Ước chung lớn nhất của các ma trận vuông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015 – 2016
XÉT GIẢI THƯỞNG
"TÀI NĂNG KHOA HỌC TRẺ ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT" NĂM 2016

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
CỦA CÁC MA TRẬN VNG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015 - 2016
XÉT GIẢI THƯỞNG
"TÀI NĂNG KHOA HỌC TRẺ ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT" NĂM 2016

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
CỦA CÁC MA TRẬN VNG
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên
Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ KIỀU TRINH
Nam, Nữ: Nữ
Dân tộc: Kinh
Lớp, khoa: C13TO01 – Khoa Khoa Học Tự Nhiên. Năm thứ: 3/ Số năm đào tạo: 3

Ngành học: Cao đẳng Sư phạm Toán
Người hướng dẫn: Ths. NGUYỄN THỊ KHÁNH HÒA


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VUÔNG
- Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Kiều Trinh
- Lớp: C13TO01

Khoa: Khoa học Tự nhiên Năm thứ: 3 Số năm đào tạo: 3

- Người hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Khánh Hòa
2. Mục tiêu đề tài:
- Làm rõ định nghĩa ước chung lớn nhất (UCLN) của các ma trận vng trên miền
chính và lấy các ví dụ cụ thể.
- Chứng minh sự tồn tại UCLN của các ma trận vng trên miền chính cùng một số
tính chất.
- Trình bày chi tiết phương pháp tìm UCLN của hai ma trận vuông với các phần tử là
các số nguyên.
3. Tính mới và sáng tạo:
- Thể hiện rõ mối quan hệ giữa miền chính R và vành ma trận Mn(R).
- Chứng minh rõ một số tính chất và sự tồn tại UCLN của các ma trận vng .
- Trình bày chi tiết phương pháp tìm UCLN của hai ma trận vuông với các phần tử là

các số nguyên.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Mối quan hệ giữa miền chính R và vành ma trận Mn(R): trên vành ma trận Mn(R)
với R là miền chính thì ln tồn tại UCLN của các ma trận vng.
- Phương pháp tìm UCLN của hai ma trận vuông với các phần tử là các số nguyên.
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và
khả năng áp dụng của đề tài:
Tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên Sư phạm Tốn khi tìm hiểu về UCLN của
các phần tử trong vành. Nhằm giúp sinh viên thấy rõ được những điểm khác nhau giữa
UCLN của các số nguyên với UCLN của các ma trận vuông.
6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài


Bài báo “Ước chung lớn nhất của các ma trận vng” đã gửi cho Tạp chí Đại học
Thủ Dầu Một và đang trong giai đoạn chỉnh sửa sau phản biện.
Ngày … tháng … năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Nguyễn Thị Kiều Trinh

Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực
hiện đề tài:
Trong thời gian làm đề tài, em Trinh rất cố gắng trong việc đọc và dịch tài liệu.
Dưới sự hướng dẫn của Giảng viên, em cũng đã chứng minh chi tiết được các kết quả
chính của đề tài và tự chứng minh được một số tính chất của ước và UCLN.

Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Ngày… tháng … năm 2016
Người hướng dẫn
(ký, họ và tên)

Nguyễn Thị Khánh Hòa


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:

Ảnh 4x6

Họ và tên: NGUYỄN THỊ KIỀU TRINH
Sinh ngày 12 tháng 12 năm 1995
Nơi sinh: Tân Un – Bình Dương
Lớp: C13TO01

Khóa: 2013- 2016

Khoa: Khoa học Tự nhiên
Địa chỉ liên hệ: Số nhà 91. Ấp 2. Tổ 3. Vĩnh Tân. Thị xã Tân Uyên. Tỉnh Bình Dương.
Điện thoại: 01627 045 659 Email:

II. Q TRÌNH HỌC
* Năm thứ 1:
Ngành học: Sư phạm Tốn.
Khoa: Khoa học Tự nhiên.
Kết quả xếp loại học tập: Giỏi.
Sơ lược thành tích: học kì I: 8.29; học kì II: 8.64.
* Năm thứ 2:
Ngành học: Sư phạm Toán.
Khoa: Khoa học Tự nhiên.
Kết quả xếp loại học tập: Xuất sắc.
Sơ lược thành tích: học kì I: 9.12; học kì II: 9.26; danh hiệu Sinh viên 5 tốt cấp
trường.
* Năm thứ 3:
Ngành học: Sư phạm Toán.
Khoa: Khoa học Tự nhiên.
Kết quả xếp loại học tập học kì I: Xuất sắc.
Sơ lược thành tích: học kì I: 9.18.
Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Ngày… tháng … năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Nguyễn Thị Kiều Trinh


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU
MỘT

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

, ngày
Kính gửi:

tháng

năm 2016

Ban tổ chức Giải thưởng
“Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một”

Tên tôi là: NGUYỄN THỊ KIỀU TRINH

Sinh ngày : 12 /12/1995

Sinh viên năm thứ: 3 / Tổng số năm đào tạo: 3
Lớp : C13TO01 . Khoa : Khoa học Tự nhiên.
Ngành học : Cao đẳng Sư phạm Tốn.
Thơng tin cá nhân của sinh viên chịu trách nhiệm chính:
Địa chỉ liên hệ : Số nhà 91. Ấp 2. Tổ 3. Vĩnh Tân. Thị xã Tân Uyên. Tỉnh Bình
Dương.
Số điện thoại : 01627 045 659
Địa chỉ email:
Tôi làm đơn này kính đề nghị Ban tổ chức cho tơi được gửi đề tài nghiên cứu

khoa học để tham gia xét Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một”
năm 2016.
Tên đề tài: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VNG.
Tơi xin cam đoan đây là đề tài do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
Th.s Nguyễn Thị Khánh Hòa ; đề tài này chưa được trao bất kỳ một giải thưởng
nào khác tại thời điểm nộp hồ sơ và không phải là luận văn, đồ án tốt nghiệp.
Nếu sai, tôi xin chịu trách nhiệm trước khoa và Nhà trường.
Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Người làm đơn
(Sinh viên ký và ghi rõ họ tên)


Nguyễn Thị Kiều Trinh


MỤC LỤC
DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT.........................................................................1
LỜI MỞ ĐẦU..............................................................................................................2
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.....................................................................3
1. Một số kết quả về vành, iđêan và môđun................................................................3
1.1 Các định nghĩa..................................................................................................3
1.2 Bổ đề................................................................................................................. 5
2. Ma trận................................................................................................................... 6
2.1 Định nghĩa ma trận............................................................................................6
2.2 Một số ma trận đặc biệt.....................................................................................7
2.3 Các phép toán ma trận. Ma trận nghịch đảo......................................................7
2.4 Bổ đề................................................................................................................. 9
2.5 Hai phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ma trận sơ cấp........................................10

CHƯƠNG II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VUÔNG........12
1. Các định nghĩa......................................................................................................12
1.1 Ước của ma trận vuông...................................................................................12
1.2 Ước chung của các ma trận vuông..................................................................13
1.3 UCLN của các ma trận vuông.........................................................................13
2. Sự tồn tại và phương pháp tìm UCLN của các ma trận vng..............................14
2.1 Sự tồn tại UCLN của các ma trận vuông.........................................................14
2.2 Phương pháp tìm UCLN của các ma trận vng.............................................17
3. Một số tính chất....................................................................................................21
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...................................................................................24
1. Kết luận................................................................................................................24
2. Kiến nghị..............................................................................................................24
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................25



1
DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT

Phép BĐSCTD

Phép biến đổi sơ cấp trên dòng

UCLN

Ước chung lớn nhất

UCLN(A1, A2, …, An)

Ước chung lớn nhất của các ma

trận A1, A2, …, An


2
LỜI MỞ ĐẦU

Trên vành số nguyên , d là UCLN của các số nguyên a1, a2, …, an khi và chỉ
khi iđêan sinh bởi {a1, a2, …, an} cũng chính là iđêan sinh bởi d. Vì  là miền chính
nên luôn tồn tại UCLN của các số nguyên và dựa vào phép chia có dư trong , chúng
ta có phương pháp tìm UCLN chính là thuật tốn Euclid.
Theo tìm hiểu của chúng tôi, khái niệm “ước chung lớn nhất” của các ma trận
đã được Éugene Cahen định nghĩa trong “Théorie des nombres”. Khái niệm này được
định nghĩa tương tự như UCLN của các số nguyên. Tuy nhiên, giữa vành số nguyên 
và vành các ma trận M mn  R  với R là vành tùy ý, là có sự khác biệt, chẳng hạn: phép
nhân các số ngun có tính giao hốn nhưng phép nhân các ma trận thì khơng, trong
vành số nguyên có phép chia có dư nhưng trong vành ma trận thì chưa có, vành số
ngun  là miền chính nhưng với R là vành tùy ý thì vành M n  R  khơng chắc là
miền chính. Do đó, khi R là vành tùy ý thì sự tồn tại của UCLN của các ma trận không
được đảm bảo và phương pháp tìm UCLN của các ma trận cũng khơng thể làm tương
tự như thuật tốn Euclid được. Trong “Théorie des nombres”, Éugene Cahen cũng
chưa đề cập đến vấn đề rằng UCLN của các ma trận vng có ln tồn tại hay khơng.
Thêm vào đó phương pháp tìm UCLN của các ma trận cũng không được thể hiện một
cách tường minh.
Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề trên, trong đề tài này, chúng tôi đã đưa ra một
điều kiện vành R là một miền chính (bổ đề, mục 2.4, chương I) và từ đó có thể khẳng
định UCLN của các ma trận vuông trên Mn(R) (với R là miền chính) ln tồn tại (định
lý 1, mục 2.1, chương II). Thêm vào đó, chúng tơi cũng sẽ trình bày chi tiết phương
pháp tìm UCLN của hai ma trận vuông với hệ số nguyên (định lý 2, định lý 3, mục 2.1,
chương II).
Tóm lại, dựa trên những kiến thức đã có về UCLN của các số nguyên, kết hợp

sử dụng một số kết quả về ma trận trên miền chính, đề tài đã làm rõ định nghĩa UCLN
của các ma trận vuông, chứng minh sự tồn tại UCLN của các ma trận vng trên miền
chính và trình bày chi tiết phương pháp tìm UCLN của hai ma trận vng với hệ số
nguyên. Nội dung đề tài gồm 2 chương:
Chương I. Kiến thức chuẩn bị.
Chương II. Ước chung lớn nhất của các ma trận vuông.


3
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Một số kết quả về vành, iđêan và môđun
1.1 Các định nghĩa
1.1.1 Vành, miền nguyên
a) Định nghĩa vành:
- Vành là một tập hợp R  cùng với hai phép tốn hai ngơi, gồm phép cộng
 : R R  R
 x, y   x  y
và phép nhân
 : R R  R
 x, y   xy

thỏa mãn ba điều kiện sau:
 R1  R là nhóm Abel đối với phép cộng.

 R2 
 R3 

Phép nhân có tính kết hợp.
Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng

x  y  z  xy  xz

 y  z  x  yx  zx

x, y, z  R .

- Vành R được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của R có tính giao hốn.
- Vành R được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của R có đơn vị, tức là có
phần tử 1 R sao cho: 1.x x.1 x, x  R .
b) Định nghĩa miền nguyên:
Phần tử 0 a  R ( R là vành) gọi là ước bên phải (trái) của không nếu tồn tại
phần tử 0 b  R sao cho ba 0  ab 0  .
Một vành giao hốn R có đơn vị 1 0 và khơng có ước của khơng, được gọi là
một miền ngun.
Ví dụ:  là một miền nguyên.
1.1.2 Iđêan, iđêan chính, miền chính, định lí đặc trưng iđêan
a) Định nghĩa iđêan:
Cho vành R , một vành con A của R thỏa mãn:
xa  A  hay ax  A , a  A, x  R
được gọi là iđêan trái (iđêan phải) của R .
A được gọi là iđêan của R nếu và chỉ nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R


4
.
b) Định nghĩa iđêan chính:
Giả sử X là một tập con của vành R . Giao của tất cả các iđêan (trái, phải) của R
chứa X được gọi là iđêan (trái, phải) sinh bởi X . Đó chính là iđêan (trái, phải) nhỏ
nhất chứa X trong R .
Iđêan (trái, phải) sinh bởi tập gồm một phần tử  a được gọi là iđêan (trái, phải)

chính sinh bởi a . Cụ thể, iđêan trái chính của R sinh bởi a là : Ra  ra | r  R .
Iđêan phải chính sinh bởi a là: aR  ar | r  R .



m



Iđêan chính sinh bởi a là: RaR   xi ayi | xi , yi  R, m   .
i 1

Iđêan sinh bởi a thường được kí hiệu là a . Iđêan sinh bởi a1 , a2 ,..., an được kí
hiệu là a1 , a2 ,..., an .
c) Định nghĩa miền chính:
i. Một vành giao hốn có đơn vị 1 0 trong đó mọi iđêan đều là iđêan chính
được gọi là một vành các iđêan chính.
ii. Một vành các iđêan chính đồng thời là một miền nguyên được gọi là một
miền nguyên các iđêan chính, hay một miền chính.
Ví dụ: Vành các số nguyên  là một miền chính.
d) Định lí đặc trưng iđêan trái (phải):
Một tập con A  của một vành R là một iđêan trái (phải) của R nếu và chỉ nếu
các điều kiện sau thỏa mãn:
i) a  b  A , với mọi a, b  A .
ii) xa  A  ax  A  , với mọi a  A và với mọi x  R .
1.1.3 Một số kết quả về môđun
a) Định nghĩa môđun:
Giả sử R là một vành có đơn vị 1.
Một mơđun trái trên R là một nhóm Abel M (viết theo lối cộng) cùng với một
ánh xạ:

R M  M
 a, x   ax
thường được gọi là phép nhân vô hướng trong R , thỏa mãn các điều kiện sau đây:

 M1  a  x  y  ax  ay
 M 2   a  b  x ax  bx
 M 3   ab  x a  bx 
 M 4  1x x


5
với mọi a, b  R và mọi x, y  M .
Một mơđun phải trên R là một nhóm Abel M cùng với một ánh xạ:
M R  M
 x, a   xa
thỏa mãn các điều kiện giống như  M 1  ,  M 2  ,  M 4  nêu trên, trong đó các vô hướng
được viết ở bên phải, và điều kiện sau:

 M  x  ab   xa  b , x  M , a, b  R .
/
3

Môđun trái trên R cịn được gọi là R - mơđun trái, mơđun phải trên R cịn được
gọi là R - môđun phải.
Sau đây, ta chỉ xét các R- môđun trái và gọi tắt chúng là R- môđun.
b) Định nghĩa môđun con:
Giả sử M là R-môđun. Một tập con N khác rỗng của M được gọi là R-môđun con
của M nếu N cùng với hai phép toán của M thu hẹp vào N là một R-môđun.
c) Định nghĩa đồng cấu môđun:
Giả sử M, M ' là R-môđun.

Ánh xạ f : M  M ' được gọi là một đồng cấu R-môđun, nếu f thỏa mãn hai tính
chất sau:
x, y  M .
f(x + y) = f(x) + f(y) ,
a  R, x  M .
f(ax) = af(x) ,
d) Định nghĩa môđun tự do:
Giả sử M là một R - môđun.
i) Tập con khác rỗng M   M được gọi là một cơ sở của M nếu mỗi phần tử
của M đều biểu diễn tuyến tính duy nhất được qua các phần tử của M  .
ii) Môđun M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là mơđun 0 .
e) Định nghĩa hạng của mơđun tự do:
Cho M là một môđun tự do trên vành giao hốn R . Khi đó lực lượng của một cơ
sở của M được gọi là hạng của M và được kí hiệu là r  M  .
Bổ đề sau đây là một trường hợp đặt biệt của định lí 6.1, trang 218, [8]. Chúng
ta sẽ chứng minh bằng cách sử dụng các kiến thức đã được học trong chương trình.
1.2 Bổ đề
Cho R là miền chính và M là môđun con của R -môđun R n . Khi đó M là mơđun
tự do với hạng khơng vượt q n .
Chứng minh:
R
i) Xét đồng cấu nhúng j : M  R n và đồng cấu chiếu pi : R n 
m m

m  m1 , m2 ,..., mn   mi

Đặt  i  pi  j : M  R . Khi đó:  i là đồng cấu môđun và ker  i  ker pi .
Thật vậy, vì j và pi là các đồng cấu mơđun nên  i cũng là đồng cấu môđun.

6
Lấy m  m1 , m2 ,..., mn   ker  i
  i  m   pi  j   m   pi  m  mi 0
 m  ker pi .
n
Với mỗi i , ta thấy ker pi  m  m1 , m2 ,..., mn   R | pi  m  mi 0

 m  m1 ,..., mi  1 ,0, mi 1 ,..., mn   R n  .
Xét f : ker pi  R n 1
m  m1 ,..., mi  1 ,0, mi 1 ,..., mn  

f  m   m1 ,..., mi  1 , mi 1 ,..., mn 

là một đẳng cấu. Do đó ker pi R n  1.
Nếu  1  M  0 thì M ker  1  ker p1 .
Do đó M đẳng cấu với một mơđun con của R n  1.
ii) Nếu  1  M  0 thì  1  M  là iđêan trái chính của R (vì R là miền chính). Tức
là  1  M  Rd với d 0.
Vì d   1  M  nên tồn tại m  M sao cho  1  m  d .
Khi đó M Rm  ker  1 vì:
+ Lấy tùy ý x  M , giả sử  1  x  rd , r  R.
Ta có  1  x  rm  0  x  rm  ker  1.
Suy ra x rm   x  rm   Rm  ker  1.
+ Hơn nữa, nếu x  Rm  ker  1 thì x rm với r  R và  1  x   1  rm  0.
Suy ra rd 0.
Suy ra r 0 vì d 0 và R là miền nguyên.
Do đó Rm  ker  1  0 .
iii) Chứng minh quy nạp theo n.
Với n 1, M là iđêan của R và M Rd , d  R . M là mơđun tự do có hạng
lớn nhất là 1 vì R là miền nguyên.

Giả sử bổ đề đúng với n  1 , nếu M là mơđun con của R n thì theo (ii), ta có
M Rm  ker  1 .
Rm là R -mơđun tự do có hạng là 1 (theo giả thiết quy nạp). Áp dụng (i) cho
môđun ker  1 , ta được ker  1 đẳng cấu với môđun con của R n  1 cũng là môđun tự do

trên R có hạng khơng vượt q n  1.
2. Ma trận
Trong phần này, ta ln kí hiệu R là vành giao hốn có phần tử đơn vị là 1.
2.1 Định nghĩa ma trận
Một ma trận A cấp m n trên vành R là một bảng hình chữ nhật gồm m.n phần tử


7
thuộc R được sắp thành m dòng và n cột. Ta viết:
 a11
a
A  21
 

 am1

a12
a22

am 2

 a1n 
 a11 a12
a


 a2 n 
a22
21
hoặc A 
 





 amn 
 am1 am 2

 a1n 
 a2 n 
.



 amn 

Ta cũng thường viết gọn thành A  aij  mn hay A  aij  . Kí hiệu: M mn  R  là
tập hợp tất cả các ma trận cấp m n trên R.
2.2 Một số ma trận đặc biệt
2.2.1 Ma trận không
Ma trận A  M mn  R  gọi là ma trận khơng, kí hiệu Omn (hay O ), nếu
aij 0, i 1, m, j 1, n (phần tử 0 ở đây là phần tử trung hịa của vành R).
2.2.2 Ma trận vng
Một ma trận vng cấp n là một ma trận cấp n n (nghĩa là số dịng=số cột= n
).

Tập các ma trận vng cấp n trên R được kí hiệu là M n  R  .
2.2.3 Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị cấp n , kí hiệu I n hay I , là ma trận vng cấp n , trong đó
aii 1, i 1, n ; aij 0, i  j , cụ thể:
1
0
I n 


0

0
1

0






0
0 
.


1

2.2.4 Ma trận dạng bậc thang
Cho A  aij  là một ma trận cấp m n trên R . Ta nói, A là ma trận dạng bậc

thang nếu :
1) Dịng thứ i bằng 0 thì dịng thứ i + 1 cũng bằng 0, với i 1, n  1 .
2) Trên hai dòng khác 0 của A , phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của dòng
dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của
dịng trên.
2.3 Các phép tốn ma trận. Ma trận nghịch đảo
2.3.1 Phép cộng hai ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp m n : A  aij  mn và B  bij  mn .


8
Ta định nghĩa tổng hai ma trận A và B , kí hiệu A  B , là ma trận cấp m n mà
các phần tử có được bằng cách lấy tổng của các phần tử tương ứng của A và B , nghĩa
là:
A  B  aij  bij 

mn

.

2.3.2 Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A và B có số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B .
Cụ thể, A  aij  mp , B  bij  pn .
Ta định nghĩa tích của ma trận A với ma trận B , kí hiệu AB , là một ma trận cấp
m n , được xác định bởi công thức AB  cij  với
p

cij ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aipbpj  aik bkj .
k 1

2.3.3 Ma trận nghịch đảo
* Định nghĩa
Cho A là một ma trận vng cấp n . Ta nói :
i) A khả nghịch phải (trái) nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB I n

 BA I n  .
ii) A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB BA I n . Khi
đó, ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được kí hiệu là A 1 .
* Mệnh đề (Hệ quả 2.2.1, chương 2, [9])
Giả sử A  M n  R  . Khi đó, A là khả nghịch khi và chỉ khi detA là phần tử khả
nghịch của R.
2.3.4. Nhận xét
+ M mn  R  cùng với phép cộng và phép nhân hai ma trận là một vành có đơn vị
là I.
+ Nói chung M mn  R  không phải là vành giao hoán. Chẳng hạn, trong M 2   ,

  1 2
 2 0
, B 

 . Ta có:
1
0
1
3





lấy A 

  1 2  2 0 0 6
 2 0   1 2   2 4
AB 

BA

;

 

 1 3  1 0   2 2 
 1 0 1 3  2 0


 

Suy ra AB BA . Do đó phép nhân hai ma trận trên M 2   khơng có tính
chất giao hốn.
+ Nói chung M mn  R  khơng phải là miền nguyên. Chẳng hạn, trong M 2   ,


9

0 1
  2 1

O
,

B


 0 0  O . Ta có AB = O.
0
0





lấy A 

Suy ra A (hay B) là ước bên trái ( hay ước bên phải) của ma trận khơng .
Do đó M 2   khơng là miền ngun vì có chứa ước của O.
Bổ đề sau đây là lời giải cho bài tập 17 chương 15, trang 203, [9].
2.4 Bổ đề
Cho R là miền chính. I là iđêan trái của S M n  R  . Khi đó, I là iđêan trái
chính của S .
Chứng minh:
Đặt M ( I ) là môđun con của R n sinh bởi các dòng đầu tiên của các ma trận trong I .
Đặt I ( M ( I )) là tập hợp các ma trận có các dòng thuộc M ( I ) .
Ta sẽ chứng minh I ( M ( I )) là iđêan trái chính của S và I I ( M ( I )).
* Trước tiên ta chứng minh I ( M ( I )) là iđêan trái của S .
Vì I là iđêan trái của S nên ma trận O  I . Do đó O  I ( M ( I )) . Tức là
I ( M ( I ))  .
A, B  I ( M ( I )) ta có các dòng của A , B là phần tử thuộc M ( I ) . Vì M ( I ) là
mơđun con R n của nên hiệu các dịng của A và B cũng thuộc M ( I ) . Do đó
A  B  I ( M ( I )) .
X  S , A  I ( M ( I )) ta có XA là ma trận mà các dịng là tổ hợp tuyến tính của

các dịng của A nên các dòng của XA là phần tử thuộc M ( I ) . Do đó XA  I ( M ( I )) .
* Ta dễ dàng chứng minh được I I ( M ( I )) .
* Cuối cùng ta chứng minh I là iđêan trái chính.
Vì M ( I ) là môđun con của R n nên theo bổ đề (mục 1.2, chương I) ta suy ra
M  I   m1 ,..., mk với mk  R n , 1 i k n .
 m1 
 
 
 mk 
Đặt A   . Ta sẽ chứng minh I SA.
0
 
 
0
Vì A  I  M  I   I nên SA  I .
B  I I  M  I   ta có các dịng của B thuộc M ( I ) . Do đó
k

Rowi  B   rij m j , i 1, n .
j 1


10
 r11  r1k 0  0 


Đặt R        . Khi đó B RA . Tức là B  SA .
 rn1  rnk 0  0  nn
Vậy I SA .
2.5 Hai phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Ma trận sơ cấp

2.5.1 Hai phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Cho A  aij  mn .Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng, viết tắt là phép
BĐSCTD, là một trong hai loại sau:
1) Loại 1: Đổi hai dịng cho nhau.
Kí hiệu: d i  d k chỉ phép đổi chỗ hai dòng thứ i và thứ k

 i k 

cho

nhau.
2) Loại 2: Cộng  d k vào dịng i.
Kí hiệu: d i  di   d k
Với  là một phép BĐSCTD , kí hiệu   A  chỉ ma trận có từ A qua  .
2.5.2 Ma trận sơ cấp
a) Định nghĩa: Ma trận vuông E cấp n trên R được gọi là ma trận sơ cấp theo
dòng nếu E là ma trận thu được từ ma trận đơn vị I n bởi duy nhất một phép biến đổi
sơ cấp theo dịng  .
Kí hiệu: E   I n  .
b) Tính chất:
i) Cho A  M mn  R  và  là một phép BĐSCTD. Khi đó   A    I m  . A .
Chứng minh
Gọi Eij là ma trận có phần tử ở vị trí dịng i , cột j bằng 1 và các phần tử ở vị
trí cịn lại bằng 0 . Từ định nghĩa của phép nhân ma trận ta suy ra dòng i của Eij A
bằng dòng j của A , còn tất cả các dòng khác đều bằng 0 .
* Trường hợp  thuộc loại 1 : d i  d k . Khi đó:   I m  I m  Eii  Ekk  Eik  Eki .
Do đó:   I m  A  I m  Eii  Ekk  Eik  Eki  A  A  Eii A  Ekk A  Eik A  Eki A .
Từ đây ta suy ra   I m  A có từ A bằng cách hốn đổi hai dịng i và k cho
nhau, nghĩa là   I m  A   A  .
* Trường hợp  thuộc loại 2: d i  di   d k . Khi đó:   I m  I m   Eik .

Do đó:   I m  A  A   Eik A .
Từ đây ta suy ra   I m  A có từ A bằng cách thay dòng i bằng (dòng i ) cộng

 (dòng k ), nghĩa là   I m  A   A  .


11
ii) Mọi ma trận sơ cấp đều khả nghịch và có nghịch đảo là một ma trận sơ cấp.
Chứng minh
Giả sử  là một phép BĐSCTD. Đặt J m   I m  .
Khi đó tồn tại một phép BĐSCTD  cùng loại với  biến J m thành
I m   J m  . Theo tính chất i, ta có: I m   J m    I m  .J m   I m  .  I m  .
Do đó   I m  khả nghịch trái. Áp dụng kết quả này cho phép biến đổi sơ cấp 
, ta suy ra   I m  khả nghịch trái. Từ đây và từ đẳng thức trên ta suy ra   I m  khả
1

nghịch và do đó   I m    I m   cũng khả nghịch.


12
CHƯƠNG II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VNG
Trong phần này, ta ln giả sử R là miền chính.
1. Các định nghĩa
Trong [4], Éugene Cahen định nghĩa ước cho các ma trận với cỡ m n tùy ý. Tuy
nhiên, trong phạm vi của đề tài này, chúng tôi chỉ đề cập đến ước và UCLN của các
ma trận vuông.
1.1 Ước của ma trận vuông
1.1.1 Định nghĩa
Cho M n ( R) là vành. Giả sử A  M n ( R) , D  M n ( R) , D O .
Ta nói D là ước bên phải (trái) của ma trận A , nếu tồn tại P  M n ( R) sao cho

A PD ( tương ứng A DP ).
1.1.2 Ví dụ
0 1
0 1
Trên M 2 () , cho hai ma trận A 
, D 

 , D O .
0
0
1
0




1 0
D là ước bên phải của A vì tồn tại P 
  M 2 () để A PD .
0 0
1.2.3 Tính chất
i) A là ước bên phải, trái của ma trận đơn vị I n khi và chỉ khi A là ma trận khả
nghịch.
Chứng minh:
( ) Giả sử A là ma trận khả nghịch.
Suy ra tồn tại B là ma trận nghịch đảo của A sao cho I n  AB BA.
Do đó A vừa là ước bên phải, vừa là ước bên trái của I n .
( ) Giả sử A là ước bên phải của I n .
Suy ra tồn tại các ma trận B1 sao cho I n B1 A.

Khi đó: det B1.det A det I n 1 .
 A khả nghịch.
Chứng minh tương tự cho A là ước bên trái của I n .
ii) (Mục 368, chương 19, [4]) A là ước (bên phải và bên trái ) của A .
Chứng minh: Hiển nhiên, bởi vì tồn tại ma trận đơn vị I n để A I n A  AI n .
iii) Nếu A là ước bên phải của B và B là ước bên phải của C thì A là ước bên
phải của C.
Chứng minh:
Vì A là ước bên phải của B và B là ước bên phải của C nên tồn tại


13
P, Q  M n ( R) để B PA và C QB.
Suy ra: C (QP) A.
Do đó, A là ước bên phải của C.
iv) Với A1 , A2 ,..., An  M n ( R) , nếu D là ước bên phải của A1 , A2 ,..., An thì D là
ước bên phải của ( P1 A1  P2 A2  ...  Pn An ) với Pi  M n ( R) , i 1, n.
Chứng minh:
Vì D là ước bên phải của Ai , i 1, n nên tồn tại các ma trận Qi  M n ( R) ,
i 1, n sao cho Ai Qi D.
Khi đó: P1 A1  P2 A2  ...  Pn An P1 (Q1D )  P2 (Q2 D )  ...  Pn (Qn D )
( PQ
1 1  P2Q2  ...  PnQn ) D.
1.2 Ước chung của các ma trận vuông
1.2.1 Định nghĩa
Trên M n ( R) , ma trận D được gọi là ước chung bên phải (trái) của các ma trận
A1 , A2 ,..., An nếu D là ước bên phải (trái) đồng thời của mỗi ma trận đó.
1.2.2 Ví dụ
1 1
 3 3

 2 2
Trên M 2 () , D 
là ước chung bên phải của A 
và B 


.
1 1
 3 3
1 1
 1 2
 2 0
Vì tồn tại các ma trận M 
, N 

 để A MD và B ND .
2
1
0
1




1.3 UCLN của các ma trận vuông
1.3.1. Định nghĩa
Trên Mn(R), cho D là một ước chung bên phải (trái) của các ma trận A1 , A2 ,..., An
.
Nếu mọi ước chung bên phải (trái) của A1 , A2 ,..., An đều là ước bên phải (trái) của
D thì D được gọi là ước chung lớn nhất bên phải (trái) của các ma trận đó.

Sau đây, ta chỉ xét ước chung lớn nhất bên phải của các ma trận và ta viết tắt ước
chung lớn nhất của A1 , A2 ,..., An là UCLN  A1 , A2 ,..., An  .
1.3.2 Ví dụ
1 2 
 4 3
1 2 
. Khi đó, D 
Trên M 2 () , cho A 
và B 


 là
3 4 
 2 1
 0  1
UCLN  A, B  .
 1 2  1 0   1 2 
Thật vậy, ta có: 
 3 2  .  0  1
3
4

 
 



14
 4 3  4 5   1 2 
 2 1  2 3 .  0  1


 
 

nên D là ước chung bên phải của A và B.
Hơn nữa,
 1 2   1 0  1 2   0 0   4 3 
 0  1  2  2   3 4   1 0   2 1 

 

 


1 0 
0 0
hay D  XA  YB với X 
và Y 

.
 2  2
1 0
Do đó, nếu D1 là ước chung bên phải của A và B , tức là A  A1D1 ; B B1D1 thì
D ( XA1 ) D1  (YB1 ) D1 ( XA1  YB1 ) D1 , tức là D1 là ước bên phải của D .
* Nhận xét:
1) Nếu D và D ' là UCLN  A1 , A2 ,..., An  thì D và D ' sai khác nhau một ma trận khả
nghịch, nghĩa là tồn tại U, V  M n ( R ) khả nghịch sao cho D UD ' và D ' VD .
Chứng minh:
Vì D, D ' là UCLN  A1 , A2 ,..., An  nên D là ước bên phải của D ' , D ' là ước bên
phải của D.

Do đó tồn tại U, V  M n ( R ) để D UD ' và D ' VD .
Khi đó D UD ' UVD . Suy ra det D det U .det V .det D .
Vì R là miền nguyên nên det U .det V 1 . Suy ra U, V khả nghịch.
2) Theo nhận xét 1, ta có thể kết luận UCLN  A1 , A2 ,..., An  là không duy nhất.
2. Sự tồn tại và phương pháp tìm UCLN của các ma trận vng
2.1 Sự tồn tại UCLN của các ma trận vng
2.1.1 Định lí 1
Giả sử R là miền chính. Khi đó, ln tồn tại UCLN bên phải (trái) của các ma
trận vuông thuộc S M n ( R).
Chứng minh: Giả sử A1, A2, …, An là các ma trận tùy ý thuộc Mn(R), ta sẽ chứng
minh luôn tồn tại UCLN(A1, A2, …, An).
* Xét M SA1  SA2  ...  SAn  D1 A1  D2 A2  ...  Dn An | D1 , D2 ,....Dn  S  .
* Ta thấy M là iđêan trái của S .
M  vì O OA1  OA2  ...  OAn  M .



Với mọi X 1 A1  X 2 A2  ...  X n An  M , X i  S , i 1, n







Y1 A1  Y2 A2  ...  Yn An  M , Y j  S , j 1, n .
Ta có:  X 1 A1  X 2 A2  ...  X n An    Y1 A1  Y2 A2  ...  Yn An 
 X 1  Y1  A1   X 2  Y2  A2  ...   X n  Yn  An  M .

15
Với X  S , ta có:
X  X 1 A1  X 2 A2  ...  X n An   XX 1  A1   XX 2  A2  ...   XX n  An  M .
* Theo bổ đề (mục 2.4, chương I), vì R là miền chính nên mọi iđêan trái của S
đều là iđêan trái chính.
Suy ra tồn tại D  S sao cho M SD  K .D | K  S  .
* Ta chứng minh D là UCLN  A1 , A2 ,..., An  .
Trước tiên, ta chứng minh: D là ước chung bên phải của A1 , A2 ,..., An .
 M SA1  SA2  ...  SAn
Ta có: 
M SD

 A1 , A2 ,..., An  M SD
Suy ra 
 D  M SA1  SA2  ...  SAn






K i  S : Ai K i .D
, i 1, n
Suy ra 
 Li  S , i 1, n : D L1 A1  L2 A2  ...  Ln An
Do đó D là ước chung bên phải của A1 , A2 ,..., An .

(1)
(2)

* Tiếp theo, ta chứng minh D là UCLN  A1 , A2 ,..., An  .
Giả sử E là ước bên phải tùy ý của A1 , A2 ,..., An .
Ta có: Ai  X i E (với X i  S , i 1, n ).
Từ (2) suy ra:
D L1  X 1E   L2  X 2 E   ...  Ln  X n E   L1 X 1  E   L2 X 2  E  ...   Ln X n  E
 L1 X 1  L2 X 2  ...  Ln X n  E .
tức là E là ước bên phải của D .
Do đó D là UCLN  A1 , A2 ,..., An  .
 Hệ quả:
Trên M n ( R) , nếu D là UCLN  A1 , A2 ,..., An  thì tồn tại các ma trận
U1 ,U 2 ,...,U n  M n ( R ) sao cho D U1 A1  U 2 A2  ...  U n An .
2.1.2 Định lý 2
Cho R là vành chính và A , B là các ma trận vuông cấp n trong vành M n  R  .
 A
Đặt C   là ma trận cấp 2n n . Nếu tồn tại ma trận khả nghịch V sao cho
 B
VC H là ma trận bậc thang thì các khẳng định sau đây là đúng:
i) Gọi D là n dòng đầu của H thì D là UCLN  A, B  .
P
ii) Gọi n cột đầu của V  1 là   thì A PD ; B QD.
Q 


16
iii) Gọi n dòng đầu của V là  X

Y  thì XA  YB D.

Chứng minh:
X Y

 P 
 D
1
V

H

Giả sử V 
;
;
trong đó X , Y , P, Q, D là

 Q 
O 



 2 n2 n

 2 n2 n
  2nn
các ma trận vuông cấp n .
* Theo giả thiết VC H mà V khả nghịch nên C V  1H .
 A
 P   D 
1
Do đó C    V H 
   . Điều này cho ta A PD và B QD .
 B
 Q   O 

Có nghĩa D là ước chung bên phải của A và B .
 X Y   A  D 
* Cũng từ VC H ta suy ra 
      XA  YB D.
     B O 

* Giả sử D là ước chung bên phải của A , B , nghĩa là tồn tại P, Q M n  R  sao
cho A PD ; B QD.
Khi đó D  XA  YB  XPD  YQD  XP  YQ D.
Suy ra D là ước bên phải của D . Vậy D là UCLN  A, B  .
Kết quả sau được chứng minh trong trường hợp R  .
2.1.3 Định lý 3
Bằng cách sử dụng hai phép biến đổi sơ cấp trên dòng (đổi chỗ 2 dòng; Cộng
vào 1 dòng một bội của dịng khác) ta ln đưa được một ma trận C bất kỳ về dạng
bậc thang H và tồn tại một ma trận khả nghịch V sao cho VC H .
Chứng minh:
Giả sử C là ma trận cấp m n . Ta chứng minh quy nạp theo m .
* Nếu m 1 thì C là ma trận bậc thang.
* Giả sử m  1 và định lý đúng với mọi ma trận có m  1 dịng. Nếu C là ma trận
khơng thì nó là ma trận bậc thang. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp C
khác ma trận không.
Giả sử j1 là cột đầu tiên của C khác khơng. Nhờ phép đổi chỗ các dịng, ta có thể
giả thiết a1 j1 là phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất và khác không của cột j1
0

0


0


 0 a1 j1

a1 j1 1

 0 a2 j1

a2 j1 1

  
 0 amj1


am j1 1



a1n 

 a2 n 
.
 
 amn 


Tiếp theo ta sẽ biến đổi để các phần tử a1 j1 0, i 2, m . Giả sử a1 j1  2 i m  là
phần tử đầu tiên khác không của cột j1 và aij1 qi .a1 j1  ri ; 0 ri  aij1 . Khi đó ta cộng