Bất biến afin và ứng dụng trong hình học ơclít

Đ1. KHƠNG GIAN AFIN
1.1. Khơng gian vectơ
Cho khơng gian Vn   với các phép toán:
+ Cộng hai vectơ: x + y
+ Nhân một số với một vectơ: . x
+ Thoả mãn 8 tiên đề:
1.  a, b  V: (a+ b)+ c = a+ (b+ c)
2.  a, b  V: a+ b = b+ a
3.  phần tử   V, sao cho  a  V: a + = a
4.  a, b  V  a'  V: a+ a' = 
5.    K .  a, b  V: (a+b) =a + b
6.   ,   K ,  a  V: ( + )a = a + a
7.   ,   K ,  a  V: ()a = (a)
8. a V: 1.a = a
Khi đó Vn cùng vói các phép tốn đó lập thành 1 khơng gian vectơ.
1.2.Không gian Afin.
Cho không gian vectơ Vn trên trường K, tập A   mà các phần tử của nó
gọi là điểm và ánh xạ
:

A  A  Vn
A B  AB thoả mãn

Tiên đề 1.
Cho trước một điểm A và một vectơ x thì ln tìm được một diểm B
duy nhất sao cho: AB = x .
Tiên đề 2.

1

Cho trước 3 điểm A;B;C thuộc A thì ln có: AB + BC = AC
Khi đó (A, , Vn) gọi là không gian Afin hay gọi là không gian Afin A . Vn gọi
là không gian nền của A.
1.3. Phẳng trong không gian Afin.
1.3.1 Định nghĩa.
Cho không gian Afin liên kết với không gian vectơ A . Gọi I là một
điểm của A1 và  là một không gian vectơ con của A . Khi đó tập hợp: =
M A / IM    được gọi là cái phẳng ( cũng gọi là phẳng) qua I và có
phương là  .
1.3.2. Vị trí tương đối của các phẳng.
Trong khơng gian Afin An cho p - phẳng  và q-phẳng . ( pq) lần
lượt có phương là:  và  .
+ Các phẳng  và  gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.
+  gọi là song song với () nếu  là không gian con của 
+ Các phẳng  và  gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và
không song song với nhau.
1.4. Khái niệm tâm tỉ cự.
Cho K điểm P1;P2;….Pk của không gian Afin A và K số thuộc trường
k

K:1,… k sao cho:   i  0 khi đó  duy nhất điểm G sao cho:
i 1

  i GP i = 0

điểm G gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm P; gắn với họ hệ số i
+ Khi các i bằng nhau. G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pi.
+ Khi K=2. G là trung điểm của cặp (P1; P2)
1.5. Tập lồi trong không gian Afin.
1.5.1. Đoạn thẳng.

2

k

i 1


Cho 2 điểm P và Q của không gian Afin thực A điểm M(d) qua P và



Q khi và chỉ khi  điểm 0 tuỳ ý thì: OM   OP  1 OQ



R

Tập hợp những điểm M sao cho:

OM =  OP +(1- ) OQ 0  1 gọi là đoạn thẳng PQ.
1.5.2. Tập lồi.
Tập X trong không gian Afin thực gọi là tập lồi nếu với hai điểm P,Q 
X thì đoạn thẳng PQ nằm hồn tồn trong X.
1.5.3. Đơn hình.
Cho (m+1) điểm độc lập Po ,…, Pm. Ta biết rằng mặt phẳng  đi qua
(m+1) điểm đó gồm những điểm M sao cho với mọi điểm 0 nào đó ta có:
m

OM =

  i OP i

Với

i 0

m

  i =1.
i 0

Nếu i  0  i = O, m thì tập hợp đó gọi là một đơn hình với các đỉnh
P0,…,Pm và kí hiệu là: S(P0,…,Pm).
1.5.4. Hình hộp.
Cho (m+1) điểm độc lập Po ,…, Pm. Tập hợp những điểm M sao cho:
m

PoM =

  i PoPi

Với 0  i 1

i 1

gọi là m - hộp.
1.6. Siêu mặt bậc hai.
1.6.1. Định nghĩa. Siêu mặt bậc hai là tập hợp những điểm X  A n sao cho
toạ độ X(x1; …;xn) thoả mãn phương trình:

n

n

i , j1

i 1

 a ịxixj + 2  a ixi + a0 = 0 (1)

Trong đó: ai,j; ai;a0: là các số thực; các aij không đồng thời bằng 0 và
aij= aji.
Nếu ký hiệu A = (aij)n Vì aij = aji  A = At
3


 x1 
 
X   .... 
x 
 n

 a1 
 
a   .... 
a 
 n

Khi đó (1)  xtAx + 2atx +a0 = 0 (2)
Ngoài ra siêu mặt bậc hai (1) cịn có thể đưa về một trong ba dạng sau

gọi là phương trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai:
r

1).

  ix2i = 1

i = 1;

1 r  n

i = 1;

1 r  n

i 1
r

2).

  ix2i = 0
i 1
r

3).

  ix2i = 2xr+1 i = 1;

1 r  n-1

i 1

1.6.2. Các khái niệm liên quan đến siêu mặt bậc hai.
+ Tâm của siêu mặt bậc hai:
 x1 
 
Nếu gọi x   ...  là toạ độ tâm của siêu mặt bậc hai (S) thì ta có phương
x 
 n

trình: Ax + a = 0
+ Điểm kì dị: Điểm I gọi là điểm kì dị của (S) nếu I  (S) và I là tâm
của (S)
Phương trình điểm kì dị:

a t x  a 0  0

Ax  a  0

+ Phương trình tiệm cận:
Vectơ C (c1,...,cn) gọi là phương tiệm cận của (S): Nếu C  0 và
CtAC = 0.
+ Khái niệm đường tiệm cận:
Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất. Một đường thẳng đi qua tâm
và có phương là phương tiệm cận gọi là đường tiệm cận.
4


Gọi C (ci) là phương tiệm cận của (S)
I(di) là tâm của (S)

 phương trình đường tiệm cận: xi = di + ci.
+ Siêu phẳng kính:
Cho hai điểm M1; M2 thay đổi của một siêu mặt bậc hai (S) sao cho
đườngthẳng M1M2 có phương cố định ( C  0) khơngphải là phương tiệm cận.
Khi đó tập hợp trung điểm của các đoạn thẳng
M 1M2 nằm trên một siêu phẳng đi qua tâm (nếu có) của (S).
Siêu phẳng đó gọi là siêu phẳng kính của (S) liên hợp với phương C
Phương trình siêu phẳng kính: Ct(Ax + a) = 0.
+ Hai phương liên hợp:
V và W gọi là hai phương liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai (S)

nếu thoả mãn phương trình: [V]tA[W] = 0.
+ Khái niệm siêu tiếp diện:
Một điểm B(bi) (S) và B không phải là điểm kì dị thì tập hợp
các tiếp tuyến của (S) tại B tạo thành 1 siêu phẳng gọi là siêu thiết diện của
(S) tại B.
Phương trình:

(btA + at)(x-b) = 0.

5


Đ2. ÁNH XẠ AFIN VÀ BIẾN ĐỔI AFIN
2.1. Ánh xạ Afin.
Cho A; A’ là các không gia Afin trên trường K có các khơng gian vectơ
liên kết A ; A' .
Ánh xạ f: A  A’ gọi là ánh xạ Afin nếu thoả mãn điều kiện:
 f tt : A  A ' sao cho  M;N A ; M’ =f(M) ; N’ = f(N) thì:
f ( MN ) = f (M).f ( N) = M' N' ( f : đồng cấu)

2.2. Đẳng cấu Afin
2.2.1 Định nghĩa.
Ánh xạ f: A  A’ gọi là đẳng cấu Afin nếu thoả mãn hai điều kiện:
+ f là ánh xạ Afin tức  f và f tuyến tính.
+ f là song ánh.
2.2.2 Các tính chất.
Tính chất 1: Ánh xạ f: A  A' là đẳng cấu Afin, suy ra f biến hệ độc lập thành
hệ độc lập biến mục tiêu thành mục tiêu.
Chứng minh. Do f là đẳng cấu Afin  f là đẳng cấu tuyến tính.
Giả sử trong khơng gian Afin A n cho:  S0;…;Sn điểm độc lập suy ra:
 SoSi ,… SoSn  là cơ sở của A n.
Vì f là đẳng cấu tuyến tính nên nếu  một ánh xạ Afin f: A n  A n
thoả mãn: f(Si) = Si’ (i = 0, n ) thì  So S1' ,…, So' Sn'  độc lập tuyến tính
và nó cũng là cơ sở của A’n  So’,…,Sn’ độc lập.
Tính chất 2: Nếu f: A  A’ là đẳng cấu Afin thì ánh xạ ngược: f-1: A’  A
cũng là đẳng cấu Afin liên kết với đẳng cấu tuyến tính ( f )-1 và ( f )-1 = f -1
6


Chứng minh. Do f đẳng cấu với Afin nên ( f )-1: A'  A là đẳng cấu với
 M’ ; N’ A’. Gọi: M =f-1(M’)
N =f-1(N’) thì:
( f )-1 ( M' N' ) = ( f )-1. f ( MN ) = MN = f 1 (M' ).f 1 ( N' )
Và f là song ánh  f-1: A’  A đẳng cấu Afin và f -1 = ( f )-1
Tính chất 3: Cho A, A’, A’ là các không gian Afin trên cùng trường K;
f: A  A’
g: A’ A’’
Là các ánh xạ Afin
Chứng minh g.f:A  A’’ là ánh xạ Afin và: g.f = g . f

Chứng minh. Do f, g là các ánh xạ Afin nên: f , g là ánh xạ đồng cấu và g .
f : A '  A là đồng cấu và M ,N A ta có:
g . f ( MN ) = g ( f (M).f ( N) ) = g f (M).g f ( N) ) =  g.f )(M). g.f )(N) .

Vậy g.f: A  A’’ là ánh xạ Afin và g.f = g . f .
Tính chất 4: Quan hệ đẳng cấu giữa không gian Afin trên trường K là một
quan hệ tương đương.
Chứng minh: Tính phản xạ:
+ A A vì  I d: A  A
+ Tính đối xứng:
Giả sử f là đẳng cấu Afin từ A  A’ thì theo tính chất 2 ta có
f-1: A’ A đẳng cấu Afin .
+ Tính chất bắc cầu:
Nếu f là đẳng cấu Afin : A  A’.
g là đẳng cấu Afin : A’  A’’
Thì theo tính chất (3) ta có g.f: A  A’’ cũng đẳng cấu Afin

7


Vậy quan hệ đẳng cấu giữa các không gian Afin là quan hệ tương
đương .
2.3 Phép biến đổi Afin.
2.3.1 Định nghĩa.
f là phép biến đổi Afin   ánh xạ Afin f: A  A và f là đẳng cấu
Afin Phương trình phép biến đổi: [x’] = At[x] + [a] đối với mục tiêu{0, e1 , …

e n }.
2.3.2 Tính chất.
f

+ @= {fbđ: A 
A } lập thành một nhóm

8


Chứng minh:
+ Tính chất kết hợp ; f ; g ; h là các phép biến đổi Afin từ A  A.
Ta có (f.g)h = f(g.h) (Do tích các ánh xạ có tính chất kết hợp)
+  phần tử đơn vị là Id  ( @):  f  @: f. Id = Id .f = f .
+  phần tử nghịch đảo là f-1 ta có:  f  (@) thì f-1 . f = f. f-1 =Id
2.4. Hai hình tƣơng đƣơng Afin.
2.4.1 Định nghĩa.
Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian X: H 1 và H2 là hai hình
nào đó  X . Khi đó hình H1 gọi là tương đương với hình H2 , nếu có phép
biến đổi fF sao cho f(H1) = H2
2.4.2 Các tính chất.
Tính chất 1: Hai đơn hình có cùng số đỉnh thì tương đương Afin
Chứng minh.
Giả sử S ( Po ; …;Pm) và S( P’o ; …;P’m) là hai đơn hình có cùng số
đỉnh của khơng gian An . Ta bổ sung vào hệ (m + 1) điểm độc lập {P0 , ... Pm}
các điểm Pm+1, …, Pn và bổ sung vào hệ (m +1) điểm độc lập ( P’o ; …;P’m)
Các điểm P’m

+1

, …, P’m để được hai hệ (n +1) điểm độc lập:

{Po ; …;Pn} và {P’o ; …;P’n} . Khi đó  một phép biến đổi f của A sao
cho: f(P i) = P’i ( i = 0 ,

n ) . Ta cần chứng minh f biến đơn hình S(Po

,…,Pm ) thành S(P’o ,…,P’m ).
Ta có với  điểm M  S(Po ,…,Pm ) thì với 1 điểm 0 nào đó ta có:

OM =

m

m

i 0

i 0

  i OP i ;   i = 1; i  0

 i =1, m

m

Đặt 0’ = f(0) Ta có: 0' f (M) = f ( OM ) = f (   i OP i)
i 0

 0' f (M) =

m

  i f ( OP i) =

i 0

m

  i f (0).f (Pi) =
i 0

9

m

  i O' Pi'
i 0


Vậy 0' f (M) =

m

  i O' Pi'

Với

i 0

i
m



= 1 ; i 0



i 0

Suy ra: f(M)  S(P0’,…, Pm’) và một điểm 0’ nào đó Ta có:
m

O' M' =

m

  i O' Pi' ;

  i =1 ;

i 0

i 0

i 0

Gọi 0 = f-1(0’) và M = f-1(M’) thì:
1

1

OM = f (0' ).f (M' ) = (f )

-1 (O' M' )

m

= f (   i O' Pi' )
-1

i 0

m

=

if
i 0

-1

m

( O' Pi' ) =

if

1

1

(0' ).f (Pi' ) =

i 0

m

  i OPi
i 0

Suy ra: MS(P0,…,Pm)
Điều đó chứng tỏ hai đơn hình có cùng số đỉnh thì tương đương Afin
với nhau.
Tính chất 2: Mọi cặp mặt m - phẳng phân biệt song song đều tương đương.
Chứng minh.
Giả sử (;) và (’;’) là hai cặp mặt phẳng song song. Chọn trong
() (m+1) điểm độc lập M0,M1,…,Mm và một điểm Mm+1 (). Khi đó hệ
gồm (m+2) điểm  M0,…, Mm+1 độc lập ( do // và )
Ta bổ sung vào hệ đó Mm+2,…, Mn điểm để được hệ (n+1) điểm độc
lập trong A n.
Bằng phương pháp trên ta lấy hệ điểm độc lập: M 0’,…,Mm’,
M’m+1,…,M’n của A n sao cho: M’0,…M’m (’) ; M’m+1 (’).
Khi đó theo định lý thì sẽ có phép biến đổi Afin f sao cho: f(M i) = M’i
(i = 0, n ).
Khi đó f() = ’ Vì f(Mm+1) = M’m+1 (’)
Và f (  ) = f (  ) (do  // )   ’ =  ’  f() = ’

10


Vậy qua phép biến đổi Afin f thì 2 cặp mặt phẳng (,) và (’, ’) là
tương đương.
Tính chất 3: Hai siêu mặt bậc hai cùng loại thì tương đương Afin.

Chứng minh.
Giả sử hai siêu mặt bậc hai S và S’ có các phương trình chính tắc trong
các hệ toạ độ chính tắc tương ứng {0; e i;… e n} (1)
và {0’; e ’i;… e ’n} (1’) là giống nhau
Gọi f là phép biến đổi Afin có phương trình: [x] = [x’]
( [x] : Ma trận cột của điểm M đối với (1))
( [x’]: Ma trận cột của điểm f(M) đối với (1’))
Khi đó ta có: f(S) = S’ Hay S và S’ tương đương Afin với nhau.
Tính chất 4. Hai m - hộp là tương đương Afin.
Chứng minh. Giả sử có hai cặp (m + 1) điểm độc lập
{P0, …, Pm}

(1) và {P’0, …, P’m}

(2)

m

Gọi S = {M} sao cho: P0 M    i P0 Pi với 0  li  1
i 0

m

và S’ = {M’} sao cho: P'0 M'    i P'0 P'i với 0  li  1
i 0

Khi đó S và S’ là hai m - hộp
Cần chứng minh tồn tại một phép biến đổi Afin f sao cho f(S) = S’
Bổ sung vào (1) các điểm: Pm

+ 1,

…, Pn và vào (2) các điểm

P’m + 1, …, P’n để được 2 hệ n + 1 điểm độc lập trong An
Đặt P’0 = f(P0), P’i = f(Pi); i = 1, m
Với M  S ta có f(M)  f(S)

 

m

Xét: P'0 f M   f P0 .f M   f P0 M  f    i P0 Pi 
 i1


11


m

=

 

m

  i f P0 Pi    i f P0 f Pi 
i 1

i 1

m

=

  i P ' 0 P 'i
i 1

 f(M)  (S’) M  S  f(S)  S’
Ngược lại với M’  S’
m

Ta xét: P'0 M'    i P'0 Pi ' ; 0  li  1
i 1





m

 f 1 P'0 M'    i f 1 (P0' Pi' )
 P0 f

1

i 1

m

M' =   i (P0 Pi' )
i 1

 f-1(M’)  S(P0, …, Pm)
 M’  f(S)  S’  f(S)
 f(S) = S’  hai m - hộp tương đương AFIN

Đ3. CÁC BẤT BIẾN AFIN
3.1 Định nghĩa bất biến Afin.
Gọi F là nhóm biến đổi của khơng gian X và H là một hình trong X.
Một tính chất nào đó của hình H: sẽ gọi là một bất biến đối với nhóm F nếu
mọi hình H’ tương đương với H ( của nhóm F) đều có tính chất đó.
3.2 Các mệnh đề về bất biến Afin.
3.2.1 Mệnh đề: Tỉ số đơn là một bất biến Afin.
Chứng minh.
Cho phép biến đổi Afin f: A n  A’n
A  A’

12


B  B’
C  C’
Và (ABC) = k
Ta cần chứng minh:

(A’B’C’) = k

Tức cần chứng minh:

C' A' = k C' B'

Thật vậy theo giả thiết ta có:

CA = k CB


Mà:

f ( CA ) = k f ( CB )
(

)=

(

)=

(do f là ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ Afin f).
Suy ra: C' A' = k C' B'

Hay (A’B’C’) = k

Vậy tỉ số đơn là một bất biến Afin.
3.2.2 Mệnh đề: Tính độc lập hay khơng độc lập của hệ điểm là một bất biến
Afin.
Chứng minh. Xét f là một phép biến đổi Afin từ A  A và giả sử A1,…,Ak
độc lập và

f: A1  A’1
A2  A’2
…………
Ak  A’k

Cần chứng minh: A’1,…,A’k độc lập.
Thật vậy vì A1,…,Ak độc lập suy ra
 A1 A 2 ,…, A1A k  độc lập tuyến tính
Vì f đẳng cấu nên f đẳng cấu tuyến tính
Suy ra:  A'1 A' 2 ,…, A'1 A' k  độc lập tuyến tính
Hay suy ra: A’1,…,A’k độc lập

13


3.2.3 Mệnh đề: Tính chất song song, cắt nhau, chéo nhau của 2 cái phẳng là
bất biến Afin
Chứng minh:

Giả sử ();() là hai cái phẳng

+  //  trong đó A ;   A
Khi đó  ánh xạ liên kết f : A  A và   A ;   A
Giả sử:    . Khi đó cái phẳng f() ; f() sẽ có phương lần lượt là:
f (  ) ; f (  ).

Do f (  )  f (  )  f() và f() là 2 cái phẳng song song
+ Nếu () và () cắt nhau thì  U    
 U () và U()
 f(U)  f() và f(U)  f().

 f()  f()  
 f() cắt f().
Vậy hai cái phẳng cắt nhau cũng là bất biến Afin.
+ Nếu  và  chéo nhau: Tức () không song song với () ; () không
cắt ().
 f()không song song với f() và f() không cắt f().
 f() và f() chéo nhau.
Vậy khái niệm chéo nhau cũng là một bất biến Afin.
3.2.4 Mệnh đề: Khái niệm tâm tỉ cự là một bất biến Afin.
Chứng minh. Giả sử  P0, P1, …,Pm là một hệ điểm nào đó và G là tâm tỉ cự
của nó gắn với hệ số: 0, 1, …,m tức là

m

  i GP i = 0
i 0

Gọi f là ánh xạ của phép biến đổi Afin có ánh xạ liên kết f .
Khi đó ta có:

14


m

f (   i GP i) =
i 0

m

  i f ( GP ) =
i 0

m

  i f (G).f (Pi) = 0
i 0

Suy ra: f(G) là tâm tỉ cự của hệ điểm f(Pi) , i = 0, m .
i i = 0, m

Gắn với hệ số

Vậy tính chất tâm tỉ cự là một bất biến Afin.
3.2.5. Mệnh đề: Khái niệm đơn hình là một bất biến Afin
Chứng minh: Giả sử S = S (P0, …, Pm) là một đơn hình m chiều. Và f là phép

biến đổi Afin có ánh xạ bliên kết là f .
Cần chứng minh f(S) là một đơn hình m chiều.
Gọi P’0 = f(P0); P’1 = f(P1) ; … P’m = f(Pm)
 P’0; P’1 …, P’m  f(S)
và {P’0; …, P’m} là hệ độc lập
Gọi S’ là đơn hình m chiều với các đỉnh: P’0, P’1, …, P’m
Ta cần chứng minh f(S) = S’
Thật vậy M’  f(S)  M’ = f(M) với M  S
m

Ta có:

OM    i OP i

i 0

 

m

m

 i  1

i 0

 

 f OM    i f OPi
i 0
m

=

  i f 0.f Pi 

i 0
m

hay

f 0 .f M     i f 0 .P' i ;
i 0



m

 i  1

i 0

m

m

f 0 . M'    i f 0 .P' i

 i  1

i 0

i 0

 M’  S’ (P’0, …, P’m)  f(S)  S’
Với M’  S’ và 0’ nào đó ta đặt: M’ = f(M); M  S

15


0’ = f(0)
m

m

Suy ra 0' M'    i 0' P'i ;

 i  1

i 0



i 0

m

0' f M     i 0' f Pi 
i 0
m

 f 0 f M     i f 0 f Pi 
i 0

 

m

 

 f 0M    i f 0Pi
i 0

m

 0M    i 0Pi  M  (S)
i 0

 f(M)  f(S)
M’  f(S)  f(S) = S’
Vậy khái niệm đơn hình là một bất biến Afin.
3.2.6 Mệnh đề: Tập lồi là một bất biến Afin.
Chứng minh.
Giả sử H là một tập lồi và f là một biến đổi Afin. Ta cần chứng minh
f(H) cũng là tập lồi.
Gọi A’; B’  f(H). Cần chứng minh [A’B’]  f(H)
Vì

A’  f(H)

 A’ = f(A) Với A;B  H

B’  f(H)

 B’ = f(B)

Mà H là hình lồi

 AB  H

 f(AB)  f(H)


A’B’ f(H)

Vậy f(H) cũng là một hình lồi hay khái niệm tập lồi là một bất biến Afin.
3.2.7. Mệnh đề: Khái niệm m - hộp là bất biến Afin.
Chứng minh.

16


Giả sử có m - hộp S = {M} sao cho gồm: P0 M =

m

  i P0 Pi

(1) 0 i 

i 1

1
Và m - hộp S’ = {M’}: P0 ' M' =

m

  i P ' 0 P 'i

(2) 0  i  1

i 1

Và  1 phép biến đổi Afin f sao cho f(Pi) = P’i ;

i = o, m

Ta bổ sung vào P’0,…,P’m các điểm Pm+1,…, Pn và vào P’0,…,P’m
các điểm P’m+1,…, P’n để được hai hệ độc lập trong An
Cần chứng minh: qua fbđ: A  A
f(S) = S’
Với M’  f(S)  M’ = f(M) ; M  S
n

Và

  i P0 Pi

P0 M =

i 1

n

 f ( P0 M ) = f (   i P0 Pi ) =
i 1



0  i  1

;

n

  i f ( P0 Pi )
i 1

n

P' 0 M ' =

  i P ' 0 P 'i

Với 0  i  1

i 1

 M’ S’ (P'0, P'1,…, P'm)  M’ f(S)
Hay f(S)  S’
Ngược lại với M’ S’(P’0, P’1,…, P’m). Ta có:
n

  i P ' 0 P 'i )

P' 0 M ' =
 f -1 P'0 M' =
1

(0  i  1)

i 1

n

  i f -1( P0 Pi )
i 1

 P0 .f (M' ) =

n

  i P0 Pi

(0  i  1)

i 1

 f-1(M’)  S(P0, …, Pm)

17


 M’  f(S) hay S’  f(S) (**)
Từ (*) và (**)  f(S) = S’
Vậy m - hộp là bất biến Afin.
3.2.8. Mệnh đề: Khái niệm trung tuyến của một hình tam giác là bất biến
Afin.
Chứng minh. Với f là một phép biến đổi Afin
f: A  A
Biến A  A’
B  B’
M  M’

Cần chứng minh nếu MA = MB thì M’A’= M’B’
Thật vậy: Vì f bảo tồn tỉ số đơn nên bảo tồn khoảng cách
MA = - MB  f ( MA ) = - f ( MB )

Ta có:

 M' A' = - M' B' Hay M’A’ = M’B’ tức tính chất trung điểm là bất
biến  Khái niệm trung tuyến của một hình tam giác là bất biến Afin
3.3. Các bất biến của siêu mặt bậc hai.
3.3.1. Mệnh đề: Qua một phép biến đổi Afin một siêu mặt bậc hai biến thành
một siêu mặt bậc hai cùng loại với nó.
Chứng minh.
Gọi (S) là siêu mặt bậc hai với cơ sở 0; e i (1)
Giả sử siêu mặt bậc hai (S) có phương trình
xtAx + 2atx +a0 = 0 (2) và một phép biến đổi Afin có phương trình:
(detB  0)

[x] = B[x'] + [b] (3)
Thay (3) vào (2) ta được:
(Bx’+b)tA(Bx’+b) + 2at(Bx’+b) + a0 = 0
t

t

t

t

t

t

t

 (x’ B +b )A(Bx +b) + 2a ( Bx’+b) + a0 = 0
t

t

t

t

t

t

 x’ B ABx’ + x’ B Ab + b ABx’ + b Ab +2a Bx’ +2a b + a0 = 0

18


t

t

t

t

t

t

t

 x’ B ABx’ + b ABx’ + b ABx’ +2a Bx’ + b Ab +2a b + a0 = 0
 x’tA’x’ + 2a’t x’ + a’0 = 0

Trong đó:

(4)

A’ = BtAB
t

t

a’ = B Ab + B a
a’0 = btAb +2at b + a0 .
t

t

t

t

Ta thấy: A’ = A' vì ( B Ab) = b Ab và hạng A’ = hạng BAb .
 (4) là một siêu mặt bậc 2 (2) đối với cơ sở 0’; e i’ 

Phương trình (2) và (4) là giống nhau => S’ =f(S)
Vậy siêu mặt bậc hai là bất biến Afin.
3.3.2 Mệnh đề: Tâm của một siêu mặt bậc hai là một bất biến Afin qua phép
biến đổi Afin.
Chứng minh: Giả sử (S) có phương trình:
xtAx + 2atx +a0 = 0
Điều kiện để (S) có tâm là: detA  0 và nếu gọi I(x1,…xn) là tâm thì toạ
độ I thoả mãn phương trình: Ax + a = 0(*)
Giả sử  1 phép biến đổi Afin x = Bx’+b
Ta có:
(*)  A(Bx’+b) +a = 0
ABx’ +Ab +a = 0
BtABx’ + BtAb + Bta = 0
BtABx’ + Bt ( Ab+a) = 0
A’x’ + a’ = 0
Theo mệnh đề một suy ra tâm của siêu mặt bậc hai S’ là ảnh của siêu
mặt bậc hai S cùng loại với nó .
Vậy qua phép biến đổi Afin thì tâm I biến thành tâm I’(x 1,… xn) đối với
với siêu mặt bậc hai (S’), hay khái niệm tâm của siêu mặt bậc hai là bất biến
Afin.

19


3.3.3. Mệnh đề: Phương tiệm cận và đường tiệm cận của một siêu mặt bậc
hai là những bất biến Afin.
Chứng minh: + Gọi f là phép biến đổi Afin: A A’ có phương trình:
[x] = B[x’] + [b].
Gọi S là siêu mặt bậc hai với cơ sở là 0’; e i  S’ là siêu mặt bậc hai
với cơ sở 0’; e i .

Gọi C là phương tiệm cận của S Ta có ctAc = 0
Cần chứng minh f ( C ) là phương tiệm cận của S’ đối với cơ sở
0’; e i’ 
Khi đó ta có: [C] = B[C’]
 [Ct] = [C’]t.Bt.
( Với C’ là phương tiệm cận của S’ đối với cơ sở 0’; e ’i  ) Ta có:
[C’]tA’[C’] = [C’]tBtAB[C’] = CtAC = 0
mà f ( C )  C’ là phương của S’ đối với cơ sở 0’; e ’i ( Vì phương tiệm cận
là duy nhất)
 Phương tiệm cận là 1 bất biến Afin.
+Vì khái niệm tâm tiệm cận và phương tiệm cận là bất biến Afin, mà
đường tiệm cận có phương trình: xi = di + ci.
Trong đó: C = (ci) là phương tiệm cận
I = (di) là toạ độ tâm.
Nên qua phép biến đổi Afin có phương trình [x] = B[x’] + [b] thì đường
tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) đối với cơ sở

{0; e i} biến thành đường

tiệm cận của (S’) là ảnh của (S) qua phép biến đổi Afin
Vậy khái niệm đường tiệm cận là một bất biến Afin
3.3.4 Mệnh đề: Khái niệm siêu phẳng kính của siêu mặt bậc hai là một bất
biến Afin.
Chứng minh.
20


Gọi siêu phẳng kính liên hợp với phương C của siêu mặt bậc hai (S) có
phương trình : Ct(Ax+a) = 0 (1)
Qua phép biến đổi Afin: [x] = B[x’] + [b] thì:

- Ma trận A biến thành ma trận A’ = BtAB
- Ma trận a biến thành ma trận

a' = BtAb + Bta

Qua phép biến đổi Afin thì (1) biến thành
C1t (A’[x’] + a’) = 0 (2)
(2) là phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương C1 là ảnh của
phương C qua phép biến đổi Afin trên. Và C1 có toạ độ đối với mục tiêu
0; ei’ của (S’) như là toạ độ của C đối với mục tiêu  0; ei của (S).
Vậy siêu phẳng kính liên hợp là một bất biến Afin .
3.3.5 Mệnh đề: Khái niệm phương liên hợp là bất biến Afin .
Chứng minh.
Gọi (S) là siêu mặt bậc hai đối với mục tiêu{0; e i }. (S’) là siêu mặt
bậc hai đối với cơ sở {0'; e 'i }.
Gọi V và W là hai phương liên hợp đối với (s) ta có
[v]t A[w] =0.
Gọi [v’] ; [w’] lần lượt là ma trận cột của toạ độ V và W đối với cơ
sở {0; e i }.Khi đó qua phép biến đổi Afin [x] =B[x’] +[b]
ta có:
[v] = B[v’]

[w] = B[w’] .

Ta xét:
[v’]t A’[w’] = [v’]t BtAB[w’] = [v]t A [w] =0
Vậy qua phép biến đổi Afin thi hai phuơng liên hợp biến thành hai
phương liên hợp hay hai phương liên hợp là bất biến Afin .
3.3.6 Mệnh đề: Khái niệm điểm kỳ dị là một bất biến Afin .
Chứng minh.

21


Nhắc lại khái niệm điểm kỳ dị.
Một điểm I gọi là điểm kỳ dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu I (S) và I là
tâm của (S) tức:
a t x  a 0  0

Ax  a  0

Giả sử có phép biến đổi Afin f có phương trình [x] = B[x] +[b] .Khi đó
ta có:
[A] biến thành

BtAB = A’

[a] biến thành
[ao] biến thành

[a’] = BtAb + Bta
ao’ = btAb + 2atb + ao

Khi đó ta chứng minh:
(BtAb + Bta)tx’ + btAb + 2atb + a0 = 0 (1)
BtAbx’ + BtAb + Bta = 0

(2)

Vế trái (1) = (btAB + atB) x’ + btAb + 2atb + a0
= btAB x’ + atB x’ + btAb + 2atb + a0

= btA(Bx’+b) + at(Bx’+b) + atb + a0
= btAx + atx + atb + a0
= btAx + atb
= btAx + bta = bt(Ax+a) = 0 (Vì bta = atb)
Vế trái (2) = BtAbx’ + BtAb + Bta
= BtA(Bx’+ b) + Bta
= BtAx + Bta = Bt(Ax + a) =0
Vậy điểm I/(s) biến thành điểm I’ là điểm kỳ dị của siêu mặt bậc hai
(S’) là ảnh của (S). Vậy điểm kỳ dị là một bất biến Afin.
3.3.7. Mệnh đề: Khái niệm siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai là một bất biến
Afin.
Chứng minh. Gọi (S) là siêu mặt bậc hai đối với cơ sở {0; e i}
(S’) là siêu mặt bậc hai đối với cơ sở {0’; e ’i}
22


Khi đó  một phép biến đổi Afin sao cho: f(0) = 0’; và f ( e i) = e ’i
Gọi siêu tiếp diện tại U(U1,…, Un)  (S) là:
(UtA + at)(x - U) = 0.
Khi đó qua phép biến đổi Afin f có phương trình [x] = B[x’] + [b] thì
siêu tiếp diện tại U biến thành siêu tiếp diện tại U’ của (S’) đối với cơ sở {0’;
e ’i}

Khi đó U’ cũng có toạ độ bằng toạ độ của U đối với (S).
Vậy khái niệm siêu tiếp diện của (S) là một bất biến Afin.
3.3.8 Mệnh đề: Trong không gian Afin An , siêu mặt bậc hai (S) được gọi là
siêu nón bậc hai hạng r nếu có một mục tiêu 0; e i  nào đó của An để
phương trình của (S) là:
n

 a ijxixj = 0

i , j1

Trong đó hạng A = (aij) i,j = 1, n là r >0 và A = At
Lúc đó siêu nón hạng r là bất biến Afin
Chứng minh. Giả sử f là một phép biến đổi Afin và (S) là siêu nón hạng r.
Gọi S’ = f(S)
Vì phương trình của S là:

n

 a ijxixj = 0

i , j1

r

Hay

  ix2i = 0

(*) 1 r  n .

i 1

i =  1

Đối với mục tiêu { 0 ; ei} i = 1.n
Gọi { 0’ ; e' i } là mục tiêu mà:

0’ = f(0)

e' i = f( ei )

Lúc đó (S’) có cùng phương trình (*) đối với mục tiêu { 0’ ; e' i }
Vậy (S’) là siêu nón hạng r
Hay siêu nón hạng r là bất biến Afin
23


Đ4. MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC ƠCLIT
4.1. Khơng gian ơclít.
Khơng gian ơclít là khơng gian Afin liên kết với khơng gian vectơ Ơclít
hữu hạn chiều.
4.2. Quan hệ vng góc trong khơng gian ơclít.
Hai phẳng  và  được gọi là vng góc với nhau nếu hai phương kết
của nó:  ;  vng góc với nhau.
4.2. Khoảng cách giữa hai điểm.
4.2.1. Định nghĩa. Cho hai điểm M;N của khơng gian ơclít En khoảng cách
giữa hai điểm đó ký hiệu d(M;N) được định nghĩa là
d(M;N) = l MN l =

MN 2

4.2.2. Các tính chất.
+ d(M;N) = d(N;M)
+ d(M;N)  0 ; d(M;N) = 0  M N
+ d(M;N) + d(N;P)  d(M;P)  M;N;P
4.3. Một số định nghĩa khác.
+ Tam giác vng: Là tam giac có 2 cạnh vng góc với nhau.

24


+ Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau, tam giác đều
là tam giác có 3 cạnh bằng nhau.
+ Hình thoi: Là hình bình hành có 2 cạnh bên liên tiếp bằng nhau.
+ Hình chữ nhật: Là hình bình hành có 1 góc vng.
+ Hình vng: Là hình chữ nhật có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau.
+ Siêu cầu: Cho điểm I trong khơng gian ơclít En và một số thực
r>0
Tập hợp: S(I;r) =  M  En/ d(I;M) = r  gọi là siêu cầu thực tâm I bán
kính r. Ta thấy siêu cầu S(I, r) thuộc loại Elipxơlít
Đặc biệt nếu xét siêu cầu trong E3 thì nó là mặt cầu, trong E2 là đường
trịn.
Từ các tính chất ở Đ2 và định nghĩa nêu ở trên ta có một số hệ quả như
sau về tính chất tương đương Afin của nó:
4.4. Hệ quả.
+ Hình tam giác bất kỳ thì tương đương Afin với hình tam giác đều,
tam
giác cân, tam giác vng.
+ Hình bình hành tương đương Afin với hình vng, hình chữ nhật,
hình thoi.
+ Hình Elíp tương đương Afin với hình trịn

Đ5. SỬ DỤNG TƢƠNG ĐƢƠNG AFIN ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TỐN TRONG HÌNH HỌC ƠCLIT
5.1 Nguyên tắc chung.
Nếu tính chất  là bất biến Afin và tính chất  có trên một hình H thì
tính chất  có trên một hình bất kì khác tương đương Afin với H.

25