Khóa luận hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ
HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN

VŨ HỒNG THANH TRANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ
HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Tổ bộ mơn: Tốn lý

Người hướng dẫn: TS. Lương Lê Hải
Sinh viên thực hiện: Vũ Hoàng Thanh Trang
MSSV: 42.01.102.119

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

LỜI MỞ ĐẦU
Để khóa luận đạt kết quả như hơm nay, trong q trình bắt đầu và hồn thiện
em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cơ, bạn bè và gia đình. Em xin
gửi lời cảm ơn chân thành đến:
Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng dẫn
em trong suốt q trình làm khóa luận. Thầy ln đồng hành giúp đỡ, động viên,
chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngồi ra, em cịn nhận được từ thầy
sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học.
Thứ hai, các thầy, cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy, truyền cho em những
kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể vững bước
vào nghề trong tương lai.
Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong
thời gian qua.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2020

gdggjsdgbgvvvfbfbbfbfgjhjhsdghfdfgsygdysysfysghf Vũ Hoàng Thang Trang


Mục lục
Mục lục

2

Mở đầu

3

1 Hệ thống một số hàm toán đặc biệt

1.1 Hàm Bessel và các hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel . . . . .
1.1.2 Các hàm trụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2

1.3

5
5
6
10

Đa thức Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1
1.2.2

Đa thức trực giao cổ điển Legendre . . . . . . . . . . . . . .
Đa thức Legendre liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
16

Hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.1

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu . . . . . . .

19

1.3.2

Hàm riêng của quả cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán
biên
2.1 Bài toán về sự làm nguội của hình trụ trịn dài vơ hạn . . . . . . . .
2.2 Bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống . . . . . . . . . .
2.3 Bài tốn tán xạ vơ hướng trên phỏng cầu dài . . . . . . . . . . . . .

25
25
29
34

Kết luận và hướng phát triển

41

Tài liệu tham khảo

42

Phụ lục

44

Công bố khoa học

49

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của vật lý lý thuyết và vật lý toán việc
sử dụng các hàm toán đặc biệt đã trở nên rất cần thiết [1]. Tầm quan trọng của
các hàm đặc biệt này có liên quan đến hai yếu tố cơ bản. Thứ nhất, khi khảo sát
các mô hình tốn học của các hiện tượng vật lý xảy ra trong tự nhiên, ban đầu
chúng ta cần khảo sát những bài tốn đã được đơn giản hóa, tức là những bài tốn
mà nghiệm của chúng có thể tìm được ở dạng giải tích (nghiệm chính xác). Thứ
hai, những bài tốn đã được đơn giản hóa này có thể được sử dụng như là phép
thử (hàm cơ sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn những thuật toán số học để giải quyết
những bài toán vật lý phức tạp hơn.
Trong quá trình khảo sát những bài tốn vật lý lý thuyết hay vật lý toán chúng
ta thường sử dụng những hàm đặc biệt khác nhau. Nghiệm của nhiều bài toán vật
lý quan trọng có liên quan đến các vấn đề như nghiên cứu các quá trình truyền
nhiệt và tương tác bức xạ với các chất [2], sự lan truyền của các sóng điện từ và
sóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân và cấu trúc bên trong của các
sao, dẫn đến việc tìm hàm riêng của bài tốn Sturm – Liouville chứa phương trình
Laplace hay Helmholts, mà có thể được tìm thấy ở dạng giải tích chỉ đối với một
số lượng nhỏ các miền khảo sát [4].

Trong các trường hợp các miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, như là đoạn
thẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành thì các nghiệm hàm này được biểu diễn
thơng qua các hàm sơ cấp cơ bản. Đối với những miền có dạng hình trịn, hình trụ,
hình cầu hay những miền phức tạp hơn thì các hàm riêng được biểu diễn thông
qua các hàm đặc biệt [5]. Trong thực tiễn những hàm đặc biệt thường đóng vai trị
như là nghiệm của những phương trình vi phân khác nhau của các bài tốn vật lý.
Từ đó, có thể thấy các hàm đặc biệt có ứng dụng vơ cùng to lớn trong các ngành
khoa học tự nhiên, đặc biệt là vật lý lý thuyết và vật lý tốn. Vì vậy việc khảo sát
và nghiên cứu một số hàm toán đặc biệt trong việc ứng dụng giải các bài toán vật
lý là một nhiệm vụ thiết yếu của người nghiên cứu khoa học tự nhiên.
Trong đề tài khóa luận này chúng tơi sẽ khảo sát những hàm toán đặc biệt
3


thường được sử dụng, như hàm Bessel, tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức liên hợp
Legendre, là cơ sở để tạo ra hàm cầu và những ứng dụng của chúng trong việc giải
quyết các vấn đề trong vật lý tốn, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa bài
tốn biên đối với phương trình Helmholts.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu các hàm tốn đặc biệt, tìm hiểu định nghĩa và tính chất
của các chúng.
Khóa luận cịn khảo sát ứng dụng của các hàm toán này trong việc giải các bài
toán biên.
3. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình và 3 bảng được thể hiện qua hai chương:
Chương 1: Hệ thống một số hàm toán đặc biệt
Giới thiệu một số hàm toán đặc biệt thường được sử dụng trong vật lý lý thuyết
và vật lý toán như hàm Bessel hay tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức Legendre cổ
điển, đa thức Legendre liên hợp và hàm cầu.
Chương 2: Ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài tốn

biên
Trình bày ứng dụng của các hàm tốn đặc biệt thơng qua việc giải một số bài
tốn biên như bài tốn truyền nhiệt trong một hình trụ dài vơ hạn, bài tốn khảo
sát sự rung động của bề mặt trống và bài tốn tán xạ vơ hướng trên phỏng cầu
dài.
Cuối cùng là phần kết luận và hướng phát triển của đề tài.

4


Chương 1

Hệ thống một số hàm toán
đặc biệt
1.1.

Hàm Bessel và các hàm trụ

Hàm Bessel xuất hiện trong nghiệm của các phương trình có chứa tốn tử
Laplace △ trong mặt phẳng tọa độ Oxy .
Xét phương trình
−△u(x, y) ≡ −

∂ 2u ∂ 2u
−
= λu + f (x, y).
∂x2 ∂y 2

Trong hệ tọa độ cực (r, ϕ) thì phương trình đã cho có dạng
−

1 ∂
r ∂r

r

∂ u˜
∂r

−

1 ∂ 2 u˜
= λ˜
u + f˜(r, ϕ),
r2 ∂ϕ2

với u˜(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ).
Nếu nghiệm hàm u˜(r) không phụ thuộc vào ϕ và f = 0 thì phương trình đã cho
trở thành
1
u′′ (r) + u′ (r) + λu(r) = 0.
r

Phương trình này được xem như là trường hợp riêng của phương trình Bessel.
Ta có phương trình Bessel ở dạng tổng qt
x2 u′′ + xu′ + (x2 − ν 2 )u = 0.

5

(1.1)

Mỗi nghiệm hàm khác 0 của phương trình Bessel được gọi là hàm trụ.

1.1.1.

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel

Xét các tính chất cơ bản của hàm Bessel và các hàm trụ. Vì phương trình (1.1)
có điểm đặc biệt x = 0, nên nghiệm hàm u(x) của nó có thể được biểu diễn ở dạng
chuỗi lũy thừa tổng quát
∞

u(x) = x

ak x k ,

σ

(1.2)

k=0

với a0 = 0, số mũ σ và các hệ số ak thỏa mãn định nghĩa. Chuỗi lũy thừa (1.2) có
khả vi đến cấp bất kì. Thay chuỗi (1.2) vào phương trình (1.1) và đồng nhất hệ số
hai vế của phương trình theo lũy thừa của x, ta thu được các biểu thức truy hồi
sau
a0 (σ 2 − ν 2 ) = 0

a1 [(σ + 1)2 − ν 2 ] = 0

a2 [(σ + 2)2 − ν 2 ] + a0 = 0

(1.3)

.......................
ak [(σ + k)2 − ν 2 ] + ak−2 = 0, k = 2, 3, ...

Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), ta suy ra σ 2 − ν 2 = 0 hay σ = ±ν . Chú ý
k
2

rằng, khi ν = , k = 1, 2, ... thì ta có điều kiện sau

(σ + k)2 − ν 2 = 0; k = 1, 2, 3, ...

(1.4)

Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), khi σ = ±ν , ta suy ra
a1 = 0

(1.5)

Theo điều kiện (1.4), từ phương trình cuối cùng của hệ (1.3) ta thu được cơng
thức truy hồi
ak = −

ak−2
, k = 2, 3, ...
(σ + k + ν)(σ + k − ν)

(1.6)

Từ biểu thức (1.5) và (1.6), ta thấy rằng tất cả các hệ số với chỉ số dưới lẻ đều
bằng 0, còn các hệ số với chỉ số dưới chẵn có thể được biểu diễn qua a0 . Xét trường
6


hợp σ = ν , khi đó, trong biểu thức (1.6) cho k = 2p, ta thu được
a2p = −

a2p−2
.
2
2 p(p + ν)

(1.7)

Áp dụng công thức (1.7) một cách tuần tự, ta thu được
a2p =

(−1)p a0
.
22p p!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + p)

(1.8)

Như vậy, nghiệm của phương trình Bessel (1.1) được xác định với độ chính xác
theo thừa số tùy ý a0 . Ta có thể cho a0 ở dạng
a0 =

1
2ν Γ(ν

+ 1)

(1.9)

,

với Γ là hàm Gamma–Euler. Theo tính chất của hàm Gamma–Euler [? ]
Γ(ν + 1)(ν + 1)(ν + 2)...(ν + p) = Γ(p + 1 + ν)

Từ công thức (1.8) và (1.9), ta thu được
a2p =

(−1)p
.
22p+ν Γ(ν + 1)Γ(p + 1 + ν)

Xét chuỗi
∞

Jν (x) =
k=0

(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)

x

2

2k+ν

.

(1.10)

Dùng quy tắc d’Alembert, có thể chứng minh được chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt đối
với mọi x.
Định nghĩa: Chuỗi (1.10) được gọi là hàm Bessel loại một bậc ν và được ký
hiệu là Jν (x).
Ta thấy rằng hàm Jν (x) là một nghiệm riêng của phương trình Bessel (1.1).
Xét trường hợp khi σ = −ν . Đặt Yν (x) = J−ν (x), thực hiện một cách tương tự,

ta cũng sẽ đi đến định nghĩa sau

Định nghĩa: Chuỗi (1.10), ứng với σ = −ν
∞

Yν (x) =
k=0

(−1)k
Γ(k + 1)Γ(k − ν + 1)

7

x
2

2k−ν

(1.11)


Hình 1.1. Hàm Bessel loại một Jn (x) ứng với n = 0, 1, 2.
là hàm Bessel loại hai bậc ν .

Hình 1.2. Hàm Bessel loại hai Yn (x) ứng với n = 0, 1, 2.
Khi ν nhận giá trị khơng ngun (ν = ±1, ±2..) thì hàm Yν (x) là nghiệm thứ hai
của phương trình Bessel. Nghiệm này sẽ độc lập tuyến tính với hàm Bessel loại
một Jν (x) nên các hàm Jν (x) và Yν (x) sẽ hình thành một hệ nghiệm cơ bản của
phương trình Bessel bậc ν .

8


Nếu ν = n – số nguyên, thì
(1.12)

Yn (x) = (−1)n Jn (x).

Khi đó các hàm Yn (x) và Jn (x) sẽ phụ thuộc tuyến tính và khơng hình thành hệ
nghiệm hàm cơ bản.
Ta chứng minh biểu thức (1.12). Vì Γ(−k) = ∞, k = 0, 1, ..., nên tổng chuỗi trong
công thức (1.11) bắt đầu từ giá trị k = n, ta có
∞

Yn (x) =

k=n
∞

(−1)k
Γ(k − n + 1)Γ(k + 1)

(−1)n+s
Γ(s + 1)Γ(s + n + 1)

=
s=0

x
2

x
2

2k−n

2s+n

= (−1)n Jn (x).

Các hàm trụ Bessel với các chỉ số dưới liên tiếp nhau (ν − 1, ν và ν + 1) cùng các
đạo hàm liên hệ với nhau bằng hệ thức truy hồi
2ν
Jν (x),
x
ν

Jν′ (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x),
x
ν
Jν (x) = Jν−1 (x) − Jν (x).
x

Jν+1 (x) = −Jν−1 (x) +

(1.13)
(1.14)
(1.15)

Chú ý rằng, các hàm trụ Bessel với chỉ số dưới là số bán nguyên được biểu diễn
thông qua các hàm sơ cấp. Thật vậy, ta có
Γ

và

1
2

=

√

π

1 · 3 · · · (2k + 1) √
3
+k =

π,
2
2k+1

Γ

Từ phương trình (1.10), ta có
∞

J 1 (x) =
2

k=0

=

2
πx

∞

k=0

(−1)k
k!Γ( 32 + k)

(−1)k 2x+1
x
=
(2k + 1)!

9

x
2

2k+ 12

2
sin x.
πx


Tương tự, ta cũng có
2
cos x.
πx

Y 1 (x) =
2

Chú ý rằng, từ công thức (1.13) và các biểu thức của các hàm số J 12 (x) và Y 12 (x) ta
có cơng thức tổng qt sau
2
πn
πn
1
1
Pn
sin x −

+ Qn
cos x −
πx
x
2
x
2

Jn+ 1 (x) =
2

,

với Pn (v) và Qn (v) là những đa thức có bậc khơng vượt q n phụ thuộc vào v ,
ngoài ra Pn (0) = 1, Qn (0) = 0.
Khi x → ∞ thì ta có cơng thức tiệm cận của hàm Bessel
2
πν π
−
cos x −
πx
2
4

Jν (x) =

+O

1
x

.

(1.16)

Điểm không của hàm Bessel: Là những điểm mà tại đó hàm Bessel nhận giá
trị bằng 0 [7]. Ở đây ta chỉ xét điểm không của hàm Bessel loại một có chỉ số dưới
là số nguyên. Cụ thể, xét phương trình Jn (x)=0. Phương trình này ln có một bộ
nghiệm dương và các nghiệm này được phân bố theo thứ tự tăng dần, tức là
(n)

(n)

(n)

µ1 < µ2 < ... < µk < ...

Thực hiện tính tốn các giá trị của 6 điểm không đầu tiên của hàm J0 (x) với độ
chính xác đến 4 chữ số thập phân, ta được:
(0)

(0)

(0)

µ1 = 2.4048, µ2 = 5.5201, µ3 = 8.6537,
(0)

(0)

(0)

µ4 = 11.7015, µ5 = 14.9309, µ6 = 18.0711.

Chú ý rằng, ta có thể tìm khơng điểm của hàm Bessel bằng cách sử dụng công
thức tiệm cận (1.16), cụ thể cho Jν (x) = 0, ta suy ra
(ν)

µk =

1.1.2.

3π πν
+
+ kπ, k ∈ Z.
4
2

Các hàm trụ khác

Cùng với hàm Bessel Jν (x) thì trong các bài toán vật lý thường sử dụng các
hàm trụ khác [8]. Ta xét một số hàm trụ sau
Hàm Hankel loại một
(1)

Hν (x) =

i
[Jν (x)e−iπν − Yν (x)], ν = n, n ∈ Z,
sin πν

10


(1)

Hn (x) = Jn (x) +

∂Yν (x)
i ∂Jν (x)
− (−1)n
, ν = n;
π
∂ν
∂ν

Hàm Hankel loại hai
(2)

Hν (x) =

1
[Jν (x)eiπν − Yν (x)], ν = n, n ∈ Z,
i sin πν

(2)

Hn (x) = Jn (x) −

i ∂Jν (x)

∂Yν (x)
, ν = n;
− (−1)n
π
∂ν
∂ν

Hàm Neumann
Nν (x) =

1
[Jν (x) cos πν − Yν (x)], ν = n, n ∈ Z,
sin πν

Nn (x) =

1 ∂Jν (x)
∂Yν (x)
, ν = n;
− (−1)n
π
∂ν
∂ν

Hàm Infeld và hàm Macdonald
π
πi
π
(1)
exp

νi Hν (ix).
Iν (x) = exp − νi Jν (ix), Kν (x) =
2
2
2

Hàm Hankel loại một và loại hai được biểu diễn qua hàm Bessel và Neumann
như sau
(1)

(2)

Hν (x) = Jν (x) + iNν (x), Hν (x) = Jν (x) − iNν (x).

(1.17)

Sử dụng công thức tiệm cận của các hàm Bessel Jν (x), ta có các biểu thức tiệm
cận của các hàm trụ như sau
(1)

Hν (x) =
(2)

Hν (x) =

π
π
2
exp i x − ν −
πx

2
4

+ O x− 2 ,

π
π
2
exp −i x − ν −
πx
2
4

+ O x− 2 ,

Nν (x) =

3

3

3
π
π
2
sin x − ν −
+ O x− 2 ,
πx
2
4

ex
Iν (x) = √
1 + O(x−1 ) ,
2πx
π −x
e
1 + O(x−1 ) .
Kν (x) =
2x

(1.18)

Một bộ đôi hàm số bất kỳ từ bộ các hàm số Jν (x), Nν (x), Hν(1) (x), Hν(2) (x) tạo
thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình Bessel với mọi giá trị của ν . Từ đó ta

11


có cơng thức nghiệm tổng qt của phương trình Bessel là
u(x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x)

hoặc
(1)

(2)

u(x) = C1 Hν (x) + C2 Hν (x).

Nếu trong phương trình Bessel, ta thay x bởi ix, thì các hàm Infeld và Macdonald
sẽ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình, từ đó ta có nghiệm tổng qt

u(x) = C1 Iν (x) + C2 Kν (x).

Khi x → 0, ta có biểu thức mơ tả trạng thái của các hàm trụ
1
Jν (x) ≈
Γ(ν + 1)

Nν (x) ≈

(1,2)

2

π

− Γ(ν) x

(x) ≈

−ν

2

, ν > 0;

 2 x
±i ln , ν = 0,
2

π

±i Γ(ν) x


ln 2 , ν = 0,
x

 1 Γ(ν) x
2

−ν

2

π

Kν (x) ≈

, ν ≥ 0;

2 x
 ln , ν = 0,
π

Hν

ν

2
x

2

, ν > 0;

−ν

, ν > 0.

1.2.

Đa thức Legendre

1.2.1.

Đa thức trực giao cổ điển Legendre

Trong các bài toán vật lý toán và vật lý lý thuyết, đa thức Legendre là một hệ
đa thức hoàn chỉnh và trực giao. Đa thức Legendre có thể được định nghĩa theo
nhiều cách khác nhau và mỗi cách định nghĩa làm nổi bật các tính chất cũng như
những ứng dụng khác nhau trong việc giải các bài tốn biên.
Ta sẽ tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của đa thức Legendre thơng qua

12


phương trình vi phân của bài tốn Sturm–Liouville
d
dy
(1 − x2 )

λy = 0, −1 ≤ x ≤ 1,
dx
dx

(1.19)

|y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞.

(1.20)

Phương trình (1.19) được gọi là phương trình vi phân Legendre. Ta sẽ tìm nghiệm
của phương trình (1.19) trong lân cận của điểm x = 0 ở dạng chuỗi lũy thừa
∞

ak xk .

y(x) =

(1.21)

k=0

Thay biểu thức (1.21) vào phương trình (1.19) và thực hiện một số phép biến
đổi cơ bản, ta thu được
∞

k=0

[(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k 2 − k)ak ]xk = 0,

suy ra
[(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k 2 − k)ak ]xk = 0, k = 0, ∞.

Từ đó, ta có cơng thức truy hồi
ak+2 = −

λ − k2 − k
ak .
(k + 2)(k + 1)

(1.22)

Công thức này cho phép ta biểu diễn các hệ số chẵn qua hệ số a0 và các hệ số
lẻ qua a1 .
Khi a0 = 0, a1 = 0, ta có nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của x
∞

a2p x2p .

y1 (x) =

(1.23)

p=0

Khi a0 = 0, a1 = 0 – nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc lẻ của x
∞

a2p+1 x2p+1 .

y2 (x) =

(1.24)

p=0

Ta thấy rằng, các chuỗi y1 (x) và y2 (x) hội tụ trên đoạn [−1; 1]. Nếu λ = n(n + 1),
thì |y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞.

13


Thật vậy, từ công thức truy hồi (1.22), khi λ = n(n + 1), ta có
an+2 = an+4 = ... = an+2p = ... = 0,

nghĩa là một trong các chuỗi (1.23) hoặc (1.24) sẽ triệt tiêu và sẽ tạo thành đa
thức bậc n.
y(x) = Pn (x), n = 0, ∞.

Đa thức trên là hàm riêng của bài toán (1.19), (1.20). Các đa thức này được gọi
là đa thức Legendre.
Xét một số tính chất của đa thức Legendre [11]
1. Các đa thức Legendre trực giao trên đoạn [−1; 1] với trọng số p(x) = 1, tức là
ˆ

1

Pn (x)Pm (x)dx = 0, n = m.

−1

Thật vậy, theo phương trình Legendre, ta có các đồng nhất thức sau:
d
dPn
(1 − x2 )
+ n(n + 1)Pn (x) ≡ 0,
dx
dx
d
dPm
(1 − x2 )
+ m(m + 1)Pm (x) ≡ 0.
dx
dx

Nhân phương trình thứ nhất với Pm (x), và phương trình thứ hai với Pn (x), trừ vế
theo vế và sau đó lấy tích phân trên đoạn [−1; 1], ta được
ˆ

1

Pm

−1

d
dPn
d
dPm
(1 − x2 )

− Pn
(1 − x2 )
dx
dx
dx
dx

ˆ

= [m(m + 1) − n(n + 1)]

hay
ˆ

1

−1

d
dx

(1 − x2 )

ˆ

Pn (x)Pm (x)dx

−1

dPm

dPn
Pm −
Pn
dx
dx

= (m − n)(m + n + 1)

Từ đó

1

ˆ

1

Pn (x)Pm (x)dx.

−1

1

Pn (x)Pm (x)dx

−1

14

dx

dx


a
(1 − x2 )
=
(m − n)(m + m + 1)

dPn
dPm
Pm −
Pn
dx
dx

1

= 0,
−1

khi n = m.
2. Đa thức Legendre hoặc là đa thức chẵn hoặc là đa thức lẻ.
3. Đa thức Legendre thỏa mãn công thức Rodrigues [12]
Pn (x) = C

dn 2
(x − 1)n .
dxn

(1.25)

Thật vậy, hàm u(x) = C(x2 − 1)n là nghiệm của phương trình
(x2 − 1)u′ − 2nxu = 0,

Lấy vi phân phương trình trên n + 1 lần, áp dụng công thức Leibnits đối với đạo
hàm của tích hai hàm số, ta được
d
du(n)
(x2 − 1)
− n(n + 1)u(n) = 0,
dx
dx

từ đây suy ra hàm u(n) (x) là nghiệm của phương trình Legendre khi q = n(n + 1),
và u(n) (x) là đa thức bậc n, trùng với đa thức Legendre.
4. Đa thức Ledendre Pn (x) có n không điểm khác nhau trong đoạn [−1; 1].
5. Trong biểu thức (1.25) đặt C =
P n (x) =

1

2(n) n!

, ta được đa thức Legendre chuẩn hóa

dn 2
(x − 1)n .
2(n) n! dxn
1

(1.26)

Sử dụng cơng thức (1.26), ta có thể tính được các biểu thức một số đa thức Legendre
đầu tiên
3
1 3
5
P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = − + x2 , P 3 (x) = x3 − x,
2 2
2
2
35
15
3 35 4 15 2
63
+ x − x , P 5 (x) = x5 − x3 + x,
8
8
4
8
4
8

P 4 (x) =

P 6 (x) = −
P 7 (x) =
P 8 (x) =
P 9 (x) =

231 6 315 4 105 2
5
+
x −
x +
x ,
16
16
16
16

429 7 693 5 315 3 35
x −
x +
x − x,
16
16
16
16

6435 8 3003 6 3465 4 315 2
35
+
x −
x +
x −
x ,
128
128
32

64
32

12155 9 6435 7 9009 5 1155 3 315
x −
x +
x −
x +
x,
128
32
64
32
128

15


P 10 (x) = −

46189 10 109395 8 45045 6 15015 4 3465 2
63
+
x −
x +
x −
x +
x .
256
256

256
128
128
256

Sau này khi nói về đa thức Legendre chuẩn hóa thì ta sẽ dùng kí hiệu Pn (x),
thay cho P n (x). Hình (1.3) biểu diễn 6 hàm đa thức Legendre chuẩn hóa đầu tiên.

Hình 1.3. Đồ thị đa thức Legendre Pn (x) ứng với n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

1.2.2.

Đa thức Legendre liên hợp

Trong toán học, đa thức Legendre liên hợp là nghiệm chính tắc của phương
trình Legendre tổng quát
d2 (m)
d (m)
m2
(m)
(1 − x ) 2 Pn (x) − 2x Pn (x) + n(n + 1) −
Pn (x) = 0,
2
dx
dx
1−x
2

(1.27)

hoặc ta có thể viết lại ở dạng tương đương
m2
d (m)
d
(m)
Pn (x) = 0.
(1 − x2 ) Pn (x) + n(n + 1) −
dx
dx
1 − x2

(1.28)

Trong đó các hệ số n và m là các số nguyên. Phương trình (1.27) (hay (1.28))
có các nghiệm khác khơng chỉ trên đoạn [−1, 1] khi n và m nguyên với 0 ≤ m ≤ n.
Khi m là số chẵn thì hàm Pn(m) (x) là một đa thức, khi m = 0 và n ngun thì hàm
số chính là đa thức trực giao cổ điển Legendre (đã được khảo sát ở mục 1.2.1).
Phương trình vi phân Legendre thường được gặp trong các bài toán vật lý toán
và các bài toán vật lý lý thuyết. Cụ thể, nó xuất hiện trong việc giải phương trình
Laplace (và phương trình vi phân đạo hàm riêng) trong hệ tọa độ cầu. Các đa thức
16


Legendre liên hợp đóng vai trị quan trọng trong việc định nghĩa hàm cầu.
Định nghĩa các tham số nguyên không âm n và m
Đa thức Legendre liên hợp được biểu diễn qua đa thức Legendre cổ điển như
sau
(m)

Pn (x) = (−1)m (1 − x2 ) 2

m

dm
(Pn (x)).
dxm

(1.29)

Các hàm số này trong biểu thức (1.29) thỏa mãn phương trình vi phân Legendre
với các giá trị xác định của các tham số n và m bằng cách lấy vi phân m lần phương
trình Legendre đối với Pn (x) [13]
(1 − x2 )

d
d2
Pn (x) − 2x Pn (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0.
2
dx
dx

Mặt khác, theo công thức Rodrigues
Pn (x) =

1 dn
(x2 − 1)n .
2n n! dxn

(1.30)

Hàm Pn(m) (x) có thể được viết lại
dn+m 2
(−1)m
2 m
2
(x − 1)n .
(1
−
x
)
2n n!
dxn+m

(m)

Pn (x) =

(1.31)

Phương trình này cho phép mở rộng giới hạn của m thành: −n ≤ m ≤ n.
Ta có biểu thức liên hệ giữa Pn(−m) (x) và Pn(m) (x)
(−m)

Pn

(x) = (−1)m

(n − m)! (m)
Pn (x).
(n + m)!

(1.32)

Tính trực giao
Giả sử 0 ≤ m ≤ n, đa thức Legendre liên hợp thỏa mãn điều kiện trực giao với

giá trị m cố định

ˆ

1

−1

(m)

Pk

(m)

Pn dx =

2(n + m)!
δk,n ,
(2n + 1)(n + m)!

(1.33)

trong đó δk,n là ký hiệu Delta Kronecker.
Ngoài ra, đa thức Legendre liên hợp còn thỏa mãn điều kiện trực giao khi cố

17


định n, tức là


0 với m = p,

ˆ 1 (m) (p)

(n + m)!
P n Pn
với m = p = 0,
dx =
2
m(m − m)!

−1 1 − x



∞ với m = p = 0.

Một số hàm đa thức Legendre liên hợp

Hình 1.4. Đa thức Legendre liên hợp với m = 1 (bên trái) và m = 2 (bên phải).
Một số hàm đa thức Legendre liên hợp đầu tiên với các giá trị nguyên âm và
nguyên dương của m
(0)

(−1)

P0 (x) = 1, P1
(−2)

P2

(x) =

(x) =

−1 (1)
1
1 (2)
(−1)
(0)
P2 (x), P2 (x) =
P2 (x), P2 (x) = (3x2 − 1),
24
6
2
1

(1)

1
−1 (1)
(0)
(1)

P1 (x), P1 (x) = x, P1 (x) = −(1 − x2 ) 2 ,
2

(2)

(−3)

P2 (x) = −3x(1 − x2 ) 2 , P2 (x) = 3(1 − x2 ), P3
(−2)

P3

(1)

(x) =

P3 (x) =

(x) =

−1 (3)
P (x),
720 3

−1 (1)
1
1 (2)
(−1)
(0)
P3 (x), P3 (x) =

P3 (x), P3 (x) = (5x3 − 3x),
120
12
2

3
1
−3
(2)
(3)
(5x2 − 1)(1 − x2 ) 2 , P3 (x) = 15x(1 − x2 ), P3 (x) = −15(1 − x2 ) 2 .
2

Đồ thị của các hàm đa thức Legendre liên hợp với các giá trị khác nhau của m
và n được biểu diễn trên hình (1.4).

18


1.3.

Hàm cầu

1.3.1.

Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu

Hàm cầu là phần góc của họ các hàm trực giao trong phương trình Laplace, được
biểu diễn trong hệ tọa độ cầu. Hàm cầu được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên
cứu các hiện tượng vật lý trong các miền không gian được giới hạn bởi các bề mặt

cầu và trong lời giải của các bài toán vật lý có tính đối xứng cầu. Hàm cầu đóng
vai trị quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và trong
vật lý lý thuyết, đặc biệt trong các bài tốn tính tốn quỹ đạo của electron trong
ngun tử, trọng trường của Geoid [14], từ trường của các hành tinh và cường độ
bức xạ di tích.
Phương trình Laplace có dạng
∆u = 0
⇔

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
= 0.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Trong hệ tọa độ cầu phương trình trên được viết lại như sau
1 ∂
r2 ∂r

r2

∂u
∂r

+

∂
1
2
r sin θ ∂θ

sin θ

∂u
∂θ

+

1
∂ 2u
= 0.
r2 sin2 θ ∂ϕ2

Nghiệm của phương trình này được tìm bằng phương pháp tách biến
u(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ).

Từ đó ta thu được hai phương trình vi phân, phương trình của hàm bán kính
1 d
R dr

r2

dR
dr

= λ,

và phương trình hàm góc
(1.34)

∆θϕ Y + λY = 0,

với ∆θϕ − phần góc của tốn tử Laplace trong hệ tọa độ cầu, có dạng
∆θϕ =

1 ∂
sin θ ∂θ

sin θ

∂
∂θ

19

+

∂
1
.
2 ∂ϕ2
sin θ


Phương trình (1.34) là bài tốn Sturm–Liouville trên mặt cầu đơn vị: 0 < θ <
π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, với điều kiện tuần hoàn
Y (θ, ϕ) = Y (θ, ϕ + 2π),

(1.35)

|Y (θ, ϕ)| < ∞, |Y (π, ϕ)| < ∞.

(1.36)

và điều kiện hữu hạn

Định nghĩa: Nghiệm hữu hạn của phương trình (1.34) trên mặt cầu đơn vị
thỏa mãn điều kiện tuần hồn theo ϕ và có đạo hàm liên tục đến bậc hai được gọi
là hàm cầu. Nghiệm của bài tốn (1.34) – (1.36) được tìm bằng phương pháp tách
biến ở dạng
(1.37)

Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ).

Thay (1.37) vào phương trình (1.34), ta được
Φ′′ + νΦ = 0, Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π).

(1.38)

Khi ν = m2 nghiệm không tầm thường của phương trình này có dạng
Φm (ϕ) = eimϕ , m = 0, ±1, ...

Đối với hàm Θ(θ), ta có phương trình
1 ∂
sin θ ∂θ

sin θ

∂Θ
∂θ

+

λ−

m2
sin2 θ

Θ = 0,

(1.39)

0 < θ < π, |Θ(θ)| < ∞, |Θ(π)| < ∞.

Nếu thay đổi biến số x = cos θ, y(x) = y(cos θ), thì phương trình (1.39) có dạng
d
dx

1 − x2

dy
+
dx

λ−

m2
1 − x2

y = 0,

(1.40)

−1 < x < 1, |y(±1)| < ∞.

Bài toán (1.40) là bài toán Sturm–Liouville đối với hàm Legendre liên hợp, vì vậy
trị riêng có dạng
λn = n(n + 1),

20


và hàm riêng ynm (cos θ) = Pn(m) (cos θ) với m ≤ n.
Ta viết lại biểu thức của hệ hàm cầu bậc n
(m)

Yn

(|m|)

(θ, ϕ) = Pn

(1.41)

(cos θ) expimϕ , (−n ≤ m ≤ n).

Hàm riêng của bài toán (1.38) có thể được viết ở dạng lượng giác:

Φm (ϕ) =


cos mϕ,

m = 0, n.

sin mϕ,

Trong trường hợp này, ta quy ước rằng chỉ số trên dương của hàm Yn(m) (θ, ϕ)
tương ứng với việc nhân cho sin mϕ còn chỉ số trên âm thì nhân cho cos mϕ, tức là
(m)

Yn
(−m)

Yn

(|m|)

(cos θ) sin mϕ,

(1.42)

(cos θ) cos mϕ, m = 0, n.

(1.43)

(θ, ϕ) = Pn
(|m|)

(θ, ϕ) = Pn

Biểu thức của một số hàm cầu trong hệ tọa độ cầu
(0)

Y0 (θ, ϕ) =

1
1
(−1)
, Y1 (θ, ϕ) =
π
2

1
2

(−1)

Y2

(θ, ϕ) =

(1)

Y2 (θ, ϕ) =

1
3
(−2)
sin θeiϕ , Y2 (θ, ϕ) =

2π
4

−1
2

(1)

Y1 (θ, ϕ) =

1
2

1
3
(0)
sin θe−iϕ , Y1 (θ, ϕ) =
2π
2

1
15
(0)
sin θ cos θe−iϕ , Y2 (θ, ϕ) =
2π
4
1
15
(2)
sin θ cos θeiϕ , Y2 (θ, ϕ) =

2π
4

−1
2

3
cos θ,
π

15
sin2 θe−2iϕ ,
2π
5
(3 cos2 θ − 1),
π
15
sin2 θe2iϕ .
2π

Đồ thị của một số hàm cầu dưới dạng hình chiếu trong hệ tọa độ Descartes (2D)
và trong hệ tọa độ cầu (3D) được biểu diễn ở hình (1.5).
Xét sự đầy đủ của hệ hàm lượng giác và hệ phương trình Legendre liên hợp, ta
cơng nhận định lý sau.
Định lý (về tính đầy đủ của hàm cầu)
Hệ hàm cầu đầy đủ trên mặt cầu đơn vị
: [0 ≤ θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π],

ˆ

0

π

ˆ

2π

(m1 )

Yn 1

(m2 )

(θ, ϕ)Yn2

0

21

(θ, ϕ) sin θdθdϕ = 0,


(a) Hình 2D của Y0

(0)

(b) Hình 3D của Y0

(0)

(c) Hình 2D của Y1

(0)

(d) Hình 3D của Y1

(0)

(e) Hình 2D của Y2

(0)

(f) Hình 3D của Y2

(0)

(g) Hình 2D của Y2

(1)

(h) Hình 3D của Y2

(1)

Hình 1.5. Đồ thị biểu diễn hình dạng của hàm cầu dưới dạng hình chiếu trong hệ
tọa độ Descartes (2D) và trong hệ tọa độ cầu (3D)
22

khi m1 = m2 , n1 = n2 .
Đối với hàm cầu, ta có định lý khai triển Steklov.
Định lý Steklov (khai triển theo các hàm cầu)
Nếu f (θ, ϕ) – hàm số biến thiên hữu hạn trên mặt cầu đơn vị

và khả tích

tuyệt đối trên , thì tại các điểm liên tục hàm này có thể được khai triển thành
chuỗi hội tụ đều theo các hàm cầu:
∞
(m)

f (θ, ϕ) =

Yn

(θ, ϕ).

(1.44)

n=0

Chuỗi này còn được gọi là chuỗi Laplace.

1.3.2.

Hàm riêng của quả cầu

Xét phương trình Laplace trong quả cầu bán kính r0 .
(1.45)

∆u = 0

Ta tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp tách biến, ta có
u(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ).

(1.46)

Thay (1.46) vào (1.45) và phân ly biến số, ta được:
d
dr

dR
dr
R(r)
r2

≡−

∆θϕ Y
.
Y (θ, ϕ)

(1.47)

Cho rằng, trong bài toán Sturm – Liouville ở phần trước đối với hàm cầu thì
∆θϕ Y
= −n(n + 1).
Y (θ, ϕ)

(1.48)

Từ (1.47) và (1.48) ta có phương trình đối với hàm bán kính
r2 R′′ + 2rR′ − n(n + 1)R = 0.

(1.49)

Phương trình (1.49) được gọi là phương trình Euler.
Nghiệm của phương trình này được tìm ở dạng
R(r) = rσ .

23

(1.50)