Về ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong rn

MỤC LỤC

Trang
Mở đầu

2

Chương 1. Liên thơng tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc trong Rn

4

Đ1. Liên thơng tuyến tính trong Rn

4

Đ2. Ánh xạ tiếp xúc trong Rn

11

Chương 2. Các dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn

20

Đ3. 1- dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong Rn

20

Đ4. Ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn

26

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38

1


LỜI MỞ ĐẦU
Ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc có nhiều ứng dụng trong hình
học, giải tích ..., chẳng hạn sử dụng nó để tính thể tích của các miền trên đa
tạp nhiều chiều. Do đó vấn đề này đã được trình bày trong nhiều tài liệu Hình
học (xem [1], [3], [6], [7]). Vì vậy, đây là một đề tài tuy khơng cịn mới
nhưng vẫn rất hấp dẫn đối với tác giả.
Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệm
cơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và đưa ra một số nhận xét về ánh xạ
tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn.
Khoá luận được chia làm 2 chương và trình bày trong 4 mục:
Chương 1: Liên thơng tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc trong Rn.
Đ 1. Liên thơng tuyến tính trong Rn.
Đ 2. Ánh xạ tiếp xúc trong Rn .
Chương 2: Các dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn
Đ 3: 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong Rn.
Đ 4: Ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn.
Trong Đ1, chúng tơi đưa ra định nghĩa và 2 ví dụ về liên thơng tuyến
tính trong Rn (mệnh đề 1.2; mệnh đề 1.6), các tính chất được chúng tơi trình
bày và chứng minh khá chi tiết (định lý 1.3; định lý 1.4; mệnh đề 1.5, mệnh

đề 1.7).
Trong Đ2, chúng tôi trình bày định nghĩa và một vài tính chất của ánh
xạ tiếp xúc trong Rn. Qua đó đã rút ra được một số nhận xét (thể hiện ở mệnh
đề 2.5; mệnh đề 2.6; định lý 2.8; nhận xét 2.10, mệnh đề 2.11). Đồng thời qua
ví dụ 2.3 đã nêu được cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào định nghĩa. Ngồi ra
trong mục này chúng tơi đã đưa ra khái niệm trường véctơ bất biến trái và một
số tính chất (thể hiện ở định lý 2.13, nhận xét 2.14).

2


Trong Đ3, chúng tôi hệ thống lại định nghĩa và các tính chất của 1 dạng vi phân và 2 - dạng vi phân làm cơ sở cho phần sau.
Trong Đ4, là mục cuối của khoá luận, trước hết chúng tơi trình bày
định nghĩa và một số tính chất của ánh xạ đối tiếp xúc và phép tính vi phân
ngồi (mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4, mệnh đề 4.5, mệnh đề 4.6). Sau đó chúng
tơi nêu định nghĩa, ví dụ và tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc
đường cong  trong Rn (mệnh đề 4.8, mệnh đề 4.9).
Tương tự như ở Đ3, trong mục này chúng tôi đưa ra khái niệm 1 - dạng
vi phân bất biến trái và một số tính chất (thể hiện ở nhận xét 4.12, mệnh đề
4.13).
Khố luận được hồn thành tại khoa Tốn - Trường Đại học Vinh.
Nhân dịp hồn thành khố luận, chúng tơi xin gửi đến thầy giáo PGSTS Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hướng dẫn, chỉ dạy
tận tình của thầy giáo trong suốt q trình chúng tơi làm khố luận. Đồng thời
chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo trong khoa Tốn
và bạn bè đã giúp đỡ chúng tơi trong suốt q trình học tập và hồn thành
khoá luận.

Vinh, tháng 4 năm 2004.
TÁC GIẢ

3


CHƯƠNG 1

LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH VÀ ÁNH XẠ TIẾP XÚC
TRONG R

n

Trong chương này, chúng tơi trình bày những khái niệm cơ bản và một
số tính chất của liên thơng tuyến tính tổng qt trong Rn. Đồng thời chúng tơi
cũng trình bày một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi
trong Rn .
n

Đ1. LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRONG R

Trong mục này chúng ta xét Rn như là một không gian Ơclit n chiều. Ta
ký hiệu:

B(Rn) = {XX là trường vectơ khả vi trong Rn}. Như chúng ta đã

biết [xem 4]

B(Rn) là một môđun trên vành F(Rn) = {ff là ánh xạ khả vi:

Rn  R}.
1.1. Định nghĩa. Ánh xạ : B(Rn) x B(Rn)  B(Rn)
(X, Y)  XY

được gọi là liên thơng tuyến tính trên Rn nếu  thoả mãn các tính chất:
(T1)

X1  X 2  Y   X1 Y   X 2 Y ;  X1, X2, Y  B(Rn)

(T2)

 Y = j  X Y ; X, Y  B(Rn); j  F(Rn)

(T3)

 X (Y1  Y2 ) =  X Y1 +  X Y2 ; X, Y1, Y2  B(Rn)

(T4)

 X (Y ) = X[j].Y + j .  X Y ;  X,Y  B(Rn), j  F (Rn)

X

Ta nhận thấy từ (T1) và (T2) suy được  là ánh xạ tuyến tính theo biến
thứ nhất. Và theo (T4) thì  là một ánh xạ có tính chất đạo hàm.
4


n

 

 E i  là cơ sở của B(Rn). Khi đó:
1.2. Mệnh đề. Giả sử 

 x i
i1
Ánh xạ   D : B(Rn) x

B(Rn)  B(Rn)
n

(X, Y)  DXY =

 XYi E i
i 1

là một liên thông tuyến tính trong Rn.
Chứng minh. Giả sử. X =

n

n

i 1

i 1

 X i E i ; Y =  Yi E i

Ta cần kiểm nghiệm các điều kiện của định nghĩa 1.1:
(T1)





n
~
  X  X Yi Ei

 X  X~ Y

i 1

n

=

n



X[Yi] Ei +

 XYi E i
~

i 1

i 1

= XY +  X~ Y .
n

(T2) XY

=



(X) [Yi]. Ei

i 1

=

n

 X [Yi]. Ei
i 1

= . XY.



~
(T3) X Y  Y



n

=

~

 X [Yi + Yi ]. Ei
i 1

n

=

n
~
X
[Y
].
E
+
 i i  X [ Yi ]. Ei
i 1

i 1

~.
= XY + x Y
(T4) X(Y)

n

=

 X [Yi]. Ei

i 1

5


n

=



(Yi. X [] + . X [Yi]) .Ei

i 1
n

=



n

Yi. X []Ei +

i 1



 . X [Yi]) .Ei

i 1

= Y. X[] + . XY.

~
1.3 Định lý. Giả sử X, X 

B(Rn); (X  X~ ), khi đó với  Y  B(Rn) thì

~
XYp =  X~ Y p nếu và chỉ nếu XP = X P.
Chứng minh.

~
Với X, X  B(Rn); lúc đó ta có sự biểu diễn:
n

X=

~
 i E i ; X 
i 1

n

 ~ i . E i ; trong
i 1

~ p 
i(p) = 

i

~
Từ giả thiết: XP = X P suy ra:
Ta có:
(XY)p




Y 
=  n
  i ( p ).Ei 
 i 1
p

 i p   E Y 
n

=

i 1

i

p

 ~ i p   E Y 
n

=

i 1

~  F (Rn)
đó i, 
i

i

p



Y 
=   n
  ~i ( P ).Ei 
 i 1
p

=  X~ Y  p . .

6

; i 1.n


Cho trước vectơ ap ln có trường vectơ X mà Xp = ap. Từ định lý trên
ta có thể xây dựng được định nghĩa đạo hàm của Y theo a p bằng cách sau:
 P    X Y  P ; ở đây XP = aP.

1.4. Định lý.  X Y  p phụ thuộc các giá trị của trường vectơ Y trong lân cận
điểm p.
Chứng minh. Như ta đã biết, trong Rn luôn tồn tại một hàm số khả vi j được
xác định như sau:

( p )  0
; trong đó U là lân cận mở của p.

 R n \ U  1





+ Trước hết, ta xét trường vectơ Z thoả mãn: ZU = 0. Khi đó:  . Z = Z

 X Z P

Ta có:

=  X Z P
= X[].Zp + (p)  X Z P
= XP []. 0 + 0.  X Z P
= 0.

~
~
+ Bây giờ, ta giả sử Y, Y  B(Rn), sao cho : Y U  Y U

Y  Y~  0 nên ta có:
~
~
.Y  Y   Y  Y
~
Từ đó ta được:  X Y  P   X Y  .
P
Lúc đó thì:

U

.

1.5. Mệnh đề. Giả sử  và  ' là hai liên thông tuyến tính trên Rn và , '  F
(Rn). Khi đó  + ' ' là một liên thơng tuyến tính trên Rn   +'=1.
Chứng minh. Ta cần kiểm nghiệm 4 điều kiện của liên thơng tuyến tính :
(T1) ( + '')

X1  X 2

Y =   X1X2 Y  ' 'X1X2 Y

=   X1 Y +   X2 Y + ' 'X1 Y' + ' 'X2 Y'

7


= ( + '') X Y + ( + '') X Y .
2
1

(T2) ( + '')gXY

= gXY + ''gXY
= g.XY + g.''XY
= g (.XY + ''XY)
= g ( + '')XY.

(T3) ( + '')X(Y1 + Y2) = X(Y1 + Y2) + ''X(Y1 + Y2)
= XY1 + XY2 + ''XY1 + ''XY2
= (X + ''X) Y1 + (X + 'X)Y2
= ( + '')X Y1 + ( + ')XY2.
(T4) ( + '')X(g Y)

= X(g Y) + ''X(gY)
=  (X[g]. Y + g XY) +  '(X[g]. Y + g 'XY)
= ( + ') X[g]. Y + g ( '')XY.

(T4) được thoả mãn   + ' = 1. .
Từ mệnh đề 1.5. ta có nhận xét: tổng của 2 liên thơng tuyến tính nói
chung khơng phải là một liên thơng tuyến tính.
1.6. Mệnh đề. Giả sử  là liên thơng tuyến tính trong R3. Ta đặt:

1
~
 X Y   X Y  X  Y  ; với n  N*.
n
~
Khi đó:  là liên thơng tuyến tính trong R3.

Chứng minh. Ta kiểm tra các điều kiện của liên thơng tuyến tính:

1
~
(T1)  X  X1 Y   X  X1 Y  [X  X1  Y]
n
= X Y  X 1 Y 

1
1
(X  Y)  (X1  Y)
n
n

1
1

 

=  X Y  (X  Y)   X 1 Y  (X1  Y)
n
n

 


~
~
=  XY +  X1 Y ; với X, X1, Y  B(Rn)

8

1
~
(T2)  jXY =  jXY + [(jX)  Y]
n
= j  XY + j .
= j[  XY +

1
(X  Y)
n

1
(X  Y)]
n

~
= j .  XY ; với X, Y  B(Rn), j  F(Rn).

1
~
(T3):  X(Y1 + Y2) =  X(Y1 + Y2) + [X  (Y1 + Y2)]
n
=  XY1 +  X Y2 +

1
1
(X  Y1) + (X  Y2)
n

n

1
1
(X  Y1)] + [  X Y2 + (X  Y2)]
n
n
~
~
=  XY1 +  XY2; với X, Y1, Y2  B(Rn).
= [  XY1 +

1
~
(T4)  X(jY) =  X(jY) + [X  (jY)]
n
= X[j]. Y + j.  XY + j.
= X[j]. Y + j. [  XY +

1
(X  Y)
n

1
(X  Y)]
n

~
= X[j]. Y + j.  XY ; với X, Y  B(Rn), j  F(Rn)..

Ta đã biết rằng: Tích Lie của hai trường vectơ X và Y là một trường
vectơ được ký hiệu: [X, Y] và xác định bởi:
[X, Y](f) = X[Y(f)] - Y[X(f)];

 f  F(Rn).

1.7. Mệnh đề. Liên thơng tuyến tính D trong Rn có các tính chất sau:
1) DXY - DYX = [X, Y] ; X, Y  B(Rn).
2) Z[X. Y] = X. DZY + Y. DZX;  X, Y, Z  B(Rn).

9


Chứng minh. 1) Với f  F (R ) và X =
n

n

 Xi Ei ;

n

Y=

i 1

 Yi E i ; ta có
i 1

(DXY - DYX) [f] = (DxY) [f] - (DYX) [f]

=

n

n

i 1

i 1

 XYi E i f  -  YX i E i f 

n
Yi f
X i f
= X j
.
  Yj
.
x j x i i, j1 x j x i
i, j 1
n


Yi
X i  f

X
.


Y
.
  j x
j


x
j
j  x i
i , j 1
n

=

(1)

Mặt khác: [X, Y] [f] = X[Y[f]] - Y[X[f]]
n
n
f 
f 
= X  Yi

Y

 X i

 i  i x i 
 i 1 x i 
n

n
n
Yi f
 f2
X i  f
 f2
.
  X jYi
  Yj
.
  X i Yj
= X j

x

x

x

x

x

x
x i x j
j
i
i
j
j

i
i, j 1
i, j 1
i , j 1
i, j 1
n



Y

i , j 1

j

n

=

X  f

  X j. x i  Yj x i . x
j



(2)
i

Từ (1) và (2), ta suy ra: (DXY - DYX) [f] = [X, Y] [f]; f  F (Rn)

Vậy: DXY - DYX = [X, Y]
n

2) Ta có: X.DZY + Y.DZX =

 X i ZYi  +
i 1
n

=

 Yi ZX i 
i 1

 (X i . ZYi  Yi Z[X i ])
i 1
n

=

n

 ZX i . Yi 
i 1

= Z[X . Y] ..

10

 

1. 8. Chú ý. Giả sử  là một liên thơng tuyến tính và E i

n

tiêu tự nhiên trong R . Khi đó ta có sự biểu diễn:  E j Ei =
n

C ijk 

F(Rn). Các hằng số

là trường mục

i 1
n

 Cijk E k

ở đây

k 1

C ijk được gọi là hằng số cấu trúc của  .Trong

trường hợp  = D thì ta có: C ijk = 0;  i, j, k = 1, n .

11

Đ2. ÁNH XẠ TIẾP XÚC TRONG Rn
Trong mục này chúng tơi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tính
chất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi f: Rm  Rn
Giả sử ánh xạ f: Rm  Rn; x(x1, ..., xm)  f(x1, ..., xm) thì f được đồng nhất
với bộ n hàm số (f1, ..., fn) với fj : Rm  R; (x1, ..., xm)  fj (x1, ..., xm).
Chúng ta đã biết rằng f khả vi khi và chỉ khi fj khả vi j = 1, n
2.1. Định nghĩa. Giả sử f là ánh xạ khả vi từ Rm vào Rn. Ánh xạ tiếp xúc của f
tại p được ký hiệu là f*p : TpRm  Tf(p) Rn và được xác định như sau: nếu vp
 TpRm là vectơ tiếp xúc của đường cong r(t) tại p (r(t0) = p) thì f*p (v) là
vectơ tiếp xúc với đường cong f  r(t) tại f(p).
2.2. Chú ý. + Khi không chú ý tới điểm p, ta thường viết f* thay cho f*p.
+ Nếu f* đơn ánh thì f được gọi là dìm.
+ Nếu f* tồn ánh thì f được gọi là ngập.
+ Nếu f* song ánh thì f được gọi là trải.
2.3. Ví dụ.
f : Rm  Rn
x '1  a 11x1  ...  a 1m x m  b1

(x1, …, xm)   
x '  a  ...  a  x  b
n1
nm
m
n
 n

Giả sử p(p1, ..., pm) và vp  TpRm, với v(v1, ..., vm) bây giờ ta xác định
v'f(p) = f*p (vp)
Ta xét đường cong r(t) = (x1(t) = p1 + v1t, ..., vm(t) = pm + vmt). Khi đó

với t = 0 thì r(0) = p và r'(0) = vp. Theo định nghĩa, ta có:
v' f ( p ) 

=

d
f  ( t ) t 0
dt

d
f x1 ( t ),...,x m ( t )  t  0
dt

12


=


d
f p1  v1t,...,p m  v m t  t 0
dt

d
a11p1  v1t   ... a1m p m  v m t ,...,a n1 p1  v1t   ... a nm p m  v m t  t 0 =
dt

(a11v1 + ...+ a1mvm, ..., an1v1 + ... + anmvm) . .
2.4. Mệnh đề. Ta ký hiệu J f

là ma trận Jacobi của f tại p. Khi đó ta có:
p

[v'f(p)] = J f [vp]
p

ở đây [v'f(p)] và [vp] tương ứng là cột toạ độ của các vectơ v'f(p) và vp đối với
cơ sở trực chuẩn của Tfp  Rn và TpRm
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
v'f(p) =

d
f .t  t  0
dt

=

d
f1 , ..., f n .t  t  0 ; (f  (f1, ..., fn))
dt

=

d
f1 .t , ..., f n .t  t  0
dt

=

d

f1 .x1 t , ..., x m t ,...,f n x1 (t ),..., x m (t )  t
dt

0

với r(t) = (x1(t), …, xm(t))
=

d
f1 . x1 t , ..., x m t  t
dt

 0 , ...,

d
f n . x1 t , ..., x m t  t
dt

0

n
 n f1

f
= 
.x i ' ( t ) t 0 ,..., n .x i ' ( t ) t 0 
i 1 x i
 i1 x i


 x1 ' ( t ) 
 f j  
 ; i  1, m; j  1.n
=
 

 x i  t 0  x ' ( t )
 m  t 0

= Jf

P

v p .

.

2.5. Mệnh đề.

1) (f*p vp) (g) = vp(g  f); g  F (Rn).
13


2) f*p là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh. 1) Ta có:
(f*p vp) (g) =
=

d
g  (f o r(t))

dt

t0

d
(g  f)  r(t)
dt

t0

= vp (g  f).
2) p, p  Tp Rm,  ,   R ta có:
f*p (. p + p)(g) = ( . p + p) (g  f)
= ( . p ) (g  f) + (p)(g  f)
= ( . f*P (p)) (g) + (. f*P(p)) (g)
= .f*p ( P )   . f*P ( P )(g) .
 f*P là ánh xạ tuyến tính. .
Nhận xét: Từ mệnh đề 2.4 và mệnh đề 2.5 ta suy được:
f là vi phơi: Rn  Rn thì f*p là đẳng cấu tuyến tính; p  Rn.
2.6. Mệnh đề. Giả sử f: Rm  Rn ; g : Rn  Rp là các ánh xạ khả vi. Khi đó:
(g  f)*p = g*f(p)  f*p ; p  Rm.
Chứng minh.  h 

F (Rn) và P  TP Rm, ta có:
((g  f)*p (p)) (h) = p(h  (g  f))

Mặt khác:
(g*f(p) o f*p (p)) (h) = (g*f(p) (f*P (p))) (h)
= (f*p (p) (h  g)
= p ((h  g)  f)

= p (h  (g  f))
Vậy ((g  f)*p (p)) (h) = (g*f(p)  f*p (p)) (h)
ap  Tp Rm,  h  F (Rn)

14


Do đó: (g  f)*p = g*f(p)  f*p. .
2.7. Định nghĩa. Giả sử f là vi phôi Rn  Rn,  là một liên thơng tuyến tính.
f được gọi là bảo toàn  nếu và chỉ nếu:
f*(  XY ) =  f*X f*Y ;  X, Y  B(Rn).
2.8. Định lý. f là vi phơi bảo tồn D nếu và chỉ nếu f là phép afin.
Chứng minh. Trước khi chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề sau:
X là trường vectơ song song khi và chỉ khi DZX = 0;  Z  B(Rn).
Thật vậy:
Giả sử X(Xi), vì X là trường vectơ song song nên Xi là hàm hằng,i = 1, n
n

Ta có: DZX =

 Z[X i ] E i , vì Xi là hàm hằng nên Z[Xi] = 0, i = 1, n
i 1

Do đó: DZX = 0; Z  B(Rn).
Ngược lại: Nếu DZX = 0; Z  B(Rn) ta có:
n

 Z[X i ]E i  0 ; Z  B(Rn).
i 1

Do đó, lấy Z = Ej, j = 1, n thì:

n

 E j[X i ]E i  0 ; j = 1, n
i 1



n

i 1



X

 x i E j  0 ; j = 1, n
j

X i
 0 ; i, j = 1, n
x j

 Xi là hàm hằng; i = 1, n . Vậy X là trường vectơ song song.
+ Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý 2.7.
Điều kiện cần: Giả thiết f vi phơi và bảo tồn D, ta chứng minh f là
phép afin.
Giả sử X là trường vectơ song song. Khi đó:
15

DZX = 0; Z  B(Rn)
 f*(DZX) = 0 (vì f* là ánh xạ tuyến tính)
 Df*Z f*X  0 ; Z (vì f vi phơi và bảo tồn D)
 f*X song song
 Jf[Xi] là ma trận hằng; i = 1, n
 Jf là ma trận hằng


f j
x i

hằng; i, j = 1, n .

Giả sử x' = f(x); (x'1, ..., x'n) = f(x1, ..., xm)
x '1  a 11x1  ...  a 1m x m  b

ta có: 

x '  a x  ...  a x  b
n1 1
nm m
m
 n

Vậy f là phép afin.
Điều kiện đủ: Giả thiết f afin, ta chứng minh f vi phơi bảo tồn D.
Thật vậy ta có: + Mọi phép afin là vi phôi.
+ Lấy trường mục tiêu song song {Ui}i = 1, n và xét:

f*: Ui  Ei (f*Ui = Ei); i = 1, n
Do U i i1,n là trường mục tiêu song song, f là phép afin  E i i1,n là
trường mục tiêu song song.

 n

Giả sử Y =  i U i  f *Y p  f *p   i p . U i p 
i 1
 i1

n

n

=

 i p .f* p U i p 
i 1
n

=

 i p . E i f p 
i 1

16






 n

=   i  f 1 . E i  f ( p )
 i1

Cho p thay đổi, có f*Y =

 i  f 1 . E i
n

i 1

Do đó: D f*X f*Y





 n

= D f*X   i  f 1 . E i
 i1


 f*Xi  f 1 . E i
n

=

i 1

 Xi   f 1 .f*U i
n

=

i 1

 n

= f*   Xi   U i 
 i 1


= f*DXY . .
* Nói chung f* khơng bảo tồn 
2.9. Chú ý. Cho vi phơi f: Rn  Rn, X 

B(Rn); ta có: f*pX  B(Rn) và

được xác định bởi f*PX (f(p)) = f * p Xp  .
2.10. Nhận xét. Giả sử f là phép vi phơi: Rn  Rn. Khi đó
1) . f* X = f* (  f) X,  X 

B(Rn) ;  

 F (Rn).

2) f* X[] = X [  f]  f-1 ;    F (Rn),  X  B (Rn).
Chứng minh: 1) Ta có:
( f* X) (f (p))

= (f(p)) . f* X (f(p))
= (  f) (p) . f*P (X(p))
= f* ((  f) (p) X (p))
= f*P [((  f) X)(p)]
= (f* ( f) X)f(p) ;  f(p)  Rn

17


Vậy  .f* X = f* (  f) X.
2)    F (Rn), P  Rn thì:
(f*P X (p)) [] = (f*X)(f(p)) []
Mà:

f*P (X(p))[] = X(p) [  f]

Nên (f* X) (f(p)) []

= X() [  f]

 f* X [] (f(p))

= X [  f] (p)

 (f* X []  f) (p)

= X[  f] (p)

 f* X []

= X [  f]  f-1

; p  Rn

2.11. Mệnh đề. Nếu f : Rn  Rn là một vi phơi thì:
f* [X, Y] = [f* X, f* Y] ;  X, Y 

B(Rn)

Chứng minh.    F(Rn) ta có:
[f* X, f* Y] []

= f*X [f*Y[]] - f*Y[f*X[]]

(Theo nhận xét 2.9.2)

= X[f*Y[] o f] o f-1 - Y[f* X [] o f] o f-1
= X[Y[ o f] o f-1o f] o f-1 - Y [X[of] o f-1 o f] o f-1
= X[Y[ o f] - Y [X[of] o f-1
= [X, Y] [of] of-1
= f* [X, Y] [] ;    F (Rn)

Vậy: f* [X, Y]

= [f*X, f*Y] . .

2.12. Định nghĩa. Giả sử La: Rn  Rn
x  a+x
Khi đó: Trường vectơ X được gọi là trường vectơ bất biến trái khi và
chỉ khi: L a* X = X; a  Rn

 

( L a* X = X nghĩa là: L a *

p Xp

= Xa + p; a, p  Rn)

18


2.13. Định lý. X là trường vectơ bất biến trái khi và chỉ khi X là trường vectơ
song song.
Chứng minh. + Giả sử X là trường vectơ bất biến trái, ta cần chứng minh X
là trường vectơ song song.
Thật vâỵ: ta có
J Lp 0

1  0

 


0  1

Vì X là trường vectơ bất biến trái nên:

 

Xp = L p*

1  0 X1 0  


 
0 X0   



0  1 X n 0 

= (X1(0), …, Xn(0))
= X0; p  Rn.
Vậy X là trường vectơ song song
+ Giả sử X là trường vectơ song song ta cần chứng minh X là trường
vectơ bất biến trái.
Do X(Xi) là trường vectơ song song nên Xi là hàm hằng; i = 1, n
Ta có L p*

1  0

X
0 Xp  
 p
0  1

 

= Xp
Mà L p* 0 X p
Nên:

= X'a + p = Xp, a, p  Rn

X' = X

Vậy: L p* X = X. Do đó X là trường vectơ bất biến trái.
2.14. Nhận xét. 1) X là trường vectơ bất biến trái thì lX + bY là trường vectơ
bất biến trái.

19


2) K = {XX bất biến trái}. Khi đó: K đẳng cấu tuyến tính với T0 Rn
Chứng minh: 1) X, Y  K , l, b  R ta có:
L a* (lX + bY) = L a* (lX) + L a* (bY)

= l L a* (X) + b L a* (Y)
= lX + bY.
Vậy lX + bY là trường vectơ bất biến trái.
2) Xét j : T0 Rn  K
a  X; X0 = a
Ta chứng minh j là một ánh xạ, tức chứng minh mỗi a có duy nhất X.
   X
~

Giả sử có 2 trường vectơ X, X mà 
~ . Khi đó:
   X
~
X0 = X 0




~
Xp = X p ; p  Rn

~
X= X.

Vậy j là một ánh xạ. Dễ thấy j là một song ánh
Ta chứng minh j tuyến tính
Thật vậy:
Giả sử j(la + mb) = Z; với Z0 = La + mb
= lX0 + mY0
Vì X, Y, Z là các trường vectơ bất biến trái nên:
Z0 = lXp + mYp; p  Rn


Z = lX + mY
= lj(a) + mj(b)

Trong đó X0 = a; Y0 = b. .

20

CHƯƠNG 2.

CÁC DẠNG VI PHÂN VÀ ÁNH XẠ ĐỐI TIẾP XÚC
TRONG Rn
Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái nệm cơ bản và một số
tính chất của 1- dạng vi phân, 2- dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc của một
ánh xạ khả vi xác định trên Rn. Đồng thời chúng tơi cũng trình bày một số
tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc theo 1 đường cong trong Rn.
Đ3. 1 - DẠNG VI PHÂN VÀ 2 - DẠNG VI PHÂN TRONG Rn.
Trong mục này ta ký hiệu Tp* Rn là không gian vectơ đối ngẫu của không
gian tiếp xúc Tp Rn nghĩa là Tp* Rn = {f f là ánh xạ tuyến tính: Tp Rn  R}
3.1. Định nghĩa. Một dạng vi phân bậc 1 hay còn gọi là 1 - dạng vi phân q
trên Rn là ánh xạ:
q : Rn 

 Tp*R n

pR n

p  qp  Tp* Rn
Ta chú ý rằng: q(Xp)  R, với Xp  Tp Rn. Vậy với X  B(Rn) thì q(X)
F (Rn).
q được gọi là 1- dạng vi phân khả vi nếu và chỉ nếu hàm số q(X) khả vi
với mọi X khả vi và ta ký hiệu: 1(Rn) = {qq là 1 - dạng vi phân khả vi trên
Rn}
3.2. Ví dụ. Ta giả sử j 

F (Rn) và ký hiệu dj là 1 - dạng vi phân được xác

định bởi: (dj)p(ap) = ap[j]; ap Tp Rn; p  Rn.
Khi đó: d(j)  1(Rn)

21


Thật vậy: Với X  B(Rn) ta có: dj(X) = X[j]
Do X là trường vectơ khả vi và j là hàm khả vi nên X[j] khả vi, ta suy
ra dj khả vi. Vậy dj  1(Rn).
* Bây giờ ta đưa các phép toán vào 1 (Rn):
Giả sử q1, q2 1 (Rn), j  F (Rn), l  R. Khi đó, ta định nghĩa:
1) Phép cộng: q1+ q2: p  q1(p)+ q2(p);  p  Rn, q1, q2  1 (Rn)
2) Phép nhân: j.q1: p  j (p).q1(p);  p  Rn, q1  1 (Rn)
Khi j = const = l , thì có: l .q1: p  l .q1(p);  p  Rn, q1  1 (Rn)
3.3 Mệnh đề. 1 (Rn) cùng với hai phép toán trên lập thành một môdun trên
vành F (Rn) và dim 1 (Rn) = n.
Chứng minh: Ta dễ kiểm tra được hai phép toán trên của 1 (Rn) thoả mãn 8
tiên đề về môdun. Ở đây chúng ta lưu ý:
Phần tử không của 1 (Rn) là:
0: p  0p : 0p (ap) = 0 ;  ap  Tp Rn, p Rn
Phần tử đối của 1 (Rn) là:
Với mỗi q  1 (Rn) thì 1- dạng vi phân đối của q là:
- q: p  qp : qp + (-qp) = 0
Để kết thúc việc chứng minh, ta cần chứng minh: dim 1 (Rn) = n.
Thật vậy:
Từ ví dụ 3.2 ta có: dxi (X) = Xi ;  X  B (Rn); i = 1.n
Vậy: dxi  1 (Rn).
n

  
n
n
Giả sử 
 là cơ sở của B (R ) ta chứng minh dx i i 1 là cơ sở của
 x i i 1

1 (Rn).
Thật vậy:

22


Ta có dx i in1 là hệ độc lập tuyến tính. (1)
Giả sử có ji : Rn  R sao cho

n

 i .dx i  0
i 1

Khi đó:

  


  0    ; j = 1.n

 x 
 j

 j

n

 i .dx i  x
i 1





n

 i . x
i 1



0 ;

j = 1.n

=0;

j = 1.n

j

n

 i . ij
i 1

 jj = 0 ;

j = 1.n

Vậy: dx i in1 là hệ độc lập tuyến tính (1)
Ta sẽ tiếp tục chứng minh dx i in1 là hệ sinh (2)
Thật vậy: q  1 (Rn) ;  X  B (Rn) , ta có sự biểu diễn:



n

X=

 X i . x
i 1

 n

Từ đó: q(X) = q   X i .
x i
 i 1
n

=

i






  
 . dxi (X)
 i 

   x
i 1

n

=

 i . dxi (X);  X  B (Rn)

i 1

Vậy: q =

n

 i

. dxi

i 1

Từ (1) và (2) ta suy ra : dx i in1 là cơ sở của 1 (Rn)
Do đó: dim 1 (Rn) = n ..

23


n2 Tp R n 

3.4 Định nghĩa. Ký hiệu 2( Rn) =

PR

Dạng vi phân bậc hai hay còn gọi là 2 - dạng vi phân v trên Rn là ánh xạ:
v : Rn  2( Rn)
p  vp  2(TpRn)
Với vp là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng:
vp: Tp Rn x Tp Rn  R
(Xp ,Yp)  vp (Xp ,Yp)
Với X, Y  B (Rn) ta xác định ánh xạ:
v (X ,Y) : Rn  R
p  v (X ,Y)(p) = vp (Xp ,Yp)
Do đó ta có định nghĩa sau:
v là dạng vi phân bậc hai khả vi nếu với X,Y B (Rn) thì v (X,Y) là
hàm khả vi.
Ta ký hiệu : 2 (Rn) = {vv là 2 - dạng vi phân khả vi trên Rn}.
3.5 Ví dụ.
Trong R2  Oxy, ta xét các trường vectơ X(X1,X2); Y(Y1, Y2);
Khi đó: v (X,Y) = X1. Y2 - X2. Y1
Thật vậy: v: p  vp :(Xp ,Yp)  X1 p . Y2

p

 X 2 p .Y1

p

Chẳng hạn với: X(x,y); Y(2x, y2); p(1,1) thì:
vp :(Xp ,Yp) = x p . y 2

p

 y p .2x p = 1. 1- 1. 2 = - 1.

* Bây giờ chúng ta trang bị các phép toán cho 2 (Rn):
Giả sử v1, v2  2 (Rn) , j F (Rn),   R. Khi đó ta định nghĩa:
1) Phép cộng: v1+ v2 : p  v1 (p) + v2 (p) ;  p  Rn.
2) Phép nhân:  v1: p   (p).v1 (p);  p  Rn.
Nếu  = const =  , thì có:  v1: p   .v1 (p);  p  Rn .

24


3) Giả sử q1, q2 1 (Rn) ; X,Y B (Rn). Khi đó tích ngồi của q1, q2là
q1 q2 được xác định như sau:
(q1  q2) (X,Y) = q1(X). q2 (Y) - q1(Y) .q2(X)
Ta nhận thấy rằng, với q1, q2 1 (Rn) thì:
q1  q2 = 0
q1  q2 = - q2  q1
3.6. Mệnh đề.

1) 1 (Rn) cùng với 2 phép tốn cộng và nhân lập thành một mơdun
trên vành F (Rn).
2) {dxi  dxj }1 i < j  n là cơ sở của 2 (Rn).
Chứng minh. 1) Chúng ta dễ dàng chứng minh được 2 phép toán cộng và
nhân được xác định như trên thoả mãn các tiên đề về môdun.
2) Để chứng minh 2 ta cần bổ đề sau:
Bổ đề: dxi  dxj (X,Y) = XiYj - Xj Yi ; với i < j
Thật vậy: dxi  dxj (X, Y) = dxi (X) . dxj (Y) - dxi (Y) . dxj (X)
= Xi. Yj - Yi . Xj
Bây giờ ta chứng minh 2.
+ Chứng minh {dxi  dxj}1  i < j  n là hệ độc lập tuyến tính
Thật vậy: giả sử:

n

 ij.dx i  dx j

= 0; trong đó: jij là hàm số Rn  R

i , j1

Từ đó ta có:

 ij.dx i  dx j E k , E l  = 0; với 1  k < l  n
n

i , j1



 ij.dx i E k .dx j E l   dx i E l .dx j E k  = 0
n

i , j1



 ij.ik . jl  il. jk  = 0 ; với
n

i , j1

 jkl = 0; với 1  k < l  n
25

1k