PHUONG TRINH LUONG GIAC LUYEN THI DAI HOC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. CHUYÊN ðỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I. Caïc cung liãn quan: 1. Cung đối nhau: 2. Cung phụ nhau sin(–α) = – sinα cos(–α) = cosα tan(–α) = – tanα cot(–α) = – cotα. π. sin  − α  = cosα 2.   π cos  − α  = sinα 2  π tan  − α  = cotα 2  π cot  − α  = tanα 2 . 3. Cung buì nhau sin( π − α ) = sinα cos( π − α ) = – cosα tan( π − α ) = – tanα cot( π − α ) = – cotα. II. Các hằng đẳng thức lượng giác: 1. Các hằng đẳíng thức sin2 α + cos2 α = 1 tan α .cot α = 1 1 = 1 + tan 2 α 2 cos α 1 2 = + 1 cot α 2 sin α. 2. Các tính chất. sin( x + k 2π ) = sin x cos( x + k 2π ) = cos x tan( x + kπ ) = tan x cot( x + kπ ) = cot x. (k ∈ Z). III. Các công thức lượng giác: 1. Công thức cộng: cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a tan a ± tan b tan(a ± b) = 1 ∓ tan a. tan b 2. Công thức nhân đôi: 2 cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos a − 1 = 1 − 2 sin 2 a K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 40- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. sin 2a = 2 sin a cos a tan 2a =. 2 tan a 1 − tan 2 a. 3. Công thức nhân ba cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a sin 3a = 3 sin a − 4 sin 3 a. 4. Công thức hạ bậc: 1 + cos 2a 2 1 − cos 2a sin 2 a = 2 cos 2 a =. 5. Công thức biến đổi tổng thành tích cos a + cos b = 2 cos. a+b a−b cos 2 2. cos a − cos b = −2 sin. a+b a−b sin 2 2. a+b a−b cos 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2. sin a + sin b = 2 sin. 6. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 [cos( a − b) + cos(a + b)] 2 1 sin a sin b = [cos( a − b) − cos( a + b)] 2 1 sin a cos b = [sin( a − b) + sin( a + b)] 2 cos a cos b =. 7. Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác: 1 3 3 sin x + cos x = (sin x + cos x )( 1 − sin x cos x ) = (sin x + cos x )( 1 − sin 2 x) • 2 1 3 3 • sin x − cos x = (sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = (sin x − cos x)(1 + sin 2x) 2 1 2 4 4 2 2 2 2 2 • sin x + cos x = (sin x + cos x) − 2sin x cos x = 1 − sin 2x 2 6 6 2 2 4 4 2 2 • sin x + cos x = (sin x + cos x)(sin x + cos x − sin x cos x) K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 41- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. 3 = 1 − sin 2 2x 4. 8. Bảng giá trị lượng giác các cung có số ño từ 0 ñến π : 0 0(rad) 0. sin. 0. cos. 1. tan. 0. cot. ||. 300. 450. 600. 900. 6 1 2. 4 2 2 2 2. 3 3 2 1 2. 2. 1. 3. 1. 1 3. π. 3 2 1 3. 3. π. π. π. 1200. 0. 2π 3 3 2 1 2. ||. 3. 0. 1 3. 1. 1350 3π 4 2 2 2 2. 1500 5π 6 1 2. 1800 π. 0. 1. 3 2 1 3. 0. 1. 3. ||. 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi. Những bài phương trình lượng giác thường gây không ít khó khăn ñối với nhiều em học học sinh. Có lẽ lí do mà các em thường cảm thấy khó khăn khi giải các phương trình lượng giác là có quá nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào ñể biến ñổi và ñưa phương trình ñã cho về dạng thường gặp. Sau ñây là một vài kinh nghiệm nho nhỏ giúp các em học sinh tự tin hơn khi giải một phương trình LG, hướng tới kì thi tuyển sinh ðại học sắp ñến. ðể giải ñược một phương trình lượng giác các em cần: 1) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. 2) Nhận dạng và giải ñược các phương trình lượng giác thường gặp: +Phương trình bậc nhất theo sin và cos. + Phương trình bậc hai theo một hàm số LG. + Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos + Phương trình ñối xứng. 3) Thuộc các công thức lượng giác. 4) Khi tiến hành giải một phương trình lượng giác các em nên: K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 42- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. + Tìm cách ñưa về các phương trình LG thường gặp. + Nếu các cung khác nhau thì tìm cách ñưa về cùng một cung.. π  π  ± x k   hoặc  x ± k  thì tìm cách làm mất phần + Nếu cung có dạng 2 4   π π    ± k  và  ± k  này. 2 4   + Dùng các công thức hạ bậc và hằng ñẳng thức sin2a + cos2a = 1 khi trong ñề có lũy thừa chẵn hoặc có biểu thức ñối xứng của sin2nx và cos2nx . + Dùng các công thức biến ñổi ñưa phương trình về dạng tích.. Sau ñây là các ví dụ minh họa:. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 43- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĂN BẢN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Caïc phæång trçnh LG cå baín:  x = a + k 2π sin x = sin a ⇔   x = π − a + k 2π.  x = a + k 2π cos x = cos a ⇔   x = − a + k 2π. tan x = tan a ⇔ x = a = kπ cot x = cot a ⇔ x = a + kπ. 2. Các phương trình đặc biệt: π sin x = 1 ⇔ x = + k 2π 2. cos x = 1 ⇔ x = k 2π cos x = 0 ⇔ x =. sin x = 0 ⇔ x = kπ sin x = −1 ⇔ x = −. π 2. π 2. + kπ. + k 2π. cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π Chú ý: Nếu m không phải là giá trị lượng giác của cung ñặc biệt thì ta có thể sử dụng công thức sau ñể biểu biễn nghiệm của phương trình lượng giác.  x = arcsin m + k2π sin x = m ⇔  (−1 < m < 1)  x = π − arcsin m + k2π  x = arccos m + k2π cos x = m ⇔  (−1 < m < 1) x = arccos m + k2 π  tgx = m ⇔ x = arctan m + kπ cot gx = m ⇔ x = arccot m + kπ B. BAÌI TẬP MINH HỌA: Loại 1: Phương trình có số mũ lớn. 1 + cos 2a 1 − cos 2a và sin a = • Dùng công thức hạ bậc: cos a = 2 2 2. 2. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 44- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Dùng hằng ñẳng thức: sin2x + cos2x = 1. •. Ví dụ 1: Giaûi phöông trình:. 1 sin 8 x + cos8 x + cos 4 x = 0 8 Giải :. Ta coù: 2.  1  1 sin8 x + cos8 x = (sin4 x + cos4 x)2 − 2sin4 x.cos4 x = 1− sin2 2x  − sin4 2x  2  8 1 = 1− sin2 2x + sin4 2x 8 Do đó: 1 1 (1) ⇔ 1 − sin2 2x + sin 4 2x + cos4x = 0 ⇔ 8 − 8sin2 2x + sin4 2x + (1 − 2sin2 2x) = 0 8 8 sin 2 2x = 1 π 4 2 ⇔ sin 2x −10sin 2x + 9 = 0 ⇔  2 ⇔ sin 2x = ±1 ⇔ 2x = + kπ 2 sin 2x = 9 (loại). ⇔x=. π 4. +k. π 2. (k ∈ ℤ). Ví dụ 2: Giaûi phöông trình:. sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x = 2. Giải 1 − cos 2 x 1 − cos 4 x 1 − cos 6 x sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3x = 2 ⇔ + + =2 2 2 2 ⇔ 1 + cos 4 x + cos 6 x + cos 2 x = 0 ⇔ 2 cos2 2 x + 2 cos 4 x.cos 2 x = 0 ⇔ 2 cos 2 x(cos 4 x + cos 2 x) = 0 ⇔ 4 cos 2 x.cos 3x.cos x = 0. π  x = + kπ  2 cos x = 0  π ⇔ cos 2 x = 0 ⇔  2 x = + kπ  2 cos 3x = 0   3 x = π + kπ  2. π  x = + kπ  2   x = π + kπ ( k ∈ Z )  4 2 ⇔   x = π + kπ  6 3. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 45- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. Loại 2: Phân tích ñề, tìm mối quan hệ giữa các biểu thức, dùng các công thức biến ñổi nhóm thành tích:. Ví dụ 1: Giaûi phöông trình: sinx + sin2x + sin3x = 0 Giải Ta coù phöông trình ⇔ 2sin 2 x cos x + sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x(2 cos x + 1) = 0. kπ  x =  2 x = kπ sin 2 x = 0  2   ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) π 2 1 x = ± cos x = − + k 2π  x = ± 2π + k 2π 3  2   3. Ví dụ 2: ðề thi tuyển sinh ñại học khối D – năm 2004 Giải phương trình: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx Giải: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx – sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = (2cosx – 1)sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – (2cosx – 1)sinx = 0 ⇔ (2cosx – 1)[(2sinx + cosx) – sinx] = 0 ⇔ (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0 1. ⇔ cosx = 2 ∨ cosx = – sinx π. ⇔ cosx = cos 3 ∨ cotx = –1 π. π. ⇔ x = ± 3 + k2π ∨ cotx = cot( – 4 ) π. π. ⇔ x = ± 3 + k2π ∨ x = – 4 + kπ (k ∈ Z). K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 46- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. C. BAÌI TẬP TỰ LUYỆN: Baìi 1: Giaíi phæång trçnh: 1 1) 3 sin x + cos x = cos x 2 (cos x − sin x) cot x − 1 sin x − 2 cos x − 2 = 3) 1 − 2 cos x 1 − 2 sin x 1. 2) tan x + cot 2 x =. 4) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =. 3 2. 4 2 5) cos x − sin x = cos 2 x π  6) 2cos  x −  = t anx(cot x − sin 2x) 4  7) 1 + sin x + cos x + tan x = 0 1 8) 2 tan x + cot 2x = 2sin 2x + sin 2x 9) sin x = cos 2x + cos 3x 2. 2. 2. 10) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2. 2. 2. 2. 3 2. Bài 2. Giải các phương trình: a) sin 3 x − cos 4 x = sin 5 x − cos 6 x b)cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 trên ñoạn [0; 14]. x π x c) sin ( − ) tan x − cos = 0 2 4 2 d) (2cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − sin x e) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. (KHỐI A – 2002) (KHỐI D – 2002). (KHỐI D – 2003) (KHỐI D– 2004) (KHỐI B – 2005). Bài 3. Giải phương trình: x a) cot x + sin x(1 + tan x.tan ) = 4 2 b) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 c) (1+ sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1+ sin2x. (KHỐI B – 2006) (KHỐI D – 2006) (KHỐI B – 2007). K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 47- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 2. d) 2sin 2x + sin7x = sinx. (KHỐI D – 2007). Bài 4. Giải phương trình: 1 1 7π + = 4sin( − x) a) sin x sin( x − 2π ) 4 3 b) sin x − 3 cos x = sin x cos x − 3sin x cos x c) 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = 1 + cos2x d) sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0 e) sin2x + 2cosx – sinx – 1 = 0 f) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx 3. 3. 2. (KHỐI A – 2008). 2. (KHỐI B – 2008) (KHỐI D – 2008) (KHỐI D – 2010) (KHỐI D – 2011) (KHỐI B – 2011). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: asin 2 x + bsinx + c = 0 Daûng: acos 2 x + bcosx + c = 0 atg 2 x + btgx + c = 0. Đặt t = sinx (– 1≤ t ≤ 1) Đặt t = cosx (– 1≤ t ≤ 1) Đặt t = tgx. acot 2 x + bcotx + c = 0 Đặt t = cotx Khi đó phương trình trở thành: at2 + bt +c = 0. B. BAÌI TẬP MINH HỌA: Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2sin22x – (2 + 3 )sin2x + 3 = 0 Nhận xét: ðây là phương trình bậc hai theo hàm số sin2x Giải : ðặt t = sin2x, | t | ≤ 1. Ta có phương trình : 2. 2t – (2 +. 3 )t +. 3 =0⇔t=1∨t=. 3 2. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 48- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. π. π. + Với t = 1, ta có: sin2x = 1 ⇔ 2x = 2 + k2π ⇔ x = 4 + kπ π .  x = 6 + kπ π ⇔ 3 3 (k ∈ Z ) + Với t = 2 , ta có sin2x = 2 ⇔ sin2x = sin 3 π  x = + kπ  3. Ví dụ 2: Giải phương trình: 4cosx + cos2x. –. 5=0. Nhận xét: Phương trình này chưa có dạng phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác. Tuy nhiên, nếu thay cos2x bởi 2cos2x – 1 thì phương trình ñã cho trở thành phương trình bậc hai theo hàm số cosx. Giải: Ta có: 4cosx + cos2x – 5 = 0 ⇔ 4cosx + (2cos2x – 1) – 5 = 0 ⇔ 2cos2 x + 4cosx – 6 = 0 ðặt t = cosx, | t | ≤ 1. Ta có phương trình : 2t2 + 4t – 6 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = –3(loại) Với t = 1, ta có : cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z). Ví dụ 3 : ðề thi tuyển sinh ñại học khối A – năm 2005 : Giải phương trình : cos 3x cos 2x − cos x = 0 2. 2. Nhận xét: Trong phương trình có chứa cos23x và cos2x. Ta hạ bậc hai biểu thức này sau ñó dùng công thức biến ñổi tích thành tổng. Giải cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0 ⇔. (1 − cos 6 x)cos 2 x 1 − cos 2 x − =0 2 2. 1 ⇔ cos 6 x cos 2 x − 1 = 0 ⇔ (cos8 x + cos 4 x) − 1 2. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 49- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. ⇔ cos8 x + cos 4 x − 2 = 0 ⇔ 2cos 2 4 x + cos 4 x − 3 = 0 cos 4 x = 1 kπ ⇔ ⇔ 4 x = k 2 ⇔ x = (k ∈ Z ) π 3 cos 4 x = − (VN ) 2  2. C. BAÌI TẬP TỰ LUYỆN: Baìi 1: Giaíi các phæång trçnh: 2 1) 3 − 4 cos x = sin x(2 sin x + 1) 2) cos2x – 7sinx + 8 = 0 3) sin 3x + cos 2 x = 1 + 2 sin x cos 2 x 4) cos3x + 1 = sin2x 1 6) sin x + cos x + sin3xcosx = 2 sin4x 4. 4. Bài 2. Giải các phương trình:. π π 3  a) cos x + sin x + cos( x − )sin  3 x −  − = 0 (KHỐI D – 2005) 4 4 2  2(cos x + sin x) − sin x cos x b) =0 (KHỐI A – 2006) 2 − 2sin x π  (1 + sin x + cos 2x)sin  x +  1 4  c) = cos x (KHỐI A – 2010) 1 + tan x 2 d) (sin 2 x + cos 2 x) cos x + 2cos 2 x − sin x = 0 (KHỐI B – 2010) 4. 4. 6. 6. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 50- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Daûng:. Asinx + Bcosx + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0) Phương pháp giải: Chia hai vế cho A 2 + B 2 . Đưa phương trình về daûng: A A2 + B 2. Đặt: cos α =. sin x +. B A +B 2. A A2 + B 2. 2. cos x = −. ⇒ sin α =. C. (1). A2 + B 2. B A2 + B 2. Khi đó (1) trở thành: sin x cos α + sin α cos x = −. C A2 + B 2. ⇔ sin( x + α ) = −. C A2 + B 2. (2). Phương trình (2) đã biết cách giải.. ** Chuï yï: 1 3 2 laì : , , thì cosα lần lượt là A2 + B 2 2 2 2 A π π π cos , cos và cos học sinh không được đặt = cosα . 3 6 4 A +B 2 2 2 + Điều kiện(3) có nghiệm là : A + B ≥ C + Nếu giá trị của. A. 2. 2. Ví dụ 1 : Giải phương trình : sin 2x + 3 cos 2x = − 2 (1) Giải: Ta có: (1) ⇔. 1 3 2 π π 2 sin 2x + cos 2x = − ⇔ sin 2x.cos + cos 2x sin = − 2 2 2 3 3 2. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 51- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. π π  2 x + = − + k 2π  π π π 2 3 4 ⇔ sin( 2 x + ) = − ⇔ sin( 2 x + ) = sin( − ) ⇔  3 2 3 4 2 x + π = π + π + k 2π  3 4 7π  x = − + kπ  24 ⇔ (k ∈ Z ) π 11 x = + kπ  24. 3 sin 2 x − cos 2 x = −2 cos x (1). Ví dụ 2 : Giải phương trình :. Giải: Phương trình (1) 3 1 π π sin 2 x − cos 2 x = − cos x ⇔ sin 2 x . cos − cos 2 x sin = − cos x ⇔ 2 2 6 6. π. π. π. π. π. ⇔ sin(x − ) = − cos x ⇔ sin(x − ) = − sin(x + ) ⇔ sin(x − ) = sin(− x − ) 6 6 2 6 2 π  π x x − = − − + k 2π  π 6 2 ⇔ ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z ) 3  x − π = π + x + π + k 2π 6 2 . C. BAÌI TẬP TỰ LUYỆN: Baìi 1: Giaíi phæång trçnh: 1) tgx − sin 2 x − cos 2 x + 2(2 cos x −. 1 )=0 cos x. cos x − 2 sin x cos x 2) 2 cos 2 x + sin x − 1 = 3 1 − cos 2 x 1 + cot g 2 x = 3) sin 2 2 x 3 sin x − 4 sin 3 x + 2 cos 4 x cos x − cos 5 x 1 = 4) 1 + cos 2 x 2 cos x. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 52- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. x x  5) s inx(1 + 2 3 cos x) + 1 = 2  sin 2 x + sin cos  2 2  1 =4 6) 3 ( tan x + cot 2 x ) + cos 2 x 7)8 ( cos 6 x − sin 6 x ) − 6cos 2 x = 2cos 2 2 x sin 2 x 8) 2sin 3 x cos x + cos 4 x = 1 + 2sin 2 x. Bài 2. Giải phương trình: cos 2 x 1 a) cot x − 1 = + sin x − sin 2 x 1 + tan x 2 (1 − 2sin x) cos x b) = 3 (1 + 2sin x)(1 − sin x) c) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2(cos 4 x + sin d) 3 cos5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 1 + sin 2 x + cos2 x e) = 2 sin x sin 2 x 1 + cot 2 x 2. (KHỐI A – 2003) (KHỐI A – 2009) 3. x) (KHỐI B – 2009) (KHỐI D – 2009) (KHỐI A – 2011). K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 53- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP THEO SIN VÀ COS A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Phương trình ñẳng cấp bậc hai: Asin 2 x + Bsinxcosx + Ccos 2 x = D ( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ). Phæång phaïp giaíi:. (1). π. + Kiểm tra xem x = 2 + kπ có thoả pt (1) hay không, nếu thoả mãn thì nhận nghiệm này. π. + Xĩt x ≠ 2 + kπ. Chia hai vế (1) cho cos2x ta được ptrình tương âæång: Atg 2 x + Btgx + C = 0. Phương trình này đã biết cách giải. 2. Phương trình ñẳng cấp bậc ba: A.sin3x + Bsin2x.cosx + C.sinx.cos2x + D cos3x + E sinx + Fcosx = 0. Cách giải phương trình này tương tự như cách giải phương trình ñẳng cấp bậc hai. B. BAÌI TẬP MINH HỌA: Ví dụ 1 : Giải phương trình : 3 sin 2 x − (1 − 3 ) sin x cos x − cos 2 x = 0 (1) Giải π. Ta có x = 2 + kπ không thoả phương trình (1). Chia hai vế phương trình (1) cho cos2x ta ñược phương trình tương ñương:. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 54- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. π   tan x = −1 tan x = tan( − )  4 2 3 tan x − (1 − 3 ) tan x − 1 = 0 ⇔  ⇔  tan x = 1 π  tan x = tan 3   6 π  x = − + kπ  4 ⇔ (k ∈ Z ) π  x = + kπ 6 . Ví dụ 2 : Giải phương trình : 3 sin 2 x − sin 2 x − (2 − 3 ) cos 2 x = 3 (1). (1) ⇔ 3 sin x − sin 2x − (2 − 3)cos x = 3(sin x + cos x) ⇔ − sin 2 x − 2 cos 2 x = 0 ⇔ −2 sin x cos x − 2 cos 2 x = 0 ⇔ – 2cosx(sinx + cosx) = 0 ⇔ cosx = 0 ∨ sinx + cosx = 0 ⇔ cosx = 0 ∨ tanx = – 1 2. 2. π. 2. 2. π. ⇔ x = 2 + kπ ∨ x = – 4 + kπ (k ∈ Z).. Ví dụ 3 : Giải phương trình : cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0 (1) Giải. π. Ta có: x = 2 + kπ không thoả phương trình (1). Chia hai vế phương trình (1) cho cos3x ta ñược phương trình tương ñương: 1 1 – 4tan x – 3tan x + tanx. cos 2 x = 0 3. 2. ⇔ 1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx( 1 + tan2x) = 0 ⇔ 3tan3x + 3tan2x – tanx – 1 = 0 K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 55- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 2. ⇔ (tanx + 1)(3tan –1) = 0 ⇔ tanx = –1 ∨ tanx = ± 1/ 3 π. π. π. ⇔ tanx = tan(– 4 ) ∨ tanx = tan(– 6 ) ∨ tanx = tan 3 π. π. π. ⇔ x = – 4 + kπ ∨ x = – 6 + kπ ∨ x = 3 + kπ (k ∈ Z) C. BAÌI TẬP TỰ LUYỆN: Baìi 1. Giaíi caïc phæång trçnh: 2 2 1) 3 sin 3x + (1 − 3 ) sin 3x cos 3x − cos 3x = 0 2 2) 3 sin 3x + sin 3x cos 3x − 3 = 0 3) cos3x – 4 sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0 sin 3 x + 2cos3 x 4) = cos x 2 cos x + sin 2x. Bài 2. Giải các phương trình 1) 3cos4x – sin22x + sin3x(2sin3xcos2x – sin5x) = 0 2 3 2) cos 3 x − 3 sin x cos x + 3 cos x − 3 cos x + sin x = 0 3 2 3) cos x + sin x − 3 sin x cos x = 0. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 56- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 2 2 Daûng 1: A(sinx + cos x ) + Bsinxcosx + C = 0 ( A + B ≠ 0 ) (5). Phæång phaïp giaíi: Đặt: t = sinx + cosx =. 2 cos(x. π ) | t |≤ 2 4. (. ). t2 −1 ⇒ sinxcosx = 2 Thế vào pt (5) và đưa về dạng: at2 + bt + c = 0.. 2 2 Daûng 2: A(sinx − cos x) + Bsinxcosx + C = 0 ( A + B ≠ 0 ) Phæång phaïp giaíi: π Đặt: t = sinx – cosx = 2 sin(x – 4 ) | t |≤ 2. (. (6). ). 1− t2 ⇒ sin x cos x = 2 Thế vào pt (6) và đưa về dạng: at2 + bt + c = 0.. Ví dụ 1 : Giải phương trình : (sinx + cosx) – sin2x – 1 = 0 (1) Giải Pt (1) ⇔ sinx + cosx + 2sinxcosx – 1 = 0 Đặt:. t = sinx + cosx =. 2 cos(x –. π. 4. ). (| t |≤ 2 ). 1− t2 ⇒ sin x cos x = 2 Ta có phương trình: t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = – 2(loại) Với t = 1 ta có : K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 57- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. π π 2 2 cos(x – ) = 1 ⇔ cos(x – ) = 4 4 2 π π ⇔ cos(x – ) = cos 4 4 π π π π ⇔ x – = + k2π ∨ x – = – + k2π 4 4 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = k2π (k ∈ Z). 2 Ví dụ 2 : Giải phương trình :2(sinx – cosx) – 5sinxcosx + 2 = 0 (1) Giải. π t = sinx – cosx = 2 cos(x + 4 ) | t |≤ 2 1− t2 ⇒ sin x cos x = 2 Ta có phương trình: 9 1− t2 2t + 5. + 2 = 0 ⇔ 5t2 – 4t – 9 = 0 ⇔ t = –1 ∨ t = 5 (loại) 2 Với t = – 1 ta có : 2 π π 2 cos(x + ) = – 1 ⇔ cos(x + ) = – 2 4 4 π 3π ⇔ cos(x – ) = cos 4 4 π 3π π 3π ⇔ x – = 4 + k2π ∨ x – = – + k2π 4 4 4 π ⇔ x = π + k2π ∨ x = – + k2π (k ∈ Z) 2. Đặt:. (. ). Ví dụ 3: Giải phương trình: sinx + cos3x + sin2x = 1 + 2cos2xcosx Giải (1) ⇔ sinx + cos3x + sin2x = 1 + cosx + cos3x K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 58- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC. ⇔ sinx – cosx + 2sinxcosx – 1 = 0 Đặt: t = sinx – cosx =. 2 sin(x –. π ) 4. (| t |≤ 2 ). 1− t2 ⇒ sin x cos x = 2 Ta ñược phương trình: t + (1 – t2) – 1 = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 1 π π + Với t = 0, ta có : sin(x – ) = 0 ⇔ x = + kπ 4 4 + Với t = 1, ta có: π  x = + k 2π π 1 sin( x − ) = ⇔ 2  4 2  x = π + k 2π π  x = + k2π  2  Vậy phương trình có nghiệm là:  x = π + k2π (k ∈ ℤ)  π  x = + kπ 4  Ví dụ 4: Giải phương trình: 4cos3x + 1 = 3cosx – sin3x(1 – 2cos3x) (1) Giải: (1) ⇔ cos3x + 3cosx + 1 = 3cosx – sin3x + 2sin3xcos3x ⇔ sin3x + cos3x – 2sin3xcos3x + 1 = 0 Đặt: t = sin3x + cos3x =. π. 2 sin(3x + 4 ) t2 −1 ⇒ sin3xcos3x = 2 Ta ñược phương trình: t – (t2 – 1) + 1 = 0 ⇔ t2 – t – 2 = 0 ⇔ t = –1 ∨ t = 2 (loại) + Với t = – 1, ta có :. (| t |≤ 2 ). K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 59- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC.  x = k2π π 1 sin(x − ) = − ⇔ 3π x = 4 + k2π 2 2   x = k2π Vậy phương trình có nghiệm là:  k ∈ ℤ) ( 3π x = + k2π 2  B. BAÌI TẬP TỰ LUYỆN: Baìi 1. Giaíi caïc phæång trçnh:. π. 4 cos 2 (2 x − ) 1 1 4 1) sin 2 x + cos 2 x = sin 4 x. cos 2 x (1 − 3 sin 2 x ) 1 − sin 2 x 3) (1 + cos x)(1 + sin x ) = 2 1 + sin x + cos x sin x + cos x + 2 + =0 4) sin x cos x Bài 2: Giải các phương trình: 2) sin x + cos x =. 1) 2sin 3 x − s inx = 2cos3 x − cos x + cos2 x 2) tan 2 x(1 − sin 3 x) + cos3 x − 1 = 0. π 1  3) sin 4 x + cos4  x +  = (1 + sin 4 x) 4 4  4) 4cos 2 x(sin 2 x + sin 4 x + 1) = 1 + 2cos2 x + cos4 x. 5) 4 ( sin 3 x sin 3 x + cos3 x cos3 x ) = 3sin 2 x + cos6 x + 3 2. K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 60- Ths. Nguyễn Văn Bảy.

<span class='text_page_counter'>(22)</span>