Về nhóm galois các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trường các số p adic

1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết trường là một trong những vấn đề quan trọng của tốn học
hiện đại, nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu mở rộng các cấu trúc đại số.
Ngoài ra, các hiểu biết về lý thuyết trường sẽ góp phần làm cho chúng ta hiểu
sâu sắc hơn về tốn học phổ thơng. Đặc biệt là chương trình tốn PTTH, góp
phần tích cực vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Chẳng hạn, khi xét các đa
thức trên trường số hữu tỷ Q ta nhận thấy có những đa thức, ví dụ x 2-2, x2-3,
…, khơng có nghiệm trên Q, người ta đã tìm ra những trường mới, mà trên đó
các đa thức trên có nghiệm – Vì vậy, mà chúng tơi cho rằng, việc tìm hiểu
thêm về lí thuyết mở rộng trường sẽ là một vấn đề phong phú, có nhiều thú vị.
Nếu ta xét một mở rộng trường trên trường các số p – adic Rp thì ta thu
được kết quả :
[K: Rp] = n thì n = e.f, trong đó K là một mở rộng hữu hạn bậc n trên
trường các số p – adic Rp , e là chỉ số phân nhánh của trường K và f là bậc
qn tính của trường K. Khi đó nếu e = 1 thì trường K được gọi là mở rộng
khơng phân nhánh, nếu e = n thì trường K được gọi là mở rộng hoàn toàn
phân nhánh.
Khi nghiên cứu các mở rộng hữu hạn của một trường, bài toán nghiên
cứu các nhóm GaLois – Nhóm tạo thành từ các tự đẳng cấu của trường đó, có
một ý nghĩa rất quan trọng và khá phức tạp. Với ý đồ tìm hiểu thêm về cách
vận dụng các kiến thức về lý thuyết trường, lý thuyết nhóm, lý thuyết mơđun,
… , vào giải quyết một bài tốn cụ thể, chúng tơi chọn đề tài:
“ Về Nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh
của trường các số p – adic “
Đây một trong những bài toán của lý thuyết mở rộng trường. Trong
phạm vi khả năng của mình, chúng tơi muốn góp phần làm sáng tỏ hơn về cấu


2

trúc nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trường
các số p – adic.
Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu và kết luận,
danh mục một số tài liệu tham khảo
Chương 1 : Các khái niệm cơ sở
Chương 2: Nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân
nhánh của trường các số p – adic
Luận văn được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Quý Dy. Nhân dịp này tác giả xin
được bày tỏ lịng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Quý
Dy, người đã dành nhiều thời gian và cơng sức tận tình giúp đỡ tác giả hoàn
thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc tổ Đại số
khoa Toán, khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh, đã giúp đỡ, động viên
tác giả rất nhiều trong thời gian học tập, cũng như thời gian làm luận văn.
Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được nhiều
sự động viên, góp ý trao đổi đặc biệt là thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành
Quang đã có nhiều ý kiến có giá trị giúp tác giả hoàn thành luận văn, tác giả
rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu đó.
Xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong BGH trường THPT
Tĩnh Gia 2, cùng bạn bè, đồng nghiệp lớp cao học 10 Đại số đã giúp đỡ tác
giả trong suốt thời gian học tập và trong quá trình làm luận văn.
Vinh, tháng 11 năm 2004
TÁC GIẢ


3

CHƯƠNG1 : CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ

1.1. Đặc số của trường:
Giả sử T là một trường, với phần tử đơn vị được ký hiệu là1. Nếu n.1 
0, với mọi số tự nhiên n  0, thì ta nói trường T có đặc số 0 (Hoặc đặc số ).
Trong trường hợp ngược lại ta gọi số nguyên dương bé nhất n sao cho n.1 = 0
là đặc số của trường T.
Chúng ta đã có kết quả : Mỗi trường T tuỳ ý hoặc có đặc số 0, hoặc có
đặc số là số nguyên tố .
Ví dụ: - Các trường Q, R, C đều có đặc số 0
Zp- trường các lớp thặng dư theo mô đun nguyên tố p là trường có đặc số p
1.1.1 Định nghĩa. Ta gọi trường T là trường ngun tố (trường đơn ) nếu
nó khơng có một trường con thực sự nào cả.
1.1.3. Định lý. Cho K là một trường và P là trường con nguyên tố của
K. Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường Q các số hữu tỷ .Nếu K có
đặc số ngun tố p thì P đẳng cấu với trường Zp các số nguyên tố môđun p
Chứng minh. Đơn vị của trường K, thuộc trường P. Xét đồng cấu vành
h:Z 
 K

xác định bởi h(m) = m.1k , m  Z

vì 1k  P nên Im h  P .

Cịn vì Kerh là một Iđean của vành Z nên có dạng Kerh = sZ, với một số
nguyên
s  0 bé nhất thuộc Kerh, sao cho h(s) = s.1k = 0, nên s chính là đặc số của
trường K  hoặc s = 0 hoặc s = p (p nguyên tố ) vậy:
Nếu K có đặc số s = 0 ta có Kerh = 0 và đẳng cấu với miền nguyên
h: Z  Im h  P . Do đó trường các thương Q của Z đẳng cấu với trường các
thương FD của miền nguyên D = Imh  P. nhưng vì FD là một trường con của
K, chứa trong trường con nguyên tố P  K nên FD = P.

Vậy trong trường hợp này Q  P


4

Nếu K có đặc số s = p (số nguyên tố ) thì
Kerh = pZ và theo định lý cơ bản về đồng cấu vành cho đẳng cấu vành :
Z

Kerh

Z

pZ

 Im h  P

Nhưng vì Z pZ  Z p là một trường, nên Imh cũng là một trường chứa
p

trong trường con nguyên tố P  K do đó

Zp

 Im h  P

Định lý 1 cũng cho ta thấy rằng trường Q các số hữu tỷ và mỗi trường Zp
(p nguyên tố) đều là các trường nguyên tố
Hệ quả. Mỗi trường chỉ có một và chỉ một trường con nguyên tố
1.2. Mở rộng trường:

Giả sử T là một trường con của U, khi đó ta nói U là một mở rộng của
trường T. Chẳng hạn mọi trường có thể xem là một mở rộng của trường con
nguyên tố của nó .
Giả sử U là một mở rộng đã cho của trường T và S là một tập con tuỳ ý
của U. Họ trường con của U chứa T và S là khác rỗng, vì U thuộc họ đó, giao
của họ này là một trường con của U chứa S và T. Hiển nhiên đó là trường con
bé nhất chứa T và S, ta ký hiệu T(S) và gọi nó là mở rộng thu được từ T bằng
cách ghép thêm tập hợp S .
Nếu S  x , x2 ,...., xn  thì thay cho T(S) ta viết T(x1,x2,….,xn)
1

Đặc biệt, với phần tử  tuỳ ý thuộc U, ta gọi T(  ) là mở rộng đơn của
T ghép thêm phần tử 
1.2.1. Định nghĩa. Cho T là một trường và U là một mở rộng của T
.phần tử   U được gọi là đại số trên T nếu  là nghiệm của một đa thức
0  f  T[x]. Một phần tử U không đại số trên T gọi là siêu việt trên T.
Ví dụ: T = Q - trường số hữu tỷ, ta dễ dàng kiểm chứng được rằng các
số phức như:

2 , 3 5, i 

1
3

,... , là đại số trên Q.
2 2


5

Có những số thực như: =3,1415… hay e = 2,71828… , chúng không phải là
nghiệm của bất kỳ đa thức 0  f  Q[x] nào, đó là những số siêu việt.
Một mở rộng đơn T() của trường T được gọi là mở rộng đại số hay
siêu việt tuỳ theo phần tử sinh   U là đại số hay siêu việt trên T.
Một mở rộng đơn đại số K(u) của một trường K sinh bởi một nghiệm u của
một đa thức bất khả quy bậc n của K[x], ( K(u) là mở rộng đơn của phần tử
đại số u), thì
i/ 1, u, u2, …., un-1 là độc lập tuyến tính trên K, với n là bậc của u
ii/ Mỗi phần tử   K(u) đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng:

 = a0 + a1u +a2u2 + …. + an-1un-1 , ai K.
Từ đó ta có : K(u) là một không gian véc tơ n chiều trên K
1.2.2. Định nghĩa. Một mở rộng F của trường K được gọi là mở rộng
bậc hữu hạn của K nếu K – không gian véc tơ F là hữu hạn chiều. Khi đó n =
dimKF Số chiều của khơng gian véc tơ F trên K, được gọi là bậc của mở rộng
F của K và được ký hiệu n = [F: K]
Ví dụ: Trường C các số phức gồm tất cả các biểu thức dạng:
x = a + b.i, a, b R nên C là một không gian véc tơ 2 – chiều trên R
và do đó là mở rộng bậc 2 trên R, [C: R] = 2
Hệ quả. Mọi mở rộng đơn đại số đều có bậc hữu hạn
1.2.3. Định lý. Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn trên trường K. Khi
đó mỗi phần tử F là đại số và thoả mãn một đa thức bất khả quy bậc không
vượt quá bậc [F: K] của một mở rộng
Chứng minh. Do F là không gian véc tơ n – chiều trên K nên mọi hệ
n+1 véc tơ 1, u, u2,…,un với u  F là phụ thuộc tuyến tính, từ đó suy ra sự
tồn tại của các phần tử ai K, i = 0, 1, …, n không đồng thời bằng 0 sao cho
a0 + a1u + …+ anun = 0


6

Điều này chứng tỏ u là nghiệm của đa thức
f(x) = a0 + a1x + …+ anxn  K[x]
Như vậy u là phần tử đại số. Bây giờ nếu q(x) là đa thức bất khả quy trên
K, nhận u làm nghiệm thì theo [13] q(x) chia hết f(x) do đó bậc của q(x) là
không vượt quá bậc của f(x)
deg q  deg f  n = [F:K]
Hệ quả. Mọi phần tử của mở rộng đơn đại số trên trường K, đều là đại
số
trên K.
1.2.4. Định nghĩa. Mở rộng F của trường K được gọi là mở rộng đại số
tạp của F nếu có một dãy tăng các trường con của F.
K = L0  L1 …..  Lk = F

(k >1 )

Sao cho với mỗi chỉ số i, trường Li là mở rộng đại số đơn của trường Li-1,
số k được gọi là độ dài của mở rộng F.
Ví dụ: [Q(i)]( 2 ) là mở rộng đại số tạp của trường Q có độ dài 2
1.2.5. Định lý. Cho dãy mở rộng các trường K  E  F. Nếu tập hợp
các phần tử u1, u2 ,..., um  là một cơ sở cho mở rộng F của E và tập hợp các
phần tử v1, v2 ,...., vn  là một cơ sở cho mở rộng E của K thì m.n tích uivj là
một cơ sở cho mở rộng F của K
Chứng minh. Giả sử x là phần tử tuỳ ý thuộc F, khi đó
x = a1u1 + a2u2 + …+ amum

, ai  F

ai = bi1v1 + bi2v2 +….+ binvn , bịj  K
từ đó :

m

n

i 1

i 1

x   ( bij v j )u i   bij u i v j
i, j


7

Điều này chứng tỏ {uivj / i = 1, 2, ….., m, j = 1, 2, ….,n. } là hệ sinh
của không gian véc tơ F trên K.
Bây giờ ta sẽ chứng minh hệ {uivj } là độc lập tuyến tính. Giả sử có đẳng
thức.

b u v
ij i

j

0

i, j

Khi đó hệ {ui } độc lập tuyến tính nên

n

b v
j 1

Từ đây ta có bij = 0

ij

j

 0 với  i = 1, 2, …, n.

 j = 1, 2, …, n.

Do hệ {vj} độc lập tuyến tính  điều phải chứng minh .
Hệ quả 1. Nếu F là mở rộng hữu hạn của trường K và E là mở rộng hữu
hạn của trường F thì E là mở rộng hữu hạn của trường K và bậc của E trên K
là:
[E: K] = [E: F].[F: K]

(E  F  K)

Hệ quả 2. Nếu F là một mở rộng hữu hạn của K có bậc [F: K] = n thì
mọi phần tử u  F có bậc trên K là ước số của n . Hơn nữa , một phần tử
u  F sinh trên K toàn thể mở rộng F nếu và chỉ nếu (bậc của U trên K )
[U: K] = n = [F: K]
Hệ quả 3 . Nếu F = K (u1, …….,ur) là một trường sinh bởi trường K và
r phần tử u1, …., ur sao cho mỗi ui là đại số trên trường K (u1, …,ui-1 ) sinh
bởi K và i-1 phần tử trước ui thì F là mở rộng hữu hạn của trường K , và

mọi phần tử của F là đại số trên K.
1.2.6. Định nghĩa. Một mở rộng đại số F của trường K là mở rộng
chuẩn tắc trên K nếu mọi đa thức bất khả quy p(x) K[x] có một nghiệm
trong F thì có tất cả nghiệm trong F (ta nói p(x) phân rã hoàn toàn trong F )
Hai phần tử đại số trên K được gọi là liên hợp (trên K) nếu các đa thức
tối tiểu của chúng trùng nhau .


8

Như vậy, mở rộng F của K là chuẩn tắc nếu mọi phần tử liên hợp với
phần tử của F thì cũng thuộc F.
1.2.7. Định lý. Một mở rộng có bậc hữu hạn trên trường K là chuẩn tắc
trên K nếu và chỉ nếu nó là trường nghiệm của một đa thức nào đó trên K.
Ví dụ: E = Q( 2 ) là trường nghiệm của x2 – 2 nên E là mở rộng chuẩn
tắc trên Q.
x2 -

F = E( 4 2 ) là trường nghiệm của

2 , nên F là chuẩn tắc trên E

nhưng F không chuẩn tắc trên Q vì F chỉ gồm các số thực trong khi đó đa
thức bất khả quy x4- 2 ngồi nghiệm

=

4

2  F cịn có những nghiệm

phức .
Hệ quả. Mọi mở rộng có bậc hữu hạn, chuẩn tắc và tách được đều là
trường nghiệm của một đa thức tách được
Lưu ý rằng: Nếu K là trường có đặc số 0 thì mọi mở rộng chuẩn tắc F
của đều là mở rộng tách được.
1.2.8. Định lý. Cho L/K là một mở rộng đại số trong K (Bao đóng đại
số của K ) Những điều kiện sau là tương đương:
i/ L/K là một mở rộng chuẩn
ii/ Tồn tại một hệ D  K[x] sao cho L = K(s), với s là tập nghiệm của
các đa thức của D
iii/ Mọi K đồng cấu từ L vào K đều là một tự đẳng cấu của L/K
1.2.9. Định lý. Cho K  Z  L. Nếu L là mở rộng chuẩn trên K thì L là
mở rộng chuẩn trên Z
1.3. Nhóm GaLois:
Một song ánh  từ một trường F lên chính nó được gọi là một tự đẳng
cấu nếu :
 (a  b)   (a)   (b)
 (a.b)   (a). (b)


9

Tập hợp tất cả các tự đảng cấu của một trường F, lập thành một nhóm
với phép tốn hợp thành ánh xạ, gọi là nhóm các tự đẳng cấu của trường F.
Đơn vị của nhóm này là ánh xạ đồng nhất id
Nhận xét: Mọi phần tử của trường con nguyên tố P, P  F giữ
nguyên đối với mọi tự đẳng cấu của F.
Giả sử K là trường con của F, các tự đẳng cấu  của trường F được gọi
là tự đẳng cấu trên K hay, K - tự đẳng cấu nếu nó giữ nguyên mọi phần tử trên

K, tức là:

(c) = c ,

cK

Tập hợp các tự đẳng cấu trên K là một nhóm con của nhóm các tự đẳng
cấu của trường F.
1.3.1. Định nghĩa. Nhóm tự đẳng cấu của trường F trên trường con K là
nhóm các tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K
1.3.2. Bổ đề. Cho F là một mở rộng đại số trên K,  là một tự đẳng
cấu của F trên K, khi đó với mỗi c  F ảnh (c) liên hợp với c .
1.3.3. Định nghĩa. Cho F là một mở rộng chuẩn tắc của trường K, tập
hợp mọi tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K lập thành một
nhóm, gọi là nhóm GaLois của F trên K và ký hiệu bởi G(F/K) .
G(F/K) =  : F 
 F /  (a)  a, a  K 
Ví dụ: Xét mở rộng F = Q ( 2 ) của K = Q . Số thực

2 là ngiệm

của đa thức p (x) = x2- 2 bất khả quy trên Q, đa thức này có 2 nghiệm
- 2 do đó

2 và

F = Q ( 2 ) là trường nghiệm của đa thức x2 –2 trên Q . theo

định lý (1.2.7) F là chuẩn tắc trên Q .
Nếu  là tự đẳng cấu thuộc nhóm GaLois G = G(F/Q) thì  biến 2

thành 2 hoặc - 2 , như vậy nhóm GaLois G có 2 phần tử :


10

G = {idF ,  } trong đó

:F
 F
a b 2  a b 2

1.3.4. Định lý. Nếu F là trường nghiệm của một đa thức tách được
f(x) K[x] thì cấp của nhóm GaLois G = G(F/K) bằng bậc của mở
rộng [F: K]
1.3.5. Định nghĩa. Mở rộng hữu hạn F của trường K được gọi là mở
rộng GaLois nếu nó là chuẩn tắc và tách được .
1.3.6. Định lý. Cho F là mở rộng bậc hữu hạn trên K với nhóm GaLois
G, khi đó các điều kiện sau tương đương:
i/ F là mở rộng GaLois trên K
ii/ K = FG ( nghĩa là tập các phần tử của F bất biến dưới mọi tự đẳng
cấu của nhóm GaLois G đúng bằng K )
iii/ Cấp của nhóm GaLois G đúng bằng bậc của mở rộng [ F: K]
Ta đã biết có sự tương ứng giữa nhóm con và trường con:
1.3.7. Định lý. Nếu K là một trường, f  K[x] là một đa thức tách được trên
K và G là nhóm GaLois đối với trường nghiệm N của f trên K, thì tồn tại song ánh
H  F từ các nhóm con H của G đến các trường con F của N chứa K. Khi cho
nhóm con H, trường con tương ứng F = F(H) gồm tất cả các phần tử của N được
giữ bất biến bởi mọi tự đẳng cấu thuộc H. Khi cho trường con F, nhóm con tương
ứng H = H(F) gồm tất cả các tự đẳng cấu trong G giữ cố định mỗi phần tử của
F và H(F) là nhóm GaLois của N trên F có cấp là bậc [N:F]

1.3.8. Định lý. Một trường trung gian F, K  F  N là một trường
chuẩn tắc trên K nếu và chỉ nếu nhóm tương ứng H(F) là nhóm con chuẩn tắc
cuả nhóm GaLois G của N. Nếu F là chuẩn tắc thì nhóm GaLois của F trên K
đẳng cấu với nhóm thương G/H(F)
1.3.9. Mệnh đề. G(L/K) là một nhóm hữu hạn và G(L/K)= [L:K]


11

1.3.10. Định nghĩa. Một nhóm G được gọi là giải được nếu tồn tại một
dây chuyền giảm những nhóm con
G = G0  G1  G2  …… Gs = 1
Sao cho Gi là ước chuẩn của Gi-1 và các nhóm thương Gi-1/Gi với i = 1, 2,
3,…., s là Aben
1.3.11. Định lý. Mỗi nhóm con của nhóm giải được là giải được
1.3.12. Định lý. ảnh đồng cấu của một nhóm giải được là giải được
1.3.13. định lý. Mỗi nhóm có cấp là luỹ thừa của một số nguyên tố đều
là giải được
1.3.14.Định nghĩa. Nhóm G được gọi là p – nhóm nếu cấp của G bằng
luỹ thừa của p, với p nguyên tố .
1.4. Mở rộng xiclic:
1.4.1. Định nghĩa. Một mở rộng hữu hạn L/K được gọi là mở rộng
xiclic nếu nó là mở rộng GaLois và nhóm GaLois G(L/K) của nó là nhóm
xiclic.
1.4.2. Định nghĩa. Cho K là một trường vàK là bao đóng của K, Các
nghiệm của đa thức x n –1 trong K được gọi là các căn đơn vị bậc n
Gọi En là tập hợp các căn đơn vị bậc n trong K. Ta thấy En là một nhóm
xiclic với phép nhân. Các phần tử sinh của nhóm En được gọi là các căn
nguyên thuỷ bậc n của đơn vị. Nếu  là một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn
vị thì các căn nguyên thuỷ bậc n khác là  m với (m, n) = 1

1.4.3.Định lý. Cho L là một mở rộng hữu hạn bậc n trên K . Nếu K
chứa tất cả các căn đơn vị bậc n thì các điều kiện sau là tương đương :
i/ L = K() với  n K ,  là nghiệm của đa thức x n –1
ii/ L/K là một mở rộng GaLois với G(L/K) là một nhóm xiclic
1.5. Trường định chuẩn:


12

1.5.1. Định nghĩa. Trường K cùng với ánh xạ: K  R được gọi là
trường định chuẩn (mêtric) , nếu các điều kiện sau được thoả mãn :
i/ (a)  0 ,  (a) = 0  a = 0
ii/ (a+b)  (a) + (b)
iii/  (a.b) = (a).(b)
với mọi a, b K
* Khi đó  được gọi là chuẩn ( mêtric) của trường K.
* Nếu thay bất đẳng thức (ii) bởi bất đẳng thức mạnh hơn là
iv/ (a+b)  max ( (a),  (b)) thì trường định chuẩn (K, ) được gọi
là trường định chuẩn không Acsimet và khi đó  được gọi là chuẩn (mêtric)
khơng Acsimet.
Ví dụ: 1/ Mỗi trường K ln có một chuẩn tầm thường là (0) = 0,

 () =1 , với   0  K
2/ Các trường Q, C là những trường định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối
 (x)  x =

X

nếu x > 0

-X nếu x < 0

1.5.2. Định nghĩa . Giả sử K là một trường định chuẩn
* Dãy {an}, n  N , các phần tử của trường K được gọi là cơ bản đối với
chuẩn , nếu với  > 0 bé tuỳ ý cho trước, tồn tại n0  N :  (an- am) <  với
mọi m, n > n0
* Dãy {an}, n  N, các phần tử của trường K được gọi là hội tụ về phần tử
a K , nếu với  >0 bé tuỳ ý cho trước, tồn tại n0 N sao cho (an – a ) < 
với mọi n > n0
Khi đó ta ký hiệu :
lim an  a

n 


13

1.6.Sự tương đương giữa các chuẩn
1.6.1. Định nghĩa . Hai chuẩn  và  trên cùng một trường K được gọi
là tương đương với nhau nếu chúng xác định trên K cùng một tính hội tụ,
nghĩa là (xn - x)  0 khi và chỉ khi (xn - x)  0 (trên trường số thực.)
1.6.2. Định lý. Giả sử  và  là hai chuẩn trên trường K. Khi đó  và

 là tương đương với nhau nếu và chỉ nếu:
x K : (x) < 1  (x) < 1
Chứng minh. Giả sử    trên K
nếu (x) <1 khi đó dãy số thực (x)n 0 trong R khi n  suy ra

(xn) 0 trong R khi n  tức là xn 0 theo chuẩn  trên trường K . mà
   trên K nên ta có xn 0 theo chuẩn  trong K, từ đó ta có : (xn)0

trong R, suy ra (xn) 0 trong R hay (x) <1.
*/ Giả sử  và  là hai chuẩn thoả mãn :
x  K : ((x) <1  (x) <1 )
Ta sẽ chứng minh rằng  (x) = (x) x  K, và  là số thực dương nào
đó.
Trước hết ta có: Nếu 0 <  (a) <  (b) 

 (a)
a
a
 1  ( )  1   ( )  1
 (b)
b
b

 0 <  (a) <  (b). Giả sử p là một phần tử tuỳ ý cố định của K sao
cho (p) > 1

(p-1) =

(phần tử p như

vậy

là tồn tại, vì nếu ngược lại thì

1
 1 , với K có nhiều hơn hai phần tử ).
 ( p)

Theo nhận xét trên ta suy ra (p) > 1
Đặt (a) = (p) và (a) = (p)’ ta sẽ chứng minh  = ’
Giả sử n và k là các số nguyên sao cho

n
 , k > 0
k


14

Khi đó (p)

n/k

<  (p) = (a) (Do (p) > 1) hay (p)n < (a)k 

(pn) < (ak), lại theo nhận xét trên ta suy ra (p)n < (a)k. Từ đó suy ra
(p)n/k < (a) = (p) nên
phân số

n
  là
k

n
  ' , ( do
k

(p) > 1 ). Vì cận trên đúng của các

 cho nên   ’.

Do tính bình đẳng của  và ’ nên ta suy ra  = ’.
Chọn  

ln ( p)
ln  ( p)

Từ đó ta có

thì  là một số thực dương không phụ thuộc vào a

ln (a) = ’ln (p) =  ln (p) = ..ln (p) = .ln (p)

= .ln (a) = ln (a)
Do đó (a) = (a) a  K,  

ln ( p)
. suy ra
ln  ( p)

 =  hay  


1.7. Trường đầy đủ :
1.7.1. Định nghĩa . Trường K được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản
của K, đều hội tụ trong K
1.7.2 Định lý. Đối với mỗi trường mêtric hoá K , tồn tại một trường
mêtric hoá đầy đủ K chứa K với tư cách trường con đầy đủ hầu khắp nơi ,

trường K đó gọi là mở rộng đầy đủ của K , xác định một cách duy nhất
chính xác đến một phép đẳng cấu tôpô, giữ nguyên các phần tử của trường K
1.8. Chuẩn p:
1.8.1. Định nghĩa. Cho p = 2, 3, 5, ….. là một số nguyên tố cố định,
với  Q ,   0 ta viết được một cách duy nhất dưới dạng  
b, Z a, b, không chia hết cho p và n Z.
Ta định nghĩa

a n
p , với a,
b


15

p () = p =

0

nếu  = 0

P –n Nếu   0

Ta sẽ chứng minh  p. là chuẩn không Acsimet trên Q.
+/ p()  max (p(), p())
Ta viết  

a n
c
p ,   p m với a, b, c, d  Z và không chia hết cho p,

b
d

m, n Z, n  m
Ta có

 + =

a n c m adp n  m  bc m
p  p 
p
b
d
bd

Khi đó ta có p(+) = p-k , (k m)
 p-m = max (p-n,p-m) với n  m
= max (p(), p())
Suy ra

p(+)  max (p(), p())

+/ p(.) = p(

a n c m
ac
-(n+m)
= p-n.p-m = p().p()
p . p ) =  p ( pnm )  p
bd

b
d

Vậy p(.) = p().p()
Chuẩn p được xác định như trên được gọi là chuẩn p – adic trên Q
1.8.2. Định nghĩa. Mở rộng đầy đủ của trường số hữu tỷ Q theo chuẩn

p được gọi là trường số p – adic, ký hiệu Rp
1.8.3. Mệnh đề. Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì các chuẩn

p

– adic và q- adic khơng tương đương với nhau trên Q
Chứng minh. Xét dãy {xn} = {pn} . Theo chuẩn p – adic :

p(xn) =

1
 0, (n  ) tức là {xn} hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn trên Q
pn

Trong khi đó theo chuẩn q – adic thì: p(xn) = q(pn.q0) = 1(Vì (p,q) = 1)


16

Do đó {xn} khơng hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn q – adic
Vậy p và q không tương đương với nhau trên Q.
Hệ quả. Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì các trường Rp và Rq
không đẳng cấu tôpô với nhau

Chứng minh. Giả sử trường Rp và Rq có các chuẩn tương ứng là p và

q , theo mệnh đề trên thì p và q không tương đương với nhau trên Q vậy
Rp và Rq không đẳng cấu tôpô với nhau
1.8.4. Mệnh đề. Cho 0 < p < 1, xét hàm :

 (x) =

P

ordp x

nếu x 

0
0 nếu x = 0

Trong đó x Q và ordpx = m với x 

a m
p , a,b Z, không chia hết cho p ; m Z
b

Khi đó: i/  là chuẩn khơng Acsimet trên Q
ii/  tương đương với p trên Q.
Chứng minh . Ta chứng minh  là chuẩn không Acsimet trên Q.
Với mọi x, y Q , giả sử

x

a n
c
p , y  p m với a, b, c, d Z và không
b
d

chia hết cho p, m, n Z , n  m
Ta có : x + y 

adp n  m  bc m
p . Do đó ta có
bd

( x + y) = pk ; ( k  m )
 pm (do 0 < p < 1 )


17

= max (pm,pn)
= max ((x),(y))
Từ đó suy ra (x + y)  max ((x),(y)).

 (x.y) = (

a n c m
ac
(n+m)
= pn.pm = (x).(y)
p . p ) =  p ( pnm )  p

bd
b
d

 (x.y) = (x).(y)
Vậy  là chuẩn không Acsimet trên Q
Ta chứng minh tương đương với nhau trên Q
Thật vậy
x Q, x 

a m
p ; a, b,  Z, m  Z, ta có
b

(x) < 1  pm < 1  m > 0

 p-m < 1  p(x) < 1 . Tức là ta có x Q: ( (x) < 1  p(x) < 1 ).
Do đó từ định lý (1.6.2 ) ta suy ra   p trên Q.
1.8.5. Định lý . Điều kiện cần và đủ để dãy {an} hội tụ trong trường
p – adic Rp là số hạng tổng quát của nó tiến đến 0 nghĩa là (an)  0
Ví dụ: i/ dãy 1 + p + p2 +…+pn + …; trong trường p- adic Rp là dãy hội
tụ vì (pn) = pn  0 ( nghĩa là số hạng tổng quát tiến đến 0 )
ta có Sn = 1 + p + p2 + …+ pn +… =
Do đó tổng đã cho bằng

1
p n 1

,
1 p 1 p

suy ra limSn =

1
1 p

1
1 p

ii/ Trong trường 5 – adic dãy 3 + 2.5 + 3.52 + 2.33 + 3.54 +… là hội tụ
vì số hạng tổng quát tiến đến 0.
Ta tính tổng của nó. Gọi tổng đó là S ta có S = 3 + 2.5 + 5 2.S, từ đó S =


13
24

1.8.6. Định lý . Mỗi số p – adic  khác 0 , được viết một cách duy nhất
dưới dạng


18



  p m ( ai p i ) (1)

với m là số nguyên, ai là các số nguyên thoả mãn

i 0

điều kiện:
1  a0 p – 1 ;.0  an  p – 1 ; n 1
1.9. Số mũ p – adic :
1.9.1. Định nghĩa. Nếu   0 , có p()= pm thì số m được xác định
duy nhất gọi là số mũ p-adĩc của  và được ký hiệu m = vp(). Quy ước
vp(0) = .
Ví dụ : Ta tìm biểu diễn dạng (1) của 

5
trong trường 3 – adic :
8

Ta có -5  8a0(mod 3), có nghiệm a0 = 2, vậy 

5
7
= 2 + 3.(  )
8
8

Phương trình đồng dư -7  8a1(mod 3) có nghiệm a1= 1, do đó


5
5
= 2 + 3.1, tiếp tục ta có  = 2 + 1.3 +2.32 2.34 + …., vậy số mũ
8
8

3 – adic của 

5
bằng 0.
8

1.9.2. Định nghiã. Số p –adic  được gọi là số nguyên, nếu số mũ của
nó vp()  0
Mỗi số nguyên p – adic được biểu diễn duy nhất một cách dưới dạng :
c0 + c1p + c2p2 + ….., trong đó 0  cn  p-1 (2)
1.9.3. Mệnh đề . Tập tất cả các số nguyên p – adic lập thành một vành.
Ta ký hiệu vành đó là 0p
0p được gọi là vành các phần tử nguyên của trường các số p – adic hoàn
toàn tương tự như định nghĩa đơn vị của một vành, ta có thể định nghĩa đơn vị
của vành 0p
1.9.4. Định lý. Điều kiện cần và đủ để số p – adic  với


19

 = c0 + c1p + c2p2 + ….., trong đó 0  cn  p-1 , là đơn vị của vành 0p ,
là “số hạng tự do” c0 khác 0.
Theo định lý (1.8.6) mỗi số p – adic    được viết một cách duy nhất
dưới dạng:

 = pm. , m = v(),  là một đơn vị của trường Rp, được phân tích
thành tích trực tiếp của nhóm xiclic vơ hạn sinh bởi số ngun tố p :

và
nhóm đơn vị p – adic E
R*p =

x E

(3)

1.9.5. Định lý . Giả sử f(t) là đa thức với hệ số nguyên p – adic. Khi đó với
c 0p, sao cho f(c)  0(mod p) và f’(c)  0 (mod p), tồn tại số nguyên
p – adic  sao cho :
f() = 0 ,   c (mod p)
Chứng minh . Bằng phép quy nạp theo n, ta dựng dãy các số nguyên
p – adic {xn} sao cho
xn  c (mod p), xn  xn-1(mod pn-1), f(xn)  0(mod pn) (*)
Thật vậy, n = 1 ta đặt x1 = c, giả sử đã dựng được x1, x2, ….,xn thoả
mãn yêu cầu đã nêu. Ta dựng xn+1 = xn + pn. y, y  0p khi đó xn+1 thoả mãn
các yêu cầu của (*)
Phân tích đa thức f(t) theo luỹ thừa của (t – xn) , (khai triển Taylo) ta có :
f(t) = 0 + 1(t – xn) + 2(t – xn)2 + ….
Theo giả thiết 0 = f(xn) = pn.  0p , ta có :
f(xn + pny) = pn( + y) + 2p2n.y2 + ….
Vì 1 = f’(xn)  f’ (c)  0(mod p) nên phương trình đồng dư  + 1y  0 (mod p),
đối với y, có nghiệm .
Chú ý : k.n  n + 1 khi k  2 , n  1 nên đối với xn+1 = xn + pny ta có
đồng dư thức : f(xn+1)  0 (mod pn+1) suy ra dãy {xn} hội tụ .


20

Đặt

lim xn   ,
n 

ta có   c (mod pn+1). Do tính liên tục của hàm đa

thức ta có lim f ( xn )  f ( ) , mặt khác, từ đồng dư thức f(xn)  0 (mod pn) ,
n 

ta suy ra lim f ( xn )  0 , do đó f() = 0.
n 

1.9.6. Định lý. Trong trường các số p – adic, đa thức tp-1 – 1 phân tích
được một cách hồn tồn thành các nhân tử tuyến tính, các nghiệm của đa
thức này, cùng với 0 lập thành một hệ thặng dư đầy đủ theo mơđun p ( trong
vành 0p).
Nói cách khác, tất cả các nghiệm của đa thức là các căn bậc p – 1,
p – adic của 1.
Chứng minh. Trong vành 0p, với tư cách một hệ thặng dư đầy đủ theo
mođun p ta có thể lấy các số: 0, 1, ….., p-1. Giả sử c là một trong các số: 1, 2,
…., p-1 Khi đó, theo định lý Fermat, ta có cp – 1  1 (mod p),
Vì p – 1)cp – 1  0 (mod p) nên theo định lý (1.8.5) trong vành 0p tồn tại

 sao cho: p - 1 = 1 và   c (mod p) . Như vậy, ta có p – 1 nghiệm khác
nhau của đa thức tp – 1 – 1.
Nghĩa là đa thức đó phân tích được hồn tồn thành các nhân tử tuyến tính.
Hệ thặng dư đầy đủ (trong vành 0p ) theo mođun p đó gồm 0 và các căn
bậc p – 1 của 1, có tính chất, tích của hai thặng dư bất kỳ lại là một thặng dư
của hệ đó .
Rõ ràng, tập tất cả các căn bậc p – 1 của 1, lập thành một nhóm nhân. Ta
ký hiệu nhóm đó là G .
Đơn vị  thoả mãn đồng dư thức   1(mod p) ta gọi là đơn vị chính .
Rõ ràng  có sự phân tích :  = 1 + c1p + c2p2 + ….. , 0  cn  p – 1 , n  1
và tập tất cả các đơn vị đó lập thành một nhóm đối với phép nhân, ta ký hiệu
nhóm đó là E1.

21

E1 được gọi là nhóm các đơn vị chính
Giả sử  là một đơn vị p – adic tuỳ ý. Vì   0(mod p) nên    (mod p)
với  là một căn bậc p –1 nào đó của 1 .
Đặt  = .-1 khi đó   1 (mod p), nghĩa là   E1. đối với  ta có sự
phân tích duy nhất  = . ,   G ,   E1.
Như vậy nhóm E tất cả các đơn vị p – adic được phân tích thành tích
trực tiếp của G và E1. Thay vào sự phân tích của R*p ta có : R*p =

xG xE1
.
Gọi Ek là tập tất cả các đơn vị chính , mà   1 (mod p k ), rõ ràng Ek là
nhóm con của E1. Với mỗi đơn vị của Ek ta có sự biểu diễn :
1 + ckpk + ck+1pk+1 + …..,

0  cn  p – 1 , n  k .

1.10. Mở rộng hữu hạn của trường các số p – adic:
1.10.1. Đa thức nguyên thuỷ :
Đa thức với các hệ số p – adic nguyên được gọi là nguyên thuỷ nếu ít
nhất một trong các hệ số của nó là đơn vị p – adic .
Rõ ràng, tích của hai đa thức nguyên thuỷ là một đa thức nguyên thuỷ, từ
đó suy ra rằng định lý Gauss về đa thức vẫn đúng trong trường Rp: Nếu đa
thức với hệ số nguyên p – adic khả quy trong Rp , thì nó được phân tích thành
các nhân tử khơng tầm thường với các hệ số nguyên p – adic. Hơn nữa tiêu
chuẩn Eisenstein về đa thức bất khả quy vẫn đúng .
Nếu đa thức : f(t) = tn + a1tn-1 + ….+ an , có các hệ số nguyên p – adic,
và tất cả các hệ số a1, …….., an , đều chia hết cho p, hệ số tự do không chia
hết cho p2 thì đa thức f(t) bất khả quy trong trường các số p – adic Rp .

Chẳng hạn, đa thức tn – p bất khả quy trong Rp. Điều đó chứng tỏ trong
Rp thực sự có đa thức bất khả quy và do đó, trên Rp tồn tại các mở rộng hữu
hạn bậc tuỳ ý .


22

Giả sử K là một mở rộng hữu hạn của trường Rp , khi đó chuẩn p của
trường Rp , được kéo một cách duy nhất đến chuẩn p của trường K, với
chuẩn này trường K là đầy đủ, và ta có thể chỉ ra tính hội tụ của trường K :
Nếu 1, 2, …., n là một cơ sở nào đó của trường K trên Rp và

n = a1(n) 1 + ……+ am(n) m ,

(ai(n)  Rp ).

Thì dãy {n } hội tụ trong K khi và chỉ khi tất cả các dãy {ai(n)} , i = 1, …., m
hội tụ trong Rp.
1.11. Vành các phần tử nguyên của trường K:
Giả sử K là mở rộng hữu hạn của trường Rp. khi đó ta cũng có nói về bao
đóng nguyên 0 = 0k của vành 0p trong trường K . 0 là vành tạo thành từ tất cả
các phần tử mà đa thức cực tiểu của nó (đối với Rp) có các hệ số nguyên p – adic
Các phần tử của vành 0 được gọi là phần tử nguyên của trường K . Ta biết
rằng , điều kiện cần và đủ để phần tử  K nguyên là: N K / Q ( ) là số nguyên
p

p– adic.
Phần tử   K là đơn vị của trường K ( nghĩa là đơn vị của vành 0 ) khi
và chỉ khi chuẩn N K / Q ( ) là đơn vị p – adic.
p

Ta ký hiệu nhóm đơn vị của trường K là: U = Uk. Khi đó đối với 0 tồn tại
một cơ sở đối với vành 0p , nghĩa là trong trường K tồn tại cơ sở 1, 2, …., n
đối với Rp sao cho :
Thứ nhất : 1 thuộc 0,
Thứ hai: Mỗi phần tử  của 0 được biểu diễn một cách duy nhất dưới
dạng:

 = a11 + ……+ an n , với ai là các số nguyên p – adic
Số học của vành 0 tương tự số học của vành 0p. Trong 0 ta chọn phần tử

 sao cho : N K / Q () = pf.u (1).
p


23

Với u là đơn vị p – adic, f là số mũ dương bé nhất có thể có. Phần tử 
như vậy được xác định một cách duy nhất sai khác một đơn vị của trường K.

 được gọi là phần tử nguyên tố của trường K.
Với  xác định, mọi phần tử   0 của trường K được biểu diễn một
cách duy nhất dưới dạng :

 =  m ,   U

(2) nếu   0 thì m  0

Đối với số nguyên tố p, sự phân tích (2) có dạng :
p =  e.1 , 1 U .

(3) .

1.11.1. Định nghĩa. Số mũ f được xác định trong đẳng thức (1) gọi là
bậc quán tính của trường K.
1.11.2. Định nghĩa. Số mũ e trong đẳng thức (3) không phụ thuộc vào
việc chọn phần tử, số mũ e đó được gọi là chỉ số phân nhánh của trường K.
1.12. Mở rộng phân nhánh và mở rộng không phân nhánh :
1.12.1. Mệnh đề. Nếu [K : Rp] = n thì n = e.f
Chứng minh . Tác động tốn tử N K / Q vào đẳng thức (3) ta có :
p

N K / Q p ( p) =

N K / Q p (e1 )

Thay đẳng thức (1) vào ta có : N K / Q ( p) = pefue. N K / Q (1 )
p

p

Mặt khác ta có N K / Q ( p) = pn . từ đó ta có n = e.f
p

1.12.2. Định nghĩa. Cho K là một mở rộng hữu hạn bậc n trên Rp với
chỉ số phân nhánh e, khi đó :
i/ Nếu e = 1 thì trường K được gọi là mở rộng khơng phân nhánh
ii/ Nếu e = n thì trường K được gọi là mở rộng hoàn toàn phân nhánh .

24

CHƯƠNG2 NHÓM GALOIS CỦA CÁC MỞ RỘNG CHUẨN
CỦA TRƯỜNG P – ADIC (CÒN GỌI LÀ TRƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG)
2.1. Trường các lớp thặng dư :
2.1.1. Định nghĩa . Cho K là một mở rộng hữu hạn trên Rp. Các lớp
thặng dư theo môđun  lập thành một trường, gọi là trường các thặng dư của
mở rộng K . Ta ký hiệu trường đó là  (hay k ).
Trường  chứa pf phần tử , với f là bậc quán tính của mở rộng K. Trong
trường hợp K trùng với Rp thì trường thặng dư có p phần tử .
Cũng như trong vành 0p , ta có thể xây dựng khái niệm hệ thặng dư đầy
đủ theo môđun  trong vành 0
Với tư cách hệ thặng dư đầy đủ theo môđun  k ta có thể lấy các phần
tử có dạng :
c0 + c1 + …. +ck-1k-1 , với ci ( 0  i  k – 1 ) , độc lập chạy qua một
hệ thặng dư đầy đủ S nào đó theo môđun  , thông thường trong lớp các
thặng dư chia hết cho  , người ta chọn thặng dư 0 .


25

2.1.2 . Mệnh đề . Mọi phần tử  khác 0 của trường K được biểu diễn một
cách duy nhất dưới dạng :

 = m (c0 + c1 + …. +cnn + …..) , cn S, là hệ thặng dư đầy đủ
theo mô đun  , m = v() , c0  0.
Đối với phần tử  0, ta có biểu diễn :

 = a0 + a1 + …. +ann + ….., an S , đồng thời  là đơn vị khi
và chỉ khi a0  0

Trong trường hữu hạn có pf phần tử thì với mọi   0 ta có đẳng thức
p

f

1

 1. Do đó, với mọi đơn vị

p

f

1

 1(mod p) .

 của trường K ta có đồng dư thức

2.1.3 . Định lý. Trong mở rộng hữu hạn trường K của trường Rp , bậc quán
tính f, đa thức

tp

f

1

 1 được phân tích một cách hồn tồn thành các nhân

tử bậc nhất. Các nghiệm của đa thức đó lập thành nhóm G cấp pf – 1 và cùng
với 0 lập thành một hệ thặng dư đầy đủ trong vành 0 theo mơđun .
Chứng minh. Hồn tồn tương tự như chứng minh định lý (1.8.6)
Đơn vị  của trường K, thoả mãn đồng dư thức   1 (mod ), ta cũng
gọi là “Đơn vị chính” của trường K
Tập U1 tạo thành từ tất cả các đơn vị chính, rõ ràng lập thành nhóm con của U.
Với   0 thuộc trường K ta có sự biểu diễn  =  m1,   U, tiếp theo với

  U tồn tại một căn 0 bậc pf – 1 của 1, 0 G sao cho   1 (mod ), do đó:
 = 0.1 , 1 U1. Từ đó suy ra  = m1.
Như vậy ta có sự phân tích trực tiếp nhóm K* của trường K : K* = <>x G x U1.
2.2. Trường quán tính:
Giả sử K, k là các mở rộng hữu hạn của trường các số p – adic Rp , Ta ký
hiệu f0 là bậc quán tính tuyệt đối của trường k và f là bậc quán tính của mở
rộng K/k.