SKKN sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm cực trị của biểu thức

SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC

A.

ĐẶT VẤN ĐỀ:

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong nhà trường phổ thông bộ môn tốn là bộ mơn đóng vai trị quan trọng. Nó là
chìa khố cho tất cả các bộ mơn khoa học khác. Khơng những thế, trong thực tế tốn
học cịn xâm nhập vào các lĩnh vực xã hội và ngày càng phát huy vai trị của nó trong
các lĩnh vực đó.
Nhưng Tốn học là một mơn học khó và rộng, mỗi kiến thức có thể vận dụng để
giải nhiều dạng tốn khác nhau. Việc học tốn địi hỏi học sinh phải có sự tìm tịi sáng
tạo, biết khai thác, mở rộng các kiến thức vào giải các bài toán khác.
Một trong những kiến thức cơ bản của chương trình tốn lớp 9 đó là cơng thức
nghiệm của phương trình bậc hai. Với kiến thức này, hầu như học sinh mới chỉ biết sử
dụng nó để giải phương trình mà chưa biết khai thác để giải dạng tốn tìm cực trị của
biểu thức, một trong những dạng toán gây cho các em rất nhiều khó khăn nhưng lại
thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, cũng như tuyển sinh vào lớp 10. Chính vì
vậy mà tơi đã đi sâu nghiên cứu việc "Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai để tìm cực trị của biểu thức".
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm cực trị của biểu
thức.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Hướng dẫn học sinh Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm
cực trị của một số biểu thức.
IV. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU

Cung cấp cho học sinh cách "Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
bậc hai để tìm cực trị của biểu thức ". Nhờ đó cải thiện được cho học sinh giải dạng
tốn tìm cực trị của biểu thức, góp phần nâng cao chất lượng tuyển sinh lớp 10 và bồi
dưỡng học sinh giỏi tốn 9.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong q trình nghiên cứu đề tài, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
Nghiên cứu lí luận: Tơi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu tốn học, lí
luận dạy học mơn tốn, các sách giáo khoa và tài liệu hướng dẫn giảng dạy;
Điều tra thực tế;

1


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

Thực tiễn sư phạm: Qua q trình dạy học và đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng
học sinh giỏi khối 9 và ôn thi tuyển sinh lớp 10 những năm gần đây.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I. Kiến thức lý thuyết
1) Định nghĩa phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là
phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a,
b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0.
2) Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) và biệt thức

= b2 - 4ac :

Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

b

2a
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
;
Nếu < 0 thì phương trình vơ nghiệm.
Như vậy phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi

0.

3) Một số kiến thức khác cần lưu ý :
* Quy tắc nhân với một số khi giải bất phương trình: Khi nhân (chia) cả hai vế của
bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
-

Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

-

Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

* Định lí Vi-et đảo: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai
nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P

0.

II. Phương pháp chung
Dựa trên điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai = b 2 - 4ac 0. Đặt biểu thức cần

tìm GTLN, GTNN là A, chuyển về phương trình bậc hai tham số là A, lập biệt thức .
Do phương trình này có nghiệm nên 0, từ đó suy ra được miền giá trị của A

2


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

Nếu A M mà có dấu bằng xảy ra thì MaxA = M.
Nếu A m mà có dấu bằng xảy ra thì MinA = m.
Nếu m A M mà có dấu bằng xảy ra thì MaxA = M và MinA = m.
III.

Các dạng tốn:

Dạng 1: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của biểu thức A = ax2 + bx + c (a

0).

Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức A = 2x2 + 20x - 3 bằng nhiều phương pháp.
(Trích đề thi giáo viên giỏi huyện Kỳ Anh năm học 2004-2005)
a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta coi A là giá trị của biểu thức khi đó ta chuyển
sang vế trái ta được một phương trình bậc hai (2x 2 + 20x + (- 3 - A) = 0) khi đó ta có
thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ( ' = b'2 - ac 0) để tìm
GTNN ( ' = 102 - 2(-3 - A)
b)

0

...

A

-53. Suy ra AMin= -53.

Lời giải: Coi A là giá trị của biểu thức khi đó ta

có phương trình: 2x2 + 20x + (- 3 - A) = 0
Có nghiệm khi và chỉ khi '

0

102 - 2(-3 - A)

0

100+6+2A 0 2A -106 A -53
b'

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = Suy ra AMin= -53 khi và chỉ khi x = -5.

a

10

=

2

5

.

Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức: B = -3x2 + 15x - 7
Giải: Coi B là giá trị của biểu thức khi đó ta có phương trình:

-3x2 + 15x + (- 7 - B) = 0, có nghiệm khi và chỉ khi:
' 0 152 - 4.(-3)(-7 - B) 0 22584-12B 0 12B 141

47

B

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

Suy ra BMax=
Tổng qt: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của biểu thức: A = ax2 + bx + c (a

0).

Giải: Xem A là một giá trị, khi đó ta có phương trình ax2 + bx + (c - A) = 0 có
nghiệm khi và chỉ khi = b2 - 4a(c - A) 0
b2 - 4ac + 4aA 0
4aA -b2 + 4ac.
Xét hai trường hợp:
Nếu a > 0, ta có: A
Suy ra A có giá trị nhỏ nhất bằng

(= -

a

Nếu a < 0, ta có: A
Suy ra A có giá trị lớn nhất bằng
b'

a
(= - )
Nhận xét: Ở bài toán dạng 1 biểu thức cần tìm GTLN hoặc GTNN là một tam thức

bậc hai nên bất phương trình thu được từ điều kiện có nghiệm 0 là một bất phương
trình bậc nhất một ẩn nên việc giải rất đơn giản. Sau đây ta sẽ khai thác bài toán với
biểu thức hai ẩn, cũng như sử dụng kết quả bài toán dạng 1 để giải các dạng khác.
Dạng 2: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của biểu thức A = ax2 + by2 + cx + dy + exy +f.
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức: P = x2 + y2 - 3x -3y + xy (Trích
đề thi giáo viên giỏi huyện Kỳ Anh năm học 2006-2007)

4


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta coi P là giá trị của biểu thức khi đó ta chuyển
sang vế trái và nhóm theo x ta được một phương trình bậc hai với biến x, cịn y và P
xem như các tham số (x2 + (- 3 + y)x + (y 2 - 3y - P) = 0) khi đó ta có thể sử dụng điều
kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ( = b2 - 4ac 0) để tìm GTNN ( = (- 3 +
3

4

y)2 - 4.1.(y2 -3y - P ) 0
... P -3 + (y - 1)2. Suy ra PMin= -3
b)
Lời giải: Coi P là giá trị của biểu thức khi đó ta
có phương trình: x2 + y2 - 3x -3y + xy = P
x2 + y2 - 3x -3y + xy - P = 0
x2 + (- 3 + y)x + (y2 - 3y - P) = 0
Có nghiệm khi và chỉ khi '

0

(- 3 + y)2 - 4.1.(y2 -3y - P )

0

9 - 6y + y2 - 4y2 + 12y + 4P 0
4P -9 - 6y + 3y2
4P -12 + 3(y2 - 2y +1)
3

P -3 +

4

(y - 1)2

2a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 1, x = =Suy ra GTNN của P là -3 khi và chỉ khi x = 1, y = 1.

Bài 4. Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất thỏa mãn: x2 + 2y2 - 2xy - 6x + 2y = 0
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011)
a) Phân tích hướng dẫn giải: Nếu ta nhóm theo x ta được một phương trình bậc hai
với biến x, cịn y xem như tham số (x2 - 2(y + 3)x + 2y2 + 2y = 0) khi đó ta có thể sử
dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ( ' = b'2 - ac 0) để tìm GTLN (
13
13
13
' = (y + 3)2 - (2y2 + 2y) 0
...
+2 y
+2. Suy ra yMax=
+2.
b)
Lời giải: Ta có: x2 + 2y2 - 2xy - 6x + 2y = 0

x2 - 2(y + 3)x + 2y2 + 2y = 0
Để phương trình có nghiệm thì '

0

( y + 3)2 - (2y2 + 2y)
5

0


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

y2 + 6y + 9 - 2y2 - 2y 0
y2 - 4y - 9 0
(y - 2)2

13

13 y - 213
13 + 2

y

13 + 2

a
+ 2 khi và chỉ khi x = - =
13
Suy ra yMax=
+2 khi và chỉ khi x =
 Lời bình: Trong giải bài tốn này, khó khăn của học sinh đó là việc giải bất phương

y=

13

trình y2 - 4y - 9 0 . Với bất phương trình dạng này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh
biến đổi thành một bình phương nhỏ hơn một số dương nào đó rồi sử dụng bất
đẳng thức (x+a)2 m (với m > 0)
ax

m

x
a

m

- a hoặc đưa về bất phương trình tích [y - (

- m
13

x+a

+ 2)][y - (

13

m

- m-

+ 2)] 0 bằng cách

áp dụng kiến thức nếu tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm x 1, x2 thì có
thể phân tích được thành f(x) = a(x - x1)(x - x2).
1

Dạng 3

: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A =

Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: M =
a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + 1 > 0 nên biểu thức M được xác định với mọi x.
Nếu ta coi y là giá trị của biểu thức M khi đó ta ta được một phương trình với ẩn x
(2x2 + 5x + 2 = y(x2 + 1) (y - 2)x2 - 5x + (y - 2) = 0) khi đó ta xét hai trường hợp: a = 0
và a 0 là phương trình bậc hai nên có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của
1

phương trình bậc hai ( = b2 - 4ac = 52 - 4(y - 2)2
y
6

0) ta được miền giá trị của y là

2


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

b) Lời giải: Biểu thức M được xác định với mọi giá trị của x. Gọi y là giá trị của biểu
thức M, ta có:
2x2 + 5x + 2 = y(x2 + 1)
Xét (1) là phương trình ẩn x, ta được:
(y - 2)x2 - 5x + (y - 2) = 0
Nếu y = 2 thì (2) có nghiệm x = 0
Nếu y 2 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là0, tức là:
52 - 4(y - 2)2

0

25

(y - 2)2
5

2

4

y-2
1

2

5

9

2y 2
1

Với y =

2
1

Với y =

2

So sánh hai trường hợp
minM =
x

Bài 6. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: N =

2y 1

x 2 y2
7

a) Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + y2 + 7 > 0 với mọi x, y nên biểu thức M được
xác định với mọi x và y. Nếu ta coi N là giá trị của biểu thức khi đó ta ta được một
phương trình với ẩn x (Nx2 + Ny2 + 7N = x + 2y + 1

Nx2 - x + (Ny2 - 2y + 7N - 1)

= 0 khi đó ta xét hai trường hợp: a = 0 và a 0 là phương trình bậc hai nên có thể sử
dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ( = b2 - 4ac = 1 - 4N(Ny2 - 2y +


7


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

7N-1)

0 ) ta được miền giá trị của N là

1

MaxN =
b)

2

.
Lời giải:
x 2y 1

x2

y2
Ta có N xác định với mọi x, y. Ta tìm N để tồn tại x, y thỏa mãn: N =
7
Hay Nx2 + Ny2 + 7N = x + 2y + 1 Nx2 - x + (Ny2 - 2y + 7N - 1) = 0 (*)

(với a1 = N, b1 = -1, c1 = Ny2 - 2y + 7N - 1)
Nếu N = 0 thì (*) trở thành x + 2y + 1 = 0 hiển nhiên tồn tại x và y, chẳng hạn x
= 1, y = - 1.
0
Nếu N 0 thì tồn tại x, y thỏa mãn (*) tồn tại y thỏa mãn: x , tức là tồn tại y thỏa
mãn:
1 - 4N(Ny2 - 2y + 7N - 1) 0 hay 4N2y2 - 8Ny + (28N2 - 4N - 1) 0 (**)

(với a2 = 4N2, b2' = -4N, c2 = 28N2 - 4N - 1)
Theo bài tốn tổng qt ở Dạng 1 vì a2 = 4N2 > 0 nên GTNN của (4N2y2 - 8Ny + 28N2
'

- 4N - 1) là

a

. Do đó (**) tồn tại y khi GTNN

y

a

16N2 - 4

28N2-4N

28.(N2 (N -


8


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

5

N=

14 khi và chỉ khi y = 1

N=
So sánh hai trường hợp N = 0 và N

2

khi và chỉ khi y = -

0 suy ra:

MinN =
1



2
MaxN = khi và chỉ khi x = 1, y = 2.
Lời bình: Với bài toán dạng phân thức, cần phải xác định điều kiện xác định và

khi chuyển về phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 thì hệ số a cịn chứa tham số nên
phải xét hai trường hợp a = 0 và a 0.
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức thỏa mãn điều kiện
Bài 7. Cho x, y thỏa mãn hệ thức: x2 + 5y2 - x + 2y - 4xy - 6 = 0 (1)
2
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: E =
a)Phân tích hướng dẫn giải: Đây là bài tốn tìm GTLN, GTNN thỏa mãn điều
kiện

+ 5y2 - x + 2y - 4xy - 6 = 0 ta được một phương trình bậc hai ẩn x (x 2 + 2(1 - 2E)x +
(20E2 - 28E - 15) = 0) khi đó ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
1

( = b'2 - ac = (1 - 2E)2 - (20E2 - 28E - 15 )

1

2. Suy ra MinE =
b) Lời giải:

2

và MaxE = 2.
x 1

0 ) ta được miền giá trị của E là

2

E


Từ (2) suy ra y = -E + 2

2 , thay vào (1) ta được phương trình:

9


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

x2 + 2(1 - 2E)x + (20E2 - 28E - 15) = 0
Phương trình ẩn x với a = 1, b' = 1 - 2E, c = 20E2 - 28E - 15 có nghiệm khi và chỉ khi
' 0, tức là:
(1 - 2E)2 - (20E2 - 28E - 15 )

0

2E2-3E-2 0
3 25

2(E- 4)2

8

3 25

(E- 4)2 16

1

E=

2

x=-

a

=

a
E=2 x=Vậy E đạt GTLN là 2 khi x = -3, y = -3

E đạt GTNN là

Bài 8. Cho x, y thỏa mãn hệ thức: x2 + y2 + xy = 1 (1)
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: A = x2- xy + 2y2
a)Phân tích hướng dẫn giải: Vì x2 + y2 + xy = 1 nên ta có thể viết A dưới dạng
phân
x2

thức A = x

xy 2y2
2

xy y2

chia cả tử và mẫu cho y2 và đặt t =
có cách giải.


) đưa bài toán về dạng Bài 5 đã
10


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

b)

Lời giải:
x2

2y2

xy

x 2 xy y2

Ta có thể viết A dưới dạng: A =
Nếu y = 0 thì A = 1.

x

0 thì chia cả tử , ta được: A =
y
và mẫu của A cho y2 và đặt t =

Nếu y
t2 t 2
t2 t 1

t2 t

2

t t 1
Cần xác định A để phương trình A = 2
có nghiệm. Điều đó tương đương với việc
phương trình (A - 1)t2 + (A + 1)t + A - 2 = 0 có nghiệm

+) A = 1 thì rõ ràng tồn tại x và y.
+) A

1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

=(A+1)2-4.(A-1)(A-2) 0 3A2
-14A + 7 0
7 28

3(A- 3)

2

3

7 28

(A- 3)2

9

Vậy MinA =

x

2(1 A1)
x

2

y


11

SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

và maxA =

x

x

Trong đó A1, A2 lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
x
xy

y

yz

z

zx

7

15

Bài 9. Cho x, y, z là các số thỏa mãn hệ phương trình:
Tìm GTLN và GTNN của x, y, z.
a) Phân tích hướng dẫn giải: Do vai trò của x, y, z là như nhau nên ta chỉ cần tìm
GTLN và GTNN của x rồi suy ra GTLN và GTNN của y và z. Đề bài cho một hệ

phương trình với ba ẩn số là x, y và z nên ta phải rút tổng S = y + z và P = yz thơng
qua ẩn x, như vậy thì y và z là nghiệm của phương trình t2 - (7 - x)t + (x2 - 7x + 15) = 0
do đó ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTLN và

GTNN của x ( = b2 - 4ac = (7 - x)2 - 4.(x2 - 7x + 15) 0 (x 7

4

3
b) Lời giải:

Xét hệ phương trình:

31 x

xy yz zx

y, z là nghiệm của phương trình:
t2 - (7 - x)t + (x2 - 7x + 15) = 0 (*)
y, z có giá trị lớn nhất, bé nhất
(7 - x)2 - 4.(x2 - 7x + 15)

phương trình (*) có nghiệm
0

0, tức là:


12

SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

3x2 - 14x + 11 0 x2 - 2.x.
(x x = 1 khi và chỉ khi y = z =
11

3
x = khi và chỉ khi y = z =
Suy ra giá trị nhỏ nhất của x là 1,
11

và giá trị lớn nhất của x là
11

3
Vì vai trị x, y, z như nhau nên GTNN của y, z cũng là 1, và GTLN của y, z là .
 Lời bình: Đối với dạng tốn này địi hỏi chúng ta phải có sự khéo léo chuyển từ

điều kiện và biểu thức cần tìm cực trị đã cho về một phương trình dạng ax 2 + bx + c =
0. Các cách thường sử dụng là từ biểu thức cần tìm cực trị rút một đại lượng thông qua
các đại lượng khác rồi thế vào biểu thức điều kiện và ngược lại (như ở bài 7); chia hai
biểu thức (biểu thức điều kiện và biểu thức cần tìm cực trị) cho nhau theo vế với vế
(như ở bài 8); chuyển thành một hệ phương trình rồi thực hiện các phép biến đổi…
IV. Một số bài tập tự luyện:
Bài 1. a) Tìm GTNN của biểu thức: A = 7x2 - 2x +3
x2

b) Tìm GTLN của biểu thức: B =

2x 5 3

Bài 2. Tìm x để y đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 4y = 0

y
y
Bài 3. a) Tìm GTNN của biểu thức: D = x2 - x + x + y - +1 (Trích đề
thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2003-2004)
b) Tìm GTLN của biểu thức P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường Đại học sư phạm ngoại ngữ Hà Nội năm học 04-05)

Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: M =


13


SỬDỤNGĐIỀUKIỆNCĨNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAIĐỂTÌMCỰCTRỊCỦABIỂUTHỨC

Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = 2x2 - xy - y2 thỏa mãn điều kiện:
x2 + 2xy + 3y2 = 4.
(Trích đề số 2 đề thi tuyển sinh vào trường chuyên - Sách Ôn thi vào lớp 10 của sở GDĐT Hà Tĩnh)

Bài 6. Cho x, y thỏa mãn hệ thức: 36x2 + 16y2 - 9 = 0
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: R = -2x + y + 5.
Bài 7. Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 3x - 4y = 7
Tìm GTNN của biểu thức: H = 3x2 + 4y2.
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
Đối với học sinh lớp 9, dạng tốn tìm cực trị là một trong những loại tốn thường
gặp và gây cho các em khơng ít khó khăn, nhưng khi sử dụng điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc hai để tìm cực trị của biểu thức, tơi thấy rất có hiệu quả, học sinh dễ
tiếp thu và vận dụng vì phương pháp này sử dụng kiến thức cơ bản và quen thuộc của
chương trình Đại số lớp 9. Trên đây là một trong những sáng kiến về việc khai thác
kiến thức cơ bản của mơn Tốn ở bậc THCS mà khi vận dụng vào giảng dạy tơi thấy
có hiệu quả, tuy nhiên với kinh nghiệm cịn ít nên trong sáng kiến không tránh khỏi
những hạn chế thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý, nhận xét của bạn bè đồng
nghiệp, của hội đồng khoa học phòng giáo dục để bài viết được tốt hơn.
Qua đây tôi muốn đề xuất một số ý kiến:
1.

Đối với giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn cũng như khuyến khích học sinh khai

thác, mở rộng các kiến thức cơ bản từ chương trình học vào giải các dạng tốn khác;
đối với từng dạng toán phải đi sâu, cụ thể từng phương pháp giải, đặc biệt là đối với
dạng tốn tìm GTLN, GTNN vì đây là một dạng tốn khó và thường gặp.
2.

Đối với giáo viên ra đề trong các kì thi đặc biệt là thi học sinh giỏi, cần đưa dạng

tốn tìm cực trị vào vì đây là một trong những dạng tốn địi hỏi tư duy sáng tạo của
học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!

14