Chuyên đề quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC.
BÀI 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
+ Áp dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để so sánh độ
dài các cạnh, số đo góc của tam giác đó.
 Kĩ năng
+

Biết vận dụng các định lí để giải quyết bài tốn.

+

Vận dụng vẽ hình theo đúng u cầu bài tốn, nhận biết được các tính chất qua hình vẽ.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác

Ví dụ:

- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn
hơn là góc lớn hơn.
- Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn
hơn là cạnh lớn hơn.

 C

 nên AB  AC.
B

Bạn nữ đi xa hơn bạn nam.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: So sánh hai góc trong một tam giác
Phương pháp giải
- Để so sánh hai góc trong một tam giác, ta so sánh Ví dụ: Cho tam giác ABC có
hai cạnh đối diện với hai góc đó.
- Sử dụng định lí: “Trong một tam giác, góc có

AB  8cm,

 và ACB
.
AC  10cm. So sánh ABC
Hướng dẫn giải

cạnh đối diện lớn hơn thì lớn hơn”.

Xét ABC có

AB  8cm, AC  10cm
 C
.
 AC  AB  B
Trang 2


Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vng tại A, AB  3cm, BC  5cm. Hãy so sánh góc B và góc C.
Hướng dẫn giải
Vì ABC vng tại A, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có
BC 2  AB 2  AC 2  AC 2  BC 2  AB 2

 AC 2  25  9  16  AC  4cm  AC  AB.
 C
.
Do đó B
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, đường cao AH, biết BH  5cm, CH  7cm. Hãy so sánh hai góc B và C.
Hướng dẫn giải

Vì HAB vuông tại H và HAC vuông tại H nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta có
AB 2  BH 2  AH 2  25  AH 2 
 AC 2  AB 2  AC  AB.
2
2
2
2
AC  CH  AH  49  AH 

 C
.
Xét ABC có AC  AB nên B
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D, biết BD  2 DC. Chứng minh rằng

 C
.
B
Hướng dẫn giải

Kẻ DE  AB; DF  AC  E  AB, F  AC  .

 F
  90, AD chung,
Xét ADE và ADF có E
  FAD
 (do AD là tia phân giác).
EAD
Do đó ADE  ADF (cạnh huyền – góc nhọn)
 AE  AF

 DE  DF

 hai cạnh tương ứng  .

  90, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có
Xét EBD có E

Trang 3


BE 2  BD 2  ED 2   2 DC   DF 2  4 DC 2  DF 2 . 1
2

  90, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có
Xét FDC có F
DC 2  DF 2  CF 2  CF 2  DC 2  DF 2 .  2 

Từ 1 và  2  suy ra BE  CF.

 AB  BE  AE
Mặt khác 
và AE  AF nên AB  AC.
 AC  AF  FC
 C
 (điều phải chứng minh).
Do đó B
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB  23cm, AC  25cm và BC  30cm. So sánh các góc của tam giác
ABC.
Câu 2: Cho tam giác ABC cân ở A có chu vi bằng 20cm, cạnh đáy BC  6cm. So sánh các góc của tam
giác ABC.
Câu 3: Cho tam giác ABC có AB  6cm, AC  8cm, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng
  ADC
.
minh rằng ADB
Câu 4: Cho tam giác ABC, biết AB  6cm, BC  7cm và diện tích tam giác là 21cm 2 . Hãy so sánh các
góc của tam giác.
Câu 5: Cho tam giác ABC, có AH  BC  H  BC  và AB  HC. Hãy so sánh độ lớn của góc B và góc
C trong tam giác ABC.

  MAC
 . Hãy so sánh góc ABC
 và ACB
.
Câu 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, BAM
Câu 7: Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D, biết BD  3cm, DC  5cm. Hãy
so sánh độ lớn góc B và góc C của tam giác ABC.

Trang 4

Dạng 2: So sánh hai cạnh trong một tam giác
Phương pháp giải

, B
 C
  80. Hãy
- Để so sánh hai cạnh trong một tam giác, ta so Ví dụ: Cho tam giác ABC có 
A  2B
sánh hai góc đối diện với hai cạnh đó.
so sánh các cạnh của tam giác ABC.
- Sử dụng định lí: “Trong một tam giác, cạnh
Hướng dẫn giải
đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn”.

 C
  180.
Xét ABC ta có 
AB

 C
  80 (giả thiết)
Mặt khác B





  180  B

 C
  180  80  100.
A

  A  100  50.
  2B
 nên B
Mà A
2
2
  80  B
  80  50  30
C

 C
  BC  AC  AB.

AB
Ví dụ mẫu

 C
  120, 
  40.
Ví dụ 1. Cho ABC , biết A
A C
a) So sánh các cạnh của ABC
b) Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh độ dài các đoạn BD và CD.
Hướng dẫn giải

  120  

 
AC
 A  80
a) Từ giả thiết, ta có 

.
  40
  40
AC
 
C

 C
  180
Mặt khác 
AB
  180  
  180  80  40  60  
 C
.
B
AC
AB

Do đó BC  AC  AB.
b) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE  AB.

  DAE
 (vì AD
Xét ABD và AED có AB  AE , BAD

là tia phân giác của góc A), AD chung.

  ABD
  60 (hai
Do đó ABD  AED (c.g.c)  AED
Trang 5


góc tương ứng); BD  DE (hai cạnh tương ứng).
  AED
  180 (hai góc kề bù)
Ta có DEC

  180  AED
  180  60  120  DEC
  ECD
.
 DEC
  ECD
 nên DC  DE .
Xét DEC có DEC

Mà BD  DE. Do đó DC  BD.
 :C
  2 : 3 : 4. So sánh các cạnh của tam giác.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, biết 
A:B

Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có

  
:B
 :C
  2:3: 4  A  B  C .
A
2 3 4
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có


 C
 A
B
 C
 180
A B
  

 20.
2 3 4
2 3 4
9

  60; C
  80.
A  40; B

 C
 nên BC  AC  AB.
Vậy 

AB
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB
lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao
cho BM  CN . Từ C kẻ tia Cx // MN , từ M kẻ tia
My // CN . Hai tia Cx và My cắt nhau tại D. So

sánh BC và CD.
Hướng dẫn giải
Xét MDC và CNM có
MC chung,

  MCN
 (hai góc so le trong do MD // CN ),
DMC
  CMN
 (hai góc so le trong do CD // MN ).
DCM
Do đó MDC  CNM (g.c.g)
  CNM
 (hai góc tương ứng)
 MDC

DM  CN (hai cạnh tương ứng).

Mà CN  BM nên DM  BM .

  CNM
  CMN
 (góc ngồi tại đỉnh C
Ta có ACM

của CMN )


 ACB
ACM  CNM

  ABC
 (do ABC cân tại A) nên
Mà ACB
Trang 6



  MDC
.
ABC  CNM
Xét MBD có BM  DM  MBD cân tại M

  MDB

 MBD
  MBD
  MDC
  MDB

 ABC
  BDC
  DC  BC .
hay DBC

Bài tập tự luyện dạng 2

B
  120, 3B
  2A
  10. Hãy so sánh độ dài các cạnh trong tam giác
Câu 1: Cho tam giác ABC, biết A
ABC.
 :B
 :C
  1: 3 : 5. Hãy so sánh độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 2: Cho tam giác ABC, biết A

  CAH
 . Hãy so
Câu 3: Cho tam giác ABC, H là chân đường cao hạ từ đỉnh A, H nằm giữa B và C, BAH
sánh độ dài các cạnh AB và AC của tam giác ABC.
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa A và C. So sánh độ dài BM và BC.

 C
 hai đường cao BD và CE. Chứng minh rằng AC  AB  CE  BD.
Câu 5: Cho tam giác ABC, B
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. So sánh hai góc trong một tam giác

Câu 1.
Xét ABC , có AB  23cm, AC  25cm, BC  30cm

B
A

.
 AB  AC  BC  C

Câu 2.
Vì ABC cân ở A, nên AB  AC.
Theo đề bài, ta có AB  AC  BC  20cm  2 AB  BC  20  cm  .

 C
A
.
Mặt khác BC  6cm nên AB  AC  7  cm   AB  AC  BC  B
Câu 3.

Trang 7


Trên AC lấy E sao cho AE  AB  6cm.
Vì AC  8cm  AE nên E nằm giữa A và C.
Xét ABD và AED có

 (vì AD là phân giác 
AB  AE , 
BAD  DAE
A ), AD
chung.


Do đó ABD  AED (c.g.c)  ADB
ADE (hai
góc tương ứng).

Mặt

khác

E

nằm

giữa

A

và

C

nên



ADC
ADE  EDC
  ADC
 (điều phải chứng minh).
 ADB

Câu 4.
Kẻ đường cao CH  H  BC  .
Ta có SABC 

1
1
21 2
AB.CH  .6.CH  21 cm 2  CH 
 7  cm   CH  CB  H  B
2
2
6






.
 ABC vuông tại B  AC là cạnh huyền  AC  BC  AB  B
A C

Câu 5.
Xét HAC vuông tại H nên AC là cạnh huyền
 AC  HC.
 C
.
Mà HC  AB nên AC  AB  B

Câu 6.
Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD  MA.
Xét MAC và MDB có

  AMC

 (hai
MB  MC (do M là trung điểm của BC), BMD
góc đối đỉnh), MA  MD.
Do đó MAC  MDB (c.g.c)

  ACM
, 
 và BD  AC.
 MBD
BDM  MAC
Xét ABD có
  MAC
  BDM
  AB  BD  AB  AC  ABC
  ACB
.
BAM

Câu 7.
Trang 8


Từ D hạ DP  AB tại P, DQ  AC tại Q.
Xét APD và AQD có

  AQD
  90; AD chung; PAD
  QAD
 (do AD là
APD

phân giác của góc A).
Do đó APD  AQD (cạnh huyền – góc nhọn)

 PD  QD (hai cạnh tương ứng).
Gọi h là độ dài đường cao hạ từ A xuống BC

 SABD 
SADC 

1
1
1
PD. AB  BD.h  .3.h;
2
2
2

1
1
1
DQ. AC  CD.h  .5.h
2
2
2

 PD. AB  3h; PD.AC  5h
  ABC
.
 AB  AC  ACB
Dạng 2. So sánh hai cạnh trong một tam giác

Câu 1.

  120
 
AB
Theo giả thiết, ta có 
  2
A  10
3B



 



B
  3B
  2
  250  B
  50  
2 A
A  2.120  10  5B
A  120  50  70.

B
 C
  180  C
  180  
  180  70  50  60  

B
  BC  AB  AC.
Ta có A
AB
AC
Câu 2.

 B
 C

A
  
Theo giả thiết ta có  1 3 5
.
  
 A  B  C  180
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

 B
 C
 A
B
 C
 180
A
  

 20.
1 3 5
1 3  5

9

  60; C
  100  C
B
A
  AB  AC  BC.

A  20; B
Câu 3.

Trang 9


  90  BAH
;
Vì HAB vng tại H, nên HBA
  90  CAH
.
HAC vuông tại H, nên HCA

  CAH
 (giả thiết) nên HBA
  HCA
 hay
Mà BAH
 C
  AC  AB.
B
Vậy AC  AB.

Câu 4.
Xét MBC có

  MAB
  ABM
 (tính chất góc ngồi của tam giác)
CMB
  90
 90  ABM
 là góc tù
 BMC có CMB
  BCM
  BC  BM .
 CMB

Câu 5.

 C
  AC  AB.
Vì B
Trên AC lấy F sao cho AF = AB, từ F kẻ FG  AB
tại G; kẻ FH  CE tại H.
CE  AB
  FEH
 (hai
Ta có 
 GF // CE  GFE
GF  AB

góc so le trong).
Xét AGF và ADB có


 chung, AB  AF.
AGF  
ADB  90; A
Do đó AGF  ADB (cạnh huyền – góc nhọn)
 GF  BD. (hai cạnh tương ứng)

  FHE
  90, EF
Xét GFE và HEF có FGE
  FEH
.
chung, GFE
Do đó GFE  HEF (cạnh huyền – góc nhọn)
 GF  EH . (hai cạnh tương ứng)

Xét HFC có FC là cạnh huyền nên FC  HC
 AC  AF  EC  HE  AC  AB  CE  BD

(do

AB  AF ).

Trang 10