Một số tính chất của biến cố độc lập và biến ngẫu nhiên độc lập

Tr-ờng đại học vinh
Khoa toán
----------

Lê Thị Thanh Toàn

Một số tính chất của biến cố đôc lập
và biến ngẫu nhiên độc lập

Khoá luận tốt nghiệp đại học
ngành cử nhân khoa học To¸n

-------Vinh, 2006-----


2

Lời nói đầu
Khái niệm độc lập là một trong những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết
xác suất.
Mục đích của khoá luận này là trình bày các tính chất của các biến cố độc
lập và biến ngẫu nhiên độc lập cùng một số tính chất khác có liên quan đến các
khái niệm này.
Khoá luận đ-ợc chia làm 3 phần:
Phần I : Các kiến thức chuẩn bị .
Trong phần này, chúng tôi nêu lên một số định nghĩa, khái niệm tính chất cơ
bản để phục vụ cho các phần sau.
Phần II: Mét sè tÝnh chÊt cđa biÕn cè ®éc lËp .
Phần này gồm hai mục nhỏ. Trong mục 1, chúng tôi trình bày các định nghĩa
và một số tính chất cơ bản của các biến cố độc lập. Mục 2 dïng dĨ chøng minh mét
sè tÝnh chÊt kh¸c cđa biÕn cố độc lập .

Phần III: Một số tính chất của biến ngẫu nhiên độc lập.
Phần này cũng gồm hai mục nhỏ. Trong mục 1, chúng tôi trình bày các định
nghĩa và một số tính chất cơ bản của các biến ngẫu nhiên độc lập. Mục 2 dùng để
chứng minh một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập .
Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn
Văn Quảng. Tác giả xin trân trọng đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy- ng-ời
đà giúp đỡ em tận tình trong cả quá trình học tập và nghiên cứu.
Qua đây tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô khoa Toán, gia đình và
bạn bè đà giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh- nghiên cứu ở tr-ờng.
Dù đà rất cố gắng xong luận văn này không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả
mong đ-ợc nhận sự góp ý chân thành của quý thầy cô cùng bạn bè.
Vinh tháng 4 năm 2006.
Tác giả


3

Phần I: Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Đại số.
Giả sử



tập hợp con của

là một tập hợp tuỳ ý khác . Kí hiệu P( ) là tập hợp tất cả các

.

Định nghĩa: Lớp

1)





A P( ) đ-ợc gọi là một đại số nếu:

A.


2) A A

A = \ A  A.

3)A , B  A  A  B  A , A  B  A.
_

_

NhËn xÐt: V× A

 B = Ā  B , A  B = Ā  B , Nªn trong 3) chỉ đòi

hỏi một trong hai điều kiện A B A và A B
1.2

A.

- Đại số .

Định nghĩa: Lớp P( ) đ-ợc gọi là

-

đại số nếu nó là một đại số và

ngoài ra


4). Tõ An  ℱ , n =1, 2,…suy ra :

A

n

n 1

và



A

n

n 1

.

Nhận xét: ở đây cũng chỉ cần đòi hỏi một trong hai điều kiện:


A

n

n 1

hoặc



A

n

n 1

.

1.3 Độ đo xác suất.
Định nghĩa: Hàm tập hợp P xác định trên
xác suất nếu:

- đại số

đ-ợc gọi là độ đo

4
1). P(A) ≥ 0 , A  ℱ.
2). P() =1
3). NÕu A i  ℱ, i=1,2…A i  A j = Φ , i  j, th×




i 1

i 1

P(  Ai ) =  P( Ai ) .
1.4 C¸c tÝnh chÊt cđa x¸c st.
1). P(φ) = 0.
2). P(Ā) =P(A) , A  ℱ .
3). A  B , A ,B  ℱ  P(A)≤P(B) .
4). P(A) ≤1.
5). A,B  ℱ  P(A  B) = P(A) +P(B) – P(AB).


6). P(  Ak ) =
k 1



 (1) k 1
k 1





n 1

n 1

 P( A

1i1  i2 ... ik  n

7). P(  An ) ≤  P( An )

i1

...Aik ) .

(A n ) .

8). Tính liên tục của xác suất
i) Nếu (A n ) là dÃy đơn điệu tăng A 1 A 2 A n


thì tồn tại

lim P( An ) = P( An ) .
n
n 1

ii) NÕu (A n ) là dÃy đơn điệu giảm A 1 A 2 A n

thì tồn tại

lim P( An ) = P( An ) .
n
n 1

1.5 Kh«ng gian xác suất.
Giả sử là tập hợp khác rỗng tuỳ ý

là một - đại số các tập con cña Ω.


5
P là độ đo xác suất trên .
Khi đó bộ ba (,,P) , đ-ợc gọi là không gian xác suất .
đ-ợc gọi là không gian biến cố sơ cấp.

đ-ợc gọi là - đại số các biến cố.
Nếu A thì A đ-ợc gọi là một biến cè.
NÕu A,B  ℱ mµ A  B = AB thì ta nói A, B xung khắc.
Nếu A thì =\A gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
gọi là biến cố chắc chắn .
gọi là biến cố không thể có .
Nếu A thì số P(A) gọi là xác suất biến cố A .
1.6 Định lý Caratheodory.
Giả sử là một tập hợp nào đó . A là đại số các tập con của . Giả sử

0

là một đo xác định trên A .
(Nghĩa là

0 là hàm tập hợp , không âm , -công tính trên A ) và

hữu hạn (nghĩa là tồn tại dÃy (An)  A sao cho

A

n

n 1

  vµ

 0 ( An ) < ,

n=1,2,)
Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo xác định trên

(A) = 0 (A)

(A) sao cho :

,AA.

1.7 Xác suất trên (R,B(R)) .
Giả sử P là một độ đo xác suất xác định trên B(R ) .Khi đó hàm số :
F(x) = P(-  ,x) , x  R.

Cã c¸c tÝnh chÊt sau:


6
a). F không giảm : x < y F(x) F(y)
b). F Liên tục trái tại mọi điểm
c). F(-  )= lim F ( x)  0 , F (  ) = lim F ( x)  1.
x
x
Ng-ợc lại ta có định lý sau :
1.8. Định lý.
Giả sử F(x) là một hàm số tuỳ ý xác định trên R thoả mÃn 3 điều kiện a), b),c)ở
trên khi đó tồn tại duy nhất một xác suất P xác định trên B(R) sao cho :
P[a,b) = F(a) F(b) , (a1.9. Hàm đặc tr-ng.
Định nghĩa: Giả sử X biến ngẫu nhiên . Khi đó, hàm số:

X (t ) : Eeitx  E cos tX  iE sin tX , t R .
đ-ợc gọi là hàm đặc tr-ng của biến ngẫu nhiên X.
1.10. Tính duy nhất .
Định lý: Hàm đặc tr-ng của biến ngẫu nhiên, xác định hàm phân phối của
nó một cách đơn trị.
1.11. Hệ quả 2.
Giả sử
điều

x , 1 ,.... n là các hàm đặc tr-ng của X , X 1 ,...X n t-ơng ứng. Khi đó

kiện

cần
n

và

đủ

: X (t 1,...,t n )   X (t k ) , (t1 ,....t n )  R n .
k 1

n

®Ĩ

X 1 ,..., X n

độc

lập

là


7

Phần II: Một số tính chất của biến cố độc lập
1. Các định nghĩa và một số tính chất cơ bản .
1.1. Sự độc lập của hai biến cố.
Hai biến cố A và B gọi là hai biến cố độc lËp nÕu:
P(AB) = P(A)P(B).

1.2. Sù ®éc lËp cđa nhiỊu biÕn cố.
Định nghĩa: Họ hữu hạn các biến cố A1 , A2 ,..., An gọi là độc
lập (trong toàn thể ) nÕu víi mäi

2k n

vµ mäi bé k chØ sè

1  i1  ...  ik  n ta cã: P( Ai1 , Ai2 ,..., Aik )  P( Ai1 ) P( Ai2 )...P( Aik ) .
Hä tuú ý c¸c biÕn cố ( )I đ-ợc gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn
của nó đều độc lập.
Chú ý: Rõ ràng từ sự độc lập (trong toàn thể), suy ra sự độc lập từng cặp,
nh-ng đều ng-ợc lại nói chung không đúng. Thật vậy, Ta lấy 1 ,  2 , 3 ,  4 
víi P (1 )  P ( 2 )  P (3 )  P ( 4 ) 

1
khi ®ã
4

A  1 ,  2  , B  1 ,  3  , C   2 , 3  . độc lập từng cặp, nh-ng không độc
toàn thể, vì P ( ABC) 
1.3.

1
1
 ( ) 3  P ( A) P ( B ) P (C ) .
4
2

 - đôc lập.

Định nghĩa: Giả sử >0. Hai biến cố A và B đ-ợc gọi là

- độc lập nếu

P( AB)  P( A) P( B)  
1.4. Sù ®éc lập của các đại số.
Các đại số biến cố A1,..., An đ-ợc gọi là độc lập (trong toàn thể ) nÕu hä
bÊt kú A1 ,..., An sao cho: Ai  Ai , i =1, 2, , n là độc lập
1.5. Tính chất 1.
A, B độc lập khi và chỉ khi P( A / B)  P( A) hc P( B / A)  P( B)


8
1.6. Tính chất 2.
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đ-ợc
thoả mÃn:
a). , B độc lập .


b). A, B ®éc lËp .


c). Ā , B ®éc lËp .
1.7. Bé đề Borel Cantelli.
Giả sử ( An ) là dÃy biÕn cè bÊt kú .


 P( A )  

a). NÕu

n

n 1



 P( A )  

b). NÕu

n 1





Lim sup An    Am
n

n 1 m  n

n

th× P( Lim sup An ) )  0 .
n

vµ (A n ) độc lập thì: P( Lim sup An ) 1 víi
n

9
2). Một số tính chất khác của biến cố độc lập.
2.1. Mệnh đề.
Giả sử A độc lập với chính nó. Khi đó P(A) hoặc bằng 0 hoặc bằng 1.
Chứng minh: Ta cã P( AA)  P( A) P( A) (do A ®éc lËp víi A)

 P ( A)  0
 P( A)  P( A).P( A)  P( A)(1  P( A))  0  
 P ( A)  1
2.2. Mệnh đề.
Giả sử các biến cố A,B,C độc lập có xác suất khác 0 và khác 1. Khi đó AB,
BC và AC không độc lập đôi một.
Chứng minh:
Ta có AB.BC =AC

P( AB.BC)  P( AB).P( BC)  P( AC)  P( AB).P( BC)
 P( A) P(C)  P( A) P( B).P( B).P(C) (do A, B, C ®éc lËp).
 P( A) P(C)  P( A) P(C).P( B) P( B)

 P( A) P(C)(1  P( B) P( B))  0

 P( A) P(C )  0

 
 P( B)  1

 P( A) 0
P(C ) 0
Trái với giả thiÕt.


 P( B)  1

 P(AB.BC)  P(AB)P(BC)  AB, BC không độc lập
T-ơng tự ta có: BC,CA không độc lập và CA, AB không độc lập.
Từ lý luận trên ta có điều phải chứng minh.
2.3. Mệnh đề.
Giả sử A, B, C là các biến cố thoả mÃn:
A độc lập với BC và với B C .
B độc lập víi AC, C ®éc lËp víi AB.
A , B, C đều có xác suất d-ơng. Khi đó A, B, C ®éc lËp.
Chøng minh:
Theo gi¶ thiÕt ta cã:

P( ABC)  P( A) P( BC)
P( ABC)  P( B) P( AC)

(1)
(2)


10

P( ABC)  P(C) P( AB)

(3)

Vµ P ( A)[ P ( B )  P (C )  P ( BC )]  P[ A  ( B  C )]
 P ( AB  BC )

 P ( AB)  P ( AC )  P ( ABC)
 P ( AB)  P ( AC )  P ( A) P ( BC )

(tõ 1)

 P( A) P( B)  P( A) P(C )  P( ABC)  P( AB)  P( AC )  P( A) P( BC )
 P( A) P( B)  P( A) P(C )  P( AB)  P( AC )
 P( AB)  P( A) P( B)  P( A) P(C )  P( AC )

(4)

Tõ (2) vµ (3) suy ra:

P( AB) 

P( B) P( AC)
P(C )

(*)

Thay (*) vµo (4) ta cã :
P( B) P( AC)
 P( A) P( B)  P( A) P(C )  P( AC)
P(C )
 P( AC )


P( AC ) 
 P( B) 
 P( A)  P(C )  P( A) 

P(C ) 
 P(C )



Suy ra:
P( A) 

P( AC)
0
P(C )

Hay

P( AC)  P( A)P(C)

(**) .

Thay(**) vµo (2) ta cã
P( ABC)  P( A) P( B) P(C) .

VËy a , b, c độc lập.
2.4. Mệnh đề.
Giả sử A và B là

- độc lập khi đó , , B;

Chøng minh: + Ā, B lµ






A, B ; Ā , B cũng là

- độc lập.

Thật vậy: Ta có : P ( A B )  P ( B \ AB)  P ( B )  P ( AB)

 - ®éc lËp.


11
_

Mặt khác ta có: P( A) P( B) P( B)[1  P( A)]  P( B)  P( A) P( B).
XÐt:
P(ĀB)-P(Ā)P(B) = P( B)  P( AB)  P( B)  P( A)(B)
= P( A)P(B)  P( AB)  P( AB)  P( A) P(B)  

 - ®éc lËp). VËy

(do A, B
_

+ A , B lµ

Ā, B lµ

 - ®éc lËp.

 - ®éc lËp.



Cã P ( A B ) = P( A \ AB)  P( A)  P( AB)
_

P( A) P( B) = P( A)[1  P( B)]  P( A)  P( A) P( B) .
XÐt:
_

_

P(A B )-P(A)P( B )
= P( A)  P( A)P(B)  P( A)  P( AB)  P( AB)  P( A)P(B)
(do A, B là

- độc lập).
_

Suy ra: A , B là
_

+ , B là

- độc lập.

- độc lập.

_

Từ các chứng minh trên thì A, B là - độc lập suy ra , B và A , B là

-

độc lập. Vậy:
A, B là
_

,

B là

- độc lập
- độc lập .

_



B , A là

- độc lập

_



B , là

- độc lËp


12
2. 5. Mệnh đề.
Giả sử biến cố A là

- ®éc lËp

víi chÝnh nã. Khi ®ã ta cã: P( A)  1  2

hc P( A)  2 .
Chøng minh:
Theo gi¶ thiÕt ta cã:

P( A.A)  P( A).P( A)  

 P( A)  P( A) P( A)    P( A)[1  P( A)]  
(do 0  P( A)  1)

 P( A)  P( A) P( A)    P 2 ( A)  P( A) 0 .
Giải bất ph-ơng trình bậc hai ®èi víi P(A) , ta cã nghiƯm


1
 P ( A) 


1

 P ( A) 


1  4
 2
2
1  4
1 2
2

2.6. Mệnh đề.
Giả sử (, , P) là không gian xác suất sao cho đối với mọi biến cố A, tập
hợp các biến cố độc lập với A, lập thành một đại số. Khi đó, mọi họ biến cố độc lập
đôi một sẽ độc lập.
Chứng minh:
Giả sử B là họ các biến cố đôi một độc lập với bất kì và A1 , A2 , A3 ,...Ak  B,
(k=2,3,….)
Ta ph¶i chøng minh P( A1 A2 A3 ...Ak )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )...P( Ak )
Thật vậy, theo giả thiết thì : A2 , A3 ,..., Ak ®éc lËp víi A1 . Suy ra

P( A1 A2 A3 ...Ak )  P( A1 ) P( A2 A3 ...Ak )
Lý luận t-ơng tự đ-ợc:

P( A2 A3 ...Ak ) = P( A2 ) P( A3 ...Ak )
………….


13
P( Ak 1 Ak )  P( Ak 1 ) P( A k )

VËy:

P( A1 A2 A3 ...Ak ) = P( A1 ) P( A2 A3 ...Ak )
=

P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ...Ak )

=……………………………
=

P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )...P( Ak )

Từ đây suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.
2.7. MƯnh ®Ị .
Gi¶ sư (Ω, ℱ, P) là không gian xác suất . Cần và đủ để tất cả các biến cố
của nó độc lập là các biến cố đó có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1.
Chứng minh:
+ Điều kiện cần:
_

Giả sử 0_

_

_

 P( A A)  P( A) P( A) do P( A) P( A)

0

M©u thuÉn víi A, Ā ®éc lËp.
 P ( A)  0
VËy
P ( A) 1

+ Điều kiện đủ:

P ( A)  0
 P( B)  0
vµ 
 P ( A)  1
 P( B)  1

Tacã : 

 A, B độc lập.

Ta xét các tr-ờng hợp :

P ( A)  0

 P( AB)  P( A) P( B) 0 A, B độc lập.
Tr-ờng
hợp
1:
P( B) 0

 P ( A)  0
P( B)  1

- Tr-êng hỵp 2: 



P( AB)  P( A) P( B)  0  A, B ®éc lËp .


14
 P ( A)  1
- Tr-êng hỵp 3: 
P( B)  0

 P( AB)  P( A) P( B)  0  A,B ®éc lËp .

 P ( A)  1
 P( AB)  P( A) P( B)  1 A, B độc lập .
- Tr-ờng hợp 4:
P( B) 1
2.8. Mệnh đề.
Quan hệ độc lập giữa các biến cố bất kỳ trong một không gian xác suất nói
chung không có tính bắc cầu .
Chứng minh:
Giả sử lÊy:   1,2,3,4 cã P(1)  P(2)  P(3)  P(4)  1/ 4 .

A  1,2 , B  2,3, C  3,4 cã P( A)  P( B)  P(C)  1 / 2
ta cã:

P( AB)  P( A) P( B)  1/ 4
P( BC)  P( B) P(C)  1 / 4

P( AC)  P( A) P(C) do P( AC)  0 , P( A) P(C )  1 / 4 .

VËy cã A, B ®éc lập nh-ng A, C không độc lập suy ra A , B, C không có
tính bắc cầu.
2.9. Mệnh đề.
Điều kiện cần và đủ quan hệ độc lập giữa các biến cố trong một không gian
xác suất có tính bắc cầu là các biến cố của không gian xác suất có xác suất bằng 0
hoặc bằng 1.
Chứng minh:
+ Điều kiện cần: Trong không gian xác suất các biến cố độc lập có tính bắc
cầu, chứng minh các biến cố đó có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1.
Giả sử: Các biến cố đó không có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1 tức là:

0 P( A) 1 khi đó



sẽ ®éc lËp víi A vµ  ®éc lËp víi Ā nh-ng A , không

_

độc lập vì P ( A A)
_



P ( A A)



_

 0 mµ P( A) P( A)

0

_

P( A) P( A) trái với giả thiết.

P ( A)  0
Suy ra : 
 P ( A)  1


15
+ Điều kiện đủ:
Giả sử có

P (C ) 0
 P ( A)  0  P ( B )  0
 P ( A)  1 ,  P ( B )  1 ,  P (C )  1




Ta chøng minh A , B ®éc lËp; B, C độc lập và A , C cũng độc lËp.
Theo chøng minh ë mƯnh ®Ị 2.7 ( ®iỊu kiƯn ®đ ) th× cã: A, B ®éc lËp; B, C
®éc lập và A , C cũng độc lâp. Từ đó ta đ-ợc điều phải chứng minh.

16

PhÇn III : Mét sè tÝnh chÊt cđa biÕn ngÉu nhiên
độc lập
1. Các định nghĩa và một số tính chất cơ bản.
1.1. Biến ngẫu nhiên.
_

Giả sử (,) là không gian đo đà cho

R [;] .

Định nghĩa: Hàm thực X=X( ) xác định trên , nhận giá trị trên R gọi là hàm
_

đo đ-ợc hoặc là biến ngẫu nhiªn suy réng nÕu:  : X ( )  B X 1 ( B) với mỗi
_

_

B B (B) ( ở đây B (B) là

- đại số các tập hợp Borel của trục thực R ).
_

X :   R  (;) , th× ta có khái niệm biến ngẫu

Thêm vào đó nếu
nhiên.

Định lý : Giả sử X R . Khi đó các mệnh đề sau t-ơng đ-ơng:
a). X là ngẫu nhiên .
b). : X ( )  x  ℱ víi mäi x  R .
c).  : X ( )  x ℱ víi mäi x  R .
d).  : a  X ()  b ℱ víi a1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa: Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi ®ã hµm sè FX ( x)  P[ X  x] ,

x R đ-ợc gọi là hàm phân phối của X.
1.3. Tính độc lập.
Giả sử (,,P) là không gian xác suất cố định.
Định nghĩa: Họ hữu hạn { i i , I} các
độc lập nếu:

P( Ai )  P( Ai )
iI

iI

§èi víi Ai  Ƒ i , (i I ) bất kỳ.

- đại số con của đ-ợc gọi là


17

-

Họ vô hạn { i , i , I} các

đại số con của đ-ợc gọi là độc lập nếu

mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập .
Họ các biến ngẫu nhiên X i , i I đ-ợc gọi là độc lập nếu họ các

- đại sè

sinh bëi chóng { Ƒ ( X i ), i I , } là độc lập .
1.4. Định lý.
Giả sö {C i , i  I } hä tuú ý c¸c líp con cđa Ƒ cã c¸c tÝnh chÊt sau :
a. Mỗi lớp C i đóng đối với phép giao.
b. Hä {C i , i  I } ®éc lập theo nghĩa đối với J I hữu hạn bÊt k× C j  C j ,
j  J bÊt k× , ta cã :

P( C j ) =  P(C j )
jJ

jJ

Khi ®ã hä {  (C i ) , i  I } Cịng ®éc lËp .
1.5. Bổ đề.
Giả sử C là lớp đóng đối víi phÐp giao vµ líp A lµ líp bÐ nhÊt các tập
con của chứa C và thoả mÃn các ®iỊu kiƯn sau
a)   A
b) A 1 ,A 2  A, A 1 ,A 2 =   A 1 + A 2  A.
c) (An)  A , (An) tăng thì

An A

n

Khi đó A =

(c) .

1.6. Hệ quả 1.
Giả sử i, i I là họ các



- đại số con độc lập của - đại sè Ƒ. Khi ®ã ®èi

víi hä con rêi nhau Ij, j  J  bÊt kú cđa tËp I, th× c¸c
  (Ƒi, i  Ij ), j  J
cũng độc lập.
1.7. Hệ quả 2.

- đại số


18
Giả sử họ các biến ngẫu nhiên

X

j
k

, k 1,2,....,n j , j J



độc lập và

g ( x ,...,x ) là họ các hàm Borel bất kỳ. Khi đó họ các biến ngẫu nhiên
g (x ,...,x ),i J cũng độc lập .
j

1

nj

j

j
1

j
nj

1.8. Hệ quả 3.
a). các biến ngÉu nhiªn X 1 , X 2 ,..., X n ®éc lËp khi vµ chØ khi :

FX1 ,..., X n ( x1 ,..., xn )  FX1 ( x1 ) FX 2 ( x2 )...FX n ( xn ) víi mäi ( x1 ,..., x n )  R n .
b). NÕu ( X 1 , X 2 ,..., X n ) cã mËt ®é f X 1 ,..., X n ( x1 ,....,x n ) th× X 1 ,..., X n độc lập khi
và chỉ khi :

f X1 ,..., X n ( x1 ,..., xn )  f X1 ( x1 ). f X 2 ( x2 )... f X n ( xn ) víi ( x1 ,..., x n ) R n . bất kỳ.
1.9. Định nghĩa.

- đại số có





=





n =

n 1

(
n 1

m

, m n ) của đ-ợc gọi là

- đại

số đuôi (hay tiệm cận ).
1.10. Luật 0-1 Kolmogorov.

Giả sử { n , n 1 } là họ các

- đại số độc lập



là

- đại số đuôi

t-ơng ứng . Khi đó nếu A thì P(A) bằng 0 hoặc bằng 1 nghĩa là ={ ,}
xê xích một tập hợp P- không.
1.11. Hệ qu¶ 2.
Gi¶ sư {Ƒ n , n  1 } là họ các
đ-ợc với

-đại số độc lập với X là biến ngẫu nhiên đo

- đại số đuôi. Khi ®ã X lµ suy biÕn, nghÜa lµ X lµ h»ng số h.c.c

1.12. Hệ quả 3.
Giả sử (X n ) là dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập (lấy giá trị trong R), (a n ) lµ d·y


sè thùc, a n 0 khi đó chuỗi
h.c.c hoặc phân kỳ h.c.c.
1.13. Định lý.

X
n 1

n

d·y (X n ) n1 vµ (a n ( X 1  ...  X n )) n1 hc héi tô


19
Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Khi đó EXY=EX.EY .
1.14. Định lý 2 chuỗi .


Giả sử

X
n 1

n

là chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó.

a). Nếu hai chuỗi .


EX
n 1



và

n

DX
n 1

n

hội tụ thì chuỗi


X
n 1

n

hội tụ h.c.c .
b). Nếu tồn tại C> 0 sao cho P[|X n | C ] =1, n  1 và chuỗi


X
n 1

n

hội tụ h.c.c, thì 2 chuỗi


EX
n 1

n

và

DX
n 1

n

hội tụ .
1.15. Định lý ba chuỗi của Kolmogorov.


Giả sử (X n ) là dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập . Khi đó nếu chuỗi

X
n 1

n

hội tụ h.c.c thì với mọi C > 0 ba chuỗi :


EX
n 1





c
n

,

 DX
n 1

c
n

,

 P(¦ X
n1

n

| C )

héi tơ (trong ®ã X c =X I  X C  ).
Ng-ỵc lại , nếu với C > 0 nào đó sao cho ba chuỗi trên hội tụ thì chuỗi


X
n 1

n

hội tụ h.c.c .


20
2. Một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập.
2.1 Mệnh đề.
Giả sử X 1 ,,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối
F(x). Khi đó Z = Max{X 1 ,,X n } có hàm phân phối là F z (x) =F n (x)
vµ T=min {X 1 ,…,X n } cã hµm phân phối là : F T (x) =1-[1-F(x)] n .
Chứng minh:
F z (x) = F n (x).
tacã F z (x) =P(Z = P(max{X 1 ,X 2 ,…,X n }< x)
= P( X 1 = P(X 1 (v× X 1 ,…,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập)
= F(x).F(x)F(x) = F n (x)
. F T (x) =1-[1- F(x)] n . ThËt vËy, ta cã:
F T (x) =P(T< x)
= P(min{X 1 ,X 2 ,…,X n }< x)
n

= 1- P[  ( X n  x) ]
i 1

n

= 1-

 (P(Xi  x))
i 1
n

= 1-

 (1  P(Xi  x))
i 1

n

= 1-

[1  FX (x )]
i 1

= 1- [1- F (x)] n .

i


21
2.2. Mệnh đề.
Giả sử X 1 ,,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị nguyên không
âm và EXi < . Khi đó


E min { X 1 ,X 2 ,…,X n }=

 P( X
i 1

1

 i) P( X 2  i)...P( X n i)

Chøng minh: Tr-íc hết, nhận xét rằng nếu X là b.n.n nhận giá trị nguyên
không âm thì


EX=

P( X i)
i 1

Thật vậy:
EX = P(X=1)+ 2P(X=2) + 3P(X=3) + …
= P(X=1) +P(X=2) +P(X=2) +P(X=3) +P(X=3) +P(X=3)+
Do EX < nên chuỗi trên là chuỗi hội tụ. Do đó




i 1

j 2

EX= P( X  i )   P( X  j ) +…
= P(X  1) + P(X  2) +…=



 P( X  i ) .
i j

VËy:


E min{X 1 ,X 2 ,…,X n } =

 P(min{ X , X ,...,X }  i)
1

i 1



=

 P( X
i 1

1

 P( X
i 1

n

 i, X 2  i,...,X n i)



=

2

1

 i) P( X 2 i)...P( X n i) .

2.3. Mệnh đề.
Giả sử các biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 ,…,X n cã ph©n phèi chn víi


22



kì vọng và ph-ơng sai t-ơng ứng là: a k , và

2
k

n

. Khi đó, tổng của chúng

k 1

k

n

n

cũng có phân phối chuẩn kì vọng là

X

a
k 1

và ph-ơng sai là:

k


k 1

2
k

.

n

Tức lµ :

X
k 1

k

2
2
=( X 1 +X 2 +…+X n )∼N(a 1 +a 2 +…+a n ,  1 + … n ) (1).

Chøng minh: Víi X∼N(a,  2 ) cã hàm đặc tr-ng:

X (t ) e

1
iat (t ) 2
2

.

2
2
Víi n = 2 chøng minh (1) ®óng X 1 ∼ N(a 1 ,  1 ) , X 2 ∼ N(a 2 ,  2 )
2
2
X 1 , X 2 độc lập thì (X 1 + X 2 ) ∼N(a 1 + a 2 ,  1 +  2 )

ThËt vËy:
1
ita 1   12 t 2
2

 X (t )  e
1

 X (t )  e

1
ita 2   22 t 2
2

2

Suy ra:  X1  X 2 (t )   X1 (t ). X 2 (t )

=
=

e
e

1
ita 1   12 t 2
2

.

(do X 1 , X 2 ®éc lËp )

e

1
ita 2   22 t 2
2

1
it ( a1  a 2 )  ( 12  22 ) t 2
2

.

Ta cã:  X1 X 2 (t ) là hàm đặc tr-ng của đại l-ợng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn là: N(a 1 + a 2 ,  1 +  2 )
2

2

Tõ định lý duy nhất của hàm đặc tr-ng ta suy ra r»ng:
(X 1 + X 2 ) ∼N(a 1 + a 2 ,  1 +  2 )  (1) ®óng víi n = 2.
2

2


23
Giả sử (1) đúng với n = k ta sẽ chøng minh (1) ®óng vøi n = k+1.
Ta cã: ( X 1 +…+X k )∼N(a 1 +…+ak,  1 + … k ) .
2

2

NghÜa lµ:

X
XÐt

X

1  ...  X k

1  ...  X k 1

(t )  e

(t ) =  X

=

=

e

e

1
it ( a1  ...  a k )  ( 12  ...  k2 ) t 2
2

1  ...  X k

.

(t ). X k 1 (do X n ®éc lËp ) .

1
it ( a1  ...  a k )  ( 12  ...   k2 ) t 2
2

.e

1
ita k 1   k21t 2
2

1
it ( a1  ...  a k 1 )  ( 12  ...  k21 ) t 2
2

Suy ra:
(X 1 +…+X k )∼N(a 1 +…+ak+1,  1 + k 1 )
2

2

Tức là (*) đúng với n=k+1.
Vậy (*) đúng với mọi k . Suy ra điều phải chứng minh.
2.4. Mệnh đề.
Giả sử (X n ) là dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có EX n = 0,
D X n =    , (C n ) là dÃy số khi đó
2

C
n 1

n

X n héi tơ h.c.c khi vµ chØ khi

C
n 1

2
n

héi tơ.


Chøng minh: Điều kiện đủ: Giả sử




n 1

n 1

E (Cn X n)   Cn EX n 0



Suy ra  E (C n X n ) héi tô.
n 1

C
n 1

2
n

héi tơ. Khi ®ã


24




n 1

n 1

 D(Cn X n )   Cn DX n =


 DC

Suy ra

n 1

n

2





n 1

n 1

2
 C n  2 =  2  Cn  

2

X n hội tụ.

Từ tiêu chuẩn hai chuỗi suy ra:


C
n 1

n

X n hội tụ h.c.c

Điều kiện cần: Giả sử

C
n 1

n

X n hội tụ h.c.c . Khi đó, tồn tại C > 0 sao

cho P( Cn X n  C )=0 . Do ®ã

Cn X n C  Cn X n

h.c.c. Tõ tiêu chuẩn ba chuỗi (phần đảo) suy ra chuỗi



D(C
n 1

n

X n) c héi tô. Suy ra


   D(Cn X n)
n 1





c

=

 D(C
n 1

n

X n) =

C
n 1

2
n

DX n =



2

C
n 1

2
n



Điều này kéo theo chuỗi

C
n 1

2
n

hội tụ. Đó là ®iỊu ph¶i chøng minh


25

Kết luận
Khoá luận đà đạt đ-ợc một số kết quả sau:
Trình bày các khái niệm , các định nghĩa và các tính chất cơ bản của biến cố
độc lập .
Chứng minh thêm một số tính chất khác của biến cố độc lập .
Trình bày các khái niệm, các định nghĩa và tính chất cơ bản của biến ngẫu
nhiên độc lập .
Chứng minh thêm một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập.