Bo cong thuc giai nhanh toan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 21 trang )
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Giá sách: 95.000 đồng
bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
1
Bài 6. Các công thức đặc biệt
1. Các công thức phần Hàm số và các dạng tốn liên quan
Đơn vị
kiến
Cơng thức và bài tập tự luyện
thức
Đạo hàm cấp n của 1 số hàm số hay gặp
n
(cos(ax b))(n) a n cos ax b
,n N
2
(sin(ax b))(n) a n sin (ax b) n ,n N
2
(n)
1
ax 1
Đạo hàm:
an .
ln(ax b)
(n)
( 1)n .n!
(a x 1)n1
an .
( 1)n1 .(n 1)!
(a x 1)n
e a .e ; (a ) m . lna .a
a x a x ... a x a a .n!
ax b ( n )
n
n
n
n 1
ax b
mx n ( n )
n
n
mx n
(n)
n 1
1
0
n
Ví dụ 1. Cho hàm số y acos x bsin x . Mệnh đề đúng là:
A. y' y(3) 0
B. y' y(3)
C. y' y(3) A B
D. y' y(3) A.B
Ví dụ 2. Cho y xe x . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
A. y' y ex
B. y'' y 2ex
C. y''' y 3e x
D. y'' y' y'''
Cho hàm bậc 3 y ax3 bx 2 cx d . Nếu đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị thì đường thẳng đi qua 2 điểm cưc trị y= Ax + B
được tính theo cơng thức: f(x) f '(x).G(x) (Ax B) . Cụ thể, ta
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
2 2
bc
y
b 3ac x d
9a
9a
2 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Cực trị: Ví dụ 1. Cho hàm số y x3 mx2 1; m 0 luôn tồn tại
1 công đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực đại cực tiểu của đồ thị hàm
thức
số và (d) có phương trình là:
2m
2m 2
x1
A. y
B. y
x1
9
3
2m
2m 2
x 1
C. y
D. y
x 1
3
9
Ví dụ 2. Cho hàm số y x3 mx 2 7 x 3 . Tìm m để đường
thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vng góc với
3
đường thẳng y x 2012 .
10
A. m 6
B. m 2
C. m 3
D. m 4
Điểm uốn: + Hàm bậc ba: điểm đối xứng của đồ thị hàm số chính là điểm
1 cơng thức uốn
x 3
Ví dụ . Cho hàm số y 2 3m 4 x2 2m 2 , (Cm ) với m = 1 và
m
m = 1 thì tâm đối xứng của (Cm) lần lượt là:
A. (1; 0) và (1; 0)
B. (1; 0) và ( 1; 2)
C. ( 1; 2) và (0;1)
D. ( 1; 2) và (1; 0)
Đáp án: A.
Đồ thị hàm
ax b ax 2 bx c
;
: điểm đối xứng
+ Hàm phân thức có dạng
phân thức:
cx d
px q
8 tính chất của đồ thị hàm số chính là giao điểm hai đường tiệm cận
2x2 7x 7
;(H) Tâm đối xứng của (H) là
x2
B. (0; 3)
C. (1; -2)
D. (2; 5)
Ví dụ 1. Cho hàm số y
A. (2; 1)
Đáp án: A.
Ví dụ 2. Cho hàm số Cm : y (m 1)x m
m2 m 2
trong
xm
đó m 1 .Với giá trị nào của m thì tâm đối xứng của Cm nằm
trên đường thẳng y 2x 1
A. m 2
B. m 1
C. m 3
D. m 1
* Cho đồ thị hàm phân thức (bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai
3
trên bậc nhất).
- Bài tốn 1: Tìm 2 điểm A, B trên 2 nhánh của đồ thị sao cho AB
ngắn nhất?
- Bài tốn 2: Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách
từ M đến 2 tiệm cận là ngắn nhất?
- Cách làm: A, B, M chính là giao điểm của đồ thị hàm số với
phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận
ax b
- Với hàm y
a,c 0 ta có cơng thức đặc biệt sau:
cx d
1. Phương trình đường thẳng là phân giác cặp góc tạo bởi 2
ad
tiệm cận là: y x
c
2. Độ dài AB là
2 2 ad bc
c
3. Điểm M sẽ có hồnh độ thỏa mãn
y'(xM ) 1 (c.xM d)2 ad bc . Sau khi xác định được tọa
độ M(xM ; yM ) thì:
+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục là : xM yM
+ Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:
d yM
cx d
a
d
bc ad
xM
M
c
c
c(cxM d)
c
ad bc
c
ad bc
c
2
ad bc
c
Từ đó ta cũng thấy rằng tại điểm M thỏa mãn tổng khoảng cách
từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất thì nó cũng thỏa mãn
tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất và ngược
lại. Hơn nữa M nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai
đường tiệm cận.
2x 2
Ví dụ 1. Cho hàm số y
(C). Tìm trên 2 nhánh của (C)
x1
hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
4 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
A. (1;0),( 3; 4)
C. (5; 3),( 3; 4)
B. (1;0),(3; 2)
D. ( 5; 3),(3; 2)
2x 2
(H). M thuộc nhánh phải của
x 1
(H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
Tọa độ của điểm M là:
A. M(3; 4)
B. M(3; 4)
C. M( 3; 4)
D. M( 3; 4)
x
Ví dụ 3. Cho hàm số y
(H). Điểm M trên (H) sao cho
x1
khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất, khoảng cách đó là:
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
+ Một số kết quả quan trọng khác về đồ thị của hàm nhất biến, ta
quy ước chung là (C):
o (C ) nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
o (C) nhận hai đường phân giác của các cặp góc tạo bởi hai
đường tiệm cận làm trục đối xứng
o Tiếp tuyến của (C) tại một điểm M bất kì cắt hai tiệm cận lần
lượt là A và B tạo thành một tam giác có diện tích khơng phụ
thuộc vào vị trí của M, ngồi ra M là trung điểm đoạn AB
o Nếu đường thẳng y = kx + m (k 0) cắt đồ thị (C) tại hai điểm
A, B và cắt hai đường tiệm cận tại M và N thì hai đoạn AB, MN
có cùng trung điểm.
Ví dụ 4. Đồ thị nào sau đây khơng có tâm đối xứng
Ví dụ 2. Cho hàm số y
A. y ln( x2 1 x)
B. y tan 5x
C. 16x2 9y2 144
D.
x2 1
x2 1
2x 1
tại
x1
hai điểm P và Q. Để độ dài đoạn PQ ngắn nhất, giá trị thích hợp
cho m là:
A. m = 1
B. m = 1
C. m = 2
D. m = 2
2x 1
(C). Tìm trên đồ thị hàm số
Ví dụ 6. Cho hàm số y
x 1
điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận
là nhỏ nhất
Ví dụ 5. Đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị y
A. (1 3; 2 3)
B. (1 3; 3)
5
C. ( 3 1; 3)
D. (1 3; 3)
1
Ví dụ 7. Cho hàm số y x . Trong các mệnh đề sau, mệnh
x
đề sai là:
A. Hàm số có hai tiệm cận: một tiệm cận xiên, một tiệm cận
đứng
B. Hàm số có tâm đối xứng I 1;1
C. Hàm số có hai cực trị
D. lim f x
x0
Max, min :
c
1
Hàm số a sin x bcos x c có nghiệm 1
1 cơng thức
a 2 b2
2sin x cos x 1
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y
sinx 2cos x 3
1
1
A. max y 2,min y
B. max y 2,min y
2
2
C. max y 2,min y 2
D. max y 2,min y 2 2
Các công thức cực trị hàm bậc 4 trùng phương
Cho hàm số y ax4 bx 2 c
Đồ thị hàm số có 3 cực trị khi ab 0 . Khi đó A, B, C ln lập thành 1 tam
giác cân
b b 2 4ac b b 2 4ac
A(0;c); B
;
;
; B
4a
4a
2a
2a
1. Nếu ABC cân có góc ở đỉnh là thì tan 2
2
2. Nếu ABC là tam giác đều thì 24a b 0
3. Nếu ABC là tam giác vng cân thì 8a b3 0
8a
b3
3
4. Nếu ABC có các góc đều là góc nhọn thì tan 2
2
8a
8a b3
1
0
b3
b3
6 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
b5
32a3
6. Nếu ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm thì b2 6ac 0
7. Nếu ABC nhận gốc tọa độ O làm tâm đường trịn ngoại tiếp thì
b3 8a 8abc 0
8. Nếu ABC nhận gốc tọa độ O làm trực tâm thì b3 4abc 8a 0
9. Ba điểm A, B, C cùng gốc tọa độ O tạo thành hình thoi thì b2 2ac 0
1 b 2 2a 2
10. Nếu ABC bán kính đường trịn ngoại tiếp là R thì R
( )
2a 4 b
5. Nếu ABC có diện tích S thì S 2
Đồ thị hàm số khơng có 3 cực trị khi ab 0 .
a 0
Đồ thị hàm số không có cực đại khi
b 0
a 0
Đồ thị hàm số khơng có cực tiểu khi
b 0
Để đồ thị hàm bậc 4 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác thỏa mãn
S
trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần sao cho ABC k thì
S AMN
ab 0
2
( nhớ thêm đk để trục hồnh cắt phần trong tam giác)
b
k
4ac
Một số cơng thức cho hàm bậc 3.
1.Tính chất rất đặc biệt của tiếp tuyến hàm bậc 3 và bậc cao:
y f ( x) ax3 bx 2 cx d
Đồ thị Hàm bậc 3 có 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì tiếp tuyến tại A, B, C cắt đồ thị hàm
bậc 3 lần lượt tại A’, B’, C’ khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng
2. Nếu đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị thì phương trình đường thẳng nối 2 cực trị có
tính chất sau:
Chú ý để hàm số có 2 cực trị thì b2 3ac 0 nên dấu của hệ số góc của đường
thẳng nối hai cực trị sẽ phụ thuộc vào a.
Phương trình đường nối 2 cực trị là d: y
2
bc
a b2 3ac x d
9
9a
7
Đồ thị hàm bậc 3 có điểm uốn là điểm rất đặc biệt. Mọi đường thẳng đi qua điểm
uốn và cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì sẽ có điểm uốn là trung điểm của hai
điểm cịn lại. Nó cũng tạo với đồ thị hai phần diện tích bằng nhau.
Cho hàm bậc 3 y=f(x) có 2 cực trị khi đó để hàm y f ( x) m có 5 cực trị
tương đương với yCT m yCD từ đó hàm y f ( x) m chỉ có hai trường
m yCT
m yCD
hợp là 3 cực trị và 5 cực trị nên để hàm có 3 cực trị thì
Quy tắc xét dấu hệ số của hàm bậc 3:
Xét dấu của a ta dựa vào nhánh phải của đồ thị đi lên thì a>0 , đi xuống thì a<0
Xét dấu của d: Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm phía trên trục Ox thì d>0 và
phía dưới Ox thì d<0, đi qua O thì d=0.
Xét dấu b và c:
2b
c
với x1 , x2 là hồnh
; x1.x2
3a
3a
độ điểm cực trị (nhìn đồ thị ta xét biết được dấu của x1 , x2 ) nên nó là nghiệm của phương
Trường hợp 1: Nếu hàm có hai cực trị thì x1.x2
trình y ' 3ax 2 2bx c 0 mà ta đã có dấu của a rồi nên xét tiếp được b, c.
Trường hợp 2: Nếu hàm số khơng có cực trị thì phương trình vơ nghiệm hoặc có
nghiệm kép khi đó ta có ' b2 3ac 0 ac b2 0 . Ta xét điểm uốn U (tìm
điểm uốn từ y’’=0 rồi tìm x từ đó có y) có y '' 6ax 2b 0 xU
b
từ đồ thị ta
3a
sẽ có dấu của xU từ đó ta có dấu của b. Nếu điểm uốn khơng thuộc trục tung thì b
khác 0 từ đó ta có ac b2 0 mà ta có dấu của a rồi nên có dấu của c. Nếu điểm uốn
thc trục tung thì b=0 từ đó ac .
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm y=f(ax+b) khi biết tính đơn điệu của hàm
y=f(x)(với y=f(x) là hàm số liên tục trên [a;b]:
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên thì và đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) khi
đó nó đồng biến (nghịch biến) trên [a;b]
Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trên [a;b] và m>0 thì hàm y=f(mx+n) đồng biến
trên đoạn [
an bn
;
]
m
m
Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trên [a;b] và m<0 thì hàm y=f(mx+n) nghịch biến
trên đoạn [
bn an
;
]
m
m
8 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Nếu hàm số y=f(x) nghịch biến trên [a;b] và m>0 thì hàm y=f(mx+n) nghịch biến
trên đoạn [
an bn
;
]
m
m
Nếu hàm số y=f(x) nghịch biến trên [a;b] và m<0 thì hàm y=f(mx+n) đồng biến
trên đoạn [
bn an
;
]
m
m
Lưu ý: Khi a hoặc b là vơ cùng thì ta vẫn áp dụng chỉ thay dấu đoạn bằng dấu
khoảng tại đầu mút vô cùng. (ở trong phần giải đề tham khảo 2018 thầy có áp
dụng cơng thức này)
2. Các cơng thức phần hình khơng gian Oxyz
Đơn
thức
vị
kiến
Cơng thức và bài tập
1
S
AB,AC
Tam
giác:
ABC
Diện tích tam
2
giác biết tọa độ 3
Hình bình hành: S ABCD AB,AD
đỉnh
Dữ kiện sau dùng cho Ví dụ 1, 2: Trong không gian Oxyz
cho A(4; 2;6),B(10; 2; 4),C(4; 4;0),D(2;0; 2)
Ví dụ 1. Kết luận đúng là:
A. ABCD là hình thoi
B. A, B, C, D không đồng phẳng
C. A, B, C, D là hình thang
D. ABCD là hình bình hành
Ví dụ 2. Diện tích của tứ giác ABCD là:
A. SABCD 12. 19 (đvdt)
C. SABCD 24 19 (đvdt)
B. SABCD 6 38 (đvdt)
D. SABCD 12 38 (đvdt)
*Dữ kiện sau dùng cho Ví dụ 3, 4: Trong khơng gian Oxyz
cho bốn điểm đồng phẳng
5 5 3 3 9 5
2; ;1 , ; ;0 , 5; ;3 , ; ; 4
2 2 2 2 2 2
Ví dụ 3. Dạng của tứ giác ABCD là:
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hinh vng
D. Hình chữ nhật
Ví dụ 4. Diện tích của tứ giác ABCD là:
9
5 5
(đvdt)
4
5
C. S
(đvdt)
4
A. S
25 5
(đvdt)
2
5 5
D. S
(đvdt)
2
B. S
Thể tích tứ diện
1
Tứ diện: VABCD AB,AC AD
biết tọa độ 4
6
đỉnh, thể tích
Hình hộp: VABCD.A ' B' C ' D' AB,AD AA'
hình hộp biết tọa
độ 4 đỉnh
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có
A(2;3;1), B(4;1; 2), C(6;3;7), D(1; 2;2) . Độ dài đường
cao AH của tứ diện là:
A. 2 2 (đvđd)
B. 2 (đvđd)
C. 4 (đvđd)
D. 4 2 (đvđd)
Ví dụ 2. Tính thể tích hình lập phương biết hai mặt nằm
trên là hai mặt phẳng
:x 2y 2z 4 0; :x 2y 2z 5 0
A. V 27 (đvtt)
C. V 125 (đvtt)
B. V 8 (đvtt)
D. V 64 (đvtt)
Khoảng
cách
AB,CD .BD
giữa 2 đường AB và CD (chéo nhau): d( AB,CD )
AB,CD
thẳng chéo nhau
Ví dụ 1. Cho 4 điểm
A(1;2;3), B(1;0;2), C(0;1;7), D(2;0;5). Khoảng cách giữa
AB và CD là:
A. 4
B. 5
C. 6
D. 3
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' với
A(0;0;0), D(0; a;0), A '(0;0; a), a 0
Góc giữa hai đường thẳng AD’ và DC’ là:
A. 300
B. 600
C. 900
D. 450
10 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Cơng thức tìm nhanh hình chiếu của điểm lên mặt và đường trong hình oxyz
1. Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
Ví dụ 1: Tìm hình chiếu của A(m,n,q) lên mặt phẳng (P) : ax+by+cz+d=0
Cách làm:
am bn cq d
Tính k
a 2 b2 c 2
Hình chiếu H là (m ak; n bk; q ck)
Ví dụ 2: Tìm hình chiếu của A(2;3;4) lên (P) : x 2 y z 3 0
Hướng dẫn giải:
2 2.3 4 3
9
Tính k 2
2
2
6
1 2 1
9
9
9
Hình chiếu là H(2 1.( ); 3 2.( ); 4 1.( ))
6
6
6
1
5
Hay H ; 0;
2
2
2. Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng
Đề : Tìm hình chiếu của A(m,n,q) lên mặt phẳng d:
xa y b z c
d
e
f
Gọi hình chiếu là A( x0 ; yo ; z0 )
x0 a y 0 b z 0 c
t
d
e
f
(m a)d (n b)e (q c).f
Ta có t
. Từ đó suy ra x0 , y0 , z0
d2 e 2 f 2
Đặt
3.Các công thức thể tích khối trịn xoay đặc biệt
Loại
Hình cầu
Cơng thức
S 4 R 2
4
V R3
3
Lưu ý
R là bán kính mặt cầu
11
Chỏm cầu
S xq 2 Rh R 2 h 2
R
2
x3 R
2
2
V
R
x
dx
R
x
3 Rh
R h
h h 2
h2 R
h 3r 2
3 6
Hình nón
S xq Rl; S tp R R l
R là bán kính
đường trịn đáy.l
là độ dài đường
sinh.
R, r lần lượt là bán kính
hai đường trịn đáy.
1
V R2h
3
Hình nón
cụt
S xq l R r
Hình trụ
S xq 2 Rh
1
V h R 2 r 2 Rr
3
R là bán kính đường
trịn đáy. h là chiều cao.
V R2h
Diện tích
Elip, thể
tích khối
trịn xoay
sinh bởi
Elip khi
quay
quanh
trục
Ox,Oy
R là bán kính mặt cầu,h
là khoảng cách từ đỉnh
chỏm cầu tới mặt đáy
chỏm cầu.
Ở đây ta lưu ý là Elip có
hình chữ nhật cơ sở
cạnh 2a và 2b. Nếu a>b
thì tiêu điểm nằm trên
trục hồnh. Nếu atiêu điểm nằm trên trục
tung. Tiêu cự bằng 2c
x2 y2
1
a 2 b2
S E ab; S hcncs 4ab
E :
4
4
VOx ab2 ; VOy a 2 b
3
3
với c
3.Công thức phần số phức
3.1 Công thức De-moivre dạng 1
(cos isin ).( cos isin) cos( ) isin( )
Ví dụ 1. Cho hai số phức z1 r(cos isin ); z2 (sin icos )
Lựa chọn phương án đúng
A. z1, z2
B. (z1+ z2 )2 là số thực
12 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
a 2 b2
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
C. z12 - z22 là số thuần ảo
D. z12 + z22 là số thuần ảo
Ví dụ 2. Cho các số phức
13
13
z1 2 cos i sin ; z2 2 cos
i sin
12
12
12
12
7
7
z3 4 cos i sin ; z4 2 sin
2i cos
6
12
12
6
k.2
k.2
zk n r cos
i sin
n
n
Kết luận đúng là:
A. z1 z4 4 cos
12
B. z1 .z2 z3
D. z 2 z4
B. z1 z2 0
3.2. Tìm căn bậc n của số phức
Ghi nhớ : Cho số phức z r(cos isin). Với n là số nguyên dương, có
đúng n căn bậc n của số phức z là với k 0; n 1
4. Công thức phần tích phân
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)
3)
k.dx k.x C
1
x
2
dx
1
2)
1
C
x
4)
1
C
a(n 1)(ax b) n 1
5)
(ax b)
6)
(ax b) dx a ln ax b C
7)
sin x.dx cos x C
9)
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
10)
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
1
n
dx
x 1
x dx 1 C 1
1
x dx ln x C
1
8)
cos x.dx sin x C
1
1
13
1
11)
cos
12)
sin
2
14)
sin
2
2
x
dx (1 tan 2 x).dx tan x C
dx 1 cot 2 x dx cot x C
1
x
1
1
13)
dx tan(ax b) C
2
cos (ax b)
a
a
15)
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx nếu f(x) là hàm chẵn trên a; a
a
16)
1
1
dx cot(ax b) C
(ax b)
a
0
f ( x)dx 0 nếu f(x) là hàm lẻ trên a; a
a
1
17) e(ax b) dx e(ax b) C
a
1 (ax b) n 1
C (n 1)
18) (ax b) .dx .
a
n 1
n
ax
C
ln a
1
1 x 1
21) 2 dx ln
C
x 1
2 x 1
19) a x dx
23)
x
25)
28)
1
1
x a
dx ln
C
2
a
2a x a
1
a x
2
2
dx arcsin
x
24)
2
1
1 x2
dx arcsin x C
x
C
a
tan xdx ln cosx C; cot xdx ln sin x C
26)
27)
2
1
dx arctan x C
1
1
1
x
22) 2
dx arctan C
2
x a
a
a
20)
1
x
2
dx ln x x 2 C
a 2 x 2 dx
x 2
a2
x
a x 2 arcsin C
2
2
a
14 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
x
a2
2
2
x
a
ln x x 2 a 2 C
2
2
4.1. Dạng 1: Dùng bất đẳng thức để ước lượng
*Phương pháp chung:
29)
x 2 a 2 dx
a
a
a
a
b
b
b
b
m f(x) M m dx f(x)dx M dx m(a b) f(x)dx M(a b)
1
Ví dụ 1. Tích phân e x xdx là:
2
0
1
(e 1)
4
Hướng dẫn giải
3
Áp dụng bất đẳng thức: e x x 1 I . Đáp án: A.
4
1 4
x 1
Ví dụ 2. Gọi I 6
dx thì khẳng định đúng là:
0 x 1
A.
1
(e 1)
2
A. I = 0
B.
1
(e 1)
3
B. I = 1
C.
C. I =
Nhận xét: I 1 . Đáp án: D.
4.2. Dạng 2: Lớp các tích phân đặc biệt
D.
4
Tính chất 1: Nếu f (x) liên tục và là hàm lẻ trên [ -a ; a ] thì
1
(e 1)
5
D. I =
3
a
f(x)dx 0
a
1
2
1 x
Ví dụ 1. Tích phân I cos x.ln
dx là:
1 x
1
2
A. 0
B.
2
C.
D. 3
Hướng dẫn giải
1 x
Nhận xét: Hàm số f(x) cos x.ln
1 x
1 1
Liên tục trên ;
2 2
f(x) + f( x) = 0
Đáp án: A.
15
a
1 x
Ví dụ 2. Cho tích phân I cos x.ln
dx. Số giá trị của a thỏa mãn I = 0 là :
1 x
a
A. 1
B. 2
C. 0
D. Vơ số
Ví dụ 3. Tích phân I (tan x cot 2x)dx là
A. 0
C.
B. 1
D.
a
Ví dụ 4. Cho tích phân I (tan x cot 2x )dx . Cặp giá trị của a, b thỏa mãn
b
đẳng thức I = 0 là:
A. a , b
3
,b
C. a
2
2
B. a 2, b
D. a , b
3
4
x2 x 1 x2 x 1
dx là:
x4
1
A. 0
B. 1
C. 1
sin 2x
Ví dụ 6. Tích phân I 2 dx là
x 1
A. 0
B.
C.
Ví dụ 5. Tích phân I
Ví dụ 7. Nếu gọi I
1
2
Ví dụ 8. Cho I ln
a
A. a 0
D. 1
x1
1
2
B. I = 1
1
2
D. 2
ln x 1 dx thì khẳng định đúng là:
A. I = 0
1
C. I = 2
D. I = 3
x1
dx. Giá trị của a để I = 0 là:
x 1
B. a = 1
D. a
C. a = 2
Áp dụng tính chất 1 ta có các đáp án như sau
VÍ DỤ VÍ DỤ VÍ DỤ VÍ DỤ VÍ DỤ VÍ DỤ
1. A
2. D
3. A
4. A
5. A
6. A
Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên
VÍ DỤ
7. A
thì
16 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
1
2
VÍ DỤ
8. D
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
I
a
a
f(x)
a mx 1 dx 0 f(x)dx với m 0,a
1
2
Ví dụ 1. Tích phân I
x4 x2
1 ex 1 dx là:
2
5
120
1
1 x2
Ví dụ 2. Tích phân I
dx
x
1 1 2
A.
23
480
B.
C. 2
2
B. 0
C.
3
Đáp án Ví dụ 1,2: A.
Tính chất 3: Cho f(x) liên tục và f(a + b x) = f(x) thì:
A.
b
D.
1
16
D.
3
a
I f(x)dx f(x)dx 0 (mở rộng tính chất 1)
a
b
2
1 sin x
Ví dụ 1. Tích phân I ln
dx là:
0
1 cos x
A. 0
B. e
C.
3
D. 1
C.
4
D. 1
Ví dụ 2. Tích phân I 4 ln(1 tgx)dx là:
0
A. 0
B. e
5. Các khái niệm về dãy số
5.1. Khái niệm dãy số
Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u : * , n u(n)
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n :
u(1), u(2), u(3),..., u(n),...
Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của
dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số.
17
Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 ,..., un ,... hoặc dạng rút gọn (un ) .
5.2.Cách tạo ra dãy số
Người ta thường cho dãy số theo các cách:
Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
Cho bằng cơng thức truy hồi, tức là:
* Cho một vài số hạng đầu của dãy
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng)
đứng trước nó.
Cho ở dạng mô tả: Dạng này liên quan nhiều đến các bài tốn thực tế. Dãy số
sẽ được mơ tả để tìm được các số hạng một cách chính xác hoặc tìm được một
số các số hạng đầu sau đó có chỉ dẫn để tìm chính xác được các số hạng cịn lại
của dãy.
5.3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số (un ) gọi là dãy tăng nếu un un1 n
*
Dãy số (un ) gọi là dãy giảm nếu un un1 n
*
5.4. Dãy số bị chặn
Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho
un M n
*.
Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực m sao cho
un m n
*.
Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số
thực dương M sao cho un M n
*.
6. Công thức phần cấp số
61 Cấp số cộng
(Un) là cấp số cộng Un1 Un d, n
Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (Un) có số hạng đầu U1 và cơng sai
d thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức:
Un U1 (n 1)d,
n
và n 2
18 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Tính chất các số hạng của cấp số cộng: Trong một cấp số cộng, mỗi số
hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng
đứng kề với nó, nghĩa là:
U k 1 U k 1
, n và n 2
2
Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: Cho cấp số cộng (Un) đặt
Un
Sn U1 U2 U3 ... Un , khi đó Sn
n(u1 un )
hay
2
n 2u (n 1)d
Sn 1
2
Công thức mới : Dãy un là cấp số cộng tương đương un an b và khi đó cấp số
cộng có cơng sai d=a. Nếu đề cho ở dạng Sn u1 ... un thì nếu dãy là cấp số
cộng thì Sn an2 bn c và cấp số cộng có cơng sai là d=2a. Ngược lại
Sn an2 bn c thì dãy un n2 sẽ lập thành cấp số cộng có cơng sai d=2a nên
để biết dãy có là cấp số cộng thì ta xét xem u2 u1 S2 2S1 có bằng 2a không
6.2 Cấp số nhân
a. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vơ hạn), trong đó kể từ số hạng
thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một
số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
un1 un .q
( n * )
b. Số hạng tổng quát của một cấp số nhân
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và cơng bội q thì số hạng tổng quát un
được xác định bởi công thức:
un u1 .q n1
( n 2 )
c. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
uk2 uk 1 .uk 1 ( k 2 )
19
Sn nu1
d. . Tổng n số hạng đầu tiên:
u (1 q n )
Sn 1
1 q
với q 1
với q 1
Nếu un là cấp số nhân cơng bội q thì dãy vn : vn un k là cấp số nhân
có cơng bội là q k .
Một dãy un là cấp số nhân nếu và chỉ nếu nó có dạng un c.q an b lúc đó
cấp số nhân un có cơng bội q a
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Một cấp số nhân lùi vô hạn nếu q 1
Sn u1 u2 ... un
u1 (1 q n )
1 q
S u1 u2 .... un ... limSn lim
u1 (1 q n )
u
1
1 q
1 q
Lưu ý: Ta phải phân biệt sự khác nhau giữa S n là tổng hữu hạn và là tổng của
n số hạng đầu, còn S là tổng vơ hạn (chính là tổng tất cả các số hạng của cấp số
nhân đó). Ở đây cơng thức cho S chỉ sử dụng khi cấp số nhân là lùi vơ hạn.
CHÚC MỪNG EM ĐÃ HỒN THÀNH PHẦN MỘT
Đừng quên tham gia group để thảo luận cùng thầy cô và các bạn
/>............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
20 - Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
Link đặt sách: bit.ly/Dat-sach-toan-trac-nghiem-2018
MỤC LỤC
PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY VÀ CƠNG THỨC GIẢI
NHANH TỐN 2018
Bài 1: Kỹ năng dùng máy tính bỏ túi
6
6
Bài 2: Phương pháp biến đổi và ước lượng
21
Bài 3: Tư duy đặc biệt hóa - Tổng quát hóa
25
Bài 4: Tư duy loại 50:50
33
Bài 5: Tư duy truy hồi
37
Bài 6: Các công thức đặc biệt
40
Hướng dẫn giải đề tham khảo THPT quốc gia 2018
59
PHẦN 2: ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2018
83
Đề số 01
83
Đề số 02
109
Đề số 03
129
Đề số 04
152
Đề số 05
178
Đề số 06
203
Đề số 07
225
Đề số 08
251
Đề số 09
276
Đề số 10
299
Đề số 11
322
Đề số 12
343
Đề số 13
366
Đề số 14
387
Đề số 15
407
21
