Phát hiện về sai lầm và chướng ngại của học sinh THPT trong dạy học đại số và giải tích luận văn thạc sỹ giáo dục học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Lª NhËt Quang

Phát hiện về sai lầm và chớng ngại của học sinh trung
học phổ thông trong dạy học đại số và gi¶I tÝch

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN - 2011


2

Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cán bộ hớng dẫn TS Nguyễn
Văn Thuận đà tận tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáo
trong Ban Giám hiệu, khoa sau đại học, khoa Toán, bộ môn phơng pháp giảng
dạy Toán của trờng Đại học Vinh đà tạo mọi điều kiện giúp đỡ trong suốt thời
gian học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các thầy, cô giáo bộ môn Toán của trờng
THPT Hồng Lĩnh Thị xà Hồng Lĩnh- Hà Tĩnh đà tạo mọi điều kiện giúp đỡ
tôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm s phạm của Luận văn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đÃ
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận
văn này.

Vì điều kiện thời gian có hạn cũng nh năng lực bản thân còn nhiều hạn
chế nên luận văn khó tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác giả rất mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô giáo cùng bạn bè đồng nghiệp.
Vinh tháng 12 năm 2011
Tác giả luận văn: Lê Nhật Quang

Mục lục


3

Trang
1
Mở đầu ..
8
Chơng 1. Những sai lầm và chớng ngại của học sinh trung học phổ
thông khi giải toán Đại số và giải tích.
1.1 Cơ sở lí luận
1.2. Những chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

8
13

Đại số và giải tích...
1.2.1. Khái niệm chớng ngại
1.2.2. Chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại

14
20

số và Giải tích.

1.2.2.1. Chớng ngại liên quan đến c¸c kh¸i niƯm To¸n häc; c¸c
quan hƯ cđa c¸c kh¸i niệm giữa các chơng mục khác nhau
1.2.2.2. Chớng ngại do hiểu không tờng minh kiến thức Toán
học
1.2.2.3. Chớng ngại do thiếu khả năng khai thác các ứng dụng
khác nhau của kiến thức toán..
1.3 Một số kiểu sai lầm và các nguyên nhân sai lầm của học sinh Trung
học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích .
1.3.1. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.
1.3.2. Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng
1.3.3. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.
1.3.4. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan.
1.3.5. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm ..
1.3.6. Sai lầm liên quan đến nắm điều kiện và phạm vi áp dụng

20
23
25
3
5
35
42
48
49
51
52

định lí..
1.3.7. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tơng øng…..………….

56


4

1.3.8. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức.
1.3.9. Sai lầm liên do suy diễn những mệnh đề không đúng..........
1.3.10. Sai lầm liên quan đến suy luận lôgic...................................
1.3.11. Sai lầm liên quan đến suy luận quy nạp...
1.3.12. Sai lầm liên quan đến luận đề
1.3.13. Sai lầm liên quan đến trực giác trong giải bài tập về Đại
số tổ hợp và xác suất
1.3.14 Sai lầm liên quan đến không hiểu bản chất của đối tợng....
Kết luận chơng 1...

58
60
62
64
65
66
67
69

Chơng 2. Góp phần khắc phục chớng ngại, phòng tránh và sửa chữa
các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và
Giải tích.

70

2.1. Một số định hớng s phạm của việc đề ra các quan điểm khắc phục chớng ngại , phòng tránh và sửa chữa sai lầm của học sinh.

70

2.2 Đề xuất một số quan điểm chủ đạo trong việc khắc phục chớng ngại,
phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi
giải toán Đại số và Giải tích...

71

2.1.1. Quan điểm 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và
huy động tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong quá trình giải
bài tập toán.

7
1

2.1.2. Quan điểm 2: Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện
kĩ năng toán học, cần quan tâm tập luyện cho học sinh những hoạt động
và hoạt động thành phần - mà khi giải Toán - học sinh thờng gặp những
chớng ngại, khó khăn, vớng mắc hoặc sai lầm trong việc thực hiện các
hoạt động này.................................................................................................

7
5


5

2.1.3. Quan điểm 3: Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời,

tính chính xác trong quá trình khắc phục chớng ngại, phát hiện và sửa
chữa sai lầm cho học sinh..........................................................................
2.1.4. Quan điểm 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới chớng
ngại và sai lầm để học sinh đợc thử thách với những tình huống
đó.
Kết luận chơng 2...
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm .
3.1. Mục đích thực nghiệm .
3.2. Tổ chức và nội dung thùc nghiƯm ………………………………
3.2.1. Tỉ chøc thùc nghiƯm ………………………........................
3.2.2. Néi dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm...
3.3.1. Đánh giá định tính.
3.3.2. Đánh giá định lợng..
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo ................................................................................

90

93
96
97
97
97
97
97
99
99
100

102
103
104


6

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải
hớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực
giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục
tiêu lớn của đất nớc (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm 2005, tr. 1).
Về phơng pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban
Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đà đề ra:
Phải đổi mới phơng pháp đào tạo, khắc phơc lèi trun thơ mét chiỊu, rÌn
lun thµnh nÕp t duy sáng tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng những phơng


7

pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện
và thời gian tự học, tự nghiên cứu .
Điều 24, Luật Giáo dục đà quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh, ;
bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thó häc tËp cho häc sinh”.
1.2. ë trêng phỉ th«ng, theo A. A. Stoliar, dạy Toán là dạy hoạt động
Toán học. Đối với học sinh, có thêm xem giải toán là hình thức chủ yếu của

hoạt động toán học. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán
ở trờng phổ thông. Các bài toán là phơng tiện có hiệu quả không thể thay thế
đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ
năng và kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải toán có vai
trò quyết định đối với chất lợng dạy học Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học Toán ở trờng phổ thông
có lúc, có chỗ còn cha tốt, biểu hiện qua năng lực giải toán của học sinh còn
hạn chế do học sinh còn gặp phải chớng ngại và mắc nhiều sai lầm. T duy
sáng tạo và khả năng lĩnh hội tri thức mới của học sinh còn hạn chế biểu hiện
qua việc học sinh không vợt qua đợc các chớng ngại trong giải toán. Một
trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên cha chú ý một cách đúng
mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong
các giờ học toán, giáo viên cũng cha chú trọng nhiều đến việc phát hiện ra các
nguyên nhân dẫn đến sai lầm và cách khắc phục các chớng ngại của học sinh.
1.3. ĐÃ có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đợc nêu ra xoay quanh vấn đề
sai lầm trong cuộc sống cũng nh trong nghiên cứu khoa học. Khổng Tử đà nói:
Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trớc đó của mình.
Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: Nếu tôi mắc sai lầm


8

thì chỉ một lần cũng là đủ rồi. Nhiều nhà khoa học đà nhấn mạnh tới vai trò
của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy toán, chẳng
hạn, G.Polia đà phát biểu: Con ngời phải biết học ở những sai lầm và những
thiếu sót của mình [40, tr. 204], còn A. A. Stôliar thì nhấn mạnh rằng: Không
đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh.Viện sĩ A.
N. Kôlmôgôrôv viết: Năng lực bình thờng của học sinh trung học đủ để các em
nắm đợc Toán học trong nhà trêng phỉ th«ng nÕu cã sù híng dÉn tèt cđa thầy

giáo . Nh vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải toán
là cần và có thể khắc phục đợc.
1.4. Một trong những biểu hiện năng lực giải toán của học sinh là khả
năng chuyển đổi bài toán. Hoạt động chuyển đổi bài toán có vai trò then chốt
cho lời giải bài toán đó. Chúng ta hiểu hoạt động chuyển đổi bài toán hay nói
rộng hơn là hoạt động biến đổi đối tợng là quá trình chủ thể dùng hành động trí
tuệ, các thao tác t duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đà có để xâm nhập vào
đối tợng nghiên cứu thông qua biến đổi cấu trúc của đối tợng, bao gồm các mối
liên hệ, quan hệ trong đối tợng và kể cả hình thức của đối tợng. Trong quá trình
dạy học toán do sự phát triển tâm lý của học sinh hoặc do sự phát triển lịch sử
của khái niệm học sinh có thể gặp những chớng ngại không tránh đợc. Tuy
nhiên cũng có những chớng ngại nảy sinh do những biện pháp sai lầm về mặt s
phạm. Khắc phục những chớng ngại của học sinh là một nhiệm vụ quan trong
của giáo viên trong quá trình dạy học, khi vợt qua đợc chớng ngại tức là học
sinh đà lĩnh hội thêm đợc tri thức mới.
1.5. Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm và chớng ngại của
học sinh trong giải toán còn tơng đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới
Luận án Tiến sĩ của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm
của học sinh khi giải toán" (1996). Các nhóm tác giả Trần Phơng - Lê Hồng
Đức trong Sai lầm thờng gặp và các sáng tạo khi giải toán (2004); Lê Đình


9

Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề
thi môn toán (1992); Trần Hữu

Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong HÃy cẩn

thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) Tất cả các công trình nêu trên đều sắp xếp
sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ:
số lợng chủ đề kiến thức là rất nhiều, khó kể hết, còn nếu gộp lại để thành các
chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể. Luận án Thạc sĩ
của Nguyễn Hữu Hậu, 2006 chỉ đề cập đến các dạng sai lầm mà cha có những
phát hiện về các chớng ngại của học sinh khi giải toán Đại số và Giải tích.
Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của
Luận văn là:
Phát hiện về sai lầm và chớng ngại của học sinh Trung học phổ
thông trong dạy học Đại số và Giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Phân chia các dạng sai lầm phổ biến của học sinh, xác định các nguyên
nhân dẫn đến sai lầm, góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm đó. Làm
sáng tỏ khái niệm chớng ngại và nguồn gốc của nó trong dạy học môn toán. Từ
đó đề xuất các biện pháp khắc phục sai lầm và chớng ngại góp phần rèn luyện
năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu phân chia và làm sáng tỏ đợc các dạng sai lầm và chớng ngại của
học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số & Giải tích, thì có thể đề
xuất đợc các quan điểm để phòng tránh và khắc phục các dạng sai lầm v ch ớng ngại nhằm nâng cao nhận thức cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng
dạy học toán ở trờng phổ thông..
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:


10

4.1. Trong giải toán Đại số và Giải tích, học sinh thờng mắc phải một số
kiểu sai lầm và chớng ngại phổ biến nào?
4.2. Nguyên nhân nào dẫn tới các sai lầm và chớng ngại đó?

4.3. Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm và chớng ngại đà chỉ ra, cần
thực hiện những quan điểm nào?
4.4. Kết quả của Thực nghiệm s phạm là nh thế nào?
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phơng pháp
giảng dạy môn toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa
đề xuất các quan điểm hạn chế, sửa chữa sai lầm và chớng ngại của học sinh.
5.2. §iỊu tra, quan s¸t: §iỊu tra qua thùc tiƠn s phạm, qua các tài liệu để
nắm bắt thêm những kiểu sai lầm và chớng ngại của học sinh Trung học phổ
thông khi giải toán Đại số và Giải tích.
6. Những đóng góp của Luận văn
6.1. Luận văn đà làm sáng tỏ đợc nhiều kiểu sai lầm và chớng ngại của
học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích mà các tài liệu
khác hoặc cha có dịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ. Đặc biệt, khi đề
cập đến các sai lầm và chớng ngại, Luận văn đà chú trọng đến phơng diện hoạt
động toán học.
6.2. Luận văn đà phân tích đợc nguyên nhân dẫn đến những sai lầm và
các chớng ngại đó.
6.3. Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đa ra một bức
tranh toàn cảnh và tơng đối đầy đủ về những kiểu sai lầm và chớng ngại của học
sinh Trung học phổ thông khi giải toán.
6.4. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán
Trung học phổ thông.
7. Cấu trúc của luận văn


11

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phơng pháp nghiên cứu
6. Đóng góp của Luận văn
Nội dung
Chơng 1. Những sai lầm và chớng ngại của học sinh trung học phổ thông
khi giải toán Đại số và Giải tích
1.1.

Cơ sở lí luận

1.2.

Những chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

Đại số và Giải tích
1.2.1. Khái niƯm chíng ng¹i.
1.2.2. Chíng ng¹i cđa häc sinh Trung häc phổ thông khi giải toán Đại
số và Giải tích
1.2.2.1. Chớng ngại liên quan đến các khái niệm toán học; các quan
hệ của các khái niệm giữa các chơng mục khác nhau.
1.2.2.2. Chớng ngại do hiểu không tờng minh kiến thức toán học.
1.2.2.3. Chớng ngại do thiếu khả năng khai thác c¸c øng dơng kh¸c
nhau cđa kiÕn thøc to¸n.
1.3 Mét sè kiểu sai lầm và nguyên nhân sai lầm của học sinh Trung học
phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích
1.3.1.

Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

1.3.2.

Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng

1.3.3.

Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

1.3.4.

Sai lầm liên quan ®Õn c¶m nhËn trùc quan


12

1.3.5.

Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm

1.3.6.

Sai lầm liên quan đến nắm điều kiện và phạm vi áp dụng định

1.3.7.

Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tơng ứng

1.3.8.

Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức

1.3.9.

Sai lầm liên quan đến suy diễn những mệnh đề không đúng

lí

1.3.10. Sai lầm liên quan đến suy luận lôgic
1.3.11. Sai lầm liên quan đến suy luận quy nạp
1.3.12. Sai lầm liên quan đến luận đề
1.3.13. Sai lầm liên quan đến trực giác trong giải bài tập về Đại số tổ
hợp và xác suất
1.3.14. Sai lầm liên quan đến không hiểu bản chất của đối tợng.
Kết luận chơng 1.
Chơng 2. Góp phần khắc phục chớng ngại, phòng tránh và sửa chữa
các sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải
tích
2.1. Một số định hớng s phạm của việc đề ra các quan điểm khắc phục
chớng ngại, phòng tránh và sửa chữa sai lầm của học sinh.
2.2. Đề xuất một số quan điểm chủ đạo trong việc khắc phục chớng ngại,
phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải
toán Đại số và Giải tích
Kết luận Chơng 2
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.3. Nội dung thực nghiệm
3.4. Đánh giá các kÕt qu¶ thùc nghiƯm

13

Kết luận
Tài liệu tham khảo


14

Chơng 1
Những sai lầm và chớng ngại của học sinh trung học
phổ thông khi giải toán Đại số và giải tích
1.1 Cơ sở lí luận
Chúng ta biết rằng Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học là một
luận điểm cơ bản đà đợc mọi ngời thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của
học sinh là hoạt động giải bài tập toán. Trong môn toán ở trờng phổ thông có
nhiều tình huống điển hình, nhng có thể xem giải toán là hoạt động toán học
chủ yếu. Đây là một luận điểm đúng đắn đà đợc mọi ngời thừa nhận.
Theo Nguyễn Bá Kim: Phơng pháp dạy học cần hớng vào tổ chức cho ngời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và
sáng tạo. Định hớng này còn gọi là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động,
hay còn gọi là: hoạt động hóa ngời học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định. Phát
hiện những hoạt động trong một nội dung là vạch đợc một con đờng để ngời học
chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợc những mục tiêu dạy học khác, cũng đồng thời
là cụ thể hóa đợc mục tiêu dạy học nội dung đó và chỉ ra một cách kiểm tra xem
mục tiêu dạy học có đạt đợc hay không và đạt đến mức độ nào. Cho nên điều căn
bản của phơng pháp dạy học là khai thác những hoạt động tiềm tàng trong mỗi
nội dung để đạt đợc mục tiêu dạy học. Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ
giữa mục tiêu, nội dung và phơng pháp dạy học. Nó hoàn toàn phù hợp với luận
điểm cơ bản của Gi¸o dơc häc cho r»ng con ngêi ph¸t triĨn trong hoạt động và

học tập diễn ra trong hoạt động.
Trong Từ điển thì chớng ngại và khó khăn là hai từ đồng nghĩa. Khi một
vấn đề mới đợc đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tỉ chøc l¹i


15

mét lÝ thut hay sù ®iỊu chØnh quan niƯm vỊ một số khái niệm toán học có liên
quan.
Ta nói rằng có một khó khăn, nếu vấn đề đợc giải quyết mà không đòi
hỏi xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang xét hay của những quan niệm hiện
hành.
Ta nói có một chớng ngại nếu vấn đề chỉ đợc giải quyết sau khi ta cấu trúc
lại những quan niệm hay thay đổi lại quan niệm lí thuyết.
Có ba kiểu chớng ng¹i tïy theo ngn gèc. Mét sè chíng ng¹i cã thể tránh
đợc, một số khác thì không:
- Chớng ngại về mặt phát triển cá thể liên hệ với phát triển tâm lí của đối tợng;
- Chớng ngại s phạm liên hƯ víi sù chun hãa s ph¹m cđa tri thøc. Đó là
chớng ngại có thể tránh đợc bằng cách hành động trên những tình huống dạy
học;
- Chớng ngại khoa học luận liên hệ với sự phát triển lịch sử của khái niệm.
ở cấp độ ngời học, một chớng ngại loại nµy “lµ thµnh tè” cđa kiÕn thøc hiĨu theo
nghÜa ngêi nào đà gặp nó và đà vợt qua thì có một kiến thức khác với ngời cha hề
gặp nó [24, tr. 139].
Xác định các chớng ngại, và nguồn gốc của nó trong dạy học môn toán là
việc làm hết sức cần thiết. Vì nhờ đó, giáo viên có thể tìm các biện pháp s phạm
thích hợp. Để xác định chớng ngại, ta có các cách sau đây:
- Nghiên cứu lịch sử phát triển của khái niệm để phát hiện chớng ngại mà
các nhà Toán học đà gặp phải trong quá trình phát triển khái niệm đó, chớng ngại
này thờng trở thành chớng ngại về nhận thức của học sinh khi học tập khái niệm

đó.
- Nghiên cứu những sai lầm có cùng bản chất của đa số học sinh xung
quanh khái niệm nào đó [4, tr. 86].


16

Trong dạy học giáo viên cần làm nảy sinh những chớng ngại s phạm và
cần biết dự kiến, biết xây dựng những tình huống xóa bỏ những chớng ngại
không tránh đợc.
Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, chẳng hạn G. Polia cho
rằng: "Con ngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [40,
tr.204], A. A. Stoliar phát biểu: "Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ
học các sai lầm của học sinh" còn theo J. A. Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm
nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay
đến sai lầm đó, và hớng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn
theo Nguyễn Anh Tuấn 2003).
Có nhiều quan điểm khác nhau đối với việc chỉ ra các sai lầm của học sinh,
chẳng hạn, R. A. Axanop cho r»ng: “viƯc tiÕp thu tri thøc mét c¸ch có ý thức đợc
kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng
sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của của các sai lầm này và
t duy, lí luận về bản chất của các sai lầm (dẫn theo Lê Thống Nhất 1996), còn
A. A. Stôliar khẳng định rằng: Cần có biện pháp nhằm dạy học môn toán dựa
trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuất hiện
Sai lầm và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán đợc nhìn từ nhiều
góc độ của các phơng pháp dạy học, chẳng hạn, nhìn từ góc độ các lí thuyết về
học:
ã Thuyết Hành vi quan niệm rằng: Sai lầm của học sinh là một hiện tợng
tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần
khắc phục. Trong dạy học theo một số nhà giáo dục ngời Đức mà tiêu biểu là

Aphơgut Lai cho rằng: "việc chú ý tới các sai lầm của học sinh trong giờ học có
ảnh hởng xấu tới việc tiếp thu bài giảng". Đặc biệt quan điểm này đề nghị không
viết lại lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sai lầm trong ý thức
của học sinh (dẫn theo Lê Thống Nhất 1996). Còn nguyên nhân sai lầm thờng ®-


17

ợc cho là do học sinh mơ hồ, không nắm vững kiến thức đà học, do thiếu hụt kiến
thức, do vô ý không cẩn trọng, ... Đôi khi lại quy cho giáo viên trình bày không
chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không đủ rõ ràng.
Xu hớng dạy học tơng thích với quan niệm này về sai lầm thờng đợc gọi là
s phạm từng bớc nhỏ. Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức đợc phân thành
các mục tiêu bộ phận, các mục tiêu bộ phận đến lợt nó lại đợc phân thành các
mục tiêu con, ... để làm sao để cho học sinh có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng
dạy bằng cách đi dần dần, lần lợt từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai
lầm nào. Ngời ta tìm mọi cách để tránh sai lầm. Còn nếu lỡ sai lầm xuất hiện, thì
cách giải quyết thông thờng là dạy lại, ôn luyện lại hay cung cấp các kiến thức bổ
trợ cho đến khi học sinh có đợc lời giải hay, câu trả lời đúng (phản xạ đáp lại nh
mong đợi). Chẳng hạn, theo Lê Thống Nhất, nguyên nhân sai lầm của học sinh là
do: không nắm vững các khái niệm, định lí, thiếu các kiến thức về lôgíc. Biện
pháp sửa chữa sai lầm là: truyền thụ đầy đủ và chính xác các khái niệm, định lí;
dự đoán và phòng tránh sai lầm, biết sử dụng các quy tắc suy luận, ...
ã Thuyết Kiến tạo quan niệm rằng: Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu
hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của kiến thức trớc đÃ
từng có hữu ích và đem lại thành công, nhng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là
không còn thích hợp nữa. Trong hoạt động của giáo viên cũng nh của học sinh,
sai lầm bao giờ cũng cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức lĩnh hội
đợc. Sai lầm là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay ®· cã tõ tríc ®ã) cđa
häc sinh, kiÕn thøc mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định ®Ĩ thay thÕ nã b»ng

kiÕn thøc thÝch øng h¬n” (dÉn theo Lê Văn Tiến 2006)
Nh vậy, ngoài việc chỉ ra nguồn gốc căn bản khác của sai lầm (Thuyết
Kiến tạo cũng xét đến một số nguồn gốc quan trọng khác nh do hạn chế của chủ
thể (về tâm lí, về nhận thức, ...) hay hậu quả của hợp đồng didactique, ...),
Thuyết Kiến tạo còn có một cái nhìn tích cực về nó. Sai lầm thực sự đóng một
vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là khi nó là hậu quả của những


18

chớng ngại hình thành từ kiến thức cũ. Do đó, vấn đề không phải là phòng tránh
sai lầm, mà là chủ động tổ chức cho học sinh gặp sai lầm và sửa chữa nó nh thế
nào. Nh G. Bachelard nhấn mạnh: cần phải tổ chức dạy học thông qua việc
phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm (dẫn theo Lê Văn Tiến 2006).
Mặt khác, trớc một sai lầm của học sinh, nếu nh Thuyết Hành vi đi tìm
nguyên nhân từ những kiến thức học sinh nắm không vững hay thiÕu hơt, hc tõ
sù bÊt cÈn, ... cđa chđ thể, thì Thuyết Kiến tạo lại nhấn mạnh vào việc tìm câu trả
lời cho các câu hỏi sau:
- Những quy trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào
đợc học sinh vận dụng đà góp phần tạo ra sai lầm này?
- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình
hay quan niệm đó?
Một điểm khác biệt căn bản giữa Thuyết Hành vi và Thuyết Kiến tạo là
cách thức sữa chữa sai lầm. Trong khi Thuyết Hành vi nhấn mạnh vào việc dạy
lại và gia tăng luyện tập củng cố, do đó cần nhấn mạnh vai trò chủ đạo của
giáo viên, thì Thuyết Kiến tạo chủ trơng sửa chữa sai lầm bằng cách đặt học
sinh vào những tình huống học tập gắn liền với sai lầm đó. Tình huống nhắm tới
tạo ra ở học sinh những xung đột nhận thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ
sai lầm mà chủ yếu là nhận ra các quy trình hay quan niệm mà họ đà vận dụng
sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí. Các tình huống cũng phải tạo

thuận lợi cho họ tự phá hủy hay điều chỉnh quy trình, quan niệm cũ của mình để
xây dựng kiến thức mới thích ứng hơn. Nh vậy, Thuyết Kiến tạo đặc biệt nhấn
mạnh đến vai trò chủ động của chủ thể (ngời học) trong việc sửa chữa sai lầm.
Sai lầm và sửa chữa sai lầm nhìn từ phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề:
Phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề dựa trên tình huống có vấn đề trong
dạy học. Khi học sinh mắc sai lầm là xuất hiện tình huống có vấn đề, có thể do
giáo viên tạo ra hoặc tự nó nảy sinh từ lôgíc bên trong của việc giải toán. Sai lầm


19

của học sinh tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá
trình nhận thức của học sinh. Sai lầm của học sinh làm nảy sinh nhu cầu cho t
duy mà theo X. L. Rubinstêin: T duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống
gợi vấn đề [24, tr. 151]. Theo Nguyễn Anh Tuấn, thuộc nhóm năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề trong học toán có Năng lực phát hiện và sửa chữa sai
lầm, nhợc điểm trong cách giải bài toán, trong quá trình tìm hiểu giới hạn cách
giải quyết vấn đề và năng lực sửa chữa sai lầm [53, tr. 14].
Sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ khêu gợi đợc hoạt động học tập mà
học sinh sẽ đợc hớng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng.
Tìm ra cái sai của mình đều là sự khám phá. Từ sự khám phá này học sinh chiếm
lĩnh đợc kiến thức một cách trọn vẹn hơn.
Sai lầm nhìn từ góc độ Lý thuyết Tình huống: Sai lầm ở đây có thể hiểu
theo các chớng ngại của Lí thuyết Tình huống, ở đây chủ yếu chúng ta quan tâm
tới những chớng ngại mà học sinh có thể tránh đợc trong quá trình tìm kiếm tri
thức Toán học nói chung và giải toán nói riêng.
Các quan điểm nhằm phát hiện và sửa chữa sai lầm đà phân tích trên đều
dựa trên quan điểm hoạt động của Nguyễn Bá Kim. Do đó các nguyên tắc sửa
chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán thì cần phải tạo động cơ học tập sửa chữa
các sai lầm. Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cần phải tham

gia nh một chủ thể một cách tự nguyện, say mê hào hứng. Tạo cho học sinh có
động cơ hoàn thiện tri thức. Cần lấy hoạt động học tập của học sinh để làm cơ sở
cho quá trình lĩnh hội tri thức. Hơn nữa các nguyên tắc phải tập trung vào phát
triển hoạt động, rèn luyện các kĩ năng học tập của học sinh.
1.2. Những chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải
toán Đại số và Giải tích
Từ việc phân tích các hoạt động nhËn thøc thĨ hiƯn trong lý thut d¹y
häc; tiÕp cËn các hoạt động phát hiện; hoạt động để thích nghi trong t©m lÝ häc


20

trí tuệ, các hoạt động tâm lí học liên tởng Chúng tôi xác định nguồn gốc chủ
yếu của hoạt động nhận thức là các mâu thuẫn và các loại chớng ngại trong dạy
học toán. Phát hiện các chớng ngại là động lực của hoạt động nhận thức trong
dạy học toán.
1.2.1. Khái niệm chớng ngại
Khái niệm chớng ngại trong khoa học luận do G.Bachelard đa vào
trong cuốn Sự hình thành trí tuệ khoa học. Khi một vấn đề mới đợc đặt ra,
việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chức lại một lí thuyết hay sự
điều chỉnh quan niƯm vỊ mét sè kh¸i niƯm to¸n häc cã liên quan. Ta nói có một
chớng ngại nếu vấn đề chỉ đợc giải quyết sau khi ta đà cấu trúc lại những quan
niệm hay thay đổi quan niệm lí thuyết. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim thì khái
niệm chớng ngại đợc chia thành hai dạng đó là chớng ngại s phạm và chớng
ngại không tránh đợc.
- Chớng ngại không tránh đợc liên hệ với sự phát triển tâm lí của
đối tợng hoặc sự phát triển lịch sử của khái niệm.
Mức độ kiến thức giảng dạy cho học sinh ở mỗi lớp, mỗi cấp học phải
phù hợp với tâm lí của ngời học. Do sự phát triển của tâm lí có thể tạo nên các
chớng ngại khi ngời học tiếp cận tri thức mới. Giáo viên phải tạo nên những

hoạt động phù hợp với mức độ nhận thức của học sinh để từng bớc xoá bỏ các
chớng ngại mà học sinh gặp phải.
Tri thức phổ thông đợc xây dựng theo đờng xoáy ốc tức là tri thức
ngày càng đợc nâng cao. Mặt khác việc truyền thụ tri thức cũng phải phù hợp
với sự phát triển tâm lí của ngời học nên ở mỗi lớp học, mỗi cấp học thì các
khái niệm đợc đa vào chơng trình giảng dạy theo từng mức độ. Do đó sẽ có sự
phát triển của lịch sử khái niệm điều này sẽ tạo ra các chớng ngại không thể
tránh đợc. Vì vậy giáo viên phải xây dựng đợc một hệ thống các tình huống, kết
hợp với việc lựa chọn thời điểm thích hợp để tổ chức cho ngời học tiến hành các
hoạt động nhằm xoá bỏ những chớng ngại mà họ gặp phải.


21

VÝ dơ 1. Chóng ta xem xÐt sù ph¸t triĨn của khái niệm tập hợp số. Cấp
Tiểu học và Trung häc c¬ së häc sinh häc vỊ tËp sè tù nhiên, tập số nguyên, tập
số hữu tỷ và tập số thực. Đối với học sinh tập số thực là tập số lớn nhất cho đến
cuối chơng trình giải tích lớp 12 học sinh đợc giới thiệu và bớc đầu nghiên cứu
về tập số phức.
Xét trên tập số thực thì các phơng trình bậc hai có < 0 đều vô
nghiệm. Khi học đến tập số phức thì kiến thức trên có thể trở thành chớng ngại
cho học sinh. Làm thế nào để học sinh chấp nhận tri thức i 2 = 1 . Chúng tôi xây
dựng một tình hống nhằm xoá bỏ chớng ngại này cho học sinh khi bắt đầu tiếp
cận với số phức.
Hoạt động 1. Giới thiệu cách giải phơng trình bậc 3 của nhà toán học
Các-đa-nô (Cardano).
3
2
Cho phơng trình bậc ba: ax + bx + cx + d = 0 , ( a ≠ 0 ) (1), ta đặt X = x +

b
,
3a

khi đó phơng trình (1) cã d¹ng X 3 + pX + q = 0 (2). Lại thực hiện phép đổi biến
X = u + v với uv =

p
p3
ta thu đợc u 3 + v3 = −q , u 3v 3 = − . Khi đó u 3 ; v3 là hai
3
27

p3
nghiệm của phơng tr×nh bËc hai z + qz − = 0 (3). Giải phơng trình (3) ta suy
27
2

ra u 3 ; v3 .
Hoạt động 2. áp dụng giải phơng trình x3 3 x = 0 (1)
Đặt x = u + v với uv = 1 , khi đó phơng trình (1) trở thành u 3 + v 3 = 0 .
2
Vì vậy u 3 và v3 là hai nghiệm của phơng tr×nh t + 1 = 0 ( 2 ) . Học sinh sẽ nhận

thấy rằng (2) không có nghiệm nên không tìm đợc u và v, đây quả thật là một sự
mâu thuẫn, một sự bế tắc. Cách giải trên là của nhà toán học và độ tin cậy là rất
lớn. Vậy tình huống vô lí trên nguyên nhân do đâu? Phải chăng chúng ta hÃy
thử chấp nhận xem phơng trình (2) có nghiệm, tức là tạm chấp nhận tồn t¹i

22

u 3 = 1

căn bậc hai của các số ©m, khi ®ã (2) cã nghiƯm t = ± −1 . Ta suy ra  3
 v = − −1

u 3 = − −1

. Ta cã
 3
 v = −1


hc

− 1 là một căn bậc 3 của

(

) (
3

1 = − 1

−1 , t¬ng tù.

) (−
2

)

(

)

−1 = ( −1) − 1 = 1 , suy ra

1 là một căn bậc 3 cđa − −1 . Tuy

nhiªn nÕu vËy chóng ta cũng mới chỉ ra đợc một nghiệm của phơng trình ban
đầu. Trong khi đó phơng trình (1) có ba nghiệm lµ x = 0; x = 3; x = − 3 . Lại
thêm một ý nghĩ táo bạo. Phải chăng số
căn bậc ba của

( a+b

)

1 có ba căn bậc 3. Chúng ta tìm các

1 . Giả sử căn bậc ba cđa

−1 cã d¹ng (a+b −1 ), suy ra:

3

−1 = −1 , từ đó chúng ta tìm đợc 3 căn bậc 3 của

1 là : 1 và

3
1
3
1
. Tơng tự chúng ta tìm đợc 3 căn bậc 3 của 1 là:
+
,
+
2
2
2
2

1

3
1
3
1
+
+
ữ,
ữ. Bây giờ chúng ta chỉ cần chọn cặp u và v sao
2 ữ 2
2 ữ
2

và


cho thoả mÃn uv =1 , từ đó suy ra các nghiệm của phơng trình:

(

) (

x = u + v = 1 +

)

−1 = 0

 3
−1  
3
−1 
x =u+v =
 2 + 2 ÷−  − 2 + 2 ÷ = 3
÷ 
÷

 


3
−1   3
−1 

x = u +v = −
 2 + 2 ÷−  2 + 2 ữ = 3
ữ
ữ




Đúng là nghiệm đà thấy rõ ngay từ đầu. Thật lạ lùng, một điều mà từ
trớc đến giờ chúng ta không thể chấp nhận lại giúp chúng ta vợt qua đợc chớng ngại. Thực tế này buộc chúng ta phải chấp nhận sự tồn tại cña “sè” −1 .


23

Hoạt động 3. Chúng ta chấp nhận sự có mặt số

1 , tức là chấp

nhận sự tồn tại số i sao cho i 2 = −1 . V× tÝnh chÊt bí hiểm của số i nên i đợc
gọi là đơn vị ảo. Các số có dạng a + bi ( a; b R ) gọi là các số phức.
Ví dơ 2. ë líp 9 häc sinh hiĨu tiÕp tun của của một đờng tròn là một
đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn đó. Kiến thức này có thể trở
thành một chớng ngại khi học sinh học về tiếp tuyến của một đờng cong nói
chung.
Hoạt động 1. Trớc khi đa ra định nghĩa về tiếp tuyến của một đờng
cong bất kì yêu cầu học sinh vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị các hàm sè

( C) : y =

f ( x ) = x x − 3 − 4 , d1 : y = 1, d 2 : y = −1 . Nªu nhËn xét về số giao điểm của

các đờng thẳng d1 , d 2 với đồ thì (C).

y
1
O
-1

-4

3
2

d1
4

x

d2


24

Trong suy nghÜ cđa häc sinh th× tiÕp tun cđa ®êng cong cịng “t¬ng tù” nh tiÕp tun cđa ®êng tròn, nghĩa là giữa đờng thẳng d và đờng cong
(C) chỉ có một điểm chung. Nhng sau khi quan sát hình vẽ trên học sinh sẽ thấy
xuất hiện mâu thuẫn giữa khái niệm tiếp tuyến của đờng tròn với khái niệm tiếp
tuyến của đờng cong bất kì.
Hoạt động 2. Bây giờ chúng ta hÃy viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn x 2 + y 2 = 25 tại điểm M0(3 ; 4).
Học sinh tiến hành hoạt động và nêu kết quả. Tiếp tuyến của đờng tròn
3

25
x 2 + y 2 = 25 tại điểm M0(3 ; 4) có phơng trình y = x +
4
4

Hoạt động 3. Ta cã: x 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ± 25 − x 2 , ta xem nöa đờng
tròn phía trên trục Ox là đồ thị hàm số y = f ( x ) = 25 − x 2 (C). Với mỗi điểm
M ( xM ; yM ) thuéc (C) víi

M ≠ M 0 , ta gäi k M là hệ số góc của đờng thẳng

M0M . Tính lim kM .
x →3
y

T

M0

4

yM

M

xM

O

3

x


25

x 3

y4

y 4

M
Đờng thẳng M0M có phơng trình : x − 3 = y − 4 ⇔ y = x − 3 ( x − 3) + 4 , ta suy
M
M
M

ra xlim3 kM = xlim3
→
→
M

M

f ( xM ) − f ( 3)
yM − 4
3
= lim
= f ' ( 3 ) = . Khi xM 3 tức là điểm

xM →3
xM − 3
xM − 3
4

M di chuyÓn däc theo (C) đến điểm M0 và đờng thẳng M0M trở thành đờng
thẳng
3
4

M0T có phơng trình y = x +

25
. Thật bất ngờ đây chính là phơng trình tiếp
4

tuyến của đờng tròn x 2 + y 2 = 25 tại điểm M0(3 ; 4). Đờng thẳng M0T gọi là vị
trí giới hạncủa cát tuyến M0M khi điểm M chạy dọc theo đờng cong (C) dần
đến điểm M0.
Hoạt động 4. Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đờng cong bất kì.
Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và
dần đến điểm M0 thì đờng thẳng M0T đợc gọi là tiếp tuyến của đờng cong (C)
tại M0. Nh vậy đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm M 0 ( x0 ; y0 )
khi vµ chØ khi hµm sè y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0. Chớng ngại trên đà đợc
xoá bỏ đồng thời đà hình thành cho học sinh khái niệm tiếp tuyến của đờng
cong tại một điểm không dựa vào số điểm chung của hai đờng mà phụ thuộc
vào việc đạo hàm của hàm số có tồn tại hay không tại hoành độ của tiÕp ®iĨm.