Ánh xạ tiếp xúc và liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

Tr-ờng Đại học vinh
Khoa toán

Nguyễn thị thu h-ơng

ánh xạ TIếP XúC và liên thông
tuyếntính
trên đa tạp khả vi

chuyên ngành hình học
Khoá luận tốt nghiệp đại học
ngành cử nhân khoa học toán

Giáo viên h-ớng dẫn
Th.S. Tr-ơng Chí TrunG
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Thu H-ơng
Lớp 43B-Khoa Toán

Vinh-2006


3

Lời mở đầu
ánh xạ tiếp xúc có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích, ..., chẳng
hạn sử dụng nó ®Ĩ tÝnh ®é dµi cung, diƯn tÝch, thĨ tÝch cđa các hình trên đa tạp
nhiều chiều. Vấn đề này đà đ-ợc trình bày trong nhiều tài liệu Hình học (xem
[2], [5], [6], [7]).
Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệm
cơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và đ-a ra một số nhận xét về ánh xạ

tiếp xúc, liên thông tuyến tính.
Khoá luận đ-ợc chia làm 4 mục :
Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi.
Đ2. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi.
Đ3. ánh xạ tiếp xúc trên Rn.
Đ4. Liên thông tuyến tính trên Rn.
Ta có thể xem Đ 3, Đ 4 là tr-ờng hợp cụ thể của Đ 1, Đ 2.
Trong Đ1, chúng tôi trình bày định nghĩa về ánh xạ khả vi, ánh xạ tiếp
xúc trên đa tạp khả vi (định nghĩa 1.1.1, định nghĩa 1.2.5) và các định nghĩa
có liên quan. Các tính chất cơ bản của chúng đ-ợc chứng minh khá chi tiết
(mệnh đề 1.1.3, mƯnh ®Ị 1.2.3, mƯnh ®Ị 1.2.6, mƯnh ®Ị 1.2.7, hệ quả 1.2.8,
mệnh đề 1.2.10).
Trong Đ 2, chúng tôi trình bày định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa
tạp khả vi (định nghĩa 2.1) và các định nghĩa có liên quan. Nêu đ-ợc hai ví dụ
về liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi (mệnh đề 2.4, mệnh đề 2.5) và một
số nhận xét quan trọng.
Trong Đ3, chúng tôi trình bày định nghĩa về ánh xạ tiếp xúc trên Rn.
Ngoài những tính chất đà nêu ở Đ1 chúng tôi còn bổ sung thêm một số tính
chất khác (mệnh đề 3.7). Đồng thời đà nêu đ-ợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa
vào định nghĩa, dựa vào ma trận Jacobi (ví dụ 3.3, mệnh đề 3.4). Ngoài ra


4
trong mục này chúng tôi đà đ-a ra khái niệm tr-ờng véctơ bất biến trái và một
số tính chất của nã (thĨ hiƯn ë mƯnh ®Ị 3.9, nhËn xÐt 3.10).
Trong Đ4, chúng tôi đà đ-a ra đ-ợc 2 ví dụ về liên thông tuyến tính trên
Rn (mệnh đề 4.1, mệnh đề 4.6), các tính chất đ-ợc chúng tôi trình bày và
chứng minh khá chi tiết (mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4, mệnh đề 4.5, mênh đề
4.8, mệnh đề 4.9)
Trong quá trình làm khoá luận, mặc dù đà có nhiều cố gắng nh-ng chắc

chắn không tránh khỏi các thiếu sót, chúng tôi mong muốn thiết tha đ-ợc sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.
Khoá luận đ-ợc hoàn thành tại khoa Toán - Tr-ờng Đại học Vinh.
Nhân dịp hoàn thành khoá luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo Th.S.
Tr-ơng Chí Trung lời cảm ơn chân thành nhất vì sự h-ớng dẫn, chỉ dạy tận
tình của thầy giáo trong suốt quá trình chúng tôi làm khoá luận. Đồng thời
chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán
và bạn bè đà động viên, giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành khoá luận.
Vinh, tháng 4 năm 2006
Tác gi¶


5

Mục lục

Trang
Lời mở đầu

3

Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi

6

Đ2. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

13

Đ3. ánh xạ tiếp xúc trong Rn

17

Đ4. Liên thông tuyến tính trên Rn

23

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


6
Đ1. ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp khả vi

Trong mục này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm về ánh xạ khả vi,
ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi (vi phân của ánh xạ khả vi) cùng với các
tính chất cơ bản của chúng trên đa tạp khả vi.
1.1. ánh xạ khả vi.
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử M, N là các đa tạp khả vi có số chiều n, k t-ơng
ứng. ánh xạ f : M N đ-ợc gọi là ánh xạ khả vi (lớp Cr) nếu với mọi bản đồ
khả vi (U, ) trên M và (V, ) trên N thì ánh xạ
f -1 : Rn Rk
là một ánh xạ khả vi.
1.1.2. Nhận xét. 1) Nếu M, N, Q là các đa tạp khả vi và nếu f : M N,

g: NQ
là các ánh xạ khi vi thì
g f : M Q
là một ánh xạ khả vi.
2) Trong tr-ờng hợp N = R và M là đa tạp khả vi tuỳ ý thì các
ánh xạ khả vi từ M vào R đ-ợc gọi là các hàm khả vi trên M.
Tập hợp các hàm khả vi trên M ký hiệu là F (M).
3) Với mỗi p M ta ký hiệu F (p) là tập hợp các hàm khả vi
trong một lân cận của p.
1.1.3. Mệnh đề. Cho đa tạp khả vi M, trên tập hợp

F (M) là các hàm khả vi

trên M đ-a vào các phép toán sau :
PhÐp céng :  f, g  F (M) ta xác định f + g

F (M) nh- sau :

(f + g)(x) = f(x) + g(x),  x  M
PhÐp nh©n víi sè thùc :  f  F (M), R ta xác định f F (M) nh- sau :


7
(f)(x) = .f(x),  x  M
PhÐp nh©n :  f, g F (M) ta xác định f.g F (M) nh- sau :
(f.g)(x) = f(x).g(x),  x  M .
Khi đó F (M) trở thành một R- đại số và đ-ợc gọi là đại số các Ck- hàm trên M.
Chứng minh. Ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc (F (M), +) là một nhóm và vì phép
cộng các số thực có tính chất giao hoán nên (F (M),+) làm mét nhãm aben.
Ngoµi ra,  f, g, h  F (M) ;  ,   R ta cã

( + )f

= f+f

(f + g)

= f + g

()f

= (f) = (f)

1.f

=f

(f + g)h = (fh) + (gh).
VËy F (M) lµ mét R-đại số.
1.1.4. Định nghĩa. Cho các đa tạp khả vi M, N. Khi đó
f:MN
đ-ợc gọi là một vi phôi nếu f là song ánh và f, f-1 là các ánh xạ khả vi.
Các đa tạp M, N đ-ợc gọi là vi phôi với nhau nếu tồn tại một vi phôi giữa
chúng.
1.2. Vi phân của ánh xạ khả vi.
Trong mục này, ®Ĩ tiƯn cho viƯc x©y dùng vi ph©n cđa mét ánh xạ, tr-ớc hết
chúng tôi nhắc lại khái niệm véc tơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc và các tính
chất cơ bản của chúng.
1.2.1. Định nghĩa. Cho đa tạp khả vi M, một đ-ờng cong lớp Cr trên M là một
Cr - ánh xạ
x : [a,b] M

t x(t).


8
1.2.2. Định nghĩa. Giả sử M là một đa tạp khả vi, p M, x(t) là một đ-ờng
cong khả vi trªn M sao cho x(to) = p. Mét vÐc tơ tiếp xúc với đ-ờng cong x(t)
tại p = x(to) là một ánh xạ
v : F (p) R
f v(f) =

d
f(x(t)) t t o
dt

khi đó v cũng đ-ợc gọi là một véc tơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p và v(f)
đ-ợc gọi là đạo hàm của hàm f dọc đ-ờng cong x(t) tại điểm p = x(to).
1.2.3. Mệnh đề. 1) Nếu v là véc tơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p thì
v : F (p) R
là một ánh xạ tuyến tÝnh.
2) Víi bÊt kú f, g  F (p) ta cã
v(f.g) = v(f).g(p) + f(p).v(g).
Chøng minh. 1) Gi¶ sư x(t) là một đ-ờng cong khả vi trong M sao cho p =
x(to) và giả sử v là véc tơ tiếp xúc với x(t) tại p.
Khi đó , R;  f, g  F (p) ta cã
v(f+g) =

d
(f + g)(x(t)) t t o
dt

=

d
[(f)(x(t)) + (g)(x(t))] t t o
dt

=

d
[.f(x(t)) + .g(x(t))] t t o
dt

=

d
d
f(x(t)) t t o +  g(x(t)) t t o
dt
dt

= .v(f) + .v(g).
Do đó v là ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.
2) Ta cã
v(f.g)

=

d
(f.g)(x(t)) t t o
dt

9
=

d
[f(x(t)).g(x(t))] t t o
dt

=

d
d
f(x(t)) t  t o .g(x(to)) + f(x(to)). g(x(t)) t  t o
dt
dt

= v(f).g(p) + f(p).v(g).
MƯnh ®Ị đ-ợc chứng minh.
1.2.4. Mệnh đề. Ký hiệu TpM là tập hợp các véc tơ tiếp xúc của M tại điểm p.
Trên TpM đ-a vào các phép toán cộng và nhân víi sè thùc nh- sau
(v+)(f) = v(f) + (f)
(v)(f) = .v(f)
 v,   TpM;  f  F (p); R
khi đó TpM trở thành một R-không gian véc tơ và đ-ợc gọi là không gian tiếp
xúc của M tại điểm p.
Bây giờ giả sử M, N là các đa tạp khả vi, f : M N là một ánh xạ khả vi, ta
xây dựng ánh xạ tiếp xúc (còn gọi là vi phân) của ánh xạ f cùng với các tính
chất của nó.
1.2.5. Định nghĩa. Vi phân của ánh xạ f tại điểm p là ánh xạ

f*p : TpM Tf(p)N
v f*p(v)
đ-ợc xác định nh- sau : nếu v là véc tơ tiếp xúc với đ-ờng cong x(t) tại p =
x(to) thì f*p(v) là véc tơ tiếp xúc với đ-ờng cong f(x(t)) tại điểm f(p) = f(x(to)).
Chú ý. Nếu v là véc tơ tiếp xúc với các đ-ờng cong x(t), y(u) tại p = x(t o) =
y(uo) thì ng-ời ta đà chứng minh đ-ợc các đ-ờng cong f(x(t)) và f(y(u)) cùng
xác định một véc tơ tiếp xúc tại f(p) = f(x(to)) = f(y(uo)).
Do đó định nghĩa 1.2.5 là hoàn toàn hợp lý.
1.2.6. Mệnh đề. Cho f : M N là ánh xạ khả vi từ đa tạp M vào đa tạp N.
Khi đó
1) [f*p(v)](g) = v(g  f),  v  TpM,  g F (N).
2) f*p là ánh xạ tuyến tính tõ TpM vµo Tf(p)N.


10
Chøng minh.
1) Ta cã
[(f*p (v)] (g) =

d
g  (f  x(t)
dt

t0

=

d
(g  f)  x(t)
dt

t0

= v (g  f).
2) Gi¶ sö v,   TpM,  g  F (N), ta cã
[f*p(v + )](g) = (v + )(g  f)
= v(g  f) + (g  f)
= [f*p(v)](g) + [f*p()](g)
= [f*p(v) + f*p()](g),  g  F (N)
f*p(v+)=f*p(v)+f*p().
T-¬ng tù,  v  TpM,    R ta cã
f*p(v) = f*p(v).
Vậy f*p là ánh xạ tuyến tính.
1.2.7. Mệnh đề.

1) Cho M, N, L là các đa tạp khả vi và f : M N, g: N L

là các ánh xạ khả vi. Khi đó
(g f)*p = g*f(p).f*p
2) Nếu f : M N là vi phôi thì f*p là song ánh và ta có
(f*p)-1 = (f-1)*f(p)
Chứng minh.
1) v  TpM,  h 

F (L) ta cã

[(g  f)*p(v)](h) = v(h  g  f)
= [f*p(v)](h  g)
= [g*f(p)(f*p(v))](h)
= [(g*f(p)  f*p)(v)](h)

 (g  f)*p(v) = (g*f(p)  f*p)(v),  vTpM
 (g  f)*p

= g*f(p)  f*p.


11
2) Vì f là vi phôi nên f-1 và ta cã
f-1 f = idM
 (f-1 f)*p = (idM)*p
 (f-1*f(p)  f*p)(v) = (idM)*p(v),  v  TpM
 (f-1*f(p)  f*p)(v) = v,  v  TpM
 f-1*f(p)  f*p

= (idM)*p .

(1)

Hoàn toàn t-ơng tự ta chứng minh đ-ợc
f*p f-1*f(p) = (idN)*f(p) .

(2)

Từ (1) f*p là đơn ánh.
Từ (2) f*p là toàn ánh.
Do đó f*p là song ánh và ta có
(f*p)-1 = (f-1)*f(p).
Mệnh đề đà đ-ợc chứng minh.
Nhận xét. Từ mệnh đề 1.2.6 và mệnh đề 1.2.7 ta suy đ-ợc nếu f : M N là vi
phôi thì f*p là đẳng cấu tuyến tính, p  M.

1.2.8. HƯ qu¶. NÕu f : M  N là vi phôi từ đa tạp M vào đa tạp N thì dim
M = dimN.
Chứng minh. Vì f là vi phôi nên f*p : TpM Tf(p)N đẳng cấu tuyến tÝnh vµ ta
cã dimTpM = dimTf(p)N, tøc lµ dimM = dimN.
1.2.9. Chó ý. Cho vi ph«i f : M  N,  X  Vec(M), ta cã f*X  Vec(N) và
đ-ợc xác định bởi
(f*X) (f(p) = f*p(X(p)).
1.2.10. Mệnh đề. Giả sử f : M N là phép vi phôi. Khi ®ã
1) . f* X = f* (  f) X,  X  Vec(M),    f (M).
2) f* X[] = X [  f]  f-1,    f (M),  X  Vec(M).
Chøng minh.
1)    f (M),  p  M th×


12
( f* X) (f (p))

= (f(p)).f* X (f(p))
= (  f) (p) . f*P (X(p))
= f*p ((  f) (p) X (p))
= f*P [((  f) X)(p)]
= (f* ( f) X)f(p),  p  M.

VËy
 .f* X

= f* (  f) X.

2)    f (M),  p  M ta cã
(f*P X (p)) [] = (f*X)(f(p)) []

mµ
f*P (X(p))[]

= X(p) [  f]

nªn
(f* X) (f(p)) []

= X(p) [  f]

 f* X [] (f(p))

= X [  f] (p)

 (f* X []  f) (p) = X[  f] (p) ;  p  M.
VËy
f* X []

= X [  f]  f-1.


13
Đ2. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi

Cho M là một đa tạp khả vi, ký hiệu Vec(M) là tập hợp các tr-ờng véc tơ
khả vi trên M, F (M) là tập hợp các hàm số khả vi trên M.
2.1. Định nghĩa. Một liên thông tuyến tính (hay đạo hàm hiệp biến) trên M là
ánh xạ
: Vec(M)  Vec(M)  Vec(M)
(X,Y)   (X,Y) : = XY

tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau:
X(Y1 + Y2) = XY1 + XY2

(1)

X(fY)

= (Xf)Y + fXY

(2)



=

X1  X 2

Y

fXY



X1

Y +



X2

Y

= fXY

(3)
(4)

®èi víi bất kỳ các tr-ờng véc tơ X, X1, X2, Y, Y1, Y2  Vec(M) vµ víi mäi
f  F (M).
2.2. Nhận xét.

1) Từ (1) và (2) suy ra liên thông tuyến tính có tính chất
nh- một đạo hàm đối víi biÕn thø hai.
2) Tõ (3) vµ (4) suy ra liên thông tuyến tính có tính chất

F (M)-tuyến tính đối với biến thứ nhất.
2.3. Định nghĩa. Đa tạp khả vi n-chiều M đ-ợc gọi là khả song (song song
hoá đ-ợc) nếu tồn tại n tr-ờng véc tơ khả vi X 1, X2 , , Xn Vec(M) sao cho
tại mỗi điểm p M, các véc tơ X1(p), X2(p),, Xn(p) tạo thành một cơ sở của
không gian tiếp xúc TpM.
Khi đó các tr-ờng véc tơ X1, X2 , , Xn đ-ợc gọi là sự song song hoá của
đa tạp khả song M.
2.4. Mệnh đề. Cho M là đa tạp khả song, X1, X2 , …, Xn lµ sù song song hoá
của M. Khi đó ánh xạ


14
 : Vec(M)  Vec(M)  Vec(M)
(X,Y)  XY =

n

 ( X
i 1

i

)X i ,

n

(trong ®ã Y=   i X i ), là một liên thông tuyến tính trên M. Đặc biệt ta có
i 1

XXi=0.
Chứng minh.
Ta kiểm tra các điều kiện của định nghĩa 2.1 đối với ánh xạ  .
1) Gi¶ sư Y1, Y2  Vec(M); Y1 =

n



n

i
1

X i , Y2 =

i
1

 2i ) X i

i 1


i 1

i
2

X i ; 1i ,  2i 

Khi ®ã
n

 (

Y1 + Y2 =

i
1

i 1

 2i ) X i
n

 X (

 X(Y1 + Y2) =

i 1
n

n

 X ( ) X i +

=

i 1

 X (

i
1

i 1

= XY1 + XY2.
2) Gi¶ sư Y  Vec(M), f  F (M), Y =

n


i 1

i

Xi .

Khi ®ã
n

fY =

 ( f
i 1

i

)Xi .

Do ®ã
X(fY) =

n

 ( X ( f
i 1
n

=

 (
i 1

n

=

i

i

)) X i

Xf  fX i ) X i

 ( Xf ) i X i +
i 1

n

 f .X .X
i

i 1

i

i
2

)Xi

F (M).

15
= (Xf)Y + fXY.
3) Gi¶ sư

X, X’, Y  Vec(M), Y =

n



i

i 1

Xi .

Khi ®ã
X+X’Y =

n

 (( X  X ' )

i

i 1
n

n

 ( X

=

)Xi

i

i 1

) X i +  ( X ' i ) X i
i 1

= XY + X’Y.
4) Gi¶ sư X, Y  Vec(M), f  F (M), Y =

n


i 1

i

Xi .

Khi ®ã
fXY =

n

 ( fX )

i

Xi

i

)Xi

i 1

n

=

 f ( X
i 1

n

= f  ( X i ) X i
i 1

= fXY.
Vậy là một liên thông tuyến tính trên M.
Ngoài ra, ta có
XXi = (X.1d)Xi

= 0.Xi
= 0,
(trong đó 1d F (M) là hàm số xác định bởi công thức : 1d(x) = 1, x M).
2.5. Mệnh đề. Cho M, N là các đa tạp khả vi, f : M N là vi phôi và là
một liên thông tuyến tính trên N. Khi đó ánh xạ
: Vec(M) Vec(M) Vec(M)
(X, Y)  ’XY


16
xác định bởi công thức :
XY = f *1 ( f X f *Y )
*

là một liên thông tuyến tính trên M.
Chứng minh. Ta kiểm tra các điều kiện của định nghĩa 2.1 đối với ánh xạ .
1) Giả sử Y1, Y2  Vec(M), X  Vec(M), ta cã
’X(Y1 + Y2 = f*1 ( f X f* (Y 1Y2 ))
*

= f*1 ( f X ( f*Y 1 f*Y2 ))
*

= f *1 ( f X f *Y 1 f X f *Y2 )
*

= f *1 ( f X f *Y 1)  f *1 ( f X f *Y2 )
*

= ’XY1 + ’XY2.

2) Gi¶ sư X, Y  Vec(M), g  F (M), ta cã
’X(gY)

= f *1 ( f X f * ( gY ))
*

= ( f 1 )* ( f X ( g o f 1 ) f *Y )
*

= ( f 1 )* ([ f* X ( g o f 1 )] f*Y  ( g o f 1 ) f X f*Y )
*

= ( f 1)* (( Xg) f 1 f*Y  ( go f 1) f X f*Y )
*

= ( Xg)Y  f*1[(g o f 1 ) f X f*Y ]
*

1
*

= ( Xg)Y  gf ( f X f*Y )
*

= ( Xg)Y  g' X Y .
3) Gi¶ sư X, X’, Y Vec(M), ta cã
’X+X’Y

= f *1 ( f ( X  X ') f *Y )
*

= f *1 ( f X f *Y )  f *1 ( f X ' f *Y )
*

*

= ' X Y  ' X ' Y .
4) T-¬ng tù nh- viƯc chøng minh 3) ta cịng cã
' gX Y  g' X Y

 X, Y  Vec(M),  g 

F (M).

Vậy là một liên thông tuyến tính trên M.
Chú ý. Liên thông tuyến tính xây dựng nh- trên đ-ợc gọi là liên thông
tuyến tính cảm sinh của bëi vi ph«i f.


17
Đ3. ánh xạ tiếp xúc trên Rn

Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tính
chất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi f : Rm Rn
Giả sử ánh x¹ f : Rm  Rn; (x1, ..., xm)

f(x1, ..., xm) thì f đ-ợc đồng

nhất với bộ n hàm số (f1, ..., fn) víi fj : Rm  R; (x1, ..., xm)  fj (x1, ..., xm).
Chóng ta ®· biÕt rằng f khả vi khi và chỉ khi fj khả vi j = 1, n fj có đạo

hàm riêng liên tục j = 1, n .
3.1. Định nghĩa. Giả sử f : Rm Rn khả vi. ánh xạ tiếp xúc của f tại p đ-ợc
ký hiệu là f*p hay Tpf : Tp Rm Tf(p) Rn xác định bởi : nếu vp TpRm là vectơ
tiếp xúc của đ-ờng cong (t) tại p = (to) thì f*p (vp) là vectơ tiếp xúc với
đ-ờng cong f (t) tại f(p).
3.2. Chú ý. + Khi không chú ý tới điểm p, ta th-êng viÕt f* thay cho f*p ; Tf thay
cho Tpf.
+ Nếu f* đơn ánh thì f đ-ợc gọi là dìm.
+ Nếu f* toàn ánh thì f đ-ợc gọi là ngập.
+ Nếu f* song ánh thì f đ-ợc gọi là trải.
3.3. Ví dụ.
f : Rm Rn
x'1 a11 x1  ...  a1m x m  b1
x(x1, …, xm)  f(x) =  
 x'  a x  ...  a x  b
n1 1
nm m
n
 n

Giả sử p(p1, ..., pm) và vp TpRm, với vp(v1, ..., vm) ta xác định v'f(p) = f*p(vp) nhsau :
Ta xÐt ®-êng cong (t) = (x1(t) = p1 + v1t, ...,xm(t) =pm + vmt). Khi ®ã víi t = 0
thì p và 'vp. Theo định nghĩa, ta có
v' f ( p ) 

d
f   (t ) t 0
dt

18
=

d
f x1 ( t ),..., x m ( t )  t  0
dt

=

d
f p1  v1t ,..., p m  v m t  t 0
dt



d
 a11  p1  v1t   ...  a1m  pm  vm t   b1,...,a n1  p1  v1t   ...  a nm  p m  v mt   b n 
dt

= (a11v1 + ...+ a1mvm, ..., an1v1 + ... + anmvm) .
Chó ý. Gi¶ sö f : Rm  Rn, x(x1, …,xm)  f(x1, ..., xm) = (f1, …, fn).
Ma trËn Jacobi cña f tại p ký hiệu là J f , xác định bëi
p

Jf

p

 f 1


 x1
 .
 .

 .
 f n

 x1

.

.

.

.

.

.

f 1 

x m 
. 
. 

. 
f n 


x m 
p

3.4. MƯnh ®Ị. Ký hiƯu f*p(vp) = v'f(p). Ta cã
[v'f(p)] = J f [vp]
p

trong đó [v'f(p)] và [vp] t-ơng ứng là toạ độ cột của các vectơ v'f(p) và vp.
Chứng minh.
Theo định nghĩa ta có
v'f(p) =

d
f . t t  0
dt

=

d
f1 , ..., f n .t  t  0 , (f  (f1, ..., fn))
dt

=

d
f1 .t , ..., f n .t  t  0
dt

=

d
f1 .x1 t , ..., x m t ,..., f n x1 ( t ), ..., x m ( t )  t
dt

0

t 0


19
víi (t) = (x1(t), …, xm(t))
=(

d
f1 . x1 t , ... , x m t  t
dt

 n f1
= 
.x i '(t)

x
i

1

i

 0 , ... ,

d
f n . x1 t , ... , x m t  t
dt

f n
.x i '(t)
i 1 x i
n

t 0

,..., 

t 0

 0

)





Khi ®ã
 x1 '(t) 
 f j  
 ;  i  1,m, j  1,n
[v'f(p)] = 
 


 x i  t 0  x ' (t) 
 m  t 0

= Jf

P

v p .

.

3.5. Mệnh đề. Giả sử f : Rm Rn là các ánh xạ khả vi. Khi ®ã
1) (f*p (vp)) (g) = vp(g  f);  g F (Rn).
2) f*p là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh. (xem mệnh đề 1.2.6).
3.6. Mệnh đề. Giả sử f : Rm  Rn , g : Rn  Rp lµ các ánh xạ khả vi. Khi đó
(g f)*p = g*f(p)  f*p ,  p  Rm.
Chøng minh. (xem mệnh đề 1.2.7).
Chú ý. Tích Lie của hai tr-ờng vectơ X và Y là một tr-ờng vectơ đ-ợc ký hiệu
[X,Y] xác định bởi
[X, Y][f] = X[Y[f]] - Y[X[f]], f  F(Rn).
3.7. MƯnh ®Ị. NÕu f : Rn  Rn là một vi phôi thì
f* [X, Y] = [f* X, f* Y],  X, Y Vec(Rn)
Chøng minh.    f(Rn) ta cã
[f* X, f* Y] []

= f*X [f*Y[]] - f*Y[f*X[]]
= X[f*Y[] o f] o f-1 - Y[f* X [] o f] o f-1
= X[Y[ o f] o f-1o f] o f-1 - Y [X[of] o f-1 o f] o f-1

20
= (X[Y[

f]] - Y [X[ f]])

f-1

= [X, Y] [ f] f-1
= f* [X, Y] [] ;    f (Rn)
vậy
f* [X, Y]

= [f*X, f*Y] . .

3.8. Định nghĩa. Giả sư La : Rn  Rn
x  a+x
Khi ®ã, tr-êng vectơ X đ-ợc gọi là tr-ờng vectơ bất biến trái khi vµ chØ
khi

L a* X = X;  a  Rn

 

( L a* X = X nghÜa lµ L a *

p Xp

= Xa + p;  a, p  Rn).

3.9. Mệnh đề. X là tr-ờng vectơ bất biến trái khi và chỉ khi X là tr-ờng vectơ
song song.
Chứng minh.
+ Giả sử X là tr-ờng vectơ bất biến trái, ta cần chứng minh X là tr-ờng
vectơ song song.
Thật vâỵ, ta có
JL

a p

1


0

0
, a,p Rn

1

Vì X là tr-ờng vectơ bất biến trái nên



Xa = La*

1

0 X 0   X a    J La 0   X 0   
0

0   X1


1   X n

 0 



 0  

= [X0]
 Xa = X0,  a  Rn.
VËy X lµ tr-ờng vectơ song song.
+ Giả sử X là tr-ờng vectơ song song ta cần chứng minh X là tr-ờng
vectơ bất biÕn tr¸i.


21
Do X là tr-ờng vectơ song song nên Xp = Xp + a , a, p Rn



Đặt L a*

p

X p  X 'a  p , ta cã

1
 X 'a  p   J La p  X p   

0

0
 X   X   X 
  p   p   p a 
1 

 X'a p  Xa p ,  a,p Rn.

Khi ®ã

L 
a*

p

Xp  Xa p ,  a, p  Rn

VËy

La* X = X.
Do ®ã X là tr-ờng vectơ bất biến trái.
3.10. Nhận xét. 1) X, Y là tr-ờng vectơ bất biến trái thì X + Y là tr-ờng
vectơ bất biến trái, ,  R.
2 ) K = { X  X bÊt biến trái }. Khi đó

K đẳng cấu tuyến tính với T0 Rn

Chøng minh.
1)  X, Y  K ,  ,   R ta cã

L a* (X + Y) = L a* (X) + L a* (Y)
=  L a* (X) +  L a* (Y)
= X + Y.
VËy X + Y là tr-ờng vectơ bất biến trái.
2) Xét  : T0 Rn  K
  X; X0 =
+) Ta chứng minh là một ánh xạ, tức chứng minh mỗi có duy nhất X.
X
~
Giả sử có 2 tr-ờng vectơ X, X mà
~ . Khi ®ã





X

~

X0 = X 0


22

~



Xp = X p ;  p  Rn



~
X= X.

 là một ánh xạ.

(1)

+) Dễ thấy là một song ¸nh.

(2)

+) Ta chøng minh  tun tÝnh,
thËt vËy, víi  ,   R;  ,   To R n ,
ta gi¶ sư ( + ) = Z; với Z0 =
X0 + Y
Vì X, Y, Z là các tr-ờng vectơ bất biến trái nên
Z0 = Xp + Yp; p  Rn


Z = X + Y



( + ) = () + (),

trong ®ã X0 = Y0 = 
 là ánh xạ tuyến tính.

Từ (1), (2), (3) đẳng cấu tuyến tính.
Vậy K đẳng cấu tuyến tính với T0Rn.

Đ4. liên thông tuyến tính trên Rn

(3)


23
Trong mục này chúng tôi xem xét các liên thông tuyến tính trên Rn nhví dụ của khái niệm liên thông tuyến tính đà đ-a ra ở Đ2.
Cho Rn là không gian Ơclit n chiều, ký hiệu Vec(Rn) là tập hợp các
tr-ờng vectơ khả vi trên Rn, f(Rn) là tập hợp các ánh xạ khả vi trên Rn .
n



E i là cơ sở của Vec(Rn). Khi đó ánh xạ
4.1. Mệnh đề. Giả sử
x i
i1

D : Vec(Rn) x Vec(Rn)  Vec (Rn)
n

(X, Y)  DXY =

 XYi E i ,
i 1

n

(trong ®ã Y =

 Yi E i ) là một liên thông tuyến tính trên Rn.
i 1

Chứng minh.
Ta kiểm tra các điều kiện của định nghĩa 2.1
~
Giả sử X, X , Y, Y  Vec(Rn);   f(Rn) ; Y =
Khi ®ã
(T1)



~
X Y Y



n

=
=

n

n

i 1

i 1

 Yi E i , Y   Yi

~

 X [Yi + Yi ]. Ei
i 1
n

n

i 1

i 1

~

 X [Yi]. Ei +  X [ Yi ]. Ei

~
= XY + x Y .
(T2)

X(Y)

n

=

 X [Yi]. Ei
i 1
n

=



i 1
n

=



i 1

(Yi. X [] + . X [Yi]) .Ei
n

Yi. X []Ei +



= Y. X[] + . XY.

i 1

 . X [Yi]) .Ei

Ei


24
(T3)

n





~
  X  X Yi Ei

 X  X~ Y

i 1

n

=

n



X[Yi] Ei +

i 1

 XYi E i
~

i 1

= XY +  X~ Y .
(T4)

n

XY

=



(X) [Yi]. Ei

i 1

=

n

 X [Yi]. Ei
i 1

= . XY.
Vậy D là một liên thông tuyến tính trên Rn.
4.2. Chú ý. Liên thông tuyến tính xác định trong mệnh đề 4.1 đ-ợc gọi là
liên thông chính tắc trên Rn.

~
4.3. Mệnh đề. Giả sử; (X X ), khi đó với Y Vec(Rn) thì XYp =
~
 X~ Y p nÕu vµ chØ nÕu XP = X P.
Chøng minh.
~
Víi X, X  Vec(Rn), lóc ®ã ta cã sù biĨu diƠn
n

X=

 i E i ;
i 1

~  f (Rn),  i  1,n .
trong ®ã i, 
i

~
Tõ gi¶ thiÕt: XP = X P suy ra i(p) = i  p  ,  i  1,n

Ta cã
(XY)p




=  n
Y 
  i ( p ).Ei 
 i 1
p

 i p   E Y
n

=

i 1

i

p


25

 ~ i p   E Y
n

=

i

i 1

p




=  n
Y 
  ~i ( P ).Ei 
 i 1
p
= X~ Y . .
p
Cho tr-ớc vectơ p luôn có tr-ờng vectơ X mà Xp = p. Từ định lý trên
ta có thể xây dựng đ-ợc định nghĩa đạo hàm cđa Y theo p b»ng c¸ch sau:
P    X Y P , ở đây XP = P.

4.4. Mệnh đề. X Y p phụ thuộc các giá trị của tr-ờng vectơ Y trong lân cận
điểm p.
Chứng minh. Nh- ta đà biết, trong Rn luôn tồn tại một hàm số khả vi đ-ợc
xác định nh- sau:
( p ) 0
; trong đó U là lân cận më cđa p.

 R n \ U  1





+ Tr-íc hết, ta xét tr-ờng vectơ Z thoả mÃn: ZU = 0. Khi ®ã  . Z = Z

 X Z P

ta cã:

=  X Z P
= X[].Zp + (p)  X Z P
= XP []. 0 + 0.  X Z P
= 0.

~
~
+ Bây giờ, ta giả sử Y, Y  Vec(Rn), sao cho : Y U  Y U



~

 YY



U

0

  X (Y  Y) U  0 xem Y Y Z .
~

Từ đó ta đ-ợc:

~

~
P . .
X Y P  X Y


26
4.5. Mệnh đề. Giả sử và ' là hai liên thông tuyến tính trên Rn và , ' f (Rn).
Khi đó + ' ' là một liên thông tuyến tính trên Rn +'=1.
Chứng minh. Ta cần kiểm nghiệm 4 điều kiện của liên thông tun tÝnh.
Gi¶ sư  X1, X2, X, Y, Y1, Y2  Vec(Rn);  , '  f (Rn).
(T1) ( + '')X(Y1 + Y2) = X(Y1 + Y2) + ''X(Y1 + Y2)
= XY1 + XY2 + ''XY1 + ''XY2
= (XY1 + ''X Y1) + (X Y2 + 'X Y2)
= ( + '')X Y1 + ( + ')XY2.
(T2) ( + '')X( Y)

= X( Y) + ''X(Y)
=  (X[]. Y + XY) +  '(X[]. Y + 'XY)
= ( + ') X[]. Y +  ( + '')XY.

(T3)

( + '')
X1  X 2

Y =   X1X2 Y  ' 'X1X2 Y

=   X1 Y +  X2 Y + ' 'X1 Y' + ' 'X2 Y'
= ( + '') X Y + ( + '') X Y .
1
2
(T4) ( + '')XY

= XY + ''XY
= .XY + .''XY
=  (.XY + ''XY)
= ( + '')XY

(T2) đ-ợc thoả mÃn + ' = 1. .
Tõ mƯnh ®Ị 4.5. ta cã nhËn xét tổng của 2 liên thông tuyến tính nói
chung không phải là một liên thông tuyến tính.
4.6. Mệnh đề. Giả sử là liên thông tuyến tính trên R3. Ta ®Ỉt
1
~
 X Y   X Y   X Y , n N*.
n

~
Khi đó là liên thông tuyến tính trên R3.

Chứng minh. Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính: