Khóa luận tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

NGÔ THỊ PHƢƠNG LIÊN

TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƢỢNG
CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

NGÔ THỊ PHƢƠNG LIÊN

TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƢỢNG
CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn
Huy Thảo người đã giúp đỡ định hướng nghiên cứu, cung cấp cho tơi những
tài liệu q báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện tốt nhất trong q
trình hồn thành khố luận tốt nghiệp.
Tiếp theo, tơi xin cảm ơn tất cả các thầy, các cô thuộc Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các thầy, các cơ trong khoa Vật Lý nói riêng
đã giảng dạy , dìu dắt và cung cấp cho tơi những nền tảng khoa học từ kiến
thức cơ bản đến kiến thức chuyên sâu, cũng như kĩ năng thực hành, thực
nghiệm trong suốt bốn năm học qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi những lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình
và bạn bè đã luôn bên cạnh, kịp thời giúp đỡ và động viên tơi vượt qua những
khó khăn, hồn thành khố luận một cách tốt đẹp.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khố luận của tơi
chắc hẳn sẽ cịn nhiều hạn chế, vì vậy tơi rất mong nhận được những đóng
góp ý kiến của thầy cơ và bạn bè để khố luận được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày.... tháng 05 năm 2018
Sinh Viên

Ngô Thị Phƣơng Liên


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của tơi hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong q trình nghiên cứu hồn thành bản

khóa luận tơi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả đã ghi trong
phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khố luận hồn tồn là
trung thực và chưa từng được cơng bố bởi bất kì nơi nào khác, mọi nguồn tài
liệu tham khảo đều được trích dẫn một cách rõ ràng.

Hà Nội, ngày.... tháng 05 năm 2018
Sinh Viên

Ngô Thị Phƣơng Liên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................. 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
Chương 1. Phổ năng lượng của một số phân tử ................................................ 3
1.1. Sự chuyển giữa các mức năng lượng của phân tử dao động của phân tử
CO-phân tử HCl. ............................................................................................... 3
1.2. Rotator ...................................................................................................... 16
1.2.1. Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử ............... 16
1.2.2. Dạng đại số của momen xung lượng.................................................... 21
1.3. Phổ năng lượng của Rotator của phân tử hai nguyên tử .......................... 30
Chương 2. Một số bài toán về phổ năng lượng............................................... 40
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 49


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BẢNG
Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa ............... 7
Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hịa ............................. 8
Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO .............................................. 9
Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ....................................................................... 10
Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3]. ............................................... 11
Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động phi
điều hịa. .......................................................................................................... 12
Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO. .............................................. 13
Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7]. ..... 13
Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng thái
kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8]. .................................. 14
Hình 1.10 Mơ hình phân tử hai ngun tử. ..................................................... 16
Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn khơng khả quy của
SU(2) ............................................................................................................... 26
Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2). ....................... 27
Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn khơng khả quy của SU(2). ........ 28
Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn không khả quy
SO(3, l) hoặc E(3). .......................................................................................... 31
Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền
vững: (a) Sơ đồ mức năng lượng, (b) phổ kết quả (giản đồ)[3]...................... 33
Bảng 1 Tần suất hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại.............................. 36
Hình 1.16 Mức năng lượng của Rotator không bền vững[3]......................... 37


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật
lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác. Để giải thích một số hiện tượng
và hiệu ứng mới được phát hiện vào những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học
cổ điển không thể giải thích được, các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 như
Max Planck, Albert Einstein và Niels Bohr đã lần lượt đề xuất những giả
thuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều thừa nhận tính chất gián đoạn của
năng lượng của một số loại hệ vi mô. Những giả thuyết đó đã trở thành cơ sở
của thuyết lượng tử bán cổ điển - giai đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổ
điển sang vật lý học lượng tử.
Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mơ điển hình trong
vật lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường
lực tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng có thể chỉ gồm các giá trị gián
đoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổ
liên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng các
giá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượng
phân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng của
hạt vi mơ khơng thể có. Vậy nên phổ năng lượng là một vấn đề tôi rất muốn
tìm hiểu và mở rộng kiến thức cho bản thân.Với lý do đó tơi chọn đề tài “TÌM
HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ ” làm đề tài khóa
luận tốt nghiệp .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phổ năng lượng của một số phân tử
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu về phổ năng lượng của phân tử.

1


Tổng hợp một số lý thuyết cơ bản và bài tập về phổ năng lượng của
phân tử.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Cơ học lượng tử
Phạm vi nghiên cứu: Phổ năng lượng của phân tử
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp đọc và tra cứu tài liệu.
Phương pháp phân tích nội dung chương trình
Phương pháp thực hành giải bài tập.
6. Cấu trúc của khóa luận
Đề tài “ Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử ” có kết cấu
gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận.
Phần nội dung được chia làm 2 chương:
Chương 1: Phổ năng lượng của một số phân tử
Chương 2: Một số bài toán về phổ năng lượng

2


NỘI DUNG
Chƣơng 1. Phổ năng lƣợng của một số phân tử
1.1. Sự chuyển giữa các mức năng lƣợng của phân tử dao động của phân
tử CO-phân tử HCl.
Trong cơ học lượng tử, một cơ hệ lượng tử ở một trạng thái cố định bất
kỳ sẽ vẫn ở trạng thái đó nếu nó khơng bị tác động bởi ngoại lực. Trên thực tế
thì mọi hệ cơ học lượng tử đều chịu tác động bởi ngoại lực yếu, chúng có thể
làm cho trạng thái của hệ thay đổi (ví dụ như trường điện từ ngoài hay trường
điện từ trong sinh ra từ chuyển động của các trạng thái bên trong hệ ). Nếu hệ
là một tập hợp các trạng thái gián đoạn (ví dụ: các năng lượng riêng của hệ
dao động), thì với nhiễu loạn bên ngồi nhỏ sẽ khơng làm thay đổi các trạng
thái này hay nói một cách chính xác là nó làm thay đổi mức năng lượng một
lượng khơng đáng kể nhưng hệ vẫn có thể nhảy từ trạng thái này sang trạng

thái khác. Lý thuyết về sự chuyển các mức năng lượng có thể được phát triển
như là hệ quả của các tiên đề của cơ học lượng tử. Ở đây chúng ta sẽ chỉ đưa
ra một số luận cứ bán cổ điển và nêu ra kết quả mà chúng ta sẽ sử dụng để thu
được tần số chuyển tiếp các mức năng lượng và các quy tắc lọc lựa.[1]
Vậy nên dưới ảnh hưởng của toàn bộ các nhiễu loạn bên ngồi, hệ
lượng tử có thể chuyển từ một năng lượng riêng với năng lượng En đến năng
lượng riêng khác có năng lượng Em và phát ra hoặc hấp thụ một năng lượng
khác.
En  Em

như là bức xạ điện từ dưới dạng một lượng tử ánh sáng hoặc photon tần số

vnm 

En  Em En  Em
.

2
h

(1.1)

Nếu trường điện từ có tần số vnm thì hệ cơ học lượng tử có thể hấp thụ
một photon của tần số vnm và nhảy từ trạng thái năng lượng En sang trạng thái

3


năng lượng cao hơn là Em. Mặt khác, nếu một hệ lượng tử đang trong trạng
thái kích thích En là trạng thái có năng lượng cao hơn trạng thái cơ bản thì hệ

có thể phát ra một photon có tần số vnm và giảm xuống trạng thái năng lượng
thấp hơn là Em. Bên cạnh đó thì sự chuyển mức năng lượng giữa hai trạng thái
không thể xảy ra dưới ảnh hưởng của bức xạ điện từ nếu phần tử ma trận của
toán tử điện dịch Dˆ của hệ biến mất giữa hai trạng thái. Ngồi ra, cịn liên
quan đến xác suất chuyển các mức năng lượng, vì vậy cường độ của bức xạ
điện từ phát ra (hoặc hấp thụ), tỷ lệ thuận với bình phương modun của phần
tử ma trận này.
Xét phân tử lưỡng nguyên tử, nếu phân tử gồm các ngun tử khác
nhau (ví dụ: CO) thì sẽ xuất hiện moment lưỡng cực điện, vì tâm của các điện
tích dương và âm là khơng trùng khớp. Do đó moment lưỡng cực là vector
hướng từ tâm của các điện tích âm đến tâm của các điện tích dương và được
tính bởi cơng thức
D  qd,

trong đó q là điện tích và d là khoảng cách giữa tâm của các điện tích.
Moment lưỡng cực khơng đổi D0 của phân tử nằm dọc theo trục hạt nhân.
Và nếu khoảng cách giữa các điểm tương tác hoặc hạt nhân thay đổi, moment
lưỡng cực sẽ thay đổi. Do đó với một phép tính gần đúng ta có thể giả định
rằng moment lưỡng cực là một hàm tuyến tính:
D  D0  qx.

(1.2)

Vì vậy, moment lưỡng cực sẽ thay đổi với tần số dao động cơ học.
Điện tích dao động sẽ phát xạ trong trường điện từ và trên cơ sở điện động lực
học cổ điển, ánh sáng phát ra phải có tần số bằng tần số của dao động, hay

v



,
2

trong đó   k / m là tần số góc của dao động cổ điển.

4

(1.3)


Nếu phân tử bao gồm hai nguyên tử giống(ví dụ: O2, N2..), thì moment
lưỡng cực sẽ là khơng, vì tâm của các điện tích dương và âm là trùng khớp và
dao động của phân tử về vị trí cân bằng của nó khơng làm tâm của các điện
tích dao động. Do đó mà điện tích dao động sẽ khơng phát xạ hoặc hấp thụ
bức xạ điện từ.
Theo lý thuyết lượng tử, sự phát xạ của bức xạ diễn ra là kết quả của sự
chuyển dao động từ trạng thái năng lượng cao hơn sang trạng thái năng lượng
thấp hơn, và sự hấp thụ sẽ diễn ra theo quá trình ngược lại. Khi đó tần số của
ánh sáng phát ra được cho bởi công thức
vnm 

En  Em
.
h

(1.1)

Cường độ phát xạ tỷ lệ thuận với giá trị trung bình theo thời gian (trong
một khoảng thời gian) của bình phương của moment lưỡng cực D mà trong lý
thuyết lượng tử cường độ phát xạ tỷ lệ với bình phương modun của các phần

tử ma trận của toán tử điện dịch

m D n  Dmn ,

(1.4)

trong đó Dˆ là tốn tử lưỡng cực thu được từ (1.2). Thay x bằng toán tử Q vào
(1.2) thu được:
D  D0  qQ.

(1.5)

Khi đó xác suất chuyển các mức năng lượng trên mỗi đơn vị thời gian
Anm đối với sự phát xạ lưỡng cực tự phát trong q trình chuyển từ trạng thái

năng lượng có năng lượng En đến một trạng thái có năng lượng Em được cho
bởi công thức:

Anm 

4
2
3
nm
Dmn ,
2
3 c

5

(1.6)


Khi nm   En  Em  / h, c là vận tốc ánh sáng và ta có :

Dmn

2

3
2
1
1

Tr   n D. m D  
 , m Di n, v .

dim   n 
dim   n  i 1 v ,

(1.7)

Với D  D0  qQ ,  n là phép chiếu trên không gian năng lượng riêng
với trị riêng En , và dim   n  là số chiều của không gian năng lượng riêng
này.  và v là cùng một loại chỉ số, chúng đánh dấu các vector khác nhau
trong các không gian năng lượng riêng  m và  n
Xét trong trường hợp đặc biệt của dao động một chiều khi thay thế các
vector lưỡng cực và vector vị trí bằng một lượng D và Q và (1.7) qua
mDn

2

.

Đối với nhiều hệ cơ lượng tử, đa số các phần tử ma trận của tốn tử D
biến mất, nên có một giới hạn về khả năng chuyển các mức năng lượng. Các
quy tắc biểu thị giới hạn này được gọi là các quy tắc lọc lựa. Để xác định sự
chuyển mức năng lượng cụ thể nào có thể xảy ra trong dao động điều hịa,
chúng ta tính tốn các phần tử ma trận

m Dn q mQn .

(1.8)

Các phần tử ma trận của tốn tử vị trí giữa các năng lượng riêng được
tính xác định bởi công thức:
mQn 

2





n m | n 1  n 1 m | n 1 .

(1.9)

Từ đó thấy rằng xác suất chuyển các mức năng lượng và cường độ phát
xạ và hấp thụ của ánh sáng sẽ là 0 trừ khi số lượng tử n và m được phân biệt

bởi tính thống nhất. Như vậy, quy tắc lọc lựa cho dao động điều hòa sẽ là
n  m  1.

6

(1.10)


Sự chuyển mức năng lượng trong dao động điều hòa chỉ có thể xảy ra
giữa các mức năng lượng liền kề. Tần số ánh sáng phát ra (đối với En  Em )
hoặc hấp thụ (đối với Em  En ) được xác định theo (1.1) và (1.10) là

vnm 

En  Em
 
1 
1  
.

 n     m   

h
h 
2 
2   2

(1.11)

Theo lý thuyết lượng tử tần số của ánh sáng phát xạ bằng tần số  / 2

của dao động và độc lập với mức năng lượng n. Áp dụng tương tự cho sự hấp
thụ. Như vậy, đối với trường hợp cụ thể của hệ lượng tử trong dao động điều
hòa, tần số ánh sáng phát ra và hấp thụ tương tự như dao động cổ điển.
Từ sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hịa (Hình 1.2), chúng
ta có thể chỉ ra các bước chuyển mức năng lượng bằng các đường thẳng đứng
(xem Hình 1.1). Thấy rằng các mức năng lượng là cách đều nhau, do dó tất cả
những chuyển mức năng lượng này đều làm tăng tần số như nhau.

Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa

7


Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa
Đối với phân tử hai nguyên tử bao gồm hai ngun tử (ví dụ: O2), tốn
tử moment lưỡng cực (1.5) là tốn tử khơng do đó khơng có sự chuyển giữa
các mức năng lượng khác nhau xảy ra.
So sánh kết quả lý thuyết với thực nghiệm.
Để tìm tần số mong muốn, chúng ta bắt đầu từ phổ năng lượng của các
phân tử CO (Hình 1.3). Sự chênh lệch giữa các mức năng lượng khác nhau
trong dao động của phân tử CO là
E  0.265eV .

(1.12a)

Nếu tính tần số theo (1.11) thu được:
v

E
0.265eV


 6.4  1013 sec1
16
2
2  6.58  10 eV sec

(1.12b)

Và
v
c

   0.466  103 cm  4.66 m


4
8
4
1 m  10 cm;1  10 cm  10  m .



8

(1.12c)


Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO
Trong phổ học phân tử, thông thường tần số không ở đơn vị sec1 mà ở
đơn vị cm1 hay nói cách khác là thay tần số v bằng số sóng v / c  1/  , biểu

thị số sóng trên mỗi cm và gọi tần số này là v. Các tần số trong cm1 hoặc số
sóng của bức xạ phát ra bởi sự chuyển giữa các mức dao động của CO là:
v  2140cm1.

(1.12d)

Do đó, chúng ta mong đợi trong dao động của các phân tử CO phát ra
hoặc hấp thụ bức xạ điện từ chỉ với tần số cho bởi (1.12) hay nói cách khác là
chúng ta mong đợi một đường phổ ở gần vùng hồng ngoại từ phổ năng lượng
của phân tử CO.
Phổ điện từ

9


Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ.
Nếu so sánh phổ năng lượng trên với phổ hấp thụ hoặc phát xạ, ta thấy
thực sự chính xác. Nếu phổ hấp thụ là sự hấp thụ ở một lớp khí mỏng, thì chỉ
tìm thấy một đường hấp thụ đơn cực (hay dải) trong vùng gần vùng hồng
ngoại với bước sóng khoảng   4.66 m . Đối với các phân tử hai nguyên tử
khác bao gồm các nguyên tử không giống nhau, điều tương tự cũng xảy ra. Ví
dụ: Đối với HCl, dải này nằm ở   2.46 m . Ta cũng thấy rằng các dải như
vậy không xuất hiện ở các phân tử gồm các nguyên tử giống nhau như: O2,
N2, H2.
Nếu sự hấp thụ được quan sát ở các lớp khí dày hơn, cường độ hấp thụ
của dải cơ bản sẽ tăng lên một cách tự nhiên và sẽ có một dải thứ hai tương tự
xuất hiện nhưng yếu hơn, vào khoảng một nửa bước sóng hoặc gấp đơi tần số
(số sóng). Nếu độ dày của lớp khí tiếp tục tăng lên, một phần ba hay thậm chí
một phần tư, một phần năm thì sẽ xuất hiện dải với bước sóng tương ứng là
1/3, 1/4 và 1/5 của dải đầu tiên hay nói cách khác là tần số của chúng lớn gấp

10


ba, bốn và năm lần. Hình 1.5 cho thấy đầy đủ toàn bộ phổ hồng ngoại của
phân tử HC1. Trong hình, chiều dài của các đường thẳng đứng thể hiện
cường độ của các dải. Trên thực tế thì cường độ giảm gấp năm lần nhưng
không giảm nhanh như trong giản đồ.

Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3].
Trong dao động điều hịa, lực khơi phục tăng vơ hạn với khoảng cách
từ vị trí cân bằng ngày càng tăng. Tuy nhiên, trong một phân tử, khi các
nguyên tử ở khoảng cách rất xa nhau, lực hấp dẫn sẽ bằng không. Do đó, hệ
lượng tử dao động điều hịa chỉ là mơ hình đơn giản hóa của phân tử dao động
và nếu muốn mô tả chi tiết hơn các phân tử dao động thì các lực phi điều hịa
cũng phải được tính đến. Các mức năng lượng của dao động phi điều hịa
khơng cách đều nhau như ở dao động điều hòa mà khoảng cách của chúng
giảm dần khi n tăng.
Các mức năng lượng và phổ hấp thụ với dao động tử phi điều hịa được
chỉ ra trong Hình 1.6. Quy tắc lọc lựa (1.10),

n  m  1,
chỉ áp dụng cho dao động phi điều hòa và cho sự chuyển mức năng lượng
mạnh nhất.

11


Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động
phi điều hòa.

Phổ hấp thụ được đưa ra dưới dạng sơ đồ bên dưới.
Chuyển tiếp ứng với n  m  2, 3,.., cũng có thể xuất hiện khi cường
độ giảm nhanh. Tất cả các kết quả này có thể được tính tốn bằng cách sử
dụng lý thuyết nhiễu loạn. Từ tất cả những điều trên chúng ta có thể chứng
minh rằng các mơ hình cơ lượng tử đơn giản như dao động điều hòa chỉ mơ tả
cấu trúc chính của một hệ vi mơ trong tự nhiên mà không thể mô tả hết tất cả
các chi tiết. Đây không phải là sự thiếu hụt của mơ hình dao động điều hịa
mà là một tính chất chung của vật lý lý thuyết. Các mơ hình chỉ là sự lý tưởng
hố và khơng thể dự đốn chính xác các kết quả thực nghiệm. Giải thích về
một hàng chữ số thập phân mới trong một số thực nghiệm thường địi hỏi một
mơ hình mới và có thể là một lý thuyết hồn tồn mới.
Ta có thể thấy điều này ngay sau khi chúng ta khảo sát chi tiết hơn các
tần số chuyển các mức năng lượng ở vùng gần vùng hồng ngoại như những gì
thu được ở một phổ kế có độ phân giải đủ cao. Các đường phổ rộng của phân
tử CO quanh khu vực có tần số v  2140cm1 được phân chia thành một số

12


đường hẹp riêng, như thể hiện trong Hình 1.7 hay nói cách khác là xung
quanh khu vực có tần số v  2140cm1 khơng có đường riêng mà chỉ có dải.
Từ hình ảnh có thể thấy, dải này bao gồm một tập hợp các đường thẳng cách
đều nhau, với một đường đứt quãng ở giữa dải. Đi ra khỏi chỗ đứt quãng có
hai nhánh được gọi là nhánh P (hướng tới các bước sóng dài hơn) và nhánh R
(ứng với các bước sóng nhỏ hơn). Hình 1.8 cho thấy cùng một hiệu ứng cho
vạch n  1 ở Hình 1.5 của phân tử HC1.

Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO.

Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7].

Với kỳ vọng cấu trúc chính xác như vậy trong phổ hấp thụ hoặc phát xạ
đặc trưng của bức xạ điện từ của phân tử CO khi các mức năng lượng của

13


phân tử dao động ở Hình 1.1 được tách thành một dãy các cấp nhỏ hơn như
thể hiện trong Hình 1.9, thì chỉ cho thấy có hai mức năng lượng liền kề của
phổ năng lượng của phân tử dao động như đã cho trong Hình 1.1.
Mơ tả của sự phân chia như vậy nằm ngồi khả năng của một mơ hình
dao động. Nó chỉ có thể có một trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n
không phải là trạng thái thuần túy mà chính xác là một hỗn hợp của các trạng
thái có năng lượng khác nhau. Tuy nhiên, trong dao động trạng thái được đặc
trưng bởi số lượng tử n là trạng thái thuần túy được mô tả bởi một phép chiếu
 n trên không gian mở một chiều được kéo dài bởi n cụ thể là không gian
 n . Trạng thái của phân tử hai nguyên tử được đặc trưng bởi số lượng tử n

phải có số chiều nhiều như là số mức năng lượng (khi số mức năng lượng
bằng với số chiều thì bất kỳ giá trị năng lượng nào cũng thuộc một không
gian hoặc một phép chiếu trên một trục của không gian con). Do đó mơ hình
dao động chỉ mơ tả một phần các thuộc tính của một phân tử hai nguyên tử.
Để mô tả chi tiết hơn về phổ, cần phải kết hợp mơ hình dao động với một mơ
hình mơ tả chi tiết hơn và phản ánh thêm các đặc điểm của phân tử hai
nguyên tử chưa đề cập đến. Mơ hình mới này là mơ hình Rotator.

Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng
thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8].

14

Các nhánh P và R được hiển thị ở bên trái và bên phải theo thứ tự trên
phổ kế đã vẽ của dải hấp thụ CO cơ bản ở 2144 cm-1. Nhánh Q (đường nét
đứt) là khuyết. Các mức năng lượng được hiển thị theo thang đo, ngoại trừ
khoảng cách giữa các trạng thái dao động trên và dưới (2144 cm-1) có thể gấp
khoảng năm lần so với hình vẽ.
Xét phân tử CO gồm hai nguyên tử có nguyên tử khối là m1 và m2 cách
nhau một khoảng x, thấy rằng phân tử này không chỉ dao động theo trục x mà
cịn có thể quay xung quanh tâm của nó trong khơng gian ba chiều. Nếu nó
nằm trong trạng thái dao động và có năng lượng nhỏ hơn 0,26 eV thì nó sẽ là
một Rotator bền vững hay nói cách khác nó có thể được coi là hai khối giống
như điểm m1, m2 được gắn vào hai đầu của thanh sắt khơng trọng lượng có
chiều dài x. Do đó, trước hết chúng ta sẽ nghiên cứu mơ hình Rotator bền
vững.

15


1.2. Rotator
1.2.1. Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử
Xét Rotator cổ điển, khi thay ba tọa độ của xung lượng Pi và ba tọa độ
vị trí xi trong tất cả các đại lượng có trong biểu thức với các toán tử Pˆi và Qˆ i
thỏa mãn hệ thức giao hốn chính tắc

[ Pˆi , Qˆi ]   ij Iˆ,
i
[Qˆi , Qˆ j ]  0,

(1.13)

[ Pˆi , Pˆj ]  0

(  ij  1 với i  j và  ij  0 cho i  j và j  1,2,3 ).
Trong cơ học cổ điển, năng lượng quay E của một vật rắn được cho bởi

1
E  I 2 .
2

(1.14)

Trong đó  là tốc độ góc và I là moment qn tính của hệ trục quay. Tốc độ
góc liên quan đến số lần quay trên mỗi giây với tần số quay vrot là:

  2 rot .

(1.15)

Moment xung lượng của hệ được cho bởi   I . . Thay vào (1.14) được năng
lượng:
2
E .
2I

Hình 1.10 Mơ hình phân tử hai ngun tử.

16

(1.16)

Moment qn tính của trục quay của mơ hình Rotator được cho bởi công thức

I  m1r12  m2 2r22 ,
Với
r1 

m1
m2
x
x và r2 
m1  m2
m1  m2

(1.17)

là khoảng cách tương ứng từ m1 và m2 đến tâm của khối C và x là khoảng
cách giữa hai điểm khối m1 và m2 (xem Hình 1.10). Ta được :
I

m1 m2 2
x ,
m1  m2

(1.18)

Với  được gọi là khối lượng rút gọn của phân tử.



m1 m2
m1  m2

(1.19)

Do đó, thay vì xét sự quay của Rotator bền vững, có thể cân nhắc đến
việc quay một chất điểm có khối lượng rút gọn  với tọa độ xi nơi có vector

x   x1, x2 , x3  là vectơ vị trí. Nếu ta biểu diễn xung lượng của chất điểm có
khối lượng rút gọn  trong hệ toạ độ này bởi p  ( p1 , p2 , p3 ) thì moment
xung lượng được cho bởi:
I  x  p,

(1.20)

nên các phần tử của nó được xác định bởi:
li  

ijk

x j pk 

ijk

x j pk .

(1.21)

j ,k

Trong phương trình này
ijk

ijk

 1 khi  ijk   123 và mọi hốn vị chẵn của nó,

 1 khi  ijk  là một phép hốn vị lẻ của (123) cịn lại là

ijk

 0.

Theo điều kiện tổng quát (1.13) khi thay xi , Pi bằng Qˆ j , Pˆi thì tốn tử
moment xung lượng Lˆ được xác định bởi công thức

17


Lˆ  Pˆ  Qˆ ,

hoặc
Lˆi 

ijk

Qˆ j Pˆk ,

(1.22)

và toán tử năng lượng tương ứng (1.16) được xác định bởi
1
1 3
1
Hˆ  Lˆ2   Lˆi Lˆi  Lˆi Lˆi .
2
2 i 1
2

(1.23)

Qˆ j và Pˆk là các toán tử Hermitian, nên Lˆi và Hˆ cũng Hermitian:
Lˆi 

Pˆ Qˆ j 

Pˆ Qˆ j 


ijk k

ijk k

ijk

Qˆ j Pˆk  Lˆi .

(1.23a)

Từ hệ thức giao hoán Heisenberg (1.13), ta thu được hệ thức giao hoán của

các toán tử Lˆi biểu diễn các phần tử của moment xung lượng. Đó là:
[ Lˆi , Lˆl ] 

ijk lmn

[Qˆ j Pˆk , Qˆ m Pˆn ]



ijk lmn



ijk lmn

ˆ [ Pˆ , Q
ˆ Pˆ ]  [Q
ˆ ,Q
ˆ Pˆ ]Pˆ )
(Q
j
k
m n
j
m n
k

(Qˆ j {[ Pˆk , Qˆ m ]Pˆn  Qˆ m[ Pˆk , Pˆn ]}

{[Qˆ j , Qˆ m ]Pˆn  Qˆ m[Qˆ j , Pˆn ]}Pˆk )



ijk lmn

(Qˆ j Pˆn

i

 km  Qˆ m Pˆk

i

 jn ).

Bằng cách thay đổi thành phép tổng các chỉ số biểu thức trên có thể viết lại
như sau:

i

(

 Qˆ m Pˆn 

imk lkn

Theo tính chất của tenxơ

ikn lmk

imk

Qˆ m Pˆk )  (
i

imk knl



ink klm

)Qˆ m Pˆn .

(1.24)

dễ dàng chứng minh:

imk knl

  in ml   mn il .

ink klm

  il  nm   mn nl ,

Từ đó suy ra:

18

(1.25)

và thay vào (1.25) thu được:
imk knl



ink klm

 in ml  im nl  

ilk kmn

.

Thế biểu thức trên vào (1.24) thu được

[ Lˆi , Lˆl ]  i

ilk kmn

Qˆ m Pˆn .

Kết hợp với (1.22) thu được hệ thức giao hoán của toán tử moment
xung lượng Lˆi :

[ Lˆi , Lˆl ]  i

ilk

Lˆk .

(1.26)

Biểu thức của toán tử năng lượng (1.23) không chứa Pˆi và Qˆ i , điều này
đúng với tất cả các đại lượng vật lý của Rotator. Trên thực tế, các toán tử Pˆi
và Qˆ i là những đại lượng phi vật lý trong cơ học lượng tử Rotator. Do đó, đối
với Rotator tốn tử Lˆi tuân theo hệ thức giao hoán (1.26) là những đại lượng
vật lý cơ bản. Trên thực tế, các toán tử Lˆi được xác định bởi (1.22) hoặc số
lượng tử li được xác định bởi (1.21) là một trường hợp đặc biệt của các đại
lượng có liên quan đến bậc tự do mới của các hệ vật lý trong không gian ba
chiều.
Một hệ vật lý trong không gian vật lý ba chiều có sáu bậc tự do: ba bậc
tự do được mô tả bởi ba tọa độ xi và ba bậc tự do quay, được mô tả bởi phép
quay R  ,  ,   phụ thuộc vào ba góc  ,  ,  (ví dụ, ba góc Euler hoặc ba
góc xoay quanh ba trục tọa độ cố định). Xung lượng Pi là biến số chính tắc
liên hợp với tọa độ xi cịn biến số chính tắc liên hợp với tọa độ góc  i là
moment xung lượng li

.

Tổng quát, một hạt trong không gian vật lý ba chiều có các biến số là
xung lượng Pi và spin si ứng với các tọa độ tuyến tính xi và các tọa độ góc

19