CHUYEN DE LUYEN THI DAI HOC NAM 2014

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (18.96 MB, 303 trang )

(1) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 KHẢO SÁT HÀM SỐ BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(2) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 )) Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 )) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I 3.Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f '(x ) = 0, ∀x ∈ I , ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.. Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Phương pháp: Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y′. Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài tập cơ bản HT 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 1) y = x 3 − 2x 2 + x − 2. 2) y = (4 − x )(x − 1)2. 3) y = x 3 − 3x 2 + 4x − 1 6) y =. 4) y =. 1 4 x − 2x 2 − 1 4. 5) y = −x 4 − 2x 2 + 3. 7) y =. 2x − 1 x +5. 8) y =. 10) y = x + 3 + 2 2 − x. x −1 2 −x. 11) y =. 2x − 1 − 3 − x. 1 4 1 x + x2 − 2 10 10. 9) y = 1 −. 1 1−x. 12) y = x 2 − x 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 1.

(3) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Dạng toán2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho hàm số y = f (x, m ) , m là tham số, có tập xác định D.. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ' = ax 2 + bx + c thì:. a = b = 0   c ≥ 0 • y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a > 0  ∆ ≤ 0 . a = b = 0   c ≤ 0 • y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  a < 0  ∆ ≤ 0 . 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g (x ) = ax 2 + bx + c :. • Nếu ∆< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = −. b ) 2a. • Nếu ∆> 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x1, x 2 của tam thức bậc hai g (x ) = ax 2 + bx + c với số 0:. ∆ > 0  • x1 < x 2 < 0 ⇔ P > 0  S < 0 . ∆ > 0  • 0 < x1 < x 2 ⇔ P > 0 • x1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0  S > 0 . 5) Để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:. • Tính y′. • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: a ≠ 0  (1)  ∆ > 0 • Biến đổi x1 − x 2 = d thành (x1 + x 2 )2 − 4x1x 2 = d 2. (2). • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài tập cơ bản HT 2. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: 1) y = x 3 − 3mx 2 + (m + 2)x − m 3) y = HT 3.. x +m x −m. 2) y =. x 3 mx 2 − − 2x + 1 3 2. 4) y =. mx + 4 x +m. Tìm m để hàm số:. 1) y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 2) y =. 1 3 1 x − mx 2 + 2mx − 3m + 1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. 3 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 2.

(4) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 1 3) y = − x 3 + (m − 1)x 2 + (m + 3)x − 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. 3 HT 4.. Tìm m để hàm số:. 1) y =. x3 + (m + 1)x 2 − (m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞). 3. 2) y = x 3 − 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞). 3) y =. mx + 4 (m ≠ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +∞). x +m. 4) y =. x +m đồng biến trong khoảng (–1; +∞). x −m. BÀI TẬP TỔNG HỢP – NÂNG CAO HT 5.. Cho hàm số. y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên. khoảng (−∞; 0) . Đ/s: m HT 6.. Cho hàm số. y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có đồ thị (Cm).Tìm m để hàm số đồng biến trên. khoảng (2; +∞) Đ/s: m HT 7.. Cho hàm số y Đ/s: m ≤. HT 8.. ≤ −3. ≤1. = x 3 + (1 − 2m )x 2 + (2 − m )x + m + 2 . Tìm m để hàm đồng biến trên (0;+∞) .. 5 4. Cho hàm số. y = x 4 − 2mx 2 − 3m + 1 (1), (m là tham số).Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng. (1; 2). Đ/s: m ∈ [ − ∞;1) HT 9.. Cho hàm số y = x 3 − 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (2; +∞) Đ/s: −. 7 5 ≤m ≤ 12 12. HT 10. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − (2m 2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) . Tìm mđể hàm số đồng biến trên [2; +∞). Đ/s: −1 ≤ m ≤. 5 2 ---------------------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 3.

(5) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ ℝ) và x 0 ∈ D 1) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho. f (x ) < f (x 0 ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x 0} . Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f . 2) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho. f (x ) > f (x 0 ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x 0} . Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f . 3) Nếu x 0 là điểm cực trị của f thì điểm (x 0 ; f (x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f '(x 0 ) = 0 . Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b) \ {xo } 1) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . 2) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f '(x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . 1) Nếu f "(x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2) Nếu f "(x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 .. II. CÁC DẠNG TOÁN Dạng toán 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1.. • Tìm f '(x ) . • Tìm các điểm x i (i = 1, 2,...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f '(x ) . Nếu f '(x ) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Qui tắc 2: Dùng định lí 2.. • Tính f '(x ) • Giải phương trình f '(x ) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2,...) • Tính f "(x ) và f "(xi ) (i = 1, 2,...) . Nếu f "(x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i .. Nếu f "(x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 4.

(6) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Bài tập cơ bản HT 11. Tìm cực trị của các hàm số sau: 1) y = 3x 2 − 2x 3. 2) y = x 3 − 2x 2 + 2x − 1. 1 3) y = − x 3 + 4x 2 − 15x 3 6) y = −. 4) y =. x4 − x2 + 3 2. 5) y = x 4 − 4x 2 + 5. 7) y =. −x 2 + 3x + 6 x +2. 8) y =. 3x 2 + 4x + 5 x +1. 4x 2 + 2x − 1. 10) y = (x − 2)3 (x + 1)4. 11) y =. 13) y = x x 2 − 4. 14) y = x 2 − 2x + 5. 2x 2 + x − 3. 9) y =. x4 3 + x2 + 2 2. x 2 − 2x − 15 x −3. 12) y =. 3x 2 + 4x + 4 x2 + x + 1. 15) y = x + 2x − x 2. Dạng toán 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f (x ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f '(x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f (x ) ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f '(x ) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý:. • Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: + y(x 0 ) = ax 03 + bx 02 + cx 0 + d + y(x 0 ) = Ax 0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y′. Bài tập cơ bản HT 12. Tìm m để hàm số: 1) y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu. 2) y = x 3 − 3(m − 1)x 2 + (2m 2 − 3m + 2)x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu. 3) y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x − m 3 4) y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 x = 2 5) y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 − 1)x + 2 đạt cực đại tại 6) y = −mx 4 + 2(m − 2)x 2 + m − 5 có một cực đại x =. 1 . 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 5.

(7) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 13. Tìm a, b, c, d để hàm số: 1) y = ax 3 + bx 2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng. 1 4 tại x = 3 27. 2) y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =. 3.. HT 14. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: 1) y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4. 2) y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1)x − 1. HT 15. Tìm m để hàm số : 1) y = x 3 + 2(m − 1)x 2 + (m 2 − 4m + 1)x − 2(m 2 + 1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 sao cho: 1 1 1 + = (x1 + x 2 ) . x1 x 2 2. 2) y =. 1 3 x − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 2 sao cho: x1 − x 2 ≥ 8 . 3. 3) y =. 1 1 mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 sao cho: x1 + 2x 2 = 1 . 3 3. HT 16. Tìm m để đồ thị hàm số : 1) y = −x 3 + mx 2 − 4 có hai điểm cực trị là A, B và AB 2 =. 900m 2 . 729. 2) y = x 4 − mx 2 + 4x + m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm.. BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO HT 17. Tìm m để đồ thị hàm số : 1) y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung. Đ/s: m = 0 2) y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Đ/s: m = ±. 1 2. 3) y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng d : 3x − 2y + 8 = 0 ..  4  Đ/s: m ∈ − ;1 \ {0}  3  HT 18. Tìm m để đồ thị hàm số: 1) y = x 3 + 3x 2 + m có 2 điểm cực trị tại A, B sao cho AOB = 1200 Đ/s: m = 0, m =. −12 + 132 3.  3 9 2) y = x 4 − 2mx 2 + 2 có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua D  ;  Đ/s: m = 1  5 5 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 6.

(8) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 3) y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc bằng 1200. Đ/s: m = −. 1 3. 3. 4) y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 4. Đ/s: m = 3 2 HT 19. Tìm m để hàm số: 1) y = x 3 − 3mx + 2 có hai điểm cực trị và đường tròn qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn tâm I (1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Đ/s: m =. 2± 3 2. 9 2) y = 4x 3 + mx 2 − 3x có hai điểm cực trị x1, x 2 thỏa mãn: x1 +4x2 = 0 Đ/s: m = ± 2 HT 20. Tìm m để hàm số: 1) y = 2x 3 + 3(m − 1)x 2 + 6(m − 2)x − 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng. y = −4x − 1 . Đ/s: m = 5 2) y = 2x 3 + 3(m − 1)x 2 + 6m(1 − 2m )x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = −4x . Đ/s: m = 1 3) y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng. y = 3x − 7 . Đ/s: m = ±. 3 10 2. 4) y = x 3 − 3x 2 + m 2x + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): y =. 1 5 x− . 2 2. Đ/s: m = 0 -------------------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 7.

(9) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 3: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số • Tìm tập xác định của hàm số. • Xét sự biến thiên của hàm số: + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). + Tính y ' . + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y ' = 0 hoặc không xác định. + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số. • Vẽ đồ thị của hàm số: + Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương). + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.. 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d. (a ≠ 0). • Tập xác định D = ℝ . • Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. • Các dạng đồ thị: a>0. a<0. y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt. y. y. ⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac > 0. I 0. x. 0. I. x. y ' = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac = 0. y ' = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac < 0. y. y I. 0. I. x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 0. x. Page 8.

(10) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 3. Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) • Tập xác định D = ℝ • Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. • Các dạng đồ thị: a>0. a<0 y. y có 3 nghiệm phân biệt ⇔. 0. 0. x. y. chỉ có 1 nghiệm. 4. Hàm số nhất biến y =. x. x. y. ⇔. 0. 0. x. ax + b (c ≠ 0; ad − bc ≠ 0) cx + d.  d  • Tập xác định D = ℝ \  −   c  • Đồ thị có một tiệm cận đứng là. x=−. d a và một tiệm cận ngang là y = . Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối c c. xứng của đồ thị hàm số. • Các dạng đồ thị: y. y. 0. x. 0. x. ad – bc >. ad – bc <. Bài tập cơ bản HT 21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: x3 − x2 + x −1 3. 1. y = −x 3 + 3x 2 − 1. 2. y =. 4. y = x 4 − 2x 2 + 2. 5. y = −x 4 − x 2 + 1. 7. y =. 2x − 1 x −1. 8. y =. 3. y = −. 6. y =. x3 + x 2 − 2x + 1 3. x −1 x +1. x −1 −2x + 1. ----------------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 9.

(11) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Dạng toán 1: Dùng đồ thị hàm số biện luận số nghiệm phương trình • Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình:. (1). f (x ) = g(x ). Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) • Để biện luận số nghiệm của phương trình F (x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về dạng sau:. F (x, m) = 0 ⇔ f (x ) = g(m ). (1). y. Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ. g(m. A. yCĐ. giao điểm của hai đường:. (C ) : y = f (x ) và d : y = g(m). xA. (C) (4) : y = g(m). x. yCT. • d là đường thẳng cùng phương với trục hoành. • Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d . Từ đó suy ra số nghiệm của (1) Bài tập cơ bản. HT 22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 1) y = x 3 − 3x + 1; x 3 − 3x + 1 − m = 0. 2) y = −x 3 + 3x − 1; x 3 − 3x + m + 1 = 0. 3) y = x 3 − 3x + 1; x 3 − 3x − m 2 − 2m − 2 = 0. 4) y = −x 3 + 3x − 1; x 3 − 3x + m + 4 = 0. 5) y = −. x4 + 2x 2 + 2; x 4 − 4x 2 − 4 + 2m = 0 2. 6) y = x 4 − 2x 2 + 2; x 4 − 2x 2 − m + 2 = 0. HT 23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 1) (C ) : y = x 3 − 3x 2 + 6;. x 3 − 3x 2 + 6 − m + 3 = 0 3. 2) (C ) : y = 2x 3 − 9x 2 + 12x − 4; 2 x − 9x 2 + 12 x + m = 0 3) (C ) : y = (x + 1)2 (2 − x ); (x + 1)2 2 − x = (m + 1)2 (2 − m ). 4) (C ) : y =. x −1 x +1. x −1 x −1 x −1 x −1 = m; = m; = m; =m x +1 x +1 x +1 x +1. ------------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 10.

(12) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Dạng toán 2: Tìm điều kiện tương giao giữa các đồ thị 1.Cho hai đồ thị (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) ta giải phương trình: f (x ) = g(x ) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. 2. Đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài tập cơ bản HT 24. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:   x2 3  y = 2x − 4 + 3x − y = −  2 2 1)  2)  x −1   2 x 1 y = −x + 2x + 4 y = + 2 2 .  3 y = 4x − 3x 3)  y = −x + 2 . HT 25. Tìm m để đồ thị các hàm số: 1) y = (x − 1)(x 2 − mx + m 2 − 3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 2) y = mx 3 + 3mx 2 − (1 − 2m )x − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 3) y = x 3 + 2x 2 + mx + 2m; y = x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt. 4) y = x 3 + 2x 2 − 2x + 2m − 1; y = 2x 2 − x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt. HT 26. Tìm m để đồ thị các hàm số: 1) y = x 4 − 2x 2 − 1; y = m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. 2) y = x 4 − m(m + 1)x 2 + m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 3) y = x 4 − (2m − 3)x 2 + m 2 − 3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. HT 27. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:  x3   3 y = x − 3x − 2 y =− + 3x  1)  2)  3  y = m(x − 2)  y = m(x − 3) HT 28. Tìm m để đồ thị của các hàm số: 3x + 1 ; y = x + 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất. 1) y = x −4 2) y =. 4x − 1 ; y = −x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất. 2 −x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 11.

(13) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO HT 29. Tìm m để hàm số: 1) y =. 2x − 1 (C ) cắt đường thẳng ∆ : y = x + m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2 2 Đ/s: m = −1; m = 7 x +1. 2) y =. x −1 (C ) cắt đường thẳng ∆ : y = −x + m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B có độ dài nhỏ nhất. 2x. Đ/s: m =. 3) y =. 1 2. 2x − 1 (C ) cắt đường thẳng ∆ : y = x + m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. x −1. Đ/s: m = −2 4) y =. 2mx − 2m − 3 (C ) cắt đường thẳng ∆ : y = x − 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AOB = 450 x +2. 5) y =. (1 + m )x + 2(1 − m ) OA OB + =4 cắt đường thẳng ∆ : y = x tại hai điểm phân biệt A, B sao cho: x OB OA. 6) y =. 3x + 1 cắt đường thẳng ∆ : y = (m + 1)x + m − 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích x −1. bằng. 3 . 2. 7) y =. x +1 (C ) cắt đường thẳng ∆ : 2mx − 2y + m + 1 = 0, cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu 2x + 1. thức P = OA2 + OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.. x +2 (C ) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho tam giác x −1 IAB nhận H (4; −2) làm trực tâm. Đ/s: (2; 4),(−2; 0). HT 30. Cho hàm số y =. HT 31. Cho hàm số y =. −x + 1 (C ) Xác định m để đường thẳng ∆ : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt 2x − 1. có hoành độ x1, x 2 sao cho tổng f '(x1 ) + f '(x 2 ) đạt giá trị lớn nhất. HT 32. Cho hàm số y =. x −1 (C ) Xác định m để đường thẳng ∆ : y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có 2x + 1. hoành độ x1, x 2 sao cho tổng f '(x1 ) + f '(x 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất.. 3x − 4 (C ) Xác định tọa độ các điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2x − 3 trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng. -----------------------------------------------------. HT 33. Cho hàm số y =. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 12.

(14) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 5: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG. 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f (x ) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là:. y − y0 = f '(x 0 )(x − x 0 ). (y0 = f (x 0 )). 2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1 ) : y = f (x ) và (C 2 ) : y = g(x ) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:.  f (x ) = g(x )  (*)   f '(x ) = g '(x )  Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 3. Nếu (C1 ) : y = px + q và (C 2 ) : y = ax 2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.. Dạng toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C ) : y = f (x ) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) :. • Nếu cho x 0 thì tìm y0 = f (x 0 ) Nếu cho y0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f (x ) = y0 .. • Tính y ' = f '(x ) . Suy ra y '(x 0 ) = f '(x 0 ) . • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y − y0 = f '(x 0 )(x − x 0 ) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C ) : y = f (x ) biết ∆ có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.. • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f′ (x0). •∆ có hệ số góc k ⇒ f′ (x0) = k (1) • Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.. • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m. •∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x ) = kx + m  (*)   f '(x ) = k . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 13.

(15) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆. Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau: + ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tanα + ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a + ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = −. + ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc α thì. 1 a. k −a = tan α 1 + ka. Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f(x), biết ∆ đi qua điểm A(x A ; yA ) . Cách 1:Tìm toạ độ tiếp điểm.. • Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y′0 = f′ (x0). • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) •∆ đi qua A(x A; yA ) nên: yA – y0 = f′ (x0).(xA – x0). (2). • Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.. • Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(x A; yA ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – x1) •∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:   f (x ) = k (x − x A ) + yA   f '(x ) = k . (*). • Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.. Bài tập cơ bản HT 34. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: 1) (C ) : y = 3x 3 − x 2 − 7x + 1 tại A(0; 1). 2) (C ) : y = x 4 − 2x 2 + 1 tại B(1; 0). 3) (C): y =. 3x + 4 tại C(1; –7) 2x − 3. 4) (C): y =. x +1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. x −2. 5) (C): y = 2x − 2x 2 + 1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. 6) (C): y = x 3 − 3x + 1 tại điểm uốn của (C). HT 35. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: 1) (C): y = 2x 3 − 3x 2 + 9x − 4 và d: y = 7x + 4 .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 14.

(16) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2) (C): y = 2x 3 − 3x 2 + 9x − 4 và (P): y = −x 2 + 8x − 3 . HT 36. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra: 5x + 11 (C): y = tại điểm A có xA = 2 . 2x − 3 HT 37. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước: 2x + m 1 1) (C): y = tại điểm A có xA = 2 và S = . 2 x −1 2) (C): y =. 9 x − 3m tại điểm B có xB = –1 và S = . 2 x +2. 3) (C): y = x 3 + 1 − m(x + 1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8. HT 38. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ có hệ số góc k được chỉ ra: 2x − 1 1) (C): y = 2x 3 − 3x 2 + 5 ; k = 12 2) (C): y = ; k = –3 x −2 HT 39. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ song song với đường thẳng d cho trước: 1) (C): y =. x3 − 2x 2 + 3x + 1 ; d: y = 3x + 2 3. 2) (C): y =. 2x − 1 3 ; d: y = − x + 2 x −2 4. HT 40. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ vuông góc với đường thẳng d cho trước: 1) (C): y =. x x3 − 2x 2 + 3x + 1 ; d: y = − + 2 8 3. 2) (C): y =. 2x − 1 ; d: y = x x −2. HT 41. Tìm m để tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước: 1) (C): y =. (3m + 1)x − m 2 + m (m ≠ 0) tại điểm A có yA = 0 và d: y = x − 10 . x +m. HT 42. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆đi qua điểm được chỉ ra: 1) (C): y = −x 3 + 3x − 2 ; A(2; –4) 2. 3) (C): y = (2 − x 2 ) ; C(0; 4). 5) (C): y =. x +2 ; E(–6; 5) x −2. 2) (C): y = x 3 − 3x + 1 ; B(1; –6) 4) (C): y =.  3 1 4 3 x − 3x 2 + ; D 0;   2 2 2. 6) (C): y =. 3x + 4 ; F(2; 3) x −1. HT 43. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: 1) (C 1 ) : y = x 3 + (3 + m )x 2 + mx − 2; (C 2 ) : trục hoành 2) (C 1 ) : y = x 3 − 2x 2 − (m − 1)x + m; (C 2 ) : trục hoành 3) (C 1 ) : y = x 3 + m(x + 1) + 1; (C 2 ) : y = x + 1 4) (C 1 ) : y = x 3 + 2x 2 + 2x − 1; (C 2 ) : y = x + m HT 44. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: 1) (C 1 ) : y = x 4 + 2x 2 + 1; (C 2 ) : y = 2mx 2 + m. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 15.

(17) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2) (C 1 ) : y = −x 4 + x 2 − 1; (C 2 ) : y = −x 2 + m. 1 9 3) (C1 ) : y = − x 4 + 2x 2 + ; (C 2 ) : y = −x 2 + m 4 4 4) (C 1 ) : y = (x + 1)2 (x − 1)2 ; (C 2 ) : y = 2x 2 + m. 5) (C 1 ) : y =. (2m − 1)x − m 2 ; (C 2 ) : y = x x −1. Dạng toán 2: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C):. y = f (x ). Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) ∈ d.. • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM •∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:  f (x ) = k(x − x ) + y  M M   f '(x ) = k. • Thế k từ (2) vào (1) ta được:. (1) (2). f(x) = (x – xM).f′ (x) + yM. (C). • Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (C) Bài tập cơ bản HT 45. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): 1) (C ) : y = −x 3 + 3x 2 − 2. 2) (C ) : y = x 3 − 3x + 1. HT 46. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): x +1 x +3 1) (C ) : y = ; d là trục tung 2) (C ) : y = ; d: y = 2x + 1 x −1 x −1 HT 47. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C): 2x + 1 3x + 4 1) (C ) : y = ; d: x = 3 2) (C ) : y = ; d: y = 2 x −2 4x − 3 HT 48. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C): 1) (C ) : y = −x 3 + 3x 2 − 2 ; d: y = 2. 2) (C ) : y = x 3 − 3x ; d: x = 2. 3) (C ) : y = −x 3 + 3x + 2 ; d là trục hoành. 4) (C ) : y = x 3 − 12x + 12 ; d: y = –4. HT 49. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): 1) (C ) : y = x 3 − 9x 2 + 17x + 2 ; A(–2; 5). 2) (C ) : y =. 4 4 1 3 x − 2x 2 + 3x + 4; A  ;  9 3 3. HT 50. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): 1) (C ) : y = x 3 − 6x 2 + 9x − 1 ; d : x = 2. 2) (C ) : y = x 3 − 3x ; d : x = 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 16.

(18) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Dạng toán 3: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Gọi M(xM; yM).. • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM •∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:  f (x ) = k(x − x ) + y  M M   f '(x ) = k . • Thế k từ (2) vào (1) ta được:. (1) (2). f(x) = (x – xM).f′ (x) + yM. (C). • Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (C) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. • Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f′ (x1).f′ (x2) = –1 Từ đó tìm được M. Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì (3) coù 2 nghieäm phaân bieät    f (x1 ).f (x 2 ) < 0  Bài tập cơ bản HT 51. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến đó:  1 (C ) : y = 2x 2 − 3x + 1; A 0; −   4 HT 52. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: 1) (C ) : y = x 3 − 3x 2 + 2 ; d: y = –2. 2) (C ) : y = x 3 + 3x 2 ; d là trục hoành. Dạng toán 4: Các bài toán khác về tiếp tuyến HT 53. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh diện tích của ∆IAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi ∆IAB là nhỏ nhất. 4) Tìm M để bán kính, chu vi, diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 5) Tìm M để bán kính, chu vi, diện tích đường tròn nội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 6) Tìm M để khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là lớn nhất. 1) (H ) : y =. 2x − 1 x −1. 2) (H ) : y =. x +1 x −1. 3) (H ) : y =. 4x − 5 −2x + 3. HT 54. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng S: 2mx + 3 ;S =8 1) (H ) : y = x −m. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 17.

(19) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 7: KHOẢNG CÁCH. Kiến thức cơ bản: 1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B:. AB =. (x B − x A )2 + (yB − yA )2. 2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0: d(M, ∆) =. ax 0 + by0 + c a 2 + b2. 3) Diện tích tam giác ABC:. S=. 2 1 1 AB.AC . sin A = AB 2 .AC 2 − (AB.AC ) 2 2. Bài tập cơ bản HT 55. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. x +2 4x − 9 2x − 1 1) (H ) : y = 2) (H ) : y = 3) (H ) : y = x −2 x −3 x +1 HT 56. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. 2x + 1 4x − 9 x −1 2) (H ) : y = 3) (H ) : y = 1) (H ) : y = x − 2 x −3 x +1 HT 57. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. 2x + 3 4x − 9 x −1 1) (H ) : y = 2) (H ) : y = 3) (H ) : y = 2−x x −3 x +1 HT 58. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. x +1 (H ) : y = ; d : 2x − y + m = 0 x −1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 18.

(20) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP TỔNG HỢP PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1 (m − 1)x 3 + mx 2 + (3m − 2)x (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng 3 biến trên tập xác định của nó. Đ/s: m ≥ 2 HT 1.. Cho hàm số y =. HT 2.. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên. khoảng (−∞; 0) . Đ/s: m ≤ −3 HT 3.. Cho hàm số y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có đồ thị (Cm).Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng. (2; +∞) Đ/s: m ≤ 1. 5 ≥m 4. HT 4.. Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m )x 2 + (2 − m )x + m + 2 . Tìm m để hàm đồng biến trên (0; +∞) . Đ/s:. HT 5.. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 − 3m + 1 (1), (m là tham số).Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).. Đ/s: m ∈ (−∞;1 . HT 6. Cho hàm số y =. mx + 4 x +m. (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng. (−∞;1) .Đ/s: −2 < m ≤ −1 . HT 7.. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Đ/s:⇔ m =. 9 4. PHẦN II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HT 8.. Cho hàm số y = x 3 + (1 – 2m )x 2 + (2 – m )x + m + 2 (m là tham số) (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số. (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Đ/s: HT 9.. 5 7 <m < . 4 5. Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 , m là tham số.Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của. đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. Đ/s:. −3 < m < −2. HT 10. Cho hàm số y = 2x 3 − 3(m + 2)x 2 + 6(5m + 1)x − (4m 3 + 2). Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ∈ (1; 2 Đ/s: −. 1 ≤m <0 3 1 4 3 x − mx 2 + (1).Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. 2 2. HT 11. Cho hàm số y = Đ/s: m ≤ 0. HT 12. Cho hàm số y = −x 4 + 2mx 2 − 4. (C m ). Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (C m ) đều nằm. trên các trục tọa độ. Đ/s: m = 2; m ≤ 0 HT 13. Cho hàm số y = −x 3 + (2m + 1)x 2 − (m 2 − 3m + 2)x − 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Đ/s: 1 < m < 2 . HT 14. Cho hàm số y =. 1 3 x − mx 2 + (2m − 1)x − 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm 3. m ≠ 1  cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Đ/s:   m > 1  2 HT 15. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 19.

(21) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Đ/s: m < 3. 1 3 4 x − (m + 1)x 2 + (m + 1)3 (C ). Tìm m để các điểm cực trị của hàm số (C) nằm về hai phía 3 3. HT 16. Cho hàm số y =. 1 (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình: x 2 + y 2 − 4x + 3 = 0. Đ/s: m < 2 HT 17. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Đ/s: m = ±. 2 2. HT 18. Cho hàm số y = −x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x + 8y − 74 = 0 . Đ/s: m = 2 HT 19. Cho hàm số y = −x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 )x + m 3 − m 2 (1).Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Đ/s: y = 2x − m 2 + m . HT 20. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx + 2 (C m ). Tìm m để (C m ) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của hàm số cách đều đường thẳng d : x − y − 1 = 0. Đ/s: m = 0 HT 21. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x − 1 . Đ/s: HT 22. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx.  3  m = 0; −   2 . (1). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm. cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x – 2y – 5 = 0 . Đ/s: m = 0 HT 23. Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1)x 2 + 9x + m − 2 (1) có đồ thị là (Cm). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : y = HT 24. Cho hàm số y =. 1 x . Đ/s: m = 1 . 2. 1 3 1 x − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt 3 3. cực trị tại x1, x 2 sao cho x1 + 2x 2 = 1 . Đ/s: m =. −4 ± 34 . 4. HT 25. Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1)x 2 + 9x − m , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại. x1, x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 .Đ/s: −3 ≤ m < −1 − 3 và −1 + 3 < m ≤ 1. HT 26. Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m )x 2 + (2 − m )x + m + 2 , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt. 1 cực trị tại x1, x 2 sao cho x1 − x 2 > .Đ/s: 3. m>. 3 + 29 ∨ m < −1 8. 9 HT 27. Cho hàm số y = 4x 3 + mx 2 – 3x . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x 2 thỏa x1 = −4x 2 . Đ/s: m = ± 2 HT 28. Tìm các giá trị của m để hàm số y =. 1 3 1 x − mx 2 + (m 2 − 3)x có cực đại x1 , cực tiểu x 2 đồng thời x1 ; x 2 là 3 2. độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng HT 29. Cho hàm số y =. 14 5 Đ/s: m = 2 2. 2 3 x + (m + 1)x 2 + (m 2 + 4m + 3)x + 1. Tìm m để hàm số có cực trị. Tìm giá trị lớn nhất của 3. biểu thức A = x1x 2 − 2(x1 + x 2 ) với x1, x 2 là các điểm cực trị cửa hàm số.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 20.

(22) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: A ≤. 0968.393.899. 9 khi m = −4 2. HT 30. Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1)x 2 + 9x − m (1) với m là tham số thực. Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại ,. m = 1 cực tiểu sao cho yCD + yCT = 2 Đ/s:  m = −3 HT 31. Cho hàm số y =. 1 3 x − mx 2 + (m 2 − 1)x + 1 (Cm ). Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và: yC D + yCT > 2 3. −1 < m < 0 Đ/s:  m > 1 HT 32. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 (1). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : y = 3x − 2 sao tổng khoảng cách từ M. 4 2 tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Đ/s: M  ;   5 5  HT 33. Cho hàm số. y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x − m 3 + m. cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng. (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. m = −3 + 2 2  đến gốc tọa độ O. Đ/s:  . m = −3 − 2 2  HT 34. Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1)x 2 + 3m(m + 2)x − 2 + m (C ) .Tìm m để đồ thị hàm số (C) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) tới trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) tới trục Oy. Đ/s: m = 2; m = 1; m = −1; m = 0 HT 35. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 có đồ thị là (Cm). Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d : y = −4x + 3 .Đ/s: m = 3 HT 36. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 có đồ thị là (Cm). Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x + 4y – 5 = 0 một góc 450 . Đ/s: m = −. 1 2. HT 37. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + m (1).Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho. AOB = 1200 . Đ/s: m =. −12 + 2 3 3. HT 38. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x − m 3 + 4m − 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ. Đ/s: m = −1; m = 2 HT 39. Cho hàm số y = x 3 + 3(m + 1)x 2 + 3m(m + 2)x + m 3 + 3m 2 . Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có 2 cực trị và khoảng cách giữa hai điểm này không phụ thuộc vào vị trí của m. HT 40. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 (1) với m là tham số thực. Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Đ/s: m = −. 3 2. HT 41. Cho hàm số y = f (x ) = x 4 + 2(m − 2)x 2 + m 2 − 5m + 5 (C m ) . Tìm các giá trị của m để đồ thị (C m ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. Đ/s: m = 1 HT 42. Cho hàm số y = x 4 + 2(m − 2)x 2 + m 2 − 5m + 5. (C m ) .. Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có. điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. Đ/s:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 21.

(23) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. m = 2−33.. HT 43. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có đồ thị (Cm) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 . Đ/s: m = −. 1 3. .. 3. HT 44. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 có đồ thị (Cm) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . Đ/s: m = 1; m =. 5 −1 2. HT 45. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có đồ thị (Cm) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. Đ/s: m = 5 16 . HT 46. Cho hàm số x 4 − 2mx 2 + 2 có đồ thị (C m ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m ) có ba điểm cực.  3 9 trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D  ;   5 5  Đ/s: m = 1. PHẦN 3: SỰ TƯƠNG GIAO HT 47. Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 9x − 6 có đồ thị là (C). Định m để đường thẳng (d ) : y = mx − 2m − 4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Đ/s: m > −3 HT 48. Cho hàm số y = x 3 − 3m 2x − 2m (Cm). Tìm m để (Cm) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt. Đ/s: m = ±1 HT 49. Cho hàm số y = −2x 3 + 6x 2 + 1 . Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho A(0;1) và B là trung điểm của AC. Đ/s:m = 4 HT 50. Cho hàm số y =. 1 3 2 x − mx 2 − x + m + có đox thị(C m ) . Tı̀m m đe| (C m ) ca} t trục hoà nh tạ i 3 đie| m phâ n biệ t có to| ng 3 3. bı̀nh phương cá c hoà nh độlớn hơn 15. Đ/s: m > 1 HT 51. Cho hàm số: y = 2x 3 − 3x 2 + 1 (1) . Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. Đ/s: M (−1; −4) HT 52. Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . Đ/s: m = HT 53.. 1 ± 137 . 2. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 có đồ thị là (C). Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0) với hệ số góc k. (k ∈ ℝ) . Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 . Đ/s: k = 1 HT 54.. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị là (C). Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường. thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng. 2.. Đ/s: y = −x + 1; y = (−1 ± 3 ) (x − 1) .. HT 55.. Cho hàm số y =. 4 3 1 x − (2m + 1)x 2 + (m + 2)x + có đồ thị (C m ), m là tham số. Gọi A là giao điểm của 3 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 22.

(24) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. (C m ) với trục tung. Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng Đ/s: m = − HT 56.. 1 . 3. 13 11 ;m = − 6 6. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.. Đ/s: m > −3 . HT 57.. Cho hàm số y = 2x 3 − 3(m + 1)x 2 + 6mx − 2 có đồ thị (Cm).Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm. duy nhất. Đ/s: 1 − 3 < m < 1 + 3 HT 58.. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 1 . Tìm m để đường thẳng (∆): y = (2m − 1)x – 4m – 1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai. điểm phân biệt. Đ/s: m = − HT 59.. 5 1 ;m= . 8 2. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + (m − 1)x + m + 1 có đồ thị là (C m ) . Tìm tất cả các giá trị của m để. d : y = 2x − m − 1 cắt đồ thị (C m ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1. Đ/s: không có giá trị m HT 60.. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C). Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao. cho x A = 2 và BC = 2 2 Đ/s: d : y = x + 2 HT 61. Cho hàm số y = 4x 3 − 6mx 2 + 1 (C), m là tham số. Tìm m để đường thẳng d : y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A(0;1), B, C với B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Đ/s: m = HT 62.. 2 3. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (m là tham số) (1).Tìm m để đường thẳng d : y = 1 cắt đồ thị hàm số (1). tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. Đ/s: m =. 9 − 65 9 + 65 ∨m= 8 8. HT 63.. Cho hàm số y = x 3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3 . Tìm m để (d) cắt (C) tại. M (1; 3) , N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Đ/s: m = HT 64.. −3 + 2 2 −3 − 2 2 ∨m= 3 3. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt. (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau. Đ/s: k =. −3 ± 2 2 3. HT 65.. Cho hàm số y = x 3 − mx + m − 1. (C m ). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm x = −1. cắt đường tròn (C): (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Đ/s: m = 2 HT 66. Cho hàm số y = x 3 − 3mx + 2 (C m ) . Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của (C m ) cắt đường tròn tâm I (1;1) , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất Đ/s: m =. 2± 3 2. HT 67. Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 có đồ thị là (C m ) Định m để đồ thị (C m ) cắt trục trục hoành tại bốn điểm. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 23.

(25) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. m > 1 phân biệt. Đ/s:   m ≠ 2  HT 68. Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 (C m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m ∈ ℝ để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C , D lần lượt có hoành độ x1, x 2 , x 3 , x 4 (x1 < x 2 < x 3 < x 4 ) sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4 biết K (3; −2). Đ/s: m = 4 HT 69. Cho hàm số y = x 4 − 2 (m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là (C m ) . Định m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm.  4  phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Đ/s: m =  4; −   9  HT 70. Cho hàm số y = x 4 – (3m + 2)x 2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ.  1 − < m < 1 thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Đ/s:   3  m ≠ 0  HT 71. Cho hàm số y = x 4 − 2 (m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số. Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành. 1 m = − ∨m ≥ 1. 2. tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3. Đ/s:. HT 72. Cho hàm số: y = x 4 − 5x 2 + 4 . Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại  10 10  − 2 < m < 2 M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. Đ/s:   30 m ≠ ±  6 2x + 1 có đồ thị là (C). Chứng minh rằng đường thẳng d : y = −x + m luôn cắt đồ thị (C) tại x +2. HT 73. Cho hàm số y =. hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Đ/s: m = 0 . HT 74. Cho hàm số y =. x −3 (C). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (−1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm x +1. M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Đ/s: y = kx + k + 1 với k < 0 .. 2x + 4 (C). Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai 1−x. HT 75. Cho hàm số y =. điểm M, N sao cho MN = 3 10 . Đ/s: k = −3; k = HT 76. Cho hàm số y = AB =. −3 + 41 −3 − 41 ; k= 16 16. 2x − 2 (C). Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x +1. 5 .Đ/s: m = 10; m = −2 .. HT 77. Cho hàm số y =. x −1 (1). Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + 2 cắt đồ thị hàm x +m. số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 2 . Đ/s: m = 7 HT 78. Cho hàm số y =. x +2 (C ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m ∈ ℝ để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị 2x − 2. (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB 2 =. 37 2. 5 Đ/s: m = − ∨ m = 2 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 24.

(26) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x (C ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m ∈ ℝ để đường thẳng d : y = mx − m − 1 cắt 1−x. HT 79. Cho hàm số y =. đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MA2 + MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.Đ/s: m = −1. x +1 (C ). Gọi d là đường thẳng qua M (2; 0) và có hệ số góc là k . Tìm k để d cắt (C) tại hai x −2. HT 80. Cho hàm số y =. điểm phân biệt A, B sao cho : MA = −2MB Đ/s: k =. 2 3. x +3 có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d :y = 2x + 3m cắt (H) tại hai điểm phân biệt sao x +2. HT 81. Cho hàm số y =. cho OAOB . = −4 với O là gốc tọa độ. Đ/s: m = HT 82. Tìm trên (H) : y =. 7 12. −x + 1 các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với x −2. đường thẳng y = x . Đ/s: A(3 + 2; − 2); B(3 − 2; 2) hoặc A(3 + 2; − 2); B(3 − 2; 2). A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) hoặc A(1 − 2; −2 + 2); B(1 + 2; −2 − 2). x +3 có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao x −2. HT 83. Cho hàm số y =. cho AOB nhọn.Đ/s: m > −3 3x + 2 x +2. HT 84. Cho hàm số y =. (C ) . Đường thẳng y = x cắt (C) tại hai điểm A, B. Tìm m để đường thẳng. y = x + m cắt (C) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành. Đ/s: m = 10 HT 85. Cho hàm số y =. 2x − 1 x −1. (C). Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho. ∆OAB vuông tại O. Đ/s: m = −2 HT 86. Cho hàm số y =. 2x − m (1). Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0 đồ thị hàm số (1) cắt (d) : y = 2x − 2m tại hai mx + 1. điểm phân biệt A, B thuộc một đường (H) cố định. Đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N. Tìm m để. SOAB = 3SOMN 2x − 1 (C ). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Với giá trị nào của m thì đường thẳng x −1. HT 87. Cho hàm số y =. y = −x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác IAB đều. Đ/s: m = 3 ± 6. x (C ) . Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân x −1. HT 88. Cho hàm số y =. biệt A, B sao cho OA, OB bằng 600. Với O là gốc tọa độ. Đ/s: m = −2 ∨ m = 6. PHẦN 4: TIẾP TUYẾN HT 89. Cho hà m so• y = bằng. 2x − 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I (1; 2) đến tiếp tuyến x −1. 2 . Đ/s: x + y − 1 = 0 và x + y − 5 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 25.

(27) GV.Lưu Huy Thưởng. HT 90. Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m )x 2 + (2 − m )x + m + 2. (1). 0968.393.899. (m là tham số).Tìm tham số m để đồ thị của hàm. số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α , biết cos α =. 1. .Đ/s: m ≤ −. 26. 1 1 hoặc m ≥ 4 2. HT 91. Cho hàm số y = −x 3 + 2x 2 − x (C ). Tìm tọa độ các điểm trên trục hoành sao cho qua điểm đó kẻ được hai tiếp.  32  tuyến với đồ thị (C) và góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 450. Đ/s: M ≡ O; M  ; 0  27  HT 92. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . Đ/s: A(3;1), B(−1; −3) .. x +1 (C). Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C). x −1. HT 93. Cho hàm số y = Đ/s: M (0;1); M (0; −1). HT 94. Cho hàm số y = 3x − x 3 (C). Tìm trên đường thẳng d : y = −x các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).Đ/s: A(2; −2); B(−2; 2) HT 95. Cho hàm số: y = x 3 − 3x + 2 . Tìm tất cả điểm trên đường thẳng y = 4 , sao cho từ đó kẻ được đúng 2 tiếp.  2  tuyến tới đồ thị (C). Đ/s: (−1; 4); − ; 4 ;(2; 4)  3  HT 96. Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 − 2. (C). Tìm trên đường thẳng d : y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến. m < −1  phân biệt với đồ thị (C). Đ/s: m > 5  3  m ≠ 2  2. 2. HT 97. Cho hàm số y = ( x + 1) . ( x − 1) (C). Cho điểm A(a; 0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ. 3 3 hoặc 1 ≠ a > 2 2. thị (C). Đ/s: −1 ≠ a < −. HT 98. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2. Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới.  1 đồ thị hàm số và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Đ/s: M 2; −   27  1 mx 3 + (m − 1)x 2 + (4 − 3m)x + 1 có đồ thị là (Cm). Tìm các giá trị m sao cho trên đồ 3 thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0 . HT 99. Cho hàm số y = f (x ) =. Đ/s:. m < 0 hay m >. 2 . 3. 1 HT 100. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (C m ) : y = mx 3 + (m − 1)x 2 + (4m − 3)x + 1 tồn tại đúng hai 3.  1 1 2  điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (L): x + 2y − 3 = 0 Đ/s: m ∈ 0;  ∪  ;   2   2 3  HT 101.. Cho hàm số y =. 2x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối x +2. xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. Đ/s: y = x và y = x + 8 . HT 102.. Cho hàm số y =. x +2 2x + 3. (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 26.

(28) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Đ/s: y = −x − 2 . HT 103.. Cho hàm số y =. 2x − 1 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy x −1.  y = − 1 x + 5  4 4 . lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB. Đ/s:  y = − 1 x + 13  4 4  HT 104.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =. 2x biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B mà tam x −2. giác OAB thỏa mãn: AB = OA 2 Đ/s: y = −x + 8 HT 105. Cho hàm số y =. 2x − 3 có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm x −2. cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Đ/s: M (3; 3) hoặc M (1;1) HT 106. Cho hàm số y =. 2x − 3 .Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) x −2. tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Đ/s: M (1;1); M (3; 3) HT 107. Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m 2x − m + 1 (C m ). Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Đ/s: m = 1 ∨ m = −3 ∨ m = HT 108. Cho hàm số y =. 3 2. 2x + 1 có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp x −1. tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M1 (1 + 3; 2 + 3 ) , M 2 (1 − 3; 2 − 3 ) HT 109.. Cho hàm số: y =. x +2 (C). Cho điểm A(0; a ) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 x −1.  a > − 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Đ/s:  .  a ≠ 1 3  HT 110.. Cho hàm số y =. x +2 . Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, ∆ là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d x +1. là khoảng cách từ I đến ∆ . Tìm giá trị lớn nhất của d. Đ/s:GTLN của d bằng. HT 111.. Cho hàm số y =. A(2; 4), B(−4; −2). Đ/s: y = HT 112.. Cho hàm số y =. x = 0 2 khi  0 x 0 = −2. 2x + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm x +1. 1 5 x + ; y = x + 1; y = x + 5 4 4 2x − 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm x −2. cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ABI bằng. 4. , với I là giao 2 tiệm cận.. 17.  3  5 1 3 1 7 Đ/s: Tại M 0;  : y = − x + ; Tại M 4;  : y = − x +  2   4 2 4 2 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 27.

(29) GV.Lưu Huy Thưởng HT 113.. Cho hàm số y =. 0968.393.899. x +1 (C). Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M ∈ (C) mà tiếp tuyến 2x − 1. tại M của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng y = 2m − 1 Đ/s: m ≥ HT 114.. Cho hàm số y =. 1 3. 2x − 1 (C ). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường thẳng x −1. y = mx + 5. Đ/s: m = −1 hoặc m = −9. PHẦN 5: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HT 115.. Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 1 .. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để phương trình x 3 − 3x 2 = m 3 − 3m 2 có ba nghiệm phân biệt. Đ/s: m ∈ (−1; 3) \ {0; 2} HT 116. Cho hàm số y = x 4 − 5x 2 + 4 có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để phương trình | x 4 − 5x 2 + 4 |= log2 m có 6 nghiệm. 9. 9 • Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm ⇔ log12 m = ⇔ m = 12 4 = 144 4 12 . 4. HT 117. Cho hàm số: y = x 4 − 2x 2 + 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4 − 2x 2 + 1 + log2 m = 0. 0<m <. 1 2. 2 nghiệm. m=. 1 2. (m> 0). 1 <m <1 2. m =1. m >1. 4 nghiệm. 2 nghiệm. vô nghiệm. 3 nghiệm. HT 118. Cho hàm số y = f (x ) = 8x 4 − 9x 2 + 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 8 cos4 x − 9 cos2 x + m = 0 với x ∈ [0; π ]. Đ/s:. m<0. m=0. 0<m <1. 1≤m <. 81 32. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. m=. 81 32. m>. 81 32. Page 28.

(30) GV.Lưu Huy Thưởng vô nghiệm. 1 nghiệm. HT 119. Cho hàm số y =. 2 nghiệm. 4 nghiệm. 2 nghiệm. 0968.393.899 vô nghiệm. x +1 . x −1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.. 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. m < −1; m > 1 2 nghiệm. x +1 x −1. = m.. m = −1. −1 < m ≤ 1. 1 nghiệm. vô nghiệm. PHẦN 6: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HT 120.. Cho hàm số y = −x 3 + 3x + 2 (C). Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm. M (−1; 3) . Đ/s: (−1; 0) và (−1; 6) HT 121. Cho hàm số y = −x 3 + 3x + 2 (C). Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : 2x – y + 2 = 0 . Đ/s:.  1 7   7 1 7   7  ; − ; 2 +   ; 2 − 2 2   2 2 2   2. HT 122. Cho hàm số y = −. 11 x3 + x 2 + 3x − . Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. 3 3.  16   16  Đ/s: M 3;  , N −3;  .  3  3 HT 123.. Cho hàm số y =. 2x − 1 (C).Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M x +1. và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9. Đ/s: M (0; −3); M (−2; 5) HT 124.. Cho hàm số y =. 2x + 1 (C). Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. x +1. Đ/s: (0;1);(−2; 3) HT 125.. Cho hàm số y =. 3x − 4 (C). Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận. x −2. Đ/s: M1(1;1); M 2 (4; 6) HT 126.. Cho hàm số y =. 1 4 1 2 x − x + 1 (C ). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục 4 2. tọa độ là nhỏ nhất. Đ/s: M (0;1) HT 127.. Cho hàm số y0 = 2x 04 − 3x 02 + 2x 0 + 1 có đồ thị là (C) và đường thẳng (∆) = 2x − 1 .Tìm trên đồ thị (C) điểm.    3  3 1 1   A có khoảng cách đến (∆) là nhỏ nhất Đ/s: A1 − ; − − 3  ; A2  ; − + 3  8 8  2  2  . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 29.

(31) GV.Lưu Huy Thưởng HT 128.. Cho hàm số y =. 0968.393.899. x +1 . Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tồng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là x −2.  1 nhỏ nhất. Đ/s: M 0; −  2   HT 129.. Cho hàm số. y=. 2x − 4 . Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết x +1. M (−3; 0); N (−1; −1) Đ/s:A(0; –4), B(2; 0). HT 130.. Cho hàm số y =. 2x x −1. . Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại. đỉnh A với A(2; 0). Đ/s: B(−1;1), C (3; 3) HT 131. Cho hàm số y =. 2x − 1 . Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm I (−1; 2) tới tiếp tuyến của (C) x +1. (. tại M là lớn nhất. Đ/s: M −1 + 3 ; 2 − 3 HT 132. Cho hàm số y =. ). (. hoặc M −1 − 3 ; 2 + 3. ). x +2 . Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0), B(0; 2) . 2x − 1. 1 − 5 1 − 5   1 + 5 1 + 5    ;   Đ/s:  , ,   2 2   2 2 . HT 133. Cho hàm số y =. x −3 . Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.Đ/s: x +1. A (−1 − 4 4;1 + 4 64 ) , B (−1 + 4 4;1 − 4 64 ) . HT 134. Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 1 Tìm tọa độ hai điểm P. Q thuộc (C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến đường thẳng PQ bằng 8 Đ/s:Vậy, P(-2;9), Q(2;9) hoặc P(2;9); Q(-2;9) (3m + 1)x − m 2 + m . Tìm các điểm thuộc đường thẳng x = 1 mà không có đồ thị đi qua. x +m. HT 135. Cho hàm số y =. Đ/s:Tập hợp các điểm thuộc đường thẳng x = 1 có tung độ bằng a với a thỏa mãn : 2 < a < 10. 2x − 1 (C ). Tìm trên đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt sao cho ba điểm A, B, I (0; −1) thẳng x −1. HT 136. Cho hàm số y =. hàng đồng thời thỏa mãn: IA.IB = 4.. (. ) (. ). (. ) (. Đ/s: A 2 − 2;1 − 2 ; B 2 + 2;1 + 2 hoặc A 1 − 3; −2 + 3 ; B 1 + 3; −2 − 3. ). PHẦN 7: CÁC BÀI TỔNG HỢP HT 137. Cho hàm số y =. 2x + 3 (C ). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho x −2. tiếp tuyến tại hai điểm đó của đồ thị hàm số song song với nhau. Đ/s: m = −2 HT 138. Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + 2mx − 1 (C ). Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. A(1; 0), B và C sao cho k1 + k2 = BC . 5 trong đó k1, k2 lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến tại B, C của đồ thị hàm số (C). Đ/s: m = −1; m = 2 HT 139. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx + 2 − m (C m ). Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B , C. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 30.

(32) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. sao cho tổng các hệ số góc của tiếp tuyến của (C m ) tại A, B , C bằng 3.Đ/s: m = 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 31.

(33) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN 8: TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009 HT 140. (ĐH A – 2009) Cho hàm số y =. x +2 (1) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến 2x + 3. đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Đ/s: y = −x − 2 HT 141. (ĐH B – 2009) Cho hàm số: y = 2x 4 − 4x 2 (1) .Với giá trị nào của m, phương trình x 2 x 2 − 2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. Đ/s: 0 < m < 1 HT 142. (ĐH D – 2009) Cho hàm số y = x 4 − (3m + 2)x 2 + 3m có đồ thị là (C m ) với m là tham số. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C m ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Đ/s: −. 1 < m < 1, m ≠ 0 3. HT 143. (ĐH A – 2010) Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + (1 − m )x + m (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x 2, x 3 thỏa mãn điều kiện: x12 + x 22 + x 32 < 4 Đ/s: −. 1 < m < 1 và m ≠ 0 4. HT 144. (ĐH B – 2010) Cho hàm số y =. 2x + 1 (C ) . Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C ) tại hai x +1. điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng HT 145.. (D – 2010) Cho hàm số y = −x 4 − x 2 + 6 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến. vuông góc với đường thẳng y = HT 146.. 3 (O là gốc tọa độ). Đ/s: m = ±2. 1 x − 1 Đ/s: y = −6x + 10 6. (A – 2011)Cho hàm số y =. −x + 1 (C ) . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ 2x − 1. thị (C ) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C ) tại A và B. Tìm m để tổng. k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. Đ/s: k1 + k2 lớn nhất bằng −2 , khi và chỉ khi m = −1. HT 147.. (B – 2011) Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m (1) (với m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba. điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Đ/s: m = 2 ± 2 2 HT 148.. (D – 2011) Cho hàm số y =. 2x + 1 (C ) . Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C ) tại hai điểm x +1. phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. Đ/s: k HT 149.. 4. 2. = −3. 2. (A,A1 – 2012) Cho hàm số y = x − 2(m + 1)x + m (1) , với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số. (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. Đ/s: m = 0 HT 150.. (B – 2012) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3m 3 (1), m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai. điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Đ/s: m = ±2 HT 151.. (D – 2012) Cho hàm số y =. 2 3 2 x − mx 2 − 2(3m 2 − 1)x + (1), m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) có 3 3. hai điểm cực trị x1; x 2 sao cho: x1x 2 + 2(x1 + x 2 ) = 1. Đ/s: m = HT 152.. 2 3. (A,A1 – 2013) Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 3mx − 1 (1) , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 32.

(34) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Đ/s: m ≤ −1 HT 153.. (B – 2013) Cho hàm số y = 2x 3 − 3(m + 1)x 2 + 6mx (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1). có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2. Đ/s: m = 0; m = 2 HT 154.. (D – 2013) Cho hàm số y = 2x 3 − 3mx 2 + (m − 1)x + 1 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đường thẳng. y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. Đ/s: m < 0; m >. 8 9. -----------------------------------------------------------HẾT-----------------------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 33.

(35) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(36) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA 1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α. Cơ số a. Luỹ thừa a α. α = n ∈ N*. a∈R. a α = a n = a.a......a (n thừa số a). α=0. a≠0. aα = a0 = 1. α = −n ( n ∈ N * ). a≠0. a α = a −n = m an. m (m ∈ Z , n ∈ N * ) n. a>0. a =. α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * ). a>0. a α = lim a n. α=. α. 1 an n. = a m (n a = b ⇔ b n = a ) r. 2. Tính chất của luỹ thừa • Với mọi a > 0, b > 0 ta có: α. β. a .a = a. α +β. aα. ;. aβ. =a. α −β. ;. α β. (a ) = a. α. β. ;. α. α. (ab) = a .b. α. ;. a α a α   = α  b  b. • a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β • Với 0 < a 0 ;. Chú ý:. a m > bm ⇔ m < 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức • Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a . • Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: n. n. n. ab = a . b ;. Neáu. p q = thì n m. n. n. n a a = (b > 0) ; n b b. ap =. m. n. p. a p = (n a ) (a > 0) ;. a q (a > 0) ; Đặc biệt n a =. mn. m n. a = mn a. am. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 1.

(37) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a < n b . Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a < n b . Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. 4. Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì. Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:. C = A(1 + r )N. VẤN ĐỀ II: LOGARIT 1. Định nghĩa • Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ a α = b a > 0, a ≠ 1 Chú ý: loga b có nghĩa khi  b > 0 . • Logarit thập phân:. lg b = log b = log10 b. n  1   • Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b (với e = lim 1 +  ≈ 2,718281 )  n. 2. Tính chất • loga 1 = 0 ;. loga a = 1 ;. loga a b = b ;. a. loga b. = b (b > 0). • Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó: + Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c + Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c 3. Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: • loga (bc) = loga b + loga c. b  • loga   = loga b − loga c c . • loga b α = α loga b. 4. Đổi cơ số BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 2.

(38) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có: • logb c =. loga c. • loga b =. 1 logb a. loga b. hay loga b.logb c = loga c 1 log c (α ≠ 0) α a. • log α c = a. Bài tập cơ bản HT 1: Thực hiện các phép tính sau: 1) log2 4.log 1 2. 1 .log27 9 25. 2) log5. 4. 4) 4. 7). log2 3. +9. log. 3. 2. 5) log. log 3 a.log 4 a 1/3 a. a 7. 2 2. 3) loga. 8. 6) 27. log 9 2. a. +4. log 8 27. 2 log3 2 + 4 log81 5. 8) log3 6.log8 9.log6 2. log 1 a. 3. 9) 9. a log3 5. 10) 81. 13) 9. 1 log6 3. + 27. +4. log9 36. +3. 4 log9 7. 1 log8 2. 11) 25. log5 6. + 49. 1+ log9 4. 14) 3. HT 2: So sánh các cặp số sau: 1 1) log 3 4 vaø log 4 3. +4. log7 8. 2−log2 3. 12) 5. +5. log125 27. 2) log0,1 3 2 vaø log0,2 0, 34. 3−2 log5 4. 15) log. 3) log 3 4. 1 1 4) log 1 vaø log 1 80 3 2 15 + 2. 6) 2. 5) log13 150 vaø log17 290. 6. 3.log 3 36. 2 3 vaø log 5 5 4. log6 3. 2. vaø 3. log6. 1 2. HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 1)Cho log2 14 = a . Tính log49 32 theo a. 2)Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a. 3)Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;. 1 log81 100. .. 4)Cho log7 2 = a . Tính log 1 28 theo a. 2. HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 49 theo a, b. 1)Cho log25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log 3 5 8 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 3.

(39) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2)Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b. 3)Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b. 4)Cho log2 3 = a ; log3 5 = b ; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c.. VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT. 1. Khái niệm 1)Hàm số luỹ thừa y = x α (α là hằng số). Số mũ α. Hàm số y = x α. Tập xác định D. α = n (n nguyên dương). y = xn. D=R. α = n (n nguyên âm hoặc n = 0). y = xn. D = R \ {0}. α là số thực không nguyên. y = xα. D = (0; +∞). Chú ý: Hàm số y =. 1 n x. không đồng nhất với hàm số y = n x (n ∈ N *) .. 2)Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định:. D = R.. • Tập giá trị:. T = (0; +∞).. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. • Đồ thị: y. 1. a>1. y=ax. y. y=ax 1 x. x. 0<a<1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 4.

(40) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 3)Hàm số logarit y = loga x (a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định:. D = (0; +∞).. • Tập giá trị:. T = R.. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. • Đồ thị:. y y. x. 1. x. 1. O. y=logax. y=logax. O. 0<a<1. a>1 2. Giới hạn đặc biệt •. 1 x lim(1 + x ) x →0. x  1   = lim 1 +  = e x →±∞  x. ex − 1 =1 x →0 x. ln(1 + x ) • lim =1 x →0 x. • lim. 3. Đạo hàm •. (x α )′ = αx α−1 (x > 0) ;. (u α )′ = αu α−1.u ′. ( n x )′ =. với x > 0 nếu n chẵn   . với x ≠ 0 nếu n lẻ . Chú ý:. •. •. 1 n. n x n−1. (a x )′ = a x ln a ;. (a u )′ = a u ln a.u ′. (e x )′ = e x ;. (e u )′ = e u .u ′. (loga x )′ = x ln1 a ;. (loga u )′ = u uln′ a. (ln x )′ = 1 (x > 0);. (ln u )′ = u ′. x. (n u )′ =. u′ n. n u n −1. u. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 5.

(41) GV.Lưu Huy Thưởng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 0968.393.899. Page 6.

(42) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Bài tập cơ bản HT 5: Tính các giới hạn sau:  x x   1) lim  x →+∞  1 + x   3x − 4   4) lim  x →+∞  3x + 2 .  1 2) lim 1 +  x →+∞  x x +1 3. x +1 x.  x + 1 x  5) lim  x →+∞  2x − 1 . e 2x − 1 x →0 3x. ln x − 1 x →e x − e.  x + 12x −1  3) lim  x →+∞  x − 2   2x + 1x  6) lim  x →+∞  x − 1 . ex − e x →1 x − 1. 7) lim. 8) lim. e x − e −x k) lim x → 0 sin x. e sin 2x − e sin x l) lim x →0 x. i) lim. m). lim x (e. ). 1 x. −1. x →+∞. HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3. x +1 x −1. 1) y = x 2 + x + 1. 2) y =. 4) y = 3 sin(2x + 1). 5) y = cot 1 + x 2. 7) y = 3 sin. 4. 3) y =. 3. x +3 4. 8) y =. 11. 5. 9 + 6 x9. 6) y =. 9) y =. 5. x2 + x − 2 x2 + 1. 1 − 3 2x 1 + 3 2x 4. x2 + x + 1 x2 − x + 1. HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2) y = (x 2 + 2x )e −x. 1) y = (x 2 − 2x + 2)e x. 4) y = e. 2x +x 2. x. 7) y = 2 .e. 5) y = x .e. cos x. 8) y =. 1 x− x 3. 3x 2. x −x +1. 3) y = e −2x .sin x. 6) y =. e 2x + e x e 2x − e x. i) y = cos x .e cot x. HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = ln(2x 2 + x + 3). 2) y = log2 (cos x ). 3) y = e x .ln(cos x ). 4) y = (2x − 1)ln(3x 2 + x ). 5) y = log 1 (x 3 − cos x ). 6) y = log3 (cos x ). 2. 7) y =. ln(2x + 1). 8) y =. 2x + 1. ln(2x + 1) x +1. 9) y = ln (x + 1 + x 2 ). HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: 1) y = x .e. −. x2 2 ;. xy ′ = (1 − x 2 )y. 2) y = (x + 1)e x ; y ′ − y = e x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 7.

(43) GV.Lưu Huy Thưởng 3) y = e 4x + 2e −x ;. y ′′′ − 13y ′ − 12y = 0. 5) y = e−x .sin x ;. y ′′ + 2y ′ + 2y = 0. 0968.393.899. 4) y = a.e −x + b.e −2x ; y ′′ + 3y ′ + 2y = 0 6) y = e −x .cos x ; y. ( 4). + 4y = 0. HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:  1  1 ; ; xy′ = y  y ln x − 1 xy ′ + 1 = ey 2) y = 1) y = ln   1 + x  1 + x + ln x 3) y = sin(ln x ) + cos(ln x ); y + xy ′ + x 2y ′′ = 0. 4) y =. 1 + ln x ; 2x 2y ′ = (x 2y 2 + 1) x (1 − ln x ). HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra: 1) f '(x ) = 2 f (x ); f (x ) = e x (x 2 + 3x + 1). 2) f '(x ) +. 1 f (x ) = 0; x. f (x ) = x 3 ln x. 3) f '(x ) = 0; f (x ) = e 2x −1 + 2.e1−2x + 7x − 5. VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ. Với a > 0, a ≠ 1 :. 1. Phương trình mũ cơ bản:. b > 0 a x = b ⇔  x = loga b . 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 1) Đưa về cùng cơ số:. Với a > 0, a ≠ 1 :. Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:. a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g(x ) a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N ) = 0. a f (x ) = b g (x ) ⇔ f (x ) = (loga b ).g (x ). 2) Logarit hoá: 3) Đặt ẩn phụ: • Dạng 1:. t = a f (x ), t > 0 P (a f (x )) = 0 ⇔  , trong đó P(t) là đa thức theo t. P (t ) = 0 . • Dạng 2:. αa 2 f (x ) + β(ab)f (x ) + γb 2 f (x ) = 0. Chia 2 vế cho b. 2 f (x ). a f (x ) , rồi đặt ẩn phụ t =   b . • Dạng 3: a f (x ) + b f (x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f (x ) ⇒ b f (x ) = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 1 t Page 8.

(44) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình:. f(x) = g(x). (1). • Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:  f (x ) đồng biến và g(x ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).   f (x ) ñôn ñieäu vaø g(x ) = c haèng soá . • Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v. 5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt A = 0 • Phương trình tích A.B = 0 ⇔  B = 0. A = 0 • Phương trình A2 + B 2 = 0 ⇔  B = 0 . 6) Phương pháp đối lập Xét phương trình:. f(x) = g(x). (1).  f (x ) ≥ M Nếu ta chứng minh được:  g(x ) ≤ M . thì.  f (x ) = M (1) ⇔  g(x ) = M . Bài tập cơ bản HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): 2x. 2) (3 − 2 2 ). 1) 9 3x −1 = 38x −2 3) 4x. 2. −3x +2. 5) 2x. 2. −1.  1 x 7)    2 . 2. + 4x. + 2x. 2. +2. 2. + 6x + 5. = 42x. 2. = 3x + 3x. 2. 2. + 3x +7. +1. −1. 11). =. x 2 +4. = 25.  1 x +7  1 1−2x   =2 8)   .  2  2 . 4− 3x. 9) 3x .2x +1 = 72 x +10 16 x −10. 4) 52x − 7x − 52x .35 + 7x .35 = 0 x− 6) 5. −2. =2. = 3+2 2. 10) 5x +1 + 6. 5x – 3. 5x −1 = 52. x +5 x 0,125.8 −15. 12) (. x −1. 5 + 2). =(. x −1. 5 − 2)x +1. HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):  2 4x +1  1 3x +2 1)   =    5   7  x. 4) 3. x x + .8 2. =6. x. 2) 5. 2x −1 .2 x +1. = 50. 5) 4.9x −1 = 3 22x +1. x. 3) 3. 6) 2x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 3x x .2 +2. 2. −2x. =6. .3x = 1, 5 Page 9.

(45) GV.Lưu Huy Thưởng 2. x. 2. x. 8) 23 = 32. 7) 5x .3x = 1. 9) 3x .2x = 1. HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 1) 4x + 2x +1 − 8 = 0 2) 4x +1 − 6.2x +1 + 8 = 0. x. x. 7) (7 + 4 3 ) + (2 + 3 ) = 6 10) 32x. 2. +2x +1. 2. − 28.3x. +x. 2. 8) 4cos 2x + 4cos 11) 4x. +9 = 0. 2. +2. + 31+. x. 6) 2x. +2. −x. 2. − 22+x −x = 3.. 9) 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0. =3. 2. 2. + 8 = 0 12) 3.52x −1 − 2.5x −1 = 0,2. 2) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0. 3) 3.4x + (3x − 10).2x + 3 − x = 0 x. x. − 9.2x. HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 1) 25x − 2(3 − x ).5x + 2x − 7 = 0. 5) 4x 2 + x .3. 3) 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0. 5) 49x + 7x +1 − 8 = 0. 4) 16x − 17.4x + 16 = 0. 0968.393.899. 4) 9x + 2(x − 2).3x + 2x − 5 = 0 6) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0. = 2.3 x .x 2 + 2x + 6. 7) 4x +(x – 8)2x +12 – 2x = 0. 8) (x + 4).9x − (x + 5).3x + 1 = 0. 2 2 9) 4x + (x 2 − 7).2x + 12 − 4x 2 = 0. 10) 9−x − (x + 2).3−x − 2(x + 4) = 0. HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): 1) 64.9x − 84.12x + 27.16x = 0 2) 3.16x + 2.81x = 5.36x. 3) 6.32x − 13.6x + 6.22x = 0. 4) 25x + 10x = 22x +1. 6) 3.16x + 2.81x = 5.36x. 7). 1 x 6.9. 1 x − 13.6. 1 x + 6.4. 5) 27x + 12x = 2.8x −. =0. 8) 4. x. 1 x. −. +6. 1 x. −. =9. x. 1 x. 9). 1 x 2.4. 1 x +6. =. 1 x 9. x. 10) (7 + 5 2 ) + ( 2 − 5)(3 + 2 2 ) + 3 (1 + 2 ) + 1 − 2 = 0.. HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3): x. x. x. (. ) +(. x. ). 1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14. 2). 3) (2 + 3)x + (7 + 4 3)(2 − 3)x = 4(2 + 3). 4) (5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) = 2x + 3. x. 5) (5 + 24 ) + (5 − 24 ) = 10. 7). (. 6 − 35. ) +(. x. 6 + 35. ). = 12. 2− 3. x. =4. x.  7 + 3 5 x  7 − 3 5 x   6)   + 7   = 8   2 2  . x. x. 2+ 3. 8) (2 +. (x −1)2. 3). + (2 −. x 2 −2x −1. 3). =. 4 2− 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 10.

(46) GV.Lưu Huy Thưởng x. x. x. 9) (3 + 5 ) + 16 (3 − 5 ) = 2x +3 x. 0968.393.899 x. 10) (3 + 5 ) + (3 − 5 ) − 7.2x = 0. x. 11) (7 + 4 3 ) − 3 (2 − 3 ) + 2 = 0. 12). (. x. 3. 3+ 8. ) +(. x. 3. 3− 8. ). = 6.. HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x. x. 1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 4x x. 2). x. (. x. x. 3 − 2) + ( 3 + 2) = x. (. x. 3) (3 + 2 2 ) + (3 − 2 2 ) = 6x. 4) (3 + 5 ) + 16. (3 − 5 ) = 2x +3.  3 x 7 5)   + = 2x 5  5 . 6). (. x. 2+ 3. x. 10 ). ) +(. x. 2− 3. ). 2. = 2x. 7) 2x + 3x + 5x = 10x. 8) 2x + 3x = 5x. 9) 2x −1 − 2x. 10) 3x = 5 − 2x. 11) 2x = 3 − x. 12) 2x +1 − 4x = x − 1. −x. = (x − 1)2. HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x. 2) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20. 3) 8 − x .2x + 23−x − x = 0. 4) 2x + 3x = 1 + 6x. 5) 4x. 2. −3x +2. + 4x. 2. +6x + 5. = 42.x. 2. + 3x +7. 6) 4x. +1. 2. 2. +x. 2 (x +1) + 21−x = 2 +1. 7) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = −x 3 + 8x 2 − 19x + 12. 8) x 2 .3x −1 + x (3x − 2x ) = 2(2x − 3x −1 ). 9) 4sin x − 21+sin x cos(xy ) + 2 y = 0. 10) 22(x. 2. +x ). 2. + 21−x − 22(x. 2. 2. +x ). .21−x − 1 = 0. HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 1) 2x = cos x 4, với x ≥ 0. 2) 3x.  x 3 − x   = 3x + 3−x 4) 2.cos2   2 . 5) π. 2. 2. −6x +10. sin x. = − x 2 + 6x − 6. 3) 3 sin. x. 2. = cos x. 6) 22x −x =. = cos x. x2 +1 x. 2. 7) 3x = cos 2x. 8) 5x = cos 3x. HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) 9x + 3x + m = 0. 3) 4x − 2x + 1 = m. 2) 9x + m 3x − 1 = 0. 4) 32x + 2.3x − (m + 3).2x = 0 5) 2x + (m + 1).2−x + m = 0 7) 16x − (m − 1).22x + m − 1 = 0 9) 81sin. 2. x. 2. + 81cos. x. =m. 6) 25x − 2.5x − m − 2 = 0. 8) 25x + m.5x + 1 − 2m = 0 2. 2. 10) 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 11.

(47) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 11) 4 x + 1 + 3 − x − 14.2 x + 1 + 3 − x + 8 = m 2 12) 9x + 1−x − 8.3x +. 1−x 2. +4 =m. HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1) m.2x + 2−x − 5 = 0 2) m.16x + 2.81x = 5.36x. 3). (. x. x. 5 + 1) + m ( 5 − 1) = 2x. 5) 4x − 2x + 3 + 3 = m.  7 + 3 5 x  7 − 3 5 x   + m   = 8 4)      2 2. 6) 9x + m 3x + 1 = 0. HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: 1) (m + 1).4x + (3m − 2).2x +1 − 3m + 1 = 0. 2) 49x + (m − 1).7x + m − 2m 2 = 0. 3) 9x + 3(m − 1).3x − 5m + 2 = 0. 4) (m + 3).16x + (2m − 1).4x + m + 1 = 0. 5) 4x − 2 (m + 1).2x +3m − 8 = 0. 6) 4x − 2x + 6 = m. HT 24: Tìm m để các phương trình sau: 1) m.16x + 2.81x = 5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt. 2) 16x − m.8x + (2m − 1).4x = m.2x có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 3) 4x − 2x +2 + 6 = m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 4) 9x − 4.3x + 8 = m có 3 nghiệm phân biệt.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 12.

(48) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. 1. Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ≠ 1:. loga x = b ⇔ x = a b. 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit 1) Đưa về cùng cơ số  f (x ) = g(x ) loga f (x ) = loga g (x ) ⇔   f (x ) > 0 (hoặc g(x ) > 0) . Với a > 0, a ≠ 1:. 2) Mũ hoá Với a > 0, a ≠ 1:. loga f (x ) = b ⇔ a. loga f (x ). = ab. 3) Đặt ẩn phụ 4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 5) Đưa về phương trình đặc biệt 6) Phương pháp đối lập Chú ý:. • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. • Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1:. a. logb c. =c. logb a. Bài tập cơ bản HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log2 x (x − 1) = 1 2) log2 x + log2 (x − 1) = 1   3) log2 (x − 2) − 6.log1/8 3x − 5 = 2. 4) log2 (x − 3) + log2 (x − 1) = 3. 5) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8. 6) lg(x − 2) + lg(x − 3) = 1 − lg 5. 7) 2 log8 (x − 2) − log8 (x − 3) =. 2 3. 8) lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18. 9) log3 (x 2 − 6) = log 3 (x − 2) + 1. 10) log2 (x + 3) + log2(x − 1) = 1 / log5 2. 11) log4 x + log4 (10 − x ) = 2. 12) log5 (x − 1) − log1/5 (x + 2) = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 13.

(49) GV.Lưu Huy Thưởng. 13) log2 (x − 1) + log2 (x + 3) = log2 10 − 1. 0968.393.899. 14) log9 (x + 8) − log3 (x + 26) + 2 = 0. HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log3 x + log. 3. x + log1/3 x = 6. 2) 1 + lg(x 2 − 2x + 1) − lg(x 2 + 1) = 2 lg(1 − x ). 3) log 4 x + log1/16 x + log 8 x = 5. 4) 2 + lg(4x 2 − 4x + 1) − lg(x 2 + 19) = 2 lg(1 − 2x ). 5) log2 x + log4 x + log8 x = 11. 6) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) = 1 + log. 7) log2 log2 x = log3 log3 x. 8) log2 log3 x = log3 log2 x. 9) log2 log3 x + log3 log2 x = log3 log3 x. 10) log2 log3 log4 x = log4 log3 log2 x. 1/ 2. (7 − x ). HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log2 (9 − 2x ) = 3 − x 2) log3 (3x − 8) = 2 − x 3) log7 (6 + 7−x ) = 1 + x 5) log2 (9 − 2x ) = 5. log5 (3−x ). 4) log 3 (4.3x −1 − 1) = 2x − 1 6) log2 (3.2x − 1) − 2x − 1 = 0. 7) log2 (12 − 2x ) = 5 − x. 8) log5 (26 − 3x ) = 2. 9) log2 (5x + 1 − 25x ) = 2. 10) log4 (3.2x + 1 − 5) = x. 11) log 1 (5x + 1 − 25x ) = −2. 12) log 1 (6x + 1 − 36x ) = −2. 6. 5. HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log5 −x (x 2 − 2x + 65) = 2 2) logx − 1(x 2 − 4x + 5) = 1 3) logx (5x 2 − 8x + 3) = 2 5) logx. −3. (x − 1) = 2. 4) logx +1(2x 3 + 2x 2 − 3x + 1) = 3 6) logx (x + 2) = 2. 7) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2. 8) logx + 3 (x 2 − x ) = 1. 9) logx (2x 2 − 7x + 12) = 2. 10) logx (2x 2 − 3x − 4) = 2. 11) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2. 12) logx (x 2 − 2) = 1. 13) log 3x 15) logx. +5. (9x 2 + 8x + 2) = 2. 15 = −2 1 − 2x. 14) log2x. + 4. (x 2 + 1) = 1. 16) log 2 (3 − 2x ) = 1 x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 14.

(50) GV.Lưu Huy Thưởng 17) log. x 2 + 3x. 0968.393.899. 18) logx (2x 2 − 5x + 4) = 2. (x + 3) = 1. HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1) log23 x + log23 x + 1 − 5 = 0 3) logx 2 − log 4 x +. 7 =0 6. 5) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 0 2. 7) log5 x − logx. 1 =2 5. 9) 2 log5 x − 2 = logx. 2) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 2 2. 4) log21 4x + log2 2. 6) log 2 16 + log2x 64 = 3 x. 8) log7 x − logx 1 5. x2 =8 8. 10) 3. 1 =2 7. log2 x − log2 4x = 0. 11) 3 log3 x − log 3 3x − 1 = 0. 12) log2 3 x + 3 log2 x = 4 / 3. 13) log2 3 x − 3 log2 x = −2 / 3. 14) log22 x + 2 log4. 15) log22 (2 − x ) − 8 log1/4 (2 − x ) = 5. 16) log25 x + 4 log25 5x − 5 = 0. 17) logx 5 + logx 5x =. 19). 9 + logx2 5 4. 1 2 + =1 4 − lg x 2 + lg x. 1 =0 x. 18) log 2 3 + log9 x = 1 x. 20). 1 3 + =1 5 − lg x 3 + lg x. 21) log2x x 2 − 14 log16x x 3 + 40 log4x x = 0. HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): log2 x. log2 6. 1) log23 x + (x − 12)log3 x + 11 − x = 0. 2) 6.9. 3) x .log22 x − 2(x + 1).log2 x + 4 = 0. 4) log22 x + (x − 1)log2 x = 6 − 2x. + 6.x 2 = 13.x. 5) (x + 2)log2 3 (x + 1) + 4(x + 1)log3 (x + 1) − 16 = 0 6) log 2 (2 + x ) + log x. 7) log23 (x + 1) + (x − 5)log3 (x + 1) − 2x + 6 = 0. 2−x. x =2. 8) 4 log3 x − 1 − log3 x = 4. 9) log2 (x 2 + 3x + 2) + log2 (x 2 + 7x + 12) = 3 + log2 3. HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1) log7 x = log3( x + 2). 2) log2 (x − 3) + log3 (x − 2) = 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 15.

(51) GV.Lưu Huy Thưởng. 3) log3 (x + 1) + log5 (2x + 1) = 2 5) 4 7) x. log7 (x +3). log2 9. log6 x. ) = log6 x. 6) log2 (1 + x ) = log3 x. =x. = x 2 .3. 4) log2 (x + 3. 0968.393.899. log2 x. −x. log2 3. 8) log 3x +7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log2x +3 (6x 2 + 23x + 21) = 4 9) log2 (x − x 2 − 1).log3 (x + x 2 − 1) = log6 (x − x 2 − 1). HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 1) x + x. log2 3. =x. log2 5. (x > 0). 2) x 2 + 3. log2 x. =5. log2 x. 3) log5 (x + 3) = 3 − x. 4) log2 (3 − x ) = x. 5) log2 (x 2 − x − 6) + x = log2 (x + 2) + 4. 6) x + 2.3. log2 x. =3. 7) 4(x − 2)  log2 (x − 3) + log 3 (x − 2) = 15(x + 1). HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 1) log2 x + 2.log7 x = 2 + log2 x .log7 x 2) log2 x .log3 x + 3 = 3.log3 x + log2 x 2. 3) 2 (log9 x ) = log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1). HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 1) ln(sin2 x ) − 1 + sin3 x = 0 3) 22x +1 + 23−2x =. 2) log2 (x 2 + x − 1) = 1 − x 2. 8 log3 (4x 2 − 4x + 4). HT 35: Tìm m để các phương trình sau: 1) log2 (4x − m ) = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt. 2) log23 x − (m + 2).log 3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27. 3) 2 log4 (2x 2 − x + 2m − 4m 2 ) = log2 (x 2 + mx − 2m 2 ) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x 12 + x 22 > 1 .   4) log23 x + log23 x + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3  .. (. 5) 4 log2 x. 2. ). + log2 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 16.

(52) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: • Phương pháp thế. • Phương pháp cộng đại số. • Phương pháp đặt ẩn phụ. • …….. HT 36: Giải các hệ phương trình sau: x + 2y = 5  1)  x − 2y = 1  y  x − 3 = 1 3)  2 x + 3y = 19 . 2x = 4y  2)  x 4 = 32y  x y −1 = 8  4)  2y −6 =4 x. HT 37: Giải các hệ phương trình sau: 4x − 3y = 7  1)  x y 4 .3 = 144 . y  x 2 + 3 = 17 2)  x 3.2 − 2.3y = 6 . x +y  = 56 2x + 2.3 3)  x + y + 1 3.2x + 3 = 87 .  2x +2 + 22y +2 = 17 3 4)  x +1 2.3 + 3.2y = 8 .  3 5)  3 . 2  2(x 2 −1) − 4.4x −1.2y + 22y = 1 4 6)  22y − 3.4x 2 −1..2y = 4 . x +1. − 2y = −4. x +1. − 2y +1 = −1.  2 y −x 2 =1 (x + y )2 8)  9(x 2 + y ) = 6x 2 −y . y  2 cot x = 3 7)  cos x = 2y . 32x − 2y = 77  9)  x 3 − 2y = 7 . 2x − 2y = (y − x )(xy + 2)  10)  2 x + y 2 = 2 . HT 38: Giải các hệ phương trình sau: 3x = 2y + 1  1)  y 3 = 2x + 1  2x − 2y = y − x  3)  2 2 x + xy + y = 3. 3x + 2x = y + 11  2)  y 3 + 2y = x + 11  7 x −1 = 6y − 5  4)  y −1 7 = 6x − 5 . HT 39: Giải các hệ phương trình sau: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 17.

(53) GV.Lưu Huy Thưởng x + y = 6 1)  log2 x + log2 y = 3 . log y + log x = 2 y 2)  x x + y = 6 . x + log y = 4 2 3)  2x − log2 y = 2 . x 2 − y 2 = 3  4)  log 3 (x + y ) − log5 (x − y ) = 1. xy = 32 5)  logy x = 4 . log x + 2log2 y = 3  6)  y 3 x = 9 . 2(log x + log y ) = 5 y x 7)  xy = 8 .  x − 1 + 2 − y = 1  8)  2 3 3 log9 (9x ) − log 3 y = 3.  1  log x 2 − log y = 0 3 3 9)  2 3  2  x + y − 2y = 0 HT 40: Giải các hệ phương trình sau: log (3x + 2y ) = 2  1)  x logy (2x + 3y ) = 2 . y − log x = 1 3 10)  y 12 x = 3 . log (6x + 4y ) = 2 2)  x logy (6y + 4x ) = 2 .    log 1 − x  = 2 − log y  2 2   y  3)  log x + log y = 4 3 3  2 2 . log x − log y 2 = 1 2 4)  y log 4 x − log 4 y = 1 . log x 2 + y 2 + 6 = 4  5)  2 log x + log y = 1 3  3. x log2 y + y log2 x = 16 6)  log2 x − log2 y = 2 . x log 3 y + 2.y log3 x = 27  7)  log3 y − log 3 x = 1. log x  log y 3.x 2 + 2.y 2 = 10 8)  log x 2 + log y = 2 2  4. log (2x + y − 2) = 2  9)  x logy (2y + x − 2) = 2 . log (xy ) = 4  2 x  10)  log2   = 2  y  . (. ). HT 41: Giải các hệ phương trình sau: lg x + lg y = 4 1)  lg y x = 1000 . 0968.393.899. x x −2y = 36 2)  4 (x − 2y ) + log6 x = 9 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 18.

(54) GV.Lưu Huy Thưởng.  (x + y )3y −x = 5 3)  27  3 log ( ) x + y = x −y  5. 0968.393.899. 3lg x = 4lg y  4)  (4x )lg 4 = (3y )lg 3 . 2 log x − 2 log y  + 5 = 0   1 x2    5)   y  2 xy = 32 . HT 42: Giải các hệ phương trình sau:  log 2 x 2 = y4 1)  log x − log y = 1 2  2.  x −y  1 x − 2y  ( ) =   2)  3 3  ( ) log2 x + y + log2 (x − y ) = 4 . x log8 y + y log8 x = 4  3)  log 4 x − log 4 y = 1 .  x y 3 .2 = 18 4) log (x + y ) = −1  1  3.  x −y  1 x −2y  =   3 5)   3    log2 (x + y ) + log2 (x − y ) = 4.  x + y  y x = 32 6) 4  log 3 (x − y ) = 1 − log 3 (x + y ). 3x.2y = 972  7)  log (x − y ) = 2 3 . 3−x.2y = 1152  8)  log (x + y ) = 2 5 . x y  (x + y ) = (x − y ) 9)  log x − log y = 1 2  2. 4 log3 xy = 2 + (xy )log3 2  10)  2 x + y 2 − 3x − 3y = 12 . x log3 y + 2y log3 x = 27 11)   log3 y − log3 x = 1 . log xy = log x 2  x y 12)  2 log x y y = 4y + 3 . ( ). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 19.

(55) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ • Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.. a f (x ) > a g (x ).  a > 1  f (x ) > g (x )  ⇔  0 < a < 1   f (x ) < g (x ) . • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:. – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:. a M > a N ⇔ (a − 1)(M − N ) > 0 HT 43: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): x 2 − 2x. 1) 3. x +2. 3) 2. 5) 9x. 2.  1 x ≥   3 x +3. x +4. −2. −3x +2. − 6x. 2. − x −1. −2. −3x +2. x2 + 1. 7) 4x 2 + x .2. 1 2)   2 x +1. >5. x +2. −5. 4) 3. x. x 6 −2x 3 +1. +3.  1 1 − x  <   2. x −1. x −2. −3. < 11. 6) 62x +3 < 2x +7.33x −1. <0 2. 2. + 3.2x > x 2 .2x + 8x + 12. 8) 6.x 2 + 3 x .x + 31+. x. < 2.3 x .x 2 + 3x + 9. 9) 9x + 9x +1 + 9x +2 < 4x + 4x +1 + 4x +2. 10) 7.3x +1 + 5x +3 ≤ 3x +4 + 5x +2. 11) 2x +2 + 5x +1 < 2x + 5x +2. 12) 2x −1.3x + 2 > 36. 13). (. x −3 x −1. 10 + 3). 2. < ( 10 − 3). 14). x +1. (. 2 + 1) 1. 1. 15). x +1 x +3. x −1. x 2 −2x. ≤2. 16) 2. 2x −1. ≥2. x x −1. ≥ ( 2 − 1). 1 3x +1. HT 44: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): x. x. x. 1) 2.14 + 3.49 − 4 ≥ 0 x. 2(x − 1). 3) 4 − 2. 2 (x − 2) + 83. 2). > 52. 1 −1 x 4. 4) 8.3. 1 −2 x −2. x +4 x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. −3 ≤ 0. + 91+. 4. x. >9. x. Page 20.

(56) GV.Lưu Huy Thưởng. 2x + 1. 0968.393.899 x +1. > 30 + 5x.30x. 5) 25.2x − 10x + 5x > 25. 6) 5. 7) 6x − 2.3x − 3.2x + 6 ≥ 0. 8) 27x + 12x > 2.8x. 1. 1. x. 1. 10) 3x +1 − 22x +1 − 12 2 < 0. 9) 49 x − 35 x ≤ 25 x 11) 252x −x. 2. +1. +6. + 92x −x. 2. +1. ≥ 34.252x −x. 2. 12) 32x − 8.3x +. 13) 4x + x − 1 − 5.2x + x − 1 + 1 + 16 ≥ 0 2. 1. 14). > 12. 1 1 +1 2− x x 17) 2 +2 <9. − 9.9. x +4. >0. x. x. (. 3 + 2) + ( 3 − 2) ≤ 2.  1 3x  1 x 16)   −   4 8. +1.  1 x  1 x 15)   + 3    3 3. x +4. −1. − 128 ≥ 0. 18) (22x + 1 − 9.2x + 4). x 2 + 2x − 3 ≥ 0. HT 45: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x. 1) 2 <. 3). 5). x 32. +1. 2.3x − 2x +2 x. x. 3 −2. 2). 7). 4x − 2. 2x − 1. 4) 3. ≤1. 32−x + 3 − 2x. 21−x − 2x + 1. ≥0. 6). +2. 2x + 4. 3x + x − 4 x2 − x − 6. > 13. >0. 2. −3x 2 − 5x + 2 + 2x > 3x .2x −3x 2 − 5x + 2 + (2x ) 3x. HT 46: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1) 4x − m.2x + m + 3 ≤ 0 3). x +4. ≤0. x. 2) 9x − m.3x + m + 3 ≤ 0 4) (. x. 2 +7 + 2 −2 ≤ m. x2. 2 + 1). +(. x 2 −1. 2 − 1). +m = 0. HT 47: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: 1) (3m + 1).12x + (2 − m ).6x + 3x < 0 , ∀x > 0.. 2) (m − 1)4x + 2x +1 + m + 1 > 0 , ∀x.. 3) m.9x − (2m + 1) 6x + m.4x ≤ 0 , ∀x ∈ [0; 1].. 4) m.9x + (m − 1).3x +2 + m − 1 > 0 , ∀x.. 5) 4. cos x. + 2 (2m + 1) 2. cos x. + 4m 2 − 3 < 0 , ∀x.. 6) 4x − 3.2x +1 − m ≥ 0 , ∀x. 3x + 3 + 5 − 3x ≤ m , ∀x.. 7) 4x − 2x − m ≥ 0 , ∀x ∈ (0; 1). 8). 9) 2.25x − (2m + 1).10x + (m + 2).4x ≥ 0 , ∀x ≥ 0.. 10) 4x −1 − m.(2x + 1) > 0 , ∀x.. HT 48: Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2): BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 21.

(57) GV.Lưu Huy Thưởng. 1  2 +1  1 x   x 1   + 3   > 12  3  1)  3    (m − 2)2 x 2 − 3 (m − 6) x − m − 1 < 0 . (1) (2). 0968.393.899. 1  2 +1  x x 2 2 − >8  2)   2 2 4x − 2mx − (m − 1) < 0. (1) (2). VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT • Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit..  a > 1  f (x ) > g (x ) > 0  loga f (x ) > loga g (x ) ⇔  0 < a < 1  0 < f (x ) < g(x )  • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:. – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:. loga B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ;. loga A loga B. > 0 ⇔ (A − 1)(B − 1) > 0. HT 49: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): 1) log5 (1 − 2x ) < 1 + log (x + 1) 2) log2 (1 − 2 log9 x ) < 1 5. 3) log 1 5 − x < log 1 (3 − x ) 3. 5) log 1 (log2 3. 4) log2 log 1 log5 x > 0 3. 3. 1 + 2x )> 0 1+x. 7) log 1 log 4 (x 2 − 5) > 0. 6) (x 2 − 4 ) log 1 x > 0 2. 8) 6. log26 x. +x. log 6 x. ≤ 12. 3. 9) log2 (x + 3) ≥ 1 + log2 (x − 1) 11) log 3 log 1 x  ≥ 0   2 . 2. (log x ) log x 10) 2 2 + x 2. 12) 2 log8 (x − 2) + log 1 (x − 3) > 8. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 2 3. Page 22.

(58) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.     13) log 1  log5 ( x 2 + 1 + x ) > log 3  log 1 ( x 2 + 1 − x )   3  5  HT 50: Giải các bất phương trình sau:. 1). 2. lg (x 2 − 1). <1. lg (1 − x ). 2). lg (x 2 − 3x + 2) 3) >2 lg x + lg 2 3x − 1 5) logx 2 >0 x +1. 3. log2 (x + 1) − log3 (x + 1) x 2 − 3x − 4. 4) x. log2 x. +x. 5 logx 2−log2 x. >0. − 18 < 0. 6) log3 x .log2 x < log 3 x 2 + log2. 7) logx (log 4 (2x − 4)) ≤ 1. 8) log. 9) log x (x 2 − 8x + 16) ≥ 0. 10) log2x (x 2 − 5x + 6) < 1. 3x −x 2. x 4. (3 − x ) > 1. 5.  x − 1  > 0 11) log x +6 log2  x + 2  3. 12) logx −1 (x + 1) > log. x 2 −1. 13) (4x 2 − 16x + 7).log3 (x − 3) > 0 HT 51: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1) log2 x + 2 logx 4 − 3 ≤ 0 3) 2 log5 x − logx 125 < 1. 14) (4x − 12.2x + 32).log2 (2x − 1) ≤ 0 2) log5 (1 − 2x ) < 1 + log. 5. (x + 1). 4) log2x 64 + log 2 16 ≥ 3 x. 5) logx 2.log2x 2.log2 4x > 1 7). (x + 1). 6). log4 x log2 x 2 + > 1 − log2 x 1 + log2 x 1 − log22 x. 9) log21 x − 6 log2 x + 8 ≤ 0. 8). log21 2. x + log 1 x 2 < 0 4. 1 2 + ≤1 4 + log2 x 2 − log2 x. 10). log23 x − 4 log3 x + 9 ≥ 2 log3 x − 3. 2. 11) log9 (3x 2 + 4x + 2) + 1 > log3 (3x 2 + 4x + 2) 13). 1 − 9 log21 x > 1 − 4 log 1 x 8. 15). 1+. log23. x. 1 + log 3 x. 8. 12). 1 2 + <1 5 − log5 x 1 + log5 x. 1 14) logx 100 − log100 x > 0 2. 16) logx 2.log x 2 >. >1. 16. 1 log2 x − 6. HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 1) (x + 1)log20,5x + (2x + 5)log 0,5 x + 6 ≥ 0 2) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ 2. 3). 3. (. ). log2 x + 1. >. (. 5+x 4) x 5 − x < 0 2 − 3x + 1 lg. 2. ). log 3 x + 1. HT 53: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1) log1/2 (x 2 − 2x + m ) > −3. 1 2) logx 100 − logm 100 > 0 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 23.

(59) GV.Lưu Huy Thưởng 3). 1 2 + <1 5 − logm x 1 + logm x. 4). 1 + logm x. >1. 6) logx −m (x 2 − 1) > logx −m (x 2 + x − 2). log2 x + m > log2 x. 5). 2 1 + logm x. 0968.393.899. HT 54: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: a) log2 (7x 2 + 7 ) ≥ log2 (mx 2 + 4x + m ) , ∀x.   b) log2  x 2 − 2x + m  + 4 log2 x 2 − 2x + m ≤ 5 , ∀x ∈[0; 2]  . (. ). c) 1 + log5 (x 2 + 1) ≥ log5 (mx 2 + 4x + m ) , ∀x. d).    m  2 m  m  2 − log 1 + log 1 + log    > 0 , ∀x x x − 2 − 2   1 1 1       1 m 1 m 1 m + + +        2 2 2. ÔN TẬP HT 55: Giải các phương trình sau: 1). 3). 22x −1.4x +1 8. = 64. 2) 9 3x −1 = 38x −2. (0, 04)x = 25.  5 x +1  9 x 4)   .   3  25 . x −1. 0,2x +0,5 5. 1 5) 7x +2 − .7x +1 − 14.7x −1 + 2.7x = 48 7.   7) 2(2. 9). 11). lg x +5 x 3. =. −7,2x +3,9.  5 9 =   3. − 9 3 ) lg(7 − x ) = 0. x −1 x. 8) 5x . 8x −1 = 500. =4 1. 3. 2. +2x −11. 2.  x +3 2 x  )  1. 1 1− lg x 2 x 3. 6) (3x. 2. 10) x lg x = 1000x 2. 100. = 105+lg x. 12). log 3 x −1. ( x). =3. HT 56: Giải các phương trình sau: 1) 4x. 2. +2. x. − 9.2x. 2. +2. x. +8 = 0. 2) 4x −. x. 1 x 64. 3) 64.9 − 84.12 + 27.16 = 0. 4). x 2 −5. −2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. − 12.2x −1−. 3+. 3 x. x 2 −5. +8 = 0. + 12 = 0. Page 24.

(60) GV.Lưu Huy Thưởng 5) 9x. 2. −1. − 36.3x. 2. −3. 6) 34x +8 − 4.32x +5 + 28 = 2 log2 2. +3= 0. 7) 32x +1 = 3x +2 + 1 − 6.3x + 32(x +1) 1+ log3 x. 9) 9. 11) 2sin. 2. x. 1+ log3 x. −3. 2. + 4.2cos. x. 0968.393.899. 8). x. (. 5 + 24. ) +(. x. 5 − 24 2. +2. ). − 210 = 0. 10) 4lg x +1 − 6lg x − 2.3lg x. =6. 12) 3lg(tan x ) − 2.3lg(cot x )+1 = 1. = 10. =0. HT 57: Giải các bất phương trình sau: 6−5x. 2x −1 − 1.  2 2 + 5 x 25 1)   < 5 4. 2). 3) x 2 .5x − 52+x < 0. 4) x lg. 2. 4x + 2x − 4 ≤2 5) x −1 x +2. 7) 2. x +3. 6) 8.. x +4. −2. −2. x +1. >5. x +2. −5. 2x +1. 5) 4. x +1. 3x −2 3x − 2x.  1 log2 (x 8)   2. −. + 5.6. 1 x. −. < 4.9. 1 x. x. 9). −1). >1. 2(x −1). +8. x. 3. > 52. 9x − 3x +2 > 3x − 9. HT 59: Giải các phương trình sau: 1) log3 (3x − 8) = 2 − x. >1. 2) 25−x − 5−x +1 ≥ 50 4) 3lg x +2 < 3lg x. +5. −2.  1 2x + 3 − 21.   +2 ≥ 0 2 . 4 −3 x.  1 2−3x − 35.  +6 ≥ 0 3. 8) 3. 10). 2. 2x +1. 6) 2. − 16 < 2 log4 8. 7) 4 − 2.  2 x > 1 +   3.  1 x  1  12) 3 .  .   3  3. 2(x −2) x. 2. > 1000. 72. HT 58: Giải các bất phương trình sau: 1) 4x − 2.52x − 10x > 0 3) 9.4. x −3 lg x +1.  1 x + 2 −x 1 > 10)    3 27.  1  1−x  1 −3   11)   >   5 5. 1 x. <2. 1 2. x +2.  1  2− x 9)   >9 3. −. 2x +1 + 1. 9x + 3x − 2 ≥ 9 − 3x. 2) log5−x (x 2 − 2x + 65) = 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 25.

(61) GV.Lưu Huy Thưởng. 3) log7 (2x − 1) + log7 (2x − 7) = 1 log3 lg x. 5) 3. − lg x + lg2 x − 3 = 0. 7) x 1+lg x = 10x  lg x lg  9)   2 . 2. 4) log3 (1 + log3 (2x − 7)) = 1 6) 9 8).   1 11) log3 log9 x + + 9x  = 2x   2. log3 (1−2x ). = 5x 2 − 5. log 5 x −1. ( x). x + lg x 2 −2. = lg x. 0968.393.899. 10). lg x +7 x 4. 12) 2 log 3. =5. = 10lg x +1. x −3 x −3 + 1 = log3 x −7 x −1. HT 60: Giải các phương trình sau:. (. 2. 1) 2 logx 5. ). − 3 logx 5 + 1 = 0. 2) log1/3 x − 3 log1/3 x + 2 = 0. 3) log22 x + 2 log2 x − 2 = 0. 4) 3 + 2 logx +1 3 = 2 log3 (x + 1). 5) logx (9x 2 ).log23 x = 4. 2 x − 3 log1/2 x + 5 = 2 6) log3 log1/2. 7) lg2 (100x ) − lg2 (10x ) + lg2 x = 6. 8) log2 (2x 2 ).log2 (16x ) =. 9) log3 (9x + 9) = x + log 3 (28 − 2.3x ). 10) log2 (4x + 4) = log2 2x + log2 (2x +1 − 3). (. ). 9 log22 x 2. HT 61: Giải các bất phương trình sau: 2x − 6 >0 2x − 1. 1) log0,5 (x 2 − 5x + 6) > −1. 2) log7. 3c) log 3 x − log 3 x − 3 < 0. 4) log1/3. 5) log1/4 (2 − x ) > log1/4. 7). x2 − 4 log1/2 (x 2 − 1). 9) 2. 2 x +1. <0. log2 −x (x 2 + 8x +15). 2 − 3x ≥ −1 x. 6) log1/3  log 4 (x 2 − 5) > 0. 8h). log2 (x + 1) x −1 log1/3. 10) (0,5). <1. HT 62: Giải các hệ phương trình sau:  (x −y )2 −1 =1 4 1)   5x +y = 125 . x +y  = 128  4 2)  3x −2y −3 5 =1 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. >0. x +5 x 2 +3. >1. 2x + 2y = 12 3)   x + y = 5 . Page 26.

(62) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 3.2x + 2.3x = 2, 75  4)   2x − 3y = −0, 75 . 7 x − 16y = 0  5)  x 4 − 49y = 0 .  3x .2y = 972  6)  log (x − y ) = 2 3 . 5y −x  x  y y = 16 7)  4 − 3.4  x − 2y = 12 − 8 . 32x − 2y = 77  8)  x y /2 3 − 2 = 7. ( 2 y −x 2 =1  x + y ) 2 9)  2  9 (x 2 + y ) = 6x −y . HT 63: Giải các hệ phương trình sau: log x − log y = 0 1)  2 4 2 2 x − 5y + 4 = 0 .  log 3 (x − y ) = 2 2)  log x − log y = 7 x 6  4. x lg y = 2 3)   xy = 20 . log x + 2 log y = 3 2 4)  2 2 4 x + y = 16 .  1 1  − = 2 5)  x y 15  log 3 x + log 3 y = 1 + log 3 5. 3logx 2 = y log5 y  6)  log 3 2 y = x log7 x . lg(x 2 + y 2 ) − 1 = lg13 7)  lg(x + y ) − lg(x − y ) = 3 lg 2 .  x  + y = 9 8 8) y 2 x 2  log2 x + log 2 y = 3 . 2 log x − 3y = 15  10)  y 2 3 .log x = 2 log x + 3y +1 2 2 . x y  +  x y  y x 3 .2 = 576 = 4 32 11)  12)   log (y − x ) = 4 − = − + log ( x y ) 1 log ( x y ) 2   3 3. xy = 8 9)  2(logy x + logx y ) = 5 . HT 64: Giải các phương trình sau: 1) 4 x −. 3). x2 −5 −12.2 x −1−. x 2 −5. + 8=0. 2) ( x + 1)log23 x − 4 x log3 x − 16 = 0. 1 log2 ( x − 1)2 + log 1 ( x + 4) = log2 (3 − x) 2. 4) log3 ( x 2 + 2 x + 1) = log2 ( x 2 + 2 x). 2. 5) 3 x 2 − 2 x 3 = log2 ( x 2 + 1) − log2 x. 6) log5 x.log3 x = log5 x + log3 x. 7) log2 (2 x + 1).log2 (2 x +1 + 2) = 6. 8) log3. 9) 3 + 11).  89 x 25  1 = log x  −   2 log32 x 2 x . 3 x3 1 .log2 x − log 3 = + log2 x x 2 3. 10) log20,5 x + log2 x 2 = log x 4 x. 3 log 1 ( x + 2)2 − 3 = log 1 (4 − x)3 + log 1 ( x + 6)3 2 4. 4. 12) log4 ( x + 1)2 + 2 = log. 2. 4. 4 − x + log 8 (4 + x)3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 27.

(63) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: 1) x =. 9 ;x = 3 4. 2) x =. 1 ;x = 3 81. 4) x = −1 ± 3. 5) Đánh giá x = 1. 7) log2 3. 8) x = 1; x =. 0968.393.899. 3) x = − 11; x = −1 + 14 6) x = 1; x = 15. 3 8. 9) x =. 1 1 ; x = ; x = 2 11) x = 2; x = 1 − 33 4 2 HT 65: Giải các bất phương trình sau:. 10) x =. 5 8. 12) x = 2 − 24; x = 2. 2. (log x ) log x 2) 2 2 + x 2 ≤ 4. 1) 2 log5 x − log x 125 < 1. log 1 ( x + 3)2 − log 1 ( x + 3)2. 3) 4 x 2 + x.2 x. 2. +1. 2. 8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5. 5). 7) log4 (3 x − 1)log 1 4. 9). 2. + 3.2 x > x 2 .2 x + 8 x + 12. 2. Đ/s:. 6). 3x − 1 3 ≤ 16 4. 1 + log 1 (2 x − 1) log. 1 2. x2 − 3 x + 2.  1 1) x ∈ 0;  ∪ 1;5 5  5 . (. ). 4) (−2; −1). 7) (0;1) ∪ (3; +∞). 2. 3. >0. x +1 log22 x + 3 log2 x + 3. >2. 8) ( x + 1)log 1 x + (2 x + 5).log 1 x + 6 ≥ 0 2. 2. >0. (. ) (. ). 2) x ∈ (0; +∞). 3) x ∈ − 2; −1 ∪. 5) (0;2].  1 1 6)  ;   8 2 . 8) (0;2] ∪ [4; +∞). 1 + 13   3 + 5      ;1 ∪  ; +∞ 9)   6   2 . HT 66: Giải các hệ phương trình sau: 9log2 ( xy ) = 3 + 2.( xy)log2 3 1)  2  x + y2 = 3 x + 3y + 6 . 2 x + log y + 2 x log y = 5  2 2 3)  x 4 + log2 y = 5 2 . 4). 2; 3. log ( x 2 + y2 ) = 5 2)   2 2 log4 x + log2 y = 4 2 x−y    2 2 x −y    2  2 − 6 = 0 3.  + 7. 4)   3   3     lg(3 x − y) + lg(y + x) − 4 lg 2 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 28.

(64) GV.Lưu Huy Thưởng.  log2 x + 3 3 − log3 y = 5 5)  3 log x − 1 − log y = −1 2 3 .  5 ∓ 17 5 ± 17    ; Đ/s: 1)    2 2  4) (2;2). 0968.393.899.  x + y  y x = 32 6) 4  log 3 ( x − y) = 1 − log3 ( x + y). 2) (4; 4). 3) (2; 4);(4;2). 5) (4; 81). 6) (2;1). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 29.

(65) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM HT 67: (D – 2011) log2 (8 − x 2 ) + log 1. (. ). 1 + x + 1 − x − 2 = 0 (x ∈ ℝ) Đ/s: x = 0. 2. log (3y − 1) = x   −1; 1  HT 68: (B – 2010)  x 2 x Đ /s: ( , ℝ ) x y ∈  2  2  4 + 2 = 3y  2 x − 4x + y + 2 = 0 HT 69: (D – 2010)  (x , y ∈ ℝ) Đ/s: (3;1) 2 log2 (x − 2) − log y = 0 2  log (x 2 + y 2 ) = 1 + log (xy ) 2 2 HT 70: (A – 2009)  x 2 −xy +y 2 (x , y ∈ ℝ) Đ/s: (2;2),(−2; −2) 3 = 81  x = 2  2 2 HT 71: (A – 2008) log2x −1(2x + x − 1) + logx +1(2x − 1) = 4 Đ/s:  x = 5  4.  x 2 + x  HT 72: (B – 2008) log 0,7 log6  < 0 Đ/s: (−4; −3) ∪ (8; +∞)  x + 4 . HT 73: (D – 2008) log 1 2. x 2 − 3x + 2 ≥ 0 Đ/s: x.   2 − 2;1 ∪ (2;2 + 2) 3 <x ≤3 4. HT 74: (A – 2007) 2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2 Đ/s: 3. HT 75: (B – 2007). (. x. ) (. 2 −1 +. x. ). 2 + 1 − 2 2 = 0 Đ/s: x = ±1. HT 76: (D – 2007) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2. 1 4.2x − 3. = 0 Đ/s: x = log2 3. HT 77: (A – 2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0 Đ/s: x = 1 HT 78: (B – 2006) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (2x −2 + 1) Đ/s: 2 < x < 4 HT 79: (D – 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ có nghiệm duy nhất: e x − e y = ln(1 + x ) − ln(1 + y )   y − x = a .  log (y − x ) − log 1 = 1 1 4 y HT 80: (A – 2004)  Đ/s: (3;4)  4  2 2 x + y = 25  x = − 1 x 2 −x 2 +x −x 2 HT 81: (D – 2003) 2 −2 = 3 Đ/s:  x = 2 HT 82: (A – 2002) Cho phương trình log23 x + log23 x + 1 − 2m − 1 = 0 (Với m là tham số) a. Giải phương trình với m = 2 Đ/s: x = 3±. 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 30.

(66) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.   b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3  Đ/s: 0 ≤ m ≤ 2  . (. ). HT 83: (B – 2002) logx log3 (9x − 72) ≤ 1 Đ/s: log9 73 < x ≤ 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 31.

(67) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(68) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ 2: CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ sin. Cho (OA, OM )   . Giả sử M (x ; y ) . cos   x  OH. B. sin   y  OK sin   AT cos  cos  cot    BS sin  tan  . tang. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác. K.       k     2. T cotang. S M. cosin.  H. O.   k . A. Nhận xét:  ,  1  cos   1;  1  sin   1  tan xác định khi  .   k , k  Z 2.  sin(  k 2)  sin .  cot xác định khi   k , k  Z  tan(  k )  tan . cos(  k 2)  cos . cot(  k )  cot . 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot. I. II. III. IV. + + ỨI BÊ + +. – + – –. – – + +. + – – –. 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 00. 300. 450. 600. 900. 1200. 1350. 1500. 1800. 2700. 3600. sin. 0. 1. 0. –1. 0. cos. 1. 0. –1. 0. 1. tan. 0. cot. 1. 1. –1. 0. 0. –1. 0. 0. 4. Hệ thức cơ bản: sin2  cos2  1 ;. tan.cot  1 ;. 1  tan2  . 1 2. cos . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. ; 1  cot2  . 1 sin2 . Page 1.

(69) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau. Góc bù nhau. Góc hơn kém. Góc phụ nhau. Góc hơn kém. ỨI BÊ. II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng. 2. Công thức nhân đôi. Hệ quả:sin 2  2 sin . cos  cos 2  cos2   sin2   2 cos2   1  1  2 sin2 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 2.

(70) GV.Lưu Huy Thưởng. Công thức hạ bậc. 0968.393.899. Công thức nhân ba (*). 3. Công thức biến đổi tổng thành tích. ỨI BÊ 4. Công thức biến đổi tích thành tổng. III. Phương trình lượng giác cơ bản (Các trường hợp đặc biệt) 1.Phương trình sinx = sin x    k 2 a) sin x  sin    (k  Z ) x      k 2 sin x  a. (1  a  1) x  arcsin a  k 2 b) sin x  a   (k  Z ) x    arcsin a  k 2 c) sin u   sin v  sin u  sin(v )   d) sin u  cos v  sin u  sin   v  2    e) sin u   cos v  sin u  sin v    2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 3.

(71) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Các trường hợp đặc biệt: sin x  0  x  k  (k  Z ) sin x  1  x .   k 2 (k  Z ) 2. sin x   1  x  .   k 2 (k  Z ) 2. sin x   1  sin2 x  1  cos2 x  0  cos x  0  x . 2..   k  (k  Z ) 2. Phương trình cosx = cos a) cos x  cos   x     k 2 (k  Z ) b). cos x  a. (1  a  1) cos x  a  x   arccos a  k 2 (k  Z ). c) cos u   cos v  cos u  cos(  v )   d) cos u  sin v  cos u  cos   v  2    e) cos u   sin v  cos u  cos   v  2 . Các trường hợp đặc biệt:   k  (k  Z ) 2 cos x  1  x  k 2 (k  Z ) cos x  0  x . ỨI BÊ. cos x   1  x    k 2 (k  Z ). cos x   1  cos2 x  1  sin2 x  0  sin x  0  x  k  (k  Z ). 3.. Phương trình tanx = tan a) tan x  tan   x    k  (k  Z ) b) tan x  a  x  arctan a  k  (k  Z ) c) tan u   tan v  tan u  tan(v )   d) tan u  cot v  tan u  tan   v  2    e) tan u   cot v  tan u  tan   v  2 . Các trường hợp đặc biệt: tan x  0  x  k  (k  Z ). 4.. tan x   1  x  .   k  (k  Z ) 4. Phương trình cotx = cot cot x  cot   x    k  (k  Z ) cot x  a  x  arccot a  k  (k  Z ). Các trường hợp đặc biệt: cot x  0  x .   k 2. (k  Z ). cot x   1  x  . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN.   k  (k  Z ) 4. Page 4.

(72) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 5.. Một số điều cần chú ý: a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.. *.   k  (k  Z ). 2 Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x  k  (k  Z ). *. Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x  k. *. Phương trình có mẫu số:  sin x  0  x  k  (k  Z ). *. Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x .  (k  Z ) 2.   k  (k  Z ) 2. . cos x  0  x . . tan x  0  x  k.  (k  Z ) 2.  (k  Z ) 2 b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô định.. . cot x  0  x  k. ỨI BÊ. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 5.

(73) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN HT 1: Giải các phương trình sau:   1 1. sin x     6  2   2. 2 sin(2x  )   2 3.  1 4. cos(2x  )   3 2. 5..  3. 3 sin(x  )  1 4 HT 2: Giải các phương trình sau:.  2 cos(x  )  1 6.  6. 4 cos(x  )  3 3. a ) sin 3x  1  sin x  2.     b) cos x    cos 2x    3  6  . c) cos 3x  sin 2x.     d ) cos 2x    cos x    0 3  3   .  x  e) sin 3x  sin     0  4 2 .     f ) tan 3x    tan x   4  6   .     g ) cot 2x    cot x    4  3  . h ) tan 2x  1  cot x  0. Giải các phương trình sau (Đưa về phương trình bậc hai). HT 3: 2. 1. sin x  3 sin x  2  0. 12. 4 cos 3 x  3 2 sin 2x  8 cos x. 2. 3 cos2 2x  4 cos 2x  1  0. 13. 4 cos5 x . sin x  4 sin5 . cos x  sin2 4x. 3. tan2 x  5 tan x  6  0. 14. tan2 x  1  3  tan x  3  0 15. 2 tan x  2 cot x  3. 4. cot2 x  3 cot x  4  0 5. 4 sin x  2  3  1 sin x  3  0. ỨI BÊ. 2. 16.. tan2 x  cot2 x  2. 6. cos2 2x  3 sin 2x  3  0. 17. 8 cot2 2x  4 cot 2x  3  0. 7. cos2 3x  5 sin 3x  5  0. 18. cos2 2x  2(sin x  cos x )2  3 sin 2x  3  0. 8. sin2 x  7 cos x  7  0. 19. c os2x  3 cos x  4 cos2. 9. cos2 2x  6 sin x cos x  3  0 10. cos 4x  5 sin 2x  2  0 11. 3 cos 2x  4 cos x  7  0. 20. 9  13 cos x . x 2. 4 1  tan2 x. =0. HT 4: Giải các phương trình sau (a sin x  b cos x  c  0) 9. 2 sin2 x  3 sin 2x  3. 1. sin x  3 cos x  1 2.. 2(sin 2x  cos 2x )  2. 3. sin 2x  3 cos 2x  1 4.. 10. sin x  cos x  2 sin 5x 11.. 3 cos 3x  sin 3x  2. 5. cos 2x  2 3 sin x cos x  2 sin 3x 6.. 3 cos 4x  2 sin 2x cos 2x  2 cos x. 7.. 3 sin 5x  2 cos x  cos 5x  0. 8..   3 sin 2x  sin   2x   1 2 .  2(sin 2x  cos 2x )  2 cos(x  ) 2. 6 6 3 cos x  4 sin x  1   13. cos x  3 sin x  2 cos   x  3 . 12. 3 cos x  4 sin x . 14. 8 cos x . 3 1  sin x cos x. HT 5: Giải các phương trình sau (a sin x  b cos x  c  0) (Nâng cao) 2. 1. sin x  cos x   3 cos 2x  2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 6.

(74) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2. 4(sin4 x  cos4 x )  3 sin 2x  2 3. cos2 3x  2 sin 6x  1  sin2 3x 4. 2 sin 4x  3 cos 2x  16 sin3 x cos x  5  0 5. 2(cos 2x  3 sin 2x ) cos 2x  cos 2x  3 sin 2x  1 6. sin x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2(cos 4x  sin3 ) 7. 1  2(cos 2x tan x  sin 2x ) cos2 x  cos 2x 8. 4 sin3 x cos 3x  4 cos3 x sin 3x  3 3 cos 4x  3 HT 6: Giải các phương trình sau (Đẳng cấp bậc hai a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  0 ) 1.. 3 sin2 x  4 sin x cos x  cos2 x  0. 2.. 2 sin2 x  3 cos2  5 sin x cos x  2  0. 3.. sin 4x  2 sin2 2x  2 cos 4x  0. 4.. sin2 2x  2 sin 2x cos 2x  3 cos2 2x. 5.. 2 cos x  4 sin x . 6. 7.. 2 cos3 x  3 sin x  4 sin 3 x sin x cos 2x  6 cos x (1  2 cos 2x ). 8.. 2 sin2 x  1  3  sin x . cos x  1  3  cos2 x  1. 9.. 3 sin2 x  8 sin x . cos x  8 3  9 cos2 x  0. 3 cos x. ỨI BÊ. 10. 4 sin2 x  3 3 sin x . cos x  2 cos2 x  4 11. 3 cos 4 x  4 sin2 x cos2 x  sin 4 x  0 12.. . 3  1 sin2 x  2 3 sin x . cos x   3  1 cos2 x  0. 13.. 4 sin3 x  3 cos3 x  3 sin x  sin2 x cos x  0. 14.. sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin2 x cos x. 15.. 2 sin x  2 3 cos x . 3 1  cos x sin x. 2 1 2 HT 7: Giải các phương trình sau (Đối xứng a(sin x  cos x )  b sin x cos x  c  0 ). 16.. 3 sin x . cos x  sin2 x . 1. 3(sin x  cos x )  2 sin x cos x  3  0 2. sin 2x  cos 2x  7 sin 4x  1 3. 2 sin x  sin 2x  2 cos x  2  0 4. 3 cos 2x  sin 4x  6 sin x cos x  3 5. 1  sin 3 x  cos3 x . 3 sin 2x 2. 1 6. sin3 2x  cos3 2x  sin 4x  1 2. 7. 2 sin 2x  3 3 sin x  cos x   8  0 8. 2 sin x  cos x   3 sin 2x  2 9. 3 sin x  cos x   2 sin 2x  3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 7.

(75) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 10. 1  2  1  sin x  cos x   sin 2x   11. sin 2x  2 sin x    1  4. 12. sin3 x  c os3x  1 . . . 2  2 sin x cos x. HT 8: Giải các phương trình sau (Tổng hiệu thành tích) 1. sin x  sin 2x  sin 3x  0 2. cos x  cos 2x  cos 3x  0 3. cos x  cos 2x  cos 3x  1  0 4. sin 4x  sin 2x  2 cos2 x  0 5. sin x  sin 5x  1  2 cos2 x  0 6. 2 sin2 2x  sin 6x  1  sin 2x 7. sin 2x  sin 6x  2 sin 2 x  1  0 8. sin x  sin 2x  sin 3x  1  cos x  cos 2x 9. cos 3x  sin 3x  cos x  sin x  2 cos 2x 10. sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x HT 9: Giải các phương trình sau (Tích về tổng hiệu) 1. cos 3x. cos x  cos 2x 2. sin x. sin 5x  sin 2x . sin 3x 3. cos x cos 3x  sin 2x. sin 6x  sin 4x . sin 6x  0 4. 3 cos 6x  2 sin 4x . cos 2x  sin 2x  0 5. 4 cos. ỨI BÊ. 5x 3x cos  2(8 sin x  1) cos x  5 2 2. HT 10: Giải các phương trình sau (Hạ bậc) 1. sin2 x  sin2 2x  sin2 3x . 3 2. 2. c os2x  c os2 2x  c os2 3x  1 17   10x  3. sin2 2x  sin2 8x  sin   2  4. 1  sin.  x  x x sin x  cos sin2 x  2 cos2     4 2  2 2. HT 11: Giải các phương trình sau (Dạng khác) 1. sin6 x  c os6x . 1 4. 2. sin3 x  c os3x  c os2x 3. sin 2x  1  2 cos x  c os2x 4. (2 sin x  1)(2 cos 2x  2 sin x  1)  3  4 cos2 x 5. (sin x  sin 2x )(sin x  sin 2x )  sin2 3x 6. sin x  sin 2x  sin 3x  2(cos x  c os2x  c os3x ) 7. (1  2 sin x )2 cos x  1  sin x  cos x 8. sin x (2  cos x )  (1  cos x )2 (1  cos x ). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 8.

(76) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 9. cos 2x  (1  2 cos x )(sin x  cos x )  0 10. cos 2x  5  2(2  cos x )(sin x  cos x ) 11. 4 sin 2x  3 cos 2x  3(4 sin x  1) 12. c os5x . cos x  c os4x .c os2x  3 cos2 x  1 13. sin 7x  c os2 2x  sin2 2x  sin x 14. sin3 x  c os3x .   sin 2x . sin x    cos x  sin 3x 4   2. 1. 15. 1  sin 2x  2 cos 3x (sin x  cos x )  2 sin x  2 cos 3x  c os2x )   16. cos x  sin(2x  )  sin(2x  )  1  3(1  2 cos x ) 6 6 HT 12: Giải các phương trình sau:. ỨI BÊ. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 9.

(77) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP Giải các phương trình sau:  k 2  ;x  k 24 4 3. HT 1.. 2 sin 5x  3 cos 3x  sin 3x  0. Đ/s: x  . HT 2.. cos2 x  3 sin 2x  1  sin2 x. Đ/s: x  k ; x  . HT 3.. 3 cos4 x  4 sin2 x . cos2 x  sin 4 x  0. Đ/s: x  . HT 4..   sin 2x  2 sin x    1  4 . Đ/s: x .    k 2; x   k 2; x    k 2 4 2. HT 5.. 4sin 3x  1  3 sin x  3 cos 3x. Đ/s: x .  k 2  k 2  ;x   18 3 2 3. HT 6.. 4 sin3 x  3 cos3 x  3 sin x  sin2 x cos x  0. Đ/s: x .    k ; x    k  4 3. HT 7.. 2 sin 4x  3 cos 2x  16 sin 3 x cos x  5  0. Đ/s: x .  3 4  k ;(k  ); cos   ; sin   2 5 5. HT 8.. sin x  4 sin3 x  cos x  0. Đ/s: x .  k 4. HT 9.. tan x sin2 x  2 sin2 x  3(cos 2x  sin x cos x ). Đ/s: x  . HT 10. cos 2x  5  2(2  cos x )(sin x  cos x ) HT 11. 2 cos 2x  8 cos x  7 . Đ/s: x .    k ; x    k  4 3.    k ; x    k  4 3.   k 2; x    k 2 2. ỨI BÊ. 1 cos x.   k 3. Đ/s: x  k 2; x  . HT 12. 4 cos2 x  3 tan2 x  4 3 cos x  2 3 tan x  4  0. Đ/s: x  .   k 2 3.   k 2 k   6.     HT 13. sin3 x  cos3 x  cos 2x . tan x   . tan x   4  4   . Đ/s: x .    2  1 HT 14. cos2 x    cos2 x    (sin x  1) 3  3  2  . Đ/s: x  k 2; x . x   x   HT 15. 2 sin2     1  4 cos2    .  2 4   3 6 . Đ/s: x    k 3; x . HT 16.. 1  tan x  cot 2x 4. HT 17. HT 18.. 4. sin x  cos x sin 2x. . 1 2. 2 cos x  sin x . Đ/s: x  . cot x  1.  tan x  cot x .   k 6 (k  ) 2.   k 2 k   4. Đ/s: x  k 2; x .  HT 19. 2 sin2 (x  )  2 sin2 x  tan x 4 1 1   2 cot 2x 2 sin x sin 2x. HT 21. sin 2x cos x  3  2 3c os3x  3 3c os2x  8.  5  k 2; x   k 2 6 6. Đ/s: Vô nghiệm. 2 cos x  1sin x  cos x   1. HT 20. sin 2x  sin x .    k ; x    k 2; x    k 2 4 2. . Đ/s: x .   k ; 4. Đ/s: x .   k 4 2.  k 2  6 3. . 3 cos x  s inx  3 3  0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 10.

(78) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: x .   k ; x  k 2, k   3.  5x   x   3x HT 22. sin     cos     2 cos    2  4 2 2 4 . Đ/s: x .   HT 23. 2 2 sin x   cos x  1 12  . Đ/s:  x . HT 24. 2 co s 2x  2 3 sin x cos x  1  3(sin x  3 cos x ) Đ/s: x  HT 25.. 0968.393.899. sin 2x cos 2x   tan x  cot x cos x sin x. HT 26. (1  tan x )(1  sin 2x )  1  tan x. x   x   HT 27. 2 sin2     1  4 cos2     2 4   3 6  HT 28. 2 sin 6x  2 sin 4x  3c os2x  3  sin 2x.  2  k v x   k 2  v x    k 2 3 3 2    k  hay x   k  4 3. 2  k 3. Đ/s:  x  . Đ/s:. k  Z .   k 2 3. x  k ; x  .   k 4. x    k 3; x . Đ/s:.   k 6 2. (k  ).  k  k Đ/s: x   12  2 ; x  18  3. HT 29. cos 2x  cos 4x  cos 6x  cos x . cos 2x . cos 3x  2 Đ/s: x  k  HT 30.. HT 31.. cot2 x  cot x 2. cot x  1.    2 cos x   4  . cos 3 x  cos2 x  2 1  sin x  . sin x  cos x. HT 32. 4 sin2.   x  3 cos 2x  3  2 cos2   x  2 4 . x. Đ/s:.   k 4. ỨI Đ/s: BÊ x   Đ/s: x .   k 2; x    m 2 2. 5 k 2 7  ;x    k 2 18 3 6. x. 5  k 2 4. HT 33. sin 2x  2 2(s inx+cosx)=5. Đ/s:. 3 HT 34. sin2 4x . sin x  c os4x  1  c os2x 2. Đ/s: Vô nghiệm. HT 35..  5  sin 2x tan x  2 cos x     2 sin x  cos x   2. 1. HT 36. 9 sin x  6 cos x  3 sin 2x  cos 2x  8. Đ/s:  x  k ; x  . Đ/s: x . k  .  5 k 2  k 2; x   4 12 3.   k 2 2.        2   2 HT 37. 4 sin x . sin   x  . sin   x   4 3. cos x .cos x   .cos x    2 Đ/s: x  k , kZ    3  3   3  3  18 3 HT 38. 2 cos2. 9x 6x  cos 1 10 5.  HT 39. 2 cos2 (2x  )  cot x  tan x  2 4. HT 40. cot4 x  1 . (2  sin2 2x )(2 cos2 x  cos x ) 4. 2 sin x. Đ/s: x . 5 k 10  ,k   3 3. Đ/s: x .  l  ,l  8 2. Đ/s: x  . 2  l 2, l   3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 11.

(79) GV.Lưu Huy Thưởng.   HT 41. 2 sin2 x    2 sin2 x  t anx 4   HT 42. 2 cos 6x  2 cos 4x  3 cos 2x  sin 2x  3. Đ/s: x . Đ/s: x .  HT 43. 2 cos 3x . cos x  3(1  sin 2x )  2 3 cos2 (2x  ) Đ/s: 4. HT 44.. HT 45.. HT 46.. 2(cos x  sin x ) cot x  1. 1  tan x  cot 2x. sin4 2x  c os4 2x  c os4 4x   tan(  x ). tan(  x ) 4 4. 3 2. cos x. . 4  2 sin 2x  2 3  2(cotg x  1) sin 2x. HT 47.. 3 sin 2x . 2 cos x  1  2  cos 3x  cos 2x  3 cos x .. Đ/s: x . 2 2   k 2 ; x    k 2 và x    k  (k  ) 3 3 6. . 0968.393.899.   k 4 2.   k  k 2  k ; x    ;x   2 24 2 42 7. x.   k  và 2. Đ/s: x  .   k 2 4. Đ/s: x  k.  ,k  Z 2. Đ/s: x . x .   k . 18 3.   k 6 2. . HT 48. 8 sin6 x  cos 6x  3 3 sin 4x  3 3cos 2x  9 sin 2x  11  5 7   k ; x   k ; x   k ; x   k  12 12 12 4 ỨI BÊ. Đ/s: x . HT 49. 1  t an2x . HT 50.. 1  sin 2x c os 2x. cos2 x . cos x  1 sin x  cos x. HT 51. sin(2x . 2.  2 1  sin x  .. Đ/s: x  k.  , x  l ;(k, l  Z ) 2. Đ/s: x  .   k 2 và x    m 2 2. 17 x  )  16  2 3. s inx cos x  20 sin2 (  ) 2 2 12. Đ/s: x .  5  k 2 x    k 2 2 6. HT 52. sin x  sin2 x  sin3 x  sin 4 x  cos x  cos2 x  cos3 x  cos4 x Đ/s: x .    k ; x    m2; x    m 2 4 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 12.

(80) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM 2002 – 2013 HT 1.. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 ) của phương trình:  cos 3x  sin 3x   5   cos 2x  3 Đ/S: x  ; x  5 sin x  . 1  2 sin 2x  3 3 .   ;x  k . 9 2 HT 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình: cos 3x  4 cos 2x  3 cos x  4  0  3 5 7 Đ/S: x  ; x  ;x  ;x  . 2 2 2 2  cos 2x 1 HT 4. (ĐH 2003A) Giải phương trình: cot x  1   sin2 x  sin 2x .Đ/S: x   k  . 1  tan x 2 4. HT 2.. (ĐH 2002B) sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x Đ/S: x  k. HT 5.. (ĐH 2003B) Giải phương trình: cot x  tan x  4 sin 2x . HT 6.. x   x (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin2    tan2 x  cos2  0 .  2 4  2. Đ/S: x    k 2; x  . 2 . sin 2x. Đ/S: x  .   k . 3.   k . 4. (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5 sin x  2  3(1  sin x ) tan2 x .. HT 7..  5  k 2; x   k 2 . 6 6 (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cos x  1)(2 sin x  cos x )  sin 2x  sin x .. Đ/S: x  HT 8.. Đ/S: x   HT 9..    k 2; x    k  . 3 4. 2 (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos2 3x . cos 2x ỨI cosBÊ x 0.. Đ/S: x  k.  . 2. HT 10. (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  0 .  2 Đ/S: x    k ; x    k 2 . 4 3     3  HT 11. (ĐH 2005D) Giải phương trình: cos4 x  sin 4 x  cos x   sin 3x     0 . Đ/S: x   k  .     4 4 2 4 HT 12. (ĐH 2006A) Giải phương trình: HT 13. (ĐH 2006B) Giải phương trình: Đ/S: x . 2 cos6 x  sin6 x   sin x . cos x.  0.. 2  2 sin x  x cot x  sin x 1  tan x . tan   4 .  2. Đ/S: x . 5  2m  . 4.  5  k ; x   k . 12 12. Đ/S x  k ; x  . HT 14. (ĐH 2006D) Giải phương trình:. cos 3x  cos 2x  cos x  1  0 .. HT 15. (ĐH 2007A) Giải phương trình:. 1  sin2 x  cos x  1  cos2 x  sin x  1  sin 2x. Đ/S: x  . 2  k 2 . 3.    k ; x   k 2; x  k 2 . 4 2. HT 16. (ĐH 2007B) Giải phương trình: 2 sin2 2x  sin 7x  1  sin x .    2 5 2 Đ/S: x   k ; x  k ;x  k . 8 4 18 3 18 3 2  x x      HT 17. (ĐH 2007D) Giải phương trình: sin  cos   3 cos x  2 . Đ/S x   k 2; x    k 2  2 2 2 6  7  1 1 HT 18. (ĐH 2008A) Giải phương trình:   4 sin   x  .  4  sin x 3  sin x     2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 13.

(81) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/S: x  . 0968.393.899.   5  k ; x    k ; x   k 4 8 8. HT 19. (ĐH 2008B) Giải phương trình: sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin2 x cos x .    Đ/S: x   k ; x    k  . 4 2 3 HT 20. (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2 sin x (1  cos 2x )  sin 2x  1  2 cos x . Đ/S: x  . 2   k 2; x   k  . 3 4. HT 21. (ĐH 2009A) Giải phương trình:. (1  2 sin x ) cos x  3. (1  2 sin x )(1  sin x ). HT 22. (ĐH 2009B) Giải phương trình:. sin x  cos x . sin 2x  3 cos 3x  2 cos 4x  sin 3 x  .. Đ/S: x  . Đ/S: x  .  2 k . 18 3.   2 .  k 2; x  k 6 42 7. HT 23. (ĐH 2009D) Giải phương trình: 3 cos 5x  2 sin 3x cos 2x  sin x  0 .     Đ/S: x   k ;x    k . 18 3 6 2   (1  sin x  cos 2x ) sin x    4   1 cos x HT 24. (ĐH 2010A) Giải phương trình: 1  tan x 2  7 Đ/S: x    k 2; x   k 2 . 6 6 HT 25. (ĐH 2010B) Giải phương trình: (sin 2x  cos 2x ) cos x  2 cos 2x  sin x  0 .. Đ/S: x .   k . 4 2. HT 26. (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  1  0 .  5 Đ/S: x   k 2; x   k 2 . ỨI BÊ 6 6 HT 27. (ĐH 2011A) Giải phương trình:. 1  sin 2x  c os2x 2. . 2 sin x sin 2x. 1  cot x.    k ; x   k 2 (k  ) 2 4 HT 28. (ĐH 2011B) Giải phương trình: sin 2x cos x  sin x cos x  c os2x  s inx  cos x   2 Đ/S: x   k 2; x   k (k  ) 2 3 3 sin 2x  2 cos x  s inx  1  HT 29. (ĐH 2011D) Giải phương trình:  0 Đ/S: x   k 2 (k  ) 3 t anx  3  2 HT 30. (ĐH 2012A+A1) 3 sin 2x  cos 2x  2 cos x  1 Đ/s: x   k ; x  k 2; x   k 2 2 3 2 2 HT 31. (ĐH 2012B) 2(cos x  3 sin x ) cos x  cos x  3 sin x  1 Đ/s: x   k 2; x  k 3 3. Đ/S x . HT 32. (ĐH 2012D) sin 3x  cos 3x  sin x  cos x  2 cos 2x  k 7  Đ/s: x   ;x   k 2; x    k 2 4 2 12 12     HT 33. (ĐH 2013A+A1) 1  tan x  2 2 sin x   Đ/s: x    k ; x    k 2 (k  )  4  4 3 HT 34. (ĐH 2013B) sin 5x  2 cos2 x  1 Đ/s: x  .  2  2 k ;x    k (k  ) 6 3 14 7. HT 35. (ĐH 2013D) sin 3x  cos 2x  sin x  0    7 Đ/s: x   k ; x    k 2; x   k 2 (k  ) 4 2 6 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 14.

(82) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN TẬP ĐỀ THI DỰ BỊ CÁC NĂM  x (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tan x  cos x  cos2 x  sin x 1  tan x . tan  .  2 Đ/S: x  k 2 .. HT 1.. HT 2.. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: tan4 x  1 . Đ/S: x  HT 3.. cos4 x. ..  2 5 2 k ;x k . 18 3 18 3. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình:. Đ/S: x  . 2  sin2 2x  sin 3x. sin 4 x  cos4 x 1 1  cot 2x  . 5 sin 2x 2 8 sin 2x.   k . 6. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos 2x  cos x 2 tan2 x  1  2 .  Đ/S: x  (2k  1), x    k 2 3 HT 5. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3  tan x tan x  2 sin x   6 cos x  0 . HT 4.. Đ/S: x  .   k 3. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3 cos 4x  8 cos6 x  2 cos2 x  3  0 .   Đ/S x   k , x  k  4 2 2  3  cos x  2 sin2  x    2 4  HT 7. (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:  1. 2 cos x  1 ỨI BÊ  Đ/S: x   (2k  1) 3 HT 6.. HT 8.. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình:. Đ/S: x   HT 9.. cos2 x cos x  1  2(1  sin x ) . sin x  cos x.   k , x    k 2 2. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: cot x  tan x . 2 cos 4x . sin 2x. Đ/S x  . HT 10. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4 sin3 x  cos3 x   cos x  3 sin x . Đ/S: x .   k . 3.    k ; x    k  4 3.   1 1  k HT 11. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: 2 2 cos x     . Đ/S: x    4  sin x cos x 4 2 HT 12. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4x . sin 7x  cos 3x . cos 6x .   k Đ/S: x   k ; x    2 20 10 HT 13. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2 sin x . cos 2x  sin 2x . cos x  sin 4x . cos x . k  Đ/S: x  ;x   k 3 4. HT 14. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sin x  sin 2x  3(cos x  cos 2x ) . Đ/S: x . 2 k 2  ; x    k 2 9 3. HT 15. (ĐH2005A–db1)Tìm x  (0; ) của pt: 4 sin2 Đ/S: x .  x 3   3 cos 2x  1  2 cos2 x   .  2 4. 5 17 5 ;x ;x  . 18 18 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 15.

(83) GV.Lưu Huy Thưởng.   2 2 cos3 x    3 cos x  sin x  0 .  4. HT 16. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: Đ/S: PT có nghiệm: x . 0968.393.899.    k  hoặc x   k  . 2 4. HT 17. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : sin x . cos 2x  cos2 x tan2 x  1  2 sin 3 x  0 .  5 Đ/S: x   k 2; x   k 2 . 6 6   cos 2x  1 HT 18. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : tan   x   3 tan2 x  2  cos2 x Đ/S: x  .   k . 4  3  sin x tan   x   2 . 2  1  cos x. HT 19. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình:.  5  k 2; x   k 2 . 6 6 HT 20. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  2  0 .  5  Đ/S: x   k 2; x   k 2; x   k 2; x    k 2 . 6 6 2. Đ/S: x . HT 21. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: Đ/S: x  . cos 3x . cos3 x  sin 3x . sin3 x . 23 2 . 8.   k . 16 2.   HT 22. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: 2 sin 2x    4 sin x  1  0 .  6. Đ/S: x  k ; x . 7  k 2 . 6. HT 23. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình:   Đ/S x    k . 6 2 HT 24. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: Đ/S: x . ỨI BÊ. 2 sin2 x  1 tan2 2x  3 2 cos2 x  1  0 . cos 2x  (1  2 cos x )(sin x  cos x )  0 ..    k ; x   k 2; x    k 2 . 4 2. HT 25. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3 x  sin3 x  2 sin2 x  1 .   Đ/S: x    k ; x  k 2; x    k 2 . 4 2 HT 26. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình:  2 Đ/S x    k 2; x    k 2 . 2 3. 4 sin3 x  4 sin2 x  3 sin 2x  6 cos x  0 .. HT 27. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: sin 2x  sin x  Đ/S: x . 1 1   2 cot 2x . 2 sin x sin 2x.   k . 4 2. HT 28. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: 2 cos2 x  2 3 sin x cos x  1  3(sin x  3 cos x ) . Đ/S: x . 2  k . 3.  5x   x   3x HT 29. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin     cos     2 cos    2  4 2 2 4 .  2  k ; x   k 2; x    k 2 . 3 3 2 sin 2x cos 2x HT 30. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình:   tan x  cot x . cos x sin x. Đ/S: x . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Đ/S: x  .   k 2 . 3. Page 16.

(84) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.   HT 31. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2 sin x   cos x  1 12  .    k  hay x   k  . 4 3 HT 32. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1 – tan x )(1  sin 2x )  1  tan x .. Đ/S: x . Đ/S: x  .   k ; x  k  . 4. HT 33. (ĐH 2008A–db1) Tìm x  (0; ) của phương trình: 4 sin2 Đ/S: x . 5 17 5 ; x ; x . 18 18 6. HT 34. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: Đ/S: x .  x 3   3 cos 2x  1  2 cos2 x   .  2 4.   2 2 cos3 x    3 cos x  sin x  0 .  4.    k  hoặc x   k  . 2 4. HT 35. (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin x cos 2x  cos2 x tan2 x  1  2 sin 3 x  0 .  5 Đ/S: x   k 2; x   k 2 . 6 6   cos 2x  1 HT 36. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: tan   x   3 tan2 x  . 2  cos2 x Đ/S: x  .   k . 4. HT 37. (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình:.  3  sin x tan   x   2. 2  1  cos x.  5 ỨI BÊ  k 2; x   k 2 . 6 6 HT 38. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2x  cos 2x  3 sin x  cos x  2  0  5  Đ/S: x   k 2; x   k 2; x   k 2; x    k 2 . 6 6 2. Đ/S: x . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 17.

(85) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(86) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax + b = 0 ax + b = 0. (1). Hệ số. Kết luận. a≠0. (1) có nghiệm duy nhất b≠0. (1) vô nghiệm. b=0. (1) nghiệm đúng với mọi x. a=0. Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0 Biện luận Điều kiện Kết quả tập nghiệm.  b  a   b  S =  − ; +∞   a .  b  a   b  x ∈  − ; +∞   a . S =  −∞; −. a>0. a<0 a=0. Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a ≠ 0). b≥0 b<0. x ∈  −∞; −. a.f(x) < 0. a.f(x) > 0. S=∅ S=R. 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax 2 + bx + c = 0 1. Cách giải (1) Kết luận. ∆>0. (1) có 2 nghiệm phân biệt. ∆=0. (1) có nghiệm kép. ∆<0. (1) vô nghiệm. Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =. c . a. c – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = − . a b – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b ′ = . 2 2. Định lí Vi–et. Hai số x1, x 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 1.

(87) GV.Lưu Huy Thưởng. b c và P = x 1x 2 = . a a 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Xét dấu tam thức bậc hai. 0968.393.899. S = x1 + x 2 = −. f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) ∆<0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R  b  ∆=0 −  a.f(x) > 0, ∀x ∈ R \   2a . Giải bất phương trình bậc hai. 2. ∆>0. Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai để giải. a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞) a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2). II. CÁC DẠNG TOÁN 1. Dạng toán 1: Giải và biện luận phương trình và bất phương trình HT1.. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:. 1) (m 2 + 2)x − 2m = x − 3. 2) m(x − m ) = x + m − 2. 3) m(x − m + 3) = m(x − 2) + 6. 4) m 2 (x − 1) + m = x (3m − 2). 5) (m 2 − m )x = 2x + m 2 − 1. 6) (m + 1)2 x = (2m + 5)x + 2 + m. HT2.. Giải các bất phương trình sau: (2x − 5)(x + 2) 1) >0 −4x + 3 4). 3x − 4 >1 x −2. 2). x −3 x +5 > x +1 x −2. 3). x − 3 1 − 2x < x +5 x −3. 5). 2x − 5 ≥ −1 2−x. 6). 2 5 ≤ x − 1 2x − 1. HT3. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 1) m(x − m ) ≤ x − 1 2) mx + 6 > 2x + 3m 4) mx + 1 > m 2 + x. 3) (m + 1)x + m < 3m + 4 5). m(x − 2) x − m x + 1 + > 6 3 2. 6) 3 − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2. HT4.. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 2x + m − 1 mx − m + 1 1) 2) >0 <0 x +1 x −1. HT5.. 3). x − 1(x − m + 2) > 0. Giải và biện luận các phương trình sau:. 1) x 2 + 5x + 3m − 1 = 0. 2) 2x 2 + 12x − 15m = 0. 3) x 2 − 2(m − 1)x + m 2 = 0. 4) (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0. 5) (m − 1)x 2 + (2 − m )x − 1 = 0. 6) mx 2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0. HT6.. Giải và biện luận các bất phương trình sau:. 1) x 2 − mx + m + 3 > 0 HT7.. 2) (1 + m )x 2 − 2mx + 2m ≤ 0. 3) mx 2 − 2x + 4 > 0. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x ∈ R.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 2.

(88) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 2) (m 2 + 2m − 3)x = m − 1. 1) (m − 2)x = n − 1. 3) (mx + 2)(x + 1) = (mx + m 2 )x 4) (m 2 − m )x = 2x + m 2 − 1 HT8. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) m 2x + 4m − 3 < x + m 2. b) m 2x + 1 ≥ m + (3m − 2)x. c) mx − m 2 > mx − 4. d) 3 − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2. 2. Dạng toán 2: Dấu của nghiệm số phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1). ∆ ≥ 0 • (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔  P > 0  ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0   • (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > 0 • (1) có hai nghiệm âm ⇔ P > 0   S > 0 S < 0   Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0.. • (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0. Bài tập HT9. Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu. ii) có hai nghiệm âm phân biệt. iii) có hai nghiệm dương phân biệt 1) x 2 + 5x + 3m − 1 = 0. 2) 2x 2 + 12x − 15m = 0. 3) x 2 − 2(m − 1)x + m 2 = 0. 4) (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0. 5) (m − 1)x 2 + (2 − m )x − 1 = 0. 6) mx 2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0. 7) x 2 − 4x + m + 1 = 0. 8) (m + 1)x 2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0. 3. Dạng toán 3: Áp dụng định lý Viet a. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số b c Ta sử dụng công thức S = x1 + x 2 = − ; P = x 1x 2 = để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2 a a theo S và P.. Ví dụ:. x12 + x 22 = (x1 + x 2 )2 − 2x1x 2 = S 2 − 2P.   x 13 + x 23 = (x1 + x 2 ) (x1 + x 2 )2 − 3x1x 2  = S (S 2 − 3P ) b. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm: b c S = x1 + x 2 = − ; P = x 1x 2 = a a (S, P có chứa tham số m). Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2. c. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: x 2 − Sx + P = 0 ,. trong đó S = u + v, P = uv.. Bài tập HT10. Gọi x1, x 2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 3.

(89) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. A = x12 + x 22 ; B = x13 + x 23 ; C = x14 + x 24 ; D = x1 − x 2 ; E = (2x1 + x 2 )(2x 2 + x1 ) 1) x 2 − x − 5 = 0. 2) 2x 2 − 3x − 7 = 0. 3) 3x 2 + 10x + 3 = 0. 4) x 2 − 2x − 15 = 0. 5) 2x 2 − 5x + 2 = 0. 6). 3x 2 + 5x − 2 = 0. HT11. Cho phương trình: (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 (*). Xác định m để: 1) (*) có hai nghiệm phân biệt. 2) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. 3) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. HT12. Cho phương trình: x 2 − 2(2m + 1)x + 3 + 4m = 0 (*). 1) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. 2) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. 3) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x 23 . 4) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. 5) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12 , x 22 . HT13. Cho phương trình: x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m = 0 (*). 1) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. 2) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. 3) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12 + x 22 = 8 . HD: a) m = 3; m = 4 b) (x1 + x 2 )2 − 2(x1 + x 2 ) − 4x1x 2 − 8 = 0. c) m = –1; m = 2.. HT14. Cho phương trình: x 2 − (m 2 − 3m )x + m 3 = 0 . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x 2 = 1; x 2 = 5 2 − 7; x 2 = −5 2 − 7 .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 4.

(90) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa và tính chất A khi A ≥ 0 • A =  − khi A < 0  A • A.B = A . B. • A ≥ 0, ∀A. 2. • A = A2 • A + B = A + B ⇔ A.B ≥ 0. • A − B = A + B ⇔ A.B ≤ 0. • A + B = A − B ⇔ A.B ≤ 0. • A − B = A − B ⇔ A.B ≥ 0 A < −B A > B ⇔  . A > B. Với B > 0 ta có:. A < B ⇔ −B < A < B ;. 2. Cách giải Để giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. a) Phương trình:  f (x ) ≥ 0  C 2 g(x ) ≥ 0 C 1    f ( x ) = g ( x )  ⇔  f (x ) = g(x ) • Dạng 1: f (x ) = g(x ) ⇔   f (x ) < 0  f (x ) = −g(x )   −f (x ) = g(x )  C2  C1 f (x ) = g (x ) 2 2 • Dạng 2: f (x ) = g (x ) ⇔  f (x ) = g(x ) ⇔   f (x ) = −g(x ) • Dạng 3: a f (x ) + b g(x ) = h(x ). Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. b) Bất phương trình g(x ) > 0 • Dạng1: f (x ) < g (x ) ⇔  −  g(x ) < f (x ) < g(x )  g( x) < 0  f ( x) coù nghóa   f ( x) > g( x) ⇔ g( x) ≥ 0 • Dạng 2:   f ( x) < −g( x)    f ( x) > g( x)  Chú ý: • A = A ⇔ A ≥ 0 ;. A = −A ⇔ A ≤ 0. • Với B > 0 ta có:. A B ⇔  . A > B. • A + B = A + B ⇔ AB ≥ 0 ; A − B = A + B ⇔ AB ≤ 0 Bài tập HT15. Giải các phương trình sau:. x 2 + 6x + 9 = 2x − 1. 1) 2x − 1 = x + 3. 2). 3) x 2 − 3 x + 2 = 0. 4) 4x − 17 = x 2 − 4x − 5. 5) x 2 − 4x − 5 = 4x − 17. 6) x − 1 − x + 2x + 3 = 2x + 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 5.

(91) GV.Lưu Huy Thưởng. 7) 2 x + 1 − x 2 − 2x − 8 = x 2 − x − 5 HT16. Giải các phương trình sau: 1) 4x + 7 = 4x + 7. 0968.393.899. 8) x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14. 2) 2x − 3 = 3 − 2x 4) x 2 − 2x − 3 = x 2 + 2x + 3. 3) x − 1 + 2x + 1 = 3x 5) 2x − 5 + 2x 2 − 7x + 5 = 0. 6) x + 3 + 7 − x = 10. HT17. Giải các phương trình sau: 2) x 4 + 4x 2 + 2 x 2 − 2x = 4x 3 + 3. 1) x 2 − 2x + x − 1 − 1 = 0 HT18. Giải các bất phương trình sau 1) x 2 − 2x − 1 < x + 1. 2) 2x 2 + x − 3 ≥ 2x + 1. 3) x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5. 4) x 2 + x − 1 < 2x 2 + x − 2. BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN THỨC Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. I. Biến đổi tương đương a. Phương trình:  2  f (x ) = g (x ) Dạng 1: f (x ) = g (x ) ⇔  g(x ) ≥ 0   f (x ) = g(x ) Dạng 2: f (x ) = g(x ) ⇔    f (x ) ≥ 0 (hay g(x ) ≥ 0)  Dạng 3:. 3. f (x ) = 3 g(x ) ⇔ f (x ) = g (x ). Dạng 4:. 3. f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = (g(x )). 3. b. Bất phương trình  f (x ) ≥ 0  • Dạng 1: f (x ) < g (x ) ⇔ g (x ) > 0   f (x ) < g(x ) 2     g(x ) < 0  f (x ) ≥ 0  • Dạng 2: f (x ) > g(x ) ⇔  g(x ) ≥ 0  2   f (x ) > g(x ) . Bài tập HT19. Giải các phương trình sau: 1). 2x − 3 = x − 3. 2). 5x + 10 = 8 − x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 6.

(92) GV.Lưu Huy Thưởng 3) x − 2x − 5 = 4. 4). 0968.393.899. x 2 + x − 12 = 8 − x. 5). x 2 + 2x + 4 = 2 − x. 6) 3x 2 − 9x + 1 = x − 2. 8). 3x 2 − 9x + 1 = x − 2. 8) (x − 3) x 2 + 4 = x 2 − 9. HT20. Giải các bất phương trình sau: 1). x 2 + x − 12 < 8 − x. 2). x 2 − x − 12 < 7 − x. 3). −x 2 − 4x + 21 < x + 3. 4). x 2 − 3x − 10 > x − 2. 5). 3x 2 + 13x + 4 ≥ x − 2. 6). 2x + 6x 2 + 1 > x + 1. 7). x + 3 − 7 − x > 2x − 8. 8). 2 − x > 7 − x − −3 − 2x 9). 2x + 3 + x + 2 ≤ 1. HT21. Giải các phương trình: 1). 2). 3 +x − 2−x = 1. 3) x 2 + x + 1 = 1. 4). x + 9 = 5 − 2x + 4. 5) 3 + x + 6 − x = 3. 6). 3x + 4 − 2x + 1 = x + 3. x2 + 9 − x2 − 7 = 2. 2). 3x 2 + 5x + 8 − 3x 2 + 5x + 1 = 1. 3. 4). x 2 + x − 5 + x 2 + 8x − 4 = 5. 3x + 2 + x + 1 = 3. HT22. Giải các phương trình sau: 1) 3). 3. 1+ x + 1− x = 2. 6) 3 9 − x + 1 + 3 7 + x + 1 = 4. 5) 3 5x + 7 − 3 5x − 13 = 1 HT23. Giải các bất phương trình sau: 1). x 2 − 4x ≤2 3−x. 3) (x + 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9. 2). −2x 2 − 15x + 17 ≥0 x +3. 4). −x 2 + x + 6 −x 2 + x + 6 ≥ 2x + 5 x +4. HT24. Giải các bất phương trình sau: 3. 1) x + 2 ≤ x 2 + 8. 2). 3. 3. 2x 2 + 1 ≥ 3x 2 − 1. 3) 3 x + 1 > x − 3. HT25. Giải các phương trình sau: 1). x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5. 2) 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0. 3). x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2. 4). 5). x 2 + 2x + 2x − 1 = 3x 2 + 4x + 1. 6) 1 − x = 6 − x − −5 − 2x. 7) 3 12 − x + 3 14 + x = 2. x3 + 1 + x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 x +3. 8) 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 7.

(93) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. II. Đặt ẩn phụ t = f (x ), t ≥ 0  Dạng 1: af (x ) + b f (x ) + c = 0 ⇔  at 2 + bt + c = 0 . Dạng 2: f (x ) + g (x ) = h(x ) Dạng 3: f (x ) ± g (x ) + f (x ).g (x ) = h(x ) và f (x ) ± g (x ) = k (k = const ) Đặt t =. f (x ) ± g(x ), .. HT26. Giải các phương trình sau: 1) x 2 − 6x + 9 = 4 x 2 − 6x + 6. 2). (x − 3)(8 − x ) + 26 = −x 2 + 11x. 3) (x + 4)(x + 1) − 3 x 2 + 5x + 2 = 6. 4) (x + 5)(2 − x ) = 3 x 2 + 3x. 5) x 2 + x 2 + 11 = 31. 6) x 2 − 2x + 8 − 4 (4 − x )(x + 2) = 0. HT27. Giải các phương trình sau: 1). x + 3 + 6 − x = 3 + (x + 3)(6 − x ). 2). 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 (2x + 3)(x + 1) − 16. 3). x − 1 + 3 − x − (x − 1)(3 − x ) = 1. 4). 7 − x + 2 + x − (7 − x )(2 + x ) = 3. 5). x + 1 + 4 − x + (x + 1)(4 − x ) = 5. 6). 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2. 7) 1 +. 8). 2 x − x2 = x + 1 − x 3. x + 9 − x = −x 2 + 9x + 9. HT28. Giải các bất phương trình sau: 1). (x − 3)(8 − x ) + 26 > −x 2 + 11x. 3) (x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5x + 28. 2) (x + 5)(x − 2) + 3 x (x + 3) > 0 4). 3x 2 + 5x + 7 − 3x 2 + 5x + 2 ≥ 1. HT29. Giải các phương trình sau: 1). 2x − 4 + 2 2x − 5 + 2x + 4 + 6 2x − 5 = 14. 2). x + 5 − 4 x +1 + x + 2 −2 x +1 = 1. 3). 2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x − 1 = 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 8.

(94) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Dạng 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Là phương pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu về 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa ẩn x ban đầu. Bài tập: 1) x 2 − 1 = 2x x 2 − 2x. 2) (4x − 1) x 3 + 1 = 2x 3 + 2x + 1. 3) x 2 − 1 = 2x x 2 + 2x. 4) x 2 + 4x = (x + 2) x 2 − 2x + 4. Dạng 7: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình về hệ đối xứng: + ax + b = c(dx + e )2 + αx + βy với d = ac + α, e = bc + β Đặt: dy + e = ax + b + 3 ax + b = c(dx + e)3 + αx + β với d = ac + α, e = bc + β Đặt: dy + e = 3 ax + b Bài tập HT30. Giải các phương trình sau: 1). 3x + 1 = −4x 2 + 13x − 5. 2) x 3 + 2 = 3 3 3x − 2. 3). x + 1 = x 2 + 4x + 5. 4). 4x + 9 = 7x 2 + 7x , x > 0 28.   3 3 6) x 35 − x 3 x + 35 − x 3  = 30  . 5) x 3 + 1 = 23 2x − 1 III. Phương pháp trục căn thức Bài tập HT31. Giải các phương trình sau: 1) x 2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 + 1 3). 3 2. x −1 + x = x3 − 2. 5) 2 (2 − x )(5 − x ) = x + (2 − x )(10 − x ) 7). 3 2. 9) 11). 2). x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5. 4). 2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1 = x + 4. 6). 4 − 3 10 − 3x = x − 2 3 2. x + 4 = x − 1 + 2x − 3. 8). 2x 2 + 16x + 18 + x 2 − 1 = 2x + 4. 10). x − 1 + 3x 3 − 2 = 3x − 2. x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8. 3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3(x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4. IV. Phương pháp xét hàm số HT32. Giải các phương trình sau: 1). 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1. 2). x − 1 = −x 3 − 4x + 5. 3). x −1 + x − 2 = 3. 4). 2x − 1 + x 2 + 3 = 4 − x. V. Phương pháp đánh giá 1). x 2 − 2x + 5 + x − 1 = 2. 3). 2 − x2 + 2 −. 2) 2 7x 3 − 11x 2 + 25x − 12 = x 2 + 6x − 1.  1 = 4 − x −   x  x2 1. 4). x −2 x −1 + x + 3 − 4 x −1 = 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 9.

(95) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VI. Các bài toán liên quan đến tham số HT1.. Cho phương trình. x +4 x −4 +x + x −4 = m .. a. Giải phương trình với m = 6. b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Đ/s: x = 4; m ≥ 6 HT2.. Tìm tham số để phương trình 3x 2 + 2x + 3 = m(x + 1) x 2 + 1 có nghiệm thực. Đ/s: m < −3 ∪ m ≥ 2 2. HT3.. Cho phương trình. x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x ) = m .. a. Giải phương trình khi m = 2 . b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Đ/s: x = −1; x = 3.2 2 − 2 ≤ m ≤ 2 HT4.. Tìm tham số thực m để bất phương trình. x 2 − 4x + 5 ≥ x 2 − 4x + m có nghiệm thực trong đoạn 2; 3 .. Đ/s: m ≤ −1 HT5.. Tìm m để phương trình. x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng hai nghiệm thực phân biệt.. Đ/s: HT6.. Tìm m để phương trình m x 2 − 2x + 2 = x + 2 có hai nghiệm phân biệt. Đ/s: m ∈ (1; 10). HT7..   Tìm m để phương trình m  1 + x 2 − 1 − x 2 + 2 = 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 có nghiệm thực. Đ/s:  .  3 2 − 4   m ∈ −2 5;   2  HT8.. Cho phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3). x +1 = m Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. x −3. Đ/s: m ≥ −4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 10.

(96) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HT1. Giải các phương trình sau:. 7 ± 29 5 ± 13 ,x = 2 2. 1.. x 2 − 1 = x 3 − 5x 2 − 2x + 4. Đ/s: x = −1, x =. 2.. x 3 − 3x + 1 = 2x + 1. Đ/s: x = 2, x = 5. 3.. x2 −1 + x = 1. Đ/s: x = 0, x = ±1. 4.. x + 1 + x − 1 = 1 + 1 − x2. Đ/s: x = 0, x = ±2. 5.. 3 − 2x − x = 5 2 + 3x + x − 2. HT2.. (. ). Đ/s: x = −. 23 3 ,x = 9 23. Giải các phương trình sau: 14 5. 1.. −x 2 + 4x − 3 = 2x − 5. Đ/s: x =. 2.. 7 − x 2 + x x + 5 = 3 − 2x − x 2. Đ/s: x = −1. 3.. 3x + x 3 − x + 1 = −2. 4.. x 3 − 2x + 5 = 2x − 1. Đ/s: x = 2 ∪ x = 1 + 3. 5.. x 3 + x 2 + 6x + 28 = x + 5. Đ/s: x = 1 ∪ x =. 6.. x 4 − 4x 3 + 14x − 11 = 1 − x. Đ/s: x = −2 ∪ x = 1. 7.. x 4 + 5x 3 + 12x 2 + 17x + 7 = 6(x + 1). Đ/s: x = 3 − 2. 8.. 3x − 2 − x + 7 = 1. Đ/s: x = 9. 9.. 3x + 1 + x + 1 = 8. Đ/s: x = 8. 10.. x +8− x = x +3. Đ/s: x = 1. 11.. 5x + 1 + 2x + 3 = 14x + 7. 1 Đ/s: x = − ; x = 3 9. 12.. x (x − 1) + x (x + 2) = 2 x 2. Đ/s: x = 0 ∪ x =. 13.. x + 14x − 49 + x − 14x − 49 = 14. Đ/s: x =. 14.. 3x + 8 − 3x + 5 = 5x − 4 − 5x − 7. Đ/s: x = 6. 15.. x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2. Đ/s: x = 1. 16.. 10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2. Đ/s: x = 3. 17.. x2 + 2 + x2 + 7 = x2 + x + 3 + x2 + x + 8. Đ/s: x = −1. 18.. 5 5 − x2 + 1 − x2 + − x2 − 1− x2 = x + 1 4 4. Đ/s: x =. 19.. 2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x − 1 = 4. Đ/s: x = 1; x =. 20.. x3 + 1 + x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 x +3. Đ/s: x = 1 ± 3. Đ/s: x = −1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. −1 ± 13 2. 9 8. 7 ∪x = 7 2. 3 5 5 2. Page 11.

(97) GV.Lưu Huy Thưởng 21.. x−. 1 1 = − x x x. Đ/s: x = 1. 22. 3 2x + 1 + 3 2x + 2 + 3 2x + 3 = 0. 23.. 3. Đ/s: x = −1. 3x − 1 + 3 2x − 1 = 3 5x + 1. Đ/s: x =. 24. 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 HT3.. 19 30. Đ/s: x = 2. Giải các phương trình sau (nhóm nhân tử chung) 1.. (x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12. 2.. 3. 3.. x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x 2 + 8x − 7 + 1. Đ/s: x = −3. 3. x + 1 + 3 x + 2 = 1 + x 2 + 3x + 2. Đ/s: x = 0; x = −1. 4.. x 2 + 10x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6. 5.. x 2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x +. Đ/s: x = 5; x = 4 Đ/s: x = 1; x = 2. 6 +5 x. Đ/s: x = 1; x = 2. 6.. x − 2 x − 1 − (x − 1) x + x 2 − x = 0. Đ/s: x = 2. 7.. 2x 2 − 6x + 10 − 5(x − 2) x + 1 = 0. Đ/s: x = 3; x = 8. 8.. x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x 2 + 4x + 3. Đ/s: x = 0; x = 1. 9.. x + 1 + 2(x + 1) = x − 1 + 1 − x + 3 1 − x 2. Đ/s: x = 0. 10.. 3 2. x + 3x + 2(3 x + 1 − 3 x + 2) = 1. (. Đ/s: x = −. 3 2. ). Giải các phương trình sau: A2 + B 2 = 0. HT4.. HT5.. 0968.393.899. 1.. 4 x + 1 = x 2 − 5x + 14. Đ/s: x = 3. 2.. x 2 − x + 6 = 4 1 − 3x. Đ/s: x = −1. 3.. x 4 − 2x 2 x 2 − 2x + 16 + 2x 2 − 6x + 20 = 0. Đ/s: x = 2. 4.. x + 4 x + 3 + 2 3 − 2x = 11. Đ/s: x = 1. 5.. 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16x. Đ/s: x =. 6.. 2 x + 1 + 6 9 − x 2 + 6 (x + 1)(9 − x 2 ) − x 3 − 2x 2 + 10x + 38 = 0. Đ/s: x = 0. 7.. x 2 − 2(x + 1) 3x + 1 = 2 2x 2 + 5x + 2 − 8x − 5. Đ/s: x = 1. 8.. 4x 2 + 12 + x − 1 = 4 x 5x − 1 + 9 − 5x. (. 5 4. ). Giải các bất phương trình sau (nhân liên hợp) 1 2. 1.. x + 1 + 1 = 4x 2 + 3x. Đ/s: x =. 2.. 2x − 3 − x = 2x − 6. Đ/s: x = 3. 3.. 2. x − 2 + 4 − x = 2x − 5x − 1. Đ/s: x = 3. 4.. 10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2. Đ/s: x = 3. 5.. (. )(. 6.. 3(2 + x − 2) = 2x + x + 6. 1+x +1. ). 1 + x + 2x − 5 = x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Đ/s: x = 2 Đ/s: x = 3; x =. 11 − 3 5 2. Page 12.

(98) GV.Lưu Huy Thưởng 7. 8. 9.. 9. (. ). 0968.393.899 Đ/s: x = 6. 4x + 1 − 3x − 2 = x + 3. 3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3(x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4. Đ/s: x = 2. (x + 1) x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1. Đ/s: x = 1 ± 2. 10. (3x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + 2x + 3. Đ/s: x = ±1. 11. (x + 3) 2x 2 + 1 = x 2 + x + 3. Đ/s: x = 0; x = −5 + 13. 12.. 4 1 5 + x − = x + 2x − x x x. 13.. x + 3 − x = x2 − x − 2. Đ/s: x = 2 Đ/s: x =. 14. 3 x + 24 + 12 − x = 6. 3± 5 2. Đ/s: x = −24; x = −88. 15. 2x 2 − 11x + 21 = 3 3 4x − 4 HT6. Giải các bất phương trình sau:. Đ/s: x = 3. (. ) (. ). 1.. 3x + 5 < x 2 + 7x. Đ/s: x ∈ −∞; −5 − 2 5 ∪ −5; −5 + 2 5 ∪ (1; +∞). 2.. x 2 + 8x − 1 < 2x + 6. Đ/s: x ∈ (−5 + 2 5;1). 3.. 2x 2 − 3x − 10 ≥ 8 − x. 4.. 2x − 1 2. <. x − 3x − 4. 5. 6. HT7..   1 + 37  1 − 37    Đ/s: x ∈ −∞; ∪ 1 − 2;1 + 2  ∪  ; +∞      2 2       7 + 57 Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; 4) ∪  ; +∞   2. 1 2. 2x + 1 ≥x +5 x −1 3 x + 3 −1. (. ). Đ/s: x ∈ −∞; −1 − 7  ∪ −3 + 15;1 ∪ (1; −1 + 7)  . (. Đ/s: x ∈ [ − 5; −4) ∪ −2;2 − 3  . ≥ x +2. Giải các bất phương trình sau:.  3 3 Đ/s: x ∈ − ; −  ∪ 2; +∞)  2 4  . 1.. 2x + 3 ≤ 4x 2 − 3x − 3. 2.. x 2 − x − 12 < x. 3.. −x 2 + 4x − 3 > 2x − 5. 4.. 5x 2 − 2x − 2 ≥ 4 − x. 3  Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪  ; +∞ 2  . 5.. x + 9 + 2x + 4 > 5. Đ/s: x ∈ (0; +∞). 6.. x + 2 − 3 − x < 5 − 2x. Đ/s: x ∈ [ − 2;2). 7.. 7x + 1 − 3x − 8 ≤ 2x + 7. 8.. 5x + 1 − 4x − 1 ≤ 3 x. Đ/s: x ∈ 9; +∞) 1  Đ/s: x ∈  ; +∞ 4  . 9..  1  5x + 1 − 4 − x ≤ x + 6 x ∈ − ; 3  5   . Đ/s: x ∈  4; +∞)  14  Đ/s: 1;   5  . Đ/s:.  1  x −1 x −2 −2 ≥ 3 x ∈ − ; 0  12  x x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 13.

(99) GV.Lưu Huy Thưởng. −x 2 + x + 6 −x 2 + x + 6 ≥ 2x + 5 x +4  2x + 4   10x − 3x 2 − 3 ≥ 0 11. x −  2x − 5 . Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ x = 3. 10..  1 5 Đ/s: x = 3 ∪ x ∈  ;   3 2  . 12.. 51 − 2x − x 2 <1 1−x. Đ/s: x ∈ −1 − 52; −5 ∪ 1; −1 + 52 . 13.. −3x 2 + x + 4 <2 x. 9 4 Đ/s: x ∈ [−1; 0) ∪  ;   7 3 . 1. 14.. 2x 2 + 3x − 5. 15.. >. ) (. 1− 2 x2 − x + 1.  13 − 1   Đ/s: x ∈  ; +∞  6 . >1. 16.. x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6x + 5 ≤ 2x 2 + 9x + 7. Đ/s: x = 1; x = −5. 17.. x 2 − 4x + 3 − 2x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1.  1 Đ/s: x ∈ −∞;  ∪ x = 1  2 . 18.. x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4. Đ/s: x ∈ 4; +∞) ∪ x = 1. HT8.. Giải các bất phương trình sau (nhân liên hợp) 2x 2. 1.. (3 − (1 +. 1+x. 2. (. Đ/s: x ∈ −1; 8). > x −4. 2. ). 6x 2. 3..  9 7 Đ/s: x ∈ − ;  \ {0}   2 2 . < x + 21. ). 9 + 2x x2. 2.. 2. x2. (x + 1 −. x +1. 2. <. x 2 + 3x + 18. ). (. 4(x + 1)2 < (2x + 10) 1 − 3 + 2x. 6.. (. 2. ).   x + 3 − x − 1 1 + x 2 + 2x − 3  ≥ 4  . ).  3  Đ/s: x ∈ − ; 3 \ {1}  2   Đ/s: x ≥ 2. x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4. Đ/s: x ≥ 4 ∪ x = 1. 4. Đ/s: x ∈ (0; 4 . + 2x + 1 ≥ 2x + 17. x 9.. 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x > 2 3. (. 10. 9(x 2 + 1) ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 4. 11. 2 1 −. 2 8 + 2x − ≥ x x x. ). Đ/s: x ∈ (−1; 3) \ {0}. (x + 1)2. 5.. 8.. (. Đ/s: x ∈ 10 + 4 5; +∞. > 2x + x − 1 + 1. ). 2x + 1 + 1. 4.. 7.. ).  5  3 Đ/s: x ∈ −∞; −  ∪ 1;  ∪ (2; +∞) 2   2  . 1 2x − 1. 3 − 2 x 2 + 3x + 2. 0968.393.899. 2. ). Đ/s: x ∈ (1; 4.  4  Đ/s: x ∈ − ; −1  3  . {. Đ/s: x ∈ −2; 0) ∈ 1 + 5. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. } Page 14.

(100) GV.Lưu Huy Thưởng 12.. 12x − 8. 2x + 4 − 2 2 − x >. 9x 2 + 16 13. 2. x2 + x + 1 2 + x2 − 4 ≤ x +4 x2 + 1. 14. (x − 1) x 2 − 2x + 5 − 4x x 2 + 1 ≥ 2(x + 1) 15.. 3 − 2 x 2 + 3x + 2. x (x + 1 − x 2 ) x x + 1− x2 − x3. 17. HT9..  2   4 2  Đ/s: x ∈ −2;  ∪  ;2  3   3   Đ/s: x ∈ − 3; 3    Đ/s: x ∈ (−∞; −1.  13 − 1  ; +∞ Đ/s: x ∈ (−∞; −2 ∪    6. >1. 1− 2 x2 − x + 1 16.. 0968.393.899. 5 −1 2. Đ/s: x =. ≥1. 2x 2 + 11x + 15 + x 2 + 2x − 3 ≥ x + 6.   7 3 Đ/s: −∞; −  ∪  ; +∞    2 2 . Giải các phương trình sau (Đặt ẩn phụ không hoàn toàn): 1.. (x + 1) x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1. Đ/s: x = 1 ± 2. 2.. x 2 + (3 − x 2 + 2)x = 1 + 2 x 2 + 2. Đ/s: x = ± 14. 3 (3x + 1) 2x 2 − 1 = 5x 2 + x − 3 2     3  2x 2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2x 2 + 1      . Đ/s: x = ±1; x = 5. 5.. 2 2x + 4 + 4 2 − x = 9x 2 + 16. Đ/s: x =. 6.. 4 x + 1 − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2. 3 Đ/s: x = − ; x = 0 5. 7..   2 2 1 + x 2 − 1 − x 2  − 1 − x 4 = 3x 2 + 1  . Đ/s: x = 0. 8.. x 2 + 2(x − 1) x 2 + x + 1 − x + 2 = 0. Đ/s: x = 0; x = −1. 9.. (x + 1) x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1. Đ/s: x = 1 ± 2. 3. 4.. 10. 6x 2 − 10x + 5 − (4x − 1) 6x 2 − 6x + 5 = 0. Đ/s: x = 0. 4 2 3. 59 − 3 10. Đ/s: x =. HT10. Giải các phương trình sau (Đặt 1 ẩn phụ): 1.. 2x 2 + 4x + 1 = 1 − x 2 − 2x. Đ/s: x = −2; x = 0. 2.. x + 2 + 5 − x + (x + 2)(5 − x ) = 4. Đ/s: x =. 3.. 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 − 16 Đ/s: x = 3. 4.. (x 2 + 1)2 = 5 − x 2x 2 + 4. 5.. x 2 + 2x x −. 6.. 9 x. 2. +. 1 = 3x + 1 x. 2x. −1 = 0. 2. 2x + 9. 3±3 5 2. Đ/s: x = − 2 ∪ x = Đ/s: x =. 3 −1. 1± 5 2. Đ/s: x = −. 3 2 2. 7.. 2x 2 − 6x + 4 = 3 x 3 + 8. Đ/s: x = 3 ± 13. 8.. 2x 2 + 5x − 1 = 7 x 3 − 1. Đ/s: x = 4 ± 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 15.

(101) GV.Lưu Huy Thưởng 9.. x 2 − 4x − 3 = x + 5. Đ/s: x = −1 ∪ x =. 10. 2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5. 0968.393.899. 5 + 29 2. Đ/s: x = 1 − 2 ∪ x = 2 + 3. HT11. Giải các phương trình sau (đặt 2 ẩn phụ hoặc chuyển về hệ): 1.. 4. 5 − x + 4 x −1 = 2. 2.. x 3 + 1 = 23 2x − 1. 3.. 3x 2 + 6x − 3 =. 4.. x 2 − 4x − 3 = x + 5. Đ/s: x = −1; x =. 5.. 2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5. Đ/s: x = 1 − 2; x = 2 + 3. 6.. 4 3 (x + 2)2 − 7 3 (4 − x )2 + 3 3 (2 − x )2 = 0. 7.. 3. 8.. (x + 3) −x 2 − 8x + 48 = x − 24. Đ/s: x = 0; x = 5 Đ/s: x = 1; x =. x +7 3. Đ/s: x =. (2 − x )2 + 3 (7 + x )2 − 3 (7 + x )(2 − x ) = 2. −1 ± 5 2. −5 + 73 −7 − 69 ;x = 6 6 5 + 29 2. Đ/s: x = −6; x = 1 Đ/s: x = −2 − 2 7; x = −5 − 31. 1 1 + =2 x 2 2−x HT12. Giải các bất phương trình sau (Đặt ẩn phụ):. 9.. Đ/s: x = 1; x =. −1 − 3 2. 1.. (x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5x + 28. Đ/s: x ∈ (−9; 4). 2.. x (x − 4) −x 2 + 4x + (x − 2)2 < 2. Đ/s: x ∈ 2 − 3;2 + 3. (. 3.. 7x + 7 + 7x − 6 + 2 49x 2 + 7x − 42 < 181 − 14x. 6  Đ/s: x ∈  ;6  7 . 4.. 3 − x + x + 2 + 3 ≤ 3 −x 2 + x + 6. Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ 2; 3. 5.. x +4 + x −4 ≤ x + x 2 − 16 − 6 2.  145  Đ/s: x ∈  ; +∞  36  . 6.. 3x 2 + 6x + 4 < 2 − 2x − x 2. Đ/s: x ∈ (−2; 0). 1  Đ/s: x ∈ (−∞; 0) ∪  ; +∞ 2  . 3x − 1 x ≥ +1 x 3x − 1. 7.. 2. 8.. (x + 1)(x − 3) −x 2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2. 9.. x+. x x2 −1. 10.. 1 1 − x2. +1>. >. ). (. Đ/s: x ∈ 1 − 3;1 + 3. ). 35 12.  5 5  Đ/s: x ∈ 1;  ∪  ; +∞  4   3 . 3x.  1   2   ∪  ;1 Đ/s: x ∈ −1;   2   5 . 1− x2 HT13. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số). 1.. 6 8 +3 = 14 3−x 2−x. Đ/s: x =. 2.. 3x + 1 + x + 7x + 2 = 4. Đ/s: x = 1. 3.. 4x 3 + x − (x + 1) 2x + 1 = 0 x =. 1+ 5 4. Đ/s: x =. 3 2. −1 + 21 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 16.

(102) GV.Lưu Huy Thưởng 4.. x (4x 2 + 1) + (x − 3) 5 − 2x = 0. 5.. (2x + 3) 4x 2 + 12x + 11 + 3x (1 + 9x 2 + 2) + 5x + 3 = 0. 6.. 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2(x − 1)4 (2x 2 − 4x + 1). 0968.393.899. Đ/s: x = −. 3 5. Đ/s: x = 0; x = 2. 7.. x 3 + 1 = 23 2x − 1. Đ/s: x = 1; x =. −1 ± 5 2. 8.. 8x 3 − 36x 2 + 53x − 25 = 3 3x − 5. Đ/s: x = 2; x =. 5± 3 4. 9.. x 3 − 15x 2 + 78x − 141 = 5 3 2x − 9. Đ/s: x = 4; x =. 11 ± 5 2. 10. 2x 3 + x 2 − 3x + 1 = 2(3x − 1) 3x − 1. Đ/s: x =. 3± 5 2. HT14. Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số) 1.. x +1 > 3− x +4. Đ/s: x ∈ (0; +∞). 2.. 5x − 1 + x + 3 ≥ 4. Đ/s: x ∈ 1; +∞). (. 3. ). 3.. 2(x − 2). 4.. (x + 2) x + 1 > 27x 3 − 27x 2 + 12x − 2. 5.. 3 3 − 2x +. 4x − 4 + 2x + 2 ≥ 3x − 1. 5 2x − 1. − 2x ≤ 6. Đ/s: x ≥ 3.  7 Đ/s: x ∈ −1;   9    3 Đ/s: x ∈ 1;   2  . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 17.

(103) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM HT15. Giải bất phương trình: 1) (B – 2012) x + 1 + x 2 − 4x + 1 ≥ 3 x. 2) (A – 2010). x− x 1 − 2(x 2 − x + 1). 3) (A – 2005) 4) (A – 2004). ≥1. 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4. 2(x 2 − 16). 7 −x. + x −3 >. x −3. x −3. 5) (D – 2002) (x 2 − 3x ) 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0.  1 Đ/s: 1) 0;  ∪ [4; +∞)  4  . 2) x =. 3− 5 2. 3) 2 < x < 10. 1 5) x < − ∪ x = 2 ∪ x ≥ 3 2 HT16. Giải các phương trình sau:. 4) x > 10 − 34. 1) (B – 2011) 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x. 2) (B – 2010) 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0 3) (A – 2009) 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0 4)(D – 2006). 2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0. 5) (D – 2005) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4 Đ/s: 1) x =. 6 5. 2) x = 5. 3) x = −2. 4) x = 2 − 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. 5) x = 3. Page 18.

(104) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải và biện luận:. a x + b y = c  1 1 1 (a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0)  a2x + b2y = c2 . a b – Tính các định thức: D = 1 1 , a2 b2. c b Dx = 1 1 , c2 b2. a c Dy = 1 1 . a2 c2. Xét D. Kết quả. D≠0 D=0. Hệ có nghiệm duy nhất. Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 Dx = Dy = 0. Hệ vô nghiệm Hệ có vô số nghiệm. Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 3. Hệ đối xứng loại 1  f (x , y ) = 0 Hệ có dạng: (I)  (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).  g (x , y ) = 0  (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). • Đặt S = x + y, P = xy. • Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. • Giải hệ (II) ta tìm được S và P. • Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2 − SX + P = 0 . 4. Hệ đối xứng loại 2  f (x , y ) = 0 (1) Hệ có dạng: (I)    f (y, x ) = 0 (2)  (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:.  f (x, y ) − f (y, x ) = 0 (I) ⇔    f (x, y ) = 0  • Biến đổi (3) về phương trình tích:. • Như vậy,. (3) (1). x = y (3) ⇔ (x − y ).g(x , y ) = 0 ⇔  . g(x, y ) = 0   f (x , y ) = 0  x = y (I) ⇔  .  f (x , y ) = 0  g(x, y ) = 0 . • Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 5. Hệ đẳng cấp bậc hai  2 2 a x + b1xy + c1y = d1 Hệ có dạng: (I)  1 . a x 2 + b xy + c y 2 = d 2 2 2  2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 19.

(105) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). • Khi x ≠ 0, đặt y = kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý:. – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số đểgiải (sẽ học ở lớp 12). – Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm (x 0 ; y 0 ) thì (y 0 ; x 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó. nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x 0 = y 0 .. BÀI TẬP HT1. Giải các hệ phương trình sau:  x + xy + y = 11 1)  2 x + y 2 − xy − 2(x + y ) = −31 .  x + y = 4 2)  2 x + xy + y 2 = 13 .  xy + x + y = 5 3)  2 x + y 2 + x + y = 8 .  3 3 3 3 x + x y + y = 17 5)  x + y + xy = 5 .  4 2 2 4 x + x y + y = 481 6)  x 2 + xy + y 2 = 37 . Đ/s: 1). 2). 3). 4). 5). 6).  2 x − 2y = 2 2)  2 2x + xy − y = 9.  2 2 2x + 4y + x = 19 3)  x 2 + y 2 + y = 7 .  x y  + = 13 4)  6 y x  + = x y 6 . HT2.. Giải các hệ phương trình sau:  x + 2y = −1 1)  2 x + 3y 2 − 2x = 2 . 5 1 Đ/s: 1) (1; −1);(− ; − ) 7 7.  3 5   5 − 33 3 + 33   5 + 33 3 − 33   ;   3) (1;2); − ; −  ;  ; ;     2 2   4 4 4 4  . 2) (2;1). HT3. Giải hệ phương trình sau (đẳng cấp bậc 2)  2  2  2 2 2 2 x − xy + y = 7 x + xy − y = −1 x − 4xy + y = 1 1)  2)  3)  2 2 2x 2 − xy + 3y 2 = 12 y 2 − 3xy = 4 x − 2xy − 3y = 0   x 2 − 3xy + y 2 = 5 3x 2 + 5xy − 4y 2 = 38 5)  4)  2x 2 − xy − y 2 = 2 5x 2 − 9xy − 3y 2 = 15    7  9 7   9 7  7   7 7    ;   Đ/s: 1) (3;1);(−3; −1);  ; −  ; − ; 2) (1;2);(−1; −2); − ; ;−    3   3 3   3  31 31   31 31  3) (−1; −4),(1; 4) HT4.. 4) (−1;1),(1; −1). 5) (−3; −1),(3;1). Giải các hệ phương trình sau (đối xứng loại 1).  xy(x + 2)(y + 2) = 24 1)  2 x + y 2 + 2(x + y ) = 11 .  3 3 x + y = 12(x + y ) 2)  x − y = 2 .  2 2 x + y + x + y = 4 4)  x (x + y + 1) + y(y + 1) = 2.  2 x + 4x + y = 7 5)  x (x + 3)(x + y ) = 12 .  2 2 x + y + xy = 13 7)  x 4 + y 4 + x 2y 2 = 91 . x y + y x = 6  8)  x 2y + y 2x = 20 . Đ/s: 1) (1; −4),(1;2),(2; −3),(2;1),(−4; −3),(−4;1),(−3; −4),(−3;2).  2 2 x y + xy = 30 3)  x 3 + y 3 = 35   x + 1 + y + 1 = 2 + 2  6)   x + y = 3 + 1 . 2) (−2; −4),(4;2),(1; −1). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 20.

(106) GV.Lưu Huy Thưởng 3) ((3;2),(2; 3). (. )(. 4) (−2;1),(1; −2), − 2; 2 ,. 2; − 2. ).     −3 + 21 −11 − 21   −3 − 21 −11 + 21  5) (−4; 7),(1;2),  ; ; ,   2 2 2 2     7) (−3; −1),(−1; −3),(1; 3),(3;1). 0968.393.899. 6) (3;1),(1; 3). 8) (1; 4),(4;1). HT5.. Giải các hệ phương trình sau (hệ đối xứng loại 2)  2 3x = 2y + 1 2x + y − 1 = 5   y 1)  2)    2 2y + x − 1 = 5 1  3y = 2x + x . x + 4 y − 1 = 1  4)  y + 4 x − 1 = 1 . Đ/s: 1) (2;2) 4) (1;1).  x + 5 + y − 2 = 7  3)   y + 5 + x − 2 = 7 .  2xy x + = x2 + y  3 2 x − 2x + 9 6)   2xy  = y2 + x y + 3 2  y − 2y + 9 .  3 x = 3x + 8y 5)  y 3 = 3y + 8x . 2) (1;1). 3) (11;11). 5) (0; 0),( 11; 11),(− 11; − 11). 6) (0; 0),(1;1). II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương pháp rút thế, phương pháp cộng HT6. Giải các hệ phương trình sau:  3 x − 2xy + 5y = 7 1)  3x 2 − 2x + y = 3 .  x − y + 1 = 5 2 3)    3 y + 2(x − 3) x + 1 = − 4 .  3 2 2x + y(x + 1) = 4x 2)  5x 4 − 4x 6 = y 2 .  12    2   2 1 − y + 3x  x = 2  x + x + y + 1 + x + y + x + y + 1 + y = 18 5)  6)    2 2 12   x + x + y + 1 − x + y + x + y + 1 − y = 2 1 +  y = 6  y + 3x    6 − 2 33 −153 + 44 23   6 + 2 33 −153 − 44 23  1 1   1) (1;2),  ; ; 2) (0; 0),(1;1),  ;  ,   7 49 7 49     2 2    2 5x − 3y = x − 3xy 4)  x 3 − x 2 = y 2 − 3y 3 .  3 3) 3; −   4 . 1 1 4) (0; 0),(−1;1),  ;   2 2 . 5) (4; 4). (. 6) 4 + 2 3;12 + 6 3. ). 2. Tìm mối liên hệ giữa x, y từ 1 phương trình rồi thế vào phương trình còn lại  xy + x − 2 = 0 1)  3 2x − x 2y + x 2 + y 2 − 2xy − y = 0 .  2 2 3 5x y − 4xy + 3y − 2(x + y ) = 0 2)  xy(x 2 + y 2 ) + 2 = (x + y )2 .  3 2 2 3 x − 6x y + 9xy − 4y = 0 3)   x − y + x + y = 2  y 4 − 2xy 2 + 7y 2 = −x 2 + 7x + 8 5)    3y 2 + 13 − 15 − 2x = x + 1 .  2 2 xy + x + y = x − 2y 4)  x 2y − y x − 1 = 2x − 2y .  x + 3 = 2 (3y − x )(y + 1) 7)   3y − 2 − x + 5 = xy − 2y − 2  2 .   x + y + x − y = 1 + x 2 − y2 8)    x + y = 1 .  3  x − 1 − y = 8 − x 6)  (x − 1)4 = y . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 21.

(107) GV.Lưu Huy Thưởng.  2 2 2x + xy − y = 5x − y − 2 9)  x 2 + y 2 + x + y = 4     −1 + 5   −1 − 5 Đ/s: 1) (1;1),  ; − 5 ,  ; 5  2 2    . (. ).  2 3x + 1 + 2y(x + 1) = 4y x 2 + 2y + 1 10)  y(y − x ) = 3 − 3y   2 2 2   2) (1;1),(−1; −1), ± ;±   5 5 . 4) (5;2). 5) (3; −2),(3;2). 6) (2;1). 7) (3;2). 8) (1; 0).  4 13  9) (1;1). − ; −   5 5 .  415 17  10) (1;1),  ;   51 3 . 3) (2;2), 32 − 8 15; 8 − 2 15. 0968.393.899. 3. Đặt ẩn phụ chuyển về hệ cơ bản HT7. Giải các hệ phương trình sau:  xy − x + y = 3 1)  2 x + y 2 − x + y + xy = 6 .  x + y + x = 5  y 2)    x (x + y ) = 6 y .  2 2 2 x + xy + y = 19(x − y ) 4)  x 2 − xy + y 2 = 7(x − y ) . 12x + 3y − 4 xy = 16  5)   4x + 5 + y + 5 = 6 .  2 2 y + xy = 6x 7)  1 + x 2y 2 = 5x 2 .  2 x + 1 + y (x + y ) = 4y 8)  (x 2 + 1)(y + x − 2) = y . 2 2x + y = 3 − 2x − y  3)  x 2 − 2xy − y 2 = 2 .  2  x + 2x + 6 − y = 1 6)   x 2 + xy + y 2 = 7   3 2 2 =7 4xy + 4(x + y ) + (x + y )2 9)   1 2x + =3 x +y .  2 5 8(x + y 2 ) + 4xy + = 13  2 ( x + y ) 10)   1 2x + =1 x +y . Đ/s: 1) (0; −3),(3; 0). 3 1 2)  ; ,(2;1)  2 2 . 3) (1; −1),(−3;7). 4) (0; 0),(3;2),(−2; −3). 5) (1; 4). 6) (−3;2),(1;2). 1  7) (1;2),  ;1  2 . 8) (1;2),(−2;5). 9) (1; 0). 10) (0;1). 4. Phương pháp hàm số HT8. Giải các hệ phương trình sau:  2x + 3 + 4 − y = 4  1)   2y + 3 + 4 − x = 4 .  3 3 x − 3x = y − 3y 2)  x 6 + y 6 = 1 .  3 2 2  2 2 x (4y + 1) + 2(x + 1) x = 6 y(1 + x ) = x (1 + y ) 4)  5)   2 x 2y(2 + 2 4y 2 + 1) = x + x 2 + 1 x + 3y 2 = 1  .  x + 1 = y + 1  x2 + 1 y2 + 1 3)    4 3x 2 + 2x − 2 2 =  9x + y  y2   2  x + 21 = y − 1 + y 2 6)   2 2  y + 21 = x − 1 + x.  2x + 1 − 2y + 1 = x − y  8)  x 2 − 12xy + 9y 2 + 4 = 0    3 (23 − 3x ) 7 − x + (3y − 20) 6 − y = 0 x − 2y + 1 = 0 10)  9)   2x + y + 2 − −3x + 2y + 8 + 3x 2 − 14x − 8 = 0 (3 − x ) 2 − x − 2y 2y − 1 = 0   x = y + 45 − y − 5  7)  y = x + 45 − x + 5 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 22.

(108) GV.Lưu Huy Thưởng.  3 2 2 y + 3y + y + 4x − 22x + 21 = (2x + 1) 2x − 1 11)  2x 2 − 11x + 9 = 2y   2 2 2 4 1 + 2x y − 1 = 3x + 2 1 − 2x y + 1 − x 13)   3 2 4 2 3 2 2x y − x = x + x − 2x y 4y + 1  1 1   1 1  2)  ;  , − ; −  Đ/s: 1) (3;2) 6   6 2 6 2   6 2 2. 0968.393.899.  3 2y + y + 2x 1 − x = 3 1 − x 12)    2y 2 + 1 + y = 4 + x + 4   (x + 1 + x 2 )(y + 1 + y 2 ) = 1 14)   x 6x − 2xy + 1 = 4xy + 6x + 1  1 ± 7 1 ± 7    3)  ;  3 3 .  1 4) 1;   2 . 1 1  1 1 5)  ; , − ; −   2 2   2 2 . 6) (2;2). 7) (4; 4). 8) ( 2; 2). 9) (5; 4). 10) (1;1). 11) (1; 0),(5;2). 12) (−3;2). 13).  3 − 11 11 − 3    ; 14) (1; −1),  2   2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 23.

(109) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(110) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG. BÀI 1: NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: F '(x ) = f (x ) , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:. ∫ f (x )dx = F (x ) + C , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất  f (x ) ± g(x )dx = • f '(x )dx = f (x ) + C •  . ∫ • ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx. ∫. ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx. (k ≠ 0). 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. ∫ 0dx = C • ∫ dx = x + C •. •. ∫. x αdx =. x α +1 +C, α +1. (α ≠ −1). 1. ∫ xdx = ln x + C • ∫ ex dx = e x + C •. 1. ax + C (0 < a ≠ 1) ln a. ∫ • ∫ cos xdx = sin x + C • ∫ sin xdx = − cos x + C •. a x dx =. 1. •. ∫ cos2 xdx = tan x + C. •. ∫ sin2 xdx = − cot x + C. 1. 1 ax +b e + C , (a ≠ 0) a 1 1 dx = ln ax + b + C ax + b a. •. ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ≠ 0). •. ∫e. •. ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C (a ≠ 0). 1. •. ∫. ax +b. dx =. 4. Phương pháp tính nguyên hàm 1) Phương pháp đổi biến số Nếu. ∫ f (u)du = F (u) + C và u = u(x ) có đạo hàm liên tục thì: ∫ f u(x ) .u '(x )dx = F u(x ) + C. 2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:. ∫ udv = uv − ∫ vdu. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 1.

(111) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 1:. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:. 1) f (x ) = x 2 – 3x + 4) f (x ) =. 1 x. 2) f (x ) =. x. (x 2 − 1)2 x. 2. 6) f (x ) =. 2. sin x . cos x x 2. 10) f (x ) = 2 sin 3x cos 2x HT 2:. 3) f (x ) =. 2. 1. 5) f (x ) =. 2. 7) f (x ) = 2 sin2. 2x 4 + 3. x −1 x2 cos 2x 2. sin x . cos2 x. 8) f (x ) = tan2 x. 9) f (x ) = cos2 x. 11) f (x ) = e x (e x – 1).   e−x   12) f (x ) = e x 2 +   cos2 x . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:. 1) f (x ) = x 3 − 4x + 5; 3) f (x ) = 5) f (x )=. F (1) = 3. 3 − 5x 2 ; F (e) = 1 x. x3 −1 x. 2. 4) f (x ) =. F (−2) = 0. ;. x2 + 1 ; x. F (1) = 1. 6) f (x ) = x x +. π F '   = 0 3. x 3 + 3x 3 + 3x − 7 (x + 1)2. 8) f (x ) =. 3 2. F (1) = −2. ;. • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng:. ∫ f (x )dx. ∫ g(t)dt. x2. F (1) = 2. ;. π  π x ; F   = 2 4 2. bằng phương pháp đổi biến số. f(x) = g u(x ) .u '(x ) thì ta đặt t = u(x ) ⇒ dt = u '(x )dx .. ∫ f (x )dx = ∫ g(t)dt , trong đó ∫ g(t)dt. Chú ý: Sau khi tính. 3x 4 − 2x 3 + 5. 10) f (x ) == sin2. F (0) = 8. ;. VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm. Khi đó:. F (π) = 2. x. 7) f (x ) = sin 2x . cos x ; 9) f (x ) =. 2) f (x ) = 3 − 5 cos x ;. dễ dàng tìm được.. theo t, ta phải thay lại t = u(x).. • Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: Cách đổi biến. f(x) có chứa 2. a −x. hoặc 2. a +x. x = a cos t,. π π ≤t ≤ 2 2 0≤t ≤ π. x = a tan t,. −. x = a sin t,. 2. 2. hoặc. x = a cot t,. −. π π <t < 2 2 0<t < π. HT 3:. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx 1) (5x − 1)10 dx 2) (3 − 2x )5. ∫. ∫. 4). ∫ (2x. 7). ∫. 2. + 1)7 xdx. x 2 + 1.xdx. 5) 8). ∫ (x. ∫. 3. + 5)4 x 2dx. 3x 2. dx. 5 + 2x 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 3). ∫. 6). ∫ x 2 + 5 dx. 9). ∫. 5 − 2xdx x. dx x (1 + x )2. Page 2.

(112) GV.Lưu Huy Thưởng 10) 13). 16). ∫ sin. 4. 11). x cos xdx. e x dx. ∫. 14). x. e −3 ln 3 x dx x. ∫. 17). 0968.393.899. sin x. ∫ cos5 x dx. ∫. 12). 2 x .e x +1dx. 15). dx. ∫ ex + 1. 18). ∫. tan xdx. ∫. e. cos2 x x. dx x. e tan x. ∫ cos2 x dx. HT 4:. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx 1) 2) (1 + x 2 )3 (1 − x 2 )3. ∫. 4). 7). ∫. dx. ∫. 5). ∫x. 8). ∫ x2 + x + 1. 4 − x2 x 2dx. ∫. 1−x. 2. 2. 1 − x 2 .dx dx. 3). ∫. 6). ∫ 1 + x2. 9). ∫x. 1 − x 2 .dx dx. 3. x 2 + 1.dx. VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:. ∫ P(x ).e dx. ∫ P(x ). cos xdx. ∫ P(x ).sin xdx. ∫ P(x ).ln xdx. P(x). P(x). P(x). cos xdx. sin xdx. lnx P(x). x. u dv. HT 5:. x. e dx. Tính các nguyên hàm sau:. ∫ x. sin xdx 4) ∫ (x 2 + 2x + 3) cos xdx 7) ∫ x .e x dx 10) ∫ x ln xdx 1). HT 6: 1). ∫e. x. ∫ cos. 7). ∫. 2). dx. 2. ln xdx. 3). ∫ sin. 6). ∫ sin. x. x dx. ∫ x. sin. 8). ∫ sin(ln x )dx. 9). ∫ cos(ln x )dx. . cos xdx. 2). ∫e. 3). ∫e. 5). ∫. ln(1 + x ). 6). ∫ cos2 x dx. ∫. x3. 9).  ln x 2   dx  x . ln(ln x ) dx x Tính các nguyên hàm sau:. ∫e. 4). ∫. ln(cos x ) dx cos2 x. ∫. x ln x + x 2 + 1. x. ∫. 5). x dx. 1). 7). 2. ∫ (x + 5) sin xdx 6) ∫ x cos 2xdx 9) ∫ ln xdx 12) ∫ ln(x 2 + 1)dx. 3). Tính các nguyên hàm sau:. 4). HT 7:. ∫ x cos xdx 5) ∫ x sin 2xdx 8) ∫ x 3e x dx 11) ∫ ln2 xdx 2). (. x2 + 1. )dx. 8). x. x dx. (1 + tan x + tan2 x )dx. x. 2. dx. dx. 1 + x2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. x. 3. xdx. . sin 2xdx x. ∫. Page 3.

(113) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. f(x) là hàm hữu tỉ: f (x ) =. P (x ) Q(x ). – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8). Chẳng hạn:. 1 A B = + (x − a )(x − b) x − a x − b 1 2. (x − m )(ax + bx + c) 1 2. 2. (x − a ) (x − b ). =. =. A Bx + C + , x − m ax 2 + bx + c. với ∆ = b 2 − 4ac < 0. A B C D + + + x − a (x − a )2 x − b (x − b)2. 2. f(x) là hàm vô tỉ.  ax + b   + f(x) = R x, m   cx + d . → đặt.   1  + f(x) = R   (x + a )(x + b ) . t =m. ax + b cx + d. → đặt. t = x +a + x +b. • f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: +. sin (x + a ) − (x + b ) 1 1 = , . sin(x + a ).sin(x + b) sin(a − b) sin(x + a ). sin(x + b). +. sin (x + a ) − (x + b) 1 1 = . , cos(x + a ). cos(x + b ) sin(a − b) cos(x + a ). cos(x + b).  sin(a − b)  sử dụng 1 =  sin(a − b). +. cos (x + a ) − (x + b) 1 1 = , . sin(x + a ).cos(x + b) cos(a − b) sin(x + a ).cos(x + b).  cos(a − b)   sử dụng 1 =  cos(a − b) .  sin(a − b)  sử dụng 1 = sin(a − b) . + Nếu R(− sin x, cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx + Nếu R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx + Nếu R(− sin x, − cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) HT 8:. Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ):. dx x (x + 1). 1). ∫. 4). ∫ x 2 − 7x + 10. 7). dx. ∫. 10). x dx (x + 1)(2x + 1) dx. ∫ x(x 2 + 1). dx (x + 1)(2x − 3). 2). ∫. 5). ∫ x 2 − 6x + 9. 8). dx. ∫. 11). x. dx 2x 2 − 3x − 2 dx. ∫ 1+ x3. x2 + 1 dx x2 −1 dx. 3). ∫. 6). ∫ x2 − 4. 9). x3. ∫ x 2 − 3x + 2dx. 12). x. ∫ x 3 − 1dx. HT 9:. Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ): 1 1) dx 1+ x +1. ∫. 4). ∫. 1 4. x + x. dx. 2). ∫x. 5). ∫. x +1 x −2. 3). ∫ 1 + 3 x + 1dx. dx. 6). ∫ x(x + 1)dx. x 3. 1. dx. x− x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. x. Page 4.

(114) GV.Lưu Huy Thưởng 7). ∫. 10). dx 3. x + x +2 x dx. ∫ 3 (2x + 1)2 −. HT 10:. 1 − x dx 1+x x. ∫. 11). 2x + 1. ∫. dx. 9). 1 − x dx x. ∫ 3 1+x. 12). 2. x − 5x + 6. ∫. dx 2. x + 6x + 8. Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác):. 1). ∫ sin 2x sin 5xdx. 4). ∫ 1 + sin x cos xdx. 7). 8). 4. 0968.393.899. cos 2x. ∫. 10). 1 − sin x dx cos x. ∫ cos x cos 2x cos 3xdx. 2). ∫ cos x sin 3xdx. 3). ∫ (tan. 5). ∫ 2 sin x + 1. 6). ∫ cos x. 8). sin 3 x dx cos x. 9). ∫. ∫ cos xdx. 12). dx. ∫. 11). 3. 2. x + tan 4 x )dx. dx. dx  π cos x cos  x +   4. ∫ sin. 4. xdx. ----------------------------------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 5.

(115) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI 2: TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b. F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là. ∫ f (x )dx . a. b. ∫ f (x )dx = F (b) − F (a ) a. • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b. b. b. ∫ f (x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... = F (b) − F (a ) a. a. a. • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong b. S =. giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:. ∫ f (x )dx a. 2. Tính chất của tích phân 0. •. b. ∫ f (x )dx = 0 0. a. ∫ a. b.  f (x ) ± g(x )dx =  . b. b. ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx • ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx (k: const). •. b. •. a. b. a. a. b. b. ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a. •. a. c. b. ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a. a. c. b. • Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì. ∫ f (x )dx ≥ 0 a b. b. ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx. • Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì. a. a. 3. Phương pháp tính tích phân u(b ). b. 1) Phương pháp đổi biến số:. ∫ f u(x ) .u '(x )dx = ∫. f (u )du trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u). u (a ). a. liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. 2) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì: b. ∫ a. b b. udv = uv − a. ∫ vdu a. Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. b. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho. ∫ vdu dễ tính a. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. b. hơn. ∫ udv . a. Page 6.

(116) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 11:. Tính các tích phân sau: 2. 1). 4). 7). 2. ∫ (x. 3. + 2x + 1)dx. ∫. 2). 1. 1. 2. −1. x. ∫ x 2 + 2dx. −1. −2. 2. 2. ∫. ( x + 1)(x − x + 1)dx. ∫. x 2 − 2x x3. 1. HT 12:. ∫. x + 1dx. ∫. xdx. dx. 5). 2. 1−x Tính các tích phân sau:. π. ∫ sin(2x + 6 )dx. 2. ∫0. 2). x +2 + x −2. 8. 12). ∫ 1. 1. 2. )dx. ∫(. ). x + 2 3 x − 4 4 x dx.    1   4 x − dx  3 2   3 x . π 2. 3x 3. 2. 3). 6). dx. 1+x. ∫ (x. 2. + x x + 3 x )dx. 1. 2 3. ∫ (2 sin x + 3cosx + x )dx. 4. ∫0 x. x 2 + 9dx. π 6. 3). ∫ (sin 3x + cos 2x )dx 0. π 3 π 3. 5). cos2 x. 0. ∫ 3 tan π 4 π 2. dx. ∫ 1 + sin x. 8). 0. π 4. 2. 6). x dx. ∫ (2 cot. 2. x + 5) dx. π 6 π 2. 1 − cos x. ∫ 1 + cos x dx. 9). 0. ∫ sin. 2. x .cos2 xdx. 0. Tính các tích phân sau: 1. e x − e−x. ∫ ex + e−x. 2. dx. 2). 0. 7). 9). π 2. tan x .dx. ∫. HT 14:. dx. 2. 1 2 0. π 4. 4). 2 x + 5 − 7x dx x. ∫. 2). 0. 1). 1. ∫ (x + x + x 2 + x 1. 5. π. 7). 6). Tính các tích phân sau:. HT 13:. 4). e. 1. 1. 1. 1). ) dx 2. dx. x2. 4. ∫. 11). dx. x −1. ∫ 1. (x 2 + x x + 3 x )dx. e2. 2. 4). 2. 3). 1 2. 1). x. ∫. 8). 1. 10). (. x4 + 4. ∫. 5). 2. 3 (x + + e 3x +1 )dx x 2. ln 2. ∫0 ∫0. 10). e. 5). dx ex + 1. e. sin xdx. ln x dx 1 x. ∫. ∫ x 2 + x ln x. 3). 1. x. π 2 e cos x. (x + 1).dx. 8). ∫1. 4e x. 2. ∫1. e x (1 −. e−x )dx x 9). dx. x 11). 6). 1. ∫0 xe. x2. e. ∫1. 1. dx. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 12). 1 e 2x. ∫0. −4. x. e +2. dx. 1 ex. ∫0 2x dx. 1 + ln x dx x 1. ∫ 1 + ex dx 0. Page 7.

(117) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b. Dạng 1: Giả sử ta cần tính. ∫ g(x )dx . a u (b ). b. Nếu viết được g(x) dưới dạng: g (x ) = f u(x ) .u '(x ) thì. ∫ g(x )dx = ∫. f (u )du. u (a ). a. β. Dạng 2: Giả sử ta cần tính. ∫ f (x )dx . α. Đặt x = x(t) (t ∈ 10) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(1), β = x(2) β. ∫. thì. b. f (x )dx =. ∫. b. f x (t ) x '(t )dt =. a. α. (g(t ) = f x (t ) .x '(t )). ∫ g(t )dt a. Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:. Cách đổi biến. f(x) có chứa a2 − x 2. hoặc 2. a +x. 2. hoặc. −. x = a cos t,. 0≤t ≤ π. x = a tan t,. −. x = a cot t,. HT 15:. x=. a , sin t. x=. a , cos t.  π  t ∈ 0; π  \    2 . Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1. 1). 1. ∫. 19. x (1 − x ) dx. 0. 2 3. ∫. 5. 5). ∫ 0. 8) e. ). +1. π 2. 11). 3. sin 2x. ∫. 1. x 1 − x 2 dx. ∫. x 5 + 2x 3. ∫ 1 π 2. dx 14). ∫. 1). ∫. cos x . sin x 2. 0. 1−x. ∫ 0. 3. 1 − x 2 dx. 12). ∫ 1. 15). sin 2x. ∫ 2 sin2 x + cos2 x dx 0. 2. x 2dx 4−x. ∫ 1 + ex dx. 1 + 3 ln x ln x dx x. π 6. dx. ex. 0. 3. 2) 2. 9). dx e. 2 + ln xdx 2x. 1. dx. ∫x ln 2. 1 + x2. 1 + sin x cos2 x + 4 sin2 x 0 Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):. 1 2. 6). 0. 0. HT 16:. ∫ x 2 + 1 dx 0. 0. e x dx x. ∫ 3. x x2 + 4. (e. x5. 0. dx. ln 3. 13). 3). dx. 1. 2x + 1. 0. 10). ∫ (1 + x 2 )3. xdx. ∫. 7). 2). 1. x3. 0. 1. 4). π π <t < 2 2. 0<t < π  π π t ∈ − ;  \ {0}  2 2 . x 2 − a2. hoặc. π π ≤t ≤ 2 2. x = a sin t,. 3) 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. ∫x. 2. 4 − x 2 dx. 1. Page 8.

(118) GV.Lưu Huy Thưởng 3. 4). 1. dx. ∫ x2 + 3 0 0. 7). 2. 8). 2. x + 2x + 2. −1. ∫. x2 −1 x. 1. 3. 10). ∫x 2. 0 1. 9). dx. 2 2. dx. xdx. ∫ x4 + x2 + 1. ∫ 0. 2 3. 6). 0. dx. ∫. 1. dx. ∫ (x 2 + 1)(x 2 + 2). 5). 11). 2. x −1. 1−x. 0. dx. (1 + x ). 5. 2. 2. x2. ∫. 0968.393.899. 12). dx 2. ∫x. 2x − x 2 dx. 0. VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b. ∫. b. ∫. P (x ).e x dx. a. u dv HT 17:. a. x. e dx. a. P(x). P(x). cos xdx. sin xdx. π 2. ∫. 2). x sin 2xdx. lnx P(x). π 4. ∫. x cos xdx. 5). ∫x. 2. 6). xdx. ∫ (x − 2)e. ∫ xe dx. 8). ∫ x ln xdx. 0. 9). ∫ ln(x. 1. 0. 11). ∫e. ∫. − x )dx. e. cos x. sin 2xdx. 12). ∫ ln. 0. 3. xdx. 1. e. e. x 3 ln2 xdx. 2. 2. π 2. sin 5xdx. dx. 3. e x. ∫e. 2x. 0. ln 2. 3x. cos xdx. 0. π 4. π 2. 2. 1. ∫ x tan. 0. 13). 3). π 3. ∫. 10). 2π. (x + sin2 x ) cos xdx. 0. 2. 7). ∫ P(x ).l n xdx. Tính các tích phân sau:. 0. 4). ∫. b. P (x ).sin xdx. a. P(x). π 4. 1). b. P (x ). cos xdx. 14). ∫. 1. 1 e. ln x x. 2. 0. 15). dx. ∫ x(e. 2x. + 3 x + 1)dx. −1. VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối HT 18: 1). 4). Tính các tích phân sau: 2. 2. ∫. ∫. x − 2 dx. 2). 2 2. x − x dx. 3). ∫. 0. 0. 0. 3. 5. 3. ∫. −3. 2. x − 1 dx. 5). ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx. −2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 6). ∫. x 2 + 2x − 3dx. 2x − 4 dx. 0. Page 9.

(119) GV.Lưu Huy Thưởng. 4. 7). 3. ∫. x 2 − 6x + 9dx. 8). ∫. 4 − x dx. −1 π 2. π. ∫. 1 − cos 2xdx. 2). ∫. 1 − sin 2x .dx. 3). 0. ∫. ∫. 1 − sin xdx. 5). −π. ∫. sin x dx. π 2 π. −. 2π. π. 1 + cos xdx. 6). ∫. 0. 1 + cos 2xdx. 0. π 3. 7). 9). 0. 0. 4). x 3 − 4x 2 + 4xdx. Tính các tích phân sau: 2π. 1). 1. ∫. 1. HT 19:. 0968.393.899. π 3. ∫. tan2 x + cot2 x − 2dx. 8). π 6. 2π. ∫ −. cos x cos x − cos3 xdx. ∫. 9). 1 + sin xdx. 0. π 2. VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ HT 20:. Tính các tích phân sau: 3. 1). 1. dx. ∫ x + x3. 2). 1 1. 4). (1 + 2x ). 4. 7). 2. 0. ∫. 6). (1 − x ). 9. x 2 − 3x + 2. (4x + 11)dx. 3. 11). dx. ∫. 2). ∫ 0. 1. 1. 2. 1. 1. (3x. 2. dx. 12). 8). ∫ (3x + 1)3 dx 0. ) dx. 2. 1 − x 2008. 0. x2 + 4. 1. dx. x. ∫ 1 + x 4 dx. 6). 0. 9). 1. ∫ 1+ x4. x 3 + 2x 2 + 4x + 9. 0. ∫ x(1 + x 2008 ) dx 11). ∫. 3). 3. 1 − x2. x3 + x + 1 dx x +1. x2. +2. x2 + 1. 2. dx. 3x 2 + 3x + 3. ∫. 0. ∫ x(1 + x 4 ) dx. 0 1. x3 + x +1 5) dx 2 x + 1 0. 1. ∫ 4 + x2. ∫. 9). x 3 − 3x + 2 2. 3. ∫ (x + 2)2 (x + 3)2 dx. 10). 1. ∫ x 2 + 5x + 6. 0. 1. dx. ∫ x 2 (1 + x ). 0. ∫ x 2 − 2x + 2. 2. ∫ x 2 + 2x + 1. 1. 1. dx. 2. 7). x 2dx. 8). x 3dx. 0. 4. Tính các tích phân sau: 2. 4). ∫ 2. 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9. −1. HT 21: 1). 5). dx. dx x (x − 1). ∫. 10). 3 3. 0. ∫ x 2 − 5x + 6. 3). 0. x. ∫. 3. dx. x4. ∫ (x 2 − 1)2 dx 2. 1. 12). dx. 1. 2 −x4. ∫ 1 + x 2 dx 0. VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ HT 22:. Tính các tích phân sau: 2 2. 1). ∫ 0. 1 2. x x + 1dx. 2). ∫ x+ 0. x3. 1. dx. x2 + 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 3). ∫ 0. dx x +1 + x. Page 10.

(120) GV.Lưu Huy Thưởng 2. 4). ∫ 1+. x −1. 1. 10. 7). 5). dx. 5. 7 3. ∫ 2x + 1 +. 8). x −1. ∫ 3 3x + 1 ∫ 0. HT 23:. ∫x. 12). ∫. x5 + x3. dx. dx. 1 + x2. 0. 3. ∫x. 14). ∫. 3. x 2 1 + x 2 dx. 2). 2. dx. dx. ∫x. 15). x2 − 1. x3 +1. 1. ∫ x2. 3). dx. 2. x +1. 2. x + 2008dx. 5). ∫x. 2. 10 − x dx. 6). + x2 + 1 2 2. 2 3. (1 − x ). 1 + x 2 dx. ∫ 0. 1. 9). x 2 + 2008. 1. 11). ∫. dx. ∫. 8). dx. (1 + x 2 )3. 0 2. dx. ∫. dx. 1 3. 0. ∫. ∫ 0. 3. ∫. HT 24:. 1. x2 + 1. 1. 0. 0. x2 + 1. 5 4. 2. x dx 1−x. ∫ x+. x 3dx. 12) 2. ∫. 12x − 4x 2 − 8dx. 1. Tính các tích phân sau: π 2. π 2. ∫. π 2. cos xdx. ∫. 2). 7 + cos 2x. 0. 6. ∫ sin x. π 2. cos x − cos2 xdx π 2. 1 − cos3 x sin x cos5 xdx. 5). π 3. HT 25:. 8). 2. 1 + cos x. sin 2x + sin x. ∫. π 2. cos xdx. ∫ 0. 0. ∫. 3). 0. 0. 0. 1 + 3 cos x. ∫ cos x π 4. π 3. 6). dx. ∫ 0. cos xdx 2 + cos2 x cos xdx 2 + cos 2x π 2. tan x. 9). dx 2. 1 + cos x. ∫. sin 2x + sin x. 0. 1 + 3 cos x. dx. Tính các tích phân sau: ln 3. ∫ 0 ln 3. ∫ ln 2 ln 3. 7). 3x + 1. Tính các tích phân sau:. 10). 4). 4x − 3. ∫ 2+ 3. dx. 2. 2 2. 1). 9). 0. 1+x dx 1−x. −1 1 + x. 7). x + 1dx. 2. 1. 4). 0. x x2 + 4 5. 1. 1). dx. x5 + 1. 2. ∫. 11). dx. 2. 7). 3. 2 3. 0. 4). ∫. 0. 1. 1). x4. 1. 0. 13). 4x + 1. 6). 1. x +1. 2 2. 2. dx. 2. dx. ∫ x −2. 10). 6. x. 0968.393.899. ln 2. dx. 2). ex + 1. x ln x + 1. dx. 5). ∫. ln 2. x (e 2x + 3 x + 1)dx. 6). −1. ∫ 0. 1. 8). ∫ 0. e +e. 1 + 3 ln x ln x dx x. e x dx (e x + 1)3 ln 2. ex x. ∫ 1. 0. ∫ (ex + 1) ex − 1 dx 0. 3). ex + 1. 0. ln2 x. ex. ∫. e. e 2x dx. −x. dx. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 9). ∫. e x − 1dx. 0. Page 11.

(121) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác HT 26:. Tính các tích phân sau: π 4. 1). ∫ sin 2x.cos xdx. π 4. 2). ∫ tan xdx. 0. 7). 0. 3. 5). xdx. ∫ sin. π 2. π 2. π 2. 2. x cos4 xdx. 8). ∫ sin. ∫. (sin 3 x + cos3 x )dx. 11). ∫. 0. 0. ∫ tan. 3. ∫ tan. 14). xdx. sin 3 x. ∫ 1 + cos2 x dx. π 2. 17). ∫ 0. ∫. π 2. 1 − cos3 x sin x cos5 xdx. 2). 0. ∫. cos 2x (sin 4 x + cos4 x )dx. 5). 0 π 3. ∫. 4. x cos5 xdx. sin 2x cos x dx 1 + cos x. ∫. 12). 0 π 3. 4. dx. ∫ sin x. cos3 x. 15). xdx. π 4. π /3. cos3 x dx 1 + cos x. ∫. 18). π /6. dx 4. sin x . cos x. ∫0. sin x .ln(cos x )dx. 8). π 3. 1 + sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x. π 4 (tan x. 3). ∫ cos x π 4 π 2. + e sin x cos x )dx. 6). tan x. dx. 1 + cos2 x. ∫ (1 + sin x ). 3. 2. sin 2xdx. 0. π 4. 0. HT 28:. ∫ π 6. π 2. π 3. sin3 x. ∫ (tan2 x + 1)2 . cos5 x dx. 9). 0. ∫ −. π 3. 1 2. sin x + 9 cos2 x. dx. Tính các tích phân sau: π 2. π 2. 1. ∫ sin x dx π 3 π 2. 2). cos x. ∫ 1 + cos x dx. HT 29:. π 2. dx. ∫ (1 + cos x )4. 3). 0. π 4. 5). ∫ 0. 0. dx π cos x cos(x + ) 4. ∫ 0. π 2. 6). 1. (1 + sin x ). 4. dx. (1 − sin x ) cos x. ∫ (1 + sin x )(2 − cos2 x ) dx 0. Tính các tích phân sau: π 2. 1). 3x. Tính các tích phân sau: π 2. 4). ∫ sin. 2. 0 π 2. π 3. 0. 1). 9). π 4. π 2. 7). x cos3 xdx. cos3 x dx cos x + 1. 0. HT 27:. 2. 0 π 2. π 4. 4). ∫ cos 0. π 2. 1). 6). xdx. 0. 0. 16). π 2. 0. ∫ sin. 13). sin x. ∫ 1 + 3 cos x dx. π. ∫ sin. 10). 3). 0. π 2. 4). π 2. ∫ (2x − 1)cos xdx 0. π 4. 2). xdx. ∫ 1 + cos 2x 0. π 3. 3). x. ∫ cos2 x dx 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 12.

(122) GV.Lưu Huy Thưởng π 2. 4). ∫ sin. π 2. 3. 5). xdx. ∫x. 0. π. ∫ cos(ln x )dx. 8). 1. 6). ∫ sin 2x.e. ∫ ∫. 3. e 2x sin2 xdx. e sin. 11). ∫. ln(sin x ) cos2 x. 9). dx. x. sin x cos3 xdx. 0. 14). dx. ∫ (2x − 1) cos. 2. xdx. 0. 6 π. x tan2 xdx. 12). 0 π 4. 2. 2x +1. π 2. π 4. 0 π 2. 13). cos xdx. 0. ∫ π. π. 10). 2. 0. 2. 7). π 2. 0968.393.899. ∫ x sin x cos. 2. 0 π 4. ∫ ln(1 + tan x )dx. 15). 0. xdx. dx. ∫ cos4 x 0. VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit HT 30:. Tính các tích phân sau: 1. 1). ∫ 1 + ex. 0 ln 8. 4). 2). dx. 5). ex + 1 1. dx. 8). 1. e. 10). ln(sin x ) dx 2 cos x π. ∫. 7). ∫. e x + 1.e 2x dx. 6). 0 1. 9). dx. ∫ e−x + 1 1. 2). ∫ 0. 1 x. (e + cos x ) cos xdx. e −2x. 1 − ex. ∫ 1 + ex dx e −x. ∫ e−x + 1 dx 0. ln 3. dx. 5). ∫. ln(x + 1) dx x +1. x ln (1 + x ) dx. ∫ xe e. 6). ∫ 1. e. e3. ∫ e. ∫ 1. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. −x. dx. 0. e2.   ln x  2  + ln x  dx   x ln x + 1 . e +1. 1. 3). 0. 8). dx. x. 0. 0. ln x + ln(ln x ) dx x. 1. ∫. 12). 0. 6 π 2. 4). e 2x. 1. ∫ ex + 4 dx 0. ln 2. ∫ ex + 1. 11). π 3. 1). ln 8. ∫ln 3. 1. dx 2 x (ln x + 1) 1 Tính các tích phân sau:. HT 31:. 3). 0. ln x. ∫. ∫ ex + 5. 2. ∫ 1 − e−x. 1. dx. 0. ex. ∫ ln 3 2. 7). ln 2. e x dx. 9). ∫ e2. 1 + ln2 x dx x ln(ln x ) dx x. Page 13.

(123) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 9: (ĐỌC THÊM) Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ a. • Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì. ∫ f (x )dx = 0. −a. a. a. ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx. • Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì. −a. 0. Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:   a 0 a 0 a    Bước 1: Phân tích I = f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx f (x )dx ; K = f (x )dx  J =   . ∫. ∫. −a. ∫. ∫. −a. ∫. −a. 0. 0. 0. Bước 2: Tính tích phân J =. ∫ f (x )dx. bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.. −a. – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: α. α. f (x ). ∫ a x + 1dx = ∫ f (x )dx. −α. (với α ∈ R+ và a > 0). 0. Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.   α 0 α 0 α  f (x ) f (x )  f (x ) f (x ) f (x )  I = dx = dx + dx dx ; K = dx  J = ax + 1 ax + 1 ax + 1 ax + 1 a x + 1   −α −α 0 −α 0 Để tính J ta cũng đặt: t = –x.. ∫. ∫. ∫. ∫.  π Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;  thì  2 . π 2. π 2. 0. 0. ∫. ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx. π Để chứng minh tính chất này ta đặt: t = − x 2 Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b − x ) = f (x ) hoặc f (a + b − x ) = −f (x ) thì đặt: t = a + b – x Đặc biệt, nếu a + b = π thì đặt t=π–x nếu a + b = 2π thì đặt t = 2π – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: F (x ) + G (x ) = A(x ) + C  1 (*)  F (x ) − G (x ) = B(x ) + C 2  1 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F (x ) = A(x ) + B(x ) + C là nguyên hàm của f(x). 2 HT 32:. Tính các tích phân sau (dạng 1): π 4. 1). ∫ −. π 4. 7. 5. x −x +x −x +1 4. cos x. 1 2. π 2. 3. dx. 2). ∫ cos x ln(x + −. 1 + x 2 )dx. π 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. 3).  1 − x . ∫ cos x. ln 1 + x dx −. 1 2. Page 14.

(124) GV.Lưu Huy Thưởng 1. 4). ∫ (. −1 π 2. 7). 1 + cos x. π 2. HT 33:. ∫. 2). dx x 2 + 1 −1 sin2 x. 5). sin x sin 3x cos 5x. ∫. 1 + ex. π 2. HT 34:. cosn x. ∫ cosn x + sinn x 0 π 2. 8). dx. dx (n ∈ N*). 2). dx. 5). 4 − sin2 x π −. dx. 1. 3). dx. −1. 1. ∫ 1 + 2x dx. 6). sin6 x + cos6 x. ∫. 6x + 1. π 4. dx. ∫ (ex + 1)(x 2 + 1) −1 π 2. dx. 9). dx. ∫ (4x + 1)(x 2 + 1) ∫. x 2 sin2 x. 1 + 2x π −. dx. 2. sin7 x. ∫ sin7 x + cos7 xdx cos4 x. ∫ cos4 x + sin4 x. dx. 0. π 2. 3). ∫ 0 π 2. 6). sin x sin x + cos x. dx. sin4 x. ∫ cos4 x + sin4 xdx 0. Tính các tích phân sau (dạng 4):. x . sin x. ∫ 4 − cos2 x. π. 2). dx. ∫. ∫ 4 − sin2 x. 5). ∫ 0. ∫. x. 8). 0. 6). x sin x. 9). 0. π. ∫ sin 4x ln(1 + tan x )dx. 11). 0. ∫ x. sin 0 π. ∫ 2 + cos x dx. π 4.  1 + sin x  dx ln  1 + cos x . π. x . cos3 xdx. 0 π. ∫ 1 + sin x dx. HT 36:. 3). dx. 2π. ln(1 + tan x )dx. 0 π. 10). x + cos x. π 2. 0. π 4. 3. xdx. x sin x. ∫ 1 + cos2 x dx 0. π. x sin x. ∫ 9 + 4 cos2 x dx. 12). ∫ x sin x cos. 0. 4. xdx. 0. Tính các tích phân sau (dạng 5): π 2. π 2. sin x. ∫ sin x − cos xdx. 2). cos x dx sin x + cos x. 5). 0 π 2. ∫ 0. π 2. 7). x + cos x. dx. 2. x +1. 0 π 2. 0. 4). x. 1+2. π 2. sin2009 x. π. 1). 1− x2. ∫. −. 0. 7). 4 − sin x π −. −3 π 4. ∫ sin2009 x + cos2009 x. HT 35:. 4). ∫. x2 + 1. Tính các tích phân sau (dạng 3): π 2. 1). 9). 2. −1 3 2. ∫ 3x + 1dx. −. 4). ∫. x 4 + sin x. −1 π 2. xdx. ∫ 1. x4. −π π 2. 1). ∫ x4 − x2 + 1. 6). 2. π. 7). 8). dx. 1. x dx. Tính các tích phân sau (dạng 2): 1. 4). 5). −1 π 2. sin5 x. ∫. −. 1). 1. ). ln x + 1 + x 2 dx. 0968.393.899. sin6 x. ∫ sin6 x + cos6 x 0. π 2. cos x. ∫ sin x − cos xdx 0 π 2. sin4 x. ∫ sin4 x + cos4 x. 3). 0 π 2. dx. 6). 0. π 2. dx. 8). sin x. ∫ sin x + cos xdx. cos6 x. ∫ sin6 x + cos6 xdx 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. cos4 x. ∫ sin4 x + cos4 xdx 0. π 2. 9). ∫ 2 sin. 2. x . sin 2xdx. 0. Page 15.

(125) GV.Lưu Huy Thưởng π 2. 10). ∫ 0 1. 13). 1 2. 1. ex. ∫ ex − e−x. 11). 2 cos x .sin 2xdx. 12). dx. −1. e. 1. x. ∫ ex + e−x dx. 14). −1. e. 0968.393.899 e−x. ∫ ex − e−x dx. −1. −x. ∫ ex + e−x dx. −1. BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. b. S=. – Hai đường thẳng x = a, x = b. là:. ∫. (1). f (x )dx. a. • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b. S=. – Hai đường thẳng x = a, x = b .là:. ∫. f (x ) − g (x )dx. (2). a. Chú ý: b. ∫. • Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:. b. f (x )dx =. a. ∫ f (x )dx a. • Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm d (c < 4). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b. ∫. c. f (x )dx =. a. ∫. d. f (x )dx +. a. b. f (x )dx +. c. c. =. ∫. được 2 nghiệm c,. d. ∫. f (x )dx. d b. ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a. c. d. (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu). • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) – Hai đường thẳng x = c, x = d.. (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]). d. S=. ∫. g(y ) − h(y )dy. c. 2. Thể tích vật thể • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ 2). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b. Thể tích của B là:. V =. ∫ S (x )dx a. • Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < 2) sinh ra khi quay quanh trục Ox:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 16.

(126) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b. V =π. ∫f. 2. (x )dx. a. Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d. V =π. là:. ∫ g (y )dy 2. c. VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng HT 37:. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ln x 1 1) y = x 2 − 4x − 6, y = 0, x = −2, x = 4 2) y = , y = 0, x = , x = e x e. 3) y =. 1 + ln x x. , y = 0, x = 1, x = e. 4) y =. ln x. , y = 0, x = e, x = 1. 2 x. 1 5) y = ln x , y = 0, x = , x = e 6) y = x 3 , y = 0, x = −2, x = 1 e x 1 1 7) y = , y = 0, x = 0, x = 8) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 4 2 1−x HT 38: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: −3x − 1 1) y = , y = 0, x = 0 2) y = x , y = 2 − x, y = 0 x −1 3) y = e x , y = 2, x = 1 5) y = 2x 2 , y = x 2 − 2x − 1, y = 2. 4) y = x , x + y − 2 = 0, y = 0 6) y = x 2 − 4x + 5, y = −2x + 4, y = 4x − 11. x2 27 8) y = 2x 2 , y = x 2 − 4x − 4, y = 8 ,y= 27 x Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. 7) y = x 2 , y = HT 39:. 1) y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2x 3) y =. 1 2 1 x ,y = − x2 + 3 4 2. 5) y = x , y = 2 − x 2 7) y =. x2 1 ,y= 2 1 + x2. 9) y = x 2 + 2x , y = x + 2 HT 40:. 2) y = x 2 − 4x + 3 , y = x + 3 4) y =. 1 1 + x2. ,y =. x2 2. 6) y = x 2 − 2x, y = −x 2 + 4x. 2 8) y = x + 3 + , y = 0 x 10) y = x 2 + 2, y = 4 − x. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. 1) y = x 2 , x = −y 2. 2) y 2 + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0. 3) y 2 − 2y + x = 0, x + y = 0. 4) y 2 = 2x + 1, y = x − 1. 5) y 2 = 2x , y = x , y = 0, y = 3. 6) y = (x + 1)2 , x = sin πy. HT 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = x .e x ; y = 0; x = −1; x = 2.. 2) y = x . ln2 x ; y = 0; x = 1; x = e.. 3) y = e x ; y = e −x ; x = 1.. 4) y = 5x −2 ; y = 0; x = 0; y = 3 − x .. 5) y = (x + 1)5 ; y = e x ; x = 1. 7) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = π. 1 6) y = ln x , y = 0, x = , x = e e 8) y = x + sin x ; y = x ; x = 0; x = 2π.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 17.

(127) GV.Lưu Huy Thưởng. 9) y = x + sin2 x ; y = π; x = 0; x = π. HT 42:. 0968.393.899. 10) y = sin2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x =. π 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. 1) (C ) : y = x 3 − 2x 2 + 4x − 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. 2) (C ) : y = x 3 − 3x + 2, x = −1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2. 3) (C ) : y = x 2 − 2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).. VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể HT 43:. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành (Ox) π 1 2) y = x 3 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 3 1) y = sin x, y = 0, x = 0, x = 4 3 π 3) y = sin6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x = 4) y = x , x = 4 2 5) y = x 3 − 1, y = 0, x = −1, x = 1 7) y =. x2 x3 ,y= 4 8. 0) y = sin x , y = cos x , x =. 6) y = x 2 , y = x 8) y = −x 2 + 4x , y = x + 2. π π ,x= 4 2. 11) y = x 2 − 4x + 6, y = −x 2 − 2x + 6. 10) (x − 2)2 + y 2 = 9, y = 0 12) y = ln x , y = 0, x = 2. HT 44:. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục tung (Oy): 2 1) x = , y = 1, y = 4 2) y = x 2 , y = 4 y. 3) y = e x , x = 0, y = e. 4) y = x 2 , y = 1, y = 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 18.

(128) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI 4: ÔN TẬP HT 45:. Tính các tích phân sau: 2. 1). 3. ∫. 2. x − x dx. 0 2. 4). 2). −1.  x − 1    dx  x + 2 . 1. 5). 10). 8). ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx. ∫ 1+ 1. 3. 4). ∫. x2 + 4 1. xdx. ∫ 1 + x2. 11). x 3 + 2x 2 + 4x + 9. 0. 12). 0. dx. xdx. ∫ (x + 1)3 0. ∫. 3. x x −1. 2). dx. 9. ∫x. 3. 2. 1 + x dx. 5). dx. 2. 4 − x dx. 8). ∫. 1. ∫. 3. 1 + x .x dx. 0. ∫x. 5. 1 − x 2 dx. 14). −1. 3. 2. x + 3 dx. 12). ∫. x2 + x. 17). x 3 + 1x 3 .dx. 0. 15). 18). x −1. 5. ∫. x +1 3. 0 1. dx. ∫ x −2. ∫3. −1. 7/3. 0 10. ∫ 3 (x + 1)2 dx. HT 47:. 1 + x dx. 3. 0 1. 16). ∫x. 0. 1. 13). 9). 3. ∫x. 11). dx. x5 + 1. 0. 1 2. x4. ∫. 6) 0. 2 +x + 2−x. 3. 10). 1 − x dx 2. x +5 +4. xdx. ∫. 0. 3. 2dx. −1. 2. ∫x. ∫x 1. x2 + 1 2. 3). 0 4. x 5 + 2x 3. 0 2. 7). 9). Tính các tích phân sau: 2. 1). 2. dx. ∫ x 2 + 2x + 4. 0. HT 46:. dx. 0. 1. ∫ x 2 + 1 dx. x 2 − 2x + 1 dx. ∫ 2x 2 + 5x + 2. 6). −1. x3. ∫ 1. 1. 0. xdx. 0 1. 3). −3. ∫ (x + 1)2. 7). ∫ 1 + x 8 − 2x 4 dx 2 5. 2. ∫. 3. x7. ∫x. 3x + 1. 3. x −3 x +1 +x + 3. dx. dx. 1 − x 2 dx. 0. Tính các tích phân sau: π /4. 0 π /2. 2. ∫. dx 5) 2. ∫. 4. ∫. 8). π /4 π /2. x tan2 x dx. 11). 0. ∫ 0. ∫ 0. sin2012 x sin2012 x + cos2012 x. tan x. ∫. dx. cos5 xdx π. sin 2x dx cos x + 1 14). ∫ 0. 9). dx. cos x 1 + cos2 x. π /2. dx. 1 + cos x. 0. 4. π /4. 13). 6). 0. cos 2x (sin x + cos x )dx. π /2. ∫. sin 2x cos x. 0. sin x sin 2x sin 3x dx π /3. ∫. π /2. 3). dx. π /2. 0. 10). 1 + 3 cos x. 0. π /2. 7). sin 2x + sin x. π /2. cos x + 4 sin x. 0. ∫. 2). sin 2x. ∫. 4). π /2. 1 − 2 sin2 x dx 1 + sin 2x. ∫. 1). 4 sin3 x dx 1 + cos x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. x sin x. ∫ 1 + cos2 x dx 0. π /2. 12). ∫ 0. sin x dx 1 + 3 cos x π /4. 15). ∫ 0. 1 − 2 sin2 x dx 1 + sin 2x. Page 19.

(129) GV.Lưu Huy Thưởng π /2. ∫. 16). 0. HT 48:. π /2. cos 3x dx sin x + 1. 17). ∫ 0. sin2 x + 2 cos x cos2. ∫ x ln(x. + 5)dx. 2). ∫ 0. sin 2x cos2 x. ∫ ln(x. (e sin x + cos x ) cos x dx. 5). 0 e. 1. 2. x 2e x. 8). ∫ (x. 9). 11). 14). 0. ∫x 1. HT 49:. ∫ ∫ 1. e. + 1)e x dx. 3 − 2 ln x 1 + 2 ln x. 2. ln2 x dx. dx. ∫ 1 + ex 2. (4x 2 − 2x − 1)e 2x dx. 12). 0. sin 5x dx. dx. 0. e. ∫e. 2. 1. ∫ (x + 2)2 3x. ∫x 1 1. 0. dx. 2x. e. dx. ∫ ex + 2e−x − 3. 0. 16). ∫ (x − 2)e 0. 6). π /2. 13). 3). ln 3 1. x3 +1 ln xdx x. ∫. 10). − x )dx. ln 5. ∫. 4). 1 2. 2. π /2. ln(1 + x ) x2. 1. ln x x. 2. dx. 1. 15). dx. 17). ∫ x ln(1 + x. 2. )dx. 0 e. dx. ∫. e3. 1 + 3 ln x .ln x dx x. ∫ 1. ln2 x. ∫x. 18). ln x + 1. 1. dx. Tính các tích phân sau: π 2. 1) I =. ∫ 0 π 2. 4) I =. ∫ e. 7) I =. ∫ 1. 2x + cos x dx 2) 1 + sin 2x. 2) I =. ∫ 0. 3x x cos − 3 2 2 dx 2 1 + sin x. 2 cos. (x + 1) ln x + x 2 ln2 x + 1 dx 1 + x ln x. 1. ∫. π 2. 2. 0. 10). x 2. x sin2 xdx. 3 2. 0. 7). 18). Tính các tích phân sau: 3. 1). π /3. sin xdx. 0968.393.899. 2. 5) I =. ∫ 1. (x + 2)(1 + 2xe x ) + 1 x (1 + xe x ). 1. 8) I =. ∫. x +e. 0. 2. +x +1. dx. 11) I =. 0. 1 π 4. 13) I =. π 2. 1 + sin 2x. x (1 + cos x ). ∫ (x + sin x )sin x dx π 3 π 2. 19) I =. (2 cos 2x + 1)dx. ∫ cos x 0. 16) I =. ∫. ∫ 0.  1 + sin x  x e dx   1 + cos x . π 2. 14) I =. ∫ π 4 π 3. 17) I =. ∫ π 6. e3. 20) I =. ∫ e2. 3) I =. 6) I =. x. dx. 9) I =. 2 + sin x. ∫ (1 + cos x )4 dx π 3. 2π 3. 12) I =. ∫ π 2.  π sin x +   4  dx 2 sin x . cos x − 3. cos2 x. 2 + sin x. ∫ 1 + cos x dx π 3 π 2. ln(1 + ln2 x ) dx x. ln(sin x ) + cos 2x. cos 2x. ∫ 2 cos x + 3 dx 0 π 2. dx. (x 2 + 1)e x + xe 2x + 1. e. (2x 2 + x + 1)e x. π. (x 2 sin x + x + 1) + x cos x dx 1 + x sin x. 1. 15) I =. sin2 x. dx. x 2 − e 2x. ∫ xex + e2x dx 0. π 2. dx. ln(sin x ). 18) I =. ∫ −. π 2. sin x + cos x 3 cos2 x + 4 sin2 x. dx. 2x ln2 x − x ln x 2 + 3 dx x (1 − ln x ). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 20.

(130) GV.Lưu Huy Thưởng π 4. 21) I =. x (x sin x + x ) − sin x dx x −1. ∫ 0 3π 4. 22) I =. cot x + cot x. ∫. ex. 1. ∫ 0. π 2. 2. π 2. 24) I =. 0968.393.899. (x 2 + x )e x x +e. −x. dx. 23) I =. ∫ π 6 π 6. dx. 25) I =. ∫ 0. sin x (x + 1) cos2 x + sin 2x dx + x +1 sin x. tan x + x tan 2x cos2 2x. dx. HT 50:. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 4 1) y = x 3 − 3x + 1, y = 0, x = 0, x = −1 2) y = , y = 0, x = −2, x = 1 2−x 1 9 3) y = − x 4 + 2x 2 + , y = 0 4) y = e x , y = 2, x = 1 4 4 1 1 , y = 0, x = 2, x = 4 6) y = x 2 − 2x, y = −x 2 + 4x 5) y = x − 1 + 2 x −1 7) y =. HT 51:. 2x + 1 , y = 0, x = 0 x +1. 8) y =. −x 2 + x ,y=0 x +1. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:. 1) y = x , y = 0, x = 3; Ox. 2) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e; Ox. 3) y = xe x , y = 0, x = 1; Ox. 4) y = 4 − x 2 , y = x 2 + 2; Ox. 5) y 2 = 4 − x , x = 0; Oy. 6) x = yey , x = 0, y = 1; Oy. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 21.

(131) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 – 2011 3. HT 52:. (A,A1 – 2012) I =. ∫. 1 + ln(x + 1) x. 1 1. HT 53:. (B – 2012) I =. 2. x3. ∫ x 4 + 3x 2 + 2 dx 0. dx Đ/s: I =. 3 Đ/s: I = ln 3 − ln 2 2. π 4. HT 54:. (D – 2012) I =. ∫. x (1 + sin 2x )dx Đ/s: I =. 0 π 4. HT 55:. (A – 2011) I =. ∫ 0 π 3. HT 56:. (B – 2011) I =. ∫. c os x 2. 0 4. HT 57:. (D – 2011) I =. 2x + 1 + 2. 1. (A – 2010) I =. ∫. 1 + 2e x. 0 e. HT 59:. (B – 2010) I =. KQ : I =. dx. x 2 + e x + 2x 2e x. KQ : I =. dx. ln x. ∫ x(2 + ln x )2 dx e. (D – 2010) I =. . 3 . ∫ 2x − x  ln x.dx. KQ : I =. ∫ (cos. 3. x − 1) cos2 x .dx. e2 − 2 2. KQ : I =. 8 π − 15 4. KQ : I =. 1  27  3 + ln  4  16 . 0 3. HT 62:. (B – 2009) I =. 3 + ln x. ∫ (x + 1)2. dx. 1. 3. HT 63:. (D – 2009) I =. dx. ∫ ex + 1. 3 1 − 2 3. KQ : I =. π 2. (A – 2009) I =. 1 1 1 + 2e   + ln  3 2  3 . KQ : I = ln. 1. HT 61:. 2π + ln(2 − 3) 3. 34 3 + 10 ln 3 5. 1. HT 60:.   π  2 π + ln   + 1  4  2  4. KQ : I = 3 +. dx. 4x − 1. ∫ 0. HT 58:. π2 1 + 32 4. x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x. 1 + x sin x. 2 2 + ln 3 − ln 2 3 3. KQ : ln(e 2 + e + 1) − 2. 1. π 6. HT 64:. (A – 2008) I =. ∫ 0 π 4. HT 65:. (B – 2008) I =. ∫ 0 2. HT 66:. (D – 2008) I =. ∫ 1. tan4 x dx cos 2x  π sin x −  dx  4  sin 2x + 2(1 + sin x + cos x ) ln x x. 3. dx. KQ :. 1 10 ln(2 + 3) − 2 9 3. KQ :. 4−3 2 4. KQ :. 3 − 2 ln 2 16. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 22.

(132) GV.Lưu Huy Thưởng HT 67:. (A – 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường. e − 1 (dvdt ) 2 (B – 2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x .y = 0, x = e . Tính thể tích khối tròn xoay tạo. y = (e + 1)x , y = (1 + e x )x HT 68:. KQ : S =. π(5e 3 − 2) (dvtt ) 27. thành khi H quay quanh Ox KQ : V = e. HT 69:. (D – 2007) I =. ∫. x 3 ln2 xdx. KQ :. 1 π 2. HT 70:. (A – 2006) I =. sin 2x. ∫ ln 5. (B – 2006) I =. dx. c os2x + 4 sin2 x. 0. HT 71:. 0968.393.899. dx. ∫ ex + 2e−x − 3. 5e 4 − 1 32. KQ : I =. 2 3. KQ : I = ln. ln 3 1. HT 72:. (D – 2006) I =. ∫. (x − 2)e 2x dx. KQ :. 0 π 2. HT 73:. (A – 2005) I =. ∫. sin 2x + sin x 1 + 3 cos x. 0 π 2. HT 74:. (B – 2005) I =. ∫ 0. dx. sin 2x cos x dx 1 + cos x. 3 2. 5 − 3e 2 4. KQ : I =. 34 27. KQ : I = 2 ln 2 − 1. π 2. HT 75:. (D – 2005) I =. ∫ (e. sin x. + cos x ) cos xdx. KQ : I = e +. 0 2. HT 76:. (A – 2004) I =. ∫ 1+. x x − 1). 1. e. HT 77:. (B – 2004) I =. dx. 1 + 3 ln x ln x dx x. ∫ 1. π −1 4. KQ : I =. 11 − 4 ln 2 3. KQ : I =. 116 135. 3. HT 78:. (D – 2004) I =. ∫ ln(x. 2. − x )dx. KQ : I = 3 ln 3 − 2. 2 2 3. HT 79:. (A – 2003) I =. ∫. 5 π 4. HT 80:. (B – 2003) I =. ∫ 0. dx 2. KQ :. x x +4. 1 5 ln 4 3. 1 − 2 sin2 x dx 1 + sin 2x. KQ : I =. x 2 − x dx. KQ : I = 1. 1 ln 2 2. 2. HT 81:. (D – 2003) I =. ∫ 0. HT 82:. (A – 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 23.

(133) GV.Lưu Huy Thưởng. y = x 2 − 4x + 3 , y = x + 3 HT 83:. 109 (dvdt ) 6. (B – 2002) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường. y = 4−. HT 84:. KQ : S =. 0968.393.899. x2 x2 ,y = 4 4 2. 4 KQ : S = 2π + (dvdt ) 3. (D – 2002) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường y =. −3x − 1 x −1. với các trục tọa độ.. 4 KQ : S = −1 + 4 ln (dvdt ) 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 24.

(134) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(135) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Xác định một mặt phẳng • Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC)) • Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d)) • Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b)) 2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian • Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. • Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. • Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. • Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.. II/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 1. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD). b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC). HT 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD). HT 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD) và (ABD). HT 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD). b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN). HT 5. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ∆ABD, N là một điểm bên trong ∆ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 1.

(136) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. DẠNG TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 6. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN). HT 7. Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN). HT 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). HT 9. Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong ∆BCD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABO). b) AO và (BMN). HT 10. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC. a) Tìm giao điểm của IK với (SBD). b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.. DẠNG TOÁN 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui Phương pháp:. • Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. • Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 11. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =AC∩BD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. HT 12. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng. HT 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui. HT 14. Cho hai điểm cố định A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A′, B′. Chứng minh A′B′ luôn đi qua một điểm cố định. HT 15. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B1, B′. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C1, C′. BB′, CC′ cắt nhau tại O′; BB1, CC1 cắt nhau tại O1. Giả sử O′O1 kéo dài cắt SA tại I. HT 16. a) Chứng minh: AO1, SO′, BC đồng qui.. b) Chứng minh: I, B1, B′ và I, C1, C′ thẳng hàng.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 2.

(137) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. DẠNG TOÁN 4: Xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng (đi qua 3 điểm) Phương pháp: Dạng 1: Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp : - Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trước. - Xác định giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó với giai tuyến của mặt phẳng chứa nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại - Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trước để xác định mặt phẳng cắt các cạnh của hình chóp * Chú ý trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào của hình chóp để dễ xác định Dạng 2: Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp - Xác định giao tuyến của các mặt. - Xác định giao điểm của đường nối hai điểm trên 2 cạnh đã cho với giao tuyến. - Xác định giao điểm của đường nối điểm đó với điểm thứ ba trên mặt đã cho với các cạnh của hình chóp. Chú ý: Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng thuộc một mặt bên thì tìm giao với các cạnh kéo dài và xác định các giao điểm thuộc mặt phẳng cắt. Đặc biệt hai điểm nằm trên hai đường chéo nhau cần xác định một mặt phẳng chứa một điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho. Dạng 3: Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác - Tìm mặt phẳng chứa hai trong ba điểm đã cho sau đó tìm giao điểm của đường thẳng nối hai điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp. - Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI). HT 18. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF). b) Tính diện tích của thiết diện.. HD:. b). a2 6. HT 19. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). HD: Thiết diện là 1 ngũ giác. HT 20. Cho hình chóp S.ABCD. Trong ∆SBC, lấy một điểm M. Trong ∆SCD, lấy một điểm N. a) Tìm giao điểm của MN và (SAC). b) Tìm giao điểm của SC với (AMN). c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN). HD:. a) Tìm (SMN)∩(SAC). b) Thiết diện là tứ giác.. HT 21. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC. a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA. b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD. HD:. b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 3.

(138) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 22. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm ∆SAD. a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD. b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với. (CGM).. c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM). HD:. b) Thiết diện là tứ giác. c) Tìm (AGM)∩(SAC). Thiết diện là tứ giác.. HT 23. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD. a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC). b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng. c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN). HD:. a) Gọi O=AC∩BD thì I=SO∩BN, J=AI∩MN b) J là điểm chung của (SAC) và (SDM) c) Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP.. HT 24. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD. Gọi I là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua 1 điểm cố định. c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN. HD:. a) Qua giao điểm của AI và SO=(SAC)∩(SBD).. b) Điểm A. c) Một đoạn thẳng.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 4.

(139) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. § 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa. a b P. 2. Tính chất • Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.. • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.. • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.. II.. CÁC DẠNG TOÁN. DẠNG TOÁN 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: 1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) 2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. 3. Áp dụng định lí về giao tuyến song song. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 25. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ//CD. HT 26. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh: MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì? HT 27. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. HT 28. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM. a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di động. 1 EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và 3 (QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.. b) E thuộc đoạn AM và EM =. HT 29. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. a) Chứng minh: PQ // SA. b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC. c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. và của Qy với (SCD).. Page 5.

(140) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp:. • Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. • Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến. Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 30. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của ∆SAB. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. HT 31. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM). HT 32. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). HD:. b). 2 (a+b). 5. HT 33. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện đó.. HD:. b). 5a 2 51 288. HT 34. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều. Ngoài ra SAD = 900. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC. a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB. b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện. HD:. b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích. a 2 14 8. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 6.

(141) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. § 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ 2. Tính chất. • Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d′ nằm trong (P) thì d song song với (P).. • Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.. • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.. • Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.. II.. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN. DẠNG TOÁN 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P). BÀI TẬP CƠ BẢN HT 35. Cho hai hình bình hành ABCD va ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM =. 1 1 AE, BN = BD. Chứng minh MN // (CDFE). 3 3. HT 36. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP). c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G1G2 // (SBC). HT 37. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD). HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD). HT 38. Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O′ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: BC AB + AC a) Điều kiện cần và đủ để OO′ // (BCD) là = BD AB + AD b) Điều kiện cần và đủ để OO′ song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD) là BC = BD và AC = AD. HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 7.

(142) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 39. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh B, M′, A′ thẳng hàng và BM′ = M′A′ = A′N. c) Chứng minh GA = 3GA′.. DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 40. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA. a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. HD:. c) MN // BC. HT 41. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. HD:. b) SMNPQ =. x (4a − 3x ) 2a . SMNPQ đạt lớn nhất khi x = 4 3. HT 42. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC. a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). HT 43. Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD. a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD). b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P). HT 44. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C′ là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C′M và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. HD:. a) Đường thẳng qua C′ và song song với BC.. b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA. c) Hai nửa đường thẳng.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 8.

(143) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. § 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Định nghĩa (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ 2. Tính chất • Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).. • Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P). • Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. • Cho một điểm A ∉ (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).. • Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.. • Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. • Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. • Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d′ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A′, B′, C′ sao cho:. II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG TOÁN 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 45. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. a) Chứng minh (OMN) // (SBC). b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC). HT 46. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có:. IA JB . = ID JC. a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. HD:. a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k.. HT 47. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 9.

(144) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. a) CMR: (OMN) // (SBC). b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB). c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD). HD:. c) Chú ý:. ED. =. EC. FS FB. HT 48. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M′, N′. a) Chứng minh: (CBE) // (ADF). b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′). c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động. HD:. c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.. DẠNG TOÁN 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp:. • Tìm phương của giao tuyến bằng cách sử dụng định lí: Nếu 2 mặt phẳng song song bị cắt bởi 1 mặt phẳng thứ ba thì 2 giao tuyến song song.. • Sử dụng định lí trên để xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi 1 mặt phẳng song song với 1 mặt phẳng cho trước. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 49. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC. a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. HD:. a) Xét 2 trường hợp: I ∈ OA, I ∈ OC . Thiết diện là tam giác đều..  2 2 b x 3  2 b) Sthieát dieän =   2a b (a − x )2 3   a2. neáu 0 < x < neáu. a 2. a < x <a 2. HT 50. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN nằm trong (Q). a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q). b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC). HT 51. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng tại A′, B′, C′, D′. a) Chứng minh (Ax,By) // (Cz,Dt). b) Chứng minh A′B′C′D′ là hình bình hành. c) Chứng minh: AA′ + CC′ = BB′ + DD′. HT 52. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. a) Chứng minh (G1G2G3) // (BCD).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 10.

(145) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G1G2G3). Tính diện tích thiết diện khi biết diện tích tam giác BCD là S. c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G1M luôn song song với mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M. HD:. b). 4S 9. HT 53. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm của A′B′. a) Chứng minh CB′ // (AHC′). b) Tìm giao điểm của AC′ với (BCH). c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC′ và song song với AH và CB′. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ. HD:c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC′, B′C′, A′B′, AB, AC theo các tỉ số 1, 1, 3,. 1 , 1. 3. HT 54. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA′) và (B′D′C) song song. b) Chứng minh đường chéo AC′ đi qua các trọng tâm G1, G2 của 2 tam giác BDA′, B′D′C. Chứng minh G1, G2 chia đoạn AC′ làm ba phần bằng nhau. c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(A′B′G2). Thiết diện là hình gì? HD:. c) Hình bình hành.. HT 55. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Trên AB, CC′, C′D′, AA′ lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = C′N = C′P = AQ = x (0 ≤ x ≤ a). a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố định. b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố định. Tìm x để (MNPQ) // (A′BC′). c) Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện. HD:. a) MP và NQ cắt nhau tại tâm O của hình lập phương.. b) (MNPQ) đi qua trung điểm R, S của BC và A′D′. x =. a . 2. c) Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O. Chu vi nhỏ nhất: 3a 2 ; chu vi lớn nhất: 2a( 2 + 1). HT 56. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. a) Tìm giao tuyến của (AB′C′) và (BA′C′). b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA′ và BC. Tìm giao điểm của B′C′ với mặt phẳng (AA′N) và giao điểm của MN với mp(AB′C′). HT 57. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC′), (BCA′) và (CAB′) có một điểm chung O ở trên OG 1 . HD: đoạn GG′ nối trọng tâm ∆ABC và trọng tâm ∆A′B′C′. Tính OG ′ 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 11.

(146) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP HT 58. Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết (AB,CE ) = 600 . a) Tính 2AC2 – AD2 theo a.. b) (P) là 1 mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = BM (0 < x < a). Xác định x để diện tích ấy lớn nhất. c) Tìm x để tổng bình phương các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất. d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Tìm (P) để OA2 + OB2 + OC2 + OD2 nhỏ nhất. HD:. a) Gọi F là trung điểm của AD.. Xét CEF = 600 ,CEF = 1200 ⇒ 2AC2 – AD2 = 6a2 hoặc –2a2.. b) S = x(a – x). 3 a ;x= 2 2. c) x =. a 2. d) OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 4OG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2. O di động trên đoạn IJ nối trung điểm của AB và CE. Tổng nhỏ nhất khi O là hình chiếu của G lên IJ ( G là trọng tâm tứ diện ABCD). HT 59. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng (P) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q. a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là hình thang cân. b) Đặt AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra:. 4a 3a . ≤ x +y ≤ 3 2. c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s = x + y. HD:. b) S∆AMN = SAMI + SANI. c). 2a − s 8as . s2 − . 4 3. HT 60. Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt tại A′, B′, C′. a) Tìm giao điểm D′ của SD với (P). b) Tìm điều kiện của (P) để A′B′ // C′D′. c) Với điều kiện nào của (P) thì A′B′C′D′ là hình bình hành? CMR khi đó: SA′ SC ′ SB ′ SD ′ + = + SA SC SB SD. d) Tính diện tích tứ giác A′B′C′D′. HD:. b) (P) // SE.. c) (P) // (SEF). Gọi G′ = A′C′∩B′D′. Chứng minh:. d) SA′B′C′D′ =. SA′ SC ′ 2SG ′ + = SA SC SG. a2 3 . 32. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 12.

(147) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. § 5: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ • a ⊥ b ⇔ (a, b ) = 900 • Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a ⊥ b ⇔ u.v = 0 . • Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.. II.. CÁC DẠNG TOÁN. DẠNG TOÁN 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: 1. Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 900. 2. Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau. 3. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). BÀI TẬP CƠ BẢN HT 61. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA . Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. HD: Chứng minh SA.BC = 0 HT 62. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. a) Chứng minh AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM. HD:. b) cos(AC , BM ) =. 3 . 6. HT 63. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó. b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện. HD:. b) arccos. a 2 − c2 b2. ; arccos. b2 − c 2 a2. ; arccos. a 2 − b2 c2. .. HT 64. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M ≠ A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x. HT 65. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC ⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 13.

(148) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. § 6: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. 3. Tính chất • Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. •. •. •. •. •. •. 4. Định lí ba đường vuông góc , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′. Cho. 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng • Nếu d ⊥ (P) thì • Nếu Chú ý: 00 ≤. = 900.. thì. =. với d′ là hình chiếu của d trên (P).. ≤ 900.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 14.

(149) GV.Lưu Huy Thưởng II.. 0968.393.899. CÁC DẠNG TOÁN. DẠNG TOÁN 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:. • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P). • Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). • Chứng minh d // a và a ⊥ (P). * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:. • Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a. • Sử dụng định lí ba đường vuông góc. • Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 66. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng. c) CMR: HK ⊥ (SAC). Từ đó suy ra HK ⊥ AI. HT 67. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA ⊥ (ABC). a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB). b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC. HT 68. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD). b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ ⊥ (SBD). HT 69. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: BC ⊥ (AID). b) Vẽ đường cao AH của ∆AID. Chứng minh: AH ⊥ (BCD). HT 70. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH). b) H là trực tâm của tam giác ABC. c). 1 OH 2. =. 1 OA2. +. 1 OB 2. +. 1 OC 2. .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 15.

(150) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. HT 71. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH ⊥ AC. c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM ⊥ SA. Tính AM theo a. HD:. a) a,. a a 3 , 2 2. c). a 5 2. HT 72. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a) CMR: SH ⊥ (ABCD). b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD. HT 73. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5 . a) Chứng minh: SA ⊥ (ABCD) và tính SA. b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD). c) Tính diện tích tứ giác AKHL. HD:. a) a 2 .. c). 8a 2 . 15. HT 74. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông tại S. b) SD ⊥ CE. c) Tam giác SCD vuông. HT 75. Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′. a) Chứng minh: CC′ ⊥ (MBD). b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của ∆BCD. HT 76. Cho hình tứ diện ABCD. a) Chứng minh rằng: AB ⊥ CD ⇔ AC2 – AD2 = BC2 – BD2. b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 16.

(151) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. DẠNG TOÁN 2: Tìm thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng Phương pháp: Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) với 2 đường thẳng ấy. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 77. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a). a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x. HD:. a) Hình thang vuông. b) S = 2a(a – x).. HT 78. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này. HD:. S=. a 2 15 . 20. HT 79. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA ⊥ (ABC) và SA = a 3 . M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P). b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất. HD:. b) S =. 3 x(a – x); S lớn nhất khi x =. a . 2. HT 80. Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = a. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau: a) (P) qua S và vuông góc với BC. b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB. HD:. a). a2 3 . 4. b). 2a 2 21 . 49. c). 5a 2 3 . 32. HT 81. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2 . Vẽ đường cao AH của tam giác SAB. SH 2 a) CMR: = . SB 3 b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện.. HD:. b) S =. 5a 2 6 18. DẠNG TOÁN 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).. • Tìm giao điểm O của a với (P). • Chon điểm A ∈ a và dựng AH ⊥ (P). Khi đó AOH = (a,(P )). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 17.

(152) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 82. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết (MN ,(ABCD )) = 600 . a) Tính MN và SO. b) Tính góc giữa MN và (SBD). HD:. a) MN =. a 10 a 30 ; SO = 2 2. b) sin (MN ,(SBD )) =. 5 . 5. HT 83. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) HD:. a) 600. b) arctan. 1. c) arcsin. 7. 1 14. d) arcsin. 21 . 7. HT 84. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ⊥ (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB góc β. a) Tính SA. b) CMR: AB = a cos(α + β ). cos(α − β ) . HD:. a) a.sinα. HT 85. Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = α . Biết SA, SB, SC đều hợp với mặt phẳng (ABC) góc α. a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC). α 2 . b) cos α a . sin. HD:. HT 86. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA′ ⊥ (ABC). Đường chéo BC′ của mặt bên BCC′B′ hợp với (ABB′A′) góc 300. a) Tính AA′. b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BA′C′). c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB′. Tính góc giữa MN và (BA′C′). HD:. a) a 2 .. b). a 66 . 11. c) arcsin. 54 . 55. HT 87. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA′ ⊥ (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B′C′ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên BCC′B′ góc β. a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α. b) Chứng minh rằng: cosα = HD:. 2 sinβ.. a) AB = AC = 2a.cosα; BC = 2a 2 cosα;. AA′ = a.sinα.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 18.

(153) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. §7 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Góc giữa hai mặt phẳng. a ⊥ (P ) ⇒ ((P ),(Q )) = (a, b ) •  b ⊥ (Q )  a ⊂ (P ), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng  ⇒ (P ),(Q ) = (a, b )  b ⊂ (Q ), b ⊥ c . (. Chú ý:. ). 00 ≤ ((P ),(Q )) ≤ 900. 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác. (. ). Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = (P ),(Q ) . Khi đó:. S′ = S.cosϕ. 3. Hai mặt phẳng vuông góc. (. ). • (P) ⊥ (Q) ⇔ (P ),(Q ) = 900. (P ) ⊃ a ⇒ (P ) ⊥ (Q ) • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:   a ⊥ (Q )  4. Tính chất. (P ) ⊥ (Q ),(P ) ∩ (Q ) = c • ⇒ a ⊥ (Q )  a ⊂ (P ), a ⊥ c . (P ) ⊥ (Q )  • ⇒ a ⊂ (P ) A ∈ (P )  a ∋ A, a ⊥ (Q ) . (P ) ∩ (Q ) = a  • ⇒ a ⊥ (R) (P ) ⊥ (R)  (Q ) ⊥ (R) . II.. CÁC DẠNH TOÁN. DẠNG TOÁN 1: Góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:. • Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q). Khi đó: ((P ),(Q )) = (a, b ) . a ⊂ (P ), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng  ⇒ ((P ),(Q )) = (a, b ) b ⊂ (Q ), b ⊥ c  BÀI TẬP CƠ BẢN HT 88. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và là trung điểm của các cạnh AB và AC. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. SA = a. Gọi E, F lần lượt. Page 19.

(154) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC). HD:. (. ). a) (SAC ),(SBC ) = 600 b) cos ((SEF ),(SBC )) =. 3. .. 10. HT 89. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600. HD: SA = a. HT 90. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 . a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD). HD:. a) tan ((SAD ),(SBC )) = 7. b) cos ((SBC ),(SCD )) =. 10 . 5. HT 91. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD) HD:. b) arctan 6. a) 600. HT 92. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =. c) 300.. a 3 a 6 ; SA ⊥ (ABCD) và SO = . 3 3. a) Chứng minh ASC vuông. b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). HD:. c) 600.. HT 93. Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2 , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) HD:. a) 450. b) 600. c) arccos. 6 . 3. DẠNG TOÁN 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:. • Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q). • Chứng minh ((P ),(Q )) = 900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:. • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 20.

(155) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 94. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 . Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. HT 95. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của ∆BCD, đường cao DK của ∆ACD. a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD). b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC). c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ⊥ (ADC). HT 96. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD). c) Gọi BE, DF là hai đường cao của ∆SBD. CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC). HD:. b) 900.. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 a 3a . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. cạnh BC, DC sao cho BM = , DN = 2 4 HT 98. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB′ và CC′ cùng vuông góc với mp(ABC). a) Chứng minh (ABB′) ⊥ (ACC′).. HT 97.. b) Gọi AH, AK là các đường cao của ∆ABC và ∆AB′C′. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCC′B′) và (AB′C′) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK). HT 99. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh rằng SI ⊥ (ABCD), AD ⊥ (SAB). b) Tính góc giữa BD và mp(SAD). c) Tính góc giữa SD và mp(SCI). HD:. b) arcsin. 6 4. c) arcsin. 10 5. HT 100. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là α π và − α . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC.. 2 a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ. b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của α. HD:. b) SHmax =. 1 bc ; 2. α = arctan. c b. HT 101. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (BCD). b) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (ACD).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 21.

(156) GV.Lưu Huy Thưởng HD:. a) x2 – y2 +. b2 =0 2. 0968.393.899. b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = 0. HT 102. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y. a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là MN ⊥ (SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y. b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo bằng 300 là a(x + y) +. 3 xy = a2 3 . HD:. a) a2 – a(x + y) + x2 = 0 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 600, cạnh SC =. HT 103.. a 6 và SC ⊥ 2. (ABCD). a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC). b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA tại K. Tính độ dài IK. c) Chứng minh BKD = 900 và từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAD). HD:. b) IK =. a . 2. DẠNG TOÁN 3: Tính diện tích hình chiếu của đa giác. (. ). Phương pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = (P ),(Q ) . Khi đó:. S′ = S.cosϕ. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 104. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng (P), các đỉnh khác không ở trong (P), BD = a, AC = a 2 . Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta được hình vuông AB′C′D′. a) Tính diện tích của ABCD và AB′C′D′. Suy ra góc giữa (ABCD) và (P). b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của CB, CD với (P). Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFD′B′. HD:. a) 450. b) SEFDB =. 3a 2 2 3a 2 ; SEFD′B′ = 4 4. HT 105. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a 3 , đáy BC = 3a; BC ⊂ (P). Gọi A′ là hình chiếu của A trên (P). Khi ∆A′BC vuông tại A′, tính góc giữa (P) và (ABC). HD: 300 HT 106. Cho tam giác đều ABC cạnh a, nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B và C. a 2 , CE = a 2 nằm cùng một bên đối với (P). 2 a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích của tam giác ADE.. lấy các đoạn BD =. b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (P). HD:. a). 3a 2 4. b) arccos. 3 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 22.

(157) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 107. Cho hình chóp SABC có các mặt bên hợp với đáy một góc ϕ. a) Chứng minh hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn nội tiếp ∆ABC. b) Chứng minh:. S∆SAB + S∆SBC + S∆SCA =. S△ABC cos ϕ. HT 108. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng: a) SH ⊥ (ABC). b) (SSBC)2 = SABC.SHBC. Từ đó suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2. HT 109. Trong mặt phẳng (P) cho ∆OAB vuông tại O, AB = 2a, OB = a. Trên các tia vuông góc với (P) vẽ từ A và B và ở về cùng một bên đối với (P), lấy AA′ = a, BB′ = x. a) Định x để tam giác OA′B′ vuông tại O. b) Tính A′B′, OA′, OB′ theo a và x. Chứng tỏ tam giác OA′B′ không thể vuông tại B′. Định x để tam giác này vuông tại A′. c) Cho x = 4a. Vẽ đường cao OC của ∆OAB. Chứng minh rằng CA′ ⊥ A′B′. Tính góc giữa hai mặt phẳng (OA′B′) và (P). HD:. a) x = 0. b) x = 4ac) arccos. 39 26. §8 KHOẢNG CÁCH I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng d (M , a ) = MH d (M ,(P )) = MH. trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).. 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)). trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.. d((P),(Q) = d(M,(Q)). trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).. 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau • Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc. chung của a, b.. • Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b. • Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.. đường thẳng đó với mặt. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 23.

(158) GV.Lưu Huy Thưởng II.. 0968.393.899. CÁC DẠNG TOÁN. DẠNG TOÁN 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Cách 1: Giả sử a ⊥ b:. • Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. • Dựng AB ⊥ b tại B ⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.. • Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. • Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) tại H. • Từ H dựng đường thẳng a′ // a, cắt b tại B. • Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A. ⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)). Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.. • Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a tại O. • Dựng hình chiếu b′ của b trên (P). • Dựng OH ⊥ b′ tại H. • Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B. • Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A. ⇒ AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = OH. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 110. Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) OA và BC. b) AI và OC. HD:. a). a 2 2. b). a 5 5. HT 111. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) SC và BD. b) AC và SD. HD:. a). a 6 6. b). a 3 3. HT 112. Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 24.

(159) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui. b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC). c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA. HD: c) Gọi E = AH ∩ BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE. HT 113. a) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì dường vuông góc chung của AB và CD là đường nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD . b) Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD, AD = BC. HD: b) Giả sử BC = a, AD = a′, AC = b, BD = b′. Chứng minh a = a′, b = b′.. a 3 . Gọi M, N, P lần lượt 2 là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) NP và AC b) MN và AP.. HT 114. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ⊥ (ABCD) và IS =. HD:. a). a 3 a b) 4 2. DẠNG TOÁN 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). BÀI TẬP CƠ BẢN HT 115. Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a. a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng. a 3 . 4. HD: a) d(A,(SCD)) = a 2 ;. d(B,(SCD)) =. a 2 2. b). a 6 a2 6 c) 3 2. HT 116. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′). b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC). c) Chứng minh rằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′). HD:. a). a 3 a 21 b) 2 7. c). a 2 2. HT 117. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 25.

(160) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD). c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. Cho biết AD cách (P) một khoảng là. a 2 , tính 2. khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE. HD:. a) a 2 ;. a 2 2. b). a 6 a2 6 c) 3 2. HT 118. Cho hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 600, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy điểm C với BC = a. Gọi D là hình chiếu của C trên Ax. a) Tính AD và khoảng cách từ C đến mp(ABD). b) Tính khoảng cách giữa AC và BD. HD:. a) AD =. a ; 2. d(C,(ABD)) =. a 3 2. b). a 93 31. HT 119. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 600 . Gọi O là giao điểm của AC và BD. 3a Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) và SO = . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. 4 a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).HD:. b) d(O,(SBC)) =. 3a 3a , d(A,(SBC)) = . 8 4. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 26.

(161) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.. a. a / /(P ) ⇔ a ∩ (P ) = ∅ (P). II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.. d.  d ⊄ (P ) d / /a ⇒ d / /(P )   a ⊂ (P ) . a (P). (Q). a / /(P )  a ⊂ (Q ) ⇒ d / /a   (P ) ∩ (Q ) = d . a d. (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.. d.  (P ) ∩ (Q ) = d (P ) / /a ⇒ d / /a   (Q ) / /a . a Q P. §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.. (P ) / /(Q ) ⇔ (P ) ∩ (Q ) = ∅. P Q. II.Các định lý:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 27.

(162) GV.Lưu Huy Thưởng. ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau..  a, b ⊂ (P ) a ∩ b = I ⇒ (P ) / /(Q )   a / /(Q ), b / /(Q ) . ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia.. (P ) / /(Q )  ⇒ a / /(Q )  a ⊂ (P ) . ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.. P. 0968.393.899. a b I. Q. a P Q. R. (P ) / /(Q )  (R) ∩ (P ) = a ⇒ a / /b   (R) ∩ (Q ) = b . a. P. b. Q. B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC. §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.. a ⊥ mp(P ) ⇔ a ⊥ c, ∀c ⊂ (P ) a. P. c. II. Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).. d. d ⊥ a , d ⊥ b  a , b ⊂ mp(P ) ⇒ d ⊥ mp(P )   a , b caét nhau. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. b P. a. Page 28.

(163) GV.Lưu Huy Thưởng. ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).. 0968.393.899. a a ⊥ mp(P ), b ⊂ mp(P ) b ⊥a ⇔b ⊥a'. a'. P. b. §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa:. Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.. II. Các định lý:. ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.. ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).. Q a. a ⊥ mp(P )  ⇒ mp(Q ) ⊥ mp(P )  a ⊂ mp(Q ) . P. P  (P ) ⊥ (Q ) (P ) ∩ (Q ) = d ⇒ a ⊥ (Q )   a ⊂ (P ), a ⊥ d . a. Q. d ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P). P (P ) ⊥ (Q )  A ∈ (P )  ⇒ a ⊂ (P ) A ∈ a  a ⊥ (Q ). a A. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Q. Page 29.

(164) GV.Lưu Huy Thưởng. ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.. Q. P.  (P ) ∩ (Q ) = a (P ) ⊥ (R) ⇒ a ⊥ (R)   (Q ) ⊥ (R) . 0968.393.899. a. R. §3.KHOẢNG CÁCH. 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)). O. O H a. P. H. d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH. 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).. a. O. H. P. d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:. O P. là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.. Q. d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:. a. H. A. là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB. b B. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 30.

(165) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. §4.GÓC. 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.. a. a'. b' b. 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). a. là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.. a'. P. 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm. 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì. a P. b. a. Q. b. Q. P. S. S ' = S cos ϕ. trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).. A. C. ϕ B. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 31.

(166) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC PHẲNG 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ∆ABC vuông ở A ta có : a). Định lý Pitago : BC 2 = AB 2 + AC 2. b). BA2 = BH .BC ; CA2 = CH .CB. c). AB. AC = BC. AH 1 1 1 = + 2 2 AH AB AC 2 BC = 2AM b c b c sin B = , c osB = , tan B = , cot B = a a c b. d) e) f) g). b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =. A b. c B. M. H. C. a. b b , = sin B cos C. b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA. * Định lý hàm số Côsin:. a b c = = = 2R sin A sin B sin C. * Định lý hàm số Sin: 3. Các công thức tính diện tích.. a/ Công thức tính diện tích tam giác: S =. 1 1 a .b.c a +b +c a.ha = a.b sin C = = p.r = p.(p − a )(p − b )(p − c) với p = 2 2 4R 2. Đặc biệt :* ∆ABC vuông ở A : S =. 1 AB.AC ,* ∆ABC đều cạnh a: .. 2. b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S =. 1 (chéo dài x chéo ngắn) 2. d/ Diện tích hình thang : S =. 1 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2. e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S = π.R2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 32.

(167) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 12 A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN. I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:. 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h h. B : diện tích đáy với   h : chieàu cao . B. a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước a. a. b) Thể tích khối lập phương: V = a3. c b a. a. với a là độ dài cạnh 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V=. 1 Bh 3. h. B : diện tích đáy với   h : chieàu cao . B. 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:. S. Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:. C' A'. A. B'. VSABC. SA SB SC = VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC '. C B. 4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: V =. h B + B '+ BB ' 3. (. A'. B' C'. ) A. B, B' : diện tích hai đáy với   h : chieàu cao . B. C. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 33.

(168) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =. 2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =. a 2 + b2 + c2 ,. a 3 2. 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 34.

(169) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. II. CÁC DẠNG TOÁN A. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP HT 1.. Dạng toán 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích. HT 2.. 12. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp. với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp . HT 3.. 3 3. Đ/s: V = a. hình chóp.. Đ/s: V = a. 3. 6. 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy. (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .. Đ/s: V = a. 3. 3. 8. HT 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABCD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). a3 3 a 3 Đ/s: V = d= 3 2 HT 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp . HT 6.. 3 Đs: V = a 2. 6. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với. đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC .. 3 Đs: V = h 3. 3. HT 7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp. 3 Đs: V = a 3 27 HT 8. Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm. 1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm3 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d = 12 34 Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc BAC = 120o , biết SA ⊥ (ABC ) và mặt a3 Đs: V = (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC.. HT 9.. 9. HT 10. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA ⊥ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp. Đs: V. =. a3 3 48. HT 11. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA ⊥ (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a, BC = 4a . Tính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3 HT 12. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA ⊥ (ABCD) ,biết rằng a3 2 khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: V =. 4. HT 13. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) và a3 6 (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs: V =. 2. HT 14. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt 3R3 (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: V =. Dạng toán 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy. 4. HT 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. Tính thể tích khối Đ/s: V = a. chóp SABCD.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. 3 3. 6. Page 35.

(170) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) Đ/s : V = a. một góc 60o. Tính thể tích tứ diện ABCD.. 3. 3. 9. HT 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.. a3 12 HT 4. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt a3 phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đs: V = Đ/s: V =. Tính thể tích khối chóp SABC.. 12. HT 5.. Cho hình chóp SABC có. BAC. = 90o ; ABC. = 30o ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) ⊥ (ABC). Tính thể Đs: V. tích khối chóp SABC.. a2 2 24. =. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) ⊥ (ABC). Cho biết 4h 3 3 SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: V = HT 6.. 9. Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết a3 6 Đs: V = AD = a .Tính thể tích tứ diện.. HT 7.. 36. HT 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. Tính 4h 3 thể tích khối chóp SABCD . Đs: V =. 9. HT 9.. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với. (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. HT 10. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.. Đs:. V=. a3 3 4. ⊥ (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và 8a3 3 Đs: V = 9. HT 11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.. Đs:. V=. a3 5 12. HT 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .. Đs:. V=. Dạng toán 3: Khối chóp đều. a3 3 2. HT 1. Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều SABC .. Đ/s: V = a. 3 11. 12. HT 2. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều. Đ/s: V = a. 3. Tính thể tích khối chóp SABCD. HT 3.. 6. 2. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. Tính khoảng. cách từ M đến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp MABC.. Đ/s:. V=. a3 2 24. HT 4. Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. Đs: V = 3a. 3. 16. HT 5. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o. Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC. Tính thể tích hình chóp SABC.. 3 Đs: SH = a V = a. 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. 6. Page 36.

(171) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 6. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp Đs:. SABC.. V=. a3 3 24. HT 7. Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o. Tính thể tích hình chóp. 3 Đs: V = h 3. 3. HT 8. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đ/s: HT 9. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và. V=. h3 3 8. ASB = 60o . Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp Đ/s: S = a. 2. 3. a3 2 3 6 HT 10. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. đều. Tính thể tích hình chóp.. Đ/s:. V=. V=. 2h3 3. HT 11. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến Đ/s:. mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp.. V=. 8a3 3 3. HT 12. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V = 9a. 3. Dạng toán 4: Phương pháp tỷ số thể tích. 2. 2.. Đ/s: AB = 3a. HT 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a 2 ,SA vuông góc với đáy ABC , SA = a Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.. HT 2.. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và. điểm D sao cho. a3 2a 3 ;VS .AMN = 6 27. AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy. CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện. ABCD. Tính thể tích khối tứ diện CDEF. HT 3.. Đ/s: VS .ABC =. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng. hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.. 3. 3. 6. 36. Đ/s: VABCD = a ;VD.CEF = a. (α ) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của VSABMN 3 Đ/s: = V ABMN . ABCD 5. HT 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.. Đ/s: VS . ABCD. a3 6 = 6. VAEMF =. a3 6 . 18. HT 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tính thể tích khối chóp. a3 2 2a 3 2 ;VS .AB 'C ' D ' = 3 9 Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và. S.AB’C’D’. HT 6.. khối tứ diên ABCD.. Đ/s : VS .ABCD =. Đ/s:. k=. 1 4. HT 7. Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đ/s: V = 2 m3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 37.

(172) GV.Lưu Huy Thưởng HT 8.. Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho. 0968.393.899. a 2a AB = ;AC' = . Tính thể tích tứ 2 3. Đ/s: V = a. 2 36. 3. diên AB'C'D.. HT 9. Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đ/s: V = 1 m3 HT 10. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh. a 3 ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc Đ/s:. với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.. V=. a3 3 40. HT 11. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đ/s: : V = 1 m3 3 HT 12. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m , ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN . Đ/s: : V = 4m3 HT 13. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN 2 Đ/s: V = a h. và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính thể tích khối chóp SAMNP.. 9. HT 14. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song Đ/s:. với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này.. k=. 1 2. HT 15. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho SM = x Tìm x để mặt phẳng. SA. Đ/s: x = 5 − 1. (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.. 2. B. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Dạng toán 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy HT 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. Đ/s: V = a 3 2 HT 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. Đ/s: V = 9a 3 HT 3. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Đ/s: V = 8 3 HT 4. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo 3 nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . Đ/s:V = a 6 2 HT 5. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.. Đ/s: V = a. 3. 4. 3 ; S = 3a2. HT 6. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' = a 6 . Tính thể tích của lăng trụ. Đ/s: V = 2a3 HT 7. Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: V = 64 cm3 HT 8. Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. Đ/s: V = 2888 HT 9. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đ/s: V = 0,4 m3 HT 10. Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là này . Đ/s: V = 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. 5; 10; 13 . Tính thể tích khối hộp. Page 38.

(173) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Dạng toán 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng HT 1.. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với. đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.. 3 Đ/s: a 3. 2 HT 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác. vuông tại A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ. Đ/s: V = a 3 6 HT 3. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . Đ/s: V. =. 2 a 3 6 S = 4a 6 3 3. Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) 3a 3 một góc 30o. Tính thể tích của hình hộp. Đ/s: V =. HT 4.. 2. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc a3 2 30o . Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: V =. HT 5.. 16. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . a3 3 Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: V = HT 6.. 2. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o a3 3 . Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ Đ/s: AB ' = a 3 ;V =. HT 7.. 2. ACB = 60o biết BC' hợp với mặt bên 3a 2 3 (AA'C'C) một góc 30o. Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. Đ/s: V = a 3 6 , S = 2 HT 8.. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt 32a 3 phẳng (A'BC) một góc 300. Tính thể tích lăng trụ Đ/s: V =. HT 9.. 9. HT 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và a3 2 hợp với (ABB'A') một góc 45o. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đ/s: V =. 8. HT 11. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1. BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o . a3 3 a3 2 2. BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . Đ/s: 1)V = 2)V =. 16. 8. HT 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' = CA' = a 2 + b2 + c2 1. Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật. 2. Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo. Chứng minh rằng: sin2 x + sin2 y + sin2 z = 1 .. Dạng toán 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp a3 3 với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: V =. HT 1.. 2. HT 2.. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam. giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Đ/s: V = 8 3 HT 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc a3 6 Đ/s: 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.. 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 39.

(174) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp 16a 3 2 với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đ/s: V = HT 4.. 3. Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) 2a 3 2 hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp chữ nhật. Đ/s: V =. HT 5.. 3. HT 6. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ. Đ/s: V = 3a3 HT 7. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: V = a 3 2 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và a3 3 (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: V =. HT 8.. BAC = 120o biết rằng. 8. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy h3 2 ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ. Đ/s: V =. HT 9.. 4. HT 10. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1. Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o . 2. A'B hợp với đáy ABC một góc 45o. 3. Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ. a3 3 Đ/s: 1) V = a 3 3 ; 2) V = ;V=. 4. a3 3. HT 11. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1. Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o . 2. BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 . 3. Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a . 16a 3 Đ/s: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V =. 3. HT 12. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1. Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o . 2. Tam giác BDC' là tam giác đều.. a3 6 ; 2) V = a 3 ; V = a 3 2 2 HT 13. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1. Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o . Đ/s: 1) V =. 3. AC' hợp với đáy ABCD một góc 450. 2. Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng 3. AC' hợp với đáy ABCD một góc 450. a 2 Đ/s: 1) V =. 3a 3 3 3a 3 2 3a 3 ; 2) V = ;V= 4 8 2. HT 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a. Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây: 1. AB = a 2. BD' hợp với AA'D'D một góc 30o 3. (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300 Đ/s: 1) V = 8a 3 2 ; 2) V = 5a 3 11 ; V = 16a 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 40.

(175) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Dạng toán 4: Khối lăng trụ xiên HT 1.. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là. ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ. 3a. 3. a 3. và hợp với đáy. 3. 8. HT 2. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. a3 3 Tính thể tích lăng trụ .. 4. HT 3.. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 450. 3 AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’). lần lượt tạo với đáy những góc và . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. V = 3 HT 4. Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336 HT 5. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và BAD = 30o và biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC 600.. một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = HT 6.. 2a 3 3. abc 3 4. Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = a3 3 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =. 4. HT 7. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o . 1. Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 3a 3 3 2. Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs: V =. 8. HT 8. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O . 1. Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B. a2 3 3a 3 3 2. Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1) S = 2) V =. 2. 8. HT 9. Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a. 1. Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. a3 3 2. Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o 2) V =. 8. HT 10. Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o 27a 3 Đs: V =. 4 2. HT 11. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o . 1. Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD. 2. Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'. a3 2 3. Tính thể tích của hộp. Đs: 2) SACC ' A ' = a 2 2; SBDD ' B ' = a 2 . 3) V = 2 HT 12. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a.. 1. Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. 2. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. 3a 3 Đs: 1) 60o 2) V = & S = a 2 15 4 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 41.

(176) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP KHỐI CHÓP VÀ LĂNG TRỤ Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a, AB = 2a, AC = 4a, BAC = 60. HT1.. 0.. Gọi H, K. lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a . Đ/s: V =. 26 3a 3 9. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a, BAC = 1200 . Biết SBA = SCA = 900 , góc. HT2.. giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a , tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB ) và (ABC ).. 4 2a 3 α = 450 3 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng. Đ/s: V = HT3.. (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC. 38 2a 3 d= 3 19 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho. theo a . Đ/s: V = HT4. AM =. a , cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S .HCD 2. 4a 3 2a ;d = 15 3 HT5. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP. và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a . Đ/s: V =. 3 3 a 21 a ;R = 12 3 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = 2a, AD = 4a SA ⊥ (ABCD ) và góc giữa hai đường. và xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Đ/s :V = HT6.. thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 . Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, BC, N ở trên cạnh AD sao cho DN = a .. 8 15a 3 2a 35 ;d = 9 7 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt. Tính thể tích khối chóp S .AHMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SB. Đ/s: V = HT7.. phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích. 4 2a 3 2 2a ;d = 3 11 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD). của khối chóp S .ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a . Đ/s: V = HT8.. một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a . Đ/s: V = d=. a 3 15 ; 9. 3a 5 57. HT9.. Cho hình chóp S.ACBD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a 2, BC = 3a. Gọi M là. trung điểm của CD và góc giữa (ABCD) với (SBC) bằng 600. Chứng minh rằng (SBM ) ⊥ (SAC ) và tính thể tích tứ diện (SABM). Đ/s: V = 9a 3 3 HT10. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a, SB = a 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a . Đ/s:. V =. 2 3a 3 2 5a ;d = 3 5. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 42.

(177) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT11. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thang, BAD = ADC = 900 , AB = 3a, AD = CD = SA = 2a,. SA ⊥ (ABCD ). Gọi G là trọng tâm ∆SAB , mặt phẳng (GCD ) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích khối chóp S .CDMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM, BC . Đ/s: V =. 16 3 4a a ;d = 9 14. HT12. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , SA = a, SB = a 3, BAD = 600 , (SAB ) ⊥ (ABCD ) , gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Đ/s: V = a 3 ;d =. 3 4. HT13. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = a 3, tam giác SOA cân tại S và mặt phẳng (SAD ) vuông góc với mặt phẳng (ABCD ) . Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB, AC.. 2a 3 3 3a ;d = 3 4 HT14. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a . Mặt phẳng (SAC ) tạo với (ABC). Đ/s: V =. góc 600. Hình chiếu H của S trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng HA và SB theo a . Đ/s: V =. 2a 3 3 3a ;d = 3 4. HT15. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = a 3, tam giác SOA cân tại S và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB, AC. Đ/s: V =. 2a 3 3 3a ;d = 3 4. HT16. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a 2,CD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi K là trung điểm của CD, góc giữa hai mặt phẳng (SBK ) và (ABCD ) bằng 600. Chứng minh BK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính thể tích khối chóp S.BCK theo a .. 2a 3 3 HT17. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt. Đ/s: V =. phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng. 2a 3 38 ;d = 3 19 HT18. Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn có đường kính. DE, SC theo a . Đ/s: V =. AD = 2a, SA ⊥ (ABCD ), SA = a 6, H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính. khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Đ/s: V =. a 6 3a 3 2 d= 14 3. HT19. Cho hình chóp S .ABC có ∆ABC vuông cân tại C, AB = 3a, SB =. a 14 . Gọi G là trọng tâm tam giác ∆ABC , 2. 3a 3 ;d = a 3 4 Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = AC = a, M là trung điểm của AB, hình chiếu vuông. SG ⊥ (ABC ). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Đ/s: V = HT20.. góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Đ/s:. V =. a 3 30 a 130 ;d = 24 13. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 43.

(178) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT21. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính. AD = 2a, SA ⊥ (ABCD ), SA = a 6, H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Đ/s: V =. 3a 3 2 a 6 ;d = 14 3. HT22. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = DC , AB = 2AD, BC = a 2. Tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA hợp với đáy góc 450. Tính thể tích hình chóp S.ACBD. 10a 10a 3 ;d= 4 3 HT23. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP.. và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC theo a . Đ/s: V =. Đ/s: V =. 5 3a 3 3a ;d = 48 2 5. HT24. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a(a > 0) SA = a, SB = a 3, BAC = 600 , mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.. a3 5 ; cos α = 4 4 7. Đ/s:V =. HT25. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). HT26. Cho hình chóp S .ABCD có các cạnh bên SA = SB = SD = a; đáy ABCD là hình thoi có góc BAD = 600 và mặt. 3 3a 3 16 HT27. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. Đ/s: phẳng (SDC ) tạo với (ABCD) một góc 300. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Đ/s: V =. V =. a3 3 a 21 ;R = 6 6. HT28. Cho lăng trụ đứng ABC .A1B1C1 có (A1BC ) tạo với đáy góc 600 , tam giác A1BC có diện tích bằng 8 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB1 và CC1. Tính thể tích khối tứ diện A1AMN . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng. A1B và AC . Đ/s: V = 16 3; d = 3 HT29. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC = BC = 2a. Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC. a3 3 3a ;d = 4 4 Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt. và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB. Đ/s: V = HT30.. là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM). Đ/s: V =. 25a 3 a ;d = 24 2. HT31. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B; AB = BC = a. SA vuông góc với mặt phẳng. a3 2 HT32. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = a . Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC biết góc giữa MN với mặt phẳng (ABC) (ABCD), SA = a. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng a 2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Đ/s: V =. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 44.

(179) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, MN theo a . Đ/s:. a 30 30a 3 ;d = 12 16 HT33. Cho hình chóp S .ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường. V =. 3a 3 . Tính thể tích khối 8 chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SO, AD, với O là giao điểm của AC và BD. Đ.s:. kính AD, AD = 2a. Gọi I là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ I tới mặt phẳng (SCD) bằng. V =. a3 3 21 ; cos α = 4 7. HT34. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và ABC = 600. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin góc tạo bởi đường thẳng OA và mặt phẳng (SCD). Đ/s: V = 12 3a 3 ; cos α =. 7 4. HT35. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài cạnh bằng 3 và điểm M thuộc cạnh CC 1 sao cho CM = 2. Mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó. Đ/s: V1 = 9;V2 = 18 HT36. Cho hình lăng trụ ABC .A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của AC. Góc giữa hai mặt phẳng (BCC1B1 ) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và BC theo a . Đ/s: V =. 3a 3 3 3a ;d = 8 4. HT37. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có các cạnh bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A1B1 và B1C1. Tính thể tích khối tứ diện AD1MN theo a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và D1N . Đ/s:. V =. a3 3a ;d = 8 21. HT38. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của CC1. Tính thể tích khối chóp A.A1BK . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1B1BK . Gọi I là trung điểm của BB1, tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A1BK ). Đ/s: V =. a 3 15 a 21 a 5 ;R = ;d = 3 2 6. HT39. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau có độ dài bằng a . Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A1B1C1D1 và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC1 và B1D1. Đ/s: V = 2 2a 3 ;. d=. a 3. HT40. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A1B1C1 có đáy là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của cạnh BB1. Biết đường thẳng A1B,CM vuông góc với nhau và cách nhau một khoảng bằng a. 3 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ 10. ABC .A1B1C1. Đ/s: V = 2a 3 3 HT41. Cho lăng trụ đứng ABC .A1B1C1, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, biết rằng khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (A1BC ) bằng. a 15. . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC .A1B1C1 và. cosin góc giữa hai đường thẳng A1B và AC 1.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 45.

(180) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: V =. 0968.393.899. 3a 3 5 ; cos α = 4 8. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 46.

(181) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM HT 1.. AA1 – 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt. bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB ). Đ/s:. V =. a3 a 39 ;d = 16 13. HT 2. B – 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Đ/s:. V =. a3 3 a 21 ;d = 6 7 D – 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD = 1200, M là. HT 3.. trung điểm của cạnh BC và SMA = 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt. a3 a 6 ;d = 4 4 AA1 – 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC). phẳng (SBC). Đ/s: V = HT 4.. là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S .ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Đ/S: V =. a3 7 a 42 ; d(SA, BC ) = 12 8. HT 5. B – 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh rằng SC vuông góc với (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. Đ/s: V =. 7 11a 3 96. HT 6. D – 12 Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A ' AC vuông cân, A 'C = a . Tính thể tích khối tứ diện ABB 'C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Đ/s: V =. a3 2 a 6 ; d (A,(BCD ')) = 48 6. HT 7. A – 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Đ/s: V = a 3 3;d (AB, SN ) =. 2a 39 13. HT 8. B – 11 Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. Đ/s: V = HT 9.. 3a 3 a 3 ;d = 2 2. D – 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc. với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Đ/s: V = 2a 3 3; d (B,(SAC )) =. 6a 7 7. HT 10. A – 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 47.

(182) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Đ/s: V =. 5 3a 3 2 3a ;d = 24 19. HT 11. B – 10 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A ' B 'C ' có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A ' BC ) và (ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC theo a. Đ/s: V =. 3a 3 3 7a ;R = 8 12. HT 12. D – 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ACBD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =. AC . Gọi CM là đường cao tam giác SAC. Chứng minh M là trung 4. điểm của SA và thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Đ/s: V =. a 3 14 48. HT 13. A - 09 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a;CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Đ/s: V =. 3 15a 3 5. HT 14. B – 09 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB ' = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng. 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Đ/s: V =. 9a 3 208. HT 15. D – 09 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B. Giả sử AB = a ; AA ' = 2a; AC ' = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích tứ diện IABC. Tìm khoảng cách từ A tới (IBC). Đ/s: V =. 4a 3 2a 5 ;d = 9 5. HT 16. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’. HD:. V =. a3 1 ;cos ϕ = 2 4. HT 17. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN. HD:. V =. a3 3 ; 3. cos ϕ =. 5 5. HT 18. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B′C. HD:. 2a 3 a 7 ; d= 2 7 HT 19. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong V =. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 48.

(183) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối. 3a 3 96 HT 20. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa hai CMNP. HD:. V =. đường thẳng MN và AC. HD:. d=. a 2 4. HT 21. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với ABC = BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a. SA⊥(ABCD), SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng a cách từ H đến (SCD). HD: d= 3 HT 22. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB. HD:. V =. 3a 3 12. HT 23. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích. a3 2 36 HT 24. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC ) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN.. của khối tứ diện ANIB. HD:. HD:. V =. V =. 3 3a 3 50. HT 25. (Dự bị 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC⊥(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK. HD:. V =. 2a 3 27. HT 26. (Dự bị 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường. (. ). tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho (SAB),(SBC) = 600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC. HD:. V =. R3 6 12. HT 27. (Dự bị 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện MA1BC1. HD:. V =. a3 2 12. HT 28. (Dự bị 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C. HD:. d=. a 30 10. a 3 và BAD = 600 . Gọi M, 2 N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC' ⊥ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. HT 29. (Dự bị 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' =. HD:. V =. 3a 3 16. HT 30. (Dự bị 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 49.

(184) GV.Lưu Huy Thưởng. với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =. 0968.393.899 a 3 . Mặt phẳng (BCM) cắt 3. cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. HD:. V =. 10 3 3 a 27. HT 31. (Dự bị 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA ⊥ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'. HD:. V =. a3 3 18. HT 32. (Dự bị 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tanα và thể tích khối chóp A'.BB'C'C. HD:. tanα =. 2 3b 2 − a 2 ; a. V =. a 2 3b 2 − a 2 6. HT 33. (Dự bị 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. HD:. V =. 2 a 3b . 3 a 2 − 16b 2. 2 a 3 . Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.. HT 34. (Dự bị 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK =. HD:. V1 =. a3 ; 3. V2 =. 2a 3 3. HT 35. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C′ và D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′. HD:. V =. 5a 3 3 6. HT 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2 , SA ⊥ (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM. b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. HT 37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C′ và D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′. HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD. ⇒V =. 5a 3 3 6. HT 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM..  2 2 SA SM SN 16  SA  3a 3 3 HD: = . . =  ⇒ V =  =  SB 2  VSABC SA SB SC 25 50 VSAMN. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 50.

(185) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. PHẦN III: KHỐI TRÒN XOAY I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Mặt cầu – Khối cầu: 1. Định nghĩa • Mặt cầu:. S (O; R) = {M OM = R} • Khối cầu:. V (O; R) = {M OM ≤ R}. 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)). • Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và. bán kính r = R2 − d 2 .. • Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S)) • Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung. Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆). • Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt. • Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)). • Nếu d > R thì ∆ và (S) không có điểm chung. 4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón 5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Hình đa diện. Mặt cầu nội tiếp Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón. • Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. • Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. – Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. – Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. II. Diện tích – Thể tích Cầu Diện tích. S = 4πR. 2. Trụ Sxq = 2πRh. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Nón Sxq = πRl. Page 51.

(186) GV.Lưu Huy Thưởng. Thể tích. V =. 4 πR 3 3. 0968.393.899. Stp = Sxq + 2Sđáy. Stp = Sxq + Sđáy. V = πR2h. V =. 1 πR2h 3. II. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG TOÁN 1: Mặt cầu – Khối cầu. HT 1.. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC ) .. a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính R =. SC . 2. b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên. HT 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu. b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, BAC = 600 . HT 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) và SA = a 3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC. a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB. b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên. HT 4.. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ. một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 . a) Tính AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD. HT 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K. a) Tính SO, SA. b) Chứng minh ∆SMK ∼ ∆SOA ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS. c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC. d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. HT 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp. a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều. b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng IS = R 3 HT 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. HT 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. HT 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D. HT 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác. HT 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 52.

(187) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. HT 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I. Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này. HT 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC. a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. HT 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ⊥ (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. DẠNG TOÁN 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ. HT 16. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO′AB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ. HT 17. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ. HT 18. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB. HT 19. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. HT 20. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện. HT 21. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO′ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn đáy sao cho độ. (. ). dài AB = a không đổi h > a < h 2 + 4R2 . a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi. HT 22. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên. b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó. HT 23. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. HT 24. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3 ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. HT 25. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O′, R) sao cho OA và O′B hợp với nhau một góc bằng x và và hai đường thẳng AB, O′O hợp với nhau một góc bằng y. a) Tính bán kính R theo h, x, y. b) Tính Sxq, Stp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y. HT 26. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 300. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’. b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’. c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 53.

(188) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 27. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao h = R 2 . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ. b) Gọi (α) là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng (α) .. R 2 c) Chứng minh rằng (α) là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng . 2 MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN HT1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C). HT2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a. Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C). HT3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C). HT4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành. b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành. HT5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này. HT6.. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O. đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB =600 . Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a. HT7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. HT8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. HT9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích của khối nón. HT10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α . HT11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và SAB = α ( α > 450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. HT12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là α . a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho. SI = k (0 < k < 1) . Tính diện tích của thiết diện qua I và SO. vuông góc với trục.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 54.

(189) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(190) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG §1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ u ≠ 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆. Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆. – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. 2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆. Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆. – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. – Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của ∆ thì u ⊥ n . 3. Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y0 ) và có VTCP u = (u1; u2 ) .. x = x + tu  0 1 (1) ( t là tham số).  y = y 0 + tu2  x = x + tu  0 1 Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R:  . y = y 0 + tu2 . Phương trình tham số của ∆:. – Gọi k là hệ số góc của ∆ thì:. u + k = 2 , với u1 ≠ 0 . u1. + k = tanα, với α = xAv , α ≠ 900 .. 4. Phương trình chính tắc của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y0 ) và có VTCP u = (u1; u2 ) . Phương trình chính tắc của ∆:. x − x0 u1. =. y − y0 u2. (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0).. Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. 5. Phương trình tham số của đường thẳng PT ax + by + c = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có: VTPT là n = (a;b ) và VTCP u = (−b; a ) hoặc u = (b; −a ) . – Nếu ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có VTPT n = (a;b ) thì phương trình của ∆ là: Các trường hợp đặc biệt:. a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0. Các hệ số. Phương trình đường thẳng ∆. c=0. ax + by = 0. ∆ đi qua gốc toạ độ O. a=0. by + c = 0. ∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox. b=0. ax + c = 0. ∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy. Tính chất đường thẳng ∆. • ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. x y + =1. a b. Page 1.

(191) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .. • ∆ đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: y − y0 = k (x − x 0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 . Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình: a x + b y + c = 0  1 1 1 (1)  a2x + b2y + c2 = 0  a b • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ 1 ≠ 1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 ) a2 b2. a b c • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm⇔ 1 = 1 ≠ 1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 ) a2 b2 c2 a b c • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm⇔ 1 = 1 = 1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 ) a2 b2 c2. 7. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 (có VTPT n1 = (a1;b1 ) ) và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 (có VTPT n2 = (a2 ;b2 ) ).  (n1, n2 ) (∆1, ∆2 ) =  1800 − (n , n ) 1 2  cos(∆1, ∆2 ) = cos(n1, n2 ) =. khi (n1, n2 ) ≤ 900 khi (n1, n2 ) > 900 n1 .n2 n1 . n2. =. a1a2 + b1b2 a12 + b12 . a22 + b22. Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 . • Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1. 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) .. d(M 0 , ∆) =. ax 0 + by0 + c. a 2 + b2 • Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M (x M ; yM ), N (x N ; yN ) ∉ ∆. – M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c ) > 0 . – M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c ) < 0 . • Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là: a1x + b1y + c1 a12 + b12. =±. a2x + b2y + c2 a22 + b22. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 2.

(192) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈. ∆ và một VTCP u = (u1; u2 ) của ∆. x = x + tu 0 1 PTTS của ∆:  ;  y = y 0 + tu2 . x − x0. PTCT của ∆:. u1. =. y − y0 u2. (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0).. • Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ ∆ và một VTPT. n = (a;b ) của ∆. PTTQ của ∆: a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0 • Một số bài toán thường gặp:. x − xA y − yA + ∆ đi qua hai điểm A(x A ; yA ) , B(x B ; yB ) (với x A ≠ x B , yA ≠ yB ): PT của ∆: = xB − xA yB − yA + ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT của ∆:. x y + =1. a b. + ∆ đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k: PT của ∆: y − y 0 = k (x − x 0 ) Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một đường thẳng.. • Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d. – Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu của M trên d). – Xác định M′ sao cho I là trung điểm của MM′. Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM′. Khi đó:  MM ′ ⊥ u  d (sử dụng toạ độ) M′ đối xứng của M qua d ⇔  I ∈ d . • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta có thể thực hiện như sau: – Nếu d // ∆: + Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua ∆. + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. – Nếu d ∩ ∆ = I: + Lấy A ∈ d (A ≠ I). Xác định A′ đối xứng với A qua ∆. + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và I.. • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta có thể thực hiện như sau: – Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua I. – Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 3.

(193) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI TẬP HT 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u : a) M(–2; 3) , u = (5; −1) b) M(–1; 2), u = (−2; 3) c) M(3; –1), u = (−2; −5) e) M(7; –3), u = (0; 3). d) M(1; 2), u = (5; 0). f) M ≡ O(0; 0), u = (2; 5). HT 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n : b) M(–1; 2), n = (−2; 3) c) M(3; –1), n = (−2; −5) a) M(–2; 3) , n = (5; −1) d) M(1; 2), n = (5; 0). e) M(7; –3), n = (0; 3). f) M ≡ O(0; 0), n = (2; 5). HT 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 d) M(–3; –5), k = –1. e) M(2; –4), k = 0. f) M ≡ O(0; 0), k = 4. HT 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3). e) A(4; 0), B(3; 0). f) A(0; 3), B(0; –2). HT 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy a) M(2; 3), d: 4x − 10y + 1 = 0. x = 1 − 2t d) M(2; –3), d:   y = 3 + 4t . e) M(0; 3), d:. x −1 y + 4 = 3 −2. HT 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4x − 10y + 1 = 0 b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy. x = 1 − 2t d) M(2; –3), d:   y = 3 + 4t . e) M(0; 3), d:. x −1 y + 4 = 3 −2. HT 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1). d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6). HT 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam giác, với: a) AB : 2x − 3y − 1 = 0, BC : x + 3y + 7 = 0, CA : 5x − 2y + 1 = 0 b) AB : 2x + y + 2 = 0, BC : 4x + 5y − 8 = 0, CA : 4x − y − 8 = 0 HT 9.. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:  3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M  ; − , N  ; − , P (2; −4) 2 2 2 2 .   3 1 c) M 2; − , N 1; − , P (1; −2)   2 2. 3  7  d) M  ;2, N  ; 3, P (1; 4) 2  2 . HT 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với: a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) HT 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S, với:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 4.

(194) GV.Lưu Huy Thưởng a) M(–4; 10), S = 2. b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3. 0968.393.899. d) M(2; –1), S = 4. HT 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : 2x + y − 3 = 0 b) M(3; – 1), d : 2x + 5y − 30 = 0 c) M(4; 1), d : x − 2y + 4 = 0. d) M(– 5; 13), d : 2x − 3y − 3 = 0. HT 13. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: a) d : 2x − y + 1 = 0, ∆ : 3x − 4y + 2 = 0 b) d : x − 2y + 4 = 0, ∆ : 2x + y − 2 = 0 c) d : x + y − 1 = 0, ∆ : x − 3y + 3 = 0. d) d : 2x − 3y + 1 = 0, ∆ : 2x − 3y − 1 = 0. HT 14. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: b) d : x − 2y + 4 = 0, I (−3; 0) a) d : 2x − y + 1 = 0, I (2;1) c) d : x + y − 1 = 0, I (0; 3). d) d : 2x − 3y + 1 = 0, I ≡ O(0; 0). VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác. Sau đây là một số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB′, CC′. Cách dựng:. – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′. – Dựng AB qua B và vuông góc với CC′. – Dựng AC qua C và vuông góc với BB′. – Xác định A = AB ∩ AC.. Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB′, CC′. Cách dựng:. – Dựng AB qua A và vuông góc với CC′. – Dựng AC qua A và vuông góc với BB′. – Xác định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′.. Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN. Cách dựng:. – Xác định trọng tâm G = BM ∩ CN. – Xác định A′ đối xứng với A qua G (suy ra BA′ // CN, CA′ // BM). – Dựng dB qua A′ và song song với CN. – Dựng dC qua A′ và song song với BM. – Xác định B = BM ∩ dB, C = CN ∩ dC.. Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M của cạnh BC. Cách dựng:. – Xác định A = AB ∩ AC.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 5.

(195) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. – Dựng d1 qua M và song song với AB. – Dựng d2 qua M và song song với AC. – Xác định trung điểm I của AC: I = AC ∩ d1. – Xác định trung điểm J của AB: J = AB ∩ d2. – Xác định B, C sao cho JB = AJ , IC = AI . Cách khác:. Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho MB = −MC .. BÀI TẬP HT 15. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại, với: (dạng 1) a) BC : 4x + y − 12 = 0, BB ′ : 5x − 4y − 15 = 0, CC ′ : 2x + 2y − 9 = 0 b) BC : 5x − 3y + 2 = 0, BB ′ : 4x − 3y + 1 = 0, CC ′ : 7x + 2y − 22 = 0 c) BC : x − y + 2 = 0, BB ′ : 2x − 7y − 6 = 0, CC ′ : 7x − 2y − 1 = 0 d) BC : 5x − 3y + 2 = 0, BB ′ : 2x − y − 1 = 0, CC ′ : x + 3y − 1 = 0 Đ/s: a)………………………………………………………………………………………………………… b) ………………………………………………………………………………………………………… c) ………………………………………………………………………………………………………… d) ……………………………………………………………………………………………………… HT 16. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 2) a) A(3; 0), BB ′ : 2x + 2y − 9 = 0, CC ′ : 3x − 12y − 1 = 0 b) A(1; 0), BB ′ : x − 2y + 1 = 0, CC ′ : 3x + y − 1 = 0 Đ/s:a)………………………………………………………………………………………………………… b) ……………………………………………………………………………………………………… HT 17. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: (dạng 3) a) A(1; 3), BM : x − 2y + 1 = 0, CN : y − 1 = 0 b) A(3; 9), BM : 3x − 4y + 9 = 0, CN : y − 6 = 0 Đ/s:a)………………………………………………………………………………………………………… b) …………………………………………………………………………………………………… HT 18. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác đó, với:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 6.

(196) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. a) AB : x − 2y + 7 = 0, AM : x + y − 5 = 0, BN : 2x + y − 11 = 0 Đ/s: a) AC : 16x + 13y − 68 = 0, BC : 17x + 11y − 106 = 0 HT 19. Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết phương trình của cạnh thứ ba, với: (dạng 4) a) AB : 2x + y − 2 = 0, AC : x + 3y − 3 = 0, M (−1;1) b) AB : 2x − y − 2 = 0, AC : x + y + 3 = 0, M (3; 0) c) AB : x − y + 1 = 0, AC : 2x + y − 1 = 0, M (2;1) d) AB : x + y − 2 = 0, AC : 2x + 6y + 3 = 0, M (−1;1) Đ/s: a)………………………………………………………………………………………………………… b) ……………………………………………………………………………………………………… c) ………………………………………………………………………………………………………… d) ……………………………………………………………………………………………………… HT 20. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với: a) A(4; −1), BH : 2x − 3y + 12 = 0, BM : 2x + 3y = 0 b) A(2; −7), BH : 3x + y + 11 = 0, CN : x + 2y + 7 = 0 c) A(0; −2), BH : x − 2y + 1 = 0, CN : 2x − y + 2 = 0 d) A(−1;2), BH : 5x − 2y − 4 = 0, CN : 5x + 7y − 20 = 0 Đ/s:a)………………………………………………………………………………………………………… b) ……………………………………………………………………………………………………… c) ………………………………………………………………………………………………………… d) ………………………………………………………………………………………………………. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 7.

(197) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 . Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình: a x + b y + c = 0  1 1 1 (1)  a2x + b2y + c2 = 0  a b • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm⇔ 1 ≠ 1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 ) a2 b2. • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm⇔. a1. b c = 1 ≠ 1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 ) a2 b2 c2. • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm⇔. a1. b c = 1 = 1 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 ) a2 b2 c2. Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau: – Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng. – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.. BÀI TẬP HT 21. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm của chúng: a) 2x + 3y + 1 = 0, b) 4x − y + 2 = 0, − 8x + 2y + 1 = 0 4x + 5y − 6 = 0. x = 5 + t c)  ,  y = −3 + 2t . x = 4 + 2t  y = −7 + 3t . x = 1 − t d)  ,  y = −2 + 2t . x = 2 + 3t  y = −4 − 6t . HT 22. Cho hai đường thẳng d và ∆. Tìm m để hai đường thẳng: i) cắt nhau ii) song song iii) trùng nhau a) d : mx − 5y + 1 = 0,. ∆ : 2x + y − 3 = 0. b) d : 2mx + (m − 1)y − 2 = 0, ∆ : (m + 2)x + (2m + 1)y − (m + 2) = 0 HT 23. Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui: a) y = 2x − 1, 3x + 5y = 8, (m + 8)x − 2my = 3m b) y = 2x − m,. y = −x + 2m,. mx − (m − 1)y = 2m − 1. HT 24. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 và: a) d1 : 3x − 2y + 10 = 0, d2 : 4x + 3y − 7 = 0, d qua A(2;1) b) d1 : 3x − 5y + 2 = 0, d2 : 5x − 2y + 4 = 0, d song song d3 : 2x − y + 4 = 0 HT 25. Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m: b) mx − y + (2m + 1) = 0 a) (m − 2)x − y + 3 = 0 c) mx − y − 2m − 1 = 0. d) (m + 2)x − y + 1 = 0. HT 26. Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0). a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác. b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui. HT 27. Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình x − 3y = 0, 2x + 5y + 6 = 0 , đỉnh C(4; –1). Viết phương. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 8.

(198) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. trình hai cạnh còn lại. HT 28. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2). VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và điểm M 0 (x 0 ; y0 ) .. d(M 0 , ∆) =. ax 0 + by0 + c. a 2 + b2 2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M (x M ; yM ), N (x N ; yN ) ∉ ∆. – M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c ) > 0 . – M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c ) < 0 . 3. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là: a1x + b1y + c1 a x =± 2 a12 + b12. + b2y + c2. a22 + b22 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác của góc trong tam giác). Cho ∆ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E ∈ BC) ta có: AB AB DB = − .DC , EB = .EC . AC AC – Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Cách 2: – Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. – Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2). + Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong. + Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài. BÀI TẬP. HT 29. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M (4; −5), d : 3x − 4y + 8 = 0 b) M (3; 5), d : x + y + 1 = 0. x = 2t c) M (4; −5), d :   y = 2 + 3t . d) M (3; 5), d :. x −2 y +1 = 2 3. HT 30. a) Cho đường thẳng ∆: 2x − y + 3 = 0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với ∆. b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2x − 3y + 5 = 0, 3x + 2y − 7 = 0 và đỉnh A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó. c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1 : 3x − 4y + 6 = 0 và. d2 : 6x − 8y − 13 = 0 . HT 31. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 9.

(199) GV.Lưu Huy Thưởng. a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3). 0968.393.899. b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4). HT 32. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng ∆ một khoảng k, với: x = 3t b) ∆ :  ,k =3 a) ∆ : 2x − y + 3 = 0, k = 5  y = 2 + 4t  c) ∆ : y − 3 = 0, k = 5. d) ∆ : x − 2 = 0, k = 4. HT 33. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách điểm A một khoảng bằng k, với: a) ∆ : 3x − 4y + 12 = 0, A(2; 3), k = 2 b) ∆ : x + 4y − 2 = 0, A(−2; 3), k = 3 c) ∆ : y − 3 = 0, A(3; −5), k = 5. d) ∆ : x − 2 = 0, A(3;1), k = 4. HT 34. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5. d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4.. HT 35. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5) c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4). d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5). HT 36. Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm B một khoảng bằng k, với: a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = 4 b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k = 3 HT 37. Cho đường thẳng ∆: x − y + 2 = 0 và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2). a) Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB. b) Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng ∆. c) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆. d) Trên ∆, tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất. HT 38. Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1). Tìm điểm C trên đường thẳng ∆: x − 2y + 8 = 0 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt).  76 18  HD: C (12;10), C − ; −  .  5 5 HT 39. Tìm tập hợp điểm. a) Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: −2x + 5y − 1 = 0 một khoảng bằng 3. b) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d : 5x + 3y − 3 = 0, ∆ : 5x + 3y + 7 = 0 . c) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d : 4x − 3y + 2 = 0, ∆ : y − 3 = 0 .. d) Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng. 5 : 13. d : 5x − 12y + 4 = 0 và ∆ : 4x − 3y − 10 = 0 . HT 40. Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng: a) 3x − 4y + 12 = 0, 12x + 5y − 20 = 0 b) 3x − 4y − 9 = 0, 8x − 6y + 1 = 0 c) x + 3y − 6 = 0, 3x + y + 2 = 0. d) x + 2y − 11 = 0, 3x − 6y − 5 = 0. HT 41. Cho tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 10.

(200) GV.Lưu Huy Thưởng. a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1). 0968.393.899. Đ/s: ………………………………………………………. b) AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 2x + 3y + 9 = 0, CA : 3x − 2y − 6 = 0 Đ/s: …………………….. VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 (có VTPT n1 = (a1;b1 ) ) và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 (có VTPT n2 = (a2 ;b2 ) ).  khi (n1, n2 ) ≤ 900 (n , n ) (∆1, ∆2 ) =  1 2 1800 − (n , n ) khi (n , n ) > 900 1 2 1 2  n .n a1a2 + b1b2 cos(∆1, ∆2 ) = cos(n1, n2 ) = 1 2 = n1 . n2 a12 + b12 . a22 + b22. (. ). Chú ý: • 00 ≤ ∆1, ∆2 ≤ 900 .. • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 . • Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.. • Cho ∆ABC. Để tính góc A trong ∆ABC, ta có thể sử dụng công thức:. cos A = cos (AB, AC ) =. AB.AC AB . AC. BÀI TẬP HT 42. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) x − 2y − 1 = 0, x + 3y − 11 = 0. b) 2x − y + 5 = 0, 3x + y − 6 = 0. HT 43. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) B) AB : 4x + 3y + 12 = 0, BC : 3x − 4y − 24 = 0, CA : 3x + 4y − 6 = 0 HT 44. Cho hai đường thẳng d và ∆. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng α, với: a) d : 2mx + (m − 3)y + 4m − 1 = 0, ∆ : (m − 1)x + (m + 2)y + m − 2 = 0, α = 450 . b) d : (m + 3)x − (m − 1)y + m − 3 = 0, ∆ : (m − 2)x + (m + 1)y − m − 1 = 0, α = 900 . HT 45. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng ∆ một góc α, với: a) A(6;2), ∆ : 3x + 2y − 6 = 0, α = 450. b) A(−2; 0), ∆ : x + 3y − 3 = 0, α = 450. c) A(2; 5), ∆ : x + 3y + 6 = 0, α = 600. d) A(1; 3), ∆ : x − y = 0, α = 300. HT 46. Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3x − y + 5 = 0 . a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông. b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 11.

(201) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. §2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 1. Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: (x − a )2 + (y − b )2 = R2 . Nhận xét: Phương trình x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 , với a 2 + b 2 − c > 0 , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆.. a 2 + b2 − c .. ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I , ∆) = R. VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn. • Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng:. (x − a )2 + (y − b )2 = R2. thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.. • Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng:. x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0. – Biến đổi đưa về dạng (x − a )2 + (y − b )2 = R2. thì hoặc. – Tâm I(–a; –b), bán kính R =. a 2 + b2 − c .. Chú ý: Phương trình x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu thoảmãn điều kiện: a2 + b2 − c > 0 .. BÀI TẬP HT 47. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó: a) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 2 = 0. b) x 2 + y 2 − 6x + 4y − 12 = 0. c) 16x 2 + 16y 2 + 16x − 8y = 11. d) 7x 2 + 7y 2 − 4x + 6y − 1 = 0. HT 48. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x 2 + y 2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0 b) x 2 + y 2 − 2(m + 1)x + 2my + 3m 2 − 2 = 0 c) x 2 + y 2 − 2mx − 2(m 2 − 1)y + m 4 − 2m 4 − 2m 2 − 4m + 1 = 0 VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là: (x − a )2 + (y − b )2 = R2. Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.. – Bán kính R = IA.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 12.

(202) GV.Lưu Huy Thưởng. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆.. 0968.393.899. – Bán kính R = d(I , ∆) .. Dạng 3: (C) có đường kính AB. – Tâm I là trung điểm của AB. – Bán kính R =. AB . 2. Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆. – Bán kính R = IA. Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.. I ∈ d – Tâm I của (C) thoả mãn:  .  d(I , ∆) = IA  – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng ∆′ đi qua B và vuông góc với ∆. – Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆′. – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2.. d (I , ∆ ) = d (I , ∆ ) 1 2 – Tâm I của (C) thoả mãn:   d (I , ∆1 ) = IA . (1) (2). – Bán kính R = IA. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ∆1 và ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 và ∆2. – Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R =. 1 d (∆1, ∆2 ) , và (2) được thay thế bới IA = R. 2. Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.. d(I , ∆ ) = d (I , ∆ ) 1 2 – Tâm I của (C) thoả mãn:  .  I ∈ d  – Bán kính R = d (I , ∆1 ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 13.

(203) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c ⇒ phương trình của (C).. IA = IB Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:  .  IA = IC  – Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. – Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d(I , AB ) .. BÀI TẬP HT 49. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) HT 50. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 2) a) I (3; 4), ∆ : 4x − 3y + 15 = 0 b) I (2; 3), ∆ : 5x − 12y − 7 = 0 c) I (−3;2), ∆ ≡ Ox. d) I (−3; −5), ∆ ≡ Oy. HT 51. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2). d) A(5; 2), B(3; 6). HT 52. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆, với: (dạng 4) a) A(2; 3), B(−1;1), ∆ : x − 3y − 11 = 0 b) A(0; 4), B(2;6), ∆ : x − 2y + 5 = 0 c) A(2;2), B(8; 6), ∆ : 5x − 3y + 6 = 0 HT 53. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 5) a) A(1;2), B(3; 4), ∆ : 3x + y − 3 = 0 b) A(6; 3), B(3;2), ∆ : x + 2y − 2 = 0 c) A(−1; −2), B(2;1), ∆ : 2x − y + 2 = 0. d) A(2; 0), B(4;2), ∆ ≡ Oy. Đ/s:a)……………………………………………………………………..b)……………………………… c)……………………………………………………………………..d)……………………………… HT 54. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B, với: A(−2;6), ∆ : 3x − 4y − 15 = 0, B(1; −3) b) A(−2;1), ∆ : 3x − 2y − 6 = 0, B(4; 3) c) A(6; −2), ∆ ≡ Ox , B(6; 0). a). d) A(4; −3), ∆ : x + 2y − 3 = 0, B(3; 0). Đ/s:a) …………………………………………………………………..b)………………………………… c) …………………………………………………………………..d)………………………………… HT 55. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2, với:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. a). Page 14.

(204) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. A(2; 3), ∆1 : 3x − 4y + 1 = 0, ∆2 : 4x + 3y − 7 = 0 b) A(1; 3), ∆1 : x + 2y + 2 = 0, ∆2 : 2x − y + 9 = 0 c) A ≡ O(0; 0), ∆1 : x + y − 4 = 0, ∆2 : x + y + 4 = 0 d) A(3; −6), ∆1 ≡ Ox, ∆2 ≡ Oy Đ/s:a) …………………………………………………………………..b)………………………………… c)……………………………………………………………………..d)……………………………… HT 56. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với: a) ∆1 : 3x + 2y + 3 = 0, ∆2 : 2x − 3y + 15 = 0, d : x − y = 0 b) ∆1 : x + y + 4 = 0, ∆2 : 7x − y + 4 = 0, d : 4x + 3y − 2 = 0 c) ∆1 : 4x − 3y − 16 = 0, ∆2 : 3x + 4y + 3 = 0, d : 2x − y + 3 = 0 d) ∆1 : 4x + y − 2 = 0, ∆2 : x + 4y + 17 = 0, d : x − y + 5 = 0 Đ/s:a) …………………………………………………………………..b)………………………………… c) …………………………………………………………………..d)………………………………… HT 57. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) AB : x − y + 2 = 0, BC : 2x + 3y − 1 = 0, CA : 4x + y − 17 = 0 d) AB : x + 2y − 5 = 0, BC : 2x + y − 7 = 0, CA : x − y + 1 = 0 Đ/s:a) …………………………………………………………………..b)………………………………… c) ………………………………………………………………..d)………………………………… HT 58. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : 2x − 3y + 21 = 0, BC : 3x − 2y − 6 = 0, CA : 2x + 3y + 9 = 0 d) AB : 7x − y + 11 = 0, BC : x + y − 15, CA : 7x + 17y + 65 = 0 Đ/s:a) …………………………………………………………………..b)………………………………… c) …………………………………………………………………..d)………………………………… VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 , ta có thể thực hiện như sau:.. • Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. – Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 15.

(205) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. + d(I , d ) < R ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d(I , d ) = R ⇔ d tiếp xúc với (C). + d(I , d ) > R ⇔ d và (C) không có điểm chung.. • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình: Ax + By + C = 0   2 2 x + y + 2ax + 2by + c = 0. (*). + Hệ (*) có 2 nghiệm ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + Hệ (*) có 1 nghiệm ⇔ d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vô nghiệm ⇔ d và (C) không có điểm chung. BÀI TẬP HT 59. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), với: a) d : mx − y − 3m − 2 = 0, (C ) : x 2 + y 2 − 4x − 2y = 0 b) d : 2x − y + m = 0, (C ) : x 2 + y 2 − 6x + 2y + 5 = 0 c) d : x + y − 1 = 0, (C ) : x 2 + y 2 − 2(2m + 1)x − 4y + 4 − m = 0 d) d : mx + y − 4m = 0, (C ) : x 2 + y 2 − 2x − 4y − 4 = 0 VẤN ĐỀ 4: Tiếp tuyến của đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆.. ∆. tiếp xúc với (C) ⇔ d(I , ∆) = R. • Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M 0 (x 0 ; y0 ) ∈ (C). – ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y0 ) và có VTPT IM 0 . • Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước. – Viết phương trình của ∆ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t). – Dựa vào điều kiện: d(I , ∆) = R , ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của ∆.. • Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A(x A ; yA ) ở ngoài đường tròn (C). – Viết phương trình của ∆ đi qua A (chứa 2 tham số). – Dựa vào điều kiện: d(I , ∆) = R , ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình của ∆. BÀI TẬP HT 60. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ. ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2 + y 2 − 6x − 2y + 5 = 0, d : 2x − y + 3 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 16.

(206) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b) (C ) : x 2 + y 2 − 4x − 6y = 0, d : 2x − 3y + 1 = 0 HT 61. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d. i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C). ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d. iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d. a) (C ) : x 2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0, A(−7;7), d : 3x + 4y − 6 = 0 b) (C ) : x 2 + y 2 + 4x − 8y + 10 = 0, A(2;2), d : x + 2y − 6 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 17.

(207) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. §3: ELIP 1. Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0). M ∈ (E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a. (a > c). F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự. 2. Phương trình chính tắc của elip x2. y2. =1. (a > b > 0, b 2 = a 2 − c 2 ). a b • Toạ độ các tiêu điểm:. F1(−c; 0), F2 (c; 0) .. 2. +. 2. • Với M(x; y) ∈ (E), MF1, MF2 được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M. MF1 = a +. c c x , MF2 = a − x a a. 3. Hình dạng của elip • (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng. • Toạ độ các đỉnh: A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b ), B2 (0; b) • Độ dài các trục: trục lớn: A1A2 = 2a , trục nhỏ: B1B2 = 2b c • Tâm sai của (E): e = (0 < e < 1) a • Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x = ±a, y = ±b (ngoại tiếp elip). 4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao) • Phương trình các đường chuẩn ∆i ứng với các tiêu điểm Fi là: x ±. MF1. • Với M ∈ (E) ta có:. d(M , ∆1 ). =. MF2 d(M , ∆2 ). a =0 e. =e. (e < 1). VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (E). Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:. x2 a2. +. y2 b2. = 1 . Xác định a, b, c.. Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1(−c; 0), F2 (c; 0) . – Toạ độ các đỉnh A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b ), B2 (0; b) . – Tâm sai e =. c . a. – Phương trình các đường chuẩn x ±. a =0 e. BÀI TẬP HT 62. Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 18.

(208) GV.Lưu Huy Thưởng a). x 2 y2 + =1 9 4. b). e) 16x 2 + 25y 2 = 400. x 2 y2 + =1 16 9. c). f) x 2 + 4y 2 = 1. x 2 y2 + =1 25 9. g) 4x 2 + 9y 2 = 5. 0968.393.899 d). x 2 y2 + =1 4 1. h) 9x 2 + 25y 2 = 1. VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (E) Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): c a. + b2 = a 2 − c 2. +e=. + Các đỉnh:. A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b ), B2 (0; b). + Các tiêu điểm F1(−c; 0), F2 (c; 0). BÀI TẬP HT 63. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15; −1) . e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M (−2 5;2) . e) Một tiêu điểm là F1(−2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10..  3    . f) Một tiêu điểm là F1 (− 3; 0) và đi qua điểm M 1;  2   3   g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N  ;1 .  2  h) Đi qua hai điểm M (4; − 3 ), N (2 2; 3) . HT 64. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: 3 a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng . 5 b) Một tiêu điểm là F1(−8; 0) và tâm sai bằng. 4 . 5. c) Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là x 7 ± 16 = 0 . d) Một đỉnh là A1(−8; 0) , tâm sai bằng. 3 . 4.  5 2 e) Đi qua điểm M 2; −  và có tâm sai bằng .   3 3 VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 19.

(209) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y) ∈ (E): MF1 = a +. c c x , MF2 = a − x a a. BÀI TẬP HT 65. Cho elip (E) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) tại hai điểm M, N. i) Tìm toạ độ các điểm M, N. a) 9x 2 + 25y 2 = 225. ii) Tính MF1, MF2 , MN . b) 9x 2 + 16y 2 = 144. HT 66. Cho elip (E). Tìm những điểm M ∈ (E) sao cho: i) MF1 = MF2 ii) MF2 = 3MF1 a) 9x 2 + 25y 2 = 225. c) 7x 2 + 16y 2 = 112. iii) MF1 = 4MF2. b) 9x 2 + 16y 2 = 144. c) 7x 2 + 16y 2 = 112. HT 67. Cho elip (E). Tìm những điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với: a) 9x 2 + 25y 2 = 225. b) 9x 2 + 16y 2 = 144. c) 7x 2 + 16y 2 = 112. HT 68. Cho elip (E). Tìm những điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600 , với: a) 9x 2 + 25y 2 = 225. b) 9x 2 + 16y 2 = 144. c) 7x 2 + 16y 2 = 112. ----------------------------------------------§4 PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL 1. Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0). M ∈ (H ) ⇔ MF1 − MF2 = 2a. (a < c). F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự. 2. Phương trình chính tắc của hypebol x2 2. • Toạ độ các tiêu điểm:. −. y2 2. =1. (a, b > 0, b 2 = c 2 − a 2 ). a b F1(−c; 0), F2 (c; 0) .. • Với M(x; y) ∈ (H), MF1, MF2 được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M.. c c MF1 = a + x , MF2 = a − x a a 3. Hình dạng của hypebol • (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng. • Toạ độ các đỉnh: A1(−a; 0), A2 (a; 0) • Độ dài các trục:. trục thực: 2a, c • Tâm sai của (H): e = (e > 1) a • Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x = ±a, y = ±b .. trục ảo: 2b. b • Phương trình các đường tiệm cận: y = ± x . a 4. Đường chuẩn của hypebol. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 20.

(210) GV.Lưu Huy Thưởng. • Phương trình các đường chuẩn ∆i ứng với các tiêu điểm Fi là: x ±. MF1. • Với M ∈ (H) ta có:. d(M , ∆1 ). =. MF2 d(M , ∆2 ). 0968.393.899. a =0 e. =e. (e < 1). VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (H). Đưa phương trình của (H) về dạng chính tắc:. x2 a2. −. y2 b2. = 1 . Xác định a, b, c.. Các yếu tố: – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1(−c; 0), F2 (c; 0) . – Toạ độ các đỉnh A1(−a; 0), A2 (a; 0) . – Tâm sai e =. c . a. b – Phương trình các đường tiệm cận: y = ± x a. – Phương trình các đường chuẩn x ±. a =0 e. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 21.

(211) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI TẬP HT 69. Cho hypebol (H). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, phương trình các đường tiệm cận, phương trình các đường chuẩn của (H), với (H) có phương trình: a). x 2 y2 − =1 9 16. b). e) 16x 2 − 25y 2 = 400. x 2 y2 − =1 16 9. f) x 2 − 4y 2 = 1. c). x 2 y2 − =1 25 9. d). g) 4x 2 − 9y 2 = 5. x 2 y2 − =1 4 1. h) 9x 2 − 25y 2 = 1. VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (H) Để lập phương trình chính tắc của (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (H). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (H): c a. + b2 = c2 − a 2. +e=. + Các đỉnh:. A1(−a; 0), A2 (a; 0). + Các tiêu điểm F1(−c; 0), F2 (c; 0). BÀI TẬP HT 70. Lập phương trình chính tắc của (H), biết: a) Độ dài trục thực bằng 6, trục ảo bằng 4. b) Độ dài trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10. c) Tiêu cự bằng 2 13 , một tiệm cận là y =. d) Độ dài trục thực bằng 48, tâm sai bằng. e) Độ dài trục ảo bằng 6, tâm sai bằng. 2 x. 3. 13 . 12. 5 . 4. HT 71. Lập phương trình chính tắc của (H), biết: a) Một đỉnh là A(5; 0), một tiêu điểm là F(6; 0). b) Một tiêu điểm là F(–7; 0), tâm sai e = 2. c) (H) đi qua hai điểm M (2; 6 ), N (−3; 4) . d) Độ dài trục thực bằng 8 và đi qua điểm A(5; –3). e) Tiêu cự bằng 10 và đi qua điểm A(–4; 3). f) Có cùng tiêu điểm với elip (E): 10x 2 + 36y 2 − 360 = 0 , tâm sai bằng. 5 . 3. HT 72. Lập phương trình chính tắc của (H), biết: a) Một đỉnh là A(–3; 0) và một tiệm cận là d: 2x − 3y = 0 .. b) Hai tiệm cận là d: 2x ± y = 0 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng. 2 5 . 5. c) Tiêu cự bằng 8 và hai tiệm cận vuông góc với nhau.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 22.

(212) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. d) Hai tiệm cận là d: 3x ± 4y = 0 và hai đường chuẩn là ∆: 5x ± 16 = 0 . e) Đi qua điểm E(4; 6) và hai tiệm cận là d:. 3x ± y = 0 .. VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (H) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: • Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y) ∈ (H):. c c MF1 = a + x , MF2 = a − x a a. • Nếu M thuộc nhánh phải thì x ≥ a ⇒ MF1 =. c c x + a , MF2 = x − a (MF1 > MF2) a a. • Nếu M thuộc nhánh trái thì x ≤ – a c  c  ⇒ MF1 = −  x + a  , MF2 = −  x − a  (MF1 < MF2) a  a  BÀI TẬP HT 73. Cho hypebol (H) và đường thẳng d vuông góc với trục thực tại tiêu điểm bên trái F1 cắt (H) tại hai điểm M, N. i) Tìm toạ độ các điểm M, N. a) 16x 2 − 9y 2 = 144. ii) Tính MF1, MF2 , MN .. b) 12x 2 − 4y 2 = 48. c) 10x 2 + 36y 2 − 360 = 0. HT 74. Cho hypebol (H). Tìm những điểm M ∈ (H) sao cho: i) MF2 = 3MF1 ii) MF1 = 3MF2 iii) MF1 = 2MF2 a). x 2 y2 − =1 9 16. b). x 2 y2 − =1 4 12. c). iv) MF1 = 4MF2. x 2 y2 − =1 4 5. d). x2 − y2 = 1 4. HT 75. Cho hypebol (H). Tìm những điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với: a). x2 − y2 = 1 4. b). x 2 y2 − =1 9 4. c). x 2 y2 − =1 4 12. d). x 2 y2 − =1 9 16. HT 76. Cho hypebol (H). Tìm những điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc α, với: a). x 2 y2 − = 1, α = 1200 4 5. b). x 2 y2 − = 1, α = 1200 36 13. c). x 2 y2 − = 1, α = 600 16 9. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 23.

(213) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. §5 PARABOL 1. Định nghĩa Cho điểm F và đường thẳng ∆ không đi qua F.. M ∈ (P ) ⇔ MF = d(M , ∆) ∆: đường chuẩn,. F: tiêu điểm, 2. Phương trình chính tắc của parabol. p = d (F , ∆) : tham số tiêu.. y 2 = 2px (p > 0) p  • Toạ độ tiêu điểm: F  ; 0 . 2  • Phương trình đường chuẩn:∆: x +. p =0. 2. • Với M(x; y) ∈ (P), bán kính qua tiêu điểm của M là MF = x + 3. Hình dạng của parabol • (P) nằm về phía bên phải của trục tung. • (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng. • Toạ độ đỉnh:. p . 2. O(0; 0). • Tâm sai: e = 1. VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (P) Đưa phương trình của (P) về dạng chính tắc: y 2 = 2px . Xác định tham số tiêu p.. p  Các yếu tố: – Toạ độ tiêu điểm F  ; 0 . 2  – Phương trình đường chuẩn ∆: x +. p =0. 2. BÀI TẬP HT 77. Cho parabol (P). Xác định toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P), với: a) (P ) : y 2 = 6x. b) (P ) : y 2 = 2x c) (P ) : y 2 = 16x. d) (P ) : y 2 = x. VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (P) Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham số tiêu p của (P). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P):. p  – Toạ độ tiêu điểm F  ; 0 2 . – Phương trình đường chuẩn ∆: x +. p =0. 2. BÀI TẬP HT 78. Lập phương trình chính tắc của (P), biết: a) Tiêu điểm F(4; 0) b) Tiêu điểm F(3; 0) c) Đường chuẩn ∆: x + 2 = 0. c) Đi qua điểm M(1; –4). d) Đường chuẩn ∆: x + 3 = 0. e) Đi qua điểm M(1; –2). HT 79. Lập phương trình chính tắc của (P), biết: a) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của elip (E): 5x 2 + 9y 2 = 45 .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 24.

(214) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải của hypebol (H): 16x 2 − 9y 2 = 144 . c) Tiêu điểm F trùng với tâm của đường tròn (C): x 2 − 6x + y 2 + 5 = 0 . VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (P) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y) ∈ (P): MF = x +. p 2. BÀI TẬP HT 80. Cho parabol (P) và đường thẳng d vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm F cắt (P) tại hai điểm M, N. i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính MF , MN . a) (P ) : y 2 = 6x. b) (P ) : y 2 = 2x. c) (P ) : y 2 = 16x. d) (P ) : y 2 = x. HT 81. Cho parabol (P). i) Tìm những điểm M ∈ (P) cách tiêu điểm F một đoạn bằng k. ii) Chọn M có tung độ dương. Tìm điểm A ∈ (P) sao cho ∆AFM vuông tại F. a) (P ) : y 2 = 8x , k = 10. b) (P ) : y 2 = 2x , k = 5. c) (P ) : y 2 = 16x , k = 4. HT 82. Cho parabol (P) và đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F của (P) cắt (P) tại hai điểm M, N. i) Chứng minh x M .x N không đổi. ii) Tính MF, NF, MN theo m. a) (P ) : y 2 = 4x. b) (P ) : y 2 = 2x. c) (P ) : y 2 = 16x. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. d) (P ) : y 2 = x. Page 25.

(215) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP HT 83. Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y). a) Tìm hệ thức giữa x và y sao cho tam giác AMB vuông tại M. b) Tìm phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường trung trực đoạn AB. c) Tìm phương trình của đường thẳng d đi qua A và tạo với AB một góc 600 . HD: a) x 2 + y 2 − 3y − 2 = 0 b) 8x − 2y + 3 = 0 c) (4 3 ∓ 1) x − ( 3 ± 4) y ± 6 − 7 3 = 0 HT 84. Cho ba đường thẳng d1 : 3x + 4y − 12 = 0 , d2 : 3x + 4y − 2 = 0 , d3 : x − 2y + 1 = 0 . a) Chứng tỏ rằng d1 và d2 song song. Tính khoảng cách giữa d1 và d2. b) Tìm phương trình đường thẳng d song song và cách đều d1 và d2 . c) Tìm điểm M trên d3 cách d1 một đoạn bằng 1. HD: a) 2. b) 3x + 4y − 7 = 0. c) M(3; 2) hoặc M(1; 1). x = 7 − 2m x = −5 + 4t HT 85. Cho điểm A(2; –3) và hai đường thẳng d :  , d′ :  .   y = −3 + m y = −7 + 3t   a) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d, d′ tại B, B′ sao cho AB = AB′. b) Gọi M là giao điểm của d và d′ . Tính diện tích của tam giác MBB′.. x = 2 + 6t HD: a) ∆ :   y = −3 + 2t . b) S = 5. HT 86. Cho đường thẳng dm: (m − 2)x + (m − 1)y + 2m − 1 = 0 . a) Chứng minh rằng dm luôn đi qua một điểm cố định A. b) Tìm m để dm cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0). c) Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với BC một góc 450 . d) Tìm m để đường thẳng dm tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = HD: a) A(1; –3). b). 8 3 ≤m ≤ 7 2. 5.. c) x + 5y + 14 = 0, 5x − y − 8 = 0 Md) m = 3, m =. 4 3. HT 87. Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. a) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. b) Tìm phương trình các trung tuyến AM, BN, CP. c) Tính diện tích của tam giác ABC. HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1) b) 3x + y − 19 = 0, y = 3, 6x + 7y − 53 = 0. c) S = 20. HT 88. Cho tam giác ABC có A(8; 0), B(0; 6), C(9; 3). Gọi H là chân đường cao vẽ từ C xuống cạnh AB. a) Tìm phương trình cạnh AB và đường cao CH.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 26.

(216) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của C trên Ox và Oy. Chứng minh I, H, K thẳng hàng. HT 89. Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2). Viết phương trình đường thẳng d khi biết: a) d đi qua A và khoảng cách từ B đến d bằng hai lần khoảng cách từ C đến d. b) d đi qua C và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại E và F sao cho: OE + OF = −3 . c) d đi qua B, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N với x M > 0, yN > 0 và sao cho: i) OM + ON nhỏ nhất. ii). 1 OM. HD: a) x − y − 1 = 0, 2x − 3y − 3 = 0 c) i) x + 2y − 6 = 0. 2. +. 1 ON 2. nhỏ nhất.. b) 2x − y − 6 = 0, x − 4y + 4 = 0 ii) 4x + y − 17 = 0. HT 90. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết: a) Đỉnh B(2; 6), phương trình một đường cao và một phân giác vẽ từ một đỉnh là: x − 7y + 15 = 0, 7x + y + 5 = 0. b) Đỉnh A(3; –1), phương trình một phân giác và một trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau là: x − 4y + 10 = 0, 6x + 10y − 59 = 0 . HD: a) 4x − 3y + 10 = 0, 7x + y − 20 = 0, 3x + 4y − 5 = 0 b) 2x + 9y − 65 = 0, 6x − 7y − 25 = 0, 18x + 13y − 41 = 0 HT 91. Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) và đường thẳng d : 3x + 2y − 7 = 0 . a) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm I ∈ d.. 1  b) Viết phương tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm E  ; 4 . Tính độ dài của tiếp tuyến đó và tìm toạ độ tiếp điểm. 2  c) Trên (C), lấy điểm F có x F = 8 . Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với (C) qua đường thẳng AF. HD: a) x 2 + y 2 − 6x + 2y − 15 = 0 b) y − 4 = 0, 4x − 3y + 10 = 0 , d =. 5 , tiếp điểm (3; 4), (–1; 2) 2. c) (C′): x 2 + y 2 − 16x − 8y + 55 = 0 HT 92. Cho đường cong (Cm): x 2 + y 2 + mx − 4y − m + 2 = 0 . a) Chứng minh rằng với mọi m, (Cm) luôn là đường tròn và (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định A, B. b) Tìm m để (Cm) đi qua gốc toạ độ O. Gọi (C) là đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm được. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 4x + 3y − 5 = 0 và chắn trên (C) một dây cung có độ dài bằng 4. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có vectơ chỉ phương là a = (−2;1) . d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung. Viết phương trình đường tròn ứng với m đó. HD: a) A(1; 1), B(1; 3). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 27.

(217) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. b) m = 2, (C): x 2 + y 2 + 2x − 4y = 0 , ∆1 : 4x + 3y − 8 = 0, ∆2 : 4x + 3y + 7 = 0 c) x + 2y − 8 = 0, x + 2y + 2 = 0 d) m = –2, x 2 + y 2 − 2x − 4y + 4 = 0 HT 93. Cho đường cong (Ct): x 2 + y 2 − 2x cos t − 2y sin t + cos 2t = 0 (0 < t < π). a) Chứng tỏ (Ct) là đường tròn với mọi t. b) Tìm tập hợp tâm I của (Ct) khi t thay đổi. c) Gọi (C) là đường tròn trong họ (Ct) có bán kính lớn nhất. Viết phương trình của (C). d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục Ox một góc 450 . HD: b) x 2 + y 2 = 1 c) t =. π , (C ) : x 2 + y 2 − 2y − 1 = 0 2. d) x − y − 1 = 0, x + y + 1 = 0, x − y + 3 = 0, x + y − 3 = 0 HT 94. Cho hai đường thẳng d1 : x − 3y + 4 = 0, d2 : 3x + y + 2 = 0 . a) Viết phương trình hai đường tròn (C1), (C2) qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với d1, d2. Xác định tâm và bán kính của 2 đường tròn đó. Gọi (C1) là đường tròn có bán kính lớn hơn. b) Gọi A và B là tiếp điểm của (C1) với d1 và d2. Tính toạ độ của A và B. Tính góc AOB . c) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C1) tạo ra 1 dây cung nhận điểm E(4; –2) làm trung điểm. d) Trên đường thẳng d3 : 3x + y − 18 = 0 , tìm những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến của (C1) vuông góc với nhau. HD: a) (C 1 ) : x 2 + y 2 − 6x + 2y = 0, (C 2 ) : 5x 2 + 5y 2 + 2x − 6y = 0 b) A(2; 2), B(0; –2), AOB = 1350 c) ∆: x − y − 6 = 0. d) (5; 3), (7; –3). HT 95. Cho đường tròn (C) đi qua điểm A(1; –1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2 = 0 tại điểm B có yB = 2 . a) Viết phương trình đường tròn (C). b) Một đường thẳng d đi qua M(4; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (C). HD: a) x 2 + y 2 − 2x − 4y − 4 = 0 b) k <. 5 5 5 : 2 điểm chung, k = : 1 điểm chung, k > : không điểm chung 12 12 12. HT 96. Cho elip (E): 4x 2 + 9y 2 − 36 = 0 . a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E). b) Tính diện tích hình vuông có các đỉnh là giao điểm của (E) với 2 đường phân giác các góc toạ độ. HD: b) S =. 144 . 13. HT 97. Cho elip (E): 16x 2 + 25y 2 − 400 = 0 . a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 28.

(218) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  16  b) Viết phương trình các đường phân giác của góc F1MF2 với M 3; −  và F1, F2 là các tiêu điểm của (E).  3 HD: b) 3x − 5y − 25 = 0, 5x + 3y −. 27 =0 5. HT 98. Cho elip (E): x 2 + 4y 2 − 20 = 0 và điểm A(0; 5). a) Biện luận số giao điểm của (E) với đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k. b) Khi d cắt (E) tại M, N, tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN..  k < − 1  4 : 2 giao điểm, HD: a)  1  k >  4. −. 1 1 1 < k < : không giao điểm, k = ± : 1 giao điểm 4 4 4. b) x 2 + 4y 2 = 100 HT 99. Cho họ đường cong (Cm): x 2 + y 2 − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 (*). a) Tìm các giá trị của m để (Cm) là đường tròn. b) Tìm phương trình tập hợp (E) các điểm M trong mặt phẳng Oxy sao cho ứng với mỗi điểm M ta có duy nhất 1 đường tròn thuộc họ (Cm) đi qua điểm M đó.. x2 + y 2 = 1 (Đưa PT (*) về PT với ẩn m. Tìm điều kiện 2 để PT có nghiệm m duy nhất).. HD: a) –1 ≤ m ≤ 1. b) (E):. x 2 y2 + =1. 16 9 a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có 2 đỉnh là 2 tiêu điểm của (E) và 2 tiêu điểm là 2 đỉnh của (E).. HT 100. Cho elip (E):. b) Tìm điểm M trên (H) sao cho 2 bán kính qua tiêu điểm của M vuông góc với nhau. c) Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm N bất kì trên (H) đến hai đường tiệm cận của (H) bằng một hằng số. HD: a).  5 7 x 2 y2 9   − = 1 b) 4 điểm M ± ; ±   7 9 4 4. c). 63 . 16. HT 101. Cho hypebol (H): x 2 − 4y 2 − 4 = 0 . a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (H). b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 4) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (H). HT 102. Cho các điểm A1(−2; 0), A2 (2; 0) và điểm M(x; y). Gọi M′ là điểm đối xứng của M qua trục tung. a) Tìm toạ độ của điểm M′ theo x, y . Tìm phương trình tập hợp (H) các điểm M thoả MA2 .M ′A2 = 0 . Chứng tỏ (H) là một hypebol. Xác định toạ độ các tiêu điểm và phương trình các đường tiệm cận của (H). b) Viết phương trình của elip (E) có 2 đỉnh trên trục lớn của (E) trùng với 2 đỉnh của (H) và (E) đi qua điểm  2 2 2    . B  ;  3 3  c) Tìm toạ độ giao điểm của (H) với 2 đường chuẩn của (E).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 29.

(219) GV.Lưu Huy Thưởng. HD: a) x 2 − y 2 = 4 b) (E): x 2 + 4y 2 = 4. 0968.393.899.  4 3 2 3   c) 4 điểm ± ;±   3 3 . HT 103. Cho hypebol (H): 4x 2 − 5y 2 − 20 = 0 . a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận của (H). b) Gọi (C) là đường tròn có tâm trùng với tiêu điểm F1 (có hoành độ âm) của (H) và bán kính R bằng độ dài trục thực của (H). M là tâm đường tròn đi qua tiêu điểm F2 và tiếp xúc ngoài với (C). Chứng minh rằng M ở trên (H). HD: b) (C): (x + 3)2 + y 2 = 20 . Kiểm chứng MF1 − MF2 = 2 5 = 2a ⇒ M ∈ (H). HT 104. Cho hypebol (H):. x2 − y2 = 1 . 3.  5 a) Viết phương trình của elip (E) có cùng tiêu điểm với (H) và đi qua điểm P 2;  .  3 b) Đường thẳng d đi qua đỉnh A2 của (E) (có hoành độ dương) và song song với đường thẳng ∆: 2x − 3y + 12 = 0 . Viết phương trình của d. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A2) của d với (E). Xác định điểm C ∈ (E) sao cho tam giác A2BC có diện tích lớn nhất. HD: a).  1 20   5 x 2 y2 + = 1 b) d: 2x − 3y − 6 = 0 , B − ; −  , C −2;     9 5 3 9 3. HT 105.Cho hypebol (H):. x2. −. y2. a 2 b2 kẻ MP ⊥ Ox. Chứng minh:. = 1 . Gọi F1, F2 là 2 tiêu điểm và A1, A2 là 2 đỉnh của (H). Trên (H), lấy điểm M tuỳ ý,. a) (MF1 + MF2 )2 = 4(OM 2 + b 2 ). b). PM 2 A1P .A2P. =. b2 a2. .. HD: a) Viết (MF1 + MF2 )2 = (MF1 − MF2 )2 + 4MF1.MF2 . b) Tính PM 2 , A1P .A2P theo toạ độ điểm M. HT 106. Cho parabol (P): y 2 = 4x . a) Tìm toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn ∆ của (P). b) Tìm điểm M trên (P) mà khoảng cách từ M đến F bằng 5. HD: b) N(4; 4); N(4; –4).  2  t HT 107. Cho parabol (P): y 2 = 2x có tiêu điểm F và điểm M  ; t  (với t ≠ 0). 2  a) Chứng tỏ rằng M nằm trên (P). b) Đường thẳng FM cắt (P) tại N (khác M). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo t. c) Tìm tập hợp (P′) các điểm I khi t thay đổi..  4  t + 1 t 2 − 1 HD: b) I  ;   4t 2 2t . 1 c) (P′): y 2 = x − 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 30.

(220) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP I. Các bài toán liên quan đến tam giác – góc – khoảng cách. HT 1. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x − 2y + 6 = 0 ;. . Viết phương trình cạnh thứ . ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ. Đ/s: AC : y + 7 = 0 HT 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0 và d2 : x + 2y − 7 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG. Đ/s: (x − 5)2 + (y − 1)2 +. 81 25. HT 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x + 2y − 7 = 0 và d2 : 5x + y − 8 = 0 và điểm G( 2;1) . Tìm tọa độ điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm biết A là giao điểm của d1 và d2 Đ/s: A(1; 3) ; B(3; 2) và C(2; -2) HT 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với AB = 5 , đỉnh C (- 1;- 1) đường thẳng AB có phương trình x + 2y − 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y − 2 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác.     1 3 1 3 Đ/s: A 4, −  , B 6; −  hoặc A 4, −  , B 6; −     2 2 2 2      HT 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình x + 2y − 2 = 0 . Đường cao kẻ từ B có phương trình x − y + 4 = 0 , điểm M (−1; 0) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh. C . Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC .  −4 7   −13 19  ;  A  ;  Đ/s: B (−2;2) C   5 5   10 10  HT 6. Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A (2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x − 3y − 7 = 0 . Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ∆ABC . Đ/s: S = 16 ( đvdt) HT 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (2;2), N(1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và trực tâm H(-1;6). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 11 1 3 9 7 5 Đ/s: C (3;2) ; A (1;2) ; B (-1;0) hoặc C ( ; − ); A(− ; ); B(− ; ) 2 2 2 2 2 2. HT 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(−12;1) , đường phân giác trong góc A có phương trình:. 1 2  x + 2y − 5 = 0 . Trọng tâm tam giác ABC là G  ;  .Viết phương trình đường thẳng BC . Đ/s: BC : x − 8y + 20 = 0  3 3  HT 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (4; - 2), phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là x − y + 2 = 0 ; 3x + 4y − 2 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C.  1 9  7 1 Đ/s: B − ;  ;C − ;   4 4   4 4  HT 10. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B (2; -1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A ,. C lần lượt là: d1 : 3x − 4y + 27 = 0 và d2 : x + 2y − 5 = 0 Đ/s: BC : 4x + 3y + 5 = 0 ; AC : y − 3 = 0 ; AB 4x + 7y − 1 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 31.

(221) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC, phân giác trong AD có phương trình x + y − 2 = 0 , đường cao CH có phương trình x − 2y + 5 = 0 . Điểm M (3; 0) thuộc đoạn AC thoả mãn AB = 2AM . Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC . Đ/s: A (1;1) . B (3; −3) C (−1;2) HT 12. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua M (2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 .. (. ) (. ). (. ) (. ). Đ/s: d1 : x + 2y − 4 = 0 . d2 : 1 − 2x + 2 1 + 2 y − 4 = 0 d3 : 1 + 2x + 2 1 − 2 y + 4 = 0 HT 13. Trong mp toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng: d1 : x − 7y + 17 = 0 ; d2 : x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (0;1) tạo với d1 ; d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1 và d2 Đ/s: x + 3y − 3 = 0 và . 3x − y + 1 = 0 . HT 14. Cho A (1 ; 4) và hai đường thẳng d1 x + y − 3 = 0 ; d2 : x + y − 9 = 0 . Tìm điểm B trên d1 , điểm C trên d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . Đ/s: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoặc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7). HT 15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x + y − 5 = 0 , d1: x + 1 = 0 , d2: y + 2 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC = 5 2 .. A(3;2), B(−1;5), C (0; −2) Đ/s:  . A(3;2), B(−1; −1), C (6; −2) HT 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác trong của góc A : x + 2y − 5 = 0 , đường cao kẻ từ A : 4x + 13y − 10 = 0 , điểm C(4;3) . Tìn toạ độ điểm B. Đ/s: ……………………………….. HT 17. Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;1) và đường thẳng d : 2x + 3y + 4 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua A tạo với đường thẳng d một góc 450. Đ/s: 5x + y − 11 = 0 hoặc −x + 5y − 3 = 0 . HT 18. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng: 2x − 5y + 1 = 0 , cạnh bên AB nằm trên đường thẳng:. 12x − y − 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1) Đ/s: 8x + 9y − 33 = 0 Câu hỏi tương tự: BC : x − 3y − 2 = 0 , AB : 2x − y + 6 = 0 Viết AC biết qua M (3;2) Đ/s: x + 2y − 7 = 0 HT 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích S ∆ABC = 96 ; M (2; 0) là trung điểm của AB , đường phân giác trong góc A có phương trình (d ) : x − y − 10 = 0 , đường thẳng AB tạo với (d ) một góc ϕ thoả 3 . Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC . 5 A(3; −7), B(1; 7), C (17; −9) Đ/s:  A(9; −1), B(−5;1),C (11; −15). mãn cos ϕ =. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 32.

(222) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích là S =. 3 , đỉnh A (2;-3), đỉnh B(3;-2), 2. trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng d : 3x − y − 8 = 0 . Tìm toạ độ đỉnh C. Đ/s: C (−2; − 10) , C (1; − 1) HT 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆: x − y − 4 = 0 . Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 11 3   3 11 3   3 5 5 Đ/s: B  ; , C  ; −  hoặc là C  ; , B  ; −  .    2 2   2   2 2   2 2  2 HT 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Lập phương trình đường thẳng đi qua A (8 ;6) và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12. Đ/s:. x y x y − = 1, − + = 1 4 6 8 3. HT 23. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Biết A (1;0) , B (0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x . Tìm toạ độ đỉnh C . 5 8 Đ/s: C(-1;0) hoặc C  ;   3 3  HT 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Đ/s: B(0; 0); C(0; 5). HT 25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy . Cho các điểm A (1; 0), B (2; 1) và đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0 . Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất..  8 17  Đ/s: M − ;   11 11 . II. Các bài toán liên quan đến đường tròn HT 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), 1  B  ; 0, C (2; 0) . 4  2 2   1  1  1   Đ/s: x −  + y −  =     2 2 4 . HT 27. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) x 2 + y 2 − 6x + 5 = 0 . Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600. Đ/s: M 1(0; 7 ) và M 2(0;- 7 ) HT 28. Trong. mặt. phẳng. với. hệ. tọa. độ. Oxy ,. cho. đường. thẳng. d : x − 5y − 2 = 0 và. đường. tròn. (L) : x 2 + y 2 + 2x − 4y − 8 = 0 . Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng d và đường tròn (L) (cho biết. điểm A có hoành độ dương). Tìm toạ độ điểm C thuộc đường tròn (L) sao cho tam giác ABC vuông ở B. Đ/s: A(2 ; 0); B(−3 ; − 1) C (−4; 4). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 33.

(223) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2x − 8y − 8 = 0 . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x + y − 2 = 0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. Đ/s: 3x + y + 4 10 − 1 = 0 hoặc 3x + y − 4 10 − 1 = 0 HT 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 13 và (C ') : (x − 6)2 + y 2 = 25 . Gọi A là một giao điểm của (C ) và (C ') với yA > 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C ),(C ') theo hai dây cung có độ dài bằng nhau (hai dây cung này khác nhau).. Đ/s: −x + 3y − 7 = 0 HT 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 = 1 . Tìm các giá trị thực của m sao cho trên. x − y + m = 0 có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai. đường thẳng. tiếp tuyến này bằng 900 Đ/s: m = ±2 . HT 32. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): 3x − 4y + 5 = 0 và đường tròn (C). x 2 + y 2 + 2x − 6y + 9 = 0 .Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. Đ/s: M ≡ M1, N ≡ N 0 HT 33. Trong 2. mặt. phẳng. với. hệ. tọa. độ. Oxy. cho. các. đường. tròn. 2. (C 1 ) : (x − 1) + y 2 =. 1 2. và. 2. (C 2 ) : (x − 2) + (y − 2) = 4 . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C 1 ) và cắt đường tròn (C 2 ). tại hai điểm M, N sao cho MN = 2 2 MN : x + y − 2 = 0 , MN : x + 7y − 6 = 0 Đ/s: MN : x − y − 2 = 0 , MN : 7x − y − 2 = 0 HT 34. Cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 − 2y − 3 = 0; (C 2 ) : x 2 + y 2 − 8x − 8y + 28 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) Đ/s: x − 2 = 0 ; 3x − 4y + 14 = 0 ; 3x − 4y − 6 = 0 ; 7x + 24y − 14 = 0 HT 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0 . Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (C’) có bán kính R ' = 2 , biết (C’) tiếp xúc ngoài với đường tròn (C ) tại A.. (. Đ/s: x − 3. 2. ). 2. + (y − 3) = 4 .. HT 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( C) có phương trình: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và điểm K( 3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) tâm K cắt đường tròn (C ) Tại hai điểm A,B Sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất với I là tâm của đường tròn (C ) Đ/s: (T1 ) : (x − y )2 + (y − 4)2 = 4 hoặc (T2 ) : (x − 3)2 + (y − 4)2 = 20 III.. Các bài toán liên quan đến tứ giác. HT 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng: d1 : x − y − 3 = 0 , d2 : x + y − 6 = 0 . Trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 và tia Ox . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Đ/s: A(2 ; 1) ⇒ D (4; −1) ⇒ C (7;2) & B (5; 4). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 34.

(224) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 38. Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) và diện tích hình chữ nhật là 16. Đ/s: AB : −x + y − 1 = 0 hoặc AB : −x + 3y − 11 = 0. 9 3 HT 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I  ;  và trung điểm của  2 2  cạnh AD là M(3;0). Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD. Đ/s: A (2;1) , D (4; −1) C (7;2), B (5; 4) HT 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 2y − 1 = 0 , đường chéo. BD : x − 7y + 14 = 0 và các đường chéo AC qua điểm M (2;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Đ/s: B(7; 3) D(0;2), A(1; 0),C (6; 5) HT 41. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD .Biết rằng AB = 2BC , A ,.  4  B thuộc đường thẳng đi qua M − ;1 , B , C thuộc đường thẳng đi qua N (0; 3) , A , D thuộc đường thẳng đi qua  3   1 P 4; −  , C , D thuộc đường thẳng đi qua Q(6;2) .  3  Đ/s:. AB : y = −3 / 17(x + 4 / 3) + 1, DC : y = −3 / 17(x − 6) + 2, BC : x − 3 / 17y + 9 / 17 = 0, AD : x − 3 / 17y − 4 − 3 / 17 = 0. HT 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình. 7x − y + 8 = 0 . Viết phương trình các cạnh của hình vuông. Đ/s: AB : 3x − 4y + 32 = 0; AD : 4x + 3y + 1 = 0 BC : 4x + 3y − 24 = 0;CD : 3x − 4y + 7 = 0 HT 43. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4; 5), đường chéo BD có phương trình:. y − 3 = 0 . Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại của hình vuông đó. Đ/s: A(4;5), B(6;3), C(4;1), D(2;3) hoặc A(4;5), B(2;3), C(4;1), D(6;3). HT 44. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường thẳng DM:. x − y − 2 = 0 và C (3; −3) .Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : 3x + y − 2 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh A,B,D. Đ/s: A (−1; 5) , B (−3; −1) , D (5; 3).  1 HT 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I (2;1) và AC = 2BD. Điểm M 0;  thuộc  3  đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. Đ/s: B( 1; -1) HT 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AB : x + 3y + 1 = 0 Đường thẳng chứa đường chéo BD có phương trình: x − y + 5 = 0 . Đường thẳng AD đi qua điểm M (1;2) . Tìm tọa độ tâm của hình thoi ABCD. Đ/s: I (−2; 3). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 35.

(225) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 18, đáy lớn CD nằm trên đường thẳng có phương trình: x − y + 2 = 0. Biết hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại điểm I (3;1). Viết phương trình đường thẳng BC , biết C có hoành độ âm. Đ/s: BC : x + 2y − 1 = 0 HT 48. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.. 5 8 8 2 Đ/s: C  ; , D  ;  hoặc C (−1; 0), D (0; −2)  3 3   3 3  IV. Tổng hợp HT 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − 5y − 2 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2x − 4y − 8 = 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A , B của đường tròn (C ) và đường thẳng d (cho biết điểm A. có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C ) sao cho tam giác ABC vuông ở B . Đ/s: C (-4;4). HT 50. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) x 2 + y 2 + 4x − 6y + 9 = 0 và điểm M (1; −8) Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C ) tại hai điểm A , B phân biệt mà diện tích tam giác ABI đạt giá trị lớn nhất.Với I là tâm của đường tròn (C ) . Đ/s: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0 HT 51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng. d : 3x − 4y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp điểm) sao cho tam giác PAB là tam giác đều. Đ/s: m = 19, m = −41 HT 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M (−1;2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I (2; −1) . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình: 2x + y + 1 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C .. 14 47  Đ/s: C  ;   15 15  HT 53. Cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10 . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua M(-3; -2) và xA > 0. Đ/s: a A(6;1);C (−2; 5) HT 54. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(−1; −3) , trọng tâm G (4; −2) , trung trực của AB là (d ) : 3x + 2y − 4 = 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 148 46 8 Đ/s: x 2 + y 2 − x+ y+ =0 21 7 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 36.

(226) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ HT 55. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1) đường cao AH : 2x − y + 1 = 0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x + 2y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC bằng 6. Đ/s: A(1; 3), B(3; −1),C (−1;1) hoặc A(1; 3), B(−1;1),C (3; −1) HT 56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng AB : 7x + 6y − 24 = 0, BC : x − 2y − 2 = 0. Viết phương trình đường cao từ B của tam giác ABC. Đ/s: 4x − 18y − 3 = 0. HT 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác biết tọa độ chân các đường cao hạ từ A, B, C tương ứng là M (−1; −2), N (2;2), P (−1;2) . Đ/s: 2x + y − 6 = 0 HT 58. Trong hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD(AB CD, AB < CD ) . Biết A(0;2) D(−2; −2) , và giao điểm O của AC và BD nằm trên đường thẳng có phương trình: x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình thang khi góc AOD = 450 . Đ/s: B(2 + 2,2 + 2);C (2 + 4 2;2 + 4 2) hoặc B(4 + 3 2, 2 + 2);C (4 + 4 2; −2 2) HT 59. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD cố định biết A(2;1), I (3;2) (I là giao điểm của hai đường AC và BD). Một đường thẳng d đi qua C cắt các tia AB, AD lần lượt tại M và N. Viết phương trình đường thẳng d sao cho độ dài MN là nhỏ nhất. Đ/s: x + y − 7 = 0 HT 60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên CD sao cho 11 1  CN = 2ND . Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có phương trình: 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A. Đ/s: A(1; −1)  2 2  hoặc A(4; 5) HT 61. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn: OM .ON = 8 Đ/s: N (0; −2). 6 2 hoặc N  ;   5 5  1  HT 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc  2  với cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Cho D(3;1), đường thẳng EF : y − 3 = 0. Tìm tọa độ A biết A có tung độ.  13  dương. Đ/s: A 3;   3  HT 63. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0; d2 : 3x − y = 0. Gọi (C ) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình đường tròn (C ), biết tam giác ABC có diện tích bằng. 3 và điểm A có hoành độ dương. 2. 2   2 1  y + 3  = 1 Đ/s: (C ) : x + +     2   2 3 . HT 64. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy ; cho tam giác ABC có trung điểm của cạnh BC là điểm M (3; −1) , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua điểm E (−1; −3) và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm F (1; 3) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D (4; −2) . Đ/s: A (2;2) B (1; −1) C (5; −1) HT 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BAC = 900 biết B(−5; 0),C (7; 0) , bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 13 − 6 .Xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC biết I có tung độ dương. Đ/s:. (. I (1 + 2 5;2 13 − 6); I 2 1 − 2 5;2 13 − 6. ). HT 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 3x − y = 0 , đường thẳng BD có phương trình x − 2y = 0 , góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 37.

(227) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương. Đ/s:. 2x + y − 4 10 = 0 HT 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác trong lA : x + y − 3 = 0, đường trung tuyến. mB : x − y + 1 = 0, đường cao hC : 2x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.  12 39   32 49   8 1 Đ/s: A  ; , B  ;  ;C − ; −  17 17   17 17   17 17  HT 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (6; 6) và ngoại tiếp đường tròn tâm. K (4; 5), biết rằng A(2; 3). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Đ/s: BC : 3x + 4y − 42 = 0; AB : x = 2; AC : y = 3 HT 69. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; −3), trực tâm H (1; −1) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −2). Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác ABC. Đ/s: B(1;1);C (5; −3) hoặc B(5; −3);C (1;1) HT 70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao BH : x + 2y − 3 = 0, trung tuyến AM : 3x + 3y − 8 = 0. Cạnh BC đi qua N (3; −2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng x − y + 2 = 0.  31 17   29 10   1 3  Đ/s: A  ;  ; B  ; −  ;C  ; −  18 18   3 3   2 2  HT 71. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(2; 6) và C thuộc đường thẳng d : x − 3y + 1 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C sao cho phân giác xuất phát từ đỉnh A song song với đường thẳng d . Đ/s: C (2;1) HT 72. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : 2x − y − 1 = 0, d2 : 2x + y − 3 = 0 . Gọi I là giao điểm của d1, d2 ; A là điểm thuộc d1, A có hoành độ dương khác 1 (0 < x A ≠ 1) . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt d2 tại B sao cho diện tích tam giác ∆IAB bằng 6 và IB = 3IA.. Đ/s: x + y − 5 = 0; 4x + y − 11 = 0 HT 73. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H (1; 0), chân. đường cao hạ từ đỉnh B là K (0;2), trung điểm cạnh AB là M (3;1). Đ/s: AC : x − 2y + 4 = 0, AB : 3x − y − 8 = 0; BC : 3x + 4y + 2 = 0 4 HT 74. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C 1 ) : (x + 2)2 + (y − 1)2 = có tâm O1 , đường tròn (C 2 ) 3 có bán kính bằng 2 tâm O2 nằm trên đường thẳng d : x + y − 2 = 0 và cắt (C 1 ) tại hai điểm A, B sao cho tứ giác. O1AO2B có diện tích bằng. 4 3 . Viết phương trình đường tròn (C 2 ) . 3. 2 2 2 2     1 15  15 5  1 15  15 5      Đ/s: x + − −  = 4 hoặc x + + −  = 4  + y +  + y − 2 6  6 2  2 6  6 2     . HT 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 25 và đường tròn (T ) : x 2 + (y − 8)2 = 9. Một đường thẳng d cắt (C) tại A, B; cắt (T) tại C, D thỏa mãn: AB = BC = CD. 16 Đ/s: ± 11x + y − 16 = 0; ±x + 3y − =0 3 2. HT 76. Viết phương trình đường thẳng d.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : (x − 4) + y 2 = 4 và điểm E (4;1) .Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn. (C ) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua E . Đ/s: M (0; 4) HT 77. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh BD là x − y = 0. Đường thẳng AB đi qua điểm P (1; 3), đường thẳng CD đi qua điểm Q(−2; −2 3). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết độ dài AB = AC và điểm B có hoành độ lớn hơn 1.. Đ/s: A(− 3 − 1; 3 − 1), B(2;2);C ( 3 − 1; − 3 − 1); D(−4; −4). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 38.

(228) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 78. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(1;2) , B thuộc d1 : x + 2y − 1 = 0, C thuộc. d2 : x + 2y + 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.  27 11  6 33   16 12  Đ/s: B  ; −  ;C  ; −  ; D − ; −   5 5   5 5   5 5  HT 79. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 3), đường phân giác trong góc A có phương trình x − y + 1 = 0 và tâm đường tròn ngoại tiếp I (6; 6). Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác IBC. Đ/s: BC : 3x + 4y − 54 = 0 hoặc 3x + 4y − 36 = 0 2. 2. HT 80. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : (x − 1) + (y − 3) = 5 và hai điểm A(2;1); B(0; 5) . Từ điểm M thuộc đường thẳng d : x + 2y + 1 = 0 kẻ hai tiếp tuyến đến (C ) . Gọi E , F là hai điểm tương ứng. Tìm tọa độ. E, F biết ABEF là hình thang.    3 5 + 2 3   3 5 − 2 3   Đ/s: E  ; ;  ;C −  2   2 2   2 HT 81. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A , phương trình đường thẳng BC là : 3x − y − 3 = 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ..    6 + 2 3   4 + 4 3 6 + 2 3   −1 − 4 3 Đ/s: G1 =  ; ;−  và G2 =       3 3 3 3 HT 82. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : (x + 6)2 + (y − 6)2 = 50. Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C ) tại điểm M cắt 2 trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. Đ/s: x − y + 2 = 0; x − y + 22 = 0; x − 5y + 10 = 0;7x + 13y + 182 = 0 HT 83. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y + 1 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho qua M ta kẻ được các tiếp tuyến MA, MB. 1  đến đường tròn (C ),(A, B là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ điểm N  ;1 đến đường thẳng AB là lớn  2  nhất.Đ/s: M (−3; −2) HT 84. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, D có đáy lớn CD, cạnh AD : 3x − y = 0,. BC : x − 2y = 0. Biết góc tạo bởi giữa BC và AB bằng 450 , diện tích hình thang ABCD bằng 24. Tìm tọa độ đỉnh B của hình thang biết B có tung độ dương.  4 10 2 10    Đ/s: B  ;  5 5  HT 85. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 6) chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là.  3 D 2; −  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là  2 .  1  I − ;1 . Tìm tọa độ đỉnh B, C của tam giác. Đ/s:  2 . B(5; 0);C (−3; −4) hoặc B(−3; −4);C (5; 0) HT 86. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 3 7(x − 1) . Biết chu vi của ∆ABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Đ/s: B(1; 0) , C (3; 0), A (2; 3 7 ) .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 39.

(229) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM 2009 – 2012 HT 87. A2009 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng. △: x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Đ/s: AB : y − 5 = 0 hoặc AB : x − 4y + 19 = 0 HT 88. A2009 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng △: x + my − 2m + 3, với m là tham số thực. Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để △ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Đ/s: m = 0 hoặc m =. 8 15. HT 89. B2009 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : (x − 2)2 + y 2 =. 4 và hai đường thẳng 5. △1: x − y = 0,△2 : x − 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C1 ); biết đường tròn (C 1 ) tiếp xúc với các đường thẳng △1;△2 và tâm K thuộc đường tròn (C).. 8 4 2 2 Đ/s: K  ;  và R =  5 5  5 HT 90. B2009 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng △: x − y − 4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.. 11 3   3 5   3 5  11 3  Đ/s: B  ;  ;C  ; −  hoặc B  ; −  ;C  ;   2 2   2 2   2 2   2 2  HT 91. D2009 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. Đ/s: AC : 3x − 4y + 5 = 0 HT 92. D2009 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + y 2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO = 300 3 3   Đ/s: M  ; ±   2 2  HT 93. A2010 – CB Cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0 và d2 : 3x − y = 0. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng. 3 và điểm A có hoành độ dương. 2. 2 2   1  3    Đ/s: (T ) : x +  + y +  = 1 2   2 3 . HT 94. A2010 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. Đ/s: B(0; −4);C (−4; 0) hoặc B(−6;2);C (2; −6) HT 95. B2010 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4;1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Đ/s: BC : 3x − 4y + 16 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 40.

(230) GV.Lưu Huy Thưởng. (. ). HT 96. B2010 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 2; 3 và elip (E ) :. 0968.393.899 x 2 y2 + = 1. Gọi F1 và F2 là 3 2. các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 . 2  2 3  4  Đ/s: (T ) : (x − 1) + y −  =  3  3 2. HT 97. D2010 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm H (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I (−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương.. (. Đ/s: C −2 + 65; 3. ). HT 98. D2010 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) và △ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên △. Viết phương trình đường thẳng △ biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. Đ/s:. (. ). 5 −1 x −2. 5 − 2y = 0 hoặc. (. ). 5 −1 x + 2. 5 − 2y = 0. HT 99. A2011 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng △: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4x − 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc △ . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.  6 4 12  Đ/s: M (0;1; 3) hoặc M − ; ;   7 7 7 . x 2 y2 + = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc 4 1 (E) có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.   2   2  2   2    Đ/s: A  2;  ; B  2; −  hoặc A  2; −  ; B  2;    2   2  2   2  HT 100. A2011 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E ) :. HT 101. B2011 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng △: x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng △ tại điểm M thỏa mãn: OM .ON = 8. 6 2 Đ/s: N (0; −2); N  ;   5 5 . 1  HT 102. B2011 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 . Đường tròn nội tiếp tam  2  giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho điểm D(3;1) và đường thẳng. EF : y − 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.  13  Đ/s: A 3;   3  HT 103. D2011 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4;1), trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C. Đ/s:. A(4; 3);C (3; −1) HT 104. D2011 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2x + 4y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng △ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A. Đ/s: y = 1; y = −3 HT 105.. AA12012 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N. 11 1  là điểm trên CD sao cho CN = 2ND . Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ  2 2  điểm A.Đ/s: A(1; −1) hoặc A(4; 5). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 41.

(231) GV.Lưu Huy Thưởng HT 106.. 0968.393.899. AA12012 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 8. Viết phương trình. chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình x 2 y2 + =1 16 16 3. vuông. Đ/s:. HT 107.. B2012 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 = 4,. (C 2 ) : x 2 + y 2 − 12x + 18 = 0 và đường thẳng d : x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C 2 ), tiếp xúc với d và cắt (C 1 ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. Đ/s: (x − 3)2 + (y − 3)2 = 8 HT 108.. B2012 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc. với các cạnh của hình thoi có phương trình x 2 + y 2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C,. x 2 y2 + =1 20 5 D2012 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần. D của hình thoi. Biết A thuộc Ox Đ/s: HT 109..  1  lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M − ;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của  3  hình chữ nhật ABCD. Đ/s: A(−3;1); B(1; −3);C (3; −1); D(−1; 3) HT 110.D2012 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2. Đ/s: (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 HT 111. A – 2013 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng. d : 2x + y + 5 = 0 và A(−4; 8) . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N (5; −4). Đ/s: C (−1; 7); B(−4; −7) HT 112. A – 2013 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4 2. Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy . Viết phương trình đường tròn (C). Đ/s: (x − 5)2 + (y − 3)2 = 10 HT 113. B – 2013 – CB Trong mặt phẳng với hệọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC . Đường thẳng BD có phương trình và tam giác ABD có trực tâm là H (−3;2). Tìm tọa độ các đỉnh C, D.Đ/s: C (−1; 6); D(4;1), D(−8; 7) HT 114. B – 2013 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là. 17 1  H  ; − , chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M (0;1). Tìm tọa độ đỉnh C.  5 5  Đ/s: C (9;11)  9 3 HT 115.D – 2013 – CB. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M − ;  là trung điểm của  2 2 . cạnh AB, điểm H (−2; 4) và điểm I (−1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.Đ/s: C (4;1);C (−1; 6) HT 116. D – 2013 – NC.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 4 và đường thẳng ∆ : y − 3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc ∆ , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P. Đ/s: P (−1; 3); P (3; 3) --------------------------------------------------HẾT---------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN. Page 42.

(232) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(233) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: MỞ ĐẦU I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa và các phép toán • Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. • Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. Ta có:. IA + IB = 0 ;. OA + OB = 2OI. + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:. GA + GB + GC = 0;. OA + OB + OC = 3OG. + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:. GA + GB + GC + GD = 0;. OA + OB + OC + OD = 4OG. + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a ≠ 0) ⇔ ∃ ! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:. MA = kMB;. OM =. OA − kOB 1−k. 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a ,b , c , trong đó a vaø b không cùng phương. Khi đó: a ,b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb • Cho ba vectơ a ,b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc 3. Tích vô hướng của hai vectơ • Góc giữa hai vectơ trong không gian: AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 ). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 1.

(234) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho u, v ≠ 0 . Khi đó:. u.v = u . v .cos(u, v ). + Với u = 0 hoặc v = 0 . Qui ước: u .v = 0 + u ⊥ v ⇔ u .v = 0 + u = u2. II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. Chú ý:. 2.. 2. 2. 2. i = j =k =1. và i.j = i.k = k .j = 0 .. Tọa độ của vectơ: u = (x ; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk. a) Định nghĩa:. b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a 3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k ∈ R • a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a 3 ± b3 ) • ka = (ka1; ka2 ; ka 3 ). a = b  1 1 • a =b ⇔  a2 = b2  a3 = b3  • 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) • a cùng phương b (b ≠ 0). ⇔ a = kb (k ∈ R). a = kb  1 1 ⇔ a2 = kb2  a 3 = kb3  • a .b = a1.b1 + a2 .b2 + a 3 .b3. • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a 3b3 = 0. • a 2 = a12 + a22 + a 32. • a = a12 + a22 + a22. • cos(a , b ) =. 3.. a a a ⇔ 1 = 2 = 3 , (b1, b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3. a .b a .b. a1b1 + a2b2 + a 3b3. = a12. + a22. + a32 .. b12. + b22. + b32. (với a , b ≠ 0 ). Tọa độ của điểm:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 2.

(235) GV.Lưu Huy Thưởng a) Định nghĩa: Chú ý:. M (x ; y; z ) ⇔ OM = (x ; y; z ). 0968.393.899. (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ). • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0. b) Tính chất: Cho A(x A ; yA ; z A ), B(x B ; yB ; z B ) • AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 + (z B − z A )2. • AB = (x B − x A ; yB − yA ; z B − z A ).  x − kx   B ; yA − kyB ; zA − kzB  • Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M  A   1−k 1−k 1−k   x + x y + y z + z   B ; A B ; A B • Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A    2 2 2 • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:. x + x + x y + y + y z + z + z B C ; A B C ; A B C G  A  3 3 3.   . • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:. x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z B C D ; A B C D ; A B C C G  A  4 4 4 4..   . Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a = (a1, a2 , a 3 ) , b = (b1, b2 , b3 ) ..   a , b  = a ∧ b =  a2 a 3 ; a 3 a1 ; a1 a2  = (a b − a b ; a b − a b ; a b − a b )  b b   2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 b3 b1 b1 b2  3  2 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: • i , j  = k ;.   j ,k  = i ;. • [a, b ] = a . b . sin (a , b ).   k , i  = j. • [a, b ] ⊥ a ;. [a, b ] ⊥ b. • a, b cùng phương ⇔ [a, b ] = 0. c) Ứng dụng của tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng ⇔ [a, b ].c = 0 • Diện tích hình bình hành ABCD:.   S▱ABCD = AB, AD . • Diện tích tam giác ABC:. S ∆ABC =. • Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′:. 1   AB, AC  2 . VABCD.A ' B ' C ' D ' = [AB, AD ].AA '. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 3.

(236) GV.Lưu Huy Thưởng. • Thể tích tứ diện ABCD:. VABCD =. 0968.393.899. 1 [AB, AC ].AD 6. Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.. a ⊥ b ⇔ a .b = 0 a vaø b cuøng phöông ⇔ a , b  = 0 a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b  .c = 0 5.. Phương trình mặt cầu: • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2. • Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c2 − d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(– a; –b; –c) và bán kính R =. a 2 + b 2 + c2 − d .. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 1.. Cho ba vectơ a , b , c . Tìm m, n để c = a , b  :. a) a = (3; −1; −2), b = (1;2; m ), c = (5;1; 7 ) HT 2.. b) a = (6; −2; m ), b = (5; n; −3), c = (6; 33;10). Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b , c trong mỗi trường hợp sau đây:. a) a = (1; −1;1), b = (0;1;2), c = (4;2; 3) c) a = (−3;1; −2), b = (1;1;1), c = (−2;2;1) HT 3.. b) a = (4; 3; 4), b = (2; −1; 2), c = (1;2;1) d) a = (4;2; 5), b = (3;1; 3), c = (2; 0;1). Tìm m để 3 vectơ a ,b , c đồng phẳng:. a) a = (1; m; 2), b = (m + 1;2;1), c = (0; m − 2;2) b) a = (2m + 1;1;2m − 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) HT 4.. Cho các vectơ a , b , c , u . Chứng minh ba vectơ a ,b , c không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ u theo các vectơ. a ,b , c :. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 4.

(237) GV.Lưu Huy Thưởng. a = (2;1; 0), b = (1; −1;2), c = (2;2; −1) a)   u = (3; 7; −7)  HT 5.. 0968.393.899. a = (1; −7; 9), b = (3; −6;1), c = (2;1; −7 ) b)   u = (−4;13; −6) . Chứng tỏ bốn vectơ a , b , c , d đồng phẳng:. a) a = (−2; −6;1), b = (4; −3; −2), c = (−4; −2;2), d = (−2; −11;1) b) a = (2; 6; −1), b = (2;1; −1), c = (−4; 3;2), d = (2;11; −1) HT 6.. Cho ba vectơ a ,b , c không đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh bộ ba vectơ sau không đồng phẳng:. a) b , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) HT 7.. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: • Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz. a) M (1;2; 3) HT 8.. b) a , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0). b) M (3; −1;2). c) M (−1;1; −3). d) M (1;2; −1). Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M′ đối xứng với điểm M: • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy. a) M (1;2; 3). b) M (3; −1;2). c) M (−1;1; −3). HT 9. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1;2),C (0; 0;1). d) M (1;2; −1). b) A(1;1;1), B(−4; 3;1),C (−9; 5;1). HT 10. Cho ba điểm A, B, C. • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. • Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC. • Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. a) A(1;2; −3), B(0; 3; 7),C (12; 5; 0). b) A(0;13;21), B(11; −23;17),C (1; 0;19). c) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2),C (1;2; −3). d) A(4;2; 3), B(−2;1; −1),C (3; 8; 7). HT 11. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm: a) A(3;1; 0) , B(−2; 4;1) b) A(1; −2;1), B(11; 0; 7). c) A(4;1; 4), B(0; 7; −4). HT 12. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: a) A(1;1;1), B(−1;1; 0),C (3;1; −1) b) A(−3;2; 4), B(0; 0; 7),C (−5; 3; 3) HT 13. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? • Tìm tọa độ điểm M. a) A (2; −1;7), B (4;5; −2). b) A(4; 3; −2), B(2; −1;1). c) A(10;9;12), B(−20; 3; 4). HT 14. Cho bốn điểm A, B, C, D. • Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. • Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. • Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. • Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. • Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 5.

(238) GV.Lưu Huy Thưởng. a) A(2; 5; −3), B(1; 0; 0), C (3; 0; −2), D(−3; −1;2) c) A (1;1; 0), B (0;2;1), C (1; 0;2), D (1;1;1). 0968.393.899. b) A (1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 0;1), D (−2;1; −1). d) A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0;6), D (2; 4;6). HT 15. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. • Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. • Tính thể tích khối hộp. a) A (1; 0;1), B (2;1;2), D (1; −1;1),C ' (4;5; −5) b) A(2; 5; −3), B (1; 0; 0), C (3; 0; −2), A '(−3; −1; 2) c) A(0;2;1), B(1; −1;1), D(0; 0; 0;), A '(−1;1; 0). d) A(0;2;2), B(0;1;2),C (−1;1;1),C '(1; −2; −1). HT 16. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB). b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. -----------------------------------------------------------------. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 6.

(239) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:. x + xB y + yB z + zB – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: x I = A ; yI = A ; zI = A . 2 2 2 – Bán kính R = IA =. AB . 2. Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4. Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J và bán kính R′ của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):. x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c2 − d > 0 thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =. a 2 + b2 + c2 − d .. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 17.. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: 2. a) x + y 2 + z 2 − 8x + 2y + 1 = 0. b) x 2 + y 2 + z 2 + 4x + 8y − 2z − 4 = 0. c) x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 4z = 0. d) x 2 + y 2 + z 2 − 6x + 4y − 2z − 86 = 0. HT 18.. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:. a) I (1; −3; 5),. R= 3. b) I (5; −3;7),. R=2. c) I (1; −3;2),. HT 19. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: b) I (0; 3; −2), A(0; 0; 0) a) I (2; 4; −1), A(5;2; 3). R=5. d) I (2; 4; −3),. R=3. c) I (3; −2;1), A(2;1; −3). HT 20. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4; −1), B(5;2; 3) b) A(0; 3; −2), B(2; 4; −1) c) A(3; −2;1), B(2;1; −3). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 7.

(240) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 21. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: b) A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0;6), D (2; 4;6) a) A (1;1; 0), B (0;2;1), C (1; 0;2), D (1;1;1) HT 22.. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với: A(1;2; 0), B(−1;1; 3),C (2; 0; −1) A(2; 0;1), B(1; 3;2),C (3;2; 0) a)  b)    (P ) ≡ (Oxz ) (P ) ≡ (Oxy )  . HT 23.. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với: I (−5;1;1)   I (−3;2;2) a)  b)   (T ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z + 5 = 0 (T ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 8z + 5 = 0   --------------------------------------------------------------------. BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. 1.. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng • Vectơ n ≠ 0 là VTPT của (α) nếu giá của n vuông góc với (α). Chú ý: • Nếu n là một VTPT của (α) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của (α).. 2.. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0. • Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì n = (A; B;C ) là một VTPT của (α). • Phương trình mặt phẳng đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có một VTPT n = (A; B;C ) là:. A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 3.. Các trường hợp riêng Phương trình mặt phẳng (α α). Các hệ số D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chú ý:. Tính chất mặt phẳng (α α) (α) đi qua gốc toạ độ O (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz (α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy) (α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz) (α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz). • Nếu trong phương trình của (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứatrục tương ứng. • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:. x y z + + =1 a b c. (α) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4.. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (β): A2x + B2y + C 2z + D2 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 8.

(241) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • (α), (β) cắt nhau ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C 2 • (α) // (β) ⇔. A1 A2. =. B1 B2. =. C1 C2. ≠. D1. • (α) ≡ (β) ⇔. D2. A1 A2. =. B1 B2. =. C1 C2. =. D1 D2. • (α) ⊥ (β) ⇔ A1A2 + B1B2 + C 1C 2 = 0 5.. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0. d (M 0 ,(α)) =. Ax 0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó. Dạng 1: (α) đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 có VTPT n = (A; B;C ) :. (. ). (α): A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 Dạng 2: (α) đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 có cặp VTCP a , b :. (. ). Khi đó một VTPT của (α) là n = a , b  . Dạng 3: (α) đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 và song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0:. (. ). (α): A (x − x 0 ) + B (y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 Dạng 4: (α) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:.   Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (α) là: n = AB, AC  Dạng 5: (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A và VTCP u ..   – Một VTPT của (α) là: n = AM , u  Dạng 6: (α) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d): VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của (α). Dạng 7: (α) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2. – Một VTPT của (α) là: n = a , b  . – Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α). Dạng 8: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 9.

(242) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. – Một VTPT của (α) là: n = a , b  . – Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (α). Dạng 9: (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2. – Một VTPT của (α) là: n = a , b  . Dạng 10: (α) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (β): – Xác định VTCP u của (d) và VTPT nβ của (β). – Một VTPT của (α) là: n = u, n β  .   – Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α). Dạng 11: (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ): – Xác định các VTPT nβ , n γ của (β) và (γ). – Một VTPT của (α) là: n = u β , n γ  .   Dạng 12: (α) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:. (. ). – Giả sử (α) có phương trình: Ax + By + C z+D = 0 A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 . – Lấy 2 điểm A, B ∈ (d) ⇒ A, B ∈ (α) (ta được hai phương trình (1), (2)). – Từ điều kiện khoảng cách d(M ,(α)) = k , ta được phương trình (3). – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). Dạng 13: (α) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R. – Một VTPT của (α) là: n = IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở. lớp 11.. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 24. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT cho trước: a) M (3;1;1), n = (−1;1;2) b) M (−2; 7; 0), n = (3; 0;1) c) M (4; −1; −2), n = (0;1; 3) HT 25. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với: a) A(2;1;1), B(2; −1; −1) b) A(1; −1; −4), B(2; 0;5) c) A(2; 3; −4), B(4; −1; 0) HT 26.. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP a , b cho trước, với:. a) M (1;2; −3), a = (2;1;2), b = (3; 2; −1) HT 27.. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (β ) cho trước, với:. a) M (2;1; 5), (β ) = (Oxy ) HT 28.. b) M (1; −2; 3), a = 3; −1; −2), b = (0; 3; 4). b) M (1; −2;1), (β ) : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ, với:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 10.

(243) GV.Lưu Huy Thưởng a) M (2;1;5). b) M (1; −2;1). c) M (−1;1; 0). 0968.393.899 d) M (3;6; −5). HT 29. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: b) A(0; 0; 0), B(−2; −1; 3), C (4; −2;1) a) A(1; −2; 4), B(3;2; −1), C (−2;1; −3) HT 30. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B, C cho trước, với: a) A(1; −2; 4), B(3;2; −1), C (−2;1; −3) b) A(0; 0; 0), B(−2; −1; 3), C (4; −2;1) HT 31.. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: A(3;1; −1), B(2; −1; 4) A(−2; −1; 3), B(4; −2;1) A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9) a)  b)  c)     (β ) : 2x − y + 3z − 1 = 0 (β ) : 2x + 3y − 2z + 5 = 0 (β ) : 3x + 4y − 8z − 5 = 0   . HT 32. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) cho trước, với: a) M (−1; −2; 5), (β ) : x + 2y − 3z + 1 = 0, ( γ ) : 2x − 3y + z + 1 = 0 b) M (1; 0; −2), (β ) : 2x + y − z − 2 = 0, (γ ) : x − y − z − 3 = 0 HT 33. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1;2; −3), (P ) : 2x − 3y + z − 5 = 0, (Q ) : 3x − 2y + 5z − 1 = 0 b) M (2;1; −1), (P ) : x − y + z − 4 = 0, (Q ) : 3x − y + z − 1 = 0 HT 34. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) (P ) : y + 2z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z − 3 = 0, (R) : x + y + z − 2 = 0 b) (P ) : x − 4y + 2z − 5 = 0, (Q ) : y + 4z − 5 = 0, (R) : 2x − y + 19 = 0 c) (P ) : 3x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4y − 5 = 0, (R) : 2x − z + 7 = 0 HT 35. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) (P ) : 2x + 3y − 4 = 0, (Q ) : 2y − 3z − 5 = 0, (R) : 2x + y − 3z − 2 = 0 b) (P ) : y + 2z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z + 3 = 0, (R) : x + y + z − 2 = 0 c) (P ) : x + 2y − z − 4 = 0, (Q ) : 2x + y + z + 5 = 0, (R) : x − 2y − 3z + 6 = 0 d) (P ) : 3x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4y − 5 = 0, (R) : 2x − z + 7 = 0 HT 36. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với: a) (P ): x − y − 2 = 0, (Q ) : 5x − 13y + 2z = 0, M (1;2; 3), k = 2. VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng HT 37. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 2x + 3y − 2z + 5 = 0 3x − 4y + 3z + 6 = 0 a)  b)    3x + 4y − 8z − 5 = 0 3x − 2y + 5z − 3 = 0  . 5x + 5y − 5z − 1 = 0 c)   3x + 3y − 3z + 7 = 0 . HT 38. Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: • song song 3x + my − 2z − 7 = 0 5x − 2y + mz − 11 = 0 b)  a)     nx + 7y − 6z + 4 = 0  3x + ny + z − 5 = 0  . • cắt nhau • trùng nhau 2x + my + 3z − 5 = 0 c)   nx − 6y − 6z + 2 = 0 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 11.

(244) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 39. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau 2x − 7y + mz + 2 = 0 (2m − 1)x − 3my + 2z + 3 = 0 b)  a)     3x + y − 2z + 15 = 0  mx + (m − 1)y + 4z − 5 = 0  . VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. • Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 d (M 0 ,(α)) =. Ax 0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0..  MH , n cuøng phöông • Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P) ⇔  H ∈ (P ) . • Điểm M′ đối xứng với điểm M qua (P) ⇔ MM ′ = 2MH BÀI TẬP HT 40. Cho mặt phẳng (P) và điểm M. • Tính khoảng cách từ M đến (P).. • Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P).. • Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P). a) (P ) : 2x − y + 2z − 6 = 0,. M (2; −3;5). b) (P ) : x + y + 5z − 14 = 0,. HT 41. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng: x − 2y + 3z + 1 = 0 6x − 2y + z + 1 = 0 a)  b)    2x − y + 3z + 5 = 0 6x − 2y + z − 3 = 0  . M (1; −4; −2). 2x − y + 4z + 5 = 0 c)   3x + 5y − z − 1 = 0 . HT 42. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phẳng (P): b) (P ) : x + y + 5z − 14 = 0, N (1; −4; −2) a) (P ) : 2x + 2y + z − 5 = 0, N (1;2; −2) c) (P ) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, N (3;1; −2). d) (P ) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, N (2; −3; 4). HT 43. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng: x + y − z + 1 = 0 x + 2y − 2z + 1 = 0 a)  b)    x − y + z − 5 = 0 2x + 2y + z − 5 = 0  . 2x − y + 4z + 5 = 0 c)   4x + 2y − z − 1 = 0 . HT 44. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q): a) A (1;2; –3), (Q ) : 2x − 4y − z + 4 = 0 . b) A (3; 1; –2), (Q ) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0 . HT 45. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A một khoảng k cho trước: b) (Q ) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0, A(2; −3; 4), k = 3 a) (Q ) : x + 2y − 2z + 5 = 0, A(2; −1; 4), k = 4 HT 46.. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 12.

(245) GV.Lưu Huy Thưởng. a) (Q ) : 3x − y + 2z − 3 = 0, k = 14. 0968.393.899. b) (Q ) : 4x + 3y − 2z + 5 = 0, k = 29. VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình:. (α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (β): A2x + B2y + C 2z + D2 = 0. Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n1, n2 . cos ((α),(β )) =. Chú ý:. n1.n2 n1 . n2. =. • 00 ≤ ((α),(β )) ≤ 900 .. A1A2 + B1B2 + C 1C 2 A12 + B12 + C 12 . A22 + B22 + C 22. • (α) ⊥ (β ) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C 2 = 0. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 47. Tính góc giữa hai mặt phẳng: x + y − z + 1 = 0 a)   x − y + z − 5 = 0 . x + 2y − 2z + 1 = 0 2x − y + 4z + 5 = 0 b)  c)    2x + 2y + z − 5 = 0 4x + 2y − z − 1 = 0  . 2x − y − 2z + 3 = 0  3x − 3y + 3z + 2 = 0  e)  f)    2y + 2z + 12 = 0 4x + 2y + 4z − 9 = 0  . 4x + 4y − 2z + 7 = 0 d)   2x + 4z − 5 = 0 . HT 48. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng α cho trước: (2m − 1)x − 3my + 2z + 3 = 0 mx + 2y + mz − 12 = 0   b)  a)  mx + (m − 1)y + 4z − 5 = 0 x + my + z + 7 = 0   0 α = 90 α = 450   -----------------------------------------------------------------. BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. 1.. Phương trình tham số của đường thẳng • Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và có VTCP a = (a1; a2 ; a 3 ) :. x = x + a t  o 1 (d ) : y = yo + a2t  z = zo + a 3t • Nếu a1a2a3 ≠ 0 thì (d ) : 2.. x − x0 a1. =. y − y0 a2. =. ( t ∈ R). z − z0 a3. được gọi là phương trình chính tắc của d.. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là:. x = x + ta  0 1 d : y = y0 + ta2  z = z 0 + ta 3 . và. x = x 0′ + t ′a1′  d ′ : y = y 0′ + t ′a2′  ′ ′ ′ z = z 0 + t a 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 13.

(246) GV.Lưu Huy Thưởng. • d // d′. 0968.393.899. a, a ′ cuøng phöông    x + ta1 = x0′ + t ′a1′ ⇔   0 heä y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (aån t, t ′) voâ nghieäm    z0 + ta3 = z0′ + t ′a3′    a, a ′ = 0 a, a ′ cuøng phöông a, a ′ cuøng phöông    ⇔  ⇔  ⇔   a, M M ′ khoâng cuøng phöông  M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ d ′  a, M M ′  ≠ 0 0 0  0 0   . • d ≡ d′.  x0 + ta1 = x0′ + t ′a1′  ⇔ heä y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (aån t, t ′) coù voâ soá nghieäm  ′ ′ ′ z0 + ta3 = z0 + t a3 a, a ′ cuøng phöông ⇔   M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d ′ . ⇔ a, a ′, M0 M0′ ñoâi moät cuøng phöông ⇔  a, a ′ =  a, M0 M0′  = 0. • d, d′ cắt nhau.  x + ta = x ′ + t ′a ′  0 1 0 1 ⇔ hệ  y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (ẩn t, t′) có đúng một nghiệm  z0 + ta3 = z0′ + t ′a3′ .  a, a ′ ≠ 0 a, a ′ khoâng cuøng phöông    ⇔  ⇔   a, a ′ .M M ′ = 0 a, a ′, M M ′ đồng phẳng 0 0 0 0  . • d, d′ chéo nhau. a, a ′ khoâng cuøng phöông    x + ta1 = x0′ + t ′a1′ ⇔   0 heä y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (aån t, t ′) voâ nghieäm    z0 + ta3 = z0′ + t ′a3′ . ⇔ a, a ′, M0 M0′ không đồng phẳng ⇔  a, a ′ .M0 M0′ ≠ 0 • d ⊥ d′ 3.. ⇔ a ⊥ a′. ⇔ a .a ′ = 0. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. x = x + ta  0 1 Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:  y = y 0 + ta2  z = z 0 + ta 3  Xét phương trình:. 4.. A(x 0 + ta1 ) + B(y 0 + ta2 ) + C (z 0 + ta3 ) + D = 0 (ẩn t). •. d // (α) ⇔ (*) vô nghiệm. •. d cắt (α) ⇔ (*) có đúng một nghiệm. •. d ⊂ (α) ⇔ (*) có vô số nghiệm. (*). Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 14.

(247) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x = x + ta  0 1 2 2 2 2 Cho đường thẳng d:  y = y 0 + ta2 (1) và mặt cầu (S): (x − a ) + (y − b) + (z − c) = R (2)  z = z 0 + ta 3  Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).. • d và (S) không có điểm chung ⇔ (*) vô nghiệm. ⇔ d(I, d) > R. • d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng một nghiệm. ⇔ d(I, d) = R. • d cắt (S) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ d(I, d) < R 5.. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M..   M 0M , a  d(M , d ) = a 6.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2. a , a  .M M  1 2  1 2 d(d1, d2 ) =    a1, a2  Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1. 7.. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α).. 8.. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1, a2 . Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .. cos (a1, a2 ) = 9.. a1.a2 a1 . a2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a 3 ) và mặt phẳng (α) có VTPT n = (A; B;C ) . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của nó trên (α). sin (d,(α)) =. Aa1 + Ba2 + Ca 3 A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a 32. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 15.

(248) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. Dạng 1: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và có VTCP a = (a1; a2 ; a 3 ) :. x = x + a t  o 1 (d ) : y = yo + a2t  z = zo + a 3t. ( t ∈ R). Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B: Một VTCP của d là AB . Dạng 3: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d // ∆ nên VTCP của ∆ cũng là VTCP của d. Dạng 4: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d ⊥ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d. Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):. • Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. (P ) – Tìm toạ độ một điểm A ∈ d: bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị cho một ẩn)  (Q )  – Tìm một VTCP của d: a = nP , nQ   . • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Dạng 6: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên một VTCP của d là: a = ad , ad   1 2 Dạng 7: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆.. • Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng ∆. H ∈ ∆  M H ⊥ u △  0 Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H.. • Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đó d = (P) ∩ (Q) Dạng 8: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:. • Cách 1: Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.. • Cách 2: Gọi (P) = (M 0 , d1 ) , (Q) = (M 0 , d2 ) . Khi đó d = (P) ∩ (Q). Do đó, một VTCP của d có thể chọn là a = nP , nQ  .   Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 16.

(249) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB. Dạng 10: d song song với ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và d1, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d2. Khi đó d = (P) ∩ (Q). Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:. MN ⊥ d 1 • Cách 1: Gọi M ∈ d1, N ∈ d2. Từ điều kiện  , ta tìm được M, N. MN ⊥ d2  Khi đó, d là đường thẳng MN.. • Cách 2: – Vì d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên một VTCP của d có thể là: a = ad , ad  .  1 2 – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, bằng cách: + Lấy một điểm A trên d1. + Một VTPT của (P) có thể là: nP = a , ad  . 1  – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2. Khi đó d = (P) ∩ (Q). Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P):. • Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách: – Lấy M ∈ ∆. – Vì (Q) chứa ∆ và vuông góc với (P) nên nQ = a∆, nP  . Khi đó d = (P) ∩ (Q). Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:. • Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm được N. Khi đó, d là đường thẳng MN.. • Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1. – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2. Khi đó d = (P) ∩ (Q).. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 49. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP a cho trước: a) M (1;2; −3), a = (−1; 3; 5) b) M (0; −2; 5), a = (0;1; 4) c) M (1; 3; −1), a = (1;2; −1) d) M (3; −1; −3), a = (1; −2; 0) HT 50.. e) M (3; −2; 5), a = (−2; 0; 4). f) M (4; 3; −2), a = (−3; 0; 0). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 17.

(250) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. a) A (2;3; −1) , B (1;2; 4). b) A (1; −1; 0) , B (0;1;2). c) A (3;1; −5) , B (2;1; −1). d) A (2;1; 0) , B (0;1;2). e) A (1;2; −7) , B (1;2; 4). f) A (−2;1; 3) , B (4;2; −2). HT 51. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho trước: b) A (2; −5; 3), ∆ qua M (5; 3;2), N (2;1; −2) a) A (3;2; −4) , ∆ ≡ Ox. x = 2 − 3t  c) A(2; −5; 3), ∆ :  y = 3 + 4t  z = 5 − 2t . d) A(4; −2;2), ∆ :. x +2 y −5 z −2 = = 4 2 3. HT 52. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A(−2; 4; 3) , (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = 0 b) A (1; −1; 0) , (P ) : (Oxy) c) A (3;2;1), (P ) : 2x − 5y + 4 = 0. d) A(2; −3;6), (P ) : 2x − 3y + 6z + 19 = 0. HT 53.. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: (P ) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 (P ) : 2x − 3y + 3z − 4 = 0 (P ) : 3x + 3y − 4z + 7 = 0 a)  b)  c)     (Q ) : 3x − 5y − 2z − 1 = 0 (Q ) : x + 2y − z + 3 = 0 (Q ) : x + 6y + 2z − 6 = 0   . (P ) : 2x + y − z + 3 = 0 d)   (Q ) : x + y + z − 1 = 0 . (P ) : x + z − 1 = 0 (P ) : 2x + y + z − 1 = 0 e)  f)    (Q ) : y − 2 = 0 (Q ) : x + z − 1 = 0  . HT 54.. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x = 1 + 2t x = 1 − t x = 1 + t x = 1 + 3t     a) A(1; 0; 5), d1 : y = 3 − 2t , d2 : y = 2 + t b) A(2; −1;1), d1 : y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t     z = 1 + t z = 1 − 3t z = 3 z = 3 + t    . x = 1 − t  c) A(1; −2; 3), d1 :  y = −2 − 2t , d2  z = 3 − 3t . x = 1  : y = −2 + t  z = 3 + t . x = −7 + 3t  d) A(4;1; 4), d1 :  y = 4 − 2t , d2  z = 4 + 3t . x = 1 + t  : y = −9 + 2t  z = −12 − t . Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng ∆ cho trước: x = t x = −3 + 2t    b) A(−4; −2; 4), d :  a) A(1;2; −2), ∆ : y = 1 − t y = 1 − t   z = 2t z = −1 + 4t  . HT 55.. x = 1 + 3t  c) A(2; −1; −3), ∆ :  y = 1 + t  z = −2 + 2t . x = t  d) A(3;1; −4), ∆ :  y = 1 − t  z = −2t . HT 56.. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x = 1 + 2t x = 1 − t x = 1 + t x = 1 + 3t     a) A(1; 0; 5), d1 : y = 3 − 2t , d2 : y = 2 + t b) A(2; −1;1), d1 : y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t     z = 1 + t z = 1 − 3t z = 3 z = 3 + t    . x = −1 + 3t  c) A(−4; −5; 3), d1 :  y = −3 − 2t , d2  z = 2 − t . x = 2 + 2t  : y = −1 + 3t d) A(2;1; −1), d1  z = 1 − 5t . x = 1 + 3t  : y = −2 + 4t , d2  z = −3 + 5t . x = −t  : y = t  z = 2t . HT 57. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 18.

(251) GV.Lưu Huy Thưởng.  (P ) : y + 2z = 0   a)  x −1 y z d1 : = = , d2  1 4 −1  .  x = 2 − t  : y = 4 + 2t  z = 1 . (P ) : 2x − 3y + 3z − 4 = 0     x = −7 + 3t x = 1 + t c)     d1 : y = 4 − 2t , d2 : y = −9 + 2t    z = 4 + 3t z = −12 − t   . 0968.393.899.  (P ) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0  x = 1 + 2t x = 1 − t   b)   d1 : y = 3 − 2t , d2 : y = 2 + t z = 1 + t z = 1 − 3t     (P ) : 3x + 3y − 4z + 7 = 0   x = 1 − t x = 1   d)   d1 : y = −2 − 2t , d2 : y = −2 + t z = 3 − 3t z = 3 + t    . HT 58. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:   ∆ : x = y − 1 = z − 1 ∆ : x = y − 1 = z − 5   2 −1 2 3 −1 1   x +1 y z −1 x −1 y + 2 z − 2   b) d1 : a) d1 : = = = =   1 2 −1 1 4 3   x − 2 y + 1 z + 3 x + 4 y + 7 z d : d : = = = =  2  2 3 2 1 5 9 1.  ∆ : x − 1 = y + 2 = z − 2  1 4 3  x −1 y + 2 z − 2  = = c) d1 :  1 4 3  x +4 y +7 z d2 : = =  5 9 1.  ∆ : x + 1 = y + 3 = z − 2  3 −2 −1  x − 2 y + 2 z −1 d) d1 : = =  3 4 1  d : x − 7 = y − 3 = z − 9  2 1 2 −1. HT 59. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cho trước: x = 3 − 2t x = 2 + 3t x = 1 + 2t x = −2 + 3t     b) d1 : y = −3 + t , d2 :  a) d1 : y = 1 + 4t , d2 : y = 4 − t y = 1 + 2t     z = −2 + 4t z = 1 − 2t z = 2 + 3t z = −4 + 4t    . x = 2 + 2t  c) d1 :  y = 1 + t , d2  z = 3 − t . x = 1 + t  : y = 3 + t  z = 1 + 2t . x = 2 + 3t  d) d1 :  y = −3 − t , d2  z = 1 + 2t . x = −1 + 2t  : y = 1 − 2t  z = 2 + t . Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P) cho trước:   ∆ : x + 2 = y − 3 = z − 1 ∆ : x − 3 = y − 2 = z + 2 a)  b)  2 − 1 3 −1 2 3   ( P ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0 ( P ) : 3 x + 4 y − 2 z + 3 = 0  . HT 60..  ∆ : x + 1 = y − 1 = z − 3 c)  1 2 −2  (P ) : 2x − 2y + z − 3 = 0.  ∆ : x = y = z − 1 d)  −2 1 1  (P ) : x + y − z + 1 = 0. HT 61. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho trước: x = −1  x −1 y − 2 z a) A(0;1;1), d1 : = = , d2 : y = t  3 1 1 z = 1 + t . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 19.

(252) GV.Lưu Huy Thưởng. x −1 y + 1 z b) A(1;1;1), d1 : = = , d2 2 −1 1. c) A(−1;2; −3), d1 :. 0968.393.899. x = 2  : y = 1 + 2t  z = −1 − t . x +1 y −4 z x −1 y + 1 z − 3 = = , d2 : = = 6 −2 −3 3 2 −5. VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:. • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 62.. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x −1 y + 2 z − 4 a) d1 : = = ; d2 : {x = −1 + t ; y = −t ; z = −2 + 3t −2 1 3. b) d1 : {x = 5 + 2t; y = 1 − t; z = 5 − t ;. d2 : {x = 3 + 2t '; y = −3 − t '; z = 1 − t '. c) d1 : {x = 2 + 2t; y = −1 + t; z = 1;. d2 : {x = 1; y = 1 + t; z = 3 − t. d) d1 :. x −1 y − 2 z − 3 = = ; 9 6 3. d2 :. x −7 y −6 z −5 = = 6 4 2. HT 63. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng: a) d1 : {x = 1 − 2t; y = 3 + t; z = −2 − 3t ; d2 : {x = 2t '; y = 1 + t '; z = 3 − 2t ' b) d1 : {x = 1 + 2t; y = 2 − 2t; z = −t; d2 : {x = 2t '; y = 5 − 3t '; z = 4 c) d1 : {x = 3 − 2t; y = 1 + 4t; z = 4t − 2; d2 : {x = 2 + 3t '; y = 4 − t '; z = 1 − 2t ' HT 64. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2: a) d1 : {x = 3t; y = 1 − 2t; z = 3 + t ; d2 : {x = 1 + t '; y = 2t '; z = 4 + t '. x + y + z + 3 = 0 b) d1 :  ;  2x − y + 1 = 0 . d2 : {x = 1 + t; y = −2 + t; z = 3 − t. HT 65. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng: a) d1 : {x = 1 + mt; y = t; z = −1 + 2t ; d2 : {x = 1 − t '; y = 2 + 2t '; z = 3 − t ' b) d1 : {x = 1 − t; y = 3 + 2t; z = m + t ;. d2 : {x = 2 + t '; y = 1 + t '; z = 2 − 3t '. 2x + y − z − 4 = 0 c) d1 :  ;  x + y − 3 = 0 . x + 2y + mz − 3 = 0 d2 :  2x + y + z − 6 = 0 . VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:. • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 20.

(253) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 66. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng: a) d : {x = 2t; y = 1 − t; z = 3 + t ; (P ) : x + y + z − 10 = 0 b) d : {x = 3t − 2; y = 1 − 4t; z = 4t − 5;. (P ) : 4x − 3y − 6z − 5 = 0. c) d :. x − 12 y − 9 z − 1 = = ; 4 3 1. d) d :. x + 11 y − 3 z = = ; (P ) : 3x − 3y + 2z − 5 = 0 2 4 3. e) d :. x − 13 y − 1 z − 4 = = ; 8 2 3. (P ) : 3x + 5y − z − 2 = 0. (P ) : x + 2y − 4z + 1 = 0. 3x + 5y + 7z + 16 = 0 f) d :  ;  2x − y + z − 6 = 0 . (P ) : 5x − z − 4 = 0. 2x + 3y + 6z − 10 = 0 ; g) d :   x + y + z + 5 = 0 . (P ) : y + 4z + 17 = 0. HT 67. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ⊥ (P). a) d :. x −1 y +2 z +3 = = ; m 2m − 1 2. (P ) : x + 3y − 2z − 5 = 0. b) d :. x +1 y −3 z −1 = = ; 2 m m −2. (P ) : x + 3y + 2z − 5 = 0. iv) d ⊂ (P).. HT 68. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để: a) d : {x = m + t; y = 2 − t; z = 3t cắt (P ) : 2x − y + z − 5 = 0 tại điểm có tung độ bằng 3.. x − 2y − 3 = 0 b) d :  cắt (P ) : 2x + y + 2z − 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng –1.  y + 2z + 5 = 0  x + 2y − 3 = 0 c) d :  cắt (P ) : x + y + z + m = 0  3x − 2z − 7 = 0 . VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách 1.. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d. • Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a .   M 0M , a  d(M , d ) = a. • Cách 2:. – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d. – d(M,d) = MH.. • Cách 3:. – Gọi N(x; y; z) ∈ d. Tính MN2 theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 21.

(254) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. – Tìm t để MN2 nhỏ nhất. – Khi đó N ≡ H. Do đó d(M,d) = MH. 2.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2. a , a  .M M  1 2  1 2 d(d1, d2 ) =  a , a   1 2  Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1. 3.. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.. 4.. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α).. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 69. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: x = 1 − 4t  a) A(2; 3;1), d :  b) A(1;2; −6), d y = 2 + 2t  z = 4t − 1  c) A(1; 0; 0), d :. x − 2 y −1 z = = 1 2 1. x = 2 + 2t  : y = 1 − t  z = t − 3 . d) A(2; 3;1), d :. x + 2 y −1 z +1 = = 1 2 −2. HT 70. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng: a) d1 : {x = 1 − 2t; y = 3 + t; z = −2 − 3t ; d2 : {x = 2t '; y = 1 + t '; z = 3 − 2t ' b) d1 : {x = 1 + 2t; y = 2 − 2t; z = −t;. d2 : {x = 2t '; y = 5 − 3t '; z = 4. c) d1 : {x = 3 − 2t; y = 1 + 4t; z = 4t − 2;. d2 : {x = 2 + 3t '; y = 4 − t '; z = 1 − 2t '. HT 71. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng: a) d1 : {x = 3 + 2t, y = 4 + 3t, z = 2 + t ; d2 : {x = 4 + 4t, y = 5 + 6t, z = 3 + 2t b) d1 :. x −1 y + 2 z − 3 = = ; 2 −6 8. d2 :. x +2 y −3 z +1 = = −3 9 −12. HT 72. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa chúng: a) d : {x = 3t − 2; y = 1 − 4t; z = 4t − 5; (P ) : 4x − 3y − 6z − 5 = 0 b) d : {x = 1 − 2t; y = t; z = 2 + 2t ;. (P ) : x + z + 8 = 0. x − y + 2z + 1 = 0 ; c) d :   2x + y − z − 3 = 0 . (P ) : 2x − 2y + 4z + 5 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 22.

(255) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 6: Góc 1.. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1, a2 . Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .. cos (a1, a2 ) = 2.. a1.a2 a1 . a2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a 3 ) và mặt phẳng (α) có VTPT n = (A; B;C ) . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của nó trên (α). sin (d,(α)) =. Aa1 + Ba2 + Ca 3 A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a 32. BÀI TẬP CƠ BẢN HT 73. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) d1 : {x = 1 + 2t, y = –1 + t, z = 3 + 4t ; b) d1 :. x −1 y + 2 z − 4 = = ; 2 −1 2. d2 : { x = 2 – t, y = –1 + 3t, z = 4 + 2t d2 :. 2x − 3y − 3z − 9 = 0 c) d1 :  ;  x − 2y + z + 3 = 0 . x +2 y −3 z +4 = = 3 6 −2. d2 : {x = 9t; y = 5t; z = –3 + t. HT 74. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: 7x − 2z − 15 = 0 x − y − z − 7 = 0 a) d1 :  ; d2 :   7y + 5z + 34 = 0 3x − 4y − 11 = 0   HT 75. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng sau bằng α:. {. a) d1 : x = −1 + t; y = −t 2; z = 2 + t ;. {. d2 : x = 2 + t; y = 1 + t 2; z = 2 + mt ;. α = 600 .. HT 76. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):: x −1 y −1 z + 3 a) d : = = ; (P ) : 2x – y – 2z – 10 = 0 . 1 −2 3. {. b) d : x = 1; y = 2 + t 4 5; z = 3 + t ;. (P ) : x 4 5 + z + 4 = 0. x + 4y − 2z + 7 = 0 c) d :  ;  3x + 7y − 2z = 0 . (P ) : 3x + y – z + 1 = 0. VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác 1.. Viết phương trình mặt phẳng. • Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d: – Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 23.

(256) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.   – Một VTPT của (P) là: n = AB, AC  .. • Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP a của d1 (hoặc d2). – Trên d1 lấy điểm A, trên d2 lấy điểm B. Suy ra A, B ∈ (P)..   – Một VTPT của (P) là: n = a , AB  .. • Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1, d2: – Lấy điểm A ∈ d1 (hoặc A ∈ d2) ⇒ A ∈ (P). – Xác định VTCP a của d1, b của d2. – Một VTPT của (P) là: n = a , b  .. • Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2. – Một VTPT của (P) là: n = a , b  . – Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (P).. • Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: – Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2. – Một VTPT của (P) là: n = a , b  . 2.. Xác định hình chiếu H của một điểm M lên đường thẳng d. • Cách 1:. – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d. – Khi đó: H = d ∩ (P). • Cách 2: 3..  H ∈ d Điểm H được xác định bởi:   MH ⊥ a d . Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d. • Cách 1:. – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d. – Xác định điểm M′ sao cho H là trung điểm của đoạn MM′.. • Cách 2:. – Gọi H là trung điểm của đoạn MM′. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M′..  MM ' ⊥ ad – Khi đó toạ độ của điểm M′ được xác định bởi:  .  H ∈ d  4.. Xc định hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P). • Cách 1:. – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P). – Khi đó: H = d ∩ (P). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 24.

(257) GV.Lưu Huy Thưởng • Cách 2: 5.. 0968.393.899.  H ∈ (P ) Điểm H được xác định bởi:   MH , n cuøng phöông P . Điểm đối xứng M' của một điểm M qua mặt phẳng (P). • Cách 1:. – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên (P). – Xác định điểm M′ sao cho H là trung điểm của đoạn MM′.. • Cách 2:. – Gọi H là trung điểm của đoạn MM′. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M′..  H ∈ (P ) – Khi đó toạ độ của điểm M′ được xác định bởi:  .  MH , n cuøng phöông P  BÀI TẬP CƠ BẢN HT 77. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d: x = 4 + 2t x = 2 − t   a) A(2; −3;1), d : y = 2 − 3t b) A(1; 4; −3), d : y = −1 + 2t   z = 3 + t z = 1 − 3t   c) A(4; −2; 3),. d:. x −1 y + 2 z − 5 = = 3 4 2. d) A(2; −1;5),. d:. x + 3 y + 2 z −1 = = 2 1 3. HT 78. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d1, d2: x + 2 y −1 z + 3 a) d1 : {x = 2 + 3t ; y = 4 + 2t ; z = t − 1; = = d2 : 3 2 1 b) d1 :. x −1 y + 3 z − 2 = = , 2 3 4. d2 :. x + 2 y −1 z − 4 = = 2 3 4. HT 79. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d1, d2: a) d1 : {x = 3t; y = 1 − 2t; z = 3 + t ; d2 : {x = 1 + t '; y = 2t '; z = 4 + t '. x + y + z + 3 = 0 b) d1 :  ;  2x − y + 1 = 0 . d2 : {x = 1 + t; y = −2 + t; z = 3 − t. x − 2y − z − 4 = 0 c) d1 :  ;  2x + y + z + 6 = 0 . x − z − 2 = 0 d2 :  y + 2z + 7 = 0 . 2x + y + 1 = 0 ; d) d1 :   x − y + z − 1 = 0 . 3x + y − z + 3 = 0 d2 :  2x − y + 1 = 0 . HT 80. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2: a) d1 : {x = 1 − 2t; y = 3 + t; z = −2 − 3t ; d2 : {x = 2t '; y = 1 + t '; z = 3 − 2t ' b) d1 : {x = 1 + 2t; y = 2 − 2t; z = −t; d2 : {x = 2t '; y = 5 − 3t '; z = 4 c) d1 : {x = 3 − 2t; y = 1 + 4t; z = 4t − 2; d2 : {x = 2 + 3t '; y = 4 − t '; z = 1 − 2t ' d) d1 :. x −2 y +1 z x y −1 z + 1 = = ; d2 : = = 3 −2 2 1 2 4. HT 81. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 25.

(258) GV.Lưu Huy Thưởng. a) M (1;2; −6),. x = 2 + 2t  d : y = 1 − t  z = t − 3 . c) M (2;1; −3),. x = 2t  d : y = 1 − t  z = −1 + 2t . b) M (2; 3;1),. x = 1 − 4t  d : y = 2 + 2t  z = 4t − 1 . d) M (1;2; −1),. x = 2 − t  d : y = 1 + 2t  z = 3t . 0968.393.899. HT 82. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M′ đối xứng với M qua mặt phẳng (P): a) (P ) : 2x − y + 2z − 6 = 0, M (2; −3;5) b) (P ) : x + y + 5z − 14 = 0, M (1; −4; −2) c) (P ) : 6x − 2y + 3z + 12 = 0, e) (P ) : x − y + z − 4 = 0,. M (3;1; −2). M (2;1; −1). d) (P ) : 2x − 4y + 4z + 3 = 0,. M (2; −3; 4). f) (P ) : 3x − y + z − 2 = 0, M (1;2; 4). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 26.

(259) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. ÔN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Cơ bản HT 83. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Đ/s: (Q ) : 2y + 3z − 11 = 0 . HT 84.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1; 3), B(1; −2;1). x = −1 + t  và song song với đường thẳng d :  . y = 2t  z = −3 − 2t  Đ/s:(P): 10x − 4y + z − 19 = 0 . HT 85. (d1 );. HT 86.. Trong không gian với hệ tọa. độ. Oxyz , cho 2 đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có phương trình:. x −1 y +1 z −2 x − 4 y −1 z − 3 , (d2 ) : . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và (d2 ) . = = = = 2 3 1 6 9 3 Đ/s: (P): x + y – 5z +10 = 0 Oxyz , cho mặt cầu (S) có phương trình: Trong không gian với hệ tọa độ. x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 6y − 4z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S). Đ/s: (P): 2x − y + 2z + 3 = 0 hoặc (P): 2x − y + 2z − 21 = 0 . HT 87.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đie{ m M(1; –1; 1) và hai đường thẳng (d1 ) :. x y +1 z = = 1 −2 −3. và. x y −1 z − 4 . Chứng minh rằng đie{ m M , d1, d2 cù ng na~ m trê n mộ t mặ t pha‚ ng. Vieƒ t phương trı̀nh mặ t = = 1 2 5 pha‚ ng đó . Đ/s: x + 2y − z + 2 = 0 . Dạng 2: Phương trình mặt phẳng liên quan tới mặt cầu (d2 ) :. HT 88.. Trong không gian với hệ tọa. độ. Oxyz , cho đường thẳng d:. x −3 y −3 z và mặt cầu (S): = = 2 2 1. x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 4z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). Đ/s:. (P): y − 2z + 3 + 2 5 = 0. hoặc. (P): y − 2z + 3 − 2 5 = 0 .. HT 89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 4y − 4 = 0 và mặt phẳng (P): x + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M (3;1; −1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Đ/s: (Q): 2x + y − 2z − 9 = 0 Hoặc (Q): 4x − 7y − 4z − 9 = 0 Câu hỏi tương tự: Với (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 4z + 5 = 0 , (P ) : 2x + y − 6z + 5 = 0, M (1;1;2) . ĐS: (Q ) : 2x + 2y + z − 6 = 0 hoặc (Q ) : 11x − 10y + 2z − 5 = 0 . HT 90. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3 . Đ/s: (P): y – 2z = 0. HT 91.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 2y + 2z – 1 = 0 và đường thẳng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 27.

(260) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x − y − 2 = 0 d :  . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính 2x − z − 6 = 0  r =1. Đ/s: (P): x + y − z − 4 = 0 hoặc (P): 7x − 17y + 5z − 4 = 0 HT 92.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 :. x y −1 z x −1 y z và = = , ∆2 : = = 2 −1 1 −1 1 −1. mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . Đ/s: (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 − 3 2 = 0. HT 93.. Trong. không. gian. với. hệ. tọa. độ. Oxyz ,. cho. mặt. cầu. (S). có. phương. trình. x + y + z − 2x + 4y − 6z − 11 = 0 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6π . Đ/s: 2x + 2y – z – 7 = 0 . 2. 2. 2. Câu hỏi tương tự: a). (S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y − 6z − 11 = 0 , (α ): 2x + y − 2z + 19 = 0 ,. p = 8π .. ĐS: (β ) : 2x + y − 2z + 1 = 0. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách HT 94. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q):. x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng Đ/s: (P): x − z = 0 hoặc (P): 5x − 8y + 3z = 0 .. 2.. x −1 y − 3 z = = và điểm M(0; –2; 0). Viết 1 1 4 phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4. Đ/s: (P): 4x − 8y + z − 16 = 0 hoặc (P): 2x + 2y − z + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự:. HT 95.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :. a) Với ∆ :. x y z −1 = = ; M (0; 3; −2), d = 3 . 1 1 4. ĐS: (P ) : 2x + 2y − z − 8 = 0 hoặc (P ) : 4x − 8y + z + 26 = 0 ..  x = t HT 96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :  y = −1 + 2t và điểm A(−1;2; 3) . Viết phương  z = 1  trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. Đ/s: (P): 2x − y − 2z + 1 = 0 . HT 97.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm M (−1;1; 0), N (0; 0; −2), I (1;1;1) . Viết phương trình mặt. phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng Đ/s: (P): x − y + z + 2 = 0 hoặc (P): 7x + 5y + z + 2 = 0 .. 3.. HT 98. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diệ n ABCD với A(1; −1;2) , B(1; 3; 0) , C (−3; 4;1) D(1;2;1) . Vieƒ t phương trı̀nh mặ t pha‚ ng (P) đi qua A, B sao cho khoả ng cá ch từ C đeƒ n (P) ba~ ng khoả ng cá ch từ D đeƒ n (P).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 28.

(261) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Đ/s: (P): x + 2y + 4z − 7 = 0 hoặc (P): x + y + 2z − 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B(−2;1; 3),C (2; −1;1), D(0; 3;1) . ĐS: (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0 hoặc (P ) : 2x + 3z − 5 = 0 . HT 99.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2; 3) , B(0; −1;2) , C (1;1;1) . Viết phương trình. mặt phẳng (P ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P ) bằng khoảng cách từ C đến (P ) . Đ/s: (P ) : 3x − z = 0 hoặc (P ) : 2x − y = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2; 0), B(0; 4; 0),C (0; 0; 3) .. ĐS: −6x + 3y + 4z = 0 hoặc 6x − 3y + 4z = 0 .. HT 100. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) , C (−1;2; −2) và mặt phẳng (P):. x − 2y + 2z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC . Đ/s: (α) : 2x − y − 2z − 3 = 0 hoặc (α) : 2x + 3y + 2z − 3 = 0 HT 101. Trong không gian với hệ tọa. độ. Oxyz , cho hai đường tha‚ ng d1, d2 la‡ n lượt có phương trı̀nh. x −2 y −2 z −3 x −1 y − 2 z −1 , d2 : . Vieƒ t phương trı̀nh mặ t pha‚ ng cá ch đe‡ u hai đường tha‚ ng = = = = 2 1 3 2 −1 4 d1, d2 .. d1 :. Đ/s: (P): 14x − 4y − 8z + 3 = 0. x = 1 + t  HT 102. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường tha‚ ng d1, d2 la‡ n lượt có phương trı̀nh d1 :  y = 2 − t ,  z = 1  x − 2 y −1 z + 1 . Vieƒ t phương trı̀nh mặ t pha‚ ng (P) song song với d1 và d2 , sao cho khoảng cách từ d1 d2 : = = 1 −2 2 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P). Đ/s: (P ) : 2x + 2y + z – 3 = 0 HT 103.. hoặc (P ) : 2x + 2y + z −. 17 = 0 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vieƒ t phương trı̀nh mặ t pha‚ ng (P) đi qua hai đie{ m A(0; −1;2) ,. B(1; 0; 3) và tieƒ p xú c với mặ t ca‡ u (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 2 . Đ/s: (P): x − y − 1 = 0 hoặc (P): 8x − 3y − 5z + 7 = 0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc x −1 y z và tạo = = 1 − 1 −2 với mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z + 1 = 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (α) với trục Oz.. HT 104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆):. Đ/s: M (0; 0;2 − 2) hay M (0; 0;2 + 2) HT 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng (α ) : 2x – y – 1 = 0 , (β ) : 2x – z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q ) : x – 2y + 2z – 1 = 0 một góc ϕ mà. 2 2 9 Đ/s: (P ) : −4x + y + z – 1 = 0 hoặc (P ) : −23x + 5y + 13z – 5 = 0 . cos ϕ =. HT 106.. Trong không gian với hệ tọa. độ. Oxyz , cho hai điểm A(−1;2; −3), B(2; −1; −6) và mặt phẳng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 29.

(262) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. (P ) : x + 2y + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc α thoả mãn. 3 . 6 Đ/s: mp(Q): 4x − y + 3z + 15 = 0 hoặc (Q): x − y − 3 = 0 . cos α =. Câu hỏi tương tự: a) A(0; 0;1), B(1;1; 0) , (P ) ≡ (Oxy ), cos α =. 1. .. 6 ĐS: (Q): 2x − y + z − 1 = 0 hoặc (Q): x − 2y − z + 1 = 0 . HT 107.. x + y + z − 3 = 0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  . Viết phương trình mặt  2x + y + z − 4 = 0 . phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc α = 600 .. • ĐS: (P ) : 2x + y + z − 2 − 2 = 0 hoặc (P ) : 2x − y − z − 2 + 2 = 0 HT 108.. Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 5x − 2y + 5z − 1 = 0 và (Q ) : x − 4y − 8z + 12 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với Trong không gian với hệ tọa. độ. mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc α = 450 . Đ/s: (R) : x − z = 0 hoặc (R) : x + 20y + 7z = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với (P ) : x − y − 2z = 0,(Q ) ≡ (Oyz ), M (2; −3;1), α = 450 . ĐS: (R) : x + y + 1 = 0 hoặc (R) : 5x − 3y + 4z − 23 = 0 HT 109.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình: ∆1 :. x −1 y +1 z −1 = = 1 −1 3. x y z = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc α = 300 . 1 −2 1 Đ/s: (P): 5x + 11y + 2z + 4 = 0 hoặc (P): 2x − y − z − 2 = 0 .. và ∆2 :. Câu hỏi tương tự: x y −2 z x −2 y −3 z + 5 , α = 300 = = , ∆2 : = = 1 −1 1 2 1 −1 ĐS: (P): x − 2y − 2z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2y + z − 4 = 0. a) Với ∆1 :. Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác HT 110. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. Đ/s: (P): 4x + 5y + 6z − 77 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1).. ĐS: (P): x − y − z + 3 = 0. HT 111. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh rằng: b + c =. bc . Từ đó, tìm b, c để diện tích tam 2. giác ABC nhỏ nhất. Đ/s: min S = 96 khi b = c = 4 . HT 112. Trong không gian toạ độ Oxyz , cho điểm A(2;2; 4) và mặt phẳng (P ) : x + y + z + 4 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox , Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 30.

(263) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 6. Đ/s: (Q ) : x + y + z − 2 = 0 . HT 113.. Trong không gian toạ độ Oxyz , cho các điểm A(3; 0; 0), B(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B. và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng. 9 . 2. ĐS: (P ) : x + 2y − 2z − 3 = 0 . VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương x + 1 y −1 z − 2 HT 114. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng P : = = 2 1 3 x − y − z − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;1; −2) , song song với mặt phẳng (P ) và vuông góc với đường thẳng d . x −1 y −1 z + 2 Đ/s: ∆ : = = 2 5 −3 HT 115. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = −t ; y = −1 + 2t ; z = 2 + t ( t ∈ R ) và mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 3 = 0 .Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d). x = 1 + t  Đ/s: ∆:  y = −3  z = 1 + t  HT 116. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng ∆:. x −1 y +1 z . Lập = = 2 1 −1. phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với ∆. x − 2 y −1 z Đ/s:d: d : = = . 1 −4 2 HT 117. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P). • Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0. (D) = (P) ∩ (Q) suy ra phương trình (D). HT 118. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng x − 2z = 0 d :  trên mặt phẳng P : x − 2y + z + 5 = 0 . 3x − 2y + z − 3 = 0  x = 4 + 16t   11 Đ/s:∆: y = + 13t .  2 z = 2 + 10t  Câu hỏi tương tự: x + 1 y −1 z − 2 a) Với d : , (P ) : x − 3y + 2z − 5 = 0 . = = 2 1 3. x = 1 + 23m  ĐS: ∆ :  y = 2 + 29m   z = 5 + 32m. HT 119. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng (P ) : 6x + 2y + 3z − 6 = 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 31.

(264) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  x = 1 + 6t  2  3  Đ/s: d: y = + 2t .  2 z = 1 + 3t  HT 120.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; −1), B(2;1;1);C (0;1;2) và đường thẳng. x −1 y +1 z + 2 . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt = = 2 −1 2 phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. x − 2 y −1 z −1 Đ/s: ∆ : = = 12 2 −11 d:. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác HT 121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình x −1 y +1 z . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d d: = = 2 1 −1 và tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua d. 8 5 4 x −2 y −1 z Đ/s:∆: . M ′  ; − ; −  . = = 3 3 3 1 −4 −2 Câu hỏi tương tự: a) M (−4; −2; 4); d :. x + 3 y −1 z + 1 . = = 2 −1 4. ĐS: ∆ :. x +1 y z −3 = = 3 2 −1. x +1 y −2 z −2 và mặt phẳng (P): x + 3y + = = 3 −2 2 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).. HT 122.. Đ/s:∆:. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :. x −2 y −2 z −4 = = 9 −7 6. Câu hỏi tương tự: a) d :. x y −1 z −2 , (P ) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M (2;2; 4) . = = 1 2 1. ĐS: ∆ :. x −1 y − 3 z − 3 = = 1 −1 1. b) d :. x −2 y z +2 , (P ) : 2x + y − z + 1 = 0 , M (1;2; –1) . = = 1 3 2. ĐS: ∆ :. x −1 y − 2 z + 1 = = 2 −9 −5. c). x −2 y + 4 z −1 x −3 y +2 z +4 , (P ) : 3x − 2y − 3z − 2 = 0 , M (3; −2; −4) . ĐS: ∆ : = = = = 3 −2 2 5 −6 9. HT 123.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x − 2y + z − 29 = 0 và hai điểm A(4; 4; 6) , B(2; 9; 3) . Gọi E , F là hình chiếu của A và B trên (α) . Tính độ dài đoạn EF . Tìm phương trình đường thẳng ∆. nằm trong mặt phẳng (α) đồng thời ∆ đi qua giao điểm của AB với (α) và ∆ vuông góc với AB..  x = 6 + t ∆ : y = −1 + 7t  z = 9 + 11t  HT 124. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: x −1 y z −1 . Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P ) : x − 2y + z = 0, (Q ) : x − 3y + 3z + 1 = 0, (d ) : = = 2 1 1 (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d).. 171 Đ/s: EF = 14. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 32.

(265) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: (∆) : HT 125.. 0968.393.899. x + 3 y +2 z +1 . = = 3 2 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; −1), B(2;1;1),C (0;1;2) và đường thẳng. x −1 y +1 z + 2 . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt = = 2 −1 2 phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). (d ) :. Đ/s: ∆ :. x − 2 y −1 z −1 . = = 12 2 −11. x y −2 z = = , mặt phẳng 1 2 2 (P ) : x – y + z −5 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng. HT 126.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; −1;1) , đường thẳng ∆ :. ∆ một góc 450 . x = 3 + t x = 3 + 7t    Đ/s: d: y = −1 – t Hoặc d :  y = −1 – 8t .   z = 1 z = 1 – 15t   x −3 y +2 z +1 và mặt phẳng (P): = = 2 1 −1 x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P),. HT 127.. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:. vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới ∆ bằng 42 . x −5 y +2 z +5 x +3 y + 4 z −5 Đ/s: ∆ : hoặc ∆ : . = = = = 2 −3 1 2 −3 1 HT 128.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ): x + y − z − 1 = 0 , hai đường thẳng (∆):. x −1 y z x y z +1 . Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( α ) và cắt (∆′); = = , (∆′): = = −1 −1 1 1 1 3. (d) và (∆) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng. 6 . 2. x = 0 x = t   Đ/s: d :  hoặc d :  y = t y = −t .   z = − 1 + t  z = −1  . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác HT 129.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:  x = 3 + 7t x −7 y −3 z −9 và ∆2 :  ∆1 : = = y = 1 − 2t .  1 2 −1 z = 1 − 3t  Đ/s:. HT 130.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (−4; −5; 3) và cắt cả. 2x + 3y + 11 = 0 x −2 y +1 z −1 hai đường thẳng: d1 :  và d2 : . = =  y − 2z + 7 = 0 2 3 −5  x = −4 + 3t  Đ/s: d :  y = −5 + 2t  z = 3 − t  Câu hỏi tương tự:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 33.

(266) GV.Lưu Huy Thưởng. x y −2 z a) M(1;5;0), d1 : = ,d = 1 −3 −3 2.  x = t  : y = 4 − t .  z = −1 + 2t . 0968.393.899. ĐS:. x = 3 + 2t  x −2 y +1 z + 3 x −3 y −7 z −1 b) M(3; 10; 1) , d1 : , d2 : ĐS: d :  = = = = y = 10 − 10t  3 1 2 1 −2 −1 z = 1 − 2t HT 131.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 và mặt phẳng ( α ) có phương trình là. x = 2 + t  x −1 y +1 z + 2 ∆1 : y = 5 + 3t , ∆2 : = = , (α) : x − y + z + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua  1 1 2 z = t  giao điểm của ∆1 với ( α ) đồng thời cắt ∆2 và vuông góc với trục Oy.  x = 1 + 3u  Đ/s: y = 2 .  z = −1 + 5u   x = 1 + t  HT 132. Trong khô ng gian với hệtọ a độOxyz, cho đường thẳng d1 :  y = 1 + 2t , đường thẳng d 2 là giao tuyến của  z = 1 + 2t  hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0 . Gọ i I là giao đie{ m củ a d1, d2 . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đo‡ ng thời caŒ t hai đường thẳng d1, d2 la‡ n lượt tạ i B và C sao cho tam giá c BIC cân đỉnh I. HT 133.. Đ/s: d3 : {x = 2; y = 3; z = 1 + 2t. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = 0 và hai đường thẳng d1:. x = −1. y −3 z +1 x − 4 y z −3 = , = = . Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm 2 3 1 1 2 trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d1 và d2. x +2 y −7 z −5 Đ/s:∆: . = = 5 −8 −4. HT 134.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): x + 5 y −3 z +1 x −3 y +1 z −2 3x + 12y − 3z − 5 = 0 và (Q): 3x − 4y + 9z + 7 = 0 , (d1): , (d2): . = = = = 2 −4 3 −2 3 4 Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2). 25x + 32y + 26z + 55 = 0 Đ/s: (∆) :   4y − 3z + 10 = 0 . HT 135.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0 và hai đường thẳng (d1), (d2). lần lượt có phương trình. x − 4 y −1 z x +3 y +5 z −7 và . Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) = = = = 2 2 −1 2 3 −2. song song với mặt phẳng (P), cắt (d1 ) và (d2 ) tại A và B sao cho AB = 3. x − 2 y + 1 z −1 Đ/s: ∆ : . = = −1 2 2 HT 136.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z + 1 = 0 và hai đường thẳng. d1 :. x −1 y + 2 z − 3 x +1 y −1 z −2 , d2 : . Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P), vuông = = = = 2 1 3 2 3 2. góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 34.

(267) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x = 3 + t  Đ/s:∆:  y = −1 + t; .  z = 6 − t  HT 137.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :. x + 8 y − 6 z − 10 = = 2 1 −1. và. x = t  (d2 ) : y = 2 − t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1) tại A, cắt (d2) tại B. Tính  z = −4 + 2t  AB. x = −52 + t  Đ/s d:  . y = −16  z = 32  x = −23 + 8t  x −3 y +2 z HT 138. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):  = = . y = −10 + 4t và (d2):  2 −2 1 z = t  Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2).  x = − 1  3  4 Đ/s AB: y =  3  17 z = +t  6 HT 139. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d): 6x − 3y + 2z = 0  . Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC.  6x + 3y + 2z − 24 = 0  6x + 3y + 2z − 12 = 0 Đ/s ∆:   3x − 3y + z = 0  HT 140. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD.  x = −1 − 2t HT 141. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: d1 :  và y = t  z = 1 + t  x y z d2 : = = . Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, 1 1 2 cắt d1 và vuông góc với d2.  x = t Đ/s d :  y = −t  z = 0  Câu hỏi tương tự:. x = −2 + 2t  x +2 y z −1 a) Với M (1;1;1) , (d1 ) : , (d2 ) :  . = = y = −5t  3 1 −2 z = 2 + t . ĐS: d :. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. x −1 y −1 z −1 = = 3 1 −1. Page 35.

(268) GV.Lưu Huy Thưởng HT 142.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình:. 0968.393.899  x = t  (d1) : y = 4 + t và (d2)  z = 6 + 2t .  x = t ' : y = 3t ' − 6 . Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham số của đường  z = t ' − 1  thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1).  x = 18 + 44λ  11  12 Đ/s (d ):  y = − − 30λ  11  7 z = − 7λ  11 HT 143. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2) với: (d1): x −1 y + 2 z = = ; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x + 1 = 0 và (Q): x + y − z + 2 = 0 . Viết phương 3 2 1 trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2). x y −1 z −1 Đ/s AM: . = = −3 2 5 HT 144.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z = 0 và 2 đường thẳng. x −1 y −1 z −1 x −1 y − 2 z , (d ') : = = = = . Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng 1 3 2 −2 1 1 (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). x −1 y −2 z Đ/s ∆ : = = −8 −2 7 (d ) :. HT 145.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z − 1 = 0 và hai đường thẳng (d1):. x −1 y + 2 z − 3 x + 1 y −1 z − 2 , (d2): . Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng = = = = 2 1 3 2 3 2 (P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3. x = 3 + t  Đ/s (∆):  y = 7 + t .  z = 6 − t . HT 146. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x − 8y + 7z + 1 = 0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P). x −2 y z −1 Đ/s: d: = = 2 −1 −2 HT 147.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:. x + 1 y −1 z −1 ; = = 2 −1 1. d 2:. x −1 y − 2 z + 1 và mặt phẳng (P): x − y − 2z + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt = = 1 1 2 phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 . x −1 y z −2 Đ/s: ∆: . = = 1 3 −1 HT 148. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x = −1 + t  x −1 y +1 z x + y + z − 1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d1 ) : , với t ∈ R . = = và (d2 ) :  y = −1  2 −1 1 z = − t  . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 36.

(269) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s:. d: x −. 0968.393.899. 1 3 2 =y+ =z + 5 5 5. Câu hỏi tương tự: a) Với (P): 2x + y + 5z + 3 = 0 , (d1 ) :. x −1 y +1 z x −2 y z −1 = = , (d2 ) : = = 2 1 2 1 1 −2. ĐS: d :. b) Với (P ) : 2x – y – 5z + 1 = 0 , d1 :. x +1 y −1 z −2 x −2 y +2 z , d2 : = = = = 2 3 1 1 5 −2. ĐS: HT 149.. x +1 y +2 z +2 = = 2 1 5. x −1 y − 4 z − 3 = = 2 −1 −5. Trong khô ng gian với hệtọ a độOxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0 , (Q): x – y + 2z + 3 = 0 ,. (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đường thẳng ∆1 :. x −2 y +1 z = = . Gọi ∆2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương −2 1 3. trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng ∆1 , ∆2 . 1 1 23 y− z− 12 = 12 = 8 . 1 2 −3. x−. Đ/s: d:.  x = t HT 150. Trong khô ng gian với hệ tọ a độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình d1 :  y = 4 − t ,  z = −1 + 2t  x y −2 z x +1 y −1 z +1 , d : . Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d2 : = = = = 1 −3 −3 3 5 2 1 d1, d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC . x y −2 z Đ/s: ∆ : = = 1 1 1 Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.  x = 2 + 4t HT 151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):  và mặt phẳng (P): y = 3 + 2t  z = −3 + t  −x + y + 2z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . Đ/s: (∆1 ) : HT 152.. x −1 y − 6 z + 5 x −3 y z +1 hoặc (∆2 ) : = = = = 4 2 1 4 2 1. Trong không gian với hệ. toạ độ. Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y − z + 1 = 0 và đường thẳng: d:. x −2 y −1 z −1 . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông = = 1 −1 −3. góc với d sao cho khoảng cách từ I đến ∆ bằng h = 3 2 . x −1 y −5 z − 7 x −1 y + 1 z −1 Đ/s: ∆ : hoặc ∆ : . = = = = −2 1 −1 −2 1 −1 Câu hỏi tương tự:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 37.

(270) GV.Lưu Huy Thưởng. a) (P ) : x + y + z + 2 = 0 , d :. x −3 y +2 z +1 , h = 42 . = = 2 1 −1. ĐS: ∆ : HT 153.. Trong không gian với hệ. x +1 y −1 z − 3 . Viết = = 1 7 −1 một khoảng bằng 2.  x = − 19 + 2t  11  45 Đ/s: ∆: y = − + t hoặc ∆:  11  z = 41 − 2t  11 d:. 0968.393.899. x −5 y +2 z +5 x +3 y + 4 z −5 ; ∆: = = = = 2 −3 1 2 −3 1. toạ độ. Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 9 = 0 và đường thẳng. phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P).  x = − 7 + 2t  11  39 y = +t  11  z = 29 − 2t  11. Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc x y −2 z = = và mặt phẳng 1 2 2 (P): x − y + z − 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường. HT 154.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng ∆:. thẳng ∆ một góc 450 . x = 3 + t  Đ/s: d:  y = −1 − t hoặcd:  z = 1 . x = 3 + 7t  y = −1 − 8t .  z = 1 − 15t . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng x = 1 + t x = 3 − t   ; d2 : y = 1 + t và tạo với d1 một góc 300. (P ) : x + y – z + 1 = 0 , cắt các đường thẳng d1 : y = t   z = 2 + 2t z = 1 − 2t   x = 5 + t x = 5    Đ/s: d:  y = −1 hoặc d: y = −1 + t   z = 5 + t z = 5 + t  . HT 155.. HT 156.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành. độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan OBC = 2 . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. x = 2 + t  Đ/s: BC:  y = −2t .  z = 0  HT 157.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; −1;1), B(0;1; −2) và đường thẳng. x y −3 z +1 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng = = 1 −1 2 5 (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một góc α sao cho cos α = . 6 x + 10 y − 13 z + 21 x + 10 y − 13 z + 21 Đ/s: ∆: hoặc ∆: = = = = 2 −5 −11 6 −1 −1 d:. HT 158.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1; −2) , vuông góc. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 38.

(271) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x + 3 y −2 z = = và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z + 5 = 0 một góc α = 300 . 1 −1 1 x = t =t  = 1 + t hoặc ∆: y = 1 − t .  = −2 z = −2 − 2t . với đường thẳng d :. x  Đ/s: ∆:  y  z . Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác HT 159.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, x −2 y −3 z −3 x −1 y − 4 z − 3 phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: d1 : , d2 : . Lập = = = = 1 1 −2 1 −2 1 phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của ∆ABC và tính diện tích của ∆ABC . • Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH ⇒ (P ) ⊥ d1 ⇒ (P ) : x + y − 2z + 1 = 0. B = (P ) ∩ d2 ⇒ B(1; 4; 3) ⇒ phương trình BC : {x = 1 + 2t; y = 4 − 2t; z = 3 Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có:. (Q ) : x − 2y + z − 2 = 0 ⇒ K (2;2; 4) ⇒ M (1;2; 5) (K là trung điểm của CM). x = 1  1   ⇒ AB : y = 4 + 2t , do A = AB ∩ d1 ⇒ A(1;2; 5) ⇒ S ∆ABC = AB, AC  = 2 3 .  2 z = 3 − 2t  HT 160.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ABC với A(1; −1;1) và hai đường trung tuyến lần lượt có x = 1 − t  x y −1 z −2 phương trình là d1 : = , d2 :  . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. = y = 0  2 −3 −2 z = 1 + t  x −1 y +1 z −1 Đ/s: AD là: . = = −1 1 2+ 6. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 39.

(272) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HT 161. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1; −2; 3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy. Đ/s: (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 10 . HT 162. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x = 2t x = 3 − t    d1 : y = t và d2 : y = t . Chứng minh d1, d2 chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn   z = 4 z = 0   vuông góc chung của d1, d2 . Đ/s: (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 4. Câu hỏi tương tự:.  x = 2 − 2t ′ 2 2 2     11 13  1  5 x −2 y −1 z       a) d1 : y 3 . ĐS: ( S ) : x − + y − + z + = = = , d2 :         =     1 −1 2 6  6  3  6 z = t ′  x − 2 y −1 z x −2 y + 4 z −2 b) (d1 ) : = = ,(d2 ) : = = −1 2 2 1 6 2 2  5  9  ĐS: (S ) : (x − 2) + y −  + (z − 3)2 =   2 4 2. HT 163.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 :. x − 4 y −1 z + 5 = = 3 −1 −2. và. x −2 y + 3 z = = . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 . 1 3 1 • Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính. d2 :. Câu hỏi tương tự:. x = 2t x = 3 − t    a) d1 :  . y = t , d2 : y = t   z = 4 z = 0  . ĐS: (S ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆1 ) có phương trình {x = 2t; y = t; z = 4 ; (∆2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) : x + y − 3 = 0 và (β ) : 4x + 4y + 3z − 12 = 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng ∆1, ∆2. HT 164.. chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của ∆1, ∆2 làm đường kính. Đ/s: (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 4. HT 165. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình x +1 y −2 z + 3 . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc = = 2 1 −1 với d. Đ/s: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 50 x +5 y −7 z và điểm M (4;1; 6) . Đường = = 2 −2 1 thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).. HT 166.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 40.

(273) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Đ/s: (S): (x − 4)2 + (y − 1)2 + (z − 6)2 = 18 . HT 167. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z − 3 = 0 2. 2. và mặt cầu. 2. (S ) : x + y + z − 2x + 4y − 8z − 4 = 0 . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α ) . Viết phương trình mặt cầu (S′) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (α ) . 2. Đ/s: (S ′ ) : (x + 3) + y 2 + z 2 = 25 . HT 168. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z = 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8. Đ/s: (S): (x − a )2 + (y − b)2 + (z − 16)2 = 260 (a, b ∈ R). HT 169.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 2 = 0 và đường thẳng d:. x y +1 z −2 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) = = −1 2 1 theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3. 2 2 2    1 2 13  Đ/s: (S): x +  + y +  + z −  = 13 hoặc    6 3 6 2 2 2    11 14  1        (S): x −  + y +  + z −  = 13    6 3 6. HT 170.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x + y − z + 5 = 0 .. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng. 5. .. 6 Đ/s: (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4z = 0 hoặc (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 20y − 4z = 0 HT 171.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 3; 4), B(1;2; −3),C (6; −1;1) và mặt phẳng. (α) : x + 2y + 2z − 1 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng (α) và đi qua ba điểm A, B,C . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (α) . Đ/s: (S ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 25. HT 172.. S'=. 85 (đvdt) 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:. x −1 y + 1 z và mặt phẳng (P): = = 3 1 1. 2x + y − 2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). Đ/s: (x − 1)2 + (y + 1)2 + z 2 = 1 .. x −1 y + 2 z = = và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0 . Lập 1 1 1 phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0).. HT 173.. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:. Đ/s: (S ) : (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 1 2 2 2    20  19  7  121       hoặc (S ) : x –  + y +  + z –  = .       13  13  13  169  . HT 174. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I (1;2; −2) , đường thẳng ∆: 2x − 2 = y + 3 = z và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8π . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tiếp xúc với (S). Đ/s: (S ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 2)2 = 25 (Q): 6x − 33y + 30z − 105 = 0 .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 41.

(274) GV.Lưu Huy Thưởng HT 175.. 0968.393.899. {. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x = t ; y = −1; z = −t và 2 mặt phẳng (P):. x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 2 2 2 4 Đ/s: (S): (x − 3) + (y + 1) + (z + 3) = . 9 Câu hỏi tương tự:. {. a) d : x = 2 + t ; y = 1 + 2t ; z = 1 − t , (P ) : x + 2y − 2z + 5 = 0 , (Q ) : x + 2y − 2z − 13 = 0 . 2 2 2    16  11 5 ĐS: (S ) : x −  + y −  + z −  = 9    7 7 7. HT 176.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y − 2z + 10 = 0 , hai đường thẳng (∆1):. x −2 y z −1 x −2 y z +3 , (∆2): . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (∆1), tiếp xúc với (∆2) = = = = 1 1 −1 1 1 4 và mặt phẳng (P). 2 2 2    11 7  5  81    Đ/s: (S): x −  + y −  + z +  = . Hoặc (S): (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 9 .       2 2 2 4. -------------------------------------------------------------------------------TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng HT 177. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x − y + z − 1 = 0 để ∆MAB là tam giác đều.    6 ± 18 4 ± 18  Đ/s: M 2; ; .   2 2 Câu hỏi tương tự: a) Với A(4; 0; 0) , B(0; 0; 4) , (P): 2x − y + 2z − 4 = 0 .. ĐS:. HT 178. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x − y − z + 1 = 0 để ∆MAB là tam giác đều.  2 10 1  Đ/s: M  ; ; −  3 3 6 Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;1; −3), B(3;1; −1),(P ) : 3x − 8y + 7 z + 4 = 0 ..   2 6 6 2 6  2 6 6 2 6    ĐS: C 2 + ;1 − ; −2 − ;1 + ; −2 +  hoặc C 2 −     3 3 3  3 3 3  b) Với A(1;2; 3), B(−1; 4;2),(P ) : x − y + z + 1 = 0 .. 1 − 3 5 11 − 3 5 3  1 + 3 5 11 + 3 5 3    ĐS: C  ; ;  hoặc C  ; ;   4   4 2 4 4 2 HT 179.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3; 5; 4) , B(3;1; 4) . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 42.

(275) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. phẳng (P ) : x − y − z − 1 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 . Đ/s: C (4 ; 3; 0). C (7 ; 3; 3) .. HT 180. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC . Đ/s: M (2; 3; −7) HT 181.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm. A(0; −2;1), B(2; 0; 3). và mặt phẳng. (P ) : 2x − y − z + 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM ) ⊥ (P ) .  2 1 17  Đ/s: M − ; − ;   3 6 6 HT 182. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. Đ/s: (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 9 HT 183.. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(−1;1; 0) và mặt phẳng (P): x − y + z = 0. . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho ∆MAB vuông cân tại B..  −1 − 10 −4 + 10 −2 − 10      ∨ M  −4 + 10 ; −2 + 10 ; −2 + 10  M  ; ;      3 6 6 3 6 6   Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng HT 184. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường thẳng ∆ : x −1 y + 2 z = = . Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho: MA2 + MB 2 = 28 . −1 1 2 Đ/s: ⇒ M (−1; 0; 4) HT 185.. Trong không gian toạ độ Oxyz ,. cho các điểm A(0;1; 0), B(2;2;2),C (−2; 3;1) và đường thẳng. x −1 y +2 z −3 . Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. = = 2 −1 2  3  15 9 3 1 11  Đ/s: ⇒ M − ; − ;  hoặc M − ; ; −  .   2  2 4 4 2 2  d:. HT 186.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d:. x −1 y z −3 . Tìm trên d = = 1 1 1. hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.  2 2 2   2 2 2   Đ/s: A 2 + ; ;3 + ;− ;3 − , B 2 − .  3 3 3   3 3 3  Câu hỏi tương tự:. x = t  a) Với M (1; 0; −1) , d :  y = 2t .  z = 1 .  5 + 76 10 + 2 76  1 − 76 2 − 2 76    ĐS: A  ; ;1 , B  ; ;1  15   15  15 15.  5 − 76 10 − 2 76   1 + 76 2 + 2 76    hoặc A  ; ;1, B  ; ;1  15   15  15 15. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 43.

(276) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  x = 1 − t  HT 187. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: y = 2 + 2t . Tìm trên d hai  z = 3  điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. Đ/s:  6 − 3 8 + 2 3      6 + 3 8 − 2 3  Vậy: B  ; ; 3 và C  ; ; 3  5   5  5 5    6 − 3 8 + 2 3   6 + 3 8 − 2 3   hoặc B  ; ; 3 và C  ; ; 3  5   5  5 5 HT 188.. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) :. x −1 y z +2 và mặt = = 1 2 2. phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0 . Đ/s: A(3; 0; 0). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 :. HT 189.. x +1 y z +9 x −1 y − 3 z +1 ; ∆2 : . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng = = = = 1 1 6 2 1 −2 cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.  18 53 3  Đ/s: M (0; 1; –3) hay M  ; ;  .  35 35 35 . Câu hỏi tương tự: a) Với (P): 2x + y + 2z − 1 = 0 , ∆1 :. x −3 y −5 z x −1 2 −y z −3 , ∆2 : = = = = 1 1 −1 4 1 1. ĐS: M (2; 4;1) , M (−1;1; 4) HT 190.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng. ∆1 :. x −1 y z +2 = = 2 −1 1. và. x +1 y −1 z − 3 . Đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2 cắt ∆1 tại A, cắt ∆2 tại B. Tình diện tích = = 1 7 −1 ∆OAB. ∆2 :. Đ/s: SOAB = HT 191. d1 :. 6 1   . OA,OB  = 2 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x −1 2. =. y −3 −3. =. z 2. ;. d2 :. x −5 6. =. y 4. =. z +5 −5. x − 2y + 2z − 1 = 0. và các đường thẳng. . Tìm các điểm M ∈ d1 , N ∈ d 2 sao cho MN // (P) và cách (P) một. khoảng bằng 2. Đ/s: N1(–1;–4;0). N2(5;0;–5). HT 192.. d1 :. Trong khô ng gian với hệtoạ độ Oxyz, cho mặ t pha‚ ng (P):. x −1 y − 3 z x −5 y z +5 ,d : . Tı̀m cá c đie{ m = = = = 2 1 −2 2 3 4 2. 2x − y + 2z − 1 = 0. A ∈ d1 , B ∈ d 2. và cá c đường tha‚ ng. sao cho AB // (P) và AB cá ch (P). mộ t khoả ng ba~ ng 1. Đ/s:. HT 193..  8 −11  −4 −17   hoặc A(3; 4; −2), B 4;  A(−9; −2;10), B 7; ; ;  3 3   3 3 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :. x +1 y z −1 x y z và d2 : = = . Tìm = = −2 1 1 1 1 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 44.

(277) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. các điểm M thuộc d1 , N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x − y + z + 2012 = 0 và độ dài đoạn MN bằng 2 .  3 2 5 Đ/s: M (0; 0; 0), N − ; − ;  .  7 7 7 HT 194.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :. x y + 2 z −1 = = 1 −1 1. và các điểm. A(1; 0; 0), B(0;1;1),C (0; 0;2) . Tìm điểm M thuộc d sao cho góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng α = 300 .. • ĐS: M (0; −2;1) .  x = 1 + t  HT 195. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: (∆1 ) : y = −1 − t và  z = 2  x − 3 y −1 z = = . Xác định điểm A trên ∆1 và điểm B trên ∆2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. (∆2 ) : −1 2 1 Đ/s: A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0). x = 2 + 4t  HT 196. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường thẳng d :  . y = −6t  z = −1 − 8t  Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất.  65 −21 −43  . Đ/s: I  ; ;  29 58 29  Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; −1;2), B(3; −4; −2) , d :. b) Với A(1;2; –1), B(7; –2; 3) , d :. x −2 y z +1 . = = 4 −6 −8. x −2 y z −4 . = = 3 −2 2.  64 9 45  ĐS: I  ; − ; −  .  29 29 29  ĐS: I (2; 0; 4) .. HT 197. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng ∆: x +1 y −1 z = = . Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho ∆MAB có diện tích nhỏ nhất. 2 −1 2 Đ/s: Min S =. 198 M(1; 0; 2).. Câu hỏi tương tự: a) Với A(0;1; 0), B(2;2;2) , ∆ :. 3 2 x −1 y +2 z −3 . ĐS: M (−3; 0; −1) , min S = = = 2 −1 2 2. b) Với A(2; −1;1), B(0;1; −2), ∆ :. x y −3 z +1 . = = 1 −1 2. c) Với A(0;1; −2), B(2; −1;1), ∆ :. x −1 y − 2 z −1 . = = 1 −1 2. x + y − z − 1 = 0 d) Với A(2; −1;1), B(1; −1; 0), ∆ :  .  2x − y − 1 = 0 . ĐS: M (−5; 8; −11), min S =. 34 2. ĐS: M (−2; 5; −5), min S = 22. 1 2 3 ĐS: M  ; − ; −  . 6 3 2. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 45.

(278) GV.Lưu Huy Thưởng. e) Với A(1; 4;2), B(−1;2; 4), ∆ :. x −1 y − 2 z = = . −1 1 2. 0968.393.899.  12 5 38  ĐS: M − ; ;  .  7 7 7. x −3 y z +1 x −2 y +2 z , (d2): = = = = . 1 1 −2 −1 2 1 Một đường thẳng (∆) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) tại điểm B và cắt đường thẳng (d2) tại điểm C. Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Đ/s: B(2; –1; 1), C(3; –4; –1).. HT 198. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):. Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu HT 199. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 1 = 0 , (Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 và . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN = 8. Đ/s: m = –12. HT 200.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y − z + 3 = 0 và mặt cầu (S):. 2. x + y 2 + z 2 − 6x − 8y − 2z + 23 = 0 . Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. Đ/s: M (4;5; 0) ; (T ) :(x − 4)2 + (y − 5)2 + z 2 = 64 HT 201.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là 2. (S ) : x + y 2 + z 2 − 4x + 2y − 6z + 5 = 0, (P ) : 2x + 2y − z + 16 = 0 . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động. trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng.  4 13 14  Đ/s: N 0 − ; − ;  M0(0;–3;4)  3 3 3  Câu hỏi tương tự: a). (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 4y + 2z = 0 ; (P ) : 2x + y − 2z + 4 = 0 .  −2 −1 5  ĐS: M (2 − 2 2;2 − 2; −1 + 2 2) , N  ; ;   3 3 3 . HT 202.. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1; 0; −3),C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương trình:. x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 2z − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1 Đ/s: D  ; − ; −   3 3 3  Dạng 4: Xác định điểm trong không gian HT 203. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và (α).  1 1 3 Đ/s: K − ; ;  .  4 2 4 HT 204. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3;2) và mặt phẳng. (α) : x + 2y + 2 = 0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng (α).  23 23 14  Đ/s: M (1; 1; 2) hoặc M  ; ; −  . 3 3 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 46.

(279) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 205. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C (0; 0; 3) . Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36. Đ/s: S (9; 9; 9) hoặc S (−7; −7; −7) . Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác HT 206. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC.  36 18 12  Đ/s: H  ; ;   49 49 49  Câu hỏi tương tự: a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2).. ĐS:. HT 207. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(−1; 3; 5) , B(−4; 3;2) , C (0;2;1) . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  5 8 8 Đ/s: I − ; ;  .  3 3 3  HT 208. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3). Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đ/s: I (0; 2; 1).. Bán kính là R = 5.. HT 209. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 3;1) , B(−1;2; 0) , C (1;1; −2) . Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  2 29 1  14 61 1  Đ/s: H  ; ; −  I  ; ; −   15 15 3   15 30 3  HT 210.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; 0;1), B(1;2; − 1),C (−1;2; 3) và I là tâm đường. tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz). (S): x 2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 4. Đ/s: HT 211.. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình d1 :. x −2 y −3 z −3 = = 1 1 −2. x −1 y − 4 z − 3 . Chứng minh đường thẳng d1, d2 và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác = = 1 −2 1 định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. Đ/s: B(1;2; 5) ; C(1;4;2). và. d2 :. HT 212.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác x −2 y −3 z −3 x −1 y − 4 z − 3 trong BM của góc B lần lượt có phương trình là d1 : , d2 : . Tính độ = = = = 1 1 −2 1 −2 1 dài các cạnh của tam giác của tam giác ABC. Đ/s: AB = AC = BC = 2 2. HT 213. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A (3; −1; −2) , B (1;5;1) , C (2; 3; 3) , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D. 164 51 48  Đ/s: D  ; − ;   49 49 49  HT 214.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A(−1;2;1) , B(2; 3;2) . Tìm tọa độ các đỉnh C, D. và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết rằng tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 47.

(280) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x +1 y z −2 và điểm D có hoành độ âm. = = −1 −1 1 Đ/s: (P ) : x + y – 4z + 3 = 0 .. d:. HT 215.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, A(1; 0; 0) , C (−1;2; 0). , D(−1; 0; 0) , S (0; 0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB. 1 7  Đ/s: I  ; ; 0 .  6 6  HT 216.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1) , P (2; 3; − 4) . Tìm toạ độ đỉnh. Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (R) : x + y − z − 6 = 0. Q(4; 5; − 3).. Đ/s: Q(5; 3; − 4).. HT 217. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3; 0; 8) , D(−5; −4; 0) và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C.  −27 −6  Đ/s: C(–3;–6; 8) C  ; ; 8 .  5 5  HT 218. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết A(1;2; 0),C (2; 3; −4) . và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x + 2y + z − 3 = 0 . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của B là những số nguyên. Đ/s: B(−1;1;2) . Vậy D(4; 4; −6) .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 48.

(281) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. Dạng 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MIN – MAX 1. Viết phương trình mặt phẳng HT 219. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; −1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Đ/s: (P): 2x − y + z − 6 = 0 .. HT 220.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình:. x −1 y z −1 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn = = 2 1 3 nhất. Đ/s: (P): 7x + y − 5z − 77 = 0 .. HT 221.. Trong không gian với hệ tọa. độ. Oxyz , cho đường thẳng (d) có phương trình tham số. {x = −2 + t; y = −2t; z = 2 + 2t . Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và. I(–2;0;2) là hình. chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa ∆ và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất. Đ/s: (P ) : 2x − z − 9 = 0 . x −1 y z −2 và điểm A(2; 5; 3) . Viết = = 2 1 2 phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.. HT 222.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. Đ/s: max d (A,(P )) = 3 2 Khi đó: (P): x − 4y + z − 3 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) d :. x −1 y + 1 z − 2 = = , A(5;1; 6) . 2 1 5. ĐS: (P ) : 2x + y − z + 1 = 0. b) d :. x −1 y + 2 z = = , A(1; 4;2) . −1 1 2. ĐS: (P ) : 5x + 13y − 4z + 21 = 0. HT 223. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (0; −1;2) và N (−1;1; 3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K (0; 0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Đ/s: (P): x + y – z + 3 = 0 . HT 224.. Trong không gian với hệ tọa. độ. Oxyz , cho mặt phẳng (Q): x + 2y − z + 5 = 0 và đường thẳng. x +1 y +1 z −3 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc d: = = 2 1 1 nhỏ nhất. Đ/s: (P): y − z + 4 = 0 .. Câu hỏi tương tự: a) Với (Q): x + 2y + 2z – 3 = 0 , d :. b) Với (Q ) ≡ (Oxy ), d :. x −1 y + 2 z . = = 1 2 −1. x −1 y + 2 z = = . −1 1 2. ĐS: (P ) : x − y + z − 3 = 0 .. x = −t  c) Với (Q ) : 2x − y − z − 2 = 0 , d :  y = −1 + 2t .  z = 2 + t  HT 225.. Trong không gian với hệ tọa. độ. ĐS: (P ) : x + 2y + 5z +3 = 0 .. ĐS: (P ) : x + y + z − 3 = 0 .. Oxyz , cho hai điểm M (−1; −1; 3), N (1; 0; 4) và mặt phẳng (Q):. x + 2y − z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 49.

(282) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. • ĐS: (P ) : y − z + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) M (1;2; −1), N (−1;1;2),(Q ) ≡ (Oxy ) .. ĐS: (P ) : 6x + 3y + 5z − 7 = 0 .. x = 1 − t  HT 226. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −2 + t . Viết phương trình mặt phẳng (P)  z = 2t  chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Đ/s: (P): x + 5y − 2z + 9 = 0 . HT 227. d2 :. Trong không gian với hệ tọa. độ. Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :. x −1 y + 2 z = = 1 2 −1. và. x + 2 y −1 z = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng 2 −1 2. d2 là lớn nhất.. Đ/s: (P) : 7x − y + 5z −9 = 0 . x +1 y −2 z +1 và điểm A(2; −1; 0) . Viết = = 1 1 −1 phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. • ĐS: (P ) : x + y + 2z − 1 = 0 .. HT 228.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. HT 229. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (Q): 2x − y + z + 2 = 0 và điểm A(1;1; −1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. ĐS: (P ) : y + z = 0 hoặc (P ) : 2x + 5y + z − 6 = 0 . HT 230. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. x y z Đ/s: (P): + + =1. 27 3 3 Câu hỏi tương tự: a) Với M (1;2; 4) . HT 231.. ĐS: (P ) :. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2; 3) , cắt các tia. Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức. • ĐS: (P ) : x + 2y + 3z − 14 = 0 . HT 232.. x y z + + =1 3 6 12. 1 2. OA. +. 1 OB. 2. +. 1 OC 2. có giá trị nhỏ nhất.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (2; 5; 3) , cắt các tia. Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất. x y z • ĐS: (P ) : + + =1. 2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15. 2) Viết phương trình đường thẳng HT 233.. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng. d : x = y − 1 = z + 1 và hai điểm A(1;1;−2) , B(−1;0;2) . 1 2 −1. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới ∆ là nhỏ nhất.. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 50.

(283) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: ∆:. 0968.393.899. x −1 y −1 z + 2 . = = −2 5 8. x +1 y z +1 và hai điểm A(1;2; −1), = = 2 3 −1 B(3; −1; −5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất.. HT 234.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :. Đ/s: d :. x −1 y −2 z +1 . = = 1 2 −1. HT 235. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng ∆: x +1 y −1 z = = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng ∆ tại điểm C sao cho diện 2 −1 2 tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. x −3 y −3 z −6 Đ/s:Min S = 198 ; C(1; 0; 2) ;BC: . = = −2 −3 −4 HT 236.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y − z + 5 = 0 , đường thẳng. x + 3 y +1 z −3 và điểm A(−2; 3; 4) . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đi qua giao điểm = = 2 1 1 của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên ∆ sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.  7 4 16  Đ/s: M − ; ;  .  3 3 3 d:. Câu hỏi tương tự:.  x = 1 − t a) (P ) : 2x + y − 2z + 9 = 0 , d :  y = −3 + 2t .  z = 3 + t  HT 237. (d1 ) :. x = t  ĐS: ∆ :  y = −1  z = 4 + t. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt phẳng (P) có phương trình: x +1 y +2 z x − 2 y −1 z −1 ; (P ) : x + y − 2z + 5 = 0 . Lập phương trình đường thẳng = = , (d2 ) : = = 1 2 1 2 1 1. (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1 ),(d2 ) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Đ/s: d : HT 238.. x −1 y −2 z −2 . = = 1 1 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 3y − z − 1 = 0 và các điểm A(1; 0; 0) ;. B(0; −2; 3) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). Đ/s: x = 1 + t  a) min(d (B, d )) = 6 . d:  b) max(d (B, d )) = 14 . d: y = 0  z = t  HT 239.. x = 1 + t  y = −t   z = −t . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và các điểm A(−3; 0;1) ;. B(1; −1; 3) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất. ĐS: d :. x +3 y z −1 . = = 26 11 −2. x +1 y z −2 , hai điểm A(0; −1;2) , = = 2 1 −1 B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất).. HT 240.. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 51.

(284) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x = 3t  1 Đ/s: a) min(d (B, d )) = d:  y = −1 + 3t  11 z = 2 − 2t  x = −t  b) max(d (B, d )) = 18 d: y = −1 + t  z = 2 − t  Câu hỏi tương tự:. x + y + z − 1 = 0 a) ∆ :  , A(2;1; −1), B(−1;2; 0) .  x − y + z − 1 = 0  x + 1 = 0 ĐS: dm ax :  ;d  y + z − 2 = 0 min  b) ∆ :. x −1 y + 2 z −1 = = , A(3; −2;1), B(2;1; −1) . 1 2 −1. ĐS: dm ax :. c) ∆ :. x + 2y − 3 = 0 :  y − z − 2 = 0 . x − 3 y + 2 z −1 x − 3 y + 20 z − 1 ; dmin : . = = = = 19 −3 5 −5 20 −7. x −1 y + 2 z = = , A(1; 4;2), B(−1;2; 4) . −1 1 2. ĐS: dm ax :. x −1 y − 4 z − 2 x −1 y − 4 z − 2 ; dmin : = = = = 1 −4 −3 15 18 19. x −1 y −2 z = = , hai điểm A(1;1; 0), B(2;1;1) . 2 1 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với d, sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất. x = 1 + t  Đ/s: ∆ :  y = 1 − t  z = −t . HT 241. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :. HT 242. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0; −1;2) , cắt đường thẳng x +1 y z −2 x −5 y z sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng ∆2 : = = = = là lớn nhất. 2 1 −1 2 −2 1 x = 29t  Đ/s: d:  y = −1 − 41t  z = 2 + 4t ∆1 :. Câu hỏi tương tự: a) A(2; −1;2), ∆1 :. x −1 y + 1 z −1 , ∆2 = = 2 1 1. x + 2y − z + 1 = 0 :  . x − y + z + 1 = 0 . ĐS: d :. x −2 y +1 z −2 . = = 41 68 −27. HT 243. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; −1;2) , song song với mặt x + y + z − 3 = 0 phẳng (P ) : x + y − z + 1 = 0 sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng ∆ :  là lớn nhất.  2x − y + z − 2 = 0 . BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 52.

(285) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. x = 1  • ĐS: y = −1 + t .  z = 2 + t  HT 244. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; −1;2) , song song với mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :. x +1 y −1 z một góc lớn nhất (nhỏ = = 1 −2 2. nhất). Đ/s: a) min(cos α) = 0 d :. b) max(cos α) =. x −1 y + 1 z − 2 = = 4 5 3. 5 3 x −1 y + 1 z − 2 d: = = 9 1 −5 7. HT 245. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(−1; 0; −1) , cắt đường thẳng ∆1 :. x −1 y − 2 z + 2 x −3 y −2 z + 3 sao cho góc giữa d và đường thẳng ∆2 : là lớn nhất (nhỏ nhất). = = = = 2 1 −1 −1 2 2. Đ/s: a) min(cos α) = 0 d :. b) max(cos α) =. x +1 y z +1 = = 2 2 −1. 2 5 x +1 y z +1 d: = = 5 4 5 2. HT 246. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. Đ/s: M (2;2; −3) . Câu hỏi tương tự: a) Với A(0; −1;2), B(−1;1; 3) , (P ) ≡ (Oxy ) ..  2 1  ĐS: M − ; − ; 0  5 5 . b) Với A(1; 0; 0) , B(1;2; 0) , (P ) : x + y + z − 4 = 0. ĐS:. c) Với A(1;2; −1), B(3;1; −2),(P ) : x − y + 2z = 0 .. 13 4 ĐS: M  ;1; −  . 5 5. HT 247. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có phương trình tham số x = −1 + 2t ; y = 1 − t ; z = 2t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , xác định vị trí của điểm M để. {. chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M(1;0;2) minP = 2( 11 + 29) HT 248. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 3y + 3z − 11 = 0 và hai điểm A(3; −4; 5) ,. B(3; 3; −3) . Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho MA − MB lớn nhất..  31 5 31 ĐS: M − ; − ;  .  7 7 7 Câu hỏi tương tự: a) (P ) : x + y + z − 4 = 0 , A(1;2;1) , B(0;1;2) .. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. ĐS:. Page 53.

(286) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  7 11  ĐS: M  ; ;1 2 2 . b) .. HT 249. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + 8 = 0 và các điểm. A(–1;2; 3), B(3; 0; –1) . Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. Đ/s: M(0; 3; –1). Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x + y + z = 0 , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7).. ĐS: M ≡ O(0; 0; 0).. b) Với (P): x + 5y − 7z − 5 = 0 , A(4; 9; −9), B(−10;13;1) ..  50 192 75  ;  . ĐS: M − ; −  17 17 17 . HT 250. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 4 = 0 và các điểm A(1;2;1) ,. B(0;1;2) . Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho MA2 + 2MB 2 nhỏ nhất.  5 14 17  Đ/s: M  ; ;  .  9 9 9 . HT 251. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 . Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. F = MA2 + MB2 + MC 2 . Khi đó tìm toạ độ của M.  19 2 64 553  + Đ/s:F nhỏ nhất bằng 3.  = khi M là hình chiếu của G lên (P).  3 3  3 9 Câu hỏi tương tự: a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x − y − z − 3 = 0 .. 11 −2 4  ĐS: min F = 65 , M  ; ;   3 3 3  b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P): x + 3y – z + 2 = 0 . c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x − 2y + 2z + 6 = 0 ..  22 61 17  ĐS: M  ; ; −   3 3 3 . ĐS: M (0; 4; 1) .. HT 252. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; 0;1) , B(2; −1; 0) , C (2; 4;2) và mặt phẳng (P):. x + y + 2z + 2 = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức T = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Đ/s: M (0; 0; −1) . HT 253. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 4 = 0 và các điểm A(1;2;1) ,. B(0;1;2) , C (0; 0; 3) . Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho MA2 + 3MB 2 + 2MC 2 nhỏ nhất.. • Giải tương tự như Câu 10. HT 254. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm A(1;2; −1) ,. B(1; 0; −1) , C (2;1; −2) . Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho MA2 + MB 2 − MC 2 nhỏ nhất.. • Giải tương tự như Câu 10.. 2 1 2  ĐS: M  ; ;  . 3 3 3. HT 255. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + 2z = 0 và các điểm A(1;2; −1) ,. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 54.

(287) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. B(3;1; −2) , C (1; −2;1) . Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho MA2 − MB 2 − MC 2 nhỏ nhất.. • Giải tương tự như Câu 10.. ĐS: M (2; −2; −2) .. HT 256. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 1 = 0 và ba điểm. A(2;1; 3), B(0; −6;2),C (1; −1; 4) . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P ) sao cho MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất.  2 −7 8  M  ; ; .  3 3 3  Câu hỏi tương tự: a) (P ) : x − y + 2z = 0, A(1;2; −1), B(3;1; −2),C (1; −2;1) .. 5 1 2 ĐS: M  ; ; −  . 2 3 3. HT 257. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − 3 = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA + 2MB + 3MC nhỏ nhất..  13 2 16  43 3 Đ/s: M  ; − ;  . minT = . 9 9 9 3 HT 258. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 4 = 0 và các điểm A(1;2;1) ,. B(0;1;2) , C (0; 0; 3) . Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất. Đ/s: HT 259. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x − 3y + 2z + 37 = 0 và các điểm A(4;1; 5), B(3; 0;1),C (−1;2; 0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S =. MAMB . + MB.MC + MC .MA Đ/s: min S = 3.88 − 5 = 259 khi M (4; 7; −2) . HT 260. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B(−1;. 3; 0) , C (1; 3; 0) , M (0; 0; a ) với a > 0. Trên trục. Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC). Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất 3  3 3 • VBCMN = VMOBC +VNOBC = a +  đạt nhỏ nhất ⇔ a = ⇔ a = 3 .   3 a a HT 261. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.  5 46 41  Đ/s: D  ; ;  .  26 26 26  HT 262. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; −11) , B(3; 5; −4) , C (2;1; −6) và đường thẳng x −1 y − 2 z −1 . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ = = 2 1 1 nhất.  11 2 1  Đ/s: M − ; − ; −   9 9 9 d:. HT 263. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho (P ) : x + 2y − z + 5 = 0 điểm A( –2; 3; 4) và đường thẳng x +3 = y + 1 = z − 3 . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc 2 với d. Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. (d ) :. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 55.

(288) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899.  −7 4 16  Đ/s: Vậy M  ; ;   3 3 3 . HT 264. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y − z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Gọi ∆ là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất.  1 5 3 Đ/s: M − ; − ; −  .  2 8 8 HT 265. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E (2;1; 5), F (4; 3; 9) . Gọi ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng. (P ): 2x + y − z + 1 = 0 và (Q ) : x − y + 2z − 7 = 0 . Tìm điểm I thuộc ∆ sao cho: IE − IF lớn nhất . Đ/s: I(1;0;3). HT 266. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. x y z = = và hai điểm A(0; 0; 3) , B(0; 3; 3) . Tìm 1 1 1. điểm M ∈ d sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất.. b) MA2 + 2MB 2 nhỏ nhất.. c) MA − 3MB nhỏ nhất.. 3 3 3 Đ/s: min(MA + MB ) = 3 3 M  ; ;  .  2 2 2  5 5 5 b) M  ; ;  .  2 2 2 . c) min MA − 2MB = 3 2 khi t = 3 , tức M (3; 3; 3) . HT 267. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất.  7 14  Đ/s: M ≡ G  ; ; 0 . 3 3  TUYỂN TẬP ĐỀ THI 2009 – 2013 x −6 y +1 z +2 và điểm = = −3 −2 1 A(1; 7; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với ∆. Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho. HT 268.. 2013 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :.  51 1 17  AM = 2 30. Đ/s: M (3; −3; −1); M  ; − ; −   7 7 7 . HT 269.. 2013 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = 0 và mặt cầu. (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 2z − 8 = 0. Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).. Đ/s: M (3;1;2) HT 270.. 2013 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng. (P ) : 2x + 3y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P). Đ/s: B(−1; −1;2) HT 271. ∆:. 2013 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1; −1;1), B(−1;2; 3) và đường thẳng. x +1 y −2 z −3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ = = −2 1 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 56.

(289) GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s:. 0968.393.899. x −1 y +1 z −1 = = 7 2 4. HT 272.. 2013 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(−1; −1; −2), B(0;1;1) và mặt phẳng. (P ) : x + y + z − 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P). Đ/s: (Q ) : x − 2y + z + 1 = 0 HT 273.. 2013 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(−1; 3; −2) và mặt phẳng. (P ) : x − 2y − 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trinh mặt phẳng đi qua A và song song với (P). Đ/s: (Q ) : x − 2y − 2z + 3 = 0 x +1 y z −2 và điểm = = 1 2 1 I (0; 0; 3) . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.. HT 274.. 2012 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. Đ/s: x 2 + y 2 + (z − 3)2 =. 8 3. x +1 y z −2 mặt phẳng = = 2 1 1 (P ) : x + y − 2z + 5 = 0 và điểm A(1; −1;2). Viết phương trình đường thẳng △ cắt d và (P) lần lượt tại M, N sao cho A là trung điểm của đoạn MN. x +1 y +1 z −2 Đ/s: △: = = 2 3 2 x −1 y z và hai điểm HT 276. 2012 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = 2 1 −2 A(2;1; 0), B(−2; 3;2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.. HT 275.. 2012 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. Đ/s: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 17 HT 277. 2012 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0; 0; 3), M (1;2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt trục Ox ,Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. Đ/s: (P ) : 6x + 3y + 4z − 12 = 0 HT 278. 2012 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = 0 và điểm. I (2;1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. Đ/s: (S ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 25 x −1 y + 1 z = = và hai điểm 2 −1 1 A(1; −1;2), B(2; −1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.. HT 279.. 2012 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :. 7 5 2 Đ/s: M (1; −1; 0), M  ; − ;   3 3 3  HT 280. 2011 A (CB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.  6 4 12  Đ/s: M (0;1; 3) hoặc M − ; ;   7 7 7 . 2011 A (NC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 4y − 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Đ/s: (P ) : x − y + z = 0 hoặc x − y − z = 0 HT 281.. x −2 y +1 z và mặt = = 1 −2 −1 phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và. HT 282.. 2011 B ( CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :. MI = 4 14. Đ/s: M (5; 9; −11) hoặc M (−3; −7;13). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 57.

(290) GV.Lưu Huy Thưởng HT 283.. 2011 B (NC) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: ∆ :. 0968.393.899. x + 2 y −1 z + 5 và hai = = 1 3 −2. điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 . Đ/s: M (−2;1; −5); M (−14; −35;19) HT 284. 2011 D (CB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng x +1 y z −3 = = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. 2 1 −2 x = 1 + 2t  Đ/s: △:  y = 2 + 2t  z = 3 + 3t x −1 y − 3 z HT 285. 2011 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = và mặt phẳng 2 4 1 (P ) : 2x − y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). d:. Đ/s: (x − 5)2 + (y − 11)2 + (z − 2)2 = 1; (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 1 x −1 y z +2 và mặt phẳng = = 2 1 −1 (P ) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách từ M đến (P), biết rằng. HT 286. 2010 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :. MC = 6. 1 Đ/s: d = 6 HT 287. 2010 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng x +2 y −2 z + 3 . Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C = = 2 3 2 sao cho BC = 8. ∆:. Đ/s: x 2 + y 2 + (z + 2)2 = 25 HT 288. 2010 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1; 0; 0), B(0;b; 0),C (0; 0; c), trong đó b,c dương và mặt phẳng (P ) : y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết rằng mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng Đ/s: b = c =. 1 . 3. 1 2. HT 289. 2010 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆:. x y −1 z = = . Xác định tọa độ 2 1 2. điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM. Đ/s: M (−1; 0; 0) hoặc M (2; 0; 0) HT 290. 2010 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. Đ/s: (R) : x − z + 2 2 = 0 hoặc x − z − 2 2 = 0. x = 3 + t  HT 291. 2010 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1:  và ∆2: y = t  z = t  x − 2 y −1 z = = . Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1. 2 1 2 Đ/s: M (4;1;1) hoặc M (7; 4; 4) HT 292. 2009 A (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x − 2y − z − 4 = 0 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó. Đ/s: H (3; 0;2). BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 58.

(291) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 293. 2009 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 :. x +1 y z +9 x −1 y − 3 z + 1 = = ; ∆2 : = = . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho 1 1 6 2 1 −2. khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.  18 53 3  Đ/s: M (0;1; −3); M  ; ;   35 35 35  HT 294. 2009 B (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1; 3),C (2; −1;1) và D(0; 3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Đ/s: (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0 hoặc (P ) : 2x + 3z − 5 = 0 HT 295. 2009 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. x +3 y z −1 Đ/s: ∆ : = = 26 11 −2 HT 296. 2009 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). 5 1  Đ/s: D  ; ; −1  2 2  x +2 y −2 z và mặt phẳng = = 1 1 −1 (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆ . x + 3 y −1 z −1 Đ/s: d : = = 1 −2 −1. HT 297. 2009 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 59.

(292) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 SỐ PHỨC BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG. HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP. :………………………………………………………………….. TRƯỜNG. :…………………………………………………………………. HÀ NỘI, 8/2013.

(293) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: ℂ • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) • z là số thực z là thuần ảo. ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0). Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. • Hai số phức bằng nhau:. a = a ' a + bi = a’ + b’i ⇔  b = b ' . (a, b, a ', b ' ∈ R). 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; 2) hay bởi u = (a ; b) trong mp(Oxy) (mp phứ3). 3. Cộng và trừ số phức: • (a + bi ) + (a’ + b’i ) = (a + a’) + (b + b’) i. • (a + bi ) − (a’ + b’i ) = (a − a’) + (b − b’) i. • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u + u ' biểu diễn z + z’ và u − u ' biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : • (a + bi )(a '+ b ' i ) =(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’) i • k (a + bi ) = ka + kbi (k ∈ R) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi • z =z ;. z ±z ' = z ±z ' ;. • z là số thực ⇔ z = z ;.  z  z z .z ' = z .z ';  1  = 1 ; z .z = a 2 + b2  z 2  z 2. z là số ảo ⇔ z = −z. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 1.

(294) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 6. Môđun của số phức : z = a + bi • z = a 2 + b 2 = zz = OM • z ≥ 0, ∀z ∈ C ,. z =0⇔z =0. • z .z ' = z . z '. •. z z = z' z'. •. z' z '.z z '.z = z ' z −1 = = 2 z z .z z. • z − z ' ≤ z ±z ' ≤ z + z '. 7. Chia hai số phức:. 1 • z −1 = z (z ≠ 0) 2 z. •. z' = w ⇔ z ' = wz z. 8. Căn bậc hai của số phức:.  2 2 x − y = a • z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi ⇔ z 2 = w ⇔   2xy = b  • w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau • Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a • Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a .i 9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ≠ 0 ).. ∆ = B 2 − 4AC • ∆ ≠ 0 : (*) có hai nghiệm phân biệt , ( δ là 1 căn bậc hai của ∆) • ∆ = 0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1 = z 2 = −. B 2A. Chú ý: Nếu z0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì z 0 cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lượng giác của số phức: • z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ≠ 0).  r = a 2 + b 2   a ⇔ cos ϕ =  r  b sin ϕ =  r • ϕ là một acgumen của z, ϕ = (Ox ,OM ) • z = 1 ⇔ z = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ ∈ R) 11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 2.

(295) GV.Lưu Huy Thưởng. Cho z = r (cos ϕ + i sin ϕ) ,. 0968.393.899. z ' = r '(cos ϕ '+ i sin ϕ ') :. • z .z ' = rr '.  cos(ϕ + ϕ ') + i sin(ϕ + ϕ '). •. z r =  cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ') z' r'. 12. Công thức Moa–vrơ: n • r (cos ϕ + i sin ϕ) = r n (cos nϕ + i sin nϕ) , ( n ∈ N * ) n. • (cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: • Số phức z = r (cosϕ + i sin ϕ) (r > 0) có hai căn bậc hai là:.  ϕ ϕ r cos + i sin   2 2  ϕ   ϕ  ϕ ϕ vaø − r cos + i sin  = r cos  + π + i sin  + π   2  2 2  2 • Mở rộng: Số phức z = r (cosϕ + i sin ϕ) (r > 0) có n căn bậc n là: n.  ϕ + k 2π ϕ + k 2π  + i sin r cos , k = 0,1,..., n − 1  n n VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia. HT 1:. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 1  1) (4 – i ) + (2 + 3i ) – (5 + i) 2) 2 − i +  − 2i   3 .   1 1   3 4) 3 − i  + − + 2i  − i   3   2   2. 7). 10). 3 1   5 3  5)  + i  − − + i   4 5   4 5 . 3 −i 2 −i − 1+i i. 8). m. 3 1 + 2i. 11). HT 2:. 6) (2 − 3i)(3 + i ). 9). a +i a. 1+i 1−i. 12). 3+i (1 − 2i )(1 + i). 16). 2 − 3i 4 + 5i. a −i a. i m. 14). 2 5  3) (2 − 3i ) −  − i   3 4 . 1+i 2−i. 15). a +i b i a. Thực hiện các phép toán sau:. 1) (1 + i)2 − (1 – i )2. 2) (2 + i )3 − (3 − i )3. 1 3 4)  − 3i   2 . 5). 7) (−1 + i)3 − (2i )3. 8) (1 −i)100. 3) (3 + 4i )2. (1 + 2i )2 − (1 − i )2 2. 2. 6) (2 − i)6. (3 + 2i ) − (2 + i ). 9) (3 + 3i)5. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 3.

(296) GV.Lưu Huy Thưởng HT 3:. 0968.393.899. Cho số phức z = x + yi . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:. 1) z 2 − 2z + 4i. 2). z +i iz − 1. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c ∈ R:. HT 4:. 1) a 2 + 1. 2) 2a 2 + 3. 3) 4a 4 + 9b2. 4) 3a 2 + 5b 2. 5) a 4 + 16. 6) a 3 − 27. 7) a 3 + 8. 8) a 4 + a 2 + 1. HT 5:. Tìm căn bậc hai của số phức:. 1) −1 + 4 3i. 2) 4 + 6 5i. 3) −1 − 2 6i. 4) −5 + 12i. 4 5 5) − − i 3 2. 6) 7 − 24i. 7) −40 + 42i. 8) 11 + 4 3.i. 10) −5 + 12i. 11) 8 + 6i. 12) 33 − 56i. 9). 1 2 + i 4 2. VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức HT 6:. Giải các phương trình sau (ẩn z):. 1) z 2 + z = 0. 2 2) z 2 + z = 0. 3) z + 2z = 2 − 4i. 4) z 2 − z = 0. 5) z − 2z = −1 − 8i. 6) (4 − 5i )z = 2 + i.  z + i 4  =1 7)   z − i . 8). 9) 2 z − 3z = 1 − 12i. 10) (3 − 2i )2 (z + i ) = 3i.  1 11) (2 − i )z + 3 + i  iz +  = 0  2i .  1  1 12) z 3 − i  = 3 + i   2  2. 13). 3 + 5i = 2 − 4i z. 14) (z + 3i )(z 2 − 2z + 5) = 0 16) 2z 3 − 3z 2 + 5z + 3i − 3 = 0. 15) (z 2 + 9)(z 2 − z + 1) = 0 HT 7:. 2+i −1 + 3i z= 1−i 2+i. Giải các phương trình sau (ẩn x):. 1) x 2 − 3.x + 1 = 0. 2) 3 2.x 2 − 2 3.x + 2 = 0. 3) x 2 − (3 − i )x + 4 − 3i = 0. 4) 3i.x 2 − 2x − 4 + i = 0. 5) 3x 2 − x + 2 = 0. 6) i.x 2 + 2i.x − 4 = 0. 7) 3x 3 − 24 = 0. 8) 2x 4 + 16 = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 4.

(297) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm HT 8: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: 2) z − z + 1 − i = 2 3) z − z + 2i = 2 z − i 1) z + z + 3 = 4 4) 2i.z − 1 = 2 z + 3. 5) 2i − 2z = 2z − 1. 7) z + i = z − 2 − 3i. 8). 10) 2 + z = i − z. 11) z + 1 < 1. 6) z + 3 = 1. z − 3i =1 z +i. 9) z − 1 + i = 2. 12) 1 < z − i < 2. HT 9: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: 1) z + 2i là số thực 2) z − 2 + i là số thuần ảo 3) z .z = 9. VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức HT 10: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: π π 1) 2(cos − i sin ) 2) 4 – 4i 3 3 4) cos. π π − i. sin 4 4. 5) − sin. π π − i. cos 8 8. 3) 1 − 3.i. 6) (1 − i. 3)(1 + i). HT 11: Thực hiện các phép tính sau: 1) 3 (cos 20o + i sin 20o )(cos 25o + i sin 25o ).  π π  π π 2) 5 cos + i. sin  .3 cos + i. sin     6 6 4 4. 3) 3 (cos120o + i sin 120o )(cos 45o + i sin 45o ).  π π  π π 4) 5 cos + i sin  3 cos + i sin   6 6  4 4. 5). 2 (cos18o + i sin 18o )(cos 72o + i sin 72o ). 6). cos 85 + i sin 85 cos 40 + i sin 40. 7). 2(cos 450 + i. sin 450 ) 0. 8). 0. 3(cos 15 + i.sin 15 ). 3(cos 15 + i sin 15 ). 2π 2π + i. sin ) 3 3 π π 2(cos + i. sin ) 2 2.  2π 2π  2 cos + i sin   3 3  π π 2 cos + i sin   2 2. 2(cos. 9). 2(cos 45 + i sin 45 ). 10). HT 12: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 1) 1 − i 3. 5). 1−i 3 1+i. 9) 1 + i 3. 2) 1 + i. 6). 1 2 + 2i. 10). 3 −i. 3) (1 − i 3)(1 + i ). 4) 2.i.( 3 − i). 7) sin φ + i. cos φ. 8). 11) 3 + 0i. 12) tan. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. 2 +i 2 5π +i 8. Page 5.

(298) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. HT 13: Viết dưới dạng đại số các số phức sau: 1) cos 45o + i sin 45o.  π π 2) 2 cos + i sin   6 6. 4) (2 + i)6. 5). 7). 3+i (1 + i )(1 − 2i). 6). 1  3π 3π  + i sin  cos 4 4 2. 1 i. 8) (−1 + i 3 ).  40 1 + i 3  9) (2 − 2i)7 .    1 − i . 1 + i 100  π π  cos + i sin  11)   1 − i   4 4. 12). 60. 1+i 2i + 1. 10). 3) 3 (cos120o + i sin 120o ). 1. (. 17. 3 − i). HT 14: Tính: 5. 16. 1) (cos12o + i sin 12o ). 2) (1 + i ). 3) ( 3 − i)6.  7 4)  2 (cos 300 + i sin 300 ). 5) (cos15o + i sin 15o )5. 6) (1 + i )2008 + (1 − i)2008.  21  5 + 3i 3  7)    1 − 2i 3 . 12 1 3   8)  + i   2 2 .  i + 1 2008  9)   i . ----------------------------------------------------------------------. BÀI 2: ÔN TẬP HT 15: Thực hiện các phép tính sau: 1) (2 − i )(−3 + 2i)(5 − 4i ).  −1 + i 3 6 1 − i 7 6   +   2)     2 2 . 1 + i 16  1 − i 8  +   3)   1 − i   1 + i . 4). 5) (2 − 4i)(5 + 2i ) + (3 + 4i )(−6 − i). 6) 1 + i + i 2. 7) i 2000 + i1999 + i 201 + i 82 + i 47. 8) 1 + i + i 2 + ... + i n , (n ≥ 1). 9) i.i 2 .i 3 ...i 2000. 10) i −5 (−i)−7 + (−i )13 + i −100 + (−i)94. 3 + 7i 5 − 8i + 2 + 3i 2 − 3i. + i 3 + ... + i 2009. HT 16: Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z 2 = −2 + 3i, z 3 = 1 − i . Tính: 1) z1 + z 2 + z 3. 2) z1z 2 + z 2z 3 + z 3z1. 3) z1z 2z 3. 4) z12 + z 22 + z 32. z z z 5) 1 + 2 + 3 z 2 z 3 z1. z 2 + z 22 6) 1 z 22 + z 32. HT 17: Rút gọn các biểu thức sau: 1) A = z 4 + iz 3 − (1 + 2i )z 2 + 3z + 1 + 3i, với z = 2 + 3i. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 6.

(299) GV.Lưu Huy Thưởng. 2) B = (z − z 2 + 2z 3 )(2 − z + z 2 ), với z =. 0968.393.899. 1( 3 − i) 2. HT 18: Tìm các số thực x, y sao cho: 1) (1 − 2i )x + (1 + 2y )i = 1 + i. 2). x −3 y −3 + =i 3+i 3−i. 1 3) (4 − 3i )x 2 + (3 + 2i )xy = 4y 2 − x 2 + (3xy − 2y 2 )i 2. 4) 2x + 3 + (3y − 1)i = (5x − 6) − (y + 2)i 5). x (3 − 2i ) + y(1 − 2i )3 = 11 + 4i 2 + 3i. 6) x (3 + 2i) + y(1 − 2i )3 = 9 + 14i HT 19: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: 1) 8 + 6i 2) 3 + 4i 3) 1 + i.  1 − i 3 2   6)   3 − i . 1 + i 2  5)   1 − i . 9). 3 −i. 10). 1+i 3. 1. +. 2. 1. 7). 4) 7 − 24i. 1 2 − i 2 2. 8) i, –i. 11) −2 (1 + i 3 ). i. 12). 2. 1 1 + 1+i 1−i. HT 20: Giải các phương trình sau: 1) z 3 − 125 = 0. 2) z 4 + 16 = 0. 3) z 3 + 64i = 0. 4) z 3 − 27i = 0. 5) z 7 − 2iz 4 − iz 3 − 2 = 0. 6) z 6 + iz 3 + i − 1 = 0. HT 21: Gọi u1; u2 là hai căn bậc hai của z1 = 3 + 4i và v1; v2 là hai căn bậc hai của z 2 = 3 − 4i . Tính u1 + u2. +v1 + v2 ? HT 22: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1) z 2 + 5 = 0. 2) z 2 + 2z + 2 = 0. 4) z 2 − 5z + 9 = 0. 5) −2z 2 + 3z − 1 = 0. 6) 3z 2 − 2z + 3 = 0. 7) (z + z )(z − z ) = 0. 8) z 2 + z + 2 = 0. 9) z 2 = z + 2. 10) 2z + 3z = 2 + 3i. 11) (z + 2i ) +2 (z + 2i ) − 3 = 0. 12) z 3 = z. 14) iz 2 + (1 + 2i )z + 1 = 0. 15) (1 + i )z 2 + 2 + 11i = 0. 13) 4z 2 + 8 z. 2. 2. =8. 3) z 2 + 4z + 10 = 0. HT 23: Giải các phương trình sau trên tập số phức:  4z + i 2 4z + i  −5 1)  +6 = 0  z − i  z −i. 2) (z + 5i ) (z − 3) (z 2 + z + 3) = 0. 3) (z 2 + 2z ) − 6 (z 2 + 2z ) − 16 = 0. 4) z 3 − (1 + i ) z 2 + (3 + i ) z − 3i = 0. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 7.

(300) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 5) (z + i ) (z 2 − 2z + 2) = 0. 6) z 2 − 2iz + 2i − 1 = 0. 7) z 2 − (5 − 14i )z − 2(12 + 5i ) = 0. 8) z 2 − 80z + 4099 − 100i = 0. 9) (z + 3 − i)2 − 6(z + 3 − i ) + 13 = 0. 10) z 2 − (cos ϕ + i sin ϕ)z + i cos ϕ sin ϕ = 0. HT 24: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1) x 2 − (3 + 4i )x + 5i − 1 = 0. 2) x 2 + (1 + i )x − 2 − i = 0. 4) x 2 + x + 1 = 0. 5) x 3 − 1 = 0. 3) 3x 2 + x + 2 = 0. HT 25: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 1) z 3 − iz 2 − 2iz − 2 = 0. 2) z 3 + (i − 3)z 2 + (4 − 4i)z − 4 + 4i = 0. HT 26: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện: 1) (z − 2)(z + i) là số thực. 2) z 2 = z 3) z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25 4). z −1 z − 3i = 1 và =1 z −i z +1. 2 5) z 2 + 2z .z + z = 8 và z + z = 2. 6) z − 1 = 5 và 17(z + z ) − 5z .z = 0 2. (). 7) z = 1 và z 2 + z. =1. 8) z − 2 + i = 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 9) z = 1 và. z. +. z. z =1 z. HT 27: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: 1) z = 2 và z 2 là số thuần ảo z − 2i là số thuần ảo z −2 z − 2i 3) z + 1 − 2i = z + 3 + 4i và là số ảo. z +i z + 7i 4) z = 5 và là số thực. z +1 HT 28: Giải các phương trình trùng phương:. 2) z = z − 2 − 2i và. 1) z 4 − 8(1 − i)z 2 + 63 − 16i = 0. 2) z 4 − 24(1 − i)z 2 + 308 − 144i = 0. 3) z 4 + 6(1 + i )z 2 + 5 + 6i = 0 HT 29: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: 1). z =3 z −i. 4) z = z − 3 + 4i. 2) z 2 + z 2 = 1. 5). z +i. (. ). 3) (z − 2) z + i là số thực. là số thực. z +i HT 30: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 8.

(301) GV.Lưu Huy Thưởng 1) z − 3 + 4i = 2 4) z =. 2) z − i = (1 + i )z. 1 z. 5) z +. 0968.393.899. 3) (2 − z )(z + i ) là số thuần ảo. 1 =2 z. HT 31: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z ' thoả mãn hệ thức sau: 1) z ' = (1 + i 3)z + 2 biết z thỏa mãn: z − 1 = 2 2) z ' = (1 + i 3)z + 2 biết rằng z thỏa mãn: z + 1 ≤ 3 3) z ' = (1 + 2i)z + 3 biết rằng z thỏa mãn: z + 3. 2. =. 2zz 5. 4) z ' = (1 + i)z + 1 biết z + 2 ≤ 1 HT 32: Hãy tính tổng S = 1 + z + z 2 + z 3 + ...z n −1 biết rằng z = cos. 2π 2π . + i sin n n. HT 33: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 1) i 4 + i 3 + i 2 + i + 1. 4) 1 − sin α + i cos α, 0 < α <. π 2. 7) sin α + i(1 − cos α), 0 < α <. 2+i 1−i. 2) (1 − i )(2 + i). 3).  π π 5) −3 cos + i sin   6 6. 6) cot α + i, π < α <. π 2. π 2. HT 34: Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: 1). (2. 8. 3 + 2i ) (1 − i )6. 4) − sin. (1 + i )6. +. 2). 8. (2. 3 − 2i ). (−1 + i )4. (. π π + i cos 8 8. 10. 3 − i). 5) cos. 7) 1 − sin α + i cos α, 0 < α <. π 2. 8). n. 1. +. (2. n. 3) (1 + i 3 ) + (1 − i 3 ). 4. 3 + 2i ). π π − i sin 4 4. 6) −2 + 2 3i. 1 + cos α + i sin α π , 0<α< 1 + cos α − i sin α 2. 9) 4 − 3i. HT 35: Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: 1). (2. 8. 3 + 2i ) (1 − i )6. (1 + i )6. +. (2. 8. 3 − 2i ). 2). (−1 + i )4. (. 10. 3 − i). n. 1. +. (2. 4. n. 3) (1 + i 3 ) + (1 − i 3 ). 3 + 2i ). HT 36: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực: 1) (2 + i 5 ) + (2 − i 5 ). 19 + 7i n  20 + 5i n  +   2)   9 − i   7 + 6i . −1 + i 3 6  −1 − i 3 6   +   3)      2 2. −1 + i 3 5  −1 − i 3 5   +   4)      2 2. 7. 7.  i + 3 6 i − 3 6   +   5)    2  2  HT 37: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện sau, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 1) (z − 1)(z + 2i) là số thực 2) z − i = z − 2 − 3i. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 9.

(302) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 3) iz − 3 = z − 2 − i HT 38: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện sau, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất. (1 + i )z 3 1) z − 2 + 3i = 2) z − 2 + 2i = 2 2 3) +2 = 1 2 1−i 4) z + 1 − 2i = 1. 5) z − 2 − 4i = 5. HT 39: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:. 4i ; (1 − i)(1 + 2i); 2 + 6i i −1 3 −i 1) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. 2  z + 1   , Đ/s: z = 3 ± 4i; z = 9 HT 40: Giải phương trình z = 2 −  z − 7. 2z − i ≤1. 2 + iz ----------------------------------------------------------------------. HT 41: Chứng minh rằng: nếu z ≤ 1 thì. BÀI 3: TUYỂN TẬP SỐ PHỨC THI ĐẠI HỌC HT 42: (ĐH Khối A – 2009) Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức: 2. 2. A = z1 + z2 . Đ/s: A = 20 HT 43: (ĐH Khối B – 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25 Đ/s: z = 3 + 4i hoặc z = 5 HT 44: (ĐH khối D – 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện. z − (3 − 4i ) = 2 . Đs: Đường tròn tâm I (3;-4), bán kính R = 2 HT 45: (CĐ khối A, B, D – 2009) Cho số phức z thỏa mãn: (1 + i )2 (2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i )z . Xác định phần thực và phần ảo của z. Đ/s: Phần thực: 2; Phần ảo: -3 HT 46: (CĐ khối A, B, D – 2009) Giải phương trình:. 4z − 3 − 7i = z − 2i trên tập số phức. Đ/s: z1 = 3 + 2i; z 2 = 2 + i z −i. HT 47: (ĐH khối A – 2010) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết z = ( 2 + i)2 (1 − 2i ) Đ/s: a = 5, b = − 2 (1 − 3i )3 . Tìm mô – đun của z + iz . Đ/s: 8 2 1−i HT 49: (ĐH khối B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện. HT 48: (ĐH khối A – 2010) Cho số phức z thỏa mãn: z =. z − i = (1 + i )z . Đ/s: đường tròn tâm I (0;-1) bán kính R = 2 HT 50: (ĐH khối D – 2010) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z = 2 và z 2 là số thuần ảo. z1 = 1 + i ; z 2 = 1 − i ; z 3 = − 1 − i ; z 4 = − 1 + i. HT 51:. (CĐ khối A, B, D – 2010) Cho số phức z thỏa mãn: (2 − 3i )z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 . Xác định phần thực, phần. ảo của số phức z. Đ/s: Phần thực: -2; phần ảo: 5 HT 52:. 2 1 1 1 1 (ĐH khối A – 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết z 2 = z + z . Đ/s: z = 0; z = − + i; z = − − i 2 2 2 2. HT 53:. (ĐH khối A – 2011) Tính môđun của số phức z, biết; (2z – 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i ) = 2 − 2i Đ/s:. 2 3. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 10.

(303) GV.Lưu Huy Thưởng. 0968.393.899. 5+i 3 − 1 = 0 Đ/s: z = −1 − i 3 hoặc z = 2 − i 3 z. HT 54:. (ĐH khối B – 2011) Tìm số phức z biết: z −. HT 55:.  3 1 + i 3  (ĐH khối B – 2011)Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =    1 + i . Đ/s: phần thực là 2 phần ảo là 2 HT 56:. (ĐH khối D – 2011) Tìm số phức z biết: z − (2 + 3i)z = 1 − 9i Đ/s: z = 2 − i. HT 57:. (ĐH khối A-A1– 2012) Cho số phức z thỏa mãn:. 5(z + i ) = 2 − i. Tính mô-đun của số phức z +1. w = 1 + z + z 2 Đ/s: w = 13 HT 58:. (ĐH khối B – 2012) Gọi z1, z 2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 3iz − 4 = 0. Viết dạng lượng giác.   π π 2π 2π  của z1 và z 2 Đ/s: z1 = 2 cos + i sin  ; z 2 = 2 cos + i sin     3 3 3 3   HT 59:. (ĐH khối D – 2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i )z +. 2(1 + 2i ) = 7 + 8i. Tìm mô-đun của số phức 1+i. w = z + 1 + i Đ/s: w = 5 HT 60:. (ĐH khối D – 2012) Giải phương trình: z 2 + 3(1 + i )z + 5i = 0 trên tập số phức. Đ/s: z = −1 − 2i; z = −2 − i HT 61:. (ĐH khối A-A1– 2013) Cho số phức z = 1 + 3i. Viết dưới dạng lượng giác của z . Tìm phần thực và phần ảo.  π π của số phức: w = (1 + i )z 5 . Đ/s: z = 2 cos + i sin  ; phần thực: 16( 3 + 1) phần ảo: 16(1 − 3)  3 3  HT 62:. w=. (ĐH khối D – 2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z − i ) + 2z = 2i. Tính mô-đun của số phức. z − 2z + 1 z2. Đ/s: w = 10. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN. Page 11.

(304)

CHUYEN DE LUYEN THI DAI HOC NAM 2014

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về