Chuyen de hinh hoc 10 hay gap

Chương 11

VECTO
CHUYÊN ĐỀ 5
TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT :
I.TRỤC TỌA ĐỘ:
1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và
r
r
một vectơ đơn vị i ( tức là i = 1)
r
i

Hình 1.30

r
r
Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O ; i ) hay
x 'Ox hoặc đơn giản là Ox
2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:
ur
r
r
ur
+ Cho vec tơ u nằm trên trục (O ; i ) thì có số thực a sao cho u = a i với a Ỵ R . Số a như thế được
uu
r
r

gọi là tọa độ của vectơ u đối với trục (O ; i )
r
uuur
ur
+ Cho điểm M nằm trên (O ; i ) thì có số m sao cho OM = mi . Số m như thế được gọi là tọa độ của
r
điểm M đối với trục (O ; i )
uuur
Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM
3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :
uuur
Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của
uuur
vectơ AB trên trục Ox
uuur
r
Như vậy AB = AB .i
Tính chất :
+ AB = - BA
uuur
uuu
r
+ AB = CD Û AB = CD
ur
+ " A;B;C Ỵ (O ; i ) : AB + BC = AC
II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông
rr
vectơ đơn vị lần lượt là i , j . Điểm O gọi là gốc tọa
hoành và Oy gọi là trục tung.

rr
Oxy
O
;
i
,j )
Kí hiệu
hay (

góc Ox và Oy với hai
độ, Ox gọi là trục

Hình 1.31
2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .
rr
r
r
r
+ Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) nếu u = xi + yj thì
cặp số ( x; y ) được gọi
r
r
r
là tọa độ của vectơ u , kí hiệu là u = ( x; y ) hay u( x; y ) .
r
x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u
rr
uuur
+ Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) , tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M = ( x; y )
hay M ( x; y ) . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.

1


Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì
uuur
r
r uuur uuur
M ( x; y ) Û OM = xi + yj = OH +OK
uuur
r uuur
r
Như vậy OH = xi , OK = yj hay x = OH , y = OK

3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.
+ Cho A(xA ;yA ), B (xB ;yB ) và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M ( xM ; yM ) của đoạn thẳng
xA + xB
y + yB
, yM = A
2
2
+ Cho tam giác ABC có A(xA ;yA ), B (xB ;yB ), C ( xC ;yC ) . Tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) của tam giác

AB là xM =

xA + xB + xC
y + yB + yC
và yG = A
3
2

4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
r
ur
Cho u = (x;y) ; u ' = (x ';y ') và số thực k. Khi đó ta có :
r
ur
ìï x = x '
1) u = u ' Û ïí
ïï y = y '
ỵ
r r
2) u ± v = (x ± x ';y ± y ')
r
3) k.u = (kx;ky)
ABC là xG =

ur
r r
r
4) u' cùng phương u ( u ¹ 0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho
uuur
5) Cho A(xA ;yA ), B (xB ;yB ) thì AB = ( xB - xA ; yB - yA )
Câu 1:

ìï x ' = kx
ïí
ïï y ' = ky
ỵ

Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng

AB là:
 x − x y − yB 
A. I  A B ; A
÷.
2 
 2
 x + xB y A + y B 
;
C. I  A
÷.
3 
 3

 x + x y + yB 
B. I  A B ; A
÷.
2 
 2
 x + y A xB + y B 
;
D. I  A
÷.
2 
 2
Lời giải

Chọn B

Câu 2:

x +x

xI = A B
uur uur

 x I − x A = xB − x I

2
⇒
Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇒ AI = IB ⇔ 
y
−
y
=
y
−
y
y
 I
A
B
I
 y = A + yB
 I
2
 x + x y + yB 
Vậy I  A B ; A
÷.
2 

 2
r
r
r r
Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ) , v = ( v1 ; v2 ) . Điều kiện để vectơ u = v là
u1 = u2
A. 
.
v1 = v2

u1 = −v1
B. 
.
u2 = −v2

u1 = v1
C. 
.
u2 = v2
Lời giải

Chọn C

2

u1 = v2
D. 
.
u2 = v1

r r
u1 = v1
Ta có: u = v ⇔ 
.
u2 = v2

Câu 3:

Câu 4:

uuu
r
Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) . Tọa độ của vectơ AB là
uuur
uuur
A. AB = ( y A − x A ; yB − xB ) .
B. AB = ( x A + xB ; y A + yB ) .
uuu
r
uuu
r
C. AB = ( x A − xB ; y A − yB ) .
D. AB = ( xB − x A ; y B − y A ) .
Lời giải
Chọn D
uuur
Theo công thức tọa độ vectơ AB = ( xB − x A ; yB − y A ) .

Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) và C ( xC ; yC ) . Tọa độ trọng tâm G của tam

giác ABC là:
 x − x + x y + y B + yC
A. G  A B C ; A
3
3

 x + x + x y + y B + yC
C. G  A B C ; A
3
3


 x + x + x y + y B + yC 
B. G  A B C ; A
÷.
3
2


 x + x + x y + y B + yC 
D. G  A B C ; A
÷.
2
3


Lời giải


÷.



÷.


Chọn C
uuu
r uuu
r uuur
uuur
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ OA + OB + OC = 3OG với O là điểm bất kì.
Chọn O chính là gốc tọa độ O . Khi đó, ta có:
x +x +x

xG = A B C

uuu
r uuu
r uuur
uuur
 x A + xB + xC = 3 xG

3
OA + OB + OC = 3OG ⇔ 
⇒
 y A + yB + yC = 3 yG
 y = y A + yB + yC
 G
3

Câu 5:

Câu 6:

 x + x + x y + yB + yC 
⇒ G A B C ; A
÷.
3
3


Mệnh đề nào sau
r đây đúng? r
A. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( −1; 2 ) đối nhau.
r
r
B. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( −2; −1) đối nhau.
r
r
C. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( −2;1) đối nhau.
r
r
D. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( 2;1) đối nhau.
Lời giải
Chọn Cr
r
r
r
Ta có: u = ( 2; −1) = − ( −2;1) = −v ⇒ u và v đối nhau.
rr

r r
Trong hệ trục O; i; j , tọa độ của vec tơ i + j là:
A. ( −1;1) .

(

)

B. ( 1;0 ) .

C. ( 0;1) .
Lời giải

D. ( 1;1) .

Chọn Dr r
Ta có: i + j = ( 1;0 ) + ( 0;1) = ( 1;1) .

Câu 7:

uuu
r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 5; 2 ) , B ( 10;8 ) . Tọa độ của vec tơ AB là:
A. ( 2; 4 ) .
B. ( 5;6 ) .
C. ( 15;10 ) .
D. ( 50;6 ) .

3

Lời giải
Chọn Buuur
Ta có: AB = ( 10 − 5;8 − 2 ) = ( 5; 6 ) .
Câu 8:

Câu 9:

Cho hai điểm A ( 1;0 ) và B ( 0; −2 ) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
1
1


1

A.  ; −1÷ .
B.  −1; ÷.
C.  ; −2 ÷ .
D. ( 1; −1) .
2
2


2

Lời giải
Chọn A
 x + x y + yB   1 + 0 0 + ( −2)   1

;

Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là: I =  A B ; A
÷ =  ; − 1 ÷.
÷= 
2   2
2  2

 2
Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là A ( −2; 2 ) ;

B ( 3;5 ) . Tọa độ của đỉnh C là:

A. ( 1;7 ) .

B. ( −1; −7 ) .

C. ( −3; −5 ) .
Lời giải

D. ( 2; −2 ) .

Chọn B
x A + xB + xC
−2 + 3 + xC


0=
 xO =

 xC = −1


3
3
⇔
⇔
Ta có: 
.
 yC = −7
 y = y A + yB + yC
0 = 2 + 5 + yC
 O

3
3
r
Câu 10: Vectơ a = ( −4; 0 ) được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
r
r r
r
r r
r
r
r
r
A. a = −4i + j .
B. a = −i + 4 j .
C. a = −4 j .
D. a = −4i .
Lời giải
Chọn Dr
r

r r
r
Ta có: a = ( −4; 0 ) ⇒ a = −4i + 0 j = −4i .
uuur
uuu
r
Câu 11: Cho hai điểm A ( 1;0 ) và B ( 0; −2 ) .Tọa độ điểm D sao cho AD = −3 AB là:
A. ( 4; −6 ) .
B. ( 2;0 ) .
C. ( 0; 4 ) .
D. ( 4;6 ) .
Lời giải
Chọn D
uuur
uuu
r


 xD = 4
 x D − x A = −3 ( xB − x A )
 xD − 1 = −3 ( 0 − 1)
⇔
⇔
Ta có: AD = −3 AB ⇔ 
.
 yD = 6
 yD − y A = −3 ( yB − y A )
 yD − 0 = −3 ( −2 − 0 )



r
r
r
r
Câu 12: Cho a = ( −5;0 ) , b = ( 4; x ) . Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x là:
A. −5 .
B. 4 .
C. −1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn Dr
r
r
r
Ta có: a và b cùng phương khi a = k .b ⇒ x = 0 .
r
r
r r
Câu 13: Cho a = ( −1; 2 ) , b = ( 5; −7 ) . Tọa độ của vec tơ a − b là:
A. ( 6; −9 ) .

B. ( 4; −5 ) .

C. ( −6;9 ) .
Lời giải

D. ( −5; −14 ) .

Chọn Cr r
Ta có: a − b = ( −1 − 5; 2 + 7 ) = ( −6;9 ) .

uuur
Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4 . Độ dài của vec tơ AC là:
A. 9.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Lời giải
4


Chọn B
uuur
2
2
2
2
Ta có: AC = AC = AB + BC = 3 + 4 = 5 .

uuu
r
Câu 15: Cho hai điểm A ( 1;0 ) và B ( 0; −2 ) . Vec tơ đối của vectơ AB có tọa độ là:
A. ( −1; 2 ) .
B. ( −1; −2 ) .
C. ( 1; 2 ) .
D. ( 1; −2 ) .
Lời giải
Chọn B
uuu
r
uuu

r
Ta có vectơ đối của AB là BA = ( 0 − 1; −2 − 0 ) = ( −1; −2 ) .
r
r
r r
Câu 16: Cho a = ( 3; −4 ) , b = ( −1; 2 ) . Tọa độ của vec tơ a + b là:

A. ( 2; −2 ) .

B. ( 4; −6 ) .

C. ( −3; −8 ) .
Lời giải

Chọn Ar r
Ta có: a + b = ( 3 + (−1);(−4) + 2 ) = ( 2; −2 ) .
Câu 17: Khẳng định nào
định sau là đúng?
r trong các khẳng
r
A. Hai vec tơ u = ( 4; 2 ) và v = ( 8;3) cùng phương.
r
r
B. Hai vec tơ a = ( −5;0 ) và b = ( −4;0 ) cùng hướng.
r
r
C. Hai vec tơ a = ( 6;3) và b = ( 2;1) ngượchướng.
r
ur
D. Vec tơ c = ( 7;3) là vec tơ đối của d = ( −7;3) .

Lời giải
Chọn B
r 5r
r
r
Ta có: a = b suy ra a cùng hướng với b .
4 r
r
r
r
r r
Câu 18: Cho a = ( x; 2 ) , b = ( −5;1) , c = ( x;7 ) . Vec tơ c = 2a + 3b nếu:
A. x = 3 .
B. x = −15 .
C. x = 15 .
Lời giải
Chọn C
r
r r
 x = 2 x + 3. ( −5 )
⇔ x = 15 .
Ta có: c = 2a + 3b ⇔ 
7 = 2.2 + 3.1

r
r
r
r
r
r r

Câu 19: Cho a = (0,1) , b = (−1; 2) , c = (−3; −2) .Tọa độ của u = 3a + 2b − 4c :
A. ( 10; −15 ) .

B. ( 15;10 ) .

C. ( 10;15 ) .
Lời giải

D. ( −4;6 ) .

D. x = 5 .

D. ( −10;15 ) .

Chọn Cr
r
r r
Ta có: u = 3a + 2b − 4c = ( 3.0 + 2.(−1) − 4.( −3);3.1 + 2.2 − 4.( −2) ) = ( 10;15 ) .
uuur uuur uuur r
Câu 20: Cho A ( 0;3) , B ( 4; 2 ) . Điểm D thỏa OD + 2 DA − 2 DB = 0 , tọa độ D là:
A. ( −3;3 ) .

B. ( 8; −2 ) .

C. ( −8; 2 ) .

 5
D.  2; ÷ .
 2

Lời giải
Chọn B
uuur uuur uuur r

 xD = 8
 xD − 0 + 2 ( 0 − x D ) − 2 ( 4 − x D ) = 0
⇔
Ta có: OD + 2 DA − 2 DB = 0 ⇔ 
.
 yD = −2

 yD − 0 + 2 ( 3 − yD ) − 2 ( 2 − y D ) = 0
Câu 21: Tam giác ABC có C ( −2; −4 ) , trọng tâm G ( 0; 4 ) , trung điểm cạnh BC là M ( 2;0 ) . Tọa độ A
và B là:
5


A. A ( 4;12 ) , B ( 4; 6 ) .

B. A ( −4; −12 ) , B ( 6; 4 ) .

C. A ( −4;12 ) , B ( 6; 4 ) .

D. A ( 4; −12 ) , B ( −6; 4 ) .
Lời giải

Chọn C
xB + ( −2)

 2 =

 xB = 6
2
⇔
⇒ B ( 6; 4 )
Ta có: M ( 2;0 ) là trung điểm BC nên 
 yB = 4
0 = yB + ( −4)

2
x A + 6 + (−2)

0 =
 x A = −4
3
G ( 0; 4 ) là trọng tâm tam giác ABC nên 
⇔
⇒ A ( −4;12 ) .
 y A = 12
4 = y A + 4 + (−4)

3
r r r
r r r
Câu 22: Cho a = 3i − 4 j và b = i − j . Tìm phát biểu sai:
r
uu
r
uu
r
r r

A. a = 5 .
B. b = 0 .
C. a − b = ( 2; −3) .
D. b = 2 .
Lời giải
Chọn B
r r r r
r
r r r
r
Ta có: a = 3i − 4 j ⇒ a ( 3; −4 ) , b = i − j ⇒ b ( 1; −1) ⇒ b = 2 .
Câu 23: Cho A ( 1; 2 ) , B ( −2;6 ) . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng thì tọa độ
điểm M là:
A. ( 0;10 ) .

B. ( 0; −10 ) .

C. ( 10;0 ) .
Lời giải

D. ( −10;0 ) .

Chọn A
Ta có: M trên trục Oy ⇒ M ( 0; y )
uuu
r
uuuu
r
Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM
uuu

r
uuuu
r
uuu
r
Ta có AB = ( −3; 4 ) , AM = ( −1; y − 2 ) . Do đó, AB cùng phương với
uuuu
r
−1 y − 2
AM ⇔
=
⇒ y = 10 . Vậy M ( 0;10 ) .
−3
4
Câu 24: Cho 4 điểm A ( 1; −2 ) , B ( 0;3) , C ( −3; 4 ) , D ( −1;8 ) . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng
hàng?
A. A, B, C .

B. B, C , D .

C. A, B, D .
Lời giải

D. A, C , D .

Chọn Cuuur
uuu
r
uuur
uuu

r
Ta có: AD ( −2;10 ) , AB ( −1;5 ) ⇒ AD = 2 AB ⇒ 3 điểm A, B, D thẳng hàng.

Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho B ( 5; −4 ) , C ( 3;7 ) . Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là
A. E ( 1;18 ) .

B. E ( 7;15 ) .

C. E ( 7; −1) .
Lời giải

D. E ( 7; −15 ) .

Chọn D
Ta có: E đối xứng với C qua B ⇒ B là trung điểm đoạn thẳng EC
xE + 3

5 = 2
 xE = 7
⇔
⇒ E ( 7; −15 ) .
Do đó, ta có: 
 yE = −15
 −4 = yE + 7

2
uuuu
r uuu
r r
Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( 1;3) , B ( 4;0 ) . Tọa độ điểm M thỏa 3 AM + AB = 0 là

A. M ( 4;0 ) .
B. M ( 5;3) .
C. M ( 0; 4 ) .
D. M ( 0; −4 ) .
6


Lời giải
Chọn C

uuuu
r uuu
r r

 xM = 0
3 ( xM − 1) + ( 4 − 1) = 0
⇔
⇒ M ( 0; 4 ) .
Ta có: 3 AM + AB = 0 ⇔ 
 yM = 4

3 ( yM − 3) + ( 0 − 3) = 0
Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( −3;3) , B ( 1; 4 ) , C ( 2; −5 ) . Tọa độ điểm M thỏa mãn
uuur uuur
uuuu
r
2 MA − BC = 4CM là:
1 5
 1 5
1 5

5 1
A. M  ; ÷.
B. M  − ; − ÷ .
C. M  ; − ÷.
D. M  ; − ÷.
6 6
 6 6
6 6
6 6
Lời giải
Chọn C
1

uuur uuur
uuuu
r
 xM = 6
 2 ( −3 − xM ) − ( 2 − 1) = 4 ( xM − 2 )
1 5
⇔
⇒ M  ; − ÷.
Ta có: 2 MA − BC = 4CM ⇔ 
6 6
y = − 5
 2 ( 3 − yM ) − ( −5 − 4 ) = 4 ( yM + 5 )
M

6
Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A ( 3; −2 ) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( −8; −5 ) . Khẳng định

nàousau
uur uđây
uur là đúng?
A. AB, CD đối nhau.
uuur uuur
C. AB, CD cùng phương cùng hướng.

uuur uuur
B. AB, CD cùng phương nhưng ngược hướng.
D. A, B, C, D thẳng hàng.
Lời giải

Chọn Buuur
uuur
uuur
uuur
Ta có: AB = ( 4;3) , CD = ( −8; −6 ) ⇒ CD = −2 AB .

Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( 1;3 ) , B ( 4; 0 ) , C ( 2; −5 ) . Tọa độ điểm M thỏa mãn
uuur uuur uuuu
r r
MA + MB − 3MC = 0 là
A. M ( 1;18 ) .
B. M ( −1;18 ) .
C. M ( −18;1) .
D. M ( 1; −18 ) .
Lời giải
Chọn D
uuur uuur uuuu
r r

( 1 − xM ) + ( 4 − xM ) − 3 ( 2 − xM ) = 0
 xM = 1

⇔
Ta có: MA + MB − 3MC = 0 ⇔ 
.
y
=
−
18
3
−
y
+
0
−
y
−
3
−
5
−
y
=
0
(
)
(
)
(

)

M

M
M
M

Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( −2;0 ) , B ( 5; −4 ) , C ( −5;1) . Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD là
hình bình hành là:
A. D ( −8; −5 ) .

B. D ( 8;5 ) .

C. D ( −8;5 ) .
Lời giải

D. D ( 8; −5 ) .

Chọn D
uuur uuur
−5 − 5 = −2 − xD
x = 8
⇔ D
Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi BC = DA ⇔ 
.
1 + 4 = 0 − yD
 y D = −5
Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( 2; 4 ) , B ( −1; 4 ) , C ( −5;1) . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là

hình bình hành là:
A. D ( −8;1) .

B. D ( 6; 7 ) .

C. D ( −2;1) .
Lời giải

Chọn C
7

D. D ( 8;1) .


uuu
r uuur
−1 − 2 = −5 − xD
 xD = −2
⇔
Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB = DC ⇔ 
.
4 − 4 = 1 − yD
 yD = 1
Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' và B ''' lần lượt là điểm đối xứng của B ( −2;7 ) qua trục Ox ,
Oy và qua gốc tọa độ O . Tọa độ của các điểm B ', B '' và B ''' là:
A. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2; 7 ) và B"' ( 2; −7 ) .
B. B ' ( −7; 2 ) , B" ( 2;7 ) và B"' ( 2; −7 ) .

C. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2;7 ) và B"' ( −7; −2 ) .

D. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 7; 2 ) và B"' ( 2; −7 ) .
Lời giải

Chọn A
Ta có: B ' đối xứng với B ( −2;7 ) qua trục Ox ⇒ B ' ( −2; −7 )

B '' đối xứng với B ( −2;7 ) qua trục Oy ⇒ B '' ( 2; 7 )

B ''' đối xứng với B ( −2;7 ) qua gốc tọa độ O ⇒ B ''' ( 2; −7 ) .
Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A ( 0; 2 ) , B ( 1; 4 ) . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn
uuuu
r
uuu
r
AM = −2 AB là:
A. M ( −2; −2 ) .
B. M ( 1; −4 ) .
C. M ( 3;5 ) .
D. M ( 0; −2 ) .
Lời giải
Chọn A
uuuu
r
uuu
r
 xM − 0 = −2 ( 1 − 0 )
 xM = −2
⇔
⇒ M ( −2; −2 ) .
Ta có: AM = −2 AB ⇔ 

 yM = −2
 yM − 2 = −2 ( 4 − 2 )
r
r
r r
r
Câu 34: Cho a = ( −4, 1) và b = ( −3, − 2 ) . Tọa độ c = a − 2b là:
r
r
r
r
A. c = ( 1; − 3) .
B. c = ( 2;5 ) .
C. c = ( −7; −1) .
D. c = ( −10; −3) .
Lời giải
Chọn Br r r
Ta có: c = a − 2b = ( −4 − 2.(−3);1 − 2.(−2) ) = ( 2;5 ) .
r
r
r r
Câu 35: Cho a = (2016 2015;0), b = (4; x) . Hai vectơ a, b cùng phương nếu
A. x = 504 .
B. x = 0 .
C. x = −504 .
D. x = 2017 .
Lời giải
Chọn Br r
r
r

Ta có: a, b cùng phương ⇔ a = k .b ⇒ x = 0 .
r
uuu
r
7

Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A  ; −3 ÷; B (−2;5) . Khi đó a = −4 AB = ?
2

r  −11 
r
r
r
;8 ÷.
A. a = ( 22; −32 ) .
B. a = ( 22;32 ) .
C. a = ( −22;32 ) .
D. a = 
 2

Lời giải
Chọn A
r
uuur
7


Ta có: a = −4 AB = −4  −2 − ;5 + 3 ÷ = ( 22; −32 ) .
2



r
r
r r
Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy , cho a = (m − 2; 2n + 1), b = ( 3; −2 ) . Nếu a = b thì
3
A. m = 5, n = −3 .
B. m = 5, n = − .
C. m = 5, n = −2 .
D. m = 5, n = 2 .
2
Lời giải
Chọn B
8


m = 5
r r
m − 2 = 3

⇔
Ta có: a = b ⇔ 
3.
 2 n + 1 = −2
 n = − 2
Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; −1) . Điểm B là điểm đối xứng của A qua trục hoành.
Tọa độ điểm B là:
A. B (2;1) .
B. B( −2; −1) .
C. B (1; 2) .

D. B (1; −2) .
Lời giải
Chọn A
Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành ⇒ B ( 2;1) .
r
ur
r
r
r
r
Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a = (2;1), b = (3; 4), c = (7; 2) . Cho biết c = m.a + n.b . Khi đó
22
−3
1
−3
22
−3
22
3
A. m = − ; n =
. B. m = ; n =
.
C. m = ; n =
.
D. m = ; n = .
5
5
5
5
5

5
5
5
Lời giải
Chọn C
22

m=
r
r
r

7 = 2m + 3n

5
⇔
Ta có: c = m.a + n.b ⇔ 
.
 2 = m + 4n
n = − 3

5
r
r
r
r
r
r
Câu 40: Cho các vectơ a = ( 4; −2 ) , b = ( −1; −1) , c = ( 2;5 ) . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta
được:

r
1r 1r
A. b = − a − c .
8
4

r 1r 1r
B. b = a − c .
8
4

r
1r r
C. b = − a − 4c .
2
Lời giải

r
1r 1r
D. b = − a + c .
8
4

Chọn A
1

r
r r
m = − 8
r

 −1 = 4 m + 2 n
1r 1r
⇔
Giả sử b = ma + nc ⇔ 
. Vậy b = − a − c .
8
4
 −1 = −2 m + 5n
n = − 1

4
r
r 
r
r uur r
1
Câu 41: Cho a = ( x; 2), b =  −5; ÷, c = ( x;7 ) . Vectơ c = 4a − 3b nếu
3

A. x = 15 .
B. x = 3 .
C. x = −15 .
D. x = −5 .
Lời giải
Chọn D
 x = 4 x − 3.( −5)
r uur r

Ta có: c = 4a − 3b ⇔ 
1 ⇔ x = −5 .

7 = 4.2 − 3. 3
Câu 42: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( m − 1; −1) , B ( 2; 2 − 2m ) , C ( m + 3;3) . Tìm giá trị m để A, B, C là
ba điểm thẳng hàng?
A. m = 2 .

B. m = 0 .

C. m = 3 .
Lời giải

Chọn Buuur
uuur
Ta có: AB = ( 3 − m;3 − 2m ) , AC = ( 4; 4 )
uuur
uuu
r
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC
3 − m 3 − 2m
⇔
=
⇔ m = 0.
4
4
9

D. m = 1 .


Câu 43: Cho hai điểm M ( 8; −1) , N ( 3; 2 ) . Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì P có
tọa độ là:

A. ( −2;5 ) .

B. ( 13; −3) .

C. ( 11; −1) .

 11 1 
D.  ; ÷ .
 2 2

Lời giải
Chọn A
Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM
 8 + xP
3 = 2
 x P = −2
⇔
⇒ P ( −2;5 ) .
Do đó, ta có: 
 yP = 5
2 = (−1) + yP

2
Câu 44: Cho tam giác ABC với A ( 3; −1) , B ( −4; 2 ) , C ( 4;3 ) . Tìm D để ABDC là hình bình hành?
A. D ( 3;6 ) .

B. D ( −3;6 ) .

C. D ( 3; −6 ) .

D. D ( −3; −6 ) .

Lời giải
Chọn B
uuu
r uuur
−4 − 3 = xD − 4
 xD = −3
⇔
⇒ D ( −3; 6 ) .
Ta có: ABDC là hình bình hành ⇔ AB = CD ⇔ 
2 + 1 = y D − 3
 yD = 6

Câu 45: Cho K ( 1; −3) . Điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho A là trung điểm KB . Tọa độ điểm B là:
1 
A. ( 0;3) .
B.  ;0 ÷.
C. ( 0; 2 ) .
D. ( 4; 2 ) .
3 
Lời giải
Chọn A
Ta có: A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( x;0 ) , B ( 0; y )
1+ 0

1

 x = 2
x =

⇔
2 .Vậy B ( 0;3) .
A là trung điểm KB ⇒ 
−
3
+
y
0 =
 y = 3

2
Câu 46: Cho tam giác ABC với A ( 3;1) , B ( 4; 2 ) , C ( 4; −3) . Tìm D để ABCD là hình bình hành?
A. D ( −3; 4 ) .

B. D ( −3; −4 ) .

C. D ( 3; −4 ) .

D. D ( 3; 4 ) .

Lời giải
Chọn B
uuu
r uuur
 4 − 3 = 4 − xD
 x = −3
⇔ D
⇒ D ( −3; −4 ) .
Ta có: ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ 
2 − 1 = −3 − yD

 yD = −4
Câu 47: Cho M ( 2;0 ) , N ( 2; 2 ) , P ( −1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA, AB của ∆ABC . Tọa

độ B là:
A. ( 1;1) .

B. ( −1; −1) .

C. ( −1;1) .
Lời giải

Chọn C

10

D. ( 1; −1) .


 xB + xN = xP + xM
 xB + 2 = 2 + (−1)
 xB = −1
⇔
⇔
Ta có: BPNM là hình bình hành nên 
.
 yB + 2 = 0 + 3
 yB = 1
 yB + y N = y P + yM
Câu 48: Các điểm M ( 2;3) , N ( 0; −4 ) , P ( −1;6 ) lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của tam

giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác là:
A. ( 1; −10 ) .
B. ( 1;5 ) .

C. ( −3; −1) .
Lời giải

D. ( −2; −7 ) .

Chọn C

 x A + xM = xP + xN
 x A + 2 = 0 + (−1)
 x A = −3
⇔
⇔
Ta có: APMN là hình bình hành nên 
.
 y A + 3 = (−4) + 6
 y A = −1
 y A + y M = yP + y N
Câu 49: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M ( 1; −1) , N ( 5; −3) và P thuộc trục Oy

,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là
A. ( 0; 4 ) .
B. ( 2;0 ) .
C. ( 2; 4 ) .
Lời giải
Chọn A
Ta có: P thuộc trục Oy ⇒ P ( 0; y ) , G nằm trên trục Ox ⇒ G ( x;0 )

D. ( 0; 2 ) .

1+ 5 + 0

 x =
x = 2
3
⇔
G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: 
y = 4
0 = ( −1) + (−3) + y

3
Vậy P ( 0; 4 ) .
uuuu
r uuur
uuu
r
Câu 50: Cho các điểm A ( −2;1) , B ( 4;0 ) , C ( 2;3) . Tìm điểm M biết rằng CM + 3 AC = 2 AB
A. M ( 2; −5 ) .
B. M ( 5; −2 ) .
C. M ( −5; 2 ) .
D. M ( 2;5 ) .
Lời giải
Chọn A
uuuu
r uuur
uuu
r


 xM = 2
 xM − 2 + 3 ( 2 + 2 ) = 2 ( 4 + 2 )
⇔
⇒ M ( 2; −5 )
Ta có: CM + 3 AC = 2 AB ⇔ 
y
=
−
5
y
−
3
+
3
3
−
1
=
2
0
−
1
(
)
(
)
 M

 M

11