Về ánh xạ đóng và tập compact

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN
--------------------------

NGUYỄN THỊ HUYỀN NGA

VỀ ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ TẬP COMPACT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Vinh-2004

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN

------------------------------

0


VỀ ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ TẬP COMPACT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH HỌC: CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Cán bộ hướng dẫn khóa luận : PGS.TS. Trần Văn Ân
Sinh viên thực hiện
: Nguyễn Thị Huyền Nga
Lớp

: 41A2

Vinh - 2004

MỤC LỤC
Trang

1


LỜI MỞ ĐẦU

3

Chương I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5
1.1. Tính paracompact…………………………………………………………...5
1.2. Một số tính chất của ánh xạ đóng...................................................................7
Chương II

ÁNH XẠ ĐĨNG VÀ TẬP COMPACT

10
2.1. Một số tính chất của q-khơng gian………………………………………...10
2.2. Ảnh đóng của khơng gian paracompact và tính compact………………….12
Chương III

ẢNH ĐĨNG CỦA CÁC KHƠNG GIAN MÊTRIC

17

3.1. K-lưới và họ HCP………………………………………………………….17
3.2. Một đặc trưng của ảnh đóng của các không gian mêtric…………………..24
KẾT LUẬN

31
TÀI LIỆU THAM KHẢO

32

LỜI MỞ ĐẦU

2


Ánh xạ đóng, tập compact, khơng gian mêtric là những khái niệm quen
thuộc đối với chúng ta. Nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng đã cho ta những kết
quả hay và các không gian đặc biệt.
Một vài kết quả liên quan giữa ánh xạ đóng và tập compact đối với không
gian khả mêtric đã được các nhà bác học I. A. Vainstein, A. Argangel'skii đề cập
đến. Ở luận văn này các kết quả đó được chứng minh cho một khơng gian tổng
qt hơn, khơng gian paracompact.
Ngồi ra, đối với ảnh cuả khơng gian mêtric qua ánh xạ đóng (cịn gọi là
không gian lasnev), luận văn này đưa ra một đặc trưng của nó liên quan đến
k-lưới -HCP như sau: Một không gian Hausdorff là không gian Lasnev nếu và
chỉ nếu nó là khơng gian Frechet với một k-lưới -HCP.
Trong khn khổ của một luận văn, chúng ta chỉ nghiên cứu được một số

vấn đề như: Cho : X  Y là ánh xạ liên tục, đóng thì khi nào -1(y) là tập
compact, với mọi yY; khi nào mọi tập con compact (tương ứng compact đếm
được) của Y đều là ảnh của một tập con compact (tương ứng compact đếm
được) nào đó của X; khi nào thì một khơng gian Frechet trở thành khơng gian
Lasnev,....
Cụ thể ngồi phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận
văn có bố cục như sau:
Chương I trình bày một số kiến thức như: khái niệm không gian
paracompact, khái niệm ánh xạ đóng và các tính chất của chúng nhằm mục đích
chuẩn bị cho việc trình bày các phần tiếp theo.
Chương II đưa ra khái niệm q-khơng gian và một số tính chất của nó mà
được áp dụng để chứng minh các định lý quan trọng liên quan đến ảnh của không
gian paracompact, tính compact qua ánh xạ đóng được trình bày ở phần sau
Chương III trình bày các khái niệm như k-lưới, họ HCP, các tính chất của
chúng và một đặc trưng của không gian Lasnev liên quan đến k-lưới -HCP.
3


Trong luận văn này các ánh xạ đều được giả thiết là liên tục, tồn ánh, các
khơng gian nhắc đến trong chương II đều là T1-không gian, các không gian
trong chương III đều là T2-không gian, các khái niệm chưa được định nghĩa đề
nghị xem trong [2].
Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Trần Văn Ân,
người trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn. Đồng thời cho tôi gửi lời
cảm ơn tới các thầy cơ giáo trong khoa Tốn và bạn bè đã giúp đỡ tơi trong q
trình làm luận văn.
Mặc dù đã cố gắng nhiều nhưng do điều kiện về thời gian và hạn chế về
mặt trình độ, luận văn chắc khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các
thầy cơ giáo và bạn đọc góp ý để luận văn hồn chỉnh hơn.

Vinh, tháng 4 năm 2004.
Tác giả

CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
4


1.1. TÍNH PARACOMPACT
1.1.1. Định nghĩa. i) Họ P các tập con của không gian tôpô X được gọi là
một phủ của tập con A trong X nếu A  P : P  P . Ta viết  P thay cho

 P : P  P .
ii) Họ

P

các tập con của không gian tôpô X được gọi là một phủ của X

nếu X =  P .
1.1.2. Định nghĩa. Họ

P các tập con của không gian tôpô X được gọi là

một họ hữu hạn địa phương nếu với mỗi điểm x X tồn tại lân cận U của x sao
cho U chỉ giao với hữu hạn phần tử của P.
1.1.3. Định nghĩa. Họ

P các tập con của không gian tôpô X được gọi là

một họ rời rạc nếu với mỗi điểm x X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có
giao với nhiều nhất một phần tử của P.
1.1.4. Nhận xét. Một họ các tập con rời rạc là họ hữu hạn địa phương.
1.1.5. Mệnh đề. Với mỗi họ hữu hạn địa phương AssS , ta có

 As =  A s .

sS

sS

Chứng minh. Ta có A s   As , với mọi s  S. Do đó  A s   As
sS

sS

sS

(1)
Với mỗi x  As , vì Ass S là họ hữu hạn địa phương nên tồn tại một lân
sS

cận U của x sao cho tập S0 = s S : U  As    là hữu hạn và khi đó


U   As  =  . Suy ra x  As .
sS o
 sS \ S0 

5


Như vậy, từ x   As =  As   As ta có
sS

sS \ S o

sS o

x  As =  As   As hay  As   As
sS o

sS

sS o

sS

(2)

sS

Từ (1) và (2) suy ra  As =  As . Điều phải chứng minh.
sS

1.1.6. Định nghĩa. Phủ

sS

B của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ P

khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ
phủ

B được chứa trong một phần tử nào đó của

P.

1.1.7. Định nghĩa. Khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian
paracompact khi và chỉ khi nó là khơng gian Hausdorff và mỗi phủ mở đều có
cái mịn hữu hạn địa phương mở.
1.1.8. Nhận xét ([6]). Mọi không gian compact đều là không gian
paracompact.
1.1.9. Bổ đề. Cho X là khơng gian paracompact, A và B là hai tập đóng
con của X. Nếu với mỗi x B đều tồn tại các tập mở Ux, Vx sao cho Ux  A, x
Vx và Ux  Vx =  thì tồn tại các tập mở U, V sao cho A  U, B  V và U V =

.
Chứng minh. Họ

Vx xB  X \ B 

là một phủ mở của không gian

paracompact X, do đó có một cái mịn hữu hạn địa phương mở WssB.
Gọi S0 = s S : Ws B   , ta có A  Ws =  , với mọi s S0 và B   Ws .
sS o

Theo mệnh đề 1.1.5, tập U = X \  W s mở. Khi đó rõ ràng tập U và V=  Ws

sS 0

sS o

thoã mãn yêu cầu.
1.1.10. Mệnh đề. Mọi không gian paracompact đều là không gian chuẩn
tắc.

6


Chứng minh. Áp dụng bổ đề 1.1.9 cho trường hợp A = x là tập một điểm
và B là tập đóng khơng chứa x ta được khơng gian paracompact là khơng gian
chính quy.
Áp dụng bổ đề 1.1.9 cho khơng gian chính quy một lần nữa ta được điều
phải chứng minh.
1.1.11. Mệnh đề ([6]). Mọi không gian compact đếm được và
paracompact là khơng gian compact.
1.1.12. Mệnh đề. Tập con đóng của không gian paracompact là không
gian paracompact.
Chứng minh. Giả sử A là tập con đóng bất kỳ của khơng gian
paracompact X. Gọi U là phủ mở bất kỳ của A. Khi đó thêm vào phủ U tập X
\ A mở ta được phủ mở

v của X. Do X là không gian paracompact nên phủ v

có cái mịn hữu hạn địa phương mở

B, tức là B = B mở: B  U  U

hoặc B

 X \ A.
Khi đó họ A =B B: B  U U  là cái mịn mở hữu hạn địa phương
của U. Vậy mọi phủ mở U của A đều có cái mịn hữu hạn địa phương mở.
Hơn nữa A là tập con đóng của khơng gian Hausdorff X nên A cũng là
không gian Hausdorrf. Vậy A là khơng gian paracompact.

1.2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG
1.2.1. Định nghĩa. Ánh xạ : X  Y được gọi là ánh xạ đóng nếu với
mọi tập đóng A  X, ảnh (A) là tập đóng trong Y.
1.2.2. Mệnh đề. Ánh xạ f : X  Y là ánh xạ đóng khi và chỉ khi
f ( A)  f ( A) với mọi A  X.

7


Chứng minh. Cần. Giả sử : X  Y là ánh xạ đóng, A  X. Ta có f (A) đóng
và f (A)  f (A) nên A . Mặt khác  liên tục nên f (A) . Do đó f (A)  f (A) .
Đủ. Giả sử f (A)  f (A) , với mọi A  X. Khi đó với  liên tục và A  A
thì f(A) = f (A)  f (A) là tập đóng trong Y. Do đó  là ánh xạ đóng .
1.2.3. Mệnh đề. Nếu f : X  Y là ánh xạ đóng và f

-1

(y) là tập compact

-1

với mọi y  Y thì với mọi tập compact Z  Y ta có f (Z) là tập compact.

-1

Chứng minh. Giả sử UI là một phủ mở bất kỳ của  (Z) thì với mỗi
-1

-1

z  Z, UI cũng là một phủ mở của  (z). Vì  (z) là một tập compact
nz

-1

nên tồn tại phủ con hữu hạn  U αz1 , U αz2 ,..., Uαz nz  phủ  (z). Đặt Vz =  U z i .
i 1

-1

Khi đó Vz mở và  (z)  Vz.
Đặt Wz =Y \ (X \ Vz ). Vì  là ánh xạ đóng, Vz mở trong X nên Wz mở
trong Y. Mặt khác,  (z)  Vz suy ra  (z)(X \ Vz ) = . Hay z  (X \ Vz ) =
-1

-1

nên zWz. Do đó WzzZ là phủ mở của Z. Vì Z compact nên tồn tại phủ con
k

hữu hạn  Wz1 , Wz2 ,..., Wzk  phủ Z, nghĩa là ta có Z   W zi .Vì vậy
i 1

k
k
f 1 Z   f 1   Wzi    f 1 Wzi 
 i1
 i 1

=  f 1Y \ f X \ Vz i    Vz i =   U αzij ,
k

k

i 1

i 1

k

nzi

i 1 j 1

trong đó Uz ij UI , với i = 1 ,..., k; j = 1,..., nz i .
-1

Vậy phủ UI có phủ con hữu hạn là  U z i . Do đó  (z) là tập
j
compact.
1.2.4. Mệnh đề. Nếu f: X  Y là ánh xạ đóng và f -1(y) là compact đếm
được với mọi yY, thì với mọi tập compact đếm được Z  Y, ta có f -1(Z) là tập
compact đếm được.

8


Chứng minh. Giả sử Z  Y, Z là tập compact đếm được. Gọi U nn 1 là phủ


mở đếm được của -1(Z). Khi đó với mỗi z  Z, U nn 1 cũng là phủ mở đếm được


của -1(z). Vì -1(z) là compact đếm được nên tồn tại phủ con hữu hạn U1, U2, ...,

U nz .
nz

Đặt V n =  U i , ta có V n mở và -1(z)  V nz . Đặt W nz = Y \ (X \ V nz ).
z i 1
z
Do  là ánh xạ đóng, V nz mở nên W n mở.
z
Từ -1(z)  V n ta có -1(z)  (X \ V n ) =  nên z  f(X \ V nz ) =  .
z
z
Do đó z V n . Vậy Z   W nz .Vì Z compact đếm được nên tồn tại phủ con hữu
z
zZ

k

hạn  Wn z , Wn z ,..., W nz  của  W nz z Z phủ Z. Suy ra Z   W n , do đó

2
1
k
zi
i 1

 k



 i 1



 

k

-1
-1
 (Z)    W n  =  f 1 Wn z i

z i  i 1
k

= f
i 1

Y \ f X \ Vn    V nz =
k

1

z

i 1

k nzi

  Uj ,

i 1 j1

trong đó Uj  U n
với mọi j = 1, 2, ..., nzi ; i =1, 2, ..., k.
n 1
Vậy -1(Z) là compact đếm được.
1.2.5. Mệnh đề. Cho f: X  Y là ánh xạ đóng. Giả sử A  X sao cho mọi
tập con của A đều đóng trong X. Khi đó mọi tập con của f(A) đều đóng trong Y.
Chứng minh. Giả sử F là tập con bất kỳ của (A). Khi đó tồn tại B  A
sao cho (B) = F. Do mọi tập con của A đều đóng, suy ra B đóng. Mà  là ánh
xạ đóng nên (B) đóng. Vậy F đóng, với mọi F  (A).
1.2.6. Định nghĩa. Khônh gian X được gọi là không gian Frechet nếu với
mọi A X và x A , thì tồn tại xn A sao cho xn x.
1.2.7. Mệnh đề. Giả sử f: X  Y là ánh xạ đóng từ khơng gian Frechet X
lên khơng gian tơpơ Y. Khi đó Y là khơng gian Frechet.

9

Chứng minh. Với tập con bất kỳ B  Y, lấy bất kỳ y B . Do B  Y nên
tồn tại A X sao cho (A) = B, suy ra B = f (A) . Vì  là ánh xạ đóng nên theo
mệnh đề 1.2.2 ta có f (A) = ( A ). Do đó B = ( A ). Từ y B suy ra tồn tại x A
sao cho (x) = y. Vì X là khơng gian Frechet nên tồn tại xn A sao cho xn x
khi n  . Do  liên tục nên (xn)  (x) = y khi n  . Do xnA nên
(xn) B. Như vậy với bất kỳ y B luôn tồn tại dãy yn = (xn) B sao
cho yn  y khi n .
Vậy Y là khơng gian Frechet.
CHƯƠNG II

ÁNH XẠ ĐĨNG VÀ TẬP COMPACT
2.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA q-KHƠNG GIAN
2.1.1. Định nghĩa. i) Giả sử X là không gian tôpô, A  X. Tập A 

X \ A được gọi là tập biên của tập hợp A và ký hiệu A.
ii) Mỗi điểm x  A được gọi là điểm biên của A.
2.1.2. Định lý ([5]). Điểm x X là điểm biên của A khi và chỉ khi với lân
cận U bất kỳ của x, ta có U A   và U (X \ A)   .
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử A là một tập hợp con của không gian tôpô X.
Điểm xX được gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu x A \ x. Tập hợp tất cả các
điểm tụ của tập hợp A được ký hiệu là Ad.
2.1.4. Nhận xét. Điểm x là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi một lân
cận bất kỳ U của x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x.
2.1.5. Bổ đề ([5]). Với mọi tập con A của không gian tôpô X, ta có A =A
Ad.
2.1.6. Mệnh đề. Giả sử A là tập con của khơng gian tơpơ X. Khi đó mọi
tập con của A đều đóng trong X khi và chỉ khi A khơng có điểm tụ trong X.
10

Chứng minh. Cần. Giả sử A  X sao cho mọi tập con của A đều đóng.
Giả sử ngược lại A có điểm tụ là xX, khi đó x A \ x. Mặt khác A\ x A
nên A\ x đóng, do đó A \ x= A\ x, suy ra xA\ x. Điều vơ lý này chứng
tỏ A khơng có điểm tụ trong X.
Đủ. Trước hết ta chứng minh với A  X, A khơng có điểm tụ trong X thì
A đóng . Thật vậy, theo bổ đề 2.1.5 ta có A = A  Ad, mà A khơng có điểm tụ
nên Ad =  , suy ra A = A hay A đóng.
Bây giờ, với B bất kỳ con A, vì A khơng có điểm tụ nên B cũng khơng có
điểm tụ, do đó B đóng. Vậy mọi tập con của A đều đóng.
2.1.7. Mệnh đề. Mọi tập con vơ hạn của khơng gian compact đều có điểm
tụ trong X.
Chứng minh. Giả sử A là tập con của không gian compact X và A khơng có
điểm tụ trong X. Khi đó với mọi x  X tồn tại lân cận mở Ux sao cho UxA\ x =
.
Họ

C = U : x  X là phủ mở của X. Vì X compact nên tồn tại phủ con
x

n

hữu hạn U x1 , U x2 ,...,U xn , với xi  X với mọi i = 1, 2, ...,k, nghĩa là X   U xi . Do
i 1

đó
A  x1,...,xk, suy ra A hữu hạn .
Như vậy, mọi tập con A của X mà A khơng có điểm tụ trong X đều là tập
hữu hạn. Do đó mọi tập con vơ hạn của X đều có điểm tụ trong X.
2.1.8. Định nghĩa. i) Điểm x thuộc không gian tôpô X được gọi là q-điểm
nếu có một dãy các lân cận Ui của x sao cho, nếu xi  Ui và các xi khác nhau thì

x1, x2, ... có một điểm tụ trong X.
ii) Không gian tôpô X được gọi là q-không gian nếu mọi xX đều là q-điểm.
2.1.9. Mệnh đề. Mọi không gian thõa mãn tiên đề đếm được thứ nhất đều
là q-khơng gian.
Chứng minh. Giả sử X là khơng gian thỗ mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Lấy bất kỳ xX, khi đó hệ các lân cận của x có cơ sở đếm được là B ii1 sao cho
11


Bi+1 Bi , với iN. Với mỗi iN lấy xiBi sao cho các xi phân biệt khi đó do

B ii1 là cơ sở của hệ lân cận tại x nên với lân cận bất kỳ U của x tồn tại i0 sao
cho x i0  B io  U, nghĩa là x i0  U  x1, x2, .... Do đó mọi lân cận U của x đều
chứa điểm x i0 nào đó khác x mà x i0   x1, x2,... hay x là điểm tụ của x1, x2 ,....
Vậy x là q-điểm với mọi xX. Do đó X là q-không gian.
2.1.10. Mệnh đề. Mọi không gian compact địa phương đều là q-không
gian.
Chứng minh. Giả sử X là không gian compact địa phương. Lấy bất kỳ
xX, khi đó tồn tại lân cận U của x sao cho U compact.
Lấy Ui iN là dãy những lân cận của x sao cho Ui  U  Uj  U với mọi
ij. Khi đó lấy Vi = Ui  U, i = 1, 2, ... thì ViiN là dãy các lân cận của x thoả
mãn Vi  U .
Lấy các xi  Vi, i = 1, 2, ... sao cho các xi phân biệt thì x1, x2, ... là tập
con vơ hạn của tập compact U nên theo mệnh đề 2.1.7 ta có dãy x1, x2,... có
điểm tụ trong U . Do đó nó có điểm tụ trong X. Vậy x là q-điểm với mọi xX.
Suy ra X là q-không gian.
2.1.11. Mệnh đề ([3]). X là T1-khơng gian. Khi đó X là không gian
comapct đếm được nếu và chỉ nếu mọi dãy trong X đều có điểm giới hạn.

2.2. ẢNH ĐĨNG CỦA KHƠNG GIAN PARACOMPACT VÀ TÍNH COMPACT

2.2.1. Định lý. Giả sử X là T1-không gian và f: X  Y là ánh xạ đóng, liên
tục, tồn ánh. Nếu y Y là một q-điểm thì mọi hàm giá trị thực liên tục trên X
đều bị chặn trên  f -1(y).
Chứng minh. Giả sử h: X  R là hàm liên tục và không bị chặn trên -1(y).
Do h không bị chặn nên lấy được x1, x2, ...thuộc -1(y) sao cho
 h(xn + 1)  h(xn) +1, với mọi n =1, 2, ...

12


Vi = x X : h(x) - h(xi) < 1 , với mọi n =1, 2, ...

Đặt

2

Khi đó ta có xi Vi; Vi mở (vì Vi = h-1(B (h(xi); 1 )) và h liên tục; Vii là họ rời
2

rạc. Thật vậy, giả sử tồn tại điểm x0 sao cho mọi lân cận của x đều giao với
nhiều hơn một Vi. Gọi U là lân cận của x0 cho bởi U = xX: h(x)-h(x0) < 1
2

. Khi đó U giao với Vi, Vj, giả sử j < i. Lúc đó ta có

 h(xi) - h(xj)  h(xi) - h(x') + h(x') - h(x0) + h(x0) - h(x'')  + h(x'') - h(xj) < 2,
'

''

với x  U  Vi , x  U  Vj . Suy ra h(xi) < 2 + h(xj) . Điều này mâu thuẫn với
 h(xi+1)  h(xi) +1. Vậy Vii là họ rời rạc.
Vì y  Y là q-điểm, nên tồn tại một dãy Uii các lân cận của y sao cho nếu
lấy yi  Ui và các yi đó phân biệt thì y1, y2, ... có điểm tụ trong Y.
Bây giờ ta lấy một dãy zii sao cho ziVi  -1(Ui) và tất cả các (zi) đều
phân biệt. Ta lấy được như vậy nhờ phép quy nạp sau. Lấy z 1 = x1. Giả sử đã lấy
được các z1, z2, ..., zi-1 thoả mãn yêu cầu. Đặt
Wi = [Vi  -1(int Ui )] \ -1(( z2) ,..., (zi-1)).
Khi đó, do zj đóng,  là ánh xạ đóng nên (zj) đóng, j = 1, 2, ..., i-1. Suy
ra (z1) ,..., (zi-1) đóng. Vì  liên tục nên -1(( z1) ,..., (zi-1)) đóng.
Mặt khác Vi  -1(intUi) mở chứa xi. Vì vậy Wi là một tập mở. Do đó theo
định lý 2.1.2 ta có Wi \  -1(y)   . Vì vậy ta lấy được zi  Wi\  -1(y), thoả mãn
zi  Wi = [Vi  -1(int Ui ) ] \ -1( ( z2), ..., (zi-1)),
suy ra zi Vi  -1(intUi )  Vi  -1(Ui), hay ziVi  -1( Ni )
và zi  -1((z1), ..., (zi-1)) nên (zi)  (zj), với mọi j = 1, 2, ..., i-1. Do đó zi
lấy như trên thoả mãn yêu cầu của dãy zii .
Đặt Z = z1, z2, .... Gọi C là tập con bất kỳ của Z thì C đóng. Thật vậy, lấy
x X \ C. Do Vii là họ rời rạc nên tồn tại lân cận V của x sao cho V(  Vi ) =
i

hoặc tồn tại duy nhất io để V Vio  còn V(  Vi ) = .
i  io

Nếu V  (  Vi ) = thì do C Z   Vi nên V  C = , suy ra xV X\ C.
i

i

Do đó X \ C mở hay C đóng.
13

Nếu V  Vio   còn V  (  Vi ) =  thì V  Z = V  Z  (  Vi )
i  io

i

= [V  Z  (  Vi ) ]  [ V  Z  Vio ].
i  io

Vì VZ (  Vi )  V(  Vi ) = và (V  Z  Vio )  (Z  Vio ) = zio 
i  io

i  io

nên (V  Z)   zio . Đặt V1=V\  zio . Ta có V1 là lân cận của x và
V1  C  V1  Z = (V\  zio )  Z = (V  Z) \  zio  =  .
Do đó x V1 X\ C. Suy ra X\ C mở hay C đóng.
Vậy mọi tập con của Z đều đóng. Từ đó theo mệnh đề 1.2.5, ta có mọi tập
con của (Z) đều đóng. Nhờ mệnh đề 2.1.6, (Z) khơng có điểm tụ trong Y. Vì
(zi)Ui, các (zi) đều phân biệt, Ui là các lân cận của q-điểm y nên theo định
nghĩa q-điểm thì (Z) = (z1), (z2), ... phải có điểm tụ. Điều này mâu thuẫn
với lập luận trên. Định lý được chứnh minh.
2.2.2. Hệ quả. Trong định lý 2.2.1, nếu X là không gian chuẩn tắc thì f -1(y)
là compact đếm được.
Chứng minh. Vì X là T1-khơng gian, -1(y) là tập đóng của X nên -1(y) là
T1-không gian. Giả sử ngược lại -1(y) không phải là compact đếm được, theo
mệnh đề 2.1.11 suy ra -1(y) có một có một dãy S = x1, x2, ..., (các xi phân
biệt) sao cho S khơng có điểm tụ trong -1(y). Mà -1(y) đóng trong X nên S
cũng khơng có điểm tụ trong X. Do đó theo mệnh đề 2.1.6 thì mọi tập con của S

đều đóng.
Ta xác định hàm g:S  R, cho bởi g(xn) = n với mọi xn  S.
Vì mọi tập con của S đều đóng nên g liên tục. Hơn nữa, S là tập con đóng
của khơng gian chuẩn tắc X nên theo hệ quả của bổ đề Titzơ-Urưxơn ([5]) tồn
tại thác triển liên tục h:X R của g.
Do g không bị chặn trên S nên h cũng không bị chặn trên S  -1(y). Do
đó h cũng khơng bị chặn trên -1(y), mâu thuẫn với định lý 2.2.1. Ta có điều
phải chứng minh.

14


2.2.3. Định lý. Cho X là không gian paracompact, Y là một không gian
compact địa phương hoặc thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất và ánh xạ f: X 
Y liên tục, đóng. Khi đó f -1(y) là tập compact, với mọi y  Y.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1.9 và 2.1.10 ta có y là q-điểm với mọi
yY. Vì X là khơng gian paracompact nên theo mệnh đề 1.1.10 X là khơng gian
chuẩn tắc. Do đó áp dụng hệ quả 2.2.2 ta có với mọi yY, -1(y) là compact
đếm được. Mặt khác -1(y) là tập con đóng của khơng gian paracompact X nên
theo mệnh đề 1.1.12 thì -1( y) là không gian paracompact. Áp dụng mệnh đề
1.1.11, -1(y) vừa là không gian compact đếm được vừa là không gian
paracompact nên -1(y) là không gian compact. Vậy -1(y) là tập compact, với
mọi y  Y.
2.2.4. Hệ quả. Cho X là không gian paracompact và ánh xạ f: X  Y liên
tục, đóng, tồn ánh. Khi đó mọi tập con compact của Y đều là ảnh của một tập
con compact nào đó của X.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử rằng Y là không gian
compact. Ta phải tìm một tập compact C  X sao cho (C) = Y.
Với mỗi yY, lấy py -1(y) và đặt Cy = -1(y) nếu -1(y) 

 ; Cy = py

nếu -1(y) =  . Gọi C =  Cy và g = C. Ta có (C) =Y. Thật vậy, hiển nhiên ta có
yY

(C)  Y.

(1)

Mặt khác lấy yY, nếu -1(y) =  thì Cy = py  -1(y), suy ra (Cy) = y. Vì
vậy y(C). Cịn nếu -1(y)  thì vì -1(y) đóng nên -1(y)-1(y) và -1(y)

 . Do đó tồn tại x-1(y)  -1(y). Khi đó x Cy  C và (x) = y, suy ra y
(C).

Vậy



Y

(C).

(2)
Từ (1) và (2) ta được (C) =Y. Do C đóng trong X,  là ánh xạ đóng nên g =C
cũng là ánh xạ đóng.
Với mỗi yY, ta có g-1(y) = Cy. Mà theo đinh lý 2.2.3 thì -1(y) là tập
compact, cịn py cũng là tập compact. Do đó g-1(y) là tập compact với mọi yY.

15

Như vậy g: C  Y là ánh xạ đóng g-1(y) là tập compact với mọi yY nên
áp dụng mệnh đề 1.2.3 ta có C = g-1(Y) là tập compact trong Y mà ta cần tìm.
2.2.5. Hệ quả. Cho X là không gian chuẩn tắc và ánh xạ f: X  Y liên
tục, đóng, tồn ánh. Khi đó mọi tập con compact đếm được của Y đều là ảnh
của một tập con compact đếm được nào đó của X.
Chứng minh. Giả sử K là tập con compact đếm được của Y, ta phải tìm
một tập compact đếm được C  X sao cho (C) = K. Với mỗi yK, lấy py  (y) và đặt Cy = -1(y) nếu -1(y)   ; Cy = py nếu f-1(y) =  .

1

Gọi C =  Cy và g = C. Ta có (C) = K. Thật vậy, hiển nhiên (C) K(1)
yK

Mặt khác, lấy yK ta có nếu f-1(y)=  thì Cy = py  f-1(y). Suy ra f(Cy) =
y. Do đó y(C). Nếu -1(y)  , thì vì -1(y) đóng nên -1(y)-1(y) và -1(y)
  . Do đó tồn tại x-1(y)  -1(y). Khi đó x  Cy  C và (x) = y, suy ra
y(C).

Vậy

K



(C).

(2)
Từ (1) và (2) ta được (C) = K. Do C đóng trong X,  là ánh xạ đóng nên

g = C cũng là ánh xạ đóng.
Với mỗi yY, ta có g-1(y) = Cy. Mà theo định lý 2.2.2 thì -1(y) là tập
compact đếm được, cịn py cũng là tập compact đếm được. Do đó g-1(y) là tập
compact đếm được với mọi yY.
Như vậy, g: CY là ánh xạ đóng g-1(y) là tập compact đếm được với mọi
yY. Áp dụng mệnh đề 1.2.4 ta có C = g-1(K) là tập compact đếm được trong Y
mà ta cần tìm.

16


CHƯƠNG III

ẢNH ĐĨNG CỦA CÁC KHƠNG GIAN METRIC
3.1. K-LƯỚI VÀ HỌ HCP (HEREDITARILY CLORURE PRESERING)
3.1.1. Định nghĩa. Một họ

P các tập con đóng của khơng gian tơpơ X

được gọi là một k-lưới nếu với tập mở U bất kỳ đã cho và tập compact bất kỳ K 
*

U thì có một họ hữu hạn P của

P

sao cho K   P   U.

3.1.2. Mệnh đề. Giả sử X là khơng gian tơpơ chính quy,

B là một cơ sở

của X thì ta có  B : B B là một k-lưới đóng của X.
Chứng minh. Trước hết ta có  B : B

B là họ các tập con đóng của X.

giả sử U là tập mở bất kỳ, K là tập compact sao cho K U  X. Khi đó với mỗi
xK thì x U. Vì B là một cơ sở tôpô nên tồn tại Bx B sao cho x Bx  B x 
V. Suy ra K   B x   B x  U. Do đó Bx: x K là phủ mở của tập compact
xK

xK

K. Vì thế tồn tại phủ con hữu hạn B x ii1 , trong đó xi, x2, ..., xnK, nghĩa là
n

17


n

 B xi  K . Suy ra tồn tại họ con hữu hạn

i 1



n

B x i

n

i1





của B : B  B sao cho



K   B xi  U . Vậy B : B  B là một k-lưới.
i 1

3.1.3. Mệnh đề. Giả sử f: X  Y là ánh xạ đóng từ khơng gian paracompact
X lên khơng gian tơpơ Y, B là k-lưới của X. Khi đó f(B): B B là một k-lưới
đóng của Y.
Chứng minh. Giả sử B là k-lưới trong X. Vì  là ánh xạ đóng, ta suy ra (B)
đóng trong Y với mọi B  B.
Gọi V là tập mở bất kỳ, H là tập compact bất kỳ sao cho H  V  Y.
Theo hệ quả 2.2.4 X tồn tại tập compact K  X sao cho (K) = H. Khi đó ta có
K  -1(V). Vì  là ánh xạ liên tục, -1(V) mở trong X, K là tập compact thoả

B là k-lưới của X suy ra tồn tại họ con hữu

mãn K  -1(V) nên từ giả thiết

hạn B x ii1  B sao cho K   B i  -1(V). Suy ra (K)  (  B i )  ( -1(V)).
n

n

n

i 1

i 1

Suy ra (K)   f B i   V hay H   f B i   V. Vậy tồn tại họ con hữu hạn
n

n

i 1

i 1

 f (B i )in1  f (B) : B  B

sao cho H   f B i   V, với V mở bất kỳ và tập
n

i 1

compact H  V  Y.

Do đó f (B) : B  B là một k-lưới của Y.

3.1.4. Định nghĩa. i) Một họ AI các tập con của không gian X được

gọi là họ HCP (hereditaliry closure preserving) nếu với mọi họ J  I và với mọi
họ BJ sao cho B  A với mỗi J ta có  Bα
αJ

=

 Bα .

αJ

ii) Họ P các tập con của không gian tôpô X được gọi là -HCP (-hereditaliry
closure preserving) nếu

P = P
nN

n

trong đó

18

Pn là họ HCP.


1.3.5. Nhận xét. i) Từ mệnh đê 1.1.5 và nhận xét 1.1.4 suy ra mọi họ hữu
hạn địa phương, họ rời rạc đều là họ HCP.

 

ii) Nếu họ AI là họ HCP thì Aα I cũng là họ HCP.
3.1.6. Mệnh đề. Giả sử f: X  Y là ánh xạ đóng, liên tục, tồn ánh. B là
một họ -HCP trong X . Khi đó f ( B) : B  B là họ -HCP trong Y.
Chứng minh.

Vì

B

là -HCP nên



B = B
n 1

n

,

trong đó

Bn là họ

HCP của X với mọi nN. Khi đó với mỗi nN, ta chứng minh họ

f (B) , B  Bn  là họ HCP. Thật vậy, xét họ CI, trong đó C  (B), B

Bn. Do C  (B) nên tồn tại A  B sao cho C = (A) với mọi  I. Vì 
đóng nên theo mệnh đề 1.2.2 ta có f (Aα) = f (Aα) ; f (  Aα) = (  Aα ).
αI

αI

Vì B: BB là họ HCP nên  (Aα) =  Aα ,suy ra (  (Aα) ) = (  Aα ).
αI

αI

αI

αI

Do đó ta có
 C =  f (Aα) = f (  Aα) = (  Aα ) =  f (Aα) =  f (Aα) =  Cα .

I

αI

αI

αI

αI

αI

αI

Vậy  Cα =  Cα . hay  f (B) , B  b n là họ HCP.
αI

αI



Do đó  (B) : B  B  =   f (B) : B  B n là họ -HCP.
n 1

R là họ HCP gồm những tập con đóng của khơng
*
*
gian Frechet thì họ   R : R là họ con hữu hạn của R cũng là họ HCP.
*
*
Chứng minh. Giả sử họ   R : R là họ con hữu hạn của R khơng phải
là họ HCP. Khi đó sẽ tồn tại một họ RI với R là họ con hữu hạn của R
và
G  R với I sao cho  G không đóng. Từ đó, do X là khơng gian
3.1.7. Mệnh đề. Nếu

αI

α

19

Frechet nên ta có thể tìm được một dãy zn: nN  Gα hội tụ đến xX \
αI

 Gα .

αI

Ta lấy (n)I sao cho zn G (n), bằng cách chọn một dãy con ta có thể
giả sử các (n) đó phân biệt. Ta chọn được tập n(m) : m  N N sao cho

R

α ( n ( m ))

\  R α ( n ( k ))   . Khi đó việc lấy Rm  Rα ( n ( m )) \  R α ( n ( k )) làm cho các Rm
k n

k n

đó phân biệt.
Ta có G(n(m))  R α ( n ( m )) và Rm Rα ( n ( m )) \  R α ( n ( k )) nên G(n(m)) Rm. Suy
k n

ra G (n(m)) Rm = Rm (do Rm đóng). Do đó zn(m) G (n(m)) thì zn(m)Rm. Như vậy
zn(m)Rm được lấy với tính chất HCP của

R

nên zn(m): m  N đóng. Mà

zn(m)zn; zn hội tụ tới x nên zn(m) hội tụ tới x. Vì zn(m): m  N đóng nên
xzn(m): m  N zn: n N. Mâu thuẫn với việc lấy zn: n N là dãy trong
X\x. Vậy ta có điều cần chứng minh.
3.1.8. Mệnh đề. Nếu R là họ HCP trong không gian tôpô X và zn: n N
là dãy trong X \x hội tụ đến x, thì có một số mN sao cho z : n m  R  
chỉ với hữu hạn những R R.
Chứng minh. Giả sử với mọi m N thì zn: n  mR   với vơ hạn phần tử
RR. Khi đó ta có thể chọn dãy zn(m): m  N  zn: n N bằng cách
sau.Với mỗi m N, do zn: n  mR   với vô hạn phần tử RR nên lấy được
RmR\Ri: i
R có tính chất HCP nên zn(m): m N đóng, nghĩa là zn(m): m N hội tụ đến
xzn(m): m N. Mâu thuẫn với giả thiết là zn: n N X\x. Ta có điều
phải chứng minh.
3.1.9. Bổ đề. Cho A là tập bất kỳ của không gian tôpô X. Với mọi tập mở
U A ta ln có (U \ intA) U \ A .
20


Chứng minh. Lấy xU\ intA suy ra xU và xintA. Giả sử tồn tại V mở
chứa x mà V( U\ A) = , suy ra xUV và xUVA. Vì UV mở nên
xintA, điều này mâu thuẫn với x intA. Do đó mọi tập mở V chứa X đều có
V  ( U\A)   nên x U \ A . Hay (U \ intA )  U \ A .
3.1.10. Mệnh đề. Cho X là không gian Frechet với một k-lưới -HCP

 P m trong đó Pm 

mN

P=

Pm+1. Nếu U là một tập mở và Z =zn: n N là một dãy hội

tụ đến x U \ Z thì tồn tại n0, n1 N sao cho zn: n n1  int  P  P no : P  U.
Chứng minh. Với mỗi mN, đặt

Pm = PPm: P  U. Nếu khơng có

n0N thoả mãn kết luận của mệnh đề này thì chúng ta có thể chọn một dãy zn(m):
m N sao cho zn(m) U \ int  P m . Theo bổ đề 3.1.9 ta có U \ int  P m 

U \  P m , mà X là không gian Frechet nên tồn tại một dãy zkn(m): k N trong

U \  Pm* hội tụ đến zn(m). Khi đó x zkn(m) : k, m  n. Vì vậy sử dụng tính Frechet

ta suy ra tồn tại dãy z'n: n N   zkn(m) :m, kN để z'nx khi n  . Ta chọn
( j)
dãy  zkn(m(j))
: jN trong z'n sao cho m(j) < m(j+1) như sau: Chọn zkn((1m) (1)) = z'1.

Khi đó trong các phần tử z'2, z'3,... có dạng zkn(m) bao giờ cũng tồn tại số m > m
(1). Thật vậy, nếu trong các số hạng cịn lại z'2, z'3, ... đều có dạng

zkn(m) với m 

m (1), thì với mỗi
m = 1, 2,..., m(1), vì zn(m)  x (do xZ), nhờ tính Hausdorff, với mỗi m tồn tại lân
cậnVm của zn(m) và lân cận V của x sao cho VmV   . Mặt khác zkn(m)  zn(m) nên
mỗi lân cận Vm của zn(m) chỉ cịn hữu hạn phần tử của dãy zkn(m) ngồi Vm, nên lại sử

dụng tính Hausdorff ta suy ra tồn tại lân cận W của x sao cho W không chứa phần
tử nào của dãy zkn(m) với mỗi m = 1, 2, ... , m(1). Vì các số hạng z'2, z'3, ... lại có
dạng z kn(m) với m  m (1) nên W không chứa phần tử nào của dãy z'2, z'3, .... Điều
này mâu thuẫn với giả thiết z'n x khi n  .

21


Do đó trong các phần tử z'2, z'3, ... có dạng zkn(m) bao giờ cũng tồn tại số
m > m(1), khi đó ta chọn z'm có dạng mà m > m(1) đó làm zk(2)
n(m(2) . Tiếp tục lập
( j)
luận như trên ta được dãy  zkn(m(j))
: j  N thoả mãn yêu cầu.
( j)
( j)
Vì P là k-lưới, tập x zkn(m(j))
: j  N là compact và x zkn(m(j))
: j  N

( j)
U và U mở nên tồn tại họ hữu hạn F  P để x   zkn(m(j))
: j  N   f  U.
( j)
Vì Pm Pm+1 tồn tại số  sao cho  f  P. Khi đó ta có x   zkn(m(j))
: j  N 

P



μ

.()
Thế nhưng theo cách xây dựng  zkn(( mj )( j )) : j  N  ta có
( j)
 zkn(m(j))
: j  N zkn(m) : k  N U \ 

Pm(j )  P nên P
Suy ra U \  P  U \  P m(j) , do đó U \  P
Vì với m(j ) >  thì




μ



P m(j) .


μ

 P m(j) .


μ

( j)

 zkn(m(j))
: j N. Điều này mâu thuẫn

với (). Vậy tồn tại n0, n1  N sao cho zn: n  n1 int  P no . Mệnh đề được chứng minh.
3.1.11. Bổ đề. Hợp của hai họ HCP là một họ HCP.

P1, P2 là các họ HCP. Ta chứng minh P = P1 
P2 là họ HCP. Thật vậy, giả sử P =PI, xét họ QJ, trong đó I J và
Chứng minh. Giả sử

Q  P với mỗi J. Khi đó QJ = Q ααJ1  Q ααJ2 , ở đây với J1 thì
Q  P  

P1 và với   J1 thì Q  P  P2. Do P1, P2 là các họ HCP nên

 Qα =  Qα với i = 1, 2.

αJ i

αJ i



Suy ra  Qα =   Qα    Qα  =  Qα   Qα
αJ
αJ 2
 αJ1   αJ 2  αJ 1

=  Qα   Qα =
αJ1

αJ2

Hay  Qα =  Q α . Vậy
αJ

α J

 Qα
αJ1 J2

P

=  Qα
αJ

là họ HCP.

22


3.1.12. Nhận xét. Hợp hữu hạn các họ HCP cũng là một họ HCP.
3.1.13. Mệnh đề. Giả sử P =  P n là k-lưới -HCP của không gian tôpô
nN

m

X. Đặt Qm =  P i với mọi m N. Khi đó Q =  Qm cũng là k-lưới -HCP của khơng
mN

i 1

gian tơpơ X.

Q

Chứng minh. Ta có

m

=  Qm =   P i =  P n =
mN

nN

mN i1

P

suy raQ là k-

lưới. Từ bổ đề 3.1.11 ta có Qm là HCP. Vậy Q =  Qm là k-lưới -HCP.
mN

3.1.14. Bổ đề. Giả sử P là họ HCP gồm những tập con đóng của khơng
gian tơpơ X. Khi đó nếu

P

khơngphải là họ hữu hạn địa phương tại x thì

P

khơng phải là họ điểm-hữu hạn tại x.
Chứng minh. Với x  X thì x   P , giả sử x  P0. Do
P

P

P

không là họ

hữu hạn địa phương tại x nên với mọi lân cận U của x đều giao với vô hạn phần


tử của P. Suy ra U    P    với mọi U là lân cận của x.
 PP \ Po 

Vì thế ta có x 

P =

P \ Po

P

P

 P , suy ra tồn tại P1  P0, P1P sao cho

P \ Po

xP1.


Lập luận tương tự như trên ta có U  
 P    với mọi lân cận U
 PP \P ,P 

0 1

sao cho x  P2.
Cứ tiếp tục lập luận như vậy ta sẽ chỉ ra vô hạn phần tử P i P sao cho
xPi nên P không phải là họ điểm-hữu hạn tại x.
3.1.15. Bổ đề. Giả sử

P

là họ HCP của không gian Frechet X.
23


Gọi D =x  X : P không phải là họ điểm hữu hạn địa phương tại x.
Khi đó D đóng và rời rạc.
Chứng minh. Với xk: k  N  D thì theo bổ đề 3.1.13 suy ra

P

khơng

phải là phủ điểm-hữu hạn tại xk, do đó có thể chọn theo quy nạp Pk  P \  Pj : j
< k sao cho cho xk  Pk. Rõ ràng các Pk phân biệt và xk  Pk nên từ tính chất HCP
của P kéo theo tập hợp xk : k  N đóng. Như vậy mọi tập con đếm được của
D đều đóng và vì X là khơng gian Frechet nên D đóng và rời rạc.
3.1.16. Mệnh đề. Giả sử

P = nNP n

là k- lưới -HCP của không gian Frechet

X. Với mỗi n  N ta đặt Dn=x  X : n không phải là họ điểm hữu hạn địa phương

P

tại x và

P 'n =P \ Dn:P Pn   x :x Dn. Khi đó

P 'n là họ điểm-hữu hạn.
ii) P '=  P 'n là k-lưới -HCP.
nN
i)

P 'n chỉ có tập x
chứa x, nếu x Dn thì P n là hữu hạn địa phương tại x. Do đó trong P ' chỉ có
hữu hạn phần tử dạng P \ Dn: P P  chứa x nên P ' cũng là họ điểm hữu hạn
Chứng minh. i) Với xX, nếu x Dn suy ra trong họ

n

n

n

tại x.
ii) Vì n là họ HCP, Dn là rời rạc, đóng, nên dễ dàng thấy

P

P 'n là họ HCP.

Vấn đề còn lại là ta chứng minh rằng  P 'n là một k-lưới. Thật vậy với K là tập
nN

compact, V là tập mở sao cho K  V X. Do P là k-lưới nên tồn tại họ hữu hạn
m

k mj

i 1

j1i1

P1,P2,...,PmP sao cho K   P i V khi đó K    (Pi \ Dn j)  (K  D nj ) 
V.

24