sáng kiến kinh nghiệm-phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA TOÁN
LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29
=====0=====
Đề tài:
SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Sinh viên thực hiện:
1. Phan Duy Luân
2. Lê Thị Lư
3. Nguyễn Thị Ly
4. Lê Nguyễn Hoàng Lý
5. Nguyễn Trọng Minh
6. Nguyễn Thị Nga
7. Hồ Văn Nguyên.
Gv hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ
Quy Nhơn: 11/2009

LỜI NÓI ĐẦU
Như chúng ta đã biết trong thực tế khi giải phương trình
học sinh được giới thiệu rất nhiều phương pháp, trong đó
phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương
trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép giải các
phương trình hệ quả và phép thử nghiệm). Một khái niệm
được hình thành luôn tiềm tàng đã nhân rộng cách giải
phương trình lên đáng kể. Ở đây chúng tôi quyết định làm
sáng tỏ thêm khái niệm đó để xét được các ứng dụng đẹp
(nhất là trong các bài toán có chứa tham số) của nó trong
phạm vi cho phép.
Ở đây chúng tôi chỉ trình bày một số bài toán điển hình

của phương pháp này mà nó thường hay xuất hiện. Tuy
nhiên do đây là một phương pháp không quen thuộc đối với
học sinh nên các em thường ít sử dụng. Nhưng nếu các em
sử dụng thì có những bài toán sẽ được nhanh hơn.
Vì thời gian có hạn, còn rất nhiều dạng toán khác của
chuyên đề này không được trình bày ở đây. Hy vọng một dịp
nào đó chúng tôi sẽ trình bày một cách đầy đủ hơn. Với
phương pháp này mong rằng sẽ trang bị cho các bạn thêm
một phương pháp mới về giải phương trình. Cuối cùng
chúng tôi mong nhận được sự góp ý, phê bình của độc giả về
nội dung, cách trình bày của chuyên đề này. Xin chân thành
cảm ơn!

Nhóm sinh viên thực hiện.

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU
Chương I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT DUY
NHẤT NGHIỆM
Dạng. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình
f(x, m) =0 có nghiệm duy nhất
Chương II: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM.
Dạng 1. Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho
phương trình
Dạng 2. Giải bài toán về tập nghiệm
Dạng 3. Giải bài toán về phương trình hệ quả
Dang 4. Giải bài toán về hai phương trình tương
đương

Chương III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH
CHẤT THAM SỐ
Dạng. Phương trình nghiệm đúng với giá trị xác định
của tham số
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

CHƯƠNG I:
SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI
TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM.

Dạng . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình
f(x, m) =0 (1) có nghiệm duy nhất.
I. PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong (1) có nghĩa.
Bước 2: Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm là x =
0
x
, khi đó:
a. Dựa trên tính chất đối xứng của các biểu thức giải tích trong
(1), ta đi khẳng định khi đó x =
φ
(
0
x
) cũng là nghiệm của (1).
b. Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất cần có:

0
x
=
φ
(
0
x
)
⇒
Giá trị
0
x
. (2)
c. Thay (2) vào (1) ta xác định được điều kiện cần cho tham số m
để (1) có nghiệm duy nhất, giả sử m
m
D∈
.
Bước 3: Điều kiện đủ:
Với m
m
D∈
, ta đi kiểm tra lại tính duy nhất nghiệm cho (1).
Thông thường trong bước này, ta chỉ phải xét các phương trình
cụ thể (thường là không có tham số hoặc nếu có thì đã được đơn
giản đi nhiều). Kết quả của bước này cho phép ta loại đi khỏi tập
m
D
các giá trị không thích hợp của m.
Bước 4:

Kết hợp ba bước giải trên ta tìm được đáp số.

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Trước tiên chúng ta minh họa các ví dụ sử dụng tính chất hàm chẵn
để xác định điều kiện cần, tức là xuất phát từ nhận xét:
• Giả sử phương trình có nghiệm
0
x
khẳng định rằng nó cũng
nhận
0
x−
nghiệm
• Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

0 0
x x= −
0
x 0⇔ =
.
 Ví dụ 1:[1] Tìm m để phương trình:

4 2
mx 2(m 1)x m 1 0.
− − + − =
(1)
Có nghiệm duy nhất.
Giải
Điều kiện cần: Giải sử (1) có nghiệm
0

x
, suy ra
4 2
0 0
4 2
0 0
m.x 2(m 1).x m 1 0
m( x ) 2(m 1)( x ) m 1 0
− − + − =
⇔ − − − − + − =
Tức là
0
x−
cũng là nghiệm của phương trình.
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
0 0
x x− =
0
x 0.⇔ =
Khi đó:
(1) m 1 0 m 1.
⇔ − = ⇔ =
Điều kiện đủ: Với m=1, ta có:
4
x 0 x 0
= ⇔ =
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.
 Chú ý:
1. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể được thực hiện bằng phương

pháp đặt ẩn phụ, cụ thể:
Đặt
2
t x ,t 0
= ≥
. Phương trình có dạng:
f(t) =
2
mt 2(m 1)t m 1 0.
− − + − =
(2)

Trường hợp 1. Với m = 0

2
1 1 1
(2) 2t 1 0 t x x .
2 2
2
⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2. Với
m 0.≠
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
(2)⇔
có nghiệm
1 2
2(m 1)
0
S 0

m
t 0 t m 1
P 0 m 1
0
m
−

≤

≤


≤ = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
= −


=


Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình
trùng phương:

4 2
a.x bx c 0
+ + =
(1)

Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ

được thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
0
x
, suy ra
0
x−
cũng là nghiệm của phương
trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

0 0
x x
− =
0
x 0.
⇔ =
Khi đó:
(1) c 0.⇔ =
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại với c=0.
 Ví dụ 2: [1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

3
2 2
1 x 2 1 x m.
− + − =
(1)

Giải

Điều kiện cần:
Nhận xét rằng nếu phương trình có nghiệm
0
x
, thì cũng nhận
0
x−

làm nghiệm.

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là

0 0 0
x x x 0= − ⇔ =
Khi đó: (1)
1 2 m m 3.
⇔ + = ⇔ =
Điều kiện đủ:
Với m=3, khi đó phương trình có dạng:
3
2 2
1 x 2 1 x 3.− + − =
Vì:
2
3
2 2
3
2

1 x 1
1 x 2 1 x 3.
1 x 1

− ≤

⇒ − + − ≤

− ≤


Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
3
2
1 x 1
x 0.
1 x 1

− =

⇔ =

− =


Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=3.
 Ví dụ 3:[1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

4 3 2

x mx 2mx mx 1 0.
+ + + + =
(1)
Giải
Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình.
Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm
0
x
≠
0, suy ra
4 3 2
0 0 0 0
2 3 4
0 0 0 0
4 3 2
0 0 0 0
x mx 2mx mx 1 0
1 1 1 1
1 m 2m m 0
x x x x
1 1 1 1
m 2m m 1 0
x x x x
+ + + + =
⇔ + + + + =
     
⇔ + + + + =
 ÷  ÷  ÷
     
Tức là

0
1
x
cũng là nghiệm của phương trình.
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:


0 0
0
1
x x 1.
x
= ⇔ =±
• Với
0
x 1=
, ta được:
(1)
1
1 m 2m m 1 0 m .
2
⇔ + + + + = ⇔ = −
• Với
0
x 1= −
, ta được:
(1)
1 m 2m m 1 0
⇔ − + − + =
, vô nghiệm.

Vậy,
1
m
2
= −
là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ: Với
1
m
2
= −
, ta có:

4 3 2 4 3 2
2 2
1 1
(1) x x x x 1 0 2x x 2x x 2 0
2 2
(x 1) (2x 3x 2) 0 x 1
⇔ − − − + = ⇔ − − − + =
⇔ − + + = ⇔ =
Vậy,
1
m
2
= −
phương trình có nghiệm duy nhất.
 Chú ý:
1. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể được thực hiện bằng phương
pháp đặt ẩn phụ.

Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
x 0≠
, ta được:

2
2
2
2
1 1
x mx 2m m. 0
x x
1 1
x m. x 2m 0
x x
+ + + + =
   
⇔ + + + + =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
t x
x
= +
, điều kiện
t 2.
≥
2 2

2
1
x t 2.
x
⇒ + = −


Khi đó phương trình có dạng:
f(t)
2
t mt 2m 2 0.
= + + − =
(2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
⇔
pt (2) có đúng một nghiệm
thỏa mãn
t 2.
≥
2. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình
hồi quy:

4 3 2
a.x bx cx bx a 0,
+ + + + =
với
a 0≠
(1)
Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp điều kiện cần và đủ được

thực hiện theo các bước:
Bước 1: Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình.
Bước 2:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
0
x
, suy ra
0
1
x
cũng là nghiệm của
phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
0
0
1
x
x
=
0
x 1
⇔ =± ⇒
Giá trị tham số.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 3: Điều kiện đủ:
Thực hiện việc thử lại.
 Ví dụ 4:[1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

4 4
x 2 x x 2 x m.

+ − + + − =
(1)

Giải
Điều kiện cần :
Giả sử phương trình (1) có nghiệm là
0
x x=
suy ra 2-
0
x
cũng là
nghiệm của (1).
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi
0 0
x 2 x
= −
0
x 1.
⇔ =
Thay
0
x
=1 vào (1), ta được m=4.
Điều kiện đủ: Với m=4 , khi đó (1) có dạng:

4 4
x 2 x x 2 x 4.
+ − + + − =
(2)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:

x 2 x 2
+ − ≤
và
4 4
x 2 x 2
+ − ≤
Do đó:
4 4
x 2 x 2
(2)
x 2 x 2
x 1

+ − =

⇔

+ − =


⇔ =
 Ví dụ 4: Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x a x b c.
− + − =
(1)
Giải

Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm là x =
0
x
suy ra

0 0 0 0
x a x b c (a b x ) a (a b x ) b c
− + − = ⇔ + − − + + − − =

Suy ra a + b -
0
x
cũng là nghiệm của (1).
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi
0 0 0
a b
x a b x x
2
+
= + − ⇔ =
Thay
0
a b
x
2
+
=
vào (1), ta được: c =
a b−

.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:
Giả sử c =
a b−
, khi đó (1) có dạng:

( ) ( )
x a x b a b
x a x b (x a) (x b)
x a x b 0
− + − = −
⇔ − + − = − − −
⇔ − − ≤
(2)
• Nếu
a b
≠
( ta giả sử khi đó a< b), khi đó :
(2)
a x b
⇔ ≤ ≤
, tức là (2) không có nghiệm duy nhất.
• Nếu a=b, khi đó:

( ) ( )
2
2 x a 0⇔ − ≤

⇔

x=a là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy, với c=0 và a=b phương trình có nghiệm duy nhất.
 Ví dụ 5 : [1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

( ) ( )
4 4
x 1 x 3 2m.
+ + + =
(1)
Giải
Điều kiện cần: giả sử (1) có nghiệm
0
x
, suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4 4 4
0 0 0 0
4 4
0 0
x 1 x 3 2m x 1 x 3 2m
3 x 4 1 x 4 2m
+ + + = ⇔ − − + − − =
   
⇔ + − − + + − − =
   
Tức là -
0
x 4−
cũng là nghiệm của phương trình.

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
-
0 0 0
x 4 x x 2.
− = ⇔ = −
Khi đó :
(1)
( ) ( )
4 4
2 1 2 3 2m m 1.
⇔ − + + − + = ⇔ =
Điều kiện đủ:
Với m=1, ta có: (1)
( ) ( )
4 4
x 1 x 3 2.
⇔ + + + =
(2)
Đặt
1 3
t x x 2,
2
+
= + = +
suy ra:
x 1 t 1
x 3 t 1
+ = −



+ = +

.
Khi đó :
(2)
( ) ( )
4 4
4 2
2 2
t 1 t 1 2 2t 12t 0
t (t 6) 0 t 0
x 2 0 x 2
⇔ − + + = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ =
⇔ + = ⇔ =−
Vậy, m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.
 Chú ý :

1. Như vậy, để tìm điều kiện của tham số sao cho phương
trình.
( ) ( )
4 4
x a x b c.
+ + + =
(1)

Có nghiệm duy nhất, bằng phương pháp đk cần và đủ được thực
hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm

0
x
, suy ra
0
x a b− − −
cũng là nghiệm của
phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
0 0 0
a b
x a b x x
2
+
− − − = ⇔ = − ⇒
Giá trị tham số.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.
2.Yêu cầu trên có thể thực hiện được bằng phương pháp đặt ẩn
phụ, cụ thể:
Đặt
1 3
t x x 2
2
+
= + = +
, suy ra:
x 1 t 1
x 3 t 1
+ = −


+ = +


.
Khi đó:(1)
( ) ( )
4 4
4 2
4 2
t 1 t 1 2m 2t 12t 2 2m
t 6t 1 m 0.
⇔ − + + = ⇔ + + =
⇔ + + − =
(2)
Đặt
2
u t ,u 0.
= ≥
Khi đó:
(2)
2
f (u) u 6u 1 m 0.
⇔ = + + − =
(3)
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
⇔
(3) có nghiệm
1 2
u 0 u
≤ =
Kết luận m=1 phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 6: [2] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x 2 x m.
+ − =
(1)
Giải
Điều kiện
0 x 2.
≤ ≤
Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm
0
x
.Khi đó:
( )
( )
0 0 0 0
0 0
x 2 x m 2 2 x 2 x m
2 x 2 2 x m
+ − = ⇔ − − + − =
⇔ − + − − =
Tức là
0
2 x
−
cũng là nghiệm của (1).

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi
0 0 0
2 x x x 1
− = ⇔ =

Khi đó: (1)
m 2.
⇔ =
Điều kiện đủ: Với m=2, ta có:
( )
( ) ( )
2
x 2 x 2 4 x 2 x 1 1 x 2 x 4
+ − = ⇔ = + − ≤ + + − =
(Bunhicopxki)
x 2 x x 1
⇔ = − ⇔ =
là nghiệm duy nhất.
 Chú ý:
1. Như vậy để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình:

x a b x c.
+ + − =
(1)
Có nghiệm duy nhất, bằng pp điều kiện cần và đủ được thực hiện
theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
0
x
,
suy ra
( ) ( )
( ) ( )
0 0

0 0
0 0
x a b x c
b x a b a x a b c
a x a b b x a b c
+ + − =
⇔ − − − + + + − − + =
⇔ + − − + + − − − + =
Tức là
0
x a b
− − +
cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để
phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là:
0 0 0
b a
x a b x x
2
−
− − + = ⇔ = ⇒
Giá trị của tham số.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.
2. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể thực hiện được bằng phương
pháp như: đặt ẩn phụ, pp hàm số, pp lượng giác hóa.
3. Mở rộng cho phương trình

m m
a f (x) b f (x) c.
− + + =
BÀI TẬP THAM KHẢO CHƯƠNG I.

Bài 1.Tìm giá trị của tham số m để pt sau có nghiệm duy nhất


( )
x 1
3m 2 .2 1
−
− =

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

4 4
x 1 x x 1 x m+ − + + − =
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm duy
nhất.

( ) ( )
3
4
x 1 x 2m x 1 x 2 x 1 x m .
+ − + − − − =

************************


Chương 2:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI
BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM
Dạng 1: Giải bài toán về tính chất các nghiệm cho phương trình
I. PHƯƠNG PHÁP:

Với yêu cầu: “Tìm điều kiện của tham số (giả sử m) để
phương trình: f(x, m) = 0 có nghiệm thỏa mãn tính chất “K”, ta
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm thỏa
mãn tính chất K, khi đó ta có:
 Hệ thức Viet giữa các nghiệm (I)
 Biểu diễn điều kiện thông qua (I)
 Suy ra điều kiện cho tham số.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện phép thử lại.
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
 VD1: [2] Xác định m để phương trình:
(m + 1)x
2
– 2(m – 1)x + m – 2 = 0
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn 4(x
1
+ x
1
) = 7x
1
x
2
(*)
Giải: Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x

1
, x
2
thỏa mãn (*) khi đó:
1 2
2(m - 1)
x + x =
m + 1
1 2
m - 2
x .x =
m + 1
Từ đó: (*)
2(m - 1) m - 2
4 = 7 m = -6
m + 1 m + 1
⇔ ⇔
Điều kiện đủ:
Với m = 6 thay vào (1) ta được:
-5x
2
+ 14x – 8 = 0⇔ x
1
= 2

2
2
x =
5
Vậy, với m = -6 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

thỏa mãn (*)

 VD2:[2] Phương trình: ax
2
+ bx + c = 0
Có hai nghiệm x
1
, x
2
. Chứng minh hệ thức: b
3
+ a
2
c + ac
2
=
3abc là điều kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng
bình phương nghiệm còn lại.
Giải: Theo giả thuyết ta được:
S = x
1
+ x
2
=
b
-
a
P = x
1
x

2
=
c
a
Xét biểu thức: P = (x
1
–
2 2 2 2 3 2
2 2 1 1 2 1 2 1 2
x ) (x - x ) = x x + x x - (x + x )
= x
1
x
2
+
2 2 3
1 2 1 2 1 2 1
2
[ ]x x - (x + x ) - 3x x (x + x )
=
2 3 3 2 3
2 3 3
c c b c b b + a c + ac - 3abc
+ - - + 3 . =
a a d
a a a
 
 
 
 

Vậy, nếu: b
3
+ a
2
c + ac
2
= 3abc
thì một trong hai thừa số của P bằng 0 và ngược lại (Đpcm).
 VD3: [3] Giải phương trình : ax
2
+ bx + c = 0
Có hai nghiệm x
1
, x
2
. Chứng minh hệ thức:
(k + 1)
2
ac – kb
2
= 0 (k ≠ 0) là điều kiện cần và đủ để phương
trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại.
Giải: Theo giả thiết ta được:
x
1
+ x
2
=
b
-

a
x
1
x
2
=
c
a
Xét: P = (x
1
– kx
2
)(x
2
– kx
1
) = x
1
x
2
– k(
2 2 2
1 2 1 2
x + x ) + k x x

= x
1
x
2
– k[(x

1
+ x
2
)
2
– x
1
x
2
] + k
2
x
1
x
2
=
2 2 2
2
2 2
c b c c (k +1) ac - kb
- k - 2 + k =
a a a
a a
 
 
 
 
Vậy, nếu (k + 1)
2
ac – kb

2
= 0 thì một trong hai thừa số của P
phải bằng 0 và ngược lại (Đpcm).
 VD4: [3] Xác định m để phương trình:
x
3
– 3mx
2
– 3x + 3m +2 = 0
có 3 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
x + x + x
> 15.
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
khi đó
x

1
+ x
2
+ x
3
= 3m
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= -3
x
1
x
2
x
3
= -3m – 2
Khi đó:
15 <
2 2 2
1 2 3

x + x + x
= (x
1
+ x
2
+ x
3
)
2
– 2(x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
) = 9m
2
+6
⇔ m
2
> 1 ⇔ m >1
Điều kiện đủ:
Viết lại phương trình về dạng
(x – 1) [x

2
– (3m – 1)x – 3m – 2] = 0
x = 1
g(x) = x
2
– (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 (2)
ta chứng minh vớim >1 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác,
tức là chứng minh:
∆g > 0 9m
2
+ 6m + 9 = 0
⇔
luôn đúng với m >1
⇔

g(1) ≠ 0 m ≠ 0
Vậy với m >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
 Chú ý: Bài toán trên cũng có thể được trình bày như sau:
Viết lại phương trình về dạng:
(x – 1) [x
2
– (3m – 1)x – 3m – 2] = 0
x = 1
g(x) = x
2
– (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 (2)
Trước hết (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔ (2) có nghiệm phân biệt ≠ 1 ⇔
9m
2

+ 6m + 9 > 0
m ≠ 0
Với điều kiện (1) có 3 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn:
x
1
+ x
2
+ x
3
= 3m
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= -3
x

1
x
2
x
3
= -3m – 2
Khi đó:
15 <
2 2 2
1 2 3
x + x + x
= (x
1
+ x
2
+ x
3
)
2
– 2(x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x

1
) = 9m
2
+6
⇔ m
2
> 1 ⇔ m >1
Vậy với m >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
 VD5:[3] Xác định m để phương trình:
x
3
– 3x
2
– 9x + m = 0 (1)
Có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải:
⇔
⇔
∆g > 0
g(1) ≠ 0
⇔ m ≠ 0

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập
thành cấp số cộng, khi đó:
x
1
+ x
3
= 2x
2

x
1
+ x
2
+ x
3
= 3 ⇔ 3x
2
= 3 ⇔ x
2
= 1
Với x
2
= +1 thay vào (1) ta được:
11 – m = 0 ⇔ m = 11
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số
cộng.
Điều kiện đủ: Với m = 11, ta được:
x
3
– 3x
2
– 9x + 11 = 0 ⇔ (x – 1) (x
2
– 2x – 11) = 0
x
1
= 1 –
12
⇔ x

2
= 1 , thỏa mãn (1)
x
3
= 1 +
12
Vậy với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
 Chú ý: 1. Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định
được.
a. pt (1) có 3 nghiệm phân biệt.
b. Ta có x
1
+ x
3
= 2x
2
, tức là x
1
, x
2
, x
3
lập thành cấp số cộng.
Do đó có kết luận m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Tuy nhiên tồn tại bài toán mà các giá trị của tham số tìm được
trong điều kiện cần không thỏa mãn điều kiện đủ thì kết luận giá trị
đó không thỏa mãn điều kiện bài toán.
2. Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hệ
số bất định, như sau:
pt (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

⇔ (1) có 3 nghiệm x
0
– d, x
0
, x
0
+ d (d ≠ 0)

Khi đó: x
3
– 3x
2
– 9x + m = [x – (x
0
– d)] (x – x
0
) [x – (x
0
+ d)]
= (x – x
0
) [(x – x
0
)
2
– d
2
]
= x
3

– 3x
0
x
2
+ (3
2
0
x
– d
2
)x -
3
0
x
+ d
2
x
0
-3 = -3x
0
x
0
= 1
⇒ -9 = 3
2
0
x
– d
2
⇔ d =

±2 3
m = -
3
0
x
+ d
2
x
0
m = 11
Vậy với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
3. Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, với a ≠ 0 (1)
Có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
lập thành cấp số cộng, bằng phương
pháp điều kiện cần và đủ ta thực hiện thao các bước:
Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử pt có 3 nghiệm phân biệt lập
thành cấp số cộng, khi đó:
x
1
+ x

3
= 2x
2
x
1
+ x
2
+ x
3
=
-b
a
⇔ 3x
2
=
-b
a
⇔ x
2
=
-b
3a
Với x
2
=
-b
3a
thay vào (1) ta được:
3 2
-b b -b

a + b - + c + d = 0
3a 3a 3a
     
 ÷  ÷  ÷
     
⇔ 2b
3
– 9abc + 27a
2
d = 0 (2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số
cộng.
Bước 2: Điều kiện đủ - Thực hiện phép thử lại.
 Lưu ý: Với các em học sinh đã tiếp xúc với kiến thức về đồ
thị của học sinh bậc ba có thể sử dụng điều kiện cần là
“Điểm uốn thuộc trục hoành”, cụ thể:

Điều kiện cần: Để pt có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ lập
thành cấp số cộng thì điểm uốn U của đồ thị hàm số y = x
3
– 3x
2
–
9x + m thuộc trục hoành.
⇔ y
0
= 0 ⇔ y
(1)
= 0 ⇔ -11 + m = 0 ⇔ m = 11
Điều kiện đủ:

Với m = 11, ta được:
x
3
– 3x
2
– 9x + 11 = 0 ⇔ (x – 1) (x
2
– 2x – 11) = 0
1
2
3
x 1 12
x 1
x 1 12

= −

⇔ =


= +

thỏa mãn (*)
Vậy, với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
 VD6: [3]Cho phương trình:
3'
sin x + m cos x = 1
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x

2
∈ [0, 2π) sao cho x
1
+ x
2
=
2π
3
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có nghiệm x = α ∈
2π
0,
3
 
 
 
, khi đó:
3'
sin α + m cos α = 1
Mặt khác, vì x
1
+ x
2
=
2π
3
nên x =
2π
3

– α cũng là nghiệm, khi đó:
3
sin
2π
-α
3
 
 ÷
 
= 1
Như vậy:
3
sin α + m cos α = 1
3
sin
2π
-α
3
 
 ÷
 
+ m cos
2π
-α
3
 
 ÷
 
= 1

cos 1 3sin
-1 3 3 1
cosα + sin α = 1 - 3 cos α + sin α
2 2 2 2

= −

⇔
   

 ÷  ÷

 ÷  ÷
   

m
m
α α
⇒
cos α 1 - 3'sin α
=
-cos α + 3'sin α 2 - 3cos α - 3sin α
⇔(2 – 3 cos α -
3
sin α) cos α = (-cos α +
3
sin α) (1 –
3
sin α)
⇔ 3 cos 2α +

3
sin 2α = 3 cos α –
3
sin α
⇔
3 1 3 1
cos 2α + sin 2α = cos α - sin α
2 2 2 2
⇔ cos 2α . cos
π
6
+ sin 2α . sin
π
6
= cos α . cos
π
6
– sin α . cos
π
6
⇔ cos
π π
2α - = cos α +
6 6
   
 ÷  ÷
   
⇔ 2α -
π
6

= α +
π
6
+ 2kπ
π
α = + 2kπ
3
2α -
π
6
= -α -
π
6
+ 2kπ
2kπ
α =
3
3
0
2
3
π

α=


⇔ α=


π

α=


 Với
π
α =
3
, thay vào phương trình ta được:
π π
3sin + m cos = 1 m = -1
3 3
⇔
⇔

 Với α = 0, thay vào phương trình ta được:
3
sin 0 + m cos 0 = 1 ⇔ m = 1
 Với
2π
α =
3
, thay vào phương trình ta được:
2π 2π
3sin + m cos = 1 m = 1
3 3
⇔
Vậy với m = ±1 là điều kiện cần.
Điều kiện đủ:
Với m = 1, thay vào phương trình ta được:
3

sin x + cos x = 1
3 1 1
sin x + cos x =
2 2 2
⇔
⇔ sin x . cos
π
6
+ cos x . sin
π
6
=
1
2
⇔
π π
sin x + = sin
6 6
 
 ÷
 
⇔ x +
π
6
=
π
6
+ 2kπ x = 2kπ
x +
π

6
= π –
π
6
+ 2kπ x =
2π
3
+ 2kπ
1
x [0,2 )
2
x 0
2
x
3
∈ π
=


¬ →

π
=


Nhận xét rằng khi đó:
x
1
+ x
2

=
2π
3
, do đó m = 1 thỏa mãn.
 Với m = -1 thay vào phưong trình, giải ra nghiệm.
Dạng 2:
Giải bài toán về tập nghiệm
I. PHƯƠNG PHÁP:
⇔

Với yêu cầu: “Tìm giá trị của tham số m để phương trình
nghiệm đúng với mọi x thuộc Dx”, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có
nghĩa.
Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử nghiệm đúng với ∀x ∈ Dx suy
ra nghiệm đúng với x
0
∈ Dx.
 Giải bài toán với x = x
0
⇒ Giá trị của tham số m
0
.
Bước 3: Điều kiện đủ: Thực hiện phép kiểm tra với x = x
0
.
 Chú ý: Việc chỉ ra giá trị x
0
∈ Dx được gọi là phương pháp
sử dụng điểm thuận lợi trong việc tìm điều kiện cần và:

 Hoàn toàn có thể sử dụng một hoặc nhiều thuận lợi x
0
, x
1
, …
trong việc xác định điều kiện cần.
 Với câu hỏi “Nên lấy những giá trị nào từ tập Dx để làm
điểm thuận lợi” chỉ có thể trả lời rằng cần sử dụng trực giác và kinh
nghiệm của từng người. Các em học sinh cần tích lũy dần những
kinh nghiệm này thông qua các ví dụ.
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
 VD1: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng ∀x ≥ -2:
x – m = x + 4 (1)
Giải:
Điều kiện cần: pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2 suy ra x = -2 là nghiệm
của (1), tức là:
m 0
m 4
=


=−

Điều kiện đủ:
 Với m = 0, ta có:
x = x + 4
m + 2 = 2 ⇔

Nhận thấy x = 0 ∈ [-2, ∞) không phải là nghiệm của phương trình.
Do đó, m = 0 không thỏa mãn.

 Với m = -4, ta có: x + 4 = x + 4 đúng với x ≥ -2
Vậy, với m = -4 pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2
 Chú ý: Bài toán trên còn có thể phát biểu dưới dạng:
“Tìm m để phương trình x - m= x + 4
tương đương với bất phương trình f(x)
≥
0 (hoặc f(x)
≤
0)”(2)
Trong đó nghiệm của BPT (2) là x ≥ -2
 VD2: [3]Tìm m để pt sau nghiệm đúng ∀x ≥ -2
lg(x – m)
2
= 2(x + 4) (1)
Giải:
Điều kiện x ≠ m
Trước hết để pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2, ta phải có m < -2
Biến đổi phương trình về dạng:
2lg x – m = 2(x + 4) ⇔ x – m = x + 4 (2)
Điều kiện cần: pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2
⇒ x = -2 là nghiệm của (2), tức là:
m = 0
m = -4
Đó chính là điều kiện cần để pt nghiệm đúng với ∀x ≥ -2
Điều kiện đủ: Với m = -4, ta có:
x ≥ -2
x + 4 = x + 4 ⇔ x + 4 = x + 4 luôn đúng.
Vậy, với m = -4 pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2
 VD3:[3] Tìm a, b để pt sau nghiệm đúng ∀x:
m + 2 = 2 ⇔