiệt ñộ trung bình
củaVLA ở vùng (I) ẩm ñã ñóng băng, VLA ở vùng (II)
ẩm chưa ñóng băng).
• Bi
1R
, Bi
2R
, Bi
1h
, Bi
2h
: chuẩn số Bio theo
phương bán kính và chiều cao.
• Fo
1R
, Fo
2R
, Fo
1h
, Fo
2h
: chuẩn số Fourier theo

phương bán kính và chiều cao
• α [Wm
-2
K
-1
]: hệ số tỏa nhiệt môi trường lạnh
ñông.
2. MÔ HÌNH TOÁN TRUYỀN NHIỆT
LẠNH ĐÔNG
2.1. Các giả thiết xây dựng mô hình toán
- Bài toán làm lạnh ñông VLA luôn trải
qua 3 giai ñoạn, xem hình 1
a) Giai ñoạn 1: Làm lạnh VLA từ nhiệt
ñộ ban ñầu T
f
= T
VLA
= const, xuống nhiệt ñộ
kết tinh ẩm ở bề mặt VLA T
s
= T
Kt
= const.
b) Giai ñoạn 2: kết tinh ẩm bên trong
VLA.
c) Giai ñoạn 3: Cân bằng nhiệt, làm giảm
nhiệt ñộ VLA sau khi kết tinh hoàn toàn, xuống
nhiệt ñộ cuối cùng T
e
. Vì giai ñoạn 1 và giai

ñoạn 3 chỉ là những bài toán truyền nhiệt trong
một pha, vì vậy thời gian thực hiện quá trình
tuân ñịnh luật Plank, [3, 5, 6, 9, 10].
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 85
- Vấn ñề mà quan tâm ở ñây chính là tỉ lệ
ẩm ñóng băng theo nhiệt ñộ lạnh ñông của
VLA, từ ñó xác ñịnh nhiệt ñộ lạnh ñông tối ưu.
Đây là vấn ñề phức tạp có nhiều thông số tham
gia như: trường nhiệt ñộ, bề mặt VLA, bề dày
lớp kết tinh, bề mặt phân pha, bản chất VLA,
phương thức và môi trường thực hiện quá trình
kết tinh, … Chính vì vậy, cần phải xem xét bài
toán ở giai ñoạn 2 ñể làm rõ vấn ñề ñặt ra.
- Các giả thiết ñặt ra cần nghiên cứu như
sau:
i) VLA nghiên cứu là thực phẩm thủy hải
sản nhóm giáp xác là tôm sú
ii) VLA cắt ñầu, cắt ñuôi ñược xem là vật
liệu rắn ñồng nhất gần ñúng với hình trụ có
kích thước hữu hạn: D = 2R, H = 2h, xem hình
2, ẩm phân bố ñều, có các mặt ñẳng nhiệt ñồng
tâm.
iii) Các thông số nhiệt vật
lý:
i pi i i
,c ,a , ,...ρ λ
lấy trung bình theo thể tích
là hằng số.

iv) Hệ số tỏa nhiệt của môi trường lạnh
ñông xem như không ñổi:
const=α
.
v) Phương trình cân bằng nhiệt tại bề mặt
phân pha tuân theo ñịnh luật Leibenzon LS.
- Bài toán ñặt ra ở ñây là phải xây dựng
hàm:
R h R h
M
2 2
0 h 0 0
V
1 1 2
( ) (r,z, ) (r,z, )dV (r,z, )2 rdrdz (r,z, )2 rdrdz
V
R H R H
−
ω τ = ω τ = ω τ = ω τ π = ω τ π
π π
∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫
(1)

T
f
T
e
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 86 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
2.2. Mô hình toán






Phương trình vi phân dẫn nhiệt viết cho
vật thể rắn bất kỳ mô tả ở dạng tổng quát:
2
v
p

q
t
w gradt a t
c
→
∂
+ = + ∇
∂τ ρ
(2)
Vì lạnh ñông vật liệu rắn nên
p
0α =
và
w 0=
uur
và không có nguồn nhiệt bên trong nên
( )
v p
q t R H 0= α ∆ + −∆ =
, VLA là dạng hình
trụ hữu hạn, ñồng nhất có các mặt ñẳng nhiệt là
các mặt trụ ñồng tâm. Do ñó phương trình (2)
ñược viết như sau:
2 2
2 2
t t 1 t t
a
r r
r z
 

∂ ∂ ∂ ∂
= + +
 
 
∂τ ∂
∂ ∂
 
(3)
Phương trình (3) ñược viết cho 2 vùng,
vùng (I) lớp ẩm ñóng băng và vùng (II) lớp ẩm
chưa ñóng băng, xem hình 2, [4].
 Vùng (I), lớp ẩm ñóng băng:
2 2
1 1 1 1
1
2 2
t t t t
1
a
r r
r z
r r R, z z h, 0
− −

 
∂ ∂ ∂ ∂

= + +
 


 
∂τ ∂
∂ ∂

 

≤ ≤ ≤ ≤ τ ≥


(4)
 Vùng (II), lớp ẩm chưa ñóng băng:

2 2
2 2 2 2
2
2 2
t t t t
1
a
r r
r z
0 r r , 0 z z , 0
+ +

 
∂ ∂ ∂ ∂

= + +
 


 
∂τ ∂
∂ ∂

 

≤ ≤ ≤ ≤ τ ≥


(5)
 Các ñiều kiện ñơn trị ñể giải bài toán (
4
) và (
5
):

a) Điều kiện ñầu:

0τ =
thì
( )
1 1 s kt
t r,z,0 t (R,h,0) T T const= = = =
(6)

2 2 0
t (r,z,0) t (0,0,0) T const= = =
(7)
ef
T const=

(8)
b) Điều kiện biên:

( )
1
1 ef
1
r R
t (r,z, )
t (R,z, ) T
r
=
∂ τ
α
=− τ −
∂ λ
;
2
r 0
t (r,z, )
0
r
=
∂ τ
=
∂
(9)
R
- R
r -r

0
h
-h
z
-z
t
1
t
2
(I)
(II
)
dQ, α
αα
α,
T
e

dQ
1
=
dQ
2

d = 2R
z
r
Hình 2.
Mô hình VLA nghiên c
ứ

u d
ạ
ng tr
ụ
h
ữ
u h
ạ
n

H = 2h
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 87

( )
1
1 ef
1
z h
t (r,z, )
t (r,h, ) T
z
=
∂ τ
α
=− τ −
∂ λ
;
2

z 0
t (r,z, )
0
z
=
∂ τ
=
∂
(10)
Với:nhiệt ñộ thừa ở vùng (I) và (II) như sau:
( )( )
1 1 ef r1 z1 r1 ef z1 ef
(r,z, ) t (r,z, ) T t (r, ) T t (z, ) Tϑ τ = τ − = ϑ ϑ = τ − τ −
(11)
( )( )
2 2 ef r2 z2 r2 ef z2 ef
(r,z, ) t (r,z, ) T t (r, ) T t (z, ) Tϑ τ = τ − = ϑ ϑ = τ − τ −
(12)
c) Tại bề mặt phân pha:
 Theo phương bán kính:
1 2 Kt
t (r ,z, ) t (r ,z, ) T
− +
τ = τ =
(13)
 Theo phương chiều cao:
1 2 Kt
t (r,z , ) t (r,z , ) T
− +
τ = τ =

(14)
 Mật ñộ dòng nhiệt theo r:
1 2
R 1 2 R
r r r r
t t
q t
r r
− +
= =
∂ ∂
   
= −λ = −λ =α∆
   
∂ ∂
   
(15)
 Mật ñộ dòng nhiệt theo z:
1 2
h 1 2 h
z z z z
t t
q t
z z
− +
= =
∂ ∂
   
= −λ = −λ = α∆
   

∂ ∂
   
(16)
d) Phương trình cân bằng nhiệt tại bề mặt tiếp xúc vùng (I) và (II):
F 1 2
dQ dQ dQ= +
(17)
Trong ñó:
F
dQ
[kJ]: tổng lượng nhiệt trao
ñổi cần lấy ra khi làm lạnh ñông VLA;
1
dQ
[kJ]: lượng nhiệt cần lấy ra khi làm kết
tinh ẩm vùng (I);
2
dQ
[kJ]: lượng nhiệt từ vùng
(II) truyền qua vùng (I) trao ñổi với môi trường
lạnh ñông ñể làm giảm nhiệt ñộ ở vùng (II).
( )
2
1 ndb 0 0 0 M
dQ LdG Ld GW LGW d LW R Hd= = ω = ω = ρπ ω
(18)
2
2 2
2 2 2
t t

dQ
r z
r r z z
2 rHd r d
∂ ∂
   
= −λ − λ
   
∂ + ∂ +
   
= =
π τ π τ
(19)
2
1 1
F
r r z z
t t
dQ 2 rHd r d
1 1
r z
− −
= =
∂ ∂
   
= −λ π τ − λ π τ
   
∂ ∂
   
(20)

Từ phương trình (18), (19) và (20) thay vào (17) sẽ thu ñược:
2
M 1 2 1 2
1 2 1 2
2
0
r r r r z z z z
d t t t t
1
2rH r
d r r z z
LW H R
− + − +
= = = =
   
ω ∂ ∂ ∂ ∂
       
= −λ +λ + −λ +λ
   
       
τ ∂ ∂ ∂ ∂
ρ
       
   
(21)
Phương trình (21) là cơ sở xác ñịnh xác
ñịnh tỉ lệ nước ñóng băng trong quá trình lạnh
ñông cũng như ở giai ñoạn 1 trong STH.

2.3. Giải mô hình toán
Giải phương trình (4): bằng phương
pháp phân ly biến số Fourier, các hằng số tích
phân ñược xác ñịnh từ ñiều kiện biên, qua biến
ñổi sẽ ñược nghiệm như sau:
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 88 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
( )
( )
1
1 ef kt ef m n 0 n m
1
m 1n 1
a
r z
t r,z, T T T A A J cos exp
R h
∞ ∞
= =
 
 
τ
   
τ = + − µ µ −
 
 
   
η
   

 
 
 
∑ ∑
(22)
Với :
[ ]
1 n m
n m
2 2
m m m
n 0 n 1 n
2J ( ) 2sin
A ; A
sin cos
J ( ) J ( )
µ µ
= =
µ + µ µ
 
µ µ + µ
 
;
2 2
n m
2 2
1
1
R h
µ µ

= +
η

r r R, z z h, 0
− −
≤ ≤ ≤ ≤ τ ≥

n
µ
: là nghiệm của phương trình ñặc trưng:
0 n
n
1 n 1R
J ( )
J ( ) Bi
µ
µ
=
µ
(23)
m
µ
: là nghiệm của phương trình ñặc trưng:
m
m
1h
cotg
Bi
µ
µ =

(24)
1h
Bi
: chuẩn số Bio vùng I theo phương z:
1h
1
h
Bi
α
=
λ
(25)

1h
Fo
: chuẩn số Fourier vùng I theo phương z:
1
1h
2
a
Fo
h
τ
=
(26)

1R
Bi
: chuẩn số Bio vùng I theo phương r:
1R

1
R
Bi
α
=
λ
(27)
1R
Fo
: chuẩn số Fourier vùng I theo phương r:
1
1R
2
a
Fo
R
τ
=
(28)
)(J),(J
n1n0
µµ
: là các hàm Bessel loại 1 bậc 0, 1. [7]
4 6 8
2
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
x x x
1

2 2 2
J (x) 1 x ...
2
1 2 1 2 3 1 2 3 4
     
     
 
     
= − + − + −
 
 
; (29)
3 5 7
1 0
2 2 2 2 2 2
1 1 1
x x x
1
2 2 2
J (x) J (x) x ...
2
1 2 1 2 3 1 2 3 4
     
     
     
′
= − = − + − +
(30)
Giải phương trình (
5

):
T
ươ
ng t
ự
nh
ư

trên, tìm các h
ệ
s
ố
tích phân b
ằ
ng các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñơ
n tr
ị
, cu
ố
i cùng thu
ñượ
c công th
ứ

c nghi
ệ
m
nh
ư
sau:
( )
( )
2
2 kt 0 kt p q 0 p q
2
p 1q 1
r z a
t r,z, T T T A A J cos exp
R h
∞ ∞
= =
 
 
τ
   
τ = + − µ µ −
 
 
   
η
   
 
 
 

∑ ∑
(31)
V
ớ
i:
1 p q
p q
2 2
q q q
p 0 p 1 p
2J ( ) 2sin
A ; A
sin cos
J ( ) J ( )
µ µ
= =
   
µ + µ µ
µ µ + µ
 
 
;
2 2
p q
2 2
2
1
R h
µ µ
= +

η