tâm tỉ cự và một số bài toán liên quan

Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

I-KHÁI NIỆM VỀ TÂM TỈ CỰ:
Bài toán 1 : (Bài toán về tâm tỉ cự của hai điểm ).
Cho hai điểm A,B và hai số thực α,β thoả mãn α +
β ≠ 0.
1) Chứng minh rằng : tồnutại
duy
nhất điểm I sao cho :
u
r
uur r
α .IA + β .IB = 0 .
2) Chứng minh rằng
: vớiuu
mọi
điểm Muuuta
ln có :
uuur
ur
r
α .MA + β .MB = ( α + β ) MI .
Bài giải : 1) Ta có :
uu
r
uur r
uu
r
uu

r uuur r
α .IA + β .IB = 0 ⇔ α IA + β ( IA + AB ) = 0 .
uu
r
uuu
r r
⇔ ( α + β ) .IA + β AB = 0 .

Do α + β ≠ 0 (theo giả thiết ). Nên
: uuur r
uu
r
uu
r
uur r

α .IA + β .IB = 0 ⇔ ( α + β ) .IA + β AB = 0 .
uur
uuur
⇔ ( α + β ) . AI = β . AB .
uur
β uuur
Hay : AI = α + β AB (1).

Vế trái của (1) là một vectơ hoàn toàn xác định,nên từ (1) ta suy ra tồn tại
duy nhất điểm I thoả mãn (1) tức là thỗ mãn u cầu bài tốn.
2) Với mọi điểm M ta có :

uuur
uuur

uuu
r uu
r
uuu
r uur
α .MA + β .MB = α MI + IA + β MI + IB .
uuu
r
uu
r
uur
= ( α + β ) MI + α IA + β IB .
uuu
r
= ( α + β ) MI .
(đpcm).
uu
r
uur r
Nhận xét : Điểm I xác định duy nhất từ hệ thức α .IA + β .IB = 0 với các số

(

)

(

)

thực α , β thoả mãn điều kiện α + β ≠ 0 được gọi là tâm tỉ cự của hai điểm

A,B ứng với bộ số (α;β).Tâm tỉ cự là khái niệm mở rộng của các khái niệm
thông thường .
Chẳng hạn
: Khi
α = β ≠ 0, thì hệ thức :
uu
r
uur r
uu
r uur r
α .IA + β .IB = 0 trở thành IA + IB = 0 hay I là trung điểm của đoạn thẳng
AB.
Khi α ≠ 0 còn β = 0 thì hệ thức
uu
r
uur r
uu
r r
α .IA + β .IB = 0 trở thành α .IA = 0 ⇔ I ≡ A hay I trùng với
điểm A.
1
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

Khái niệm tâm tỉ cự được coi là mở rộng của khái niệm trung điểm,đầu mút
của một đoạn thẳng.Bằng cách chọn bộ α , β thích hợp hệ thức trên còn cho
ta nhiều khái niệm khac nữa.
Trong
trường
hợp α =uuβur ≠ 0 thì cơng thức :
uuur
uuur
uuur uuur
uuu
r
α .MA + β .MB = ( α + β ) MI trở thành MA + MB = 2MI đây là một công thức quen
thuộc mà ta đã biết.
Bài toán 2 : (Bài toán về tâm tỉ cự của ba điểm ).
Cho ba điểm A,B,C và ba số thực α , β , γ thoả mãn α + β + γ ≠ 0
1) Chứng minh rằng : tồnutại
duy
nhấtuurđiểm
I sao cho :
u
r
uur
r
α .IA + β .IB + γ .IC = 0 .
2) Chứng minh rằng
: vớiuu
mọi
điểm
M ta ln có
:

uuur
ur
uuuu
r
uuu
r
α .MA + β .MB + γ .MC = ( α + β + γ ) MI .
Bài tốn này được giải quyết hồn tồn tương tự như bài tốn 1.
Ta có nhận xét sau .
uu
r

uur

uur

r

Nhận xét: Điểm I xác định duy nhất từ hệ thức α .IA + β .IB + γ .IC = 0 với
các số thực ( α , β , γ ) thoả mãn điều kiện α + β + γ ≠ 0 được gọi là tâm tỉ cự
của hai điểm A,B,C ứng với bộ số ( α , β , γ ) .
Trong trường hợp α = β = γ ≠ 0 thì đẵng thức :
uu
r
uur
uur r
uu
r uur uur r
α .IA + β .IB + γ .IC = 0 trở thành IA + IB + IC = 0 ⇔ I ≡ G
Hay I là trọng tâm của tam giác ABC .

uu
r
uur
uur r
Trong trường hợp β = γ = 0,α ≠ 0 đẵng thức : α .IA + β .IB + γ .IC = 0 trở
uu
r r
thành : α .IA = 0 ⇔ I ≡ A .
Trong trường hợp : α = β ≠ 0, γ = 0 thì đẵng thức :
uu
r
uur
uur r
uu
r uur r
α .IA + β .IB + γ .IC = 0 trở thành : IA + IB = 0 hay I là trung điểm của AB.
Như vậy tuỳ thuộc vào các cách chọn bộ ( α , β , γ ) mà tâm tỉ cự của bộ ba
điểm A,B,C có thể là trọng tâm của ABC ,là một trong ba điểm A,B,C
hoặc là trung điểm của một trong ba đoạn thẳng AB,BC,CA...
uuur

uuur

uuuu
r

uuu
r

Khi α = β = γ ≠ 0 thì hệ thức α .MA + β .MB + γ .MC = ( α + β + γ ) MI trở thành :

uuur uuur uuuu
r
uuu
r
MA + MB + MC = 3MI với moi điểm M,đây là một đẵng thức quen thuộc mà ta
đã biết.
Bài toán 3 : (Bài toán về tâm tỉ cự của n điểm ).
Cho n điểm A1 , A2 ,..., An và n số thực k1 , k2 ,..., kn thoả mãn :
k1 + k2 + ... + kn ≠ 0 .
1) Chứng minh rằng : tồn tại duy nhất điểm I sao cho :
2
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

uur
uuu
r
uuu
r r
k1.IA1 + k2 .IA2 + ... + kn .IAn = 0 .

2) Chứng
minh
rằng : với

mọi điểm M ta ln
có :
uuuu
r
uuuur
uuuur
uuu
r
k1.MA1 + k2 .MA2 + ... + kn .MAn = ( k1 + k2 + ... + k n ) MI .
uur

uuu
r

uuu
r r

Bài giải : 1) Ta có : k1.IA1 + k2 .IA2 + ... + kn .IAn = 0

uur
uur uuuur
uur uuuuu
r r
⇔ k1.IA1 + k2 . IA1 + A1 A2 + ... + k n . IA1 + A1 AN = 0
uur
uuuur
uuuur
uuuur r
⇔ ( k1 + k2 + ... + kn ) IA1 + k2 . A1 A2 + k3 . A1 A3 + ... + k n A1 An = 0
uuu

r
uuuur
uuuur
uuuur
⇔ ( k1 + k2 + ... + kn ) A1 I = k2 . A1 A2 + k3 . A1 A3 + ... + kn A1 An
uuuur
uuuur
uuuur
uuu
r k . A A + k . A A + ... + k A A
2 1 2
3 1 3
n 1 n
⇔ A1 I =
(1).
( k1 + k2 + ... + kn )

(

)

(

)

Vế trái của đẵng thức (1) là một véc tơ hoàn toàn xác định ,nên từ (1) ta suy
ra tồn tại và duy nhất một điểm I thoả mãn
đẵng
thức (1)uu,hay
tồn tại duy

uur
uuu
r
u
r r
nhất một điểm I thoả mãn đẵng thức k1.IA1 + k2 .IA2 + ... + kn .IAn = 0 (đpcm).
2) Áp dụng
đẵng
thức trên
với mọi M ta có :
uur
uuu
r
uuu
r r
k1.IA1 + k2 .IA2 + ... + kn .IAn = 0
uuur uuuu
r
uuur uuuur
uuur uuuur r
⇔ k1 IM + MA1 + k2 IM + MA2 + ... + k n IM + MAn = 0
uuur
uuuu
r
uur
uuuur r
⇔ ( k1 + k2 + ... + kn ) IM + k1.MA1 + k 2 .M A2 + ... + k n MAn = 0
uuuu
r
uur

uuuur
uur
⇔ k1.MA1 + k2 .M A2 + ... + kn MAn = ( k1 + k2 + ... + k n ) M I . (đpcm).

(

)

(

)

(

)

Từ ba bài toán nêu trên ta có định nghĩa về tâm tỉ cự như sau :
Định nghĩa : Cho n điểm A1 , A2 ,..., An và n số thực k1 , k2 ,..., kn thoả mãn điều
kiện : k1 + k2 + ... + kn ≠ 0 .Khi đó nếu tồ tại duy nhất một điểm G sao cho :
uuur
uuuu
r
uuuu
r r
k1.GA1 + k2 .GA2 + ... + kn .GAn = 0

Thì G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai gắn với các hệ số ki .
Trong trường hợp các hệ số ki bằng nhau ( i = 1, n ) thì G được gọi là trọng

tâm của hệ n điểm Ai , ( i = 1, n ) ;

II- MỘT VÀI BÀI TỐN LIÊN QUAN :
Bài tốn 1 : Cho ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi I là tâm
đường tròn nội tiếp ABC. Chứng minh rằng I là tâm tỉ cự của hệ ba điểm
A,B,C ứng với bộ số a,b,c
Bài giải : Ba đường phân giác AA1 , BB1 , CC1 cắt nhau tại I là tâm đường tròn
nội tiếp ABC .
Vẻ hình bình hành IB’CA’.
3
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

Theo
quyr tắcuuurhình bình hành ta có :
uur uuu
IC = IA ' + IB ' .
Trong BB’C : IA1 // B’C . Theo định
lý Talet ta có :
IB ' A1C
=
(1).
IB A1 B

Vì AA1 là đường phân giác nên ta có :

A1C AC b
=
=
A1 B AB c

(2).

Từ (1) và (2) ta suy ra :
IB ' A1C AC b
=
=
=
IB A1 B AB c

uuu
r
uur
uuu
r
IB '
b
uur = −
(do IB và IB ' đối nhau ) (3) .Lập luận hồn tồn tương tự ta
c
IB

có:

uuu
r

IA '
a
uu
r =−
c
IA

(4).
uuu
r uuu
r

r
b uur a uu
c
c
uur uuu
r uuu
r
r
b uur a uu
⇒ IC = IA ' + IB ' = − IB − IA
c
uu
r uur uur cr
⇔ aIA + bIB + cIC = 0

Từ (3) và (4) ta suy ra : IA ' + IB ' = − IB − IA

Rõ ràng a + b + c ≠ 0 nên từ đẵng thức trên ta suy ra I là tâm tỉ cự của bộ ba

điểm A,B,C ứng với bộ số a,b,c .
(đpcm).
Bài tốn 2 : Cho ABC khơng vng.Chứng
minh rằng trực tâm H của ABC là tâm tỉ cự
của bộ ba điềm A,B,C ứng với bộ số :
(tanA ; tanB ; tanC).
Bài giải :
Các đường cao của ABC cắt nhau tại trực
tâm H .Vẻ hình bình hành HB’CA’
Trong BB’C ta có HA1 // B’C.
HB '

A1C

Suy ra : HB = A B
1
Ta lại có :
A1C = AA1.cot C.
A1B = AA1.cot B.
Do đó :
4
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

uuuu
r
HB ' A1C AA1.cot C tan B
tan B uuur
=
=
=
⇒ HB ' = −
.HB (1).
HB A1 B AA1.cot B tan C
tan C
uuur
uuuu
r
(vì HB và HB ' đối nhau).

Hồn tồn tương tự ta có :

uuuu
r
tan A uuur
HA ' = −
.HA
tan C

(2).

Từ (1) và (2) ta có :

uuuu

r uuuu
r
tan A uuur tan B uuur
HA ' + HB ' = −
.HA −
.HB
tan C
tan C

uuur uuuu
r uuuu
r
tan A uuur tan B uuur
⇔ HC = HA ' + HB ' = −
.HA −
.HB
tan C
tan C
uuur
uuur
uuur r
⇔ tan A.HA + tan B.HB + tan C.HC = 0 (3).

Ta ln có :
tanA + tanB + tanC ≠ 0 ,do đó từ định nghĩa và đẵng thức (3) ta
suy ra H là tâm tỉ cự của hệ ba điểm A,B,C ứng với bộ số :
(tanA ; tanB ; tanC)
Trong trường hợp ABC có một góc tù được chứng minh hồn tồn tương
tự.
Bài tốn 3 : Cho tứ giác ABCD.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.Điểm I

là điểm thuộc cạnh GC sao cho : IC = 3GC.
Chứng minh rằng vớiuumọi
M ta ln
cór hệ thức
:
ur uuur uuuu
r uuuu
uuu
r
MA + MB + MC + MD = 4MI

Bài giải :
Theo giả thiết,G là trọng tâm của ABD nên :
G là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,D ứng
với bộ số (1;1;1).Nghĩa
làu:ur
uu
r uur uur
IA + IB + ID = 3IG (1)
uur
uur
uur
Mặt
khác
:
IC = 3IG ⇒ IC = −3IG (Do IC và
uur
IG là hai vectơ đối nhau).
uur
uur

Thế uIC
= −3IG vào biểu thức (1) ta có :
u
r uur uur uur r
IA + IB + IC + ID = 0 .
Do uđó
với mọi điểm M ta ln có :
u
r uur uur uur r
IA + IB + IC + ID = 0

uuur uuur uuur uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r r
uuur uuur uuur uuuu
r uuuu
r r
⇔ IM + MA + IM + MB + IM + MC + IM + MD = 0 ⇔ 4 IM + MA + MB + MC + MD = 0
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuu
r
⇔ MA + MB + MC + MD = 4MI ,(đpcm).

5
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký

Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

Bài toán 4 :Cho ABC, M là một điểm nằm trong tam giác.Chứng minh
rằng M là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng với bộ số (Sa,Sb,Sc).Trong đó: Sa=
SMBC ; Sb= SMCA ; Sc= SMAB .
Bài giải : Giả sử AM,BM,CM kéo dài cắt BC,CA,AB lần lượt tại
A1,B1,C1.Dựng hình bình hành
MB’CA’.Khi
đó ta có :
uuuu
r uuuur uuuur
MC = MA ' + MB ' (1).Kẻ AH ⊥ BM
và CK ⊥ BM .Theo định lý Talet
ta có :
∆AB1M : ∆CB1 B ' ⇒
∆AB1h : ∆CB1 K ⇒

B ' C CB1 (2)
=
MA AB 1

CK CB1 (3)
=
AH AB 1
B 'C

CB

CK

1
Từ (2) và (3) ta suy ra : MA = AB = AH (4).
1

Do
⇒

CK S∆MBC S a
B ' C MA '
=
=
(vì MA’ = B’C ) ; AH = S
Sc
MA MA
∆MAB
uuuur
S
S uuur
MA ' S a
uuur
uuuur
=
⇒ MA ' = a .MA ⇒ MA ' = − a MA (5).(do MA và MA ' ngược hướng)
MA Sc
Sc
Sc

uuuur
Sb uuur
MB
'
=
−
MB (6).
Lập luận hồn tồn tương tự ta có :
Sc

Thay (5) và (6) vào (1) ta được :
uuuu
r uuuur uuuur
uuur
uuur
uuuu
r r
S uuur S uuur
MC = MA ' + MB ' = − a MA − b MB hay S a .MA + Sb .MB + Sc .MC = 0 (7).
Sc
Sc

Mặ khác: Sa + Sb + Sc ≠ 0 ,nên từ đẵng thức (7) ta suy ra M là tâm tỉ cự của
ba điểm A,B,C ứng với bộ số (Sa,Sb,Sc). (đpcm).
Nhận xét : Qua các bài toán trên ta thấy rằng khái niệm tâm tỉ cự rất đa
dạng.Có thể kết luận rằng với mị điểm M nằm trong tan giác ABC đều có thể
xem là tâm tỉ cự của ba đỉnh A,B,C ứng với một bộ số nào đó.
 Từ bài tốn trên ta có thể suy ra được nhiều kết quả đã biết.Chẳng hạn :
Nếu M ≡ G (G là trọng tâm của tam giác ABC )thì khi đó : Sa = Sb = Sc =

S
3

6
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

Và do đó G là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,C ứng với bộ (1;1;1).
Nếu M ≡ I (I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) ,vì :
Sa =

1
1
1
ar , Sb = br , Sc = cr
2
2
2

Khi đó : I là tâm tỉ cự của bộ ba điểm A,B,C ứng với bộ số (a,b,c).
Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì mọi điểm M nằm trong tam giác đều
là tâm tỉ cự của ba đỉnh A,B,C theo một bộ số (x;y;z) với x,y,z lần lượt là
khoảng cách từ M xuống các cạnh AB,BC,CA. (học sinh có thể tự chứng
minh nhận xét này ) .

Bài toán 5 : Cho tam giác ABC .
1)Hãy dựng điểm I là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng với bộ số (3;-2;1).
2)Chứng
minh rằng đường
thẳng nối hai điểm MN được xác định từ hệ thức
uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
MN = 3MA − 2 MB + MC luôn đi qua một điểm cố định.
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
3) Tìm quỹ tích của M sao cho: 3MA − 2MB + MC = MB − MA .
uuur uuur uuuu
r

uuur uuuu
r

4)Tìm quỹ tích của M sao cho : 2 MA + MB + MC = 3 MB + MC .
5) Tìm quỹ tích của M sao cho:

uuur uuur
uuur uuuu
r
2MA + MB = 4MB − MC .

Bài giải: 1) Điểm I là tâm tỉ cự của bộ ba
điểm A,B,C ứng với bộ số (3;-2;1) nên điểm
I cầnuurtìm u

yhoả
mãn hệ thức sau :
ur uur r
3IA − 2 IB + IC = 0
uu
r uur uu
r uur r
uuu
r uur r
⇔ 2 IA − IB + IA + IC = 0 ⇔ 2 BA + 2 IE = 0

(

)

(Với
E là trung điểm của đoạn AC).
uur uuur
⇔ IE = AB .
Suy ra I là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABEI (với E là trung điểm của AC).
2)Theo tính chất của tâm tỉ cự ta có :

uuur uuur uuuu
r
uuu
r
3MA − 2 MB + MC = (3 − 2 + 1) MI
uuur uuur uuuu
r

uuu
r
⇔ 3MA − 2 MB + MC = 2 MI

Suy
ra u:uur
uuuu
r

uuur uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
MN = 3MA − 2 MB + MC = 2 MI hay MN = 2 MI .

Do đó ba điểm M,N,I ln thẳng hàng ,hay mọi đường thẳng nối hai điểm
M,N đều đi qua một điểm cố điịnh. (đpcm).

7
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan
uuur

uuur uuuu
r

uuu
r

3)Theo tính chất của tâm tỉ cự ta suy ra : 3MA − 2MB + MC = 2MI
Do đó :
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
3MA − 2 MB + MC = MB − MA
uuu
r uuu
r
⇔ 2MI = AB ⇔ 2MI = AB
AB
.
2

⇔ MI =

Vậy quỹ tích điểm M là đường
trịn tâm I có bán kính bằng

AB
.
2

4)Gọi G là trọng tâm của ABC .
VàuuFur làuu
trung
điểm
của
cạnh BC.Ta có :
ur uuuu
r uuuu
r
MA + MB + MC = MG .
uuur uuuu
r
uuur
MB + MC = 2MF .
uuur uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
Do đó : 2 MA + MB + MC = 3 MB + MC
uuuu
r
uuur
⇔ 2 3MG = 3 2 MF

⇔ 6 MG = 6MF ⇔ MG = MF .

Suy ra quỹ tích của M chính là đường
Trung trực của đoạn thẳng GF với G là
trọng tâm của ABC ,và F là trung điểm của BC.

5) Gọi P là tâm tỉ cự của hai
điểm A,B ứng với bộ số
(2;1),và K là trung điểm của
canh AB.Khi đó P thoả mãn
đẵng thức véctơ sau :
uuu
r uuu
r r
2 PA + PB = 0
uuu
r uuu
r uuu
r r
⇔ PA + PA + PB = 0
uuu
r uuur r
⇔ PA + 2 PK = 0 .

(

)

Tương tự gọi Q là tâm tỉ cự của
hai điểm B,C ứng với bộ số
(4;-1).Khi đó Q thoả mãn đẵng thức véctơ sau :

uuur uuur uuur r
uuur uuur r
uuur uuu
r r

4QB − QC = 0 ⇔ 3QB + QB − QC = 0 ⇔ 3QB + CB = 0 hay

(

)

uuur 1 uuur
QB = BC .
3

Theo
tính chất của tâm
tỉ u
cự
ta có :
uuur uuur
uuur
uur
2 MA + MB = ( 2 + 1) MP = 3MP ;
8
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

uuur uuuu

r
uuuu
r
uuuu
r
4 MB − MC = ( 4 − 1) MQ = 3MQ ;
uuur uuur
uuur uuuu
r
2
MA
+
MB
=
4
MB
−
MC
Từ đẵng thức :
ta suy ra :
uuur
uuuu
r
3MP = 3MQ Hay MP = MQ .

Do đó quỹ tích điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài toán 6 : Cho tam giác ABC.
1) Xác định điểm I sao cho nó là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng
với bộ số : (1;3;-2).
Xác định điểm D sao cho nó là tâm tỉ cự của hai điểm B,C ứng với

bộ số : (3;-2).
2) Chứng minh rằng A,I,D thẳng hàng .
uuur
uuur
3) Gọi E là trung điểm của AB và N là một điểm sao cho : AN = k AC
hãy xác định k sao cho AD,EN,BC đồng quy.
4) Tìm quỹ tích điểm M sao cho :
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
MA + 3MB − 2 MC − 2 MA − MB − MC ;
Bài giải : 1) Giả sử I là tâm tỉ cự của ba điểm A,B,C ứng với bộ số
(1;3;-2) ,E là trung điểm của AB.
Khi đó I thoả
mãn đẵng thức véctơ sau :
uu
r uur uur r
IA + 3IB − 2 IC = 0
uu
r uur
uur uur r
⇔ IA + IB + 2 IB − IC = 0
uur uuu
r r
uur uuur
⇔ 2 IE + 2CB = 0 ⇔ IE = BC

(

)

Vậy I là đỉnh thứ tư của hình bình hành
BCEI.
Gọi D là tâm tỉ cự củauhai
điểm B,C ứng với bộ số (3;-2).Khi đó D thoả
uur uuur r
mãn đẵng thức sau : 3DB − 2 DC = 0
uuur
uuur uuur r
uuur uuu
r r
uuur
uuur
⇔ DB + 2 DB − DC = 0 ⇔ DB + 2CB = 0 ⇔ DB = 2 BC

(

)

Vậy B,C,D cùng nằm trên một đường thẳng,B nằm giữa C,D và
DB = 2BC
2) Chứng minh A,I,D
thẳng hàng:
E làutrung
điểm của ABuur uuur uuur
ur uu
r uur
⇒ 2IE = IA + IB .Thay 2 IE = 2 BC = DB
vào

đẵng
thức trên ta được
: uuur uur
uuur uu
r uur uuur uur uu
r
DB = IA + IB ⇒ DB − IB = IA ⇔ DI = IA

suy ra A,I,D thẳng hàng. (đpcm).
3)Theo chứng minh trên ta có AD và
BC ugiao
nhau tại D .Giả
uuur
uur
sử DE cắt AC tại N,N thuộc AC,theo giả thiết AN = k AC ,do đó k > 0 .Kẻ
BH song song với AC, H thuộc DN.
9
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

∆HEB = ∆NEA ⇒ BH = NA .
BH DB 2
2
=

= ⇒ BH = CN .
Theo định lý Talet ta có :
CN DC 3
3
2
2
⇒ AN = NC = AC
3
5
2
2
5
5
AN = NC ⇔ AN + NC = NC + NC = NC ⇔ AC = NC
( Vì
3
3
3
3
5
5 3
5
2
NC = . . AN ⇔ AC = AN ⇔ AN = AC
3
3 2
2
5
uuur 2 uuur
2

Suy ra : AN = AC ⇒ k = .
5
5
2
Vậy Với k = thì AD,BC,EN địng quy tại D.
5
⇔ AC =

4)Gọi J là trung điểm của BC.
Theo
tính chất rcủa u
tâm
tỉ cự ta có :
uuur uuur uuuu
uu
r
MA + 3MB − 2 MC = 2 MI .
Mặt khác :

).

uuur uuur uuuu
r uuur uuur
uuur uuuu
r
2MA − MB − MC = MA − MB + MA − MC
uuur uuur
uuu
r
uuu

r uuu
r
= BA + CA = − AB + AC = −2 AJ .
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
Do đó : MA + 3MB − 2MC − 2MA − MB − MC
uuu
r
uuu
r
⇔ 2 MI = 2 AJ ⇔ MI = AJ .

(

(

) (

)

)

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I bán kinh AJ.
III-BÀI TẬP VẬN DỤNG :
Cho tam giác ABC với I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác
đó.Chứng minh các đẵng thức véc tơ sau :
r 1 uur 1 uur r
1 uu

IA
1) h + h IB + h IC = 0
a
b
c
uu
r

uur

uur

r

2) sin A.IA + sin B.IB + sin C.IC = 0
r 
B
C  uu
C
A  uur 
A
B  uur r

3)  cot + cot ÷.IA +  cot + cot ÷.IB +  cot + cot ÷.IC = 0


2

4)

2



2

uu
r

2



2

2

uur

( b.cos C + c.cos B ) .IA + ( c.cos A + a.cos C ) .IB
uur r
+ ( a.cos B + b.cos A ) .IC = 0
5)
10
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

r  cos A cos C  uur  cos B cos A  uur r
 cos C cos B  uu
+
.
IA
+
+

÷ +
÷.IB + 
÷.IC = 0
 sin B sin C 
 sin C sin A 
 sin A sin B 

6)

( p − a ) .sin 2

r
A uu
B uur
C uur r
.IA + ( p − b ) .sin 2 .IB + ( p − c ) .sin 2 .IC = 0
2
2
2

Gọi R1,R2,R3, là bán kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác
BIC, AIC, AIB ,chứng minh rằng:
7)
R1.cos

r
A uu
B uur
C uur r
.IA + R2 .cos .IB + R3 .cos .IC = 0
2
2
2

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB.
Chứng minh rằng :
8)
uuur
uur
uur r
( b + c − a ) .IM + ( c + a − b ) .IN + ( a + b − c ) .IP = 0 .
9)
cot

A uuur
B uur
C uur r
.IM + cot .IN + cot IP = 0 .
2

2
2

Với D,E,F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC,CA,AB với đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh urằng
:uur uur r
ur
10)
a.ID + b.IE + c.IF = 0
11)

uuur
uuu
r
uuur r
a. AD + b.BE + c.CF = 0 .

Cho M là một điểm nằm trong tam giác. D’ ; E’ ; F’ lần lượt
là hình chiếu của M lên các cạnh BC,CA,AB.
Chứng minh rằng :
12)
a 2 uuuur b 2 uuuur c 2 uuuur r
.MD ' + .ME ' + .MF ' = 0
Sa
Sb
Sc

Với Sa = SMBC ; Sb = SMCA ; Sc = SMAB

11
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký


Chuyên Đề :

Tâm Tỉ Cự Và Một Và Bài Toán Liên Quan

12
Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam

Trường Trung Tiểu Học PéTrus Ký