Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi thông qua dạy học chuyên đề lý thuyết đồ thị

1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Sự phát triển của đất nước trong thời kỳ cơng nghiệp hố, hiện đại
hố đang địi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Nghị quyết
hội nghị lần thứ 4 Ban chấp hành TW Đảng Cộng sản Việt Nam khoá VII đã
nêu rõ một trong những quan điểm chỉ đạo để đổi mới sự nghiệp giáo dục và
đào tạo là “... Phát triển giáo dục nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng
nhân tài, đào tạo những con người có kiến thức văn hố, khoa học, có kỹ năng
nghề nghiệp, lao động tự chủ, sáng tạo và có kỷ luật, giàu lòng nhân ái, yêu
nước, yêu chủ nghĩa xã hội, sống lành mạnh, đáp ứng nhu cầu phát triển đất
nước ”.
Đào tạo được những con người mới năng động sáng tạo, có năng lực
giải quyết vấn đề là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của ngành. Điều này
đã được cụ thể hoá trong Luật giáo dục nước CHXHCN Việt Nam “...
Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy
sáng tạo của người học ; bồi dưỡng năng lực tự học, lịng say mê học tập và ý
chí vươn lên ” (Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4)
1.2. Năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có quy định 11 chuyên đề
bồi dưỡng học sinh (HS) giỏi toán thống nhất trong tồn quốc trong đó có
chun đề Lý thuyết đồ thị (LTĐT). Như vậy việc dạy học chuyên đề LTĐT
cho HS khá và giỏi đang là nhu cầu thực tế trong dạy học tốn ở trường phổ
thơng. Tuy nhiên việc dạy học chuyên đề này đang còn tồn tại một số khó
khăn vì một số lý do khác nhau. Một trong những lý do đó chính là sự mới mẽ
và, độc đáo và khó của chủ đề kiến thức này... Chuyên đề LTĐT có một đặc
điểm nổi bật là việc giải các dạng tốn trong “lịng đồ thị” khơng cần nhiều
đến các kiến thức mà HS không hiểu được mà cần đến sự sáng tạo trong cách


2

nhìn nhận bài tốn và lập luận cách giải dưới “con mắt” của LTĐT. Vì vậy
chuyên đề này chứa đựng tiềm năng lớn có thể khai thác để bồi dưỡng một số
yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo (TDST) cho HS khá và giỏi.
1.3. Vấn đề bồi dưỡng TDST cho HS đã được nhiều tác giả quan tâm
nghiên cứu. Ở nước ta các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm
Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, Tơn Thân, Phạm Gia Đức,
Trần Luận.... đã có nhiều cơng trình giải quyết nhiều vấn đề về lý luận và thực
tiễn của việc phát triển TDST cho HS. Vấn đề này cũng có nhiều nhà tốn học
trên thế giới quan tâm nghiên cứu, tiêu biểu là Krutecxki trong tác phẩm
“Tâm lý năng lực toán học của HS ” đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học
của HS. Với tác phẩm “ Sáng tạo toán học” nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm
lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của q trình giải tốn, q trình sáng
tạo tốn học.
Việc mơ hình hố các bài tốn thực tiễn và giải tốn thơng qua đồ thị
(ĐT) cũng đã được một số tác giả trong và ngoài nước quan tâm, tiêu biểu
như các tác giả Vũ Đình Hồ, Hồng Chúng, L.Iu.Berezina....tuy nhiên các
tác giả đó chưa tìm hiểu về trị của LTĐT đối với việc phát triển TDST cho
HS.
Chính vì những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Góp
phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học sinh
khá và giỏi thông dạy học chuyên đề Lý thuyết đồ thị ”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Trên cơ sở phân tích mối quan hệ giữa mơ hình ĐT với các bài tốn
thực tiễn nhằm xây dựng các BP dạy học chuyên đề LTĐT theo định hướng
bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của TDST cho HS.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.


3

Nghiên cứu tiềm năng sư phạm của chuyên đề LTĐT đối với việc phát
triển TDST cho HS.
Xây dựng các BP sư phạm và hình thức tổ chức dạy học theo định
hướng bồi dưỡng một số yếu tố của TDST cho HS thông qua dạy học chuyên
đề LTĐT
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.
Có thể bồi dưỡng TDST cho HS thơng qua dạy học chuyên đề LTĐT
nếu thường xuyên quan tâm đến việc xây dựng hệ các bài tập thực tiễn, các
bài toán phổ thơng có đặc điểm ĐT và có BP dạy học phù hợp.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến LTĐT, các tài liệu về tâm lý
học, giáo dục học, nhằm làm sáng tỏ vai trò của LTĐT đối với việc phát triển
TDST cho HS.
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học chuyên đề LTĐT.
- Thực nghiệm sư phạm.
6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN.
A. Phần mở đầu.
B. Phần nội dung.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Tư duy sáng tạo.
1.2. Các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo.
1.3. Phương hướng chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng
tạo cho học sinh thơng qua mơn tốn ở trường trung học phổ thông.
1.4. Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo của chuyên đề Lý thuyết đồ
thị.
1.5. Kết luận.


4

Chương 2: Các biện pháp bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư
duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi thông qua dạy học chuyên đề Lý
thuyết đồ thị.
2.1. Các kiến thức cơ bản của chuyên đề Lý thuyết đồ thị.
2.2. Các yêu cầu của việc đề ra các biện pháp nhằm bồi dưỡng một số
yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi thông qua dạy
học chuyên đề Lý thuyết đồ thị.
2.3. Các biện pháp xây dựng được.
2.4.Vai trò của các biện pháp và các định hướng thực hiện các biện
pháp nhằm bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo cho học
sinh khá và giỏi.
2.5. Kết luận.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Nội dung thực nghiêm.
3.3. Tổ chức thực nghiệm.
3.4. Kết luận thực nghiệm.
Kết luận
Tài liệu tham khảo


5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TƯ DUY SÁNG TẠO
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo (ST) là tìm ra cái mới, cách
giải quyết vấn đề mới khơng bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung
của sáng tạo gồm hai ý chính: có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có
lợi ích (có giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự ST cần thiết cho bất kỳ hoạt động

nào của xã hội loài người. ST thường được nghiên cứu trên nhiều phương
diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu
tư duy(TD), như là một năng lực của con người.
Trong cuốn Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu tốn học, tác giả Nguyễn Cảnh Tồn cho rằng “Sáng tạo là sự vận
động của TD từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới”. Cũng theo
tác giả thì “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải
quyết vấn đề ”[26].
Theo HenryGleitman “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp
mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích ” (Trích theo [24]).
Theo Lecne [17] có hai kiểu TD cá nhân: một kiểu gọi là TD tái hiện,
một kiểu gọi là TDST. Theo định nghĩa thơng thường và phổ biến nhất của
TDST thì đó là TD tạo ra cái mới. TDST dẫn đến những tri thức mới về thế
giới và về các phương thức hoạt động. Lecne đã chỉ ra các thuộc tính sau đây
của q trình TDST:
-Có năng lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới tình huống sáng tạo.


6

-Nhìn thấy vấn đề mới trong các điều kiện, đối tượng quen biết “đúng
quy cách”.
-Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
-Nhìn thấy cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.
-Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm
kiếm lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau, đôi
khi mâu thuẫn nhau).
-Kỹ năng kết hợp những kiến thức giải đã biết thành một phương thức
mới.
-Kỹ năng sáng tạo một phương thức giải độc đáo tuy đã biết phương

thức khác.
Nhà tâm lý học Đức Mehlonr cho rằng: “TDST là hạt nhân của sự sáng
tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” (trích theo [24])
Theo ông TDST đặc trưng bởi chất lượng hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo,
tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác...
Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm TD tích cực, TD độc lập và
TDST. V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn quan hệ đó dưới dạng những
vịng trịn đồng tâm. Đó là những mức độ TD khác nhau mà mỗi mức độ TD
đi trước là tiền đề cho mức độ TD đi sau. Trong TDST có TD tích cực và TD
độc lập, nhưng khơng phải mọi TD tích cực đều là TD độc lập, và khơng phải
mọi TD độc lập là TDST (Trích theo [24]).
Để làm rõ mối quan hệ

TD tích cực

này Krutexki đã giải thích bằng

TD độc lập

một ví dụ. Một HS chăm chú

TDST

nghe thầy giảng các chứng minh
định lý, cố gắng để hiểu được tài

Hình1


7

liệu, ở đây có thể nói đến TD
tích cực.
Nếu GV yêu cầu HS tự phân tích định lý dựa theo bài đọc trong sách
giáo khoa, tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này có thể nói
đến TD độc lập.
Có thể nói đến TDST khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà
HS đó chưa biết.
Tác giả Tôn Thân [24] quan niệm : "TDST là một dạng TD độc lập tạo
ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" . Theo tác giả
thì "TDST là TD độc lập vì nó khơng bị gị bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải
pháp. Mỗi sản phẩm của TDST đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã
tạo ra nó".
Tác giả nhấn mạnh rằng:‘‘Ý tưởng mới ở đây thể hiện ở chỗ phát hiện
vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới’’,‘‘tính độc đáo của ý
tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ,hiếm, không quen thuộc hoặc duy
nhất’’[24]
1.2. MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO.
Như đã trình bày ở trên, nhiều tác giả đã đưa ra các thành phần, các yếu
tố, các biểu hiện khác nhau của TDST. Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về
cấu trúc của TDST có thể thấy nổi lên năm thành phần cơ bản sau:
-Tính mềm dẻo, đó là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác.
-Tính nhuần nhuyễn, đó là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên
nhiều góc độ và tình huống khác nhau.
-Tính độc đáo, đó là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải
quyết lạ hoặc duy nhất.

8

-Tính hồn thiện, đó là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và
hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
-Tính nhạy cảm vấn đề, đó là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn
đề, mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu...do đó nảy sinh ý muốn cấu
trúc lại hợp lý hài hoà, tại ra cái mới.
Ngoài năm thành phần cơ bản trên đây cịn có những yếu tố quan trọng
khác như tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại...
Trong các yếu tố trên thì ba yếu tố đầu tiên (tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn, tính độc đáo) là ba yếu tố cơ bản đạt dược sự nhất trí cao trong hầu
hết các cơng trình nghiên cứu về cấu trúc của TDST (Trích theo [24]).
Trong luận văn này chúng tôi cũng chỉ đề cập đến ba trong nhiều yếu tố
của TDST đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo.
1.2.1. Tính mềm dẻo.
Đó là năng lực dễ dàng thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức,
chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại
sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp TD mới, tạo ra sự vật mới trong
những mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự
vật và điều phán đốn. Tính mềm dẻo của TD cịn làm thay đổi một cách dễ
dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người.
Tính mềm dẻo của TD có các đặc trưng nổi bật sau :
-Dễ dàng chuyển các hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,
vận dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,
khái quát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, diễn
dịch, tương tự .
-Suy nghĩ khơng rập khn, khơng áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hồn cảnh mới trong đó có

9

nhiều yếu tố đã thay đổi, có khả năng thốt khỏi ảnh hưởng kìm hãm của
những kinh nghiệm, những cách nghĩ, những phương pháp đã có từ trước...
-Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng
mới của đối tượng quen biết.
1.2.2. Tính nhuần nhuyễn.
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tố
riêng lẻ của tình huống, hồn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng
nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra được càng nhiều thì có nhiều khả
năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng
làm nảy sinh chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn của TD thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau đây:
-Tính đa dạng của cách xử lý khi giải tốn, khả năng tìm được nhiều
giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề
cần giải quyết, người có TD nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất
được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu.
-Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái
nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tượng chứ khơng phải
cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
1.2.3. Tính độc đáo.
Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng:
-Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
-Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngồi
tưởng như khơng có liên hệ với nhau.
-Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản nói trên khơng tách rời nhau mà trái lại chúng có
quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng

10

chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo)
tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình
huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều
phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc
đáo).
Các yếu tố cơ bản của TDST nêu trên biểu hiện khá rõ ở HS, đặc biệt
là HS khá, giỏi. Trong học tập toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán,
các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẻ phân tích
và tổng hợp, biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá...Ở HS khá và
giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu đặc trưng của tư duy sáng tạo. Điều quan
trọng là người GV phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi
dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực ST ở các em.
1.3. PHƯƠNG HƯỚNG CHỦ YẾU BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU
TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS THÔNG QUA MƠN TỐN Ở
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG.
Ngày nay, các nhà khoa học đều cho rằng mọi người đều có khả năng
sáng tạo, nhưng mức độ sáng tạo rất khác nhau và có thể có những biện pháp
(BP) để bồi dưỡng trí sáng tạo.
Tác giả Tơn Thân [24] nêu ra các phương hướng chủ yếu bồi dưỡng
các yếu tố của TDST như sau:
-Bồi dưỡng TDST cho HS cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu
cơ với các hoạt động trí tuệ như : phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu
tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hố trong đó phân tích và
tổng hợp đóng vai trị nền tảng.
Theo tác giả thì để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của
TD, HS cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng
thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau,

trong những mối liên hệ khác nhau. Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng


11

lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp
riêng khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hoá, làm rõ mối
quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc
biệt hố và hệ thống hố.
-Bồi dưỡng TDST cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát
hiện vấn đề mới, khơi dậy ý tưởng mới.
Tác giả cho rằng, về giảng dạy lý thuyết cần tận dụng phương pháp tập
duyệt nghiên cứu, trong đó giáo viên (GV) tạo ra các tình huống có vấn đề để
dẫn dắt HS tìm tịi, khám phá kiến thức mới. Chú ý thường xuyên tập duyệt
cho HS suy luận có lý (thơng qua quan sát, so sánh, đặc biệt hố, khái qt
hố, quy nạp, tương tự... ) để có thể tìm tịi dự đốn những quy luật của thế
giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đốn được các kết
quả, tìm được hướng giải quyết một bài tốn, một định lý. Nói cách khác là
tăng cường hai bước suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy học tốn.
Về thực hành giải tốn cần coi trọng các bài tốn trong đó chưa rõ điều
phải chứng minh. HS phải tự xác lập, tự tìm tịi để phát hiện và giải quyết vấn
đề.
-Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST: tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính độc đáo.
Tác giả Tơn Thân cho rằng có thể khai thác nội dung các vấn đề giảng
dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp HS lật đi, lật lại vấn đề theo
các khía cạnh khác nhau để HS nắm thật vững bản chất các khái niệm, các
mệnh đề, tránh được lối học thuộc lịng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng
tạo.
-Bồi dường TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các

khâu của quá trình dạy học.


12

Tác giả Trần Thúc Trình, trong cuốn ‘‘TD và hoạt động học toán’’, đã
nêu ra các BP sau để phát triển năng lực sáng tạo cho HS:
-Bồi dưỡng TDST cho HS cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ
khác.
-Bồi dưỡng TDST cho HS cần đặt trọng tâm vào việc bồi dưỡng năng
lực phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới.
-Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST và trang bị cho HS
phương tiện, thủ pháp của hoạt động nhận thức.
-Quá trình bồi dưỡng TDST là quá trình lâu dài, cần tiến hành qua các
lớp trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.
-Vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ
lên lớp.
Tác giả Trần Luận [16] lại cho rằng có thể sử dụng các BP sau đây để
bồi dưỡng, phát triển năng lực sáng tạo cho HS :
-Rèn luyện và bồi dưỡng HS theo những biểu hiện đặc trưng của hoạt
động sáng tạo.
-Bồi dưỡng một số yếu tố của TDST.
-Bồi dưỡng các tham số có ý nghĩa lớn đối với sáng tạo theo mơ hình
của J.Guilford.
-Dựa vào phân loại TD tích cực, TD độc lập, TDST của Krutecxki.
-Dạy học giải quyết vấn đề.
-Thông qua hệ thống bài tập.
1.4. TIỀM NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA
CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ.
LTĐT là một chuyên đề bồi dưỡng HS giỏi. Tuy chuyên đề LTĐT chưa

được đưa vào học ở các trường phổ thông trung học, nhưng giải tốn LTĐT
khơng cần sử dụng đến những kiến thức quá phức tạp HS không thể hiểu


13

được mà đòi hỏi một sự tập trung chú ý nhất định và khả năng suy luận tốt.
Chuyên đề này có tiềm năng quan trọng đối với việc phát triển TDST cho HS.
Trước hết chúng ta nhận thấy rằng do đặc điểm của ĐT là chỉ xét
những tương quan đi lại của các đối tượng toán học theo nghĩa tổng thể mà
khơng xét đến tính chất của các đối tượng tham gia. Do đó với một ĐT cho
trước thì có thể có nhiều bài tốn thực tiễn tương ứng với ĐT đó. Vì vậy hồn
tồn có thể hướng dẫn cho HS xây dựng các bài tốn thực tiễn có mơ hình là
ĐT cho trước bằng sự chuyển đổi ngơn ngữ của LTĐT sang ngôn ngữ phổ
thông. Việc xây dựng các bài tốn như trên sẽ giúp cho HS có cách nhìn bài
tốn theo nhiều khía cạnh khác nhau. Nhìn thấy được mối liên hệ mật thiết
giữa mơ hình ĐT với các bài toán thực tiễn đồng thời giúp HS hiểu nguồn gốc
của các bài tốn. Trên cơ sở đó định hướng để HS có thể sáng tạo các bài tốn
mới - một đặc điểm quan trọng thể hiện sự sáng tạo của các em. Việc xây
dựng các bài toán thực tiễn theo các mơ hình của ĐT cũng sẽ góp phần rèn
luyện TD logic cho HS, đây cũng là một trong các điều kiện cần để có thể phát
triển TDST cho các em.
Bên cạnh đó chuyên đề LTĐT ẩn chứa nhiều vấn đề có thể khai thác để
rèn luyện tính độc đáo, tính mềm dẻo cho HS chẳng hạn như vấn đề về chu
trình Eurle, chu trình Haminton, số Ramsey... Những bài toán về các vấn đề
trên được phát biểu khá đơn giản nhưng để giải chúng đòi hỏi HS phải có
cách nhìn sáng tạo để có thể thấy được các yếu tố ĐT ẩn chứa trong bài toán.
Được tiếp cận với chuyên đề LTĐT, HS sẽ được làm quen với nhiều
kiến thức và phương pháp mới của toán học - đây sẽ là môi trường thuận lợi
để các em thể hiện trí thơng minh, tính nhạy bén của bản thân trong việc tiếp

thu các kiến thức và thể hiện phương pháp giải các bài toán kiểu ĐT.
Cũng như các bộ phận khác của mơn tốn, chun đề LTĐT có một
khối lượng bài tập khá phong phú, đa dạng tạo điều rèn luyện và phát triển


14

TDST cho HS. Bài tập LTĐT góp phần quan trọng phát triển năng lực
TD cho HS đặc biệt là rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát
triển những phẩm chất của hoạt động TD. Việc giải bài tập LTĐT cũng
góp phần bồi dưỡng cho HS phương pháp nghiên cứu khoa học, bởi vì
để có thể giải quyết được các bài tập của chuyên đề LTĐT, HS cần
phải phát huy tính tự giác, tính kiên trì, nhẫn nại của bản thân.
Về phần giải bài tập thuộc chuyên đề LTĐT, trong luận văn này chúng
tôi sẽ đề cập một số khía cạnh sau nhằm góp phần rèn luyện một số yếu tố đặc
trưng của TDST cho HS.
-Giải toán LTĐT giúp HS rèn luyện năng lực thực hiện các thao tác TD
như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hố, tương tự hoá, trừu tượng hoá.
-Giải toán LTĐT giúp HS sáng tạo bài toán mới, phương pháp giải toán
mới...
-Giải toán LTĐT giúp HS rèn luyện tính mềm dẻo, tính độc đáo, tính
nhuần nhuyễn của TDST.
-Giải tốn LTĐT góp phần quan trọng bồi dưỡng TD lôgic cho HS.
Với các tiềm năng kể trên, nếu GV có hướng khai thác hợp lý thì sẽ tạo
được hứng thú học tập cho HS đồng thời có thể rèn luyện và phát triển cho
các em một số yếu tố đặc trưng của TDST thông qua dạy học giải tốn về
chun đề LTĐT.
Ví dụ : Chia tập hợp gồm sáu số tự nhiên X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} thành
hai tập hợp không giao nhau A và B. Chứng minh rằng tồn tại một trong hai
tập hợp đó chứa hai số a, b mà a  b cũng thuộc tập này.

Bài toán này nếu giải bằng phương pháp thơng thường thì phải chia
nhiều trường hợp và biện luận tương đối phức tạp. Nếu nhìn bài tốn trên qua
con mắt của ĐT thì lời giải sẽ đơn giản và ngắn gọn hơn, ngồi ra cịn có thể
mở rộng được bài toán.


15

Tuy nhiên để giải được bài toán đã cho bằng ngơn ngữ ĐT thì HS cần
phải có cách nghĩ, cách nhìn bài tốn theo một hướng hồn tồn khác so với
cách giải thơng thường. Nếu xem bài tốn trên như là một trường hợp đặc biệt
của mơ hình ĐT nào đó thì GV phải hướng dẫn để HS tìm được yếu tố nào là
đỉnh, yếu tố nào là cạnh của ĐT. Ở bài toán này, việc xác định các đỉnh của
ĐT là đơn giản, có thể cho tương ứng mỗi số tự nhiên của tập X với một đỉnh
của ĐT. Cịn yếu tố nào là cạnh của ĐT thì chưa bộc lộ rõ trong bài tốn. Do
đó GV cần phải có những gợi cho HS có cách nhìn bài tốn thật linh hoạt để
tìm được các cạnh của ĐT. Ở đây nếu dựa vào kết luận của bài tốn thì chúng
ta có thể chọn các cạnh như sau: hai đỉnh được nối với nhau bằng cạnh tương
ứng với hai số a, b thoả mãn a  b thuộc một trong hai tập hợp A và B. Vì
bài tốn đã cho có hai tập hợp nên sẽ có hai loại cạnh trong ĐT. Quy ước
cạnh được tô bằng màu đỏ nếu hai số tương ứng a, b thoả mãn a  b thuộc
tập
A, cạnh được tô bằng màu xanh nếu như hai số tương ứng a, b thoã mãn
a  b thuộc tập B. Phân tích bài tốn chúng ta nhận thấy hai đỉnh bất kỳ của

ĐT đều được nối với nhau một bằng cạnh vì với hai số a, b bất kỳ trong tập X
thì a  b ln thuộc tập A hoặc tập B. Do đó ĐT thu được là ĐT đủ có sáu
đỉnh, các cạnh được tơ bởi hai màu xanh, đỏ, gọi ĐT đó là G.
Theo tính chất của ĐT màu thì trong ĐT này ln tồn tại tam giác có
các cạnh đồng màu, tức là tồn tại ba số khác nhau x, y, z trong tập X thoả mãn

các số x - y , y - z , z - x cùng nằm trong một tập hợp A hoặc B. Khơng mất
tính tổng qt giả sử x > y > z, lúc đó đặt a = x - y, b = x - z thì a, b đều khác
không, cùng thuộc một tập hợp và a - b cũng thuộc tập hợp chứa a và b.
(đpcm).


16

Nhận xét : Từ cách chứng minh trên ta thấy có thể thay tập X đã cho bằng tập
Y = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Sự khó khăn của bài trên là ở chỗ phát hiện được các cạnh của đồ thị,
một khi xác định được các cạnh thì bài toán sẽ được giải rất đơn giản. Cách
xác định yếu tố nào của bài toán tương ứng với các cạnh của ĐT được trình
bày đầy đủ trong chương 2. Kết quả thu được qua bài toán này là HS sẽ thấy
được rằng : với một tính chất đơn giản của ĐT có thể giúp cho việc giải các
bài tốn phức tạp trở nên dẽ dàng hơn. Trên cơ sở đó, GV định hướng để HS
xây dựng các bài toán tương tự, tức là phát hiện các tình huống mà có thể mơ
hình hố bằng ĐT trong cách chứng của bài tốn trên. Bên cạnh đó cần gợi ý
để HS phát biểu bài toán tổng quát bằng cách áp dụng các tính chất khác của
ĐT đủ với cạnh màu.
Các bài tốn sau đây là các bài toán tương tự của bài tốn trên tuy
nhiên nhìn bề ngồi thì sự tương tự ấy rất khó phát hiện được.
Bài tốn 1: Cho sáu điểm trong mặt phẳng sao cho bất kỳ ba điểm nào
cũng là đỉnh của một tam giác có độ dài các cạnh khác nhau. Chứng minh
rằng cạnh nhỏ nhất của một tam giác trong các tam giác đó đồng thời là cạnh
lớn nhất của một tam giác khác.
Bài toán 2: Cho sáu đường thẳng trong khơng gian, trong đó khơng có
ba đường thẳng nào song song, khơng có ba đường nào đồng quy và khơng có
ba đường nào nằm trong cùng một mặt phẳng. Chứng minh rằng từ sáu đường
thẳng đó bao giờ cũng lấy ra được ba đường từng đơi một chéo nhau.

Những bài tốn trên được chứng minh dễ dàng bằng cách áp dụng tính
chất của ĐT đủ, sáu đỉnh với cạnh được tô bởi hai màu nhưng quan trọng hơn
là GV cần hướng dẫn để HS tự xây dựng các bài tốn đó hoặc các bài tốn
tương tự , tức là giúp cho HS cách để phát hiện các vấn đề tương tự, các vấn
mới trong dạy học chuyên đề LTĐT.


17

Qua việc phân tích ở trên chúng ta có thể thấy rằng từ một tính chất đơn
giản của ĐT cũng có thể góp phần rèn luyện cho HS được nhiều mặt. Tiềm
năng để bồi dưỡng TDST cho HS của chuyên đề này là rất phong phú. Người
GV nếu quan tâm đến việc khai thác tiềm năng đó vào dạy học và bồi dưỡng
HS có năng khiếu thì chắc chắn sẽ góp phần phát triển được trí sáng tạo cho
các em.
1.5. KẾT LUẬN
Qua việc tổng quan các tài liệu vừa trình bày ở trên chúng tôi nhận thấy:
-Vấn đề bồi dưỡng, rèn luyện và phát triển TDST cho HS được nhiều
nhà tâm lý học, giáo dục hoc, toán học trong và ngồi nước quan tâm nghiên
cứu.
-Các cơng trình trên đã góp phần làm sáng tỏ khái niệm về TDST và các
yếu tố đặc trưng của TDST biểu hiện trong học tập tốn ở nhà trường phổ thơng.
-Chun đề LTĐT có một tiềm năng phong phú để có thể phát triển
TDST cho HS, điều quan trọng là GV phải có các BP dạy học thích hợp để
khơi dậy được sự húng thú của HS trong học tập, trên cơ sở đó mới có thể
khai thác được tiềm năng của chuyên đề này một cách có hiệu quả.

CHƯƠNG 2
CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG MỘT SỐ YẾU TỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI

THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
2.1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ.
2.1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.

2.1.1.1. Định nghĩa : ĐT là một tập hợp hữu hạn khác rỗng các điểm
và tập các đoạn mà các đầu mút của chúng thuộc tập các điểm đã cho.


18

Khi biểu thị các ĐT, các đoạn có thể là thẳng hoặc cong, sự phân bố
các điểm và độ dài các đoạn là tuỳ ý. Ta gọi các điểm một cách khác là các
đỉnh, các đoạn là các cạnh của ĐT. Đỉnh không thuộc một cạnh nào gọi là
đỉnh cô lập, cạnh mà hai đầu mút trùng nhau gọi là khuyên. Chúng ta ký hiệu
các đỉnh bằng các chữ cái in hoa A, B, C...X, Y...,và đôi khi bằng các số
1,2,3..., ký hiệu các cạnh bằng các cặp đỉnh (A,B), (1,2)...
Các ví dụ về ĐT trong thực tế : Sơ đồ đường sắt, đường bộ, kế hoạch
triển lãm hay là các loại bản đồ...
Một ĐT được gọi là đơn nếu khơng có khun và hai đỉnh bất kỳ được
nối bằng nhiều nhất là một cạnh.
Trong luận văn này nếu không chú thích gì thêm thì chúng ta quy ước
những ĐT đang xét là ĐT đơn.
2.1.1.2 Bậc của đỉnh.
Bậc của đỉnh là số các cạnh của ĐT mà đỉnh đó thuộc vào. Đỉnh của
ĐT được gọi là đỉnh lẻ nếu bậc nó là lẻ, đỉnh được gọi là đỉnh chẵn nếu bậc
nó là chẵn.
2.1.1.3. Đồ thị đủ, đồ thị bù.
ĐT được gọi là đủ nếu mỗi cặp hai đỉnh bất kỳ khác nhau được nối với
nhau bằng một và chỉ một cạnh. Trong một ĐT đủ mỗi đỉnh của nó thuộc
cùng một số cạnh, do đó để cho một ĐT đủ ta chỉ cần biết số đỉnh của nó. Có

thể bổ sung ĐT chưa đủ thành ĐT đủ với cùng số đỉnh bằng cách thêm vào
những cạnh còn thiếu.
Bù của ĐT G là ĐT G có cùng số đỉnh với ĐT G và có các cạnh là
những cạnh mà ta thêm vào G để được ĐT đủ.
Việc nghiên cứu tính chất của ĐT nhiều lúc phải thơng qua bù của ĐT
đó, do vậy bù của ĐT đóng một vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu
LTĐT .


19

2.1.1.4. Đường, xích trong đồ thị .
Trong một ĐT, một dãy các cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp là hai cạnh
có chung một đầu mút ) (A1, A2), (A2, A3),...,(An-1, An) được gọi là một đường
đi từ A1 đến An , ký hiệu là A1A2A3... An. Đỉnh A1 gọi là đỉnh đầu, đỉnh An
gọi là đỉnh cuối của đường.
Một đường đi khép kín gọi là xích hay cịn gọi là chu trình.
Xích đơn (đường đơn) trong ĐT là xích (đường) khơng đi qua cạnh nào
q một lần.
Xích sơ cấp (đường sơ cấp) trong ĐT là xích (đường) khơng đi qua
đỉnh nào quá một lần.
Độ dài của một đường (xích) là số cạnh mà đường (xích) đó thuộc vào.
2.1.1.5. Sự liên thông, thành phần liên thông, cầu.
Hai đỉnh của ĐT được gọi là liên thông nếu trong ĐT tồn tại một đường
nối chúng. Hai đỉnh của ĐT được gọi là không liên thông nếu không tồn tại
một đường nào nối chúng.
ĐT được gọi là liên thông nếu mỗi cặp hai đỉnh bất kỳ đều liên thông.
Cạnh (A,B) được gọi là cầu của ĐT nếu trong ĐT nhận được sau khi
lấy (A,B) ra các đỉnh A,B trở thành không liên thông.
Mỗi ĐT G không liên thông đều được chia thành một số ĐT liên thơng

rời nhau. Mỗi ĐT liên thơng đó gọi là thành phần liên thông của G.
2.1.1.6. Cây, bụi.
ĐT liên thơng khơng có xích gọi là cây, ĐT gồm một điểm cô lập
cũng gọi là cây.
Một ĐT mà mỗi thành phần liên thơng của nó là một cây được gọi là
bụi.
2.1.1.7. Đồ thị Euler và ĐT Hamilton.
Đường chứa tất cả các cạnh của ĐT được gọi là đường Euler trong ĐT.


20

Đường chứa tất cả các đỉnh trong ĐT được gọi là đường Hamilton.
ĐT nào có xích Euler được gọi là ĐT Euler.
ĐT nào có xích Hamilton được gọi là ĐT Hamilton.
2.1.1.8. Sắc số của ĐT.
Trong một cách tô màu đỉnh của ĐT G cho trước, một đỉnh A được gọi
là tơ màu ổn định nếu như khơng có láng giềng nào của A được tô màu của A.
Một cách tô màu các đỉnh của ĐT G được gọi là cách tô màu ổn định nếu như
đỉnh nào của G cũng được tơ màu ổn định nghĩa là khơng có hai đỉnh kề nhau
nào của G được tô màu giống nhau.
Giả sử G là một ĐT cho trước được tô màu ổn định, số nhỏ nhất các
màu có thể tơ các đỉnh của G một cách ổn định được gọi là sắc số của G, được
ký hiệu bởi X(G).
2.1.2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ.

Định lý 1: Trong ĐT, tổng các bậc của tất cả các đỉnh là một số chẵn
và bằng hai lần số cạnh của G.
Chứng minh: Giả sử ĐT có n đỉnh và có c cạnh.
Ta có bậc của A1 là số cạnh xuất phát từ A1, bậc của A2 là số cạnh xuất

phát từ A2... bậc của An là số cạnh xuất phát từ An. Vì một cạnh chứa hai đỉnh
n

nên

 bËcA
i 1

i

= 2c (đpcm).

Định lý 2 : Số các đỉnh lẻ của mọi ĐT là số chẵn .
Chứng minh: Do

n

 bËcA
i 1

 bËcA

j

i

là chẵn và

 bËcA

j

là chẵn nên

A jch½n

là chẵn. Mặt khác bậc của các đỉnh lẻ là các số lẽ, vì vậy số các đỉnh

A j lÏ

lẽ là chẵn (đpcm).
Định lý 3 : Trong ĐT n đỉnh (n  2) ln có ít nhất hai đỉnh cùng bậc.


21

Chứng minh: Giả sử tồn tại ĐT G có n đỉnh mà khơng có hai đỉnh nào
cùng bậc. Ta thấy các đỉnh có bậc thuộc đoạn [0; n-1], do có n đỉnh mà khơng
có hai đỉnh nào cùng bậc nên tất cả các số tự nhiên thuộc đoạn [0; n-1] đều là
bậc của các đỉnh trong ĐT G. Giả sử Ai có bậc 0 và Aj có bậc n-1, lúc đó tại
đỉnh Aj có n-1 cạnh, tại đỉnh Ai khơng có cạnh nào. (vơ lý). (đpcm).
Định lý 4: Trong một ĐT n đỉnh (n > 2) có đúng hai đỉnh cùng bậc ln
tìm được hoặc đúng một đỉnh bậc 0, hoặc đúng một đỉnh có bậc n-1.
Chứng minh: Trước hết ta nhận thấy rằng nếu ĐT G có đúng hai đỉnh
cùng bậc thì bậc đó khơng thể là 0, hoặc n-1. Thật vậy nếu hai đỉnh có cùng
bậc 0 cịn các đỉnh khác bậc khác nhau, lúc đó loại hai đỉnh này ra khỏi ĐT ta
được một ĐT n-2 đỉnh có bậc khác nhau, điều này mâu thuẫn định lý 3. Cịn
nếu có hai đỉnh cùng bậc n-1 thì ĐT bù G của G có hai đỉnh cùng bậc 0, các
đỉnh khác có bậc khác nhau, điều này khơng thể xẩy ra như đã xét ở trên.
Bây giờ ta chứng minh G có đúng một đỉnh bậc 0, hoặc đúng một đỉnh

bậc n-1. Thật vậy nếu khơng có đỉnh nào bậc 0 và khơng có đỉnh nào bậc n-1
thì G có n đỉnh mà bậc nhận các giá trị từ 1 đến n-2, điều này khơng thể xẩy
ra vì trong G chỉ có 2 đỉnh cùng bậc.(đpcm).
Định l ý 5: Nếu trong ĐT mọi xích đơn có độ dài chẵn thì trong ĐT đó
khơng có xích nào có độ dài lẻ.
Chứng minh: Giả sử trong ĐT tồn tại xích có độ dài lẻ tức là xích đó
khơng phải là xích đơn, do đó có một đỉnh mà xích đó qua nó nhiều hơn một
lần, tại đỉnh này chúng ta tách xích làm hai. Trong hai xích vừa được tách,
một xích có độ dài chẵn, một xích có độ dài lẻ. Xích có độ dài lẻ là xích
khơng đơn, ta tiếp tục tách xích này làm hai xích như ở trên. Tiếp tục q
trình cho đến khi tới các xích đơn ( điều này ln thực hiện được vì số đỉnh
của ĐT là hữu hạn). Ta thấy trong các xích này tồn tại xích có độ dài lẻ, mâu
thuẫn với giả thiết.(đpcm).


22

Định l ý 6: ĐT liên thơng là xích đơn khi và chỉ khi mọi đỉnh của nó
đều có bậc là hai.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử G liên thông có n đỉnh và mọi đỉnh đều có bậc
hai, ta chứng minh G là xích đơn. Xét đường đi ra từ đỉnh A 1, giả sử đến đỉnh
A2, tại A2 tồn tại duy nhất một cạnh đi ra giả sử là A2A3 ...đến đỉnh cuối
cùng An có một cạnh vào An-1An và một cạnh ra là AnA1 vì tại An khơng thể
có cạnh ra nào khác( giả sử có cạnh ra AnAi với i  1 thì đỉnh Ai có bậc là ba) .
Vậy G là xích đơn.
Chú ý: điều kiện liên thông là quan trọng.
Điều kiện đủ: Nếu G là xích đơn, ta chứng minh mọi đỉnh có bậc là hai.
Giả sử đỉnh nào đó có bậc nhỏ hơn hai thì nó khơng thuộc một xích nào. Nếu
có đỉnh bậc lớn hơn hai thì tại đỉnh này có ít nhất là ba cạnh nên khơng có

một xích đơn nào chứa tất cả các cạnh của đỉnh này.(đpcm).
Định lý 7: Cho ĐT đỉnh (n  2), nếu tổng bậc của hai đỉnh bất kỳ đều
khơng nhỏ hơn n thì ĐT đã cho là liên thông.
Chứng minh: Giả sử ĐT G có n đỉnh (n  2) thoả mãn điều kiện định
lý và A, B là hai đỉnh không liên thông. Khi đó trong G tồn tại hai thành phần
liên thơng: G1 có n1 đỉnh và chứa A, G2 có n2 đỉnh và chứa B. Vì G1 và G2 là
các thành phần liên thông của G nên n1+ n2  n. Khi đó ta có: bậcA + bậcB 
(n1-1) + (n2-1)  n -2 < n. Mâu thuẫn với giả thiết. Do đó ta có A, B liên
thơng (đpcm).
Định lý 8: Nếu ĐT có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên
thơng.
Chứng minh: Giả sử ĐT G có đúng hai đỉnh bậc lẻ A và B mà A, B
khơng liên thơng. Khi đó chúng thuộc hai thành phần liên thông, chẳng hạn A
thuộc G1 và B thuộc G2. Bậc của A trong G1 cũng chính là bậc của A trong G


23

nên trong G1 đỉnh A có bậc lẽ. Do đó G1 có duy nhất một đỉnh bậc lẻ, từ đó ta
có mâu thuẫn vì số đỉnh bậc lẽ trong một ĐT là số chẵn.
Định lý 9: ĐT liên thông khi và chỉ khi nó có một thành phần liên
thơng duy nhất.
Định lý 10: Giả sử ĐT G có n đỉnh, m cạnh và k thành phần liên thơng.
1
Khi đó có bất đẳng thức m  (n  k )(n  k  1) .
2
1
Định lý 11: Nếu ĐT G có n đỉnh và số cạnh lớn hơn (n  1)(n  2) thì
2
G liên thơng.

Có thể xem chứng minh của các định lý 9, 10, 11 trong [17]
Định l ý 12: Mỗi cây d đỉnh đều có d-1 cạnh (d  2).
Chứng minh: Dùng phương pháp quy nạp
Khi d =2 thì ĐT có một cạnh, định lý đúng.
Giả sử d = n định lý đúng, tức là cây có n-1 cạnh.
Xét khi d = n+1 đỉnh, trong cây ta bỏ một đỉnh treo và cạnh với đỉnh
treo đó ta được cây mới có n đỉnh suy ra có n-1 cạnh. Khơi phục lại cây cũ ta
có cây với n+1 đỉnh và có n cạnh. (đpcm).
Định lý 13: Trong ĐT liên thơng G có n đỉnh bao giờ cũng có thể bỏ
bớt một số cạnh để được một cây chứa tất cả các đỉnh của G.
Chứng minh: Nếu G khơng có xích thì G là một cây.
Nếu G có xích, xét một xích bất kỳ, trong xích này ta bỏ đi một cạnh bất kỳ.
Trong ĐT mới nếu có xích ta tiếp tục bỏ một cạnh bất kỳ của một xích bất kỳ,
tiếp tục q trình này cho đến khi khơng cịn xích nào ta được một cây(đpcm).
Định lý 14: Cho ĐT G gồm n đỉnh, nếu bậc của mỗi đỉnh của G khơng
nhỏ hơn

n
thì G có một chu trình Hamilton.
2

Có thể xem chứng minh của định lý này trong[13].


24

Định lý 15: Cho ĐT G gồm n đỉnh, nếu tổng bậc của hai đỉnh không kề
nhau bất kỳ trong G khơng nhỏ hơn n thì trong ĐT G có một chu trình
Hamilton.
Có thể xem chứng minh của định lý này trong [4].

2.1.3. ĐỒ THỊ ĐỊNH HƯỚNG.

2.1.3.1.Định nghĩa: ĐT mà mọi cạnh của nó đều được định hướng gọi
là ĐT định hướng.
Trên hình vẽ, cạnh của ĐT định hướng được

C

A

biểu diễn bằng mũi tên, cạnh định hướng với điểm
đầu là A, điểm cuối là B, được ký hiệu <A; B>.

D

B

Ta nói cạnh định hướng <A; B> ra từ A và vào B.
Ta nói bậc ra của đỉnh A của ĐT định hướng là số cạnh ra từ A, ký
hiệu là r(A). Bậc vào của đỉnh A của ĐT định hướng là số cạnh vào A, ký
hiệu là v(A).
Đỉnh cô lập là đỉnh mà bậc ra và bậc vào của nó bằng khơng.
Nguồn là đỉnh mà bậc ra của nó dương, cịn bậc vào bằng khơng.
Hút (hay đích) là đỉnh mà bậc vào của nó dương, cịn bậc ra bằng
khơng.
ĐT định hướng đủ là ĐT mà mỗi cặp đỉnh của nó được nối bằng đúng
một cạnh định hướng.
2.1.3.2. Đường, xích trong đồ thị định hướng.
Đường trong ĐT định hướng G từ A1 đến An là dãy các cạnh định
hướng <A1; A2 > , <A2; A3 > , ...<An-1; An > sao cho đỉnh cuối của cạnh trước

trùng với đỉnh đầu của cạnh tiếp theo và khơng có cạnh nào được lặp quá một
lần.
Đường đơn trong ĐT định hướng là đường mà trong đó khơng đỉnh nào
được qua q một lần.


25

Xích trong ĐT định hướng là đường mà đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối.
Độ dài của đường là số cạnh trong đường đó. Khoảng cách từ A đến B
trong ĐT định hướng là độ dài ngắn nhất từ A đến B trong các độ dài của
các đường từ A đến B.
2.1.3.3. Các tính chất cơ bản của đồ thị định hướng.
Định lý 1: Trong ĐT định hướng tổng số bậc ra của tất các đỉnh bằng
tổng số bậc vào của tất cả các đỉnh và bằng số cạnh của ĐT.
Định lý 2: Nếu trong ĐT định hướng đủ với n đỉnh có ít nhất hai đỉnh
cùng bậc ra thì trong ĐT này sẽ tìm được ba đỉnh mà các cạnh nối chúng lập
thành xích định hướng.
Định lý 3: Mọi ĐT định hướng đủ với n đỉnh đều có một đường định
hướng đơn qua mọi đỉnh của ĐT.
Các định lý trên có thể xem chứng minh trong [13].
2.1.4. ĐỒ THỊ VỚI CẠNH MÀU.

Trong mục này chúng ta xét các ĐT ứng với các tình huống mà ở đó
những cặp phần tử này của tập hợp thì nằm trong mối quan hệ này, những cặp
phần tử khác thì nằm trong mối quan hệ khác nhưng mỗi cặp chỉ trong một
mối quan hệ (chẳng hạn trong tập hợp người thì có thể xét hai mối quan hệ:
hai người bất kỳ hoặc là quen nhau, hoặc là không quen nhau. Tập hợp các
đường thẳng trong khơng gian có ba quan hệ : song song, cắt nhau, chéo
nhau...). Để thuận lợi trên ĐT các cạnh ứng với quan hệ thứ nhất chúng ta tô

bằng màu đỏ, các cạnh ứng với các quan hệ thứ hai chúng ta tô bằng màu
xanh... Những ĐT như vậy gọi là ĐT với cạnh màu (thông thường ta gọi gọn
hơn là ĐT màu, lưu ý phân biệt với ĐT đỉnh màu) . Những ĐT màu giúp
chúng ta giải khơng ít các bài tốn khác nhau mà việc dùng ĐT bình thường
sẽ gặp nhiều khó khăn. Trong mục này ta quy ước màu đỏ vẽ bằng đậm, màu
xanh vẽ bằng đường chấm chấm.