De thi HSG Toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi chän häc sinh giái n¨m häc 2013 – 2014 M«n: To¸n 9 Thêi gian lµm bµi: 120 phót §Ò gåm 01 trang Bµi 1: (5,0 ®iÓm)  x 3 x 2 x 2       :  1  x  2 3  x x  5 x  6   Cho biÓu thøc A = . x   x  1 . víi x  0; x  4; x  9. a) Rót gän biÓu thøc A b) T×m gi¸ trÞ cña A khi x = 6  2 5 1 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?. Bµi 2: (4,0 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x  4  1  x  1  2 x 2. 2. b) x  3x  2  x  1  6 3 x  1  2 x  2  2 x  1 Bµi 3: (2,0 ®iÓm) Cho c¸c sè d¬ng a; b; c tho¶ m·n: ab + bc + ac = 1 P. 2a 2. . b 2. c. . 2. . 9 4. 1 a 1 b 1 c Chøng minh r»ng: Bµi 4: (7,0 ®iÓm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung ®iÓm cña HC; N lµ trung ®iÓm cña AC, AM c¾t HN t¹i G. §êng th¼ng qua M vu«ng góc với HC và đờng thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: 2 a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC từ đó suy ra: S AEE S ABC .cos BAC b) BH.KM = BA.KN. GA5  GB 5  GH 5 4 2 GM 5  GK 5  GN 5. c) Bµi 5: (2,0 ®iÓm) XÐt 20 sè nguyªn d¬ng ®Çu tiªn: 1; 2; 3; 4……20. H·y t×m sè nguyªn d¬ng k nhá nhÊt có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy đợc hai số phân biệt a vµ b sao cho a + b lµ sè nguyªn tè? Híng dÉn bµi 3: Ta cã: 1 + a2 = (a + b)(a + c); 1 + b2 = (b + c)(b + a); 1 + c2 = (c + b)(c + a) P. 2a 1  a2. . b 1  b2. VËy ¸p dông B§T cosi ta cã:. . c 1  c2. . 2a.  a  b  a  c. . 2b 4 b  a  b  c. . 2c 4 c  a  c b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  1  1 1   1 1  9  1 P a       c      b   a b a c   4 b  c b  a   4 c  a c  b  4 1  b c  15  a 7b  7 15 DÊu = x¶y ra khi: .

<span class='text_page_counter'>(3)</span>