Giải các bài toán dao động cưỡng bức bằng phương pháp số phức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA VẬT LÝ
------------------

luận văn tốt nghiệp
đề tài:

giải các bài toán dao động cưỡng bức bằng
phương pháp số phức
--------------


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
LỜI NÓI ĐẦU
Chúng ta đã biết tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm
nhƣng muốn trình bày nhƣng định luật định lƣợng của vật lý học một
cách chính xác ta phải dùng phƣơng pháp tốn học, nhờ có tốn học, vật
lý học đƣợc phát triển một cách nhanh chóng cả bề rộng lẫn bề sâu và
ngày nay trong vật lý học không thể thiếu đƣợc linh hồn của toán học.
Sự ra đời của số phức đã giúp vật lý học phát triển một cách tột
bậc, các học thuyết vật lý mới, hiện đại đƣợc ra đời trong đó có “cơ học
lượng tử”, chính số phức đã đáp ứng đƣợc nguyên lý quan trọng của cơ
học lƣợng tử, nguyên lý chồng chập trạng thái, và đƣợc dùng mơ tả hàm
sóng của các vi hạt. Mặt khác số phức còn đƣợc sử dụng rộng rãi trong
một số lĩnh vực vật lý khác nhƣ trong điện kỹ thuật, biểu diễn phƣơng
trình dao động…, hơn nữa các phép tính trên trƣờng số phức đơi khi tỏ ra
khá đơn giản. Một số hiện tƣợng trong trƣờng số thực có thể đƣợc giải

thích một cách rõ ràng nếu xét nó trong trƣờng số phức.
Vật lý là một mơn học có rất nhiều bài tập và việc giải các bài tốn
ấy rất quan trọng. Nó giúp ta củng cố khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ
năng, kỹ xảo, phát triển tƣ duy và đơi khi cịn dẫn đến một chân lý mới
từ những vấn đề nào đó. Số phức đã đƣợc ứng dụng để xây dựng nên lý
thuyết vật lý ở một số lĩnh vực, thì việc ứng dụng nó để giải các bài tốn
vật lý trong nhiều trƣờng hợp cho ta kết quả hết sức mĩ mãn.
Có rất nhiều bài toán về dao động cƣỡng bức đƣợc đặt ra nhƣ các
bài toán dao động cơ cƣỡng bức, dao động điện cƣỡng bức. Trong đó ta
bắt gặp một số bài toán mà khi sử dụng các phƣơng pháp giải thơng
thƣờng bằng hình học trên trƣờng số thực gặp nhiều khó khăn và phức
tạp. Cơng thức EULER trong tốn học cho phép ta có thể biểu diễn các
2


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
đại lƣợng dƣới dạng sin (cos) trong các bài tốn dao động sang một dạng
mới, đó là dạng phức mà đơi khi việc tính tốn trên dạng phức tỏ ra đơn giản
hơn rất nhiều.
Bên cạnh đó, ứng dụng số phức trong việc giải các bài toán dao
động cƣỡng bức còn chƣa đƣợc nhiều ngƣời quan tâm vì các bài tốn rất
đa dạng, các phƣơng pháp cũ cịn tỏ ra có hiệu lực, đặc biệt số phức và
ứng dụng số phức còn là vấn đề mới đối với nhiều ngƣời.
Xuất phát từ yêu cầu cần giải các bài toán về dao động cƣỡng bức
và tác dụng lớn lao của số phức trong vật lý nhƣ đã nêu ở trên mà tơi có
ý tƣởng nghiên cứu một cách chi tiết phƣơng pháp sử dụng số phức để

giải các bài tốn dao động cƣỡng bức, từ đó cho thấy khả năng tối ƣu của
phƣơng pháp này. Tôi đã chọn đề tài “Giải các bài toán dao động cưỡng
bức bằng phương pháp số phức”. Đề tài này chủ yếu nghiên cứu các
vấn đề sau:
1. Trình bày tóm tắt lý thuyết về dao động cưỡng bức và tính chất
của nó.
2. Trình bày phương pháp giải các bài toán dao động cưỡng bức
bằng phương pháp số phức.
3. Lựa chọn, phân loại các bài tập và quy trình giải các bài tốn
bằng phương pháp số phức.

3


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Chƣơng i

DAO ĐỘNG
1.1. DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ.

1.1.1. Dao động:
Dao động là một dạng chuyển động rất thƣờng gặp trong đời sống
và kỹ thuật, ví dụ: Dao động của dây đàn khi gãy, dao động của con lắc
đồng hồ, dao động của dịng điện trong mạch… nói một cách tổng qt
dao động là chuyển động đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần theo thời gian.
Quan sát một hệ dao động, con lắc chẳng hạn, ta thấy nó có các tính

chất tổng qt sau:
a. Hệ phải có một vị trí (trạng thái) cân bằng bền và dao động qua
lại hai bên vị trí đó.
b. Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền ln xuất hiện tác động kéo hệ
về vị trí cân bằng bền.
c. Khi hệ chuyển dời đến vị trí cân bằng do qn tính nó tiếp tục
vƣợt qua vị trí cân bằng, trong dao động cơ học quán tính đặc trƣng ở
khối lƣợng của hệ còn trong dao động điện qn tính đặc trƣng ở độ tự
cảm của mạch.
Trong khn khổ luận văn này ta chỉ xét đến các dao động cơ và dao
động điện.
1.1.2. Dao động tuần hoàn:
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của hệ
đƣợc lặp lại nhƣ cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau.
Khoảng thời gian T ngắn nhất sau đó trạng thái chuyển động của hệ
lặp lại nhƣ cũ gọi là chu kỳ của dao động tuần hoàn.

4


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
1.1.3. Dao động điều hoà:
1.1.3.1. Định nghĩa:
Dao động điều hồ là một q trình chuyển động hoặc biến đổi trạng
thái, trong đó giá trị của một số đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho hệ biến
đổi theo thời gian theo định luật dạng Sin (hoặc Cosin).

Phƣơng trình dao động điều hồ có dạng:
X = ASin (t + ), với A, ,  là những hằng số.
Ta có thể biểu diễn dao động điều hồ bằng phần thực hoặc phần ảo
của số phức, ký hiệu là x

x = Aej(t + ), với j là đơn vị ảo.
Khi đó ta nói số phức x biểu diễn dao động điều hồ X và viết X  x ,
trong đó: A là mô đun của số phức x : A = | x |
( t   ) là arcgumen của

x (arg x ).

1.1.3.2. Tổng hợp hai dao động điều hoà:
Xét hai dao động điều hoà cùng phƣơng, cùng tần số và có phƣơng
trình dao động dạng: x1  A1 sin(t  1 )

x2  A2 sin(t   2 )
Tổng hợp hai dao động điều hoà trên cho ta một dao động điều hoà:
x= x1 + x2 = Asin(t + ).

x1  A1e j (t 1 )  A1e j1 .e jt
j (t 2 )
 A2e j2 .e jt
x2 ↔ x2  A2e

Ta có: x1 ↔

x↔

x  A e

Dễ dàng suy ra: Aej =

j (t  )

j

 A e .e jt

A1e j1  A2 e j 2

Hay: Acos + jAsin = A1(cos1+jsin1) +A2(cos2+jsin2)
Suy ra: A 

A12  A22  2 A1 A2 cos( 2  1 )

5


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
tg 

A1 sin 1  A2 sin  2
A1 cos 1  A2 cos  2

1.2. DAO ĐỘNG TẮT DẦN VÀ DAO ĐỘNG CƢỠNG BỨC:

1.2.1. Dao động tắt dần:
Khi nghiên cứu dao động điều hoà của một hệ chúng ta chú ý rằng
tần số và biên độ của chúng là những đại lƣợng không biến đổi theo thời
gian, nghĩa là các dao động sẽ lặp đi lặp lại mãi mãi không ngừng. Thực
tế cho thấy rằng, dao động của một vật, một hệ cơ học hoặc điện từ thậm
chí dao động của nguyên tử, phân tử khơng bao giờ hồn tồn điều hồ.
Trong các q trình dao động đó biên độ và năng lƣợng dao động của hệ
không giữ nguyên mà giảm dần theo thời gian rồi ngừng lại. Sở dĩ có
điều đó vì ln có các tác động cản trở hệ trong quá trình dao động, với
dao động cơ học tác động đó là lực cản của mơi trƣờng, cịn với dao
động điện tác động đó là sự toả nhiệt trên điện trở thuần của mạch.
Dao động của hệ đƣợc xét ở trên gọi là dao động tắt dần.
1.2.2. Dao động cƣỡng bức:
Trong quá trình dao động tắt dần, hệ dao động chỉ nhận đƣợc năng
lƣợng ban đầu sau đó năng lƣợng này giảm dần, để làm cho dao động
không tắt dần cần phải bù cho hệ phần năng lƣợng đã mất, cách đơn giản
nhất là đặt vào hệ một tác động ngoại biến thiên tuần hồn, đó là ngoại
lực biến thiên tuần hồn đối với dao động cơ và là nguồn điện xoay chiều
đối với dao động điện, khi đó ta có dao động cƣỡng bức.
Dao động cƣỡng bức là dao động xẩy ra dƣới tác dụng của tác động
tuần hồn bên ngồi có tần số f bất kỳ. Các phép tính tốn lý thuyết đã
dẫn đến kết quả nhƣ sau: Trong thời gian đầu t nào đó, dao động của hệ
là một dao động phức tạp, đó là sự tổng hợp của dao động riêng tắt dần
và dao động do tác động tuần hoàn gây ra. Sau thời gian t, dao động
riêng của hệ tắt hẳn chỉ còn dao động do ngoại tác động gây ra, đó là dao
6


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
động có tần số bằng tần số của ngoại tác động, có biên độ phụ thuộc sự
quan hệ giữa tần số của ngoại tác động với tần số dao động riêng của hệ.
Khi nghiên cứu dao động cƣỡng bức ta chỉ khảo sát dao động khi
trạng thái dao động đã ổn định, sau thời gian t.
1.1.2.1. Dao động cơ cưỡng bức:
a. Khi ta tác dụng ngoại lực biến thiên tuần hồn lên cơ hệ, con lắc
lị xo chẳng hạn, thì cơ hệ bắt đầu dao động. Thực nghiệm chứng tỏ rằng
lúc đầu dao động của hệ khá phức tạp, nó là chồng chất của hai dao
động: Dao động riêng tắt dần do tác động lực cản của môi trƣờng và dao
động cƣỡng bức dƣới tác dụng ngoại lực tuần hoàn. Sau thời gian đủ lớn
dao động tắt dần coi nhƣ khơng cịn nữa chỉ cịn dao động cƣỡng bức có
tần số bằng tần số của ngoại lực tuần hồn.
b. Phƣơng trình của dao động cơ cƣỡng bức:
Xét cơ hệ là con lắc lò xo, lực tác dụng lên quả cầu con lắc bây giờ
gồm: Lực kéo về Fđ = - kx, lực cản của môi trƣờng F c = - rv và ngoại lực
tuần hoàn: Fn = Hcost.
2
Đặt  0 

k
r
,2  
m
m

Khi ổn định dao động cƣỡng bức có phƣơng trình: x = Acos(t + ), với

điều kiện

 02  2 2

Trong đó A 

H
m ( 2   02 ) 2  4  2  2

tg  

2 
 02   2

1.2.2.2. Dao động điện từ cưỡng bức:
a. Hiện tƣợng


 

Đặt vào hai đầu đoạn mạch R, L, C ghép nối tiếp một

nguồn điện xoay chiều, trong mạch ta sẽ có dao động
điện từ cưỡng bức.

7


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Xét trƣờng hợp xuất điện động của nguồn là hàm Sin của thời gian t,
u = U0sint.
Tƣơng tự nhƣ dao động cơ cƣỡng bức, mới đầu dao động trong
mạch là chồng chất của hai dao động, dao động riêng tắt dần và dao động
cƣỡng bức, sau thời gian đủ lớn trong mạch chỉ còn dao động cƣỡng bức
với tần số góc bằng tần số góc  của nguồn.
b. Phƣơng trình của dao động điện từ cƣỡng bức:
Khi ổn định dao động điện từ cƣỡng bức trong mạch có dạng:
I = I0sin (t + )
U0
1 2
)
Trong đó: I 0 
với Z  R 2  (L 
Z
C
1
L 
C
tg 
R

8


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Chƣơng II

PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
DAO ĐỘNG CƢỠNG BỨC BẰNG SỐ PHỨC
2.1. PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƠ CƢỠNG BỨC ĐƠN
GIẢN BẰNG SỐ PHỨC:

Ta hãy trở lại dao động cơ cƣỡng bức ở chƣơng I, với những hệ dao
động động đơn giản nhƣ dao động của con lắc đơn, con lắc lò xo, ta có
thể sử dụng số phức để tìm phƣơng trình dao động cƣỡng bức.
Xét phƣơng trình vi phân dao động cƣỡng bức của con lắc lò xo:

d 2x
dx
H
2

2



x

cos t  h cos t
0
dt
m

dt 2
2
Trong đó:  0 

(1)

k
r
H
;2  
;h 
m
m
m

Để dùng số phức biểu diễn dao động cƣỡng bức ta sử dụng ý nghĩa
vật lý của quá trình để phán đoán nghiệm. Cụ thể là: Trong giai đoạn đầu
dao động của hệ là tổng hợp của hai dao động, dao động riệng tắt dần và
dao động cƣỡng bức, sau quãng thời gian đủ lớn dao động tắt dần biến
mất, kể từ đó dao động của hệ do lực kích thích tuần hồn chi phối khi
đó nghiệm của phƣơng trình vi phân (1) có dạng: x = Acos(t + ).
Hay: x = Aej(t + )

(2).

Vì (2) là biểu thức nghiệm nên phải thoả mãn phƣơng trình vi phân
(1), tức là: - 2Aej(t + ) + 2jAej(t + ) +  02 Aej(t + ) = hejt
Nhân hai vế của phƣơng trình này với: e -j(t + ) , ta có:
2
(  0 - 2)A + j2A = he-j = hcos - jhsin

Suy ra:

(  0 - 2)A = hcos
2

2A

= - hsin

9


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Giải hệ phƣơng trình đó ta rút ra đƣợc:
H
A
m ( 02   2 ) 2  4  2  2

tg  

2 
 02   2

2
Khi A đạt tới giá trị lớn nhất ta có: 2 =  0 - 22  0, đây chính là

điều kiện tồn tại nghiệm.
Với các dao động cƣỡng bức phức tạp khác, phƣơng trình vi phân
xác định chúng ở các dạng phức tạp nhƣng trong nhiều trƣờng hợp ta có
thể biến đổi đƣợc phƣơng trình vi phân dao động cƣỡng bức của hệ về
dạng (1). Khi đó ta có thể sử dụng số phức để tìm quy luật dao động của hệ.
2.2. PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỆN
CƢỠNG BỨC -DÕNG ĐIỆN XOAY CHIỀU:

Giống nhƣ các dao động cơ học cƣỡng bức của một vật do ngoại lực
tuần hoàn gây ra, khi đặt vào mạch điện một hiệu điện thế biến thiên tuần
hồn thì trong mạch có dao động điện cƣỡng bức, đó là dòng điện xoay chiều.
Phƣơng pháp giản đồ véc tơ đƣợc ứng dụng rộng rãi khi nghiên cứu
mạch điện hình sin, nó giúp ta biểu diễn rõ ràng trị số hiệu dụng, góc
pha, góc lệch pha rất thuận tiện khi cần minh hoạ, So sánh và giải các
mạch điện đơn giản. Tuy nhiên, cách biểu diễn véc tơ gặp nhiều khó
khăn khi giải các mạch điện phức tạp, một công cụ rất hiệu lực là giải
các mạch điện ấy bằng số phức.
Mặt khác, đối với những mạch điện đơn giản, bằng cách biểu diễn
số phức ta có thể tính tốn giải tích mà khơng phải giải bằng hình học
trên trƣờng số thực.
2.2.1. Biểu diễn dạng phức:
Ta đã biết một đại lƣợng biến thiên điều hoà theo thời gian:
10


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
a = Asin(t + ).
Có thể biểu diễn bằng một số phức
a↔

a

a

= Aej(t + )

Vì tần số góc  đã đƣợc xác định nên để thuận tiện trong việc tính
tốn ta viết: a 

a

= Aej = Acos + jAsin = a1+ ja2

Với a1 = Acos

Trục ảo

a2 = Asin
Là phần thực và phần ảo của số
phức a trên trục số thực và trục số ảo.
Trên hình vẽ:

M

a2



Trục thực

a1
M là điểm biểu diễn số phức a

a = a1 + ja2
Khi đó: A = | a | =
Và tg  

a12  a 22 gọi là mô đun của số phức a .

a2
a1

Nhƣ vậy, nếu hiệu điện thế có dạng:
U = 100 2 sin 100t

(V)

Thì nó đƣợc biểu diễn bằng số phức:
u = 100 2

(V)



Nếu dịng điện có dạng: i  5 2 sin(100t  )
4

Thì nó đƣợc biểu diễn bằng số phức: I  5 2e

(A)
j


4

 5  j5 (A)

Và ngƣợc lại:
Nếu dòng điện đƣợc biểu diễn bằng số phức:
I  5  j5 thì nó đƣợc biểu diễn ở dạng thực lƣợng giác là:

11


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
i  5 2 sin(t 

(ở đây:   100


4

)

(A)

rad/s).

Nếu hiệu điện thế đƣợc biểu diễn bởi số phức: u  100 2 (V) thì
dạng lƣợng giác của hiệu điện thế là:

u  100 2 sin 100t (V), (ở trƣờng hợp này   100

rad/s).

Với cách biểu diễn này ta có:
a. Mạch nối tiếp:
Xét mạch có hai phần

I

Z1

Z2

Tử Z1, Z2, trong biểu diễn lƣợng giác ta có: u = u 1 + u2
Hay Asin(t + ) = A1sin(t + 1) + A2sin(t + 2).
Theo công thức EULER:

Ae j (t  )  A1e j (t 1 )  A2 e j (t  2 )
j1
j2
j

Suy ra: Ae  A1e  A2e
Hay: u  u1  u 2
Mở rộng cho mạch có n phần tử nối tiếp:

u  u1  u 2  ...  u n
Mặt khác: i = i 1 = i2

Dễ dàng suy ra đƣợc: I  I1  I2
Mở rộng mạch ta có n phần tử:

I  I1  I2  ...  In
b. Mạch song song:
Ta có: u = u1 = u2

u  u1  u 2
Với mạch có n phần tử song song: u  u1  u2  ...  un
Dễ dàng ta có đƣợc:

Mặt khác: i = i 1 + i2
Chứng minh tƣơng tự nhƣ phần a ta cũng có:

12

I  I1  I2


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Nếu tổng trở của mạch đƣợc biểu diễn bằng một số phức Z , khi đó
định luật Ơm cho đoạn mạch đó có dạng:

u
I 
z
* Biểu diễn tổng trở của mạch bằng số phức: Khi nghiên cứu dịng
điện xoay chiều trong các đoạn mạch chỉ có điện trở thuần, cuộn cảm
hoặc tụ điện ta đi đến các kết luận sau:
a. Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch chỉ có điện trở thuần, biến
thiên điều hồ cùng pha với dòng điện.
b. Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch chỉ có cuộn cảm biến thiên
điều hồ sớm pha hơn dòng điện

    
:
u
i
2
2

c. Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch chỉ có tụ điện biến thiên điều

    
hoà trễ pha hơn dịng điện góc :
i
u
2
2

Mặt khác với mạch R, L, C nối tiếp ta có tổng trở:

Z  R 2  (Z L  Z c ) 2
Trong đó:

R là điện trở thuần
ZL = L gọi là cảm kháng
1
Zc =
gọi là dung kháng
c

Để thoả mãn các kết luận trên ta biểu diễn tổng trở Z của mạch R, L, C
mắc nối tiếp bằng một số phức Z dạng:

Z  R  j (Z L  Z c )
Thật vậy:

Z | Z | Z .(Z ) *  R 2  (Z1  Z c ) 2

a. Với mạch chỉ có điện trở thuần:

Z  R

13


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Khi đó:

ju
I  u R  U 0 e  U 0 e ju
R
Z R
R
R

Tức IR cùng pha với

u R

b. Với mạch chỉ có cuộn cảm:

Z  jZ L  Z L e

j


2


j u
j (u  )

U

e
U
u
2
I  L  0   0 e
Khi đó: L
j
jZ L
ZL
Z Le 2

Tức IL trễ pha hơn

u L



góc

2

c. Với mạch chỉ có tụ điện:

Z   jZ c  Z c e  j2

Khi đó:

j u
U 0 j (u  2 )
I  uc  U 0 e


e
c

j
Z
Z
L
Z Le 2

Tức Ic sớm pha hơn

u c góc


2

Ta cũng có thể xác định đƣợc dạng phức của tổng trở Z thông qua

u


định luật Ôm nhƣ sau: I  
Z
Suy ra:
Hay:

u U
Z   0 e j (u i )
I I 0

Z  Ze j  Z cos   jZ sin 

Theo tam giác tổng trở ta có:
Zcos  = R;
Vậy:

Zsin  = ZL -Zc

Z  R  j (Z L  Z c )
Z  Zc
tg  tg ( u   i )  L
R
14


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Bằng phép biến đổi này ta vẫn có các biểu thức:
I
U0
I 0
Các giá trị hiệu dụng: U 
;
2
2
Biểu thức công suất:

P = UIcos 

Các công thức đã biết về mạch điện xoay chiều nối tiếp R, L, C vẫn
giữ nguyên giá trị khi ở dạng biểu diễn phức này.
2.2.2. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng:
Biến đổi mạch điện nhằm mục đích đƣa mạch điện phức tạp về dạng
đơn giản hơn, biến đổi tƣơng đƣơng là biến đổi mạch điện sao cho dòng
điện và điện áp tại các bộ phận không bị biến đổi.
Dƣới đây ta dẫn ra một số biến đổi thƣờng gặp.
2.2.2.1. Mắc nối tiếp:

…

Giả thiết các tổng trở
thành tổng trở tƣơng đƣơng

Z1 ; Z 2 ;...Z n mắc nối tiếp đƣợc biến đổi
, khi đó ta có:

u  Z td I  u1  u 2  ...  u n  I(Z1  Z 2  ...  Z n )
Suy ra:

Z td  Z1  Z 2  ...  Z n

Kết luận: Tổng trở tƣơng đƣơng của các phần tử mắc nối tiếp bằng
tổng các tổng trở của các phần tử thành phần.
2.2.2.2. Mắc song song:
Giả thiết có n tổng trở mắc song song đƣợc biến đổi tƣơng đƣơng:

15

Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo

  I  I  ...  I  u ( 1  1  ...  1 )  u
I
1
2
n
Ta có:
Z1 Z 2
Z n
Z td
1
1
1
1
Suy ra:       ...  
Z td Z1 Z 2
Zn
Ta có kết luận: Nghịch đảo của tổng trở tƣơng đƣơng của đoạn
mạch mắc song song bằng tổng các nghịch đảo của tổng trở trong các
nhánh.
Nếu mạch gồm các phần tử ghép tổng hợp thì phân tích mạch thành
các đoạn mạch ghép nối tiếp, mỗi đoạn mạch đó lại gồm các phần tử
ghép song song rồi vận dụng cách tính nói trên.

Các cơng thức đã biết về mạch điện xoay chiều R, L, C không phân
nhánh: I 

U
(trong đó I, U là các giá trị hiệu dụng).
Z

Z  R 2  (Z L  Z c ) 2

U  U R2  (U L  U c ) 2
Cos 

R UR

Z
U

P = UIcos  = I2R

( Với mạch khơng có R cơng suất tiêu thụ

bằng 0)

16


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Chƣơng III

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC TRONG
VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN DỊNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Trong chƣơng này chúng ta sẽ đi sâu vào giải các bài toán dao động
điện cƣỡng bức - Điện xoay chiều - bằng phƣơng pháp số phức.
Các bài toán điện xoay chiều đƣợc phân ra thành hai loại.
- Biết R, L, C và một số dữ kiện, xác định các đại lƣợng khác của
mạch, viết biểu thức của u, và i.
- Bài tốn tổng hợp: từ dữ liệu bài tốn, tìm các thành phần R, L, C
và xác định các đại lƣợng khác của mạch, viết biểu thức của u, i.
Trong mỗi loại trên đƣợc tách thành ba loại nhỏ: mạch nối tiếp,
mạch song song và mạch hỗn hợp.

Phần I

Bài toán biết R, L, C và một số dữ kiện, xác định các
đại lượng khác của mạch, viết biểu thức của u, i
1. MẠCH NỐI TIẾP.
1.1. QUY TRÌNH GIẢI:

Bƣớc 1: Dựa vào dữ kiện bài toán, biểu diễn R, Z L, Zc và Z dƣới
dạng phức từ đó suy ra Z,  nếu cần.
Bƣớc 2: Dựa vào định luật Ôm để tìm các đại lƣợng đặc trƣng (u, i)
từ đó viết các biểu thức biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian các đại
lƣợng đặc trƣng tƣơng ứng.

17

Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
1.2. CÁC BÀI TẬP MẪU:
R

Bài 1:

L

A

C
B

Cho đoạn mạch xoay chiều
nhƣ hình vẽ. U AB  60 2 sin 100t (V)
1
1
L
H;
C  10-3F.
R = 15;
4


a. Tính tổng trở mạch Z và độ lệch pha  giữa hiệu điện thế và dòng

điện. Viết biểu thức i AB.
b. Viết biểu thức của hiệu điện thế ở hai đầu điện trở, hai đầu cuộn
cảm, hai đầu tụ điện.
Giải:

u AB  60 2 (V)

Theo đề ra ta có:

 = 100 (rad/s)

Z L  jZ L  j 25()
Z R  R  15()
Z   jZ   j10()
c

Và
Suy ra:

c

Z = R+j(Z L-Zc) = 15+j15 = 15 2e

j


4

()

Z  15 2
()

  u  i 
(rad)
4

Áp dụng định luật Ôm ta có:

j

u
60
2

AB
IAB 

 4e 4 (A) => i AB  4 sin(100t  )


j
Z
4
15 2e 4
Lại có: u R  IAB Z R  60e

u L  IAB Z L  100e

u c  IAB Z c  40e

j

j




4

 j3


4

4


(V) => u R  60 sin(100t  )
4

(V) => u L  100 sin(100t  )
4

(V) => u c  40 sin(100t  3 )
4
18

(A)

(V)
(V)
(V)


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Bài 2: Mạch điện xoay chiều gồm R = 100, cuộn dây có điện trở
R

thuần R0 = 50 và hệ số tự cảm

R0, L

C

L = 0,318H, tụ điện C = 15,9F ghép nối tiếp.
Dòng điện qua mạch có dạng: i  2 2 sin 100t

(A)

a. Tính tổng trở, góc lệch pha giữa u và i.
b. Tính hiệu điện thế hữu dụng ở hai đầu điện trở, ở hai đầu tụ điện,
ở hai đầu cuộn dây và cả mạch, viết biểu thức các hiệu điện thế đó.
Giải:

Z R  R  100

Theo đề ra ta có:

j



Z c   jZ c   j 200  200e 2
Z cd  R0  jZ L  50  j100  112e jarctg2
Z  ( R  R0 )  j ( Z L  Z c )  150  j100  180e

Suy ra:
()

=>

Z= 180;

()
()

 jarctg

2
3

2
3

  arctg (rad )

Áp dụng định luật Ơm ta có:

u R  IAB Z R  200 2 (V) =>

UR = 200 V

u R  200 2 sin 100t (V)

u c  IAB Z c  400 2e

j


2

(V) =>

Uc = 400V



u c  400 2 sin(100t  ) (V)
2

u cd  IAB Z cd  224 2e jarctg2 (V) => Ucd = 224 V
ucd  224 2 sin(100t  arctg 2) (V)
u AB

 IAB Z AB  360 2e

 jarctg

2
3

(V) => UAB = 360V
2
u AB  360 2 sin(100t  arctg ) (V)
3

Bài 3: Cho đoạn mạch nhƣ hình vẽ
R

R = 173,2

A

19

L
M

C
N

B


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
L = 0,955H =

3
H


1
10  4 F
2

C

Biểu thức cƣờng độ dòng điện: i  2 sin(100t )

(A)

Viết biểu thức hiệu điện thế u AN, uMB, uAB
Giải:
Theo đề ra ta có: I  2

(A)

Z AN  R  jZ L  100 3  j300  200 3e

Z MB  j ( Z L  Z c )  j100  100e

j

j


3

()


2

()

Z AB  R  j ( Z L  Z c )  100 3  j100  200e

j


6

()

Áp dụng định luật Ơm ta có:

u AN

 IZ AN  200 6e

u MB

 IZ MB  100 2e

u AB

 IZ AB  200 2e

j

j

j


3


2


6


(V) => u AN  200 6 sin(100t  )

(V)


(V) => u MB  100 2 sin(100t  )

(V)


(V) => u AB  200 2 sin(100t  )

(V)

3

2

6

Bài 4: Cho đoạn mạch nhƣ hình vẽ
Biết:

R = 50
1
L
H
2
10 4
C
F


R
A



u MB  100 sin(100t  ) (V)
4

Viết biểu thức i AB và uAB
Giải:
Theo đề ra ta có: u MB  100e

j


4

20

(V)

L
M

C
B


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo


j
Z MB = j(ZL-ZC) = -j50 = 50e 2

()

Z AB  R  j ( Z L  Z c )  50  j50  50 2e

j


4

()

Áp dụng định luật Ơm ta có:

j

I  I  u MB  2e 4
i

2
sin(
100

t

) (A)
MB

(A)
=>
AB
Z MB
4

(V) => u AB  100 2 sin100t (V)

u AB  IZ AB  100 2
1.3. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho mạch điện xoay chiều R, L, C khơng phân nhánh. Trong
đó R = 110, L = 0,159H, C= 0,636.10 -4F và u  110 2 sin 100t (V).
Viết biểu thức của các hiệu điện thế u R, uL, uc.
Bài 2: Một cuộn cảm có độ tự cảm L 

2



H mắc nối tiếp với tụ

điện có điện dung C = 32F. Biết hiệu điện thế ở hai đầu cuộn dây là:

u L  100 sin(100t  ) (V)
6
Hãy viết biểu thức của hiệu điện thế ở hai đầu tụ điện.
Bài 3: Một đoạn mạch AB gồm một cuộn dây có điện trở thuần r =
1
5 và hệ số tự cảm L 

H mắc nối tiếp với một điện trở R = 20.
4
Biết dòng điện trong mạch: i  2 sin 100t (A).
a. Tính tổng trở của mạch.
b. Viết biểu thức của hiệu điện thế u AB và hiệu điện thế ở hai đầu
cuộn dây.
Bài 4: Cho một đoạn mạch xoay chiều nhƣ hình vẽ
Biết: u AB  200 2 sin 100t
R  100 3 ()
1
L H

(V)
R
A

L
M



21

C
N

B


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
C

1 4
10 F
2

Viết biểu thức i AB, uAN, uMB.
Bài 5: Cho đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm: Một điện trở hoạt
động R = 10, một cuộn dây có độ tự cảm L 

0,2



H và điện trở hoạt

động R0 = 10. Hiệu điện thế tức thời ở hai đầu đoạn mạch là:

u  20 2 sin 100t (V)
Hãy viết biểu thức của cƣờng độ tức thời i trong mạch và của hiệu
điện thế tức thời ở hai đầu cuộn dây.
1.4. HƢỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ.

Bài 1:
Đáp số: u R  110 2 sin 100t

u L  50 2 sin(100t 
uc  50 2 sin(100t 
Bài 2:
Đáp số: uc  50 sin(100t 

(V)



)

(V)

)

(V)

2



2

5
)
6

(V)

Bài 3:

Đáp số: Z  25 2

u AB  50 sin(100t 
ucd

()



)
4
 36 sin(100t  arctg 5)

Bài 4:
Đáp số: i AB  2 sin(100t 


6

)

(V)

(A)



u AN  200 2 sin(100t 

u MB  100 2 sin(100t 

(V)

3



22

3

)

)

(V)
(V)


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
Bài 5:
Đáp số: i  sin(100t 


4

)

ucd  10 5 sin(100t 

(A)



 arctg 2) (V)

4

2. MẠCH SONG SONG.
2.1. QUY TRÌNH GIẢI:

Bƣớc 1: Dựa vào dữ kiện bài toán biểu diễn tổng trở của mạch rẽ và
mạch chính dƣới dạng phức, từ đó suy ra Z và  nếu cần.
Bƣớc 2: áp dụng định luật Ôm cho các mạch rẽ và mạch chính để
tìm các đại lƣợng đặc trƣng (u, i) từ đó viết biểu thức biểu diễn sự phụ
thuộc vào thời gian của các đại lƣợng đặc trƣng tƣơng ứng.
2.2. CÁC BÀI TẬP MẪU:

Bài 1: Cho cuộn dây thuần cảm với L 

3
H và điện trở thuần
20

R = 20 mắc song song vào nguồn xoay chiều có hiệu điện thế:

u  120 2 sin 100t (V).
Tính cƣờng độ hiệu dụng I và viết biểu thức cƣờng độ dịng điện
qua mạch chính i.

R

Giải:
Ta có: Z R  R  20
Z L  jZ L  j15

=>

A

L

B

Z R Z L
20. j15

Z AB 

()
Z R  Z L 20  j15

Hay: Z AB  12e

jarctg

4
3

()

4
 jarctg
3
I  u  10 2e
Áp dụng định luật Ơm ta có: AB
(A)
Z AB

23


Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
=>

IAB = 10 A

4
i AB  10 2 sin(100t  arctg )
3

(A)

Bài 2: Cho đoạn mạch xoay chiều nhƣ hình vẽ
Trong đó:

R1, L1

R1  5 3 ; R2  10
5
0,1
L1  10 2 H ; L2 
H



C

A

C

B

R2, L2

10 3



F

Dịng điện qua tụ có biểu thức: i  2 sin 100t

(A)

Viết biểu thức hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch và biểu thức dòng
điện qua cuộn dây L 2, tính cơng suất tiêu thụ tồn mạch.
Giải:
Ta có các tổng trở ở các nhánh:

Z1  R1  j ( Z L1  Z c )  5 3  j 5  10e
Z 2  R2  jZ L2  10  j10  10 2e

j

j


6

()


4

()

Vì dịng qua tụ cũng là dòng qua nhánh chứa tụ và cuộn dây:
I  2 (A)
1

Áp dụng định luật Ơm ta có: u AB
=>

 u1  I1 Z1  10 2e



u AB  10 2 sin(100t  )
6
5
j

u
AB
I2 
 e 12

Z2

j


6

(V)
(V)

(A)

24

Trịnh Văn

Luận văn tốt nghiệp

Đạo
i2  sin(100t 

=>

5
)
12

(A)

Công suất tiêu thụ toàn mạch:

P  I12 R1  I 22 R2  13,66 W
Bài 3: Cho mạch điện nhƣ hình vẽ
uAB = 400sint (V)
R

R  200 3

L
C

()

L

1



(H)

A

B

C

1
.10 4 F
2

a. Tính tổng trở và độ lệch pha giữa u AB và iAB.
b. Viết biểu thức i toàn mạch.
c. Viết biểu thức cƣờng độ dòng điện qua các mạch vẽ.
Giải:
a. Z R  R  200 3

()

Z L  jL  j100()  100e

j


2

Z c   jZ c   j 200()  200e

j

()

2

()

Theo công thức biến đổi tƣơng đƣơng:
1
1
1
1
1
1
1
j 3







 j 200 200 3

Z AB Z R Z L Z c 200 3 j100


=> Z AB 

200 3
3 j

 100 3e

j


6

()

=> Z AB  100 3 ();    u   i  
b. Áp dụng định luật Ôm ta có:

25


6

(rad)